Theorem itsclinecirc0 43324

Description: The intersection points of a line through two points and a circle around the origin, using the definition of a line in a two dimensional Euclidean space. (Contributed by AV, 9-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
itsclc0.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
itsclc0.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
itsclc0.p	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑𝑚 𝐼)
itsclc0.s	⊢ 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
itsclc0.0	⊢ 0 = (𝐼 × {0})
itsclc0.q	⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
itsclc0.d	⊢ 𝐷 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
itsclinecirc0.l	⊢ 𝐿 = (LineM‘𝐸)
itsclinecirc0.a	⊢ 𝐴 = ((𝑌‘2) − (𝑍‘2))
itsclinecirc0.b	⊢ 𝐵 = ((𝑍‘1) − (𝑌‘1))
itsclinecirc0.c	⊢ 𝐶 = (((𝑌‘2) · (𝑍‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑍‘2)))

Assertion

Ref	Expression
itsclinecirc0	⊢ (((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑋 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍)) → (((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))))

Proof of Theorem itsclinecirc0

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 783	. . . . . 6 ⊢ (((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
2		simplr 785	. . . . . 6 ⊢ (((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
3		fveq1 6436	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌 = 𝑍 → (𝑌‘2) = (𝑍‘2))
4	3	oveq1d 6925	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 = 𝑍 → ((𝑌‘2) − (𝑍‘2)) = ((𝑍‘2) − (𝑍‘2)))
5		itsclc0.i	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
6		itsclc0.p	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑𝑚 𝐼)
7	5, 6	rrx2pyel 42272	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑃 → (𝑍‘2) ∈ ℝ)
8		recn 10349	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑍‘2) ∈ ℝ → (𝑍‘2) ∈ ℂ)
9	8	subidd 10708	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑍‘2) ∈ ℝ → ((𝑍‘2) − (𝑍‘2)) = 0)
10	7, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑃 → ((𝑍‘2) − (𝑍‘2)) = 0)
11	10	adantl 475	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) → ((𝑍‘2) − (𝑍‘2)) = 0)
12	4, 11	sylan9eqr 2883	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 = 𝑍) → ((𝑌‘2) − (𝑍‘2)) = 0)
13	12	ex 403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) → (𝑌 = 𝑍 → ((𝑌‘2) − (𝑍‘2)) = 0))
14		itsclinecirc0.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 = ((𝑌‘2) − (𝑍‘2))
15	14	eqeq1i 2830	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = 0 ↔ ((𝑌‘2) − (𝑍‘2)) = 0)
16	13, 15	syl6ibr 244	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) → (𝑌 = 𝑍 → 𝐴 = 0))
17	16	necon3d 3020	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) → (𝐴 ≠ 0 → 𝑌 ≠ 𝑍))
18	17	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ 0 → ((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) → 𝑌 ≠ 𝑍))
19	18	3ad2ant1 1167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) → 𝑌 ≠ 𝑍))
20	19	impcom 398	. . . . . 6 ⊢ (((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝑌 ≠ 𝑍)
21		itsclc0.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
22		itsclinecirc0.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (LineM‘𝐸)
23		itsclinecirc0.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = ((𝑍‘1) − (𝑌‘1))
24		eqid 2825	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍‘2) − (𝑌‘2)) = ((𝑍‘2) − (𝑌‘2))
25		itsclinecirc0.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (((𝑌‘2) · (𝑍‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑍‘2)))
26	5, 21, 6, 22, 23, 24, 25	rrx2linest 43306	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍) → (𝑌𝐿𝑍) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝐵 · (𝑝‘2)) = ((((𝑍‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1)) + 𝐶)})
27	1, 2, 20, 26	syl3anc 1494	. . . . 5 ⊢ (((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑌𝐿𝑍) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝐵 · (𝑝‘2)) = ((((𝑍‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1)) + 𝐶)})
28	5, 6	rrx2pxel 42271	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑃 → (𝑍‘1) ∈ ℝ)
29	28	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) → (𝑍‘1) ∈ ℝ)
30	5, 6	rrx2pxel 42271	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
31	30	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
32	29, 31	resubcld 10789	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) → ((𝑍‘1) − (𝑌‘1)) ∈ ℝ)
33	23, 32	syl5eqel 2910	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) → 𝐵 ∈ ℝ)
34	33	ad2antrr 717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐵 ∈ ℝ)
35	5, 6	rrx2pyel 42272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
36	35	adantl 475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
37	34, 36	remulcld 10394	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝐵 · (𝑝‘2)) ∈ ℝ)
38	37	recnd 10392	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝐵 · (𝑝‘2)) ∈ ℂ)
39	7	adantl 475	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) → (𝑍‘2) ∈ ℝ)
40	5, 6	rrx2pyel 42272	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
41	40	adantr 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
42	39, 41	resubcld 10789	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) → ((𝑍‘2) − (𝑌‘2)) ∈ ℝ)
43	42	ad2antrr 717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑍‘2) − (𝑌‘2)) ∈ ℝ)
44	5, 6	rrx2pxel 42271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
45	44	adantl 475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
46	43, 45	remulcld 10394	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝑍‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1)) ∈ ℝ)
47	46	recnd 10392	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝑍‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1)) ∈ ℂ)
48	41, 29	remulcld 10394	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) → ((𝑌‘2) · (𝑍‘1)) ∈ ℝ)
49	31, 39	remulcld 10394	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) → ((𝑌‘1) · (𝑍‘2)) ∈ ℝ)
50	48, 49	resubcld 10789	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) → (((𝑌‘2) · (𝑍‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑍‘2))) ∈ ℝ)
51	25, 50	syl5eqel 2910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) → 𝐶 ∈ ℝ)
52	51	recnd 10392	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) → 𝐶 ∈ ℂ)
53	52	ad2antrr 717	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐶 ∈ ℂ)
