Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2sphere Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2sphere 47692
Description: The sphere with center 𝑀 and radius 𝑅 in a two dimensional Euclidean space is a circle. (Contributed by AV, 5-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
2sphere.i 𝐼 = {1, 2}
2sphere.e 𝐸 = (ℝ^β€˜πΌ)
2sphere.p 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
2sphere.s 𝑆 = (Sphereβ€˜πΈ)
2sphere.c 𝐢 = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2)) = (𝑅↑2)}
Assertion
Ref Expression
2sphere ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (𝑀𝑆𝑅) = 𝐢)
Distinct variable groups:   𝐸,𝑝   𝐼,𝑝   𝑀,𝑝   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑝)   𝑆(𝑝)

Proof of Theorem 2sphere
StepHypRef Expression
1 2sphere.i . . . 4 𝐼 = {1, 2}
2 prfi 9321 . . . 4 {1, 2} ∈ Fin
31, 2eqeltri 2823 . . 3 𝐼 ∈ Fin
4 simpl 482 . . 3 ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ 𝑀 ∈ 𝑃)
5 elrege0 13434 . . . . 5 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅))
65simplbi 497 . . . 4 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
76adantl 481 . . 3 ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
8 2sphere.e . . . 4 𝐸 = (ℝ^β€˜πΌ)
9 2sphere.p . . . 4 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
10 eqid 2726 . . . 4 (distβ€˜πΈ) = (distβ€˜πΈ)
11 2sphere.s . . . 4 𝑆 = (Sphereβ€˜πΈ)
128, 9, 10, 11rrxsphere 47691 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝(distβ€˜πΈ)𝑀) = 𝑅})
133, 4, 7, 12mp3an2i 1462 . 2 ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝(distβ€˜πΈ)𝑀) = 𝑅})
14 2sphere.c . . 3 𝐢 = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2)) = (𝑅↑2)}
155biimpi 215 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) β†’ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅))
1615ad2antlr 724 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅))
17 sqrtsq 15219 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅) β†’ (βˆšβ€˜(𝑅↑2)) = 𝑅)
1816, 17syl 17 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (βˆšβ€˜(𝑅↑2)) = 𝑅)
1918eqeq2d 2737 . . . . 5 (((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ ((βˆšβ€˜((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2))) = (βˆšβ€˜(𝑅↑2)) ↔ (βˆšβ€˜((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2))) = 𝑅))
201, 9rrx2pxel 47654 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ (π‘β€˜1) ∈ ℝ)
2120adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (π‘β€˜1) ∈ ℝ)
221, 9rrx2pxel 47654 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ 𝑃 β†’ (π‘€β€˜1) ∈ ℝ)
2322adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (π‘€β€˜1) ∈ ℝ)
2421, 23resubcld 11643 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ ((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1)) ∈ ℝ)
2524resqcld 14092 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) ∈ ℝ)
261, 9rrx2pyel 47655 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ (π‘β€˜2) ∈ ℝ)
2726adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (π‘β€˜2) ∈ ℝ)
281, 9rrx2pyel 47655 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ 𝑃 β†’ (π‘€β€˜2) ∈ ℝ)
2928adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (π‘€β€˜2) ∈ ℝ)
3027, 29resubcld 11643 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ ((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2)) ∈ ℝ)
3130resqcld 14092 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2) ∈ ℝ)
3225, 31readdcld 11244 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ ((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2)) ∈ ℝ)
3324sqge0d 14104 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ 0 ≀ (((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2))
3430sqge0d 14104 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ 0 ≀ (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2))
3525, 31, 33, 34addge0d 11791 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ 0 ≀ ((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2)))
3632, 35jca 511 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2))))
3736adantlr 712 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2))))
38 resqcl 14091 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ β†’ (𝑅↑2) ∈ ℝ)
39 sqge0 14103 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ β†’ 0 ≀ (𝑅↑2))
