Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itsclinecirc0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itsclinecirc0 48098
Description: The intersection points of a line through two different points 𝑌 and 𝑍 and a circle around the origin, using the definition of a line in a two dimensional Euclidean space. (Contributed by AV, 25-Feb-2023.) (Proof shortened by AV, 16-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
itsclc0.i 𝐼 = {1, 2}
itsclc0.e 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
itsclc0.p 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
itsclc0.s 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
itsclc0.0 0 = (𝐼 × {0})
itsclc0.q 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
itsclc0.d 𝐷 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
itsclinecirc0.l 𝐿 = (LineM𝐸)
itsclinecirc0.a 𝐴 = ((𝑌‘2) − (𝑍‘2))
itsclinecirc0.b 𝐵 = ((𝑍‘1) − (𝑌‘1))
itsclinecirc0.c 𝐶 = (((𝑌‘2) · (𝑍‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑍‘2)))
Assertion
Ref Expression
itsclinecirc0 (((𝑌𝑃𝑍𝑃𝑌𝑍) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑋 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍)) → (((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))))

Proof of Theorem itsclinecirc0
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itsclc0.i . . . . . 6 𝐼 = {1, 2}
2 itsclc0.e . . . . . 6 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
3 itsclc0.p . . . . . 6 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
4 itsclinecirc0.l . . . . . 6 𝐿 = (LineM𝐸)
5 itsclinecirc0.a . . . . . 6 𝐴 = ((𝑌‘2) − (𝑍‘2))
6 itsclinecirc0.b . . . . . 6 𝐵 = ((𝑍‘1) − (𝑌‘1))
7 itsclinecirc0.c . . . . . 6 𝐶 = (((𝑌‘2) · (𝑍‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑍‘2)))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7rrx2linest2 48069 . . . . 5 ((𝑌𝑃𝑍𝑃𝑌𝑍) → (𝑌𝐿𝑍) = {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶})
98adantr 479 . . . 4 (((𝑌𝑃𝑍𝑃𝑌𝑍) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑌𝐿𝑍) = {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶})
109eleq2d 2811 . . 3 (((𝑌𝑃𝑍𝑃𝑌𝑍) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ↔ 𝑋 ∈ {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶}))
1110anbi2d 628 . 2 (((𝑌𝑃𝑍𝑃𝑌𝑍) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑋 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍)) ↔ (𝑋 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑋 ∈ {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶})))
121, 3rrx2pyel 48037 . . . . . . 7 (𝑌𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
13123ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((𝑌𝑃𝑍𝑃𝑌𝑍) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
141, 3rrx2pyel 48037 . . . . . . 7 (𝑍𝑃 → (𝑍‘2) ∈ ℝ)
15143ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((𝑌𝑃𝑍𝑃𝑌𝑍) → (𝑍‘2) ∈ ℝ)
1613, 15resubcld 11688 . . . . 5 ((𝑌𝑃𝑍𝑃𝑌𝑍) → ((𝑌‘2) − (𝑍‘2)) ∈ ℝ)
175, 16eqeltrid 2829 . . . 4 ((𝑌𝑃𝑍𝑃𝑌𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
1817adantr 479 . . 3 (((𝑌𝑃𝑍𝑃𝑌𝑍) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ)
191, 3rrx2pxel 48036 . . . . . . 7 (𝑍𝑃 → (𝑍‘1) ∈ ℝ)
20193ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((𝑌𝑃𝑍𝑃𝑌𝑍) → (𝑍‘1) ∈ ℝ)
211, 3rrx2pxel 48036 . . . . . . 7 (𝑌𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
22213ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((𝑌𝑃𝑍𝑃𝑌𝑍) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
2320, 22resubcld 11688 . . . . 5 ((𝑌𝑃𝑍𝑃𝑌𝑍) → ((𝑍‘1) − (𝑌‘1)) ∈ ℝ)
246, 23eqeltrid 2829 . . . 4 ((𝑌𝑃𝑍𝑃𝑌𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
2524adantr 479 . . 3 (((𝑌𝑃𝑍𝑃𝑌𝑍) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝐵 ∈ ℝ)
2613, 20remulcld 11290 . . . . . 6 ((𝑌𝑃𝑍𝑃𝑌𝑍) → ((𝑌‘2) · (𝑍‘1)) ∈ ℝ)
2722, 15remulcld 11290 . . . . . 6 ((𝑌𝑃𝑍𝑃𝑌𝑍) → ((𝑌‘1) · (𝑍‘2)) ∈ ℝ)
2826, 27resubcld 11688 . . . . 5 ((𝑌𝑃𝑍𝑃𝑌𝑍) → (((𝑌‘2) · (𝑍‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑍‘2))) ∈ ℝ)
297, 28eqeltrid 2829 . . . 4 ((𝑌𝑃𝑍𝑃𝑌𝑍) → 𝐶 ∈ ℝ)
3029adantr 479 . . 3 (((𝑌𝑃𝑍𝑃𝑌𝑍) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝐶 ∈ ℝ)
311, 3, 6, 5rrx2pnedifcoorneorr 48042 . . . . 5 ((𝑌𝑃𝑍𝑃𝑌𝑍) → (𝐵 ≠ 0 ∨ 𝐴 ≠ 0))
