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Theorem itsclinecirc0 43324
 Description: The intersection points of a line through two points and a circle around the origin, using the definition of a line in a two dimensional Euclidean space. (Contributed by AV, 9-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
itsclc0.i 𝐼 = {1, 2}
itsclc0.e 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
itsclc0.p 𝑃 = (ℝ ↑𝑚 𝐼)
itsclc0.s 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
itsclc0.0 0 = (𝐼 × {0})
itsclc0.q 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
itsclc0.d 𝐷 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
itsclinecirc0.l 𝐿 = (LineM𝐸)
itsclinecirc0.a 𝐴 = ((𝑌‘2) − (𝑍‘2))
itsclinecirc0.b 𝐵 = ((𝑍‘1) − (𝑌‘1))
itsclinecirc0.c 𝐶 = (((𝑌‘2) · (𝑍‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑍‘2)))
Assertion
Ref Expression
itsclinecirc0 (((𝑌𝑃𝑍𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑋 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍)) → (((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))))

Proof of Theorem itsclinecirc0
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 783 . . . . . 6 (((𝑌𝑃𝑍𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝑌𝑃)
2 simplr 785 . . . . . 6 (((𝑌𝑃𝑍𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝑍𝑃)
3 fveq1 6436 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑌 = 𝑍 → (𝑌‘2) = (𝑍‘2))
43oveq1d 6925 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌 = 𝑍 → ((𝑌‘2) − (𝑍‘2)) = ((𝑍‘2) − (𝑍‘2)))
5 itsclc0.i . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐼 = {1, 2}
6 itsclc0.p . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑃 = (ℝ ↑𝑚 𝐼)
75, 6rrx2pyel 42272 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑍𝑃 → (𝑍‘2) ∈ ℝ)
8 recn 10349 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑍‘2) ∈ ℝ → (𝑍‘2) ∈ ℂ)
98subidd 10708 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑍‘2) ∈ ℝ → ((𝑍‘2) − (𝑍‘2)) = 0)
107, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑍𝑃 → ((𝑍‘2) − (𝑍‘2)) = 0)
1110adantl 475 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑌𝑃𝑍𝑃) → ((𝑍‘2) − (𝑍‘2)) = 0)
124, 11sylan9eqr 2883 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑌𝑃𝑍𝑃) ∧ 𝑌 = 𝑍) → ((𝑌‘2) − (𝑍‘2)) = 0)
1312ex 403 . . . . . . . . . . 11 ((𝑌𝑃𝑍𝑃) → (𝑌 = 𝑍 → ((𝑌‘2) − (𝑍‘2)) = 0))
14 itsclinecirc0.a . . . . . . . . . . . 12 𝐴 = ((𝑌‘2) − (𝑍‘2))
1514eqeq1i 2830 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = 0 ↔ ((𝑌‘2) − (𝑍‘2)) = 0)
1613, 15syl6ibr 244 . . . . . . . . . 10 ((𝑌𝑃𝑍𝑃) → (𝑌 = 𝑍𝐴 = 0))
1716necon3d 3020 . . . . . . . . 9 ((𝑌𝑃𝑍𝑃) → (𝐴 ≠ 0 → 𝑌𝑍))
1817com12 32 . . . . . . . 8 (𝐴 ≠ 0 → ((𝑌𝑃𝑍𝑃) → 𝑌𝑍))
19183ad2ant1 1167 . . . . . . 7 ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((𝑌𝑃𝑍𝑃) → 𝑌𝑍))
2019impcom 398 . . . . . 6 (((𝑌𝑃𝑍𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝑌𝑍)
21 itsclc0.e . . . . . . 7 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
22 itsclinecirc0.l . . . . . . 7 𝐿 = (LineM𝐸)
23 itsclinecirc0.b . . . . . . 7 𝐵 = ((𝑍‘1) − (𝑌‘1))
24 eqid 2825 . . . . . . 7 ((𝑍‘2) − (𝑌‘2)) = ((𝑍‘2) − (𝑌‘2))
25 itsclinecirc0.c . . . . . . 7 𝐶 = (((𝑌‘2) · (𝑍‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑍‘2)))
265, 21, 6, 22, 23, 24, 25rrx2linest 43306 . . . . . 6 ((𝑌𝑃𝑍𝑃𝑌𝑍) → (𝑌𝐿𝑍) = {𝑝𝑃 ∣ (𝐵 · (𝑝‘2)) = ((((𝑍‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1)) + 𝐶)})
271, 2, 20, 26syl3anc 1494 . . . . 5 (((𝑌𝑃𝑍𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑌𝐿𝑍) = {𝑝𝑃 ∣ (𝐵 · (𝑝‘2)) = ((((𝑍‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1)) + 𝐶)})
285, 6rrx2pxel 42271 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑍𝑃 → (𝑍‘1) ∈ ℝ)
2928adantl 475 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑌𝑃𝑍𝑃) → (𝑍‘1) ∈ ℝ)
305, 6rrx2pxel 42271 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑌𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
