Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itsclc0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itsclc0 47713
Description: The intersection points of a line 𝐿 and a circle around the origin. (Contributed by AV, 25-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
itsclc0.i 𝐼 = {1, 2}
itsclc0.e 𝐸 = (ℝ^β€˜πΌ)
itsclc0.p 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
itsclc0.s 𝑆 = (Sphereβ€˜πΈ)
itsclc0.0 0 = (𝐼 Γ— {0})
itsclc0.q 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐡↑2))
itsclc0.d 𝐷 = (((𝑅↑2) Β· 𝑄) βˆ’ (𝐢↑2))
itsclc0.l 𝐿 = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢}
Assertion
Ref Expression
itsclc0 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ ((𝑋 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) β†’ (((π‘‹β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) + (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘‹β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)) ∨ ((π‘‹β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘‹β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐡,𝑝   𝐢,𝑝   𝐸,𝑝   𝐼,𝑝   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝   𝑋,𝑝   0 ,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑝)   𝑄(𝑝)   𝑆(𝑝)   𝐿(𝑝)

Proof of Theorem itsclc0
StepHypRef Expression
1 rprege0 12992 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅))
2 elrege0 13434 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅))
31, 2sylibr 233 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ 𝑅 ∈ (0[,)+∞))
43adantr 480 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷) β†’ 𝑅 ∈ (0[,)+∞))
543ad2ant3 1132 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ 𝑅 ∈ (0[,)+∞))
6 itsclc0.i . . . . . 6 𝐼 = {1, 2}
7 itsclc0.e . . . . . 6 𝐸 = (ℝ^β€˜πΌ)
8 itsclc0.p . . . . . 6 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
9 itsclc0.s . . . . . 6 𝑆 = (Sphereβ€˜πΈ)
10 itsclc0.0 . . . . . 6 0 = (𝐼 Γ— {0})
11 eqid 2726 . . . . . 6 {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((π‘β€˜1)↑2) + ((π‘β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2)} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((π‘β€˜1)↑2) + ((π‘β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2)}
126, 7, 8, 9, 10, 112sphere0 47692 . . . . 5 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) β†’ ( 0 𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((π‘β€˜1)↑2) + ((π‘β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2)})
1312eleq2d 2813 . . . 4 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) β†’ (𝑋 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ↔ 𝑋 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((π‘β€˜1)↑2) + ((π‘β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2)}))
145, 13syl 17 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ (𝑋 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ↔ 𝑋 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((π‘β€˜1)↑2) + ((π‘β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2)}))
15 fveq1 6883 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑋 β†’ (π‘β€˜1) = (π‘‹β€˜1))
1615oveq2d 7420 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑋 β†’ (𝐴 Β· (π‘β€˜1)) = (𝐴 Β· (π‘‹β€˜1)))
17 fveq1 6883 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑋 β†’ (π‘β€˜2) = (π‘‹β€˜2))
1817oveq2d 7420 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑋 β†’ (𝐡 Β· (π‘β€˜2)) = (𝐡 Β· (π‘‹β€˜2)))
1916, 18oveq12d 7422 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑋 β†’ ((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = ((𝐴 Β· (π‘‹β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘‹β€˜2))))
2019eqeq1d 2728 . . . . 5 (𝑝 = 𝑋 β†’ (((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢 ↔ ((𝐴 Β· (π‘‹β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘‹β€˜2))) = 𝐢))
21 itsclc0.l . . . . 5 𝐿 = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢}
2220, 21elrab2 3681 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝐿 ↔ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 Β· (π‘‹β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘‹β€˜2))) = 𝐢))
2322a1i 11 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ (𝑋 ∈ 𝐿 ↔ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 Β· (π‘‹β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘‹β€˜2))) = 𝐢)))
2414, 23anbi12d 630 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ ((𝑋 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) ↔ (𝑋 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((π‘β€˜1)↑2) + ((π‘β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2)} ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 Β· (π‘‹β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘‹β€˜2))) = 𝐢))))
2515oveq1d 7419 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑋 β†’ ((π‘β€˜1)↑2) = ((π‘‹β€˜1)↑2))
2617oveq1d 7419 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑋 β†’ ((π‘β€˜2)↑2) = ((π‘‹β€˜2)↑2))
2725, 26oveq12d 7422 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑋 β†’ (((π‘β€˜1)↑2) + ((π‘β€˜2)↑2)) = (((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)))
2827eqeq1d 2728 . . . . 5 (𝑝 = 𝑋 β†’ ((((π‘β€˜1)↑2) + ((π‘β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2) ↔ (((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2)))
2928elrab 3678 . . . 4 (𝑋 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((π‘β€˜1)↑2) + ((π‘β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2)} ↔ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ (((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2)))
30 3simpa 1145 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0)))
3130adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) β†’ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0)))
32 simpl3 1190 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) β†’ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷))
336, 8rrx2pxel 47653 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ (π‘‹β€˜1) ∈ ℝ)
346, 8rrx2pyel 47654 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ)
3533, 34jca 511 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ ((π‘‹β€˜1) ∈ ℝ ∧ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ))
3635adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) β†’ ((π‘‹β€˜1) ∈ ℝ ∧ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ))
37 itsclc0.q . . . . . . . . . 10 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐡↑2))
