Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2sphere Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2sphere 47900
Description: The sphere with center 𝑀 and radius 𝑅 in a two dimensional Euclidean space is a circle. (Contributed by AV, 5-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
2sphere.i 𝐼 = {1, 2}
2sphere.e 𝐸 = (ℝ^β€˜πΌ)
2sphere.p 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
2sphere.s 𝑆 = (Sphereβ€˜πΈ)
2sphere.c 𝐢 = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2)) = (𝑅↑2)}
Assertion
Ref Expression
2sphere ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (𝑀𝑆𝑅) = 𝐢)
Distinct variable groups:   𝐸,𝑝   𝐼,𝑝   𝑀,𝑝   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑝)   𝑆(𝑝)

Proof of Theorem 2sphere
StepHypRef Expression
1 2sphere.i . . . 4 𝐼 = {1, 2}
2 prfi 9354 . . . 4 {1, 2} ∈ Fin
31, 2eqeltri 2825 . . 3 𝐼 ∈ Fin
4 simpl 481 . . 3 ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ 𝑀 ∈ 𝑃)
5 elrege0 13471 . . . . 5 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅))
65simplbi 496 . . . 4 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
76adantl 480 . . 3 ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
8 2sphere.e . . . 4 𝐸 = (ℝ^β€˜πΌ)
9 2sphere.p . . . 4 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
10 eqid 2728 . . . 4 (distβ€˜πΈ) = (distβ€˜πΈ)
11 2sphere.s . . . 4 𝑆 = (Sphereβ€˜πΈ)
128, 9, 10, 11rrxsphere 47899 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝(distβ€˜πΈ)𝑀) = 𝑅})
133, 4, 7, 12mp3an2i 1462 . 2 ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝(distβ€˜πΈ)𝑀) = 𝑅})
14 2sphere.c . . 3 𝐢 = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2)) = (𝑅↑2)}
155biimpi 215 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) β†’ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅))
1615ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅))
17 sqrtsq 15256 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅) β†’ (βˆšβ€˜(𝑅↑2)) = 𝑅)
1816, 17syl 17 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (βˆšβ€˜(𝑅↑2)) = 𝑅)
1918eqeq2d 2739 . . . . 5 (((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ ((βˆšβ€˜((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2))) = (βˆšβ€˜(𝑅↑2)) ↔ (βˆšβ€˜((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2))) = 𝑅))
201, 9rrx2pxel 47862 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ (π‘β€˜1) ∈ ℝ)
2120adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (π‘β€˜1) ∈ ℝ)
221, 9rrx2pxel 47862 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ 𝑃 β†’ (π‘€β€˜1) ∈ ℝ)
2322adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (π‘€β€˜1) ∈ ℝ)
2421, 23resubcld 11680 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ ((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1)) ∈ ℝ)
2524resqcld 14129 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) ∈ ℝ)
261, 9rrx2pyel 47863 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ (π‘β€˜2) ∈ ℝ)
2726adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (π‘β€˜2) ∈ ℝ)
281, 9rrx2pyel 47863 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ 𝑃 β†’ (π‘€β€˜2) ∈ ℝ)
2928adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (π‘€β€˜2) ∈ ℝ)
3027, 29resubcld 11680 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ ((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2)) ∈ ℝ)
3130resqcld 14129 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2) ∈ ℝ)
3225, 31readdcld 11281 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ ((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2)) ∈ ℝ)
3324sqge0d 14141 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ 0 ≀ (((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2))
3430sqge0d 14141 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ 0 ≀ (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2))
3525, 31, 33, 34addge0d 11828 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ 0 ≀ ((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2)))
3632, 35jca 510 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2))))
3736adantlr 713 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2))))
38 resqcl 14128 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ β†’ (𝑅↑2) ∈ ℝ)
39 sqge0 14140 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ β†’ 0 ≀ (𝑅↑2))
