Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2sphere Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2sphere 46825
Description: The sphere with center 𝑀 and radius 𝑅 in a two dimensional Euclidean space is a circle. (Contributed by AV, 5-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
2sphere.i 𝐼 = {1, 2}
2sphere.e 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
2sphere.p 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
2sphere.s 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
2sphere.c 𝐶 = {𝑝𝑃 ∣ ((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2)) = (𝑅↑2)}
Assertion
Ref Expression
2sphere ((𝑀𝑃𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑀𝑆𝑅) = 𝐶)
Distinct variable groups:   𝐸,𝑝   𝐼,𝑝   𝑀,𝑝   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑝)   𝑆(𝑝)

Proof of Theorem 2sphere
StepHypRef Expression
1 2sphere.i . . . 4 𝐼 = {1, 2}
2 prfi 9266 . . . 4 {1, 2} ∈ Fin
31, 2eqeltri 2834 . . 3 𝐼 ∈ Fin
4 simpl 483 . . 3 ((𝑀𝑃𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑀𝑃)
5 elrege0 13371 . . . . 5 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅))
65simplbi 498 . . . 4 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → 𝑅 ∈ ℝ)
76adantl 482 . . 3 ((𝑀𝑃𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑅 ∈ ℝ)
8 2sphere.e . . . 4 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
9 2sphere.p . . . 4 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
10 eqid 2736 . . . 4 (dist‘𝐸) = (dist‘𝐸)
11 2sphere.s . . . 4 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
128, 9, 10, 11rrxsphere 46824 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ) → (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝(dist‘𝐸)𝑀) = 𝑅})
133, 4, 7, 12mp3an2i 1466 . 2 ((𝑀𝑃𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝(dist‘𝐸)𝑀) = 𝑅})
14 2sphere.c . . 3 𝐶 = {𝑝𝑃 ∣ ((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2)) = (𝑅↑2)}
155biimpi 215 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅))
1615ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((𝑀𝑃𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅))
17 sqrtsq 15154 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (√‘(𝑅↑2)) = 𝑅)
1816, 17syl 17 . . . . . 6 (((𝑀𝑃𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝𝑃) → (√‘(𝑅↑2)) = 𝑅)
1918eqeq2d 2747 . . . . 5 (((𝑀𝑃𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝𝑃) → ((√‘((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2))) = (√‘(𝑅↑2)) ↔ (√‘((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2))) = 𝑅))
201, 9rrx2pxel 46787 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
2120adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀𝑃𝑝𝑃) → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
221, 9rrx2pxel 46787 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀𝑃 → (𝑀‘1) ∈ ℝ)
2322adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀𝑃𝑝𝑃) → (𝑀‘1) ∈ ℝ)
2421, 23resubcld 11583 . . . . . . . . . 10 ((𝑀𝑃𝑝𝑃) → ((𝑝‘1) − (𝑀‘1)) ∈ ℝ)
2524resqcld 14030 . . . . . . . . 9 ((𝑀𝑃𝑝𝑃) → (((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) ∈ ℝ)
261, 9rrx2pyel 46788 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
2726adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀𝑃𝑝𝑃) → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
281, 9rrx2pyel 46788 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀𝑃 → (𝑀‘2) ∈ ℝ)
2928adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀𝑃𝑝𝑃) → (𝑀‘2) ∈ ℝ)
3027, 29resubcld 11583 . . . . . . . . . 10 ((𝑀𝑃𝑝𝑃) → ((𝑝‘2) − (𝑀‘2)) ∈ ℝ)
3130resqcld 14030 . . . . . . . . 9 ((𝑀𝑃𝑝𝑃) → (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2) ∈ ℝ)
3225, 31readdcld 11184 . . . . . . . 8 ((𝑀𝑃𝑝𝑃) → ((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2)) ∈ ℝ)
3324sqge0d 14042 . . . . . . . . 9 ((𝑀𝑃𝑝𝑃) → 0 ≤ (((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2))
3430sqge0d 14042 . . . . . . . . 9 ((𝑀𝑃𝑝𝑃) → 0 ≤ (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2))
3525, 31, 33, 34addge0d 11731 . . . . . . . 8 ((𝑀𝑃𝑝𝑃) → 0 ≤ ((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2)))
3632, 35jca 512 . . . . . . 7 ((𝑀𝑃𝑝𝑃) → (((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2))))