3130adantr 474 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑌𝑃𝑍𝑃) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
3229, 31resubcld 10789 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑌𝑃𝑍𝑃) → ((𝑍‘1) − (𝑌‘1)) ∈ ℝ)
3323, 32syl5eqel 2910 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑌𝑃𝑍𝑃) → 𝐵 ∈ ℝ)
3433ad2antrr 717 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑌𝑃𝑍𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐵 ∈ ℝ)
355, 6rrx2pyel 42272 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
3635adantl 475 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑌𝑃𝑍𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
3734, 36remulcld 10394 . . . . . . . . . 10 ((((𝑌𝑃𝑍𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐵 · (𝑝‘2)) ∈ ℝ)
3837recnd 10392 . . . . . . . . 9 ((((𝑌𝑃𝑍𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐵 · (𝑝‘2)) ∈ ℂ)
397adantl 475 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑌𝑃𝑍𝑃) → (𝑍‘2) ∈ ℝ)
405, 6rrx2pyel 42272 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑌𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
4140adantr 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑌𝑃𝑍𝑃) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
4239, 41resubcld 10789 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑌𝑃𝑍𝑃) → ((𝑍‘2) − (𝑌‘2)) ∈ ℝ)
4342ad2antrr 717 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑌𝑃𝑍𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑍‘2) − (𝑌‘2)) ∈ ℝ)
445, 6rrx2pxel 42271 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
4544adantl 475 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑌𝑃𝑍𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
4643, 45remulcld 10394 . . . . . . . . . 10 ((((𝑌𝑃𝑍𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝑍‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1)) ∈ ℝ)
4746recnd 10392 . . . . . . . . 9 ((((𝑌𝑃𝑍𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝑍‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1)) ∈ ℂ)
4841, 29remulcld 10394 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑌𝑃𝑍𝑃) → ((𝑌‘2) · (𝑍‘1)) ∈ ℝ)
4931, 39remulcld 10394 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑌𝑃𝑍𝑃) → ((𝑌‘1) · (𝑍‘2)) ∈ ℝ)
5048, 49resubcld 10789 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑌𝑃𝑍𝑃) → (((𝑌‘2) · (𝑍‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑍‘2))) ∈ ℝ)
5125, 50syl5eqel 2910 . . . . . . . . . . 11 ((𝑌𝑃𝑍𝑃) → 𝐶 ∈ ℝ)
5251recnd 10392 . . . . . . . . . 10 ((𝑌𝑃𝑍𝑃) → 𝐶 ∈ ℂ)
5352ad2antrr 717 . . . . . . . . 9 ((((𝑌𝑃𝑍𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐶 ∈ ℂ)
5438, 47, 53subaddd 10738 . . . . . . . 8 ((((𝑌𝑃𝑍𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝐵 · (𝑝‘2)) − (((𝑍‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ ((((𝑍‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1)) + 𝐶) = (𝐵 · (𝑝‘2))))
55 eqcom 2832 . . . . . . . 8 ((𝐵 · (𝑝‘2)) = ((((𝑍‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1)) + 𝐶) ↔ ((((𝑍‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1)) + 𝐶) = (𝐵 · (𝑝‘2)))
5654, 55syl6rbbr 282 . . . . . . 7 ((((𝑌𝑃𝑍𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐵 · (𝑝‘2)) = ((((𝑍‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1)) + 𝐶) ↔ ((𝐵 · (𝑝‘2)) − (((𝑍‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1))) = 𝐶))
5741, 39resubcld 10789 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑌𝑃𝑍𝑃) → ((𝑌‘2) − (𝑍‘2)) ∈ ℝ)
5814, 57syl5eqel 2910 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑌𝑃𝑍𝑃) → 𝐴 ∈ ℝ)
5958ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑌𝑃𝑍𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐴 ∈ ℝ)
6059, 45remulcld 10394 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑌𝑃𝑍𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐴 · (𝑝‘1)) ∈ ℝ)
6160recnd 10392 . . . . . . . . . 10 ((((𝑌𝑃𝑍𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐴 · (𝑝‘1)) ∈ ℂ)
