Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2sphere Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2sphere 45106
 Description: The sphere with center 𝑀 and radius 𝑅 in a two dimensional Euclidean space is a circle. (Contributed by AV, 5-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
2sphere.i 𝐼 = {1, 2}
2sphere.e 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
2sphere.p 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
2sphere.s 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
2sphere.c 𝐶 = {𝑝𝑃 ∣ ((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2)) = (𝑅↑2)}
Assertion
Ref Expression
2sphere ((𝑀𝑃𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑀𝑆𝑅) = 𝐶)
Distinct variable groups:   𝐸,𝑝   𝐼,𝑝   𝑀,𝑝   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑝)   𝑆(𝑝)

Proof of Theorem 2sphere
StepHypRef Expression
1 2sphere.i . . . 4 𝐼 = {1, 2}
2 prfi 8781 . . . 4 {1, 2} ∈ Fin
31, 2eqeltri 2910 . . 3 𝐼 ∈ Fin
4 simpl 486 . . 3 ((𝑀𝑃𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑀𝑃)
5 elrege0 12832 . . . . 5 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅))
65simplbi 501 . . . 4 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → 𝑅 ∈ ℝ)
76adantl 485 . . 3 ((𝑀𝑃𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑅 ∈ ℝ)
8 2sphere.e . . . 4 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
9 2sphere.p . . . 4 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
10 eqid 2822 . . . 4 (dist‘𝐸) = (dist‘𝐸)
11 2sphere.s . . . 4 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
128, 9, 10, 11rrxsphere 45105 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑀𝑃𝑅 ∈ ℝ) → (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝(dist‘𝐸)𝑀) = 𝑅})
133, 4, 7, 12mp3an2i 1463 . 2 ((𝑀𝑃𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑀𝑆𝑅) = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝(dist‘𝐸)𝑀) = 𝑅})
14 2sphere.c . . 3 𝐶 = {𝑝𝑃 ∣ ((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2)) = (𝑅↑2)}
155biimpi 219 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅))
1615ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((𝑀𝑃𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅))
17 sqrtsq 14620 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (√‘(𝑅↑2)) = 𝑅)
1816, 17syl 17 . . . . . 6 (((𝑀𝑃𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝𝑃) → (√‘(𝑅↑2)) = 𝑅)
1918eqeq2d 2833 . . . . 5 (((𝑀𝑃𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝𝑃) → ((√‘((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2))) = (√‘(𝑅↑2)) ↔ (√‘((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2))) = 𝑅))
201, 9rrx2pxel 45068 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
2120adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀𝑃𝑝𝑃) → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
221, 9rrx2pxel 45068 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀𝑃 → (𝑀‘1) ∈ ℝ)
2322adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀𝑃𝑝𝑃) → (𝑀‘1) ∈ ℝ)
2421, 23resubcld 11057 . . . . . . . . . 10 ((𝑀𝑃𝑝𝑃) → ((𝑝‘1) − (𝑀‘1)) ∈ ℝ)
2524resqcld 13607 . . . . . . . . 9 ((𝑀𝑃𝑝𝑃) → (((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) ∈ ℝ)
261, 9rrx2pyel 45069 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
2726adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀𝑃𝑝𝑃) → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
281, 9rrx2pyel 45069 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀𝑃 → (𝑀‘2) ∈ ℝ)
2928adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀𝑃𝑝𝑃) → (𝑀‘2) ∈ ℝ)
3027, 29resubcld 11057 . . . . . . . . . 10 ((𝑀𝑃𝑝𝑃) → ((𝑝‘2) − (𝑀‘2)) ∈ ℝ)
3130resqcld 13607 . . . . . . . . 9 ((𝑀𝑃𝑝𝑃) → (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2) ∈ ℝ)
3225, 31readdcld 10659 . . . . . . . 8 ((𝑀𝑃𝑝𝑃) → ((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2)) ∈ ℝ)
3324sqge0d 13608 . . . . . . . . 9 ((𝑀𝑃𝑝𝑃) → 0 ≤ (((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2))
3430sqge0d 13608 . . . . . . . . 9 ((𝑀𝑃𝑝𝑃) → 0 ≤ (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2))
3525, 31, 33, 34addge0d 11205 . . . . . . . 8 ((𝑀𝑃𝑝𝑃) → 0 ≤ ((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2)))
3632, 35jca 515 . . . . . . 7 ((𝑀𝑃𝑝𝑃) → (((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2))))
3736adantlr 714 . . . . . 6 (((𝑀𝑃𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝𝑃) → (((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2))))
38 resqcl 13486 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
39 sqge0 13497 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝑅↑2))
