Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2sphere Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2sphere 48670
Description: The sphere with center 𝑀 and radius 𝑅 in a two dimensional Euclidean space is a circle. (Contributed by AV, 5-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
2sphere.i 𝐼 = {1, 2}
2sphere.e 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
2sphere.p 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
2sphere.s 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
2sphere.c 𝐶 = {𝑝𝑃 ∣ ((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2)) = (𝑅↑2)}
Assertion
Ref Expression
2sphere ((𝑀𝑃𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑀𝑆𝑅) = 𝐶)
Distinct variable groups:   𝐸,𝑝   𝐼,𝑝   𝑀,𝑝   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑝)   𝑆(𝑝)

Proof of Theorem 2sphere
StepHypRef Expression
1 2sphere.i . . . 4 𝐼 = {1, 2}
2 prfi 9363 . . . 4 {1, 2} ∈ Fin
31, 2eqeltri 2837 . . 3 𝐼 ∈ Fin
4 simpl 482 . . 3 ((𝑀𝑃𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑀𝑃)
5 elrege0 13494 . . . . 5 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅))
65simplbi 497 . . . 4 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → 𝑅 ∈ ℝ)
76adantl 481 . . 3 ((𝑀𝑃𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑅 ∈ ℝ)
8 2sphere.e . . . 4 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
9 2sphere.p . . . 4 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
10 eqid 2737 . . . 4 (dist‘𝐸) = (dist‘𝐸)
11 2sphere.s . . . 4 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
128, 9, 10, 11rrxsphere 48669 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ) → (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝(dist‘𝐸)𝑀) = 𝑅})
133, 4, 7, 12mp3an2i 1468 . 2 ((𝑀𝑃𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝(dist‘𝐸)𝑀) = 𝑅})
14 2sphere.c . . 3 𝐶 = {𝑝𝑃 ∣ ((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2)) = (𝑅↑2)}
155biimpi 216 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅))
1615ad2antlr 727 . . . . . . 7 (((𝑀𝑃𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅))
17 sqrtsq 15308 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (√‘(𝑅↑2)) = 𝑅)
1816, 17syl 17 . . . . . 6 (((𝑀𝑃𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝𝑃) → (√‘(𝑅↑2)) = 𝑅)
1918eqeq2d 2748 . . . . 5 (((𝑀𝑃𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝𝑃) → ((√‘((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2))) = (√‘(𝑅↑2)) ↔ (√‘((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2))) = 𝑅))
201, 9rrx2pxel 48632 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
2120adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀𝑃𝑝𝑃) → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
221, 9rrx2pxel 48632 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀𝑃 → (𝑀‘1) ∈ ℝ)
2322adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀𝑃𝑝𝑃) → (𝑀‘1) ∈ ℝ)
2421, 23resubcld 11691 . . . . . . . . . 10 ((𝑀𝑃𝑝𝑃) → ((𝑝‘1) − (𝑀‘1)) ∈ ℝ)
2524resqcld 14165 . . . . . . . . 9 ((𝑀𝑃𝑝𝑃) → (((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) ∈ ℝ)
261, 9rrx2pyel 48633 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
2726adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀𝑃𝑝𝑃) → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
281, 9rrx2pyel 48633 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀𝑃 → (𝑀‘2) ∈ ℝ)
2928adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀𝑃𝑝𝑃) → (𝑀‘2) ∈ ℝ)
3027, 29resubcld 11691 . . . . . . . . . 10 ((𝑀𝑃𝑝𝑃) → ((𝑝‘2) − (𝑀‘2)) ∈ ℝ)
3130resqcld 14165 . . . . . . . . 9 ((𝑀𝑃𝑝𝑃) → (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2) ∈ ℝ)
3225, 31readdcld 11290 . . . . . . . 8 ((𝑀𝑃𝑝𝑃) → ((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2)) ∈ ℝ)
3324sqge0d 14177 . . . . . . . . 9 ((𝑀𝑃𝑝𝑃) → 0 ≤ (((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2))
3430sqge0d 14177 . . . . . . . . 9 ((𝑀𝑃𝑝𝑃) → 0 ≤ (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2))
3525, 31, 33, 34addge0d 11839 . . . . . . . 8 ((𝑀𝑃𝑝𝑃) → 0 ≤ ((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2)))
3632, 35jca 511 . . . . . . 7 ((𝑀𝑃𝑝𝑃) → (((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2))))