54	38, 47, 53	subaddd 10738	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝐵 · (𝑝‘2)) − (((𝑍‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ ((((𝑍‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1)) + 𝐶) = (𝐵 · (𝑝‘2))))
55		eqcom 2832	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 · (𝑝‘2)) = ((((𝑍‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1)) + 𝐶) ↔ ((((𝑍‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1)) + 𝐶) = (𝐵 · (𝑝‘2)))
56	54, 55	syl6rbbr 282	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝐵 · (𝑝‘2)) = ((((𝑍‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1)) + 𝐶) ↔ ((𝐵 · (𝑝‘2)) − (((𝑍‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1))) = 𝐶))
57	41, 39	resubcld 10789	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) → ((𝑌‘2) − (𝑍‘2)) ∈ ℝ)
58	14, 57	syl5eqel 2910	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) → 𝐴 ∈ ℝ)
59	58	ad2antrr 717	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐴 ∈ ℝ)
60	59, 45	remulcld 10394	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝐴 · (𝑝‘1)) ∈ ℝ)
61	60	recnd 10392	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝐴 · (𝑝‘1)) ∈ ℂ)
62	61, 38	addcomd 10564	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = ((𝐵 · (𝑝‘2)) + (𝐴 · (𝑝‘1))))
63	39	ad2antrr 717	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑍‘2) ∈ ℝ)
64	63	recnd 10392	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑍‘2) ∈ ℂ)
65	41	ad2antrr 717	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
66	65	recnd 10392	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
67	64, 66	negsubdi2d 10736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → -((𝑍‘2) − (𝑌‘2)) = ((𝑌‘2) − (𝑍‘2)))
68	67, 14	syl6reqr 2880	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐴 = -((𝑍‘2) − (𝑌‘2)))
69	68	oveq1d 6925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝐴 · (𝑝‘1)) = (-((𝑍‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1)))
70	42	recnd 10392	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) → ((𝑍‘2) − (𝑌‘2)) ∈ ℂ)
71	70	ad2antrr 717	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑍‘2) − (𝑌‘2)) ∈ ℂ)
72	45	recnd 10392	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑝‘1) ∈ ℂ)
73	71, 72	mulneg1d 10814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (-((𝑍‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1)) = -(((𝑍‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1)))
74	69, 73	eqtr2d 2862	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → -(((𝑍‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1)) = (𝐴 · (𝑝‘1)))
75	74	oveq2d 6926	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝐵 · (𝑝‘2)) + -(((𝑍‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1))) = ((𝐵 · (𝑝‘2)) + (𝐴 · (𝑝‘1))))
76	38, 47	negsubd 10726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝐵 · (𝑝‘2)) + -(((𝑍‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1))) = ((𝐵 · (𝑝‘2)) − (((𝑍‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1))))
77	62, 75, 76	3eqtr2rd 2868	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝐵 · (𝑝‘2)) − (((𝑍‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1))) = ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))))
78	77	eqeq1d 2827	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝐵 · (𝑝‘2)) − (((𝑍‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶))
79	56, 78	bitrd 271	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝐵 · (𝑝‘2)) = ((((𝑍‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1)) + 𝐶) ↔ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶))
80	79	rabbidva 3401	. . . . 5 ⊢ (((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝐵 · (𝑝‘2)) = ((((𝑍‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑝‘1)) + 𝐶)} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶})
81	27, 80	eqtrd 2861	. . . 4 ⊢ (((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑌𝐿𝑍) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶})
82	81	eleq2d 2892	. . 3 ⊢ (((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ↔ 𝑋 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶}))
83	82	anbi2d 622	. 2 ⊢ (((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑋 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍)) ↔ (𝑋 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑋 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶})))
84		simp1 1170	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝐴 ≠ 0)
85	58, 84	anim12i 606	. . 3 ⊢ (((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0))
86	33	adantr 474	. . 3 ⊢ (((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝐵 ∈ ℝ)
87	51	adantr 474	. . 3 ⊢ (((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝐶 ∈ ℝ)
88		simpr2 1254	. . 3 ⊢ (((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
89		simpr3 1256	. . 3 ⊢ (((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 0 ≤ 𝐷)
90		itsclc0.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
91		itsclc0.0	. . . 4 ⊢ 0 = (𝐼 × {0})
92		itsclc0.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
93		itsclc0.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
94		eqid 2825	. . . 4 ⊢ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶}
95	5, 21, 6, 90, 91, 92, 93, 94	itsclc0 43323	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((𝑋 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑋 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶}) → (((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))))
96	85, 86, 87, 88, 89, 95	syl311anc 1507	. 2 ⊢ (((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑋 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑋 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶}) → (((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))))
97	83, 96	sylbid 232	1 ⊢ (((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑋 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍)) → (((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∨ wo 878   ∧ w3a 1111   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999  {crab 3121  {csn 4399  {cpr 4401   class class class wbr 4875   × cxp 5344  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910   ↑_𝑚 cmap 8127  ℂcc 10257  ℝcr 10258  0cc0 10259  1c1 10260   + caddc 10262   · cmul 10264   ≤ cle 10399   − cmin 10592  -cneg 10593   / cdiv 11016  2c2 11413  ℝ⁺crp 12119  ↑cexp 13161  √csqrt 14357  ℝ^crrx 23558  Line_Mcline 43291  Spherecsph 43292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337  ax-addf 10338  ax-mulf 10339