4038, 39jca 515 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ → ((𝑅↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑅↑2)))
416, 40syl 17 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → ((𝑅↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑅↑2)))
4241ad2antlr 726 . . . . . 6 (((𝑀𝑃𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑅↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑅↑2)))
43 sqrt11 14613 . . . . . 6 (((((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2))) ∧ ((𝑅↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑅↑2))) → ((√‘((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2))) = (√‘(𝑅↑2)) ↔ ((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2)) = (𝑅↑2)))
4437, 42, 43syl2anc 587 . . . . 5 (((𝑀𝑃𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝𝑃) → ((√‘((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2))) = (√‘(𝑅↑2)) ↔ ((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2)) = (𝑅↑2)))
454anim1ci 618 . . . . . . . 8 (((𝑀𝑃𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝𝑃𝑀𝑃))
46 2nn0 11902 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ0
47 eqid 2822 . . . . . . . . . . . . 13 (𝔼hil‘2) = (𝔼hil‘2)
4847ehlval 24016 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℕ0 → (𝔼hil‘2) = (ℝ^‘(1...2)))
4946, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝔼hil‘2) = (ℝ^‘(1...2))
50 fz12pr 12959 . . . . . . . . . . . . 13 (1...2) = {1, 2}
5150, 1eqtr4i 2848 . . . . . . . . . . . 12 (1...2) = 𝐼
5251fveq2i 6655 . . . . . . . . . . 11 (ℝ^‘(1...2)) = (ℝ^‘𝐼)
5349, 52eqtri 2845 . . . . . . . . . 10 (𝔼hil‘2) = (ℝ^‘𝐼)
548, 53eqtr4i 2848 . . . . . . . . 9 𝐸 = (𝔼hil‘2)
551oveq2i 7151 . . . . . . . . . 10 (ℝ ↑m 𝐼) = (ℝ ↑m {1, 2})
569, 55eqtri 2845 . . . . . . . . 9 𝑃 = (ℝ ↑m {1, 2})
5754, 56, 10ehl2eudisval 24025 . . . . . . . 8 ((𝑝𝑃𝑀𝑃) → (𝑝(dist‘𝐸)𝑀) = (√‘((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2))))
5845, 57syl 17 . . . . . . 7 (((𝑀𝑃𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝(dist‘𝐸)𝑀) = (√‘((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2))))
5958eqcomd 2828 . . . . . 6 (((𝑀𝑃𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝𝑃) → (√‘((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2))) = (𝑝(dist‘𝐸)𝑀))
6059eqeq1d 2824 . . . . 5 (((𝑀𝑃𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝𝑃) → ((√‘((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2))) = 𝑅 ↔ (𝑝(dist‘𝐸)𝑀) = 𝑅))
6119, 44, 603bitr3d 312 . . . 4 (((𝑀𝑃𝑅 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑝𝑃) → (((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2)) = (𝑅↑2) ↔ (𝑝(dist‘𝐸)𝑀) = 𝑅))
6261rabbidva 3453 . . 3 ((𝑀𝑃𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → {𝑝𝑃 ∣ ((((𝑝‘1) − (𝑀‘1))↑2) + (((𝑝‘2) − (𝑀‘2))↑2)) = (𝑅↑2)} = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝(dist‘𝐸)𝑀) = 𝑅})
6314, 62syl5req 2870 . 2 ((𝑀𝑃𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → {𝑝𝑃 ∣ (𝑝(dist‘𝐸)𝑀) = 𝑅} = 𝐶)
6413, 63eqtrd 2857 1 ((𝑀𝑃𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑀𝑆𝑅) = 𝐶)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  {crab 3134  {cpr 4541   class class class wbr 5042  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140   ↑m cmap 8393  Fincfn 8496  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529  +∞cpnf 10661   ≤ cle 10665   − cmin 10859  2c2 11680  ℕ0cn0 11885  [,)cico 12728  ...cfz 12885  ↑cexp 13425  √csqrt 14583  distcds 16565  ℝ^crrx 23985  𝔼hilcehl 23986  Spherecsph 45085 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-inf2 9092  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-clim 14836  df-sum 15034  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-starv 16571  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-ip 16574  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-unif 16579  df-hom 16580  df-cco 16581  df-0g 16706  df-gsum 16707  df-prds 16712  df-pws 16714  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-mhm 17947  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-subg 18267  df-ghm 18347  df-cntz 18438  df-cmn 18899  df-abl 18900  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-cring 19291  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386  df-invr 19416  df-dvr 19427  df-rnghom 19461  df-drng 19495  df-field 19496  df-subrg 19524  df-staf 19607  df-srng 19608  df-lmod 19627  df-lss 19695  df-sra 19935  df-rgmod 19936  df-xmet 20082  df-met 20083  df-cnfld 20090  df-refld 20292  df-dsmm 20419  df-frlm 20434  df-nm 23187  df-tng 23189  df-tcph 23772  df-rrx 23987  df-ehl 23988  df-sph 45087 This theorem is referenced by:  2sphere0  45107
 Copyright terms: Public domain W3C validator