Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itsclinecirc0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itsclinecirc0 48623
Description: The intersection points of a line through two different points 𝑌 and 𝑍 and a circle around the origin, using the definition of a line in a two dimensional Euclidean space. (Contributed by AV, 25-Feb-2023.) (Proof shortened by AV, 16-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
itsclc0.i 𝐼 = {1, 2}
itsclc0.e 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
itsclc0.p 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
itsclc0.s 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
itsclc0.0 0 = (𝐼 × {0})
itsclc0.q 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
itsclc0.d 𝐷 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
itsclinecirc0.l 𝐿 = (LineM𝐸)
itsclinecirc0.a 𝐴 = ((𝑌‘2) − (𝑍‘2))
itsclinecirc0.b 𝐵 = ((𝑍‘1) − (𝑌‘1))
itsclinecirc0.c 𝐶 = (((𝑌‘2) · (𝑍‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑍‘2)))
Assertion
Ref Expression
itsclinecirc0 (((𝑌𝑃𝑍𝑃𝑌𝑍) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑋 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍)) → (((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))))

Proof of Theorem itsclinecirc0
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itsclc0.i . . . . . 6 𝐼 = {1, 2}
2 itsclc0.e . . . . . 6 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
3 itsclc0.p . . . . . 6 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
4 itsclinecirc0.l . . . . . 6 𝐿 = (LineM𝐸)
5 itsclinecirc0.a . . . . . 6 𝐴 = ((𝑌‘2) − (𝑍‘2))
6 itsclinecirc0.b . . . . . 6 𝐵 = ((𝑍‘1) − (𝑌‘1))
7 itsclinecirc0.c . . . . . 6 𝐶 = (((𝑌‘2) · (𝑍‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑍‘2)))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7rrx2linest2 48594 . . . . 5 ((𝑌𝑃𝑍𝑃𝑌𝑍) → (𝑌𝐿𝑍) = {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶})
98adantr 480 . . . 4 (((𝑌𝑃𝑍𝑃𝑌𝑍) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑌𝐿𝑍) = {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶})
109eleq2d 2825 . . 3 (((𝑌𝑃𝑍𝑃𝑌𝑍) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ↔ 𝑋 ∈ {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶}))
1110anbi2d 630 . 2 (((𝑌𝑃𝑍𝑃𝑌𝑍) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑋 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍)) ↔ (𝑋 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑋 ∈ {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶})))
121, 3rrx2pyel 48562 . . . . . . 7 (𝑌𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
13123ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝑌𝑃𝑍𝑃𝑌𝑍) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
141, 3rrx2pyel 48562 . . . . . . 7 (𝑍𝑃 → (𝑍‘2) ∈ ℝ)
15143ad2ant2 1133 . . . . . 6 ((𝑌𝑃𝑍𝑃𝑌𝑍) → (𝑍‘2) ∈ ℝ)
1613, 15resubcld 11689 . . . . 5 ((𝑌𝑃𝑍𝑃𝑌𝑍) → ((𝑌‘2) − (𝑍‘2)) ∈ ℝ)
175, 16eqeltrid 2843 . . . 4 ((𝑌𝑃𝑍𝑃𝑌𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
1817adantr 480 . . 3 (((𝑌𝑃𝑍𝑃𝑌𝑍) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ)
191, 3rrx2pxel 48561 . . . . . . 7 (𝑍𝑃 → (𝑍‘1) ∈ ℝ)
20193ad2ant2 1133 . . . . . 6 ((𝑌𝑃𝑍𝑃𝑌𝑍) → (𝑍‘1) ∈ ℝ)
211, 3rrx2pxel 48561 . . . . . . 7 (𝑌𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
22213ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝑌𝑃𝑍𝑃𝑌𝑍) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
2320, 22resubcld 11689 . . . . 5 ((𝑌𝑃𝑍𝑃𝑌𝑍) → ((𝑍‘1) − (𝑌‘1)) ∈ ℝ)
246, 23eqeltrid 2843 . . . 4 ((𝑌𝑃𝑍𝑃𝑌𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
2524adantr 480 . . 3 (((𝑌𝑃𝑍𝑃𝑌𝑍) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝐵 ∈ ℝ)
2613, 20remulcld 11289 . . . . . 6 ((𝑌𝑃𝑍𝑃𝑌𝑍) → ((𝑌‘2) · (𝑍‘1)) ∈ ℝ)
2722, 15remulcld 11289 . . . . . 6 ((𝑌𝑃𝑍𝑃𝑌𝑍) → ((𝑌‘1) · (𝑍‘2)) ∈ ℝ)
2826, 27resubcld 11689 . . . . 5 ((𝑌𝑃𝑍𝑃𝑌𝑍) → (((𝑌‘2) · (𝑍‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑍‘2))) ∈ ℝ)
297, 28eqeltrid 2843 . . . 4 ((𝑌𝑃𝑍𝑃𝑌𝑍) → 𝐶 ∈ ℝ)
3029adantr 480 . . 3 (((𝑌𝑃𝑍𝑃𝑌𝑍) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝐶 ∈ ℝ)
311, 3, 6, 5rrx2pnedifcoorneorr 48567 . . . . 5 ((𝑌𝑃𝑍𝑃𝑌𝑍) → (𝐵 ≠ 0 ∨ 𝐴 ≠ 0))
3231orcomd 871 . . . 4 ((𝑌𝑃𝑍𝑃𝑌𝑍) → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))
3332adantr 480 . . 3 (((𝑌𝑃𝑍𝑃𝑌𝑍) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))
34 simpr 484 . . 3 (((𝑌𝑃𝑍𝑃𝑌𝑍) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷))
35 itsclc0.s . . . 4 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
36 itsclc0.0 . . . 4 0 = (𝐼 × {0})
37 itsclc0.q . . . 4 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
38 itsclc0.d . . . 4 𝐷 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
39 eqid 2735 . . . 4 {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶} = {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶}
401, 2, 3, 35, 36, 37, 38, 39itsclc0 48621 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑋 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑋 ∈ {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶}) → (((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))))
4118, 25, 30, 33, 34, 40syl311anc 1383 . 2 (((𝑌𝑃𝑍𝑃𝑌𝑍) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑋 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑋 ∈ {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶}) → (((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))))
4211, 41sylbid 240 1 (((𝑌𝑃𝑍𝑃𝑌𝑍) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑋 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍)) → (((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  {crab 3433  {csn 4631  {cpr 4633   class class class wbr 5148   × cxp 5687  cfv 6563  (class class class)co 7431  m cmap 8865  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cle 11294  cmin 11490   / cdiv 11918  2c2 12319  +crp 13032  cexp 14099  csqrt 15269  ℝ^crrx 25431  LineMcline 48577  Spherecsph 48578
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-drng 20748  df-field 20749  df-staf 20857  df-srng 20858  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-xmet 21375  df-met 21376  df-cnfld 21383  df-refld 21641  df-dsmm 21770  df-frlm 21785  df-nm 24611  df-tng 24613  df-tcph 25217  df-rrx 25433  df-ehl 25434  df-line 48579  df-sph 48580
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator