Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itsclc0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itsclc0 46947
Description: The intersection points of a line 𝐿 and a circle around the origin. (Contributed by AV, 25-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
itsclc0.i 𝐼 = {1, 2}
itsclc0.e 𝐸 = (ℝ^β€˜πΌ)
itsclc0.p 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
itsclc0.s 𝑆 = (Sphereβ€˜πΈ)
itsclc0.0 0 = (𝐼 Γ— {0})
itsclc0.q 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐡↑2))
itsclc0.d 𝐷 = (((𝑅↑2) Β· 𝑄) βˆ’ (𝐢↑2))
itsclc0.l 𝐿 = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢}
Assertion
Ref Expression
itsclc0 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ ((𝑋 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) β†’ (((π‘‹β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) + (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘‹β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)) ∨ ((π‘‹β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘‹β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐡,𝑝   𝐢,𝑝   𝐸,𝑝   𝐼,𝑝   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝   𝑋,𝑝   0 ,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑝)   𝑄(𝑝)   𝑆(𝑝)   𝐿(𝑝)

Proof of Theorem itsclc0
StepHypRef Expression
1 rprege0 12938 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅))
2 elrege0 13380 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅))
31, 2sylibr 233 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ 𝑅 ∈ (0[,)+∞))
43adantr 482 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷) β†’ 𝑅 ∈ (0[,)+∞))
543ad2ant3 1136 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ 𝑅 ∈ (0[,)+∞))
6 itsclc0.i . . . . . 6 𝐼 = {1, 2}
7 itsclc0.e . . . . . 6 𝐸 = (ℝ^β€˜πΌ)
8 itsclc0.p . . . . . 6 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
9 itsclc0.s . . . . . 6 𝑆 = (Sphereβ€˜πΈ)
10 itsclc0.0 . . . . . 6 0 = (𝐼 Γ— {0})
11 eqid 2733 . . . . . 6 {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((π‘β€˜1)↑2) + ((π‘β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2)} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((π‘β€˜1)↑2) + ((π‘β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2)}
126, 7, 8, 9, 10, 112sphere0 46926 . . . . 5 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) β†’ ( 0 𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((π‘β€˜1)↑2) + ((π‘β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2)})
1312eleq2d 2820 . . . 4 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) β†’ (𝑋 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ↔ 𝑋 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((π‘β€˜1)↑2) + ((π‘β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2)}))
145, 13syl 17 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ (𝑋 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ↔ 𝑋 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((π‘β€˜1)↑2) + ((π‘β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2)}))
15 fveq1 6845 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑋 β†’ (π‘β€˜1) = (π‘‹β€˜1))
1615oveq2d 7377 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑋 β†’ (𝐴 Β· (π‘β€˜1)) = (𝐴 Β· (π‘‹β€˜1)))
17 fveq1 6845 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑋 β†’ (π‘β€˜2) = (π‘‹β€˜2))
1817oveq2d 7377 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑋 β†’ (𝐡 Β· (π‘β€˜2)) = (𝐡 Β· (π‘‹β€˜2)))
1916, 18oveq12d 7379 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑋 β†’ ((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = ((𝐴 Β· (π‘‹β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘‹β€˜2))))
2019eqeq1d 2735 . . . . 5 (𝑝 = 𝑋 β†’ (((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢 ↔ ((𝐴 Β· (π‘‹β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘‹β€˜2))) = 𝐢))
21 itsclc0.l . . . . 5 𝐿 = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢}
2220, 21elrab2 3652 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝐿 ↔ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 Β· (π‘‹β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘‹β€˜2))) = 𝐢))
2322a1i 11 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ (𝑋 ∈ 𝐿 ↔ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 Β· (π‘‹β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘‹β€˜2))) = 𝐢)))
2414, 23anbi12d 632 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ ((𝑋 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) ↔ (𝑋 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((π‘β€˜1)↑2) + ((π‘β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2)} ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 Β· (π‘‹β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘‹β€˜2))) = 𝐢))))
2515oveq1d 7376 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑋 β†’ ((π‘β€˜1)↑2) = ((π‘‹β€˜1)↑2))
2617oveq1d 7376 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑋 β†’ ((π‘β€˜2)↑2) = ((π‘‹β€˜2)↑2))
2725, 26oveq12d 7379 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑋 β†’ (((π‘β€˜1)↑2) + ((π‘β€˜2)↑2)) = (((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)))
2827eqeq1d 2735 . . . . 5 (𝑝 = 𝑋 β†’ ((((π‘β€˜1)↑2) + ((π‘β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2) ↔ (((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2)))
2928elrab 3649 . . . 4 (𝑋 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((π‘β€˜1)↑2) + ((π‘β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2)} ↔ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ (((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2)))
30 3simpa 1149 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0)))
3130adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) β†’ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0)))
32 simpl3 1194 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) β†’ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷))
336, 8rrx2pxel 46887 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ (π‘‹β€˜1) ∈ ℝ)
346, 8rrx2pyel 46888 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ)
3533, 34jca 513 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ ((π‘‹β€˜1) ∈ ℝ ∧ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ))
3635adantl 483 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) β†’ ((π‘‹β€˜1) ∈ ℝ ∧ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ))
37 itsclc0.q . . . . . . . . . 10 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐡↑2))