4038, 39jca 511 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ β†’ ((𝑅↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝑅↑2)))
416, 40syl 17 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) β†’ ((𝑅↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝑅↑2)))
4241ad2antlr 724 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ ((𝑅↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝑅↑2)))
43 sqrt11 15212 . . . . . 6 (((((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2))) ∧ ((𝑅↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝑅↑2))) β†’ ((βˆšβ€˜((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2))) = (βˆšβ€˜(𝑅↑2)) ↔ ((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2)) = (𝑅↑2)))
4437, 42, 43syl2anc 583 . . . . 5 (((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ ((βˆšβ€˜((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2))) = (βˆšβ€˜(𝑅↑2)) ↔ ((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2)) = (𝑅↑2)))
454anim1ci 615 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝑃))
46 2nn0 12490 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ β„•0
47 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . 13 (𝔼hilβ€˜2) = (𝔼hilβ€˜2)
4847ehlval 25292 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ β„•0 β†’ (𝔼hilβ€˜2) = (ℝ^β€˜(1...2)))
4946, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝔼hilβ€˜2) = (ℝ^β€˜(1...2))
50 fz12pr 13561 . . . . . . . . . . . . 13 (1...2) = {1, 2}
5150, 1eqtr4i 2757 . . . . . . . . . . . 12 (1...2) = 𝐼
5251fveq2i 6887 . . . . . . . . . . 11 (ℝ^β€˜(1...2)) = (ℝ^β€˜πΌ)
5349, 52eqtri 2754 . . . . . . . . . 10 (𝔼hilβ€˜2) = (ℝ^β€˜πΌ)
548, 53eqtr4i 2757 . . . . . . . . 9 𝐸 = (𝔼hilβ€˜2)
551oveq2i 7415 . . . . . . . . . 10 (ℝ ↑m 𝐼) = (ℝ ↑m {1, 2})
569, 55eqtri 2754 . . . . . . . . 9 𝑃 = (ℝ ↑m {1, 2})
5754, 56, 10ehl2eudisval 25301 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝑃) β†’ (𝑝(distβ€˜πΈ)𝑀) = (βˆšβ€˜((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2))))
5845, 57syl 17 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (𝑝(distβ€˜πΈ)𝑀) = (βˆšβ€˜((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2))))
5958eqcomd 2732 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (βˆšβ€˜((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2))) = (𝑝(distβ€˜πΈ)𝑀))
6059eqeq1d 2728 . . . . 5 (((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ ((βˆšβ€˜((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2))) = 𝑅 ↔ (𝑝(distβ€˜πΈ)𝑀) = 𝑅))
6119, 44, 603bitr3d 309 . . . 4 (((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2)) = (𝑅↑2) ↔ (𝑝(distβ€˜πΈ)𝑀) = 𝑅))
6261rabbidva 3433 . . 3 ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2)) = (𝑅↑2)} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝(distβ€˜πΈ)𝑀) = 𝑅})
6314, 62eqtr2id 2779 . 2 ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝(distβ€˜πΈ)𝑀) = 𝑅} = 𝐢)
6413, 63eqtrd 2766 1 ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (𝑀𝑆𝑅) = 𝐢)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3426  {cpr 4625   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ↑m cmap 8819  Fincfn 8938  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112  +∞cpnf 11246   ≀ cle 11250   βˆ’ cmin 11445  2c2 12268  β„•0cn0 12473  [,)cico 13329  ...cfz 13487  β†‘cexp 14029  βˆšcsqrt 15183  distcds 17212  β„^crrx 25261  π”Όhilcehl 25262  Spherecsph 47671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-clim 15435  df-sum 15636  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-hom 17227  df-cco 17228  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-prds 17399  df-pws 17401  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-mhm 18710  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-sbg 18865  df-subg 19047  df-ghm 19136  df-cntz 19230  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-rng 20055  df-ur 20084  df-ring 20137  df-cring 20138  df-oppr 20233  df-dvdsr 20256  df-unit 20257  df-invr 20287  df-dvr 20300  df-rhm 20371  df-subrng 20443  df-subrg 20468  df-drng 20586  df-field 20587  df-staf 20685  df-srng 20686  df-lmod 20705  df-lss 20776  df-sra 21018  df-rgmod 21019  df-xmet 21228  df-met 21229  df-cnfld 21236  df-refld 21493  df-dsmm 21622  df-frlm 21637  df-nm 24441  df-tng 24443  df-tcph 25047  df-rrx 25263  df-ehl 25264  df-sph 47673
This theorem is referenced by:  2sphere0  47693
  Copyright terms: Public domain W3C validator