3736adantlr 713 . . . . . 6 (((𝑀𝑃𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝𝑃) → (((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2))))
38 resqcl 14029 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
39 sqge0 14041 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝑅↑2))
4038, 39jca 512 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ → ((𝑅↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑅↑2)))
416, 40syl 17 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → ((𝑅↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑅↑2)))
4241ad2antlr 725 . . . . . 6 (((𝑀𝑃𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑅↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑅↑2)))
43 sqrt11 15147 . . . . . 6 (((((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2))) ∧ ((𝑅↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑅↑2))) → ((√‘((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2))) = (√‘(𝑅↑2)) ↔ ((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2)) = (𝑅↑2)))
4437, 42, 43syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑀𝑃𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝𝑃) → ((√‘((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2))) = (√‘(𝑅↑2)) ↔ ((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2)) = (𝑅↑2)))
454anim1ci 616 . . . . . . . 8 (((𝑀𝑃𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝𝑃𝑀𝑃))
46 2nn0 12430 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ0
47 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (𝔼hil‘2) = (𝔼hil‘2)
4847ehlval 24778 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℕ0 → (𝔼hil‘2) = (ℝ^‘(1...2)))
4946, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝔼hil‘2) = (ℝ^‘(1...2))
50 fz12pr 13498 . . . . . . . . . . . . 13 (1...2) = {1, 2}
5150, 1eqtr4i 2767 . . . . . . . . . . . 12 (1...2) = 𝐼
5251fveq2i 6845 . . . . . . . . . . 11 (ℝ^‘(1...2)) = (ℝ^‘𝐼)
5349, 52eqtri 2764 . . . . . . . . . 10 (𝔼hil‘2) = (ℝ^‘𝐼)
548, 53eqtr4i 2767 . . . . . . . . 9 𝐸 = (𝔼hil‘2)
551oveq2i 7368 . . . . . . . . . 10 (ℝ ↑m 𝐼) = (ℝ ↑m {1, 2})
569, 55eqtri 2764 . . . . . . . . 9 𝑃 = (ℝ ↑m {1, 2})
5754, 56, 10ehl2eudisval 24787 . . . . . . . 8 ((𝑝𝑃𝑀𝑃) → (𝑝(dist‘𝐸)𝑀) = (√‘((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2))))
5845, 57syl 17 . . . . . . 7 (((𝑀𝑃𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝(dist‘𝐸)𝑀) = (√‘((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2))))
5958eqcomd 2742 . . . . . 6 (((𝑀𝑃𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝𝑃) → (√‘((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2))) = (𝑝(dist‘𝐸)𝑀))
6059eqeq1d 2738 . . . . 5 (((𝑀𝑃𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝𝑃) → ((√‘((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2))) = 𝑅 ↔ (𝑝(dist‘𝐸)𝑀) = 𝑅))
6119, 44, 603bitr3d 308 . . . 4 (((𝑀𝑃𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝𝑃) → (((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2)) = (𝑅↑2) ↔ (𝑝(dist‘𝐸)𝑀) = 𝑅))
6261rabbidva 3414 . . 3 ((𝑀𝑃𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → {𝑝𝑃 ∣ ((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2)) = (𝑅↑2)} = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝(dist‘𝐸)𝑀) = 𝑅})
6314, 62eqtr2id 2789 . 2 ((𝑀𝑃𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → {𝑝𝑃 ∣ (𝑝(dist‘𝐸)𝑀) = 𝑅} = 𝐶)
6413, 63eqtrd 2776 1 ((𝑀𝑃𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑀𝑆𝑅) = 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  {crab 3407  {cpr 4588   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  m cmap 8765  Fincfn 8883  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054  +∞cpnf 11186  cle 11190  cmin 11385  2c2 12208  0cn0 12413  [,)cico 13266  ...cfz 13424  cexp 13967  csqrt 15118  distcds 17142  ℝ^crrx 24747  𝔼hilcehl 24748  Spherecsph 46804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-rnghom 20146  df-drng 20187  df-field 20188  df-subrg 20220  df-staf 20304  df-srng 20305  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-xmet 20789  df-met 20790  df-cnfld 20797  df-refld 21009  df-dsmm 21138  df-frlm 21153  df-nm 23938  df-tng 23940  df-tcph 24533  df-rrx 24749  df-ehl 24750  df-sph 46806
This theorem is referenced by:  2sphere0  46826
  Copyright terms: Public domain W3C validator