Theorem itsclc0 50214

Description: The intersection points of a line 𝐿 and a circle around the origin. (Contributed by AV, 25-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
itsclc0.i	⊢ 𝐼 = (0..^2)
itsclc0.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
itsclc0.p	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
itsclc0.s	⊢ 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
itsclc0.0	⊢ 0 = ⟨“00”⟩
itsclc0.q	⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
itsclc0.d	⊢ 𝐷 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
itsclc0.l	⊢ 𝐿 = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶}

Assertion

Ref	Expression
itsclc0	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑋 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) → (((𝑋‘0) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘1) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑋‘0) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘1) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐶,𝑝   𝐸,𝑝   𝐼,𝑝   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝   𝑋,𝑝   0 ,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑝)   𝑄(𝑝)   𝑆(𝑝)   𝐿(𝑝)

Proof of Theorem itsclc0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rprege0 13176	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅))
2		elrege0 13625	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅))
3	1, 2	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 𝑅 ∈ (0[,)+∞))
4	3	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝑅 ∈ (0[,)+∞))
5	4	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝑅 ∈ (0[,)+∞))
6		itsclc0.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (0..^2)
7		itsclc0.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
8		itsclc0.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
9		itsclc0.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
10		itsclc0.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = ⟨“00”⟩
11		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘0)↑2) + ((𝑝‘1)↑2)) = (𝑅↑2)} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘0)↑2) + ((𝑝‘1)↑2)) = (𝑅↑2)}
12	6, 7, 8, 9, 10, 11	2sphere0 50193	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → ( 0 𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘0)↑2) + ((𝑝‘1)↑2)) = (𝑅↑2)})
13	12	eleq2d 2850	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → (𝑋 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ↔ 𝑋 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘0)↑2) + ((𝑝‘1)↑2)) = (𝑅↑2)}))
14	5, 13	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑋 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ↔ 𝑋 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘0)↑2) + ((𝑝‘1)↑2)) = (𝑅↑2)}))
15		fveq1 6915	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑋 → (𝑝‘0) = (𝑋‘0))
16	15	oveq2d 7467	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑋 → (𝐴 · (𝑝‘0)) = (𝐴 · (𝑋‘0)))
17		fveq1 6915	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