Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2sphere Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2sphere 46842
Description: The sphere with center 𝑀 and radius 𝑅 in a two dimensional Euclidean space is a circle. (Contributed by AV, 5-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
2sphere.i 𝐼 = {1, 2}
2sphere.e 𝐸 = (ℝ^β€˜πΌ)
2sphere.p 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
2sphere.s 𝑆 = (Sphereβ€˜πΈ)
2sphere.c 𝐢 = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2)) = (𝑅↑2)}
Assertion
Ref Expression
2sphere ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (𝑀𝑆𝑅) = 𝐢)
Distinct variable groups:   𝐸,𝑝   𝐼,𝑝   𝑀,𝑝   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑝)   𝑆(𝑝)

Proof of Theorem 2sphere
StepHypRef Expression
1 2sphere.i . . . 4 𝐼 = {1, 2}
2 prfi 9267 . . . 4 {1, 2} ∈ Fin
31, 2eqeltri 2834 . . 3 𝐼 ∈ Fin
4 simpl 484 . . 3 ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ 𝑀 ∈ 𝑃)
5 elrege0 13372 . . . . 5 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅))
65simplbi 499 . . . 4 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
76adantl 483 . . 3 ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
8 2sphere.e . . . 4 𝐸 = (ℝ^β€˜πΌ)
9 2sphere.p . . . 4 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
10 eqid 2737 . . . 4 (distβ€˜πΈ) = (distβ€˜πΈ)
11 2sphere.s . . . 4 𝑆 = (Sphereβ€˜πΈ)
128, 9, 10, 11rrxsphere 46841 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝(distβ€˜πΈ)𝑀) = 𝑅})
133, 4, 7, 12mp3an2i 1467 . 2 ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝(distβ€˜πΈ)𝑀) = 𝑅})
14 2sphere.c . . 3 𝐢 = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2)) = (𝑅↑2)}
155biimpi 215 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) β†’ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅))
1615ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅))
17 sqrtsq 15155 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅) β†’ (βˆšβ€˜(𝑅↑2)) = 𝑅)
1816, 17syl 17 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (βˆšβ€˜(𝑅↑2)) = 𝑅)
1918eqeq2d 2748 . . . . 5 (((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ ((βˆšβ€˜((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2))) = (βˆšβ€˜(𝑅↑2)) ↔ (βˆšβ€˜((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2))) = 𝑅))
201, 9rrx2pxel 46804 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ (π‘β€˜1) ∈ ℝ)
2120adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (π‘β€˜1) ∈ ℝ)
221, 9rrx2pxel 46804 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ 𝑃 β†’ (π‘€β€˜1) ∈ ℝ)
2322adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (π‘€β€˜1) ∈ ℝ)
2421, 23resubcld 11584 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ ((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1)) ∈ ℝ)
2524resqcld 14031 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) ∈ ℝ)
261, 9rrx2pyel 46805 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ (π‘β€˜2) ∈ ℝ)
2726adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (π‘β€˜2) ∈ ℝ)
281, 9rrx2pyel 46805 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ 𝑃 β†’ (π‘€β€˜2) ∈ ℝ)
2928adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (π‘€β€˜2) ∈ ℝ)
3027, 29resubcld 11584 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ ((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2)) ∈ ℝ)
3130resqcld 14031 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2) ∈ ℝ)
3225, 31readdcld 11185 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ ((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2)) ∈ ℝ)
3324sqge0d 14043 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ 0 ≀ (((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2))
3430sqge0d 14043 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ 0 ≀ (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2))
3525, 31, 33, 34addge0d 11732 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ 0 ≀ ((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2)))
3632, 35jca 513 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2))))
3736adantlr 714 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2))))
38 resqcl 14030 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ β†’ (𝑅↑2) ∈ ℝ)
39 sqge0 14042 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ β†’ 0 ≀ (𝑅↑2))
4038, 39jca 513 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ β†’ ((𝑅↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝑅↑2)))
416, 40syl 17 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) β†’ ((𝑅↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝑅↑2)))
4241ad2antlr 726 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ ((𝑅↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝑅↑2)))