3736adantlr 715 . . . . . 6 (((𝑀𝑃𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝𝑃) → (((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2))))
38 resqcl 14164 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
39 sqge0 14176 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝑅↑2))
4038, 39jca 511 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ → ((𝑅↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑅↑2)))
416, 40syl 17 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → ((𝑅↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑅↑2)))
4241ad2antlr 727 . . . . . 6 (((𝑀𝑃𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑅↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑅↑2)))
43 sqrt11 15301 . . . . . 6 (((((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2))) ∧ ((𝑅↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑅↑2))) → ((√‘((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2))) = (√‘(𝑅↑2)) ↔ ((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2)) = (𝑅↑2)))
4437, 42, 43syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑀𝑃𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝𝑃) → ((√‘((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2))) = (√‘(𝑅↑2)) ↔ ((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2)) = (𝑅↑2)))
454anim1ci 616 . . . . . . . 8 (((𝑀𝑃𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝𝑃𝑀𝑃))
46 2nn0 12543 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ0
47 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (𝔼hil‘2) = (𝔼hil‘2)
4847ehlval 25448 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℕ0 → (𝔼hil‘2) = (ℝ^‘(1...2)))
4946, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝔼hil‘2) = (ℝ^‘(1...2))
50 fz12pr 13621 . . . . . . . . . . . . 13 (1...2) = {1, 2}
5150, 1eqtr4i 2768 . . . . . . . . . . . 12 (1...2) = 𝐼
5251fveq2i 6909 . . . . . . . . . . 11 (ℝ^‘(1...2)) = (ℝ^‘𝐼)
5349, 52eqtri 2765 . . . . . . . . . 10 (𝔼hil‘2) = (ℝ^‘𝐼)
548, 53eqtr4i 2768 . . . . . . . . 9 𝐸 = (𝔼hil‘2)
551oveq2i 7442 . . . . . . . . . 10 (ℝ ↑m 𝐼) = (ℝ ↑m {1, 2})
569, 55eqtri 2765 . . . . . . . . 9 𝑃 = (ℝ ↑m {1, 2})
5754, 56, 10ehl2eudisval 25457 . . . . . . . 8 ((𝑝𝑃𝑀𝑃) → (𝑝(dist‘𝐸)𝑀) = (√‘((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2))))
5845, 57syl 17 . . . . . . 7 (((𝑀𝑃𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝(dist‘𝐸)𝑀) = (√‘((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2))))
5958eqcomd 2743 . . . . . 6 (((𝑀𝑃𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝𝑃) → (√‘((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2))) = (𝑝(dist‘𝐸)𝑀))
6059eqeq1d 2739 . . . . 5 (((𝑀𝑃𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝𝑃) → ((√‘((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2))) = 𝑅 ↔ (𝑝(dist‘𝐸)𝑀) = 𝑅))
6119, 44, 603bitr3d 309 . . . 4 (((𝑀𝑃𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝𝑃) → (((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2)) = (𝑅↑2) ↔ (𝑝(dist‘𝐸)𝑀) = 𝑅))
6261rabbidva 3443 . . 3 ((𝑀𝑃𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → {𝑝𝑃 ∣ ((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2)) = (𝑅↑2)} = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝(dist‘𝐸)𝑀) = 𝑅})
6314, 62eqtr2id 2790 . 2 ((𝑀𝑃𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → {𝑝𝑃 ∣ (𝑝(dist‘𝐸)𝑀) = 𝑅} = 𝐶)
6413, 63eqtrd 2777 1 ((𝑀𝑃𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑀𝑆𝑅) = 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  {crab 3436  {cpr 4628   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  m cmap 8866  Fincfn 8985  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  +∞cpnf 11292  cle 11296  cmin 11492  2c2 12321  0cn0 12526  [,)cico 13389  ...cfz 13547  cexp 14102  csqrt 15272  distcds 17306  ℝ^crrx 25417  𝔼hilcehl 25418  Spherecsph 48649
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-rhm 20472  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-drng 20731  df-field 20732  df-staf 20840  df-srng 20841  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-xmet 21357  df-met 21358  df-cnfld 21365  df-refld 21623  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-nm 24595  df-tng 24597  df-tcph 25203  df-rrx 25419  df-ehl 25420  df-sph 48651
This theorem is referenced by:  2sphere0  48671
  Copyright terms: Public domain W3C validator