4038, 39jca 510 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ β†’ ((𝑅↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝑅↑2)))
416, 40syl 17 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) β†’ ((𝑅↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝑅↑2)))
4241ad2antlr 725 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ ((𝑅↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝑅↑2)))
43 sqrt11 15249 . . . . . 6 (((((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2))) ∧ ((𝑅↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝑅↑2))) β†’ ((βˆšβ€˜((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2))) = (βˆšβ€˜(𝑅↑2)) ↔ ((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2)) = (𝑅↑2)))
4437, 42, 43syl2anc 582 . . . . 5 (((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ ((βˆšβ€˜((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2))) = (βˆšβ€˜(𝑅↑2)) ↔ ((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2)) = (𝑅↑2)))
454anim1ci 614 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (𝑝 ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝑃))
46 2nn0 12527 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ β„•0
47 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . 13 (𝔼hilβ€˜2) = (𝔼hilβ€˜2)
4847ehlval 25362 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ β„•0 β†’ (𝔼hilβ€˜2) = (ℝ^β€˜(1...2)))
4946, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝔼hilβ€˜2) = (ℝ^β€˜(1...2))
50 fz12pr 13598 . . . . . . . . . . . . 13 (1...2) = {1, 2}
5150, 1eqtr4i 2759 . . . . . . . . . . . 12 (1...2) = 𝐼
5251fveq2i 6905 . . . . . . . . . . 11 (ℝ^β€˜(1...2)) = (ℝ^β€˜πΌ)
5349, 52eqtri 2756 . . . . . . . . . 10 (𝔼hilβ€˜2) = (ℝ^β€˜πΌ)
548, 53eqtr4i 2759 . . . . . . . . 9 𝐸 = (𝔼hilβ€˜2)
551oveq2i 7437 . . . . . . . . . 10 (ℝ ↑m 𝐼) = (ℝ ↑m {1, 2})
569, 55eqtri 2756 . . . . . . . . 9 𝑃 = (ℝ ↑m {1, 2})
5754, 56, 10ehl2eudisval 25371 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝑃) β†’ (𝑝(distβ€˜πΈ)𝑀) = (βˆšβ€˜((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2))))
5845, 57syl 17 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (𝑝(distβ€˜πΈ)𝑀) = (βˆšβ€˜((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2))))
5958eqcomd 2734 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (βˆšβ€˜((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2))) = (𝑝(distβ€˜πΈ)𝑀))
6059eqeq1d 2730 . . . . 5 (((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ ((βˆšβ€˜((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2))) = 𝑅 ↔ (𝑝(distβ€˜πΈ)𝑀) = 𝑅))
6119, 44, 603bitr3d 308 . . . 4 (((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2)) = (𝑅↑2) ↔ (𝑝(distβ€˜πΈ)𝑀) = 𝑅))
6261rabbidva 3437 . . 3 ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((((π‘β€˜1) βˆ’ (π‘€β€˜1))↑2) + (((π‘β€˜2) βˆ’ (π‘€β€˜2))↑2)) = (𝑅↑2)} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝(distβ€˜πΈ)𝑀) = 𝑅})
6314, 62eqtr2id 2781 . 2 ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝(distβ€˜πΈ)𝑀) = 𝑅} = 𝐢)
6413, 63eqtrd 2768 1 ((𝑀 ∈ 𝑃 ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (𝑀𝑆𝑅) = 𝐢)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3430  {cpr 4634   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ↑m cmap 8851  Fincfn 8970  β„cr 11145  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149  +∞cpnf 11283   ≀ cle 11287   βˆ’ cmin 11482  2c2 12305  β„•0cn0 12510  [,)cico 13366  ...cfz 13524  β†‘cexp 14066  βˆšcsqrt 15220  distcds 17249  β„^crrx 25331  π”Όhilcehl 25332  Spherecsph 47879
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225  ax-mulf 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-sup 9473  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-sum 15673  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-prds 17436  df-pws 17438  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-subg 19085  df-ghm 19175  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304  df-invr 20334  df-dvr 20347  df-rhm 20418  df-subrng 20490  df-subrg 20515  df-drng 20633  df-field 20634  df-staf 20732  df-srng 20733  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-sra 21065  df-rgmod 21066  df-xmet 21279  df-met 21280  df-cnfld 21287  df-refld 21544  df-dsmm 21673  df-frlm 21688  df-nm 24511  df-tng 24513  df-tcph 25117  df-rrx 25333  df-ehl 25334  df-sph 47881
This theorem is referenced by:  2sphere0  47901
  Copyright terms: Public domain W3C validator