43 sqrt11 15148 . . . . . 6 (((((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2))) ∧ ((𝑅↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝑅↑2))) β†’ ((βˆšβ€˜((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2))) = (βˆšβ€˜(𝑅↑2)) ↔ ((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2)) = (𝑅↑2)))
4437, 42, 43syl2anc 585 . . . . 5 (((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ ((βˆšβ€˜((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2))) = (βˆšβ€˜(𝑅↑2)) ↔ ((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2)) = (𝑅↑2)))
454anim1ci 617 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝑃))
46 2nn0 12431 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ β„•0
47 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (𝔼hilβ€˜2) = (𝔼hilβ€˜2)
4847ehlval 24781 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ β„•0 β†’ (𝔼hilβ€˜2) = (ℝ^β€˜(1...2)))
4946, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝔼hilβ€˜2) = (ℝ^β€˜(1...2))
50 fz12pr 13499 . . . . . . . . . . . . 13 (1...2) = {1, 2}
5150, 1eqtr4i 2768 . . . . . . . . . . . 12 (1...2) = 𝐼
5251fveq2i 6846 . . . . . . . . . . 11 (ℝ^β€˜(1...2)) = (ℝ^β€˜πΌ)
5349, 52eqtri 2765 . . . . . . . . . 10 (𝔼hilβ€˜2) = (ℝ^β€˜πΌ)
548, 53eqtr4i 2768 . . . . . . . . 9 𝐸 = (𝔼hilβ€˜2)
551oveq2i 7369 . . . . . . . . . 10 (ℝ ↑m 𝐼) = (ℝ ↑m {1, 2})
569, 55eqtri 2765 . . . . . . . . 9 𝑃 = (ℝ ↑m {1, 2})
5754, 56, 10ehl2eudisval 24790 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝑃) β†’ (𝑝(distβ€˜πΈ)𝑀) = (βˆšβ€˜((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2))))
5845, 57syl 17 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (𝑝(distβ€˜πΈ)𝑀) = (βˆšβ€˜((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2))))
5958eqcomd 2743 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (βˆšβ€˜((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2))) = (𝑝(distβ€˜πΈ)𝑀))
6059eqeq1d 2739 . . . . 5 (((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ ((βˆšβ€˜((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2))) = 𝑅 ↔ (𝑝(distβ€˜πΈ)𝑀) = 𝑅))
6119, 44, 603bitr3d 309 . . . 4 (((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2)) = (𝑅↑2) ↔ (𝑝(distβ€˜πΈ)𝑀) = 𝑅))
6261rabbidva 3415 . . 3 ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2)) = (𝑅↑2)} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝(distβ€˜πΈ)𝑀) = 𝑅})
6314, 62eqtr2id 2790 . 2 ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝(distβ€˜πΈ)𝑀) = 𝑅} = 𝐢)
6413, 63eqtrd 2777 1 ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (𝑀𝑆𝑅) = 𝐢)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3408  {cpr 4589   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ↑m cmap 8766  Fincfn 8884  β„cr 11051  0cc0 11052  1c1 11053   + caddc 11055  +∞cpnf 11187   ≀ cle 11191   βˆ’ cmin 11386  2c2 12209  β„•0cn0 12414  [,)cico 13267  ...cfz 13425  β†‘cexp 13968  βˆšcsqrt 15119  distcds 17143  β„^crrx 24750  π”Όhilcehl 24751  Spherecsph 46821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9578  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130  ax-addf 11131  ax-mulf 11132
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-map 8768  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9307  df-sup 9379  df-oi 9447  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12765  df-rp 12917  df-xneg 13034  df-xadd 13035  df-xmul 13036  df-ico 13271  df-icc 13272  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-seq 13908  df-exp 13969  df-hash 14232  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-clim 15371  df-sum 15572  df-struct 17020  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-ress 17114  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-starv 17149  df-sca 17150  df-vsca 17151  df-ip 17152  df-tset 17153  df-ple 17154  df-ds 17156  df-unif 17157  df-hom 17158  df-cco 17159  df-0g 17324  df-gsum 17325  df-prds 17330  df-pws 17332  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-mhm 18602  df-grp 18752  df-minusg 18753  df-sbg 18754  df-subg 18926  df-ghm 19007  df-cntz 19098  df-cmn 19565  df-abl 19566  df-mgp 19898  df-ur 19915  df-ring 19967  df-cring 19968  df-oppr 20050  df-dvdsr 20071  df-unit 20072  df-invr 20102  df-dvr 20113  df-rnghom 20147  df-drng 20188  df-field 20189  df-subrg 20223  df-staf 20307  df-srng 20308  df-lmod 20327  df-lss 20396  df-sra 20636  df-rgmod 20637  df-xmet 20792  df-met 20793  df-cnfld 20800  df-refld 21012  df-dsmm 21141  df-frlm 21156  df-nm 23941  df-tng 23943  df-tcph 24536  df-rrx 24752  df-ehl 24753  df-sph 46823
This theorem is referenced by:  2sphere0  46843
  Copyright terms: Public domain W3C validator