6261, 38addcomd 10564 . . . . . . . . 9 ((((𝑌𝑃𝑍𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = ((𝐵 · (𝑝‘2)) + (𝐴 · (𝑝‘1))))
6339ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑌𝑃𝑍𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑍‘2) ∈ ℝ)
6463recnd 10392 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑌𝑃𝑍𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑍‘2) ∈ ℂ)
6541ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑌𝑃𝑍𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
6665recnd 10392 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑌𝑃𝑍𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
6764, 66negsubdi2d 10736 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑌𝑃𝑍𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → -((𝑍‘2) − (𝑌‘2)) = ((𝑌‘2) − (𝑍‘2)))
6867, 14syl6reqr 2880 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑌𝑃𝑍𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐴 = -((𝑍‘2) − (𝑌‘2)))
6968oveq1d 6925 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑌𝑃𝑍𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐴 · (𝑝‘1)) = (-((𝑍‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1)))
7042recnd 10392 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑌𝑃𝑍𝑃) → ((𝑍‘2) − (𝑌‘2)) ∈ ℂ)
7170ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑌𝑃𝑍𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑍‘2) − (𝑌‘2)) ∈ ℂ)
7245recnd 10392 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑌𝑃𝑍𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝‘1) ∈ ℂ)
7371, 72mulneg1d 10814 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑌𝑃𝑍𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (-((𝑍‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1)) = -(((𝑍‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1)))
7469, 73eqtr2d 2862 . . . . . . . . . 10 ((((𝑌𝑃𝑍𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → -(((𝑍‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1)) = (𝐴 · (𝑝‘1)))
7574oveq2d 6926 . . . . . . . . 9 ((((𝑌𝑃𝑍𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐵 · (𝑝‘2)) + -(((𝑍‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1))) = ((𝐵 · (𝑝‘2)) + (𝐴 · (𝑝‘1))))
7638, 47negsubd 10726 . . . . . . . . 9 ((((𝑌𝑃𝑍𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐵 · (𝑝‘2)) + -(((𝑍‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1))) = ((𝐵 · (𝑝‘2)) − (((𝑍‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1))))
7762, 75, 763eqtr2rd 2868 . . . . . . . 8 ((((𝑌𝑃𝑍𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐵 · (𝑝‘2)) − (((𝑍‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1))) = ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))))
7877eqeq1d 2827 . . . . . . 7 ((((𝑌𝑃𝑍𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝐵 · (𝑝‘2)) − (((𝑍‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶))
7956, 78bitrd 271 . . . . . 6 ((((𝑌𝑃𝑍𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐵 · (𝑝‘2)) = ((((𝑍‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1)) + 𝐶) ↔ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶))
8079rabbidva 3401 . . . . 5 (((𝑌𝑃𝑍𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → {𝑝𝑃 ∣ (𝐵 · (𝑝‘2)) = ((((𝑍‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1)) + 𝐶)} = {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶})
8127, 80eqtrd 2861 . . . 4 (((𝑌𝑃𝑍𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑌𝐿𝑍) = {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶})
8281eleq2d 2892 . . 3 (((𝑌𝑃𝑍𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ↔ 𝑋 ∈ {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶}))
8382anbi2d 622 . 2 (((𝑌𝑃𝑍𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑋 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍)) ↔ (𝑋 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑋 ∈ {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶})))