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-supp 7565  df-tpos 7622  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-ixp 8182  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-fsupp 8551  df-sup 8623  df-oi 8691  df-card 9085  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-rp 12120  df-xneg 12239  df-xadd 12240  df-xmul 12241  df-ico 12476  df-icc 12477  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-seq 13103  df-exp 13162  df-hash 13418  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-clim 14603  df-sum 14801  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-starv 16327  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-ip 16330  df-tset 16331  df-ple 16332  df-ds 16334  df-unif 16335  df-hom 16336  df-cco 16337  df-0g 16462  df-gsum 16463  df-prds 16468  df-pws 16470  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-mhm 17695  df-grp 17786  df-minusg 17787  df-sbg 17788  df-subg 17949  df-ghm 18016  df-cntz 18107  df-cmn 18555  df-abl 18556  df-mgp 18851  df-ur 18863  df-ring 18910  df-cring 18911  df-oppr 18984  df-dvdsr 19002  df-unit 19003  df-invr 19033  df-dvr 19044  df-rnghom 19078  df-drng 19112  df-field 19113  df-subrg 19141  df-staf 19208  df-srng 19209  df-lmod 19228  df-lss 19296  df-sra 19540  df-rgmod 19541  df-xmet 20106  df-met 20107  df-cnfld 20114  df-refld 20319  df-dsmm 20446  df-frlm 20461  df-nm 22764  df-tng 22766  df-tcph 23345  df-rrx 23560  df-ehl 23561  df-line 43293  df-sph 43294

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