38 itsclc0.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (((𝑅↑2) Β· 𝑄) βˆ’ (𝐢↑2))
3937, 38itsclc0xyqsol 47710 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷) ∧ ((π‘‹β€˜1) ∈ ℝ ∧ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ)) β†’ (((((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 Β· (π‘‹β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘‹β€˜2))) = 𝐢) β†’ (((π‘‹β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) + (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘‹β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)) ∨ ((π‘‹β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘‹β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)))))
4031, 32, 36, 39syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) β†’ (((((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 Β· (π‘‹β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘‹β€˜2))) = 𝐢) β†’ (((π‘‹β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) + (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘‹β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)) ∨ ((π‘‹β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘‹β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)))))
4140expcomd 416 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) β†’ (((𝐴 Β· (π‘‹β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘‹β€˜2))) = 𝐢 β†’ ((((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2) β†’ (((π‘‹β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) + (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘‹β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)) ∨ ((π‘‹β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘‹β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄))))))
4241expimpd 453 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 Β· (π‘‹β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘‹β€˜2))) = 𝐢) β†’ ((((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2) β†’ (((π‘‹β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) + (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘‹β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)) ∨ ((π‘‹β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘‹β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄))))))
4342com23 86 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ ((((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2) β†’ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 Β· (π‘‹β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘‹β€˜2))) = 𝐢) β†’ (((π‘‹β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) + (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘‹β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)) ∨ ((π‘‹β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘‹β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄))))))
4443adantld 490 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ (((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2)) β†’ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 Β· (π‘‹β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘‹β€˜2))) = 𝐢) β†’ (((π‘‹β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) + (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘‹β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)) ∨ ((π‘‹β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘‹β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄))))))
4529, 44biimtrid 241 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ (𝑋 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((π‘β€˜1)↑2) + ((π‘β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2)} β†’ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 Β· (π‘‹β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘‹β€˜2))) = 𝐢) β†’ (((π‘‹β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) + (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘‹β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)) ∨ ((π‘‹β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘‹β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄))))))
4645impd 410 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ ((𝑋 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((π‘β€˜1)↑2) + ((π‘β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2)} ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 Β· (π‘‹β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘‹β€˜2))) = 𝐢)) β†’ (((π‘‹β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) + (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘‹β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)) ∨ ((π‘‹β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘‹β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)))))
4724, 46sylbid 239 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ ((𝑋 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) β†’ (((π‘‹β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) + (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘‹β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)) ∨ ((π‘‹β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘‹β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  {crab 3426  {csn 4623  {cpr 4625   class class class wbr 5141   Γ— cxp 5667  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ↑m cmap 8819  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   Β· cmul 11114  +∞cpnf 11246   ≀ cle 11250   βˆ’ cmin 11445   / cdiv 11872  2c2 12268  β„+crp 12977  [,)cico 13329  β†‘cexp 14030  βˆšcsqrt 15184  β„^crrx 25262  Spherecsph 47670
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-exp 14031  df-hash 14294  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-prds 17400  df-pws 17402  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19048  df-ghm 19137  df-cntz 19231  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-cring 20139  df-oppr 20234  df-dvdsr 20257  df-unit 20258  df-invr 20288  df-dvr 20301  df-rhm 20372  df-subrng 20444  df-subrg 20469  df-drng 20587  df-field 20588  df-staf 20686  df-srng 20687  df-lmod 20706  df-lss 20777  df-sra 21019  df-rgmod 21020  df-xmet 21229  df-met 21230  df-cnfld 21237  df-refld 21494  df-dsmm 21623  df-frlm 21638  df-nm 24442  df-tng 24444  df-tcph 25048  df-rrx 25264  df-ehl 25265  df-sph 47672
This theorem is referenced by:  itsclinecirc0  47715
  Copyright terms: Public domain W3C validator