38 itsclc0.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (((𝑅↑2) Β· 𝑄) βˆ’ (𝐢↑2))
3937, 38itsclc0xyqsol 46944 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷) ∧ ((π‘‹β€˜1) ∈ ℝ ∧ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ)) β†’ (((((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 Β· (π‘‹β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘‹β€˜2))) = 𝐢) β†’ (((π‘‹β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) + (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘‹β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)) ∨ ((π‘‹β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘‹β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)))))
4031, 32, 36, 39syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) β†’ (((((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 Β· (π‘‹β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘‹β€˜2))) = 𝐢) β†’ (((π‘‹β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) + (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘‹β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)) ∨ ((π‘‹β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘‹β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)))))
4140expcomd 418 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) β†’ (((𝐴 Β· (π‘‹β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘‹β€˜2))) = 𝐢 β†’ ((((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2) β†’ (((π‘‹β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) + (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘‹β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)) ∨ ((π‘‹β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘‹β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄))))))
4241expimpd 455 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 Β· (π‘‹β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘‹β€˜2))) = 𝐢) β†’ ((((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2) β†’ (((π‘‹β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) + (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘‹β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)) ∨ ((π‘‹β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘‹β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄))))))
4342com23 86 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ ((((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2) β†’ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 Β· (π‘‹β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘‹β€˜2))) = 𝐢) β†’ (((π‘‹β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) + (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘‹β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)) ∨ ((π‘‹β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘‹β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄))))))
4443adantld 492 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ (((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2)) β†’ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 Β· (π‘‹β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘‹β€˜2))) = 𝐢) β†’ (((π‘‹β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) + (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘‹β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)) ∨ ((π‘‹β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘‹β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄))))))
4529, 44biimtrid 241 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ (𝑋 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((π‘β€˜1)↑2) + ((π‘β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2)} β†’ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 Β· (π‘‹β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘‹β€˜2))) = 𝐢) β†’ (((π‘‹β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) + (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘‹β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)) ∨ ((π‘‹β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘‹β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄))))))
4645impd 412 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ ((𝑋 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((π‘β€˜1)↑2) + ((π‘β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2)} ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 Β· (π‘‹β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘‹β€˜2))) = 𝐢)) β†’ (((π‘‹β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) + (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘‹β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)) ∨ ((π‘‹β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘‹β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)))))
4724, 46sylbid 239 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ ((𝑋 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) β†’ (((π‘‹β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) + (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘‹β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)) ∨ ((π‘‹β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘‹β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  {crab 3406  {csn 4590  {cpr 4592   class class class wbr 5109   Γ— cxp 5635  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ↑m cmap 8771  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   Β· cmul 11064  +∞cpnf 11194   ≀ cle 11198   βˆ’ cmin 11393   / cdiv 11820  2c2 12216  β„+crp 12923  [,)cico 13275  β†‘cexp 13976  βˆšcsqrt 15127  β„^crrx 24770  Spherecsph 46904
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-sup 9386  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-sum 15580  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-prds 17337  df-pws 17339  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-subg 18933  df-ghm 19014  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-cring 19975  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-dvr 20120  df-rnghom 20156  df-drng 20221  df-field 20222  df-subrg 20262  df-staf 20347  df-srng 20348  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-sra 20678  df-rgmod 20679  df-xmet 20812  df-met 20813  df-cnfld 20820  df-refld 21032  df-dsmm 21161  df-frlm 21176  df-nm 23961  df-tng 23963  df-tcph 24556  df-rrx 24772  df-ehl 24773  df-sph 46906
This theorem is referenced by:  itsclinecirc0  46949
  Copyright terms: Public domain W3C validator