84 simp1 1170 . . . 4 ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐴 ≠ 0)
8558, 84anim12i 606 . . 3 (((𝑌𝑃𝑍𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0))
8633adantr 474 . . 3 (((𝑌𝑃𝑍𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝐵 ∈ ℝ)
8751adantr 474 . . 3 (((𝑌𝑃𝑍𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝐶 ∈ ℝ)
88 simpr2 1254 . . 3 (((𝑌𝑃𝑍𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
89 simpr3 1256 . . 3 (((𝑌𝑃𝑍𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 0 ≤ 𝐷)
90 itsclc0.s . . . 4 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
91 itsclc0.0 . . . 4 0 = (𝐼 × {0})
92 itsclc0.q . . . 4 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
93 itsclc0.d . . . 4 𝐷 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
94 eqid 2825 . . . 4 {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶} = {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶}
955, 21, 6, 90, 91, 92, 93, 94itsclc0 43323 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((𝑋 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑋 ∈ {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶}) → (((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))))
9685, 86, 87, 88, 89, 95syl311anc 1507 . 2 (((𝑌𝑃𝑍𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑋 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑋 ∈ {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶}) → (((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))))
9783, 96sylbid 232 1 (((𝑌𝑃𝑍𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑋 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍)) → (((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∨ wo 878   ∧ w3a 1111   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999  {crab 3121  {csn 4399  {cpr 4401   class class class wbr 4875   × cxp 5344  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910   ↑𝑚 cmap 8127  ℂcc 10257  ℝcr 10258  0cc0 10259  1c1 10260   + caddc 10262   · cmul 10264   ≤ cle 10399   − cmin 10592  -cneg 10593   / cdiv 11016  2c2 11413  ℝ+crp 12119  ↑cexp 13161  √csqrt 14357  ℝ^crrx 23558  LineMcline 43291  Spherecsph 43292 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337  ax-addf 10338  ax-mulf 10339 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-supp 7565  df-tpos 7622  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-ixp 8182  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-fsupp 8551  df-sup 8623  df-oi 8691  df-card 9085  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-rp 12120  df-xneg 12239  df-xadd 12240  df-xmul 12241  df-ico 12476  df-icc 12477  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-seq 13103  df-exp 13162  df-hash 13418  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-clim 14603  df-sum 14801  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-starv 16327  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-ip 16330  df-tset 16331  df-ple 16332  df-ds 16334  df-unif 16335  df-hom 16336  df-cco 16337  df-0g 16462  df-gsum 16463  df-prds 16468  df-pws 16470  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-mhm 17695  df-grp 17786  df-minusg 17787  df-sbg 17788  df-subg 17949  df-ghm 18016  df-cntz 18107  df-cmn 18555  df-abl 18556  df-mgp 18851  df-ur 18863  df-ring 18910  df-cring 18911  df-oppr 18984  df-dvdsr 19002  df-unit 19003  df-invr 19033  df-dvr 19044  df-rnghom 19078  df-drng 19112  df-field 19113  df-subrg 19141  df-staf 19208  df-srng 19209  df-lmod 19228  df-lss 19296  df-sra 19540  df-rgmod 19541  df-xmet 20106  df-met 20107  df-cnfld 20114  df-refld 20319  df-dsmm 20446  df-frlm 20461  df-nm 22764  df-tng 22766  df-tcph 23345  df-rrx 23560  df-ehl 23561  df-line 43293  df-sph 43294 This theorem is referenced by: (None)
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