3231orcomd 869 . . . 4 ((𝑌𝑃𝑍𝑃𝑌𝑍) → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))
3332adantr 479 . . 3 (((𝑌𝑃𝑍𝑃𝑌𝑍) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))
34 simpr 483 . . 3 (((𝑌𝑃𝑍𝑃𝑌𝑍) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷))
35 itsclc0.s . . . 4 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
36 itsclc0.0 . . . 4 0 = (𝐼 × {0})
37 itsclc0.q . . . 4 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
38 itsclc0.d . . . 4 𝐷 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
39 eqid 2725 . . . 4 {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶} = {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶}
401, 2, 3, 35, 36, 37, 38, 39itsclc0 48096 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑋 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑋 ∈ {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶}) → (((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))))
4118, 25, 30, 33, 34, 40syl311anc 1381 . 2 (((𝑌𝑃𝑍𝑃𝑌𝑍) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑋 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑋 ∈ {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶}) → (((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))))
4211, 41sylbid 239 1 (((𝑌𝑃𝑍𝑃𝑌𝑍) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑋 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍)) → (((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  wo 845  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  {crab 3418  {csn 4632  {cpr 4634   class class class wbr 5152   × cxp 5679  cfv 6553  (class class class)co 7423  m cmap 8854  cr 11153  0cc0 11154  1c1 11155   + caddc 11157   · cmul 11159  cle 11295  cmin 11490   / cdiv 11917  2c2 12314  +crp 13023  cexp 14076  csqrt 15233  ℝ^crrx 25394  LineMcline 48052  Spherecsph 48053
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-inf2 9680  ax-cnex 11210  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230  ax-pre-mulgt0 11231  ax-pre-sup 11232  ax-addf 11233  ax-mulf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5579  df-eprel 5585  df-po 5593  df-so 5594  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-pred 6311  df-ord 6378  df-on 6379  df-lim 6380  df-suc 6381  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7689  df-om 7876  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8174  df-tpos 8240  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-er 8733  df-map 8856  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9402  df-sup 9481  df-oi 9549  df-card 9978  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11918  df-nn 12260  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-5 12325  df-6 12326  df-7 12327  df-8 12328  df-9 12329  df-n0 12520  df-z 12606  df-dec 12725  df-uz 12870  df-rp 13024  df-xneg 13141  df-xadd 13142  df-xmul 13143  df-ico 13379  df-icc 13380  df-fz 13534  df-fzo 13677  df-seq 14017  df-exp 14077  df-hash 14343  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-sqrt 15235  df-abs 15236  df-clim 15485  df-sum 15686  df-struct 17144  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-mulr 17275  df-starv 17276  df-sca 17277  df-vsca 17278  df-ip 17279  df-tset 17280  df-ple 17281  df-ds 17283  df-unif 17284  df-hom 17285  df-cco 17286  df-0g 17451  df-gsum 17452  df-prds 17457  df-pws 17459  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-mhm 18768  df-grp 18926  df-minusg 18927  df-sbg 18928  df-subg 19112  df-ghm 19202  df-cntz 19306  df-cmn 19775  df-abl 19776  df-mgp 20113  df-rng 20131  df-ur 20160  df-ring 20213  df-cring 20214  df-oppr 20311  df-dvdsr 20334  df-unit 20335  df-invr 20365  df-dvr 20378  df-rhm 20449  df-subrng 20523  df-subrg 20548  df-drng 20666  df-field 20667  df-staf 20765  df-srng 20766  df-lmod 20785  df-lss 20856  df-sra 21098  df-rgmod 21099  df-xmet 21328  df-met 21329  df-cnfld 21336  df-refld 21593  df-dsmm 21722  df-frlm 21737  df-nm 24574  df-tng 24576  df-tcph 25180  df-rrx 25396  df-ehl 25397  df-line 48054  df-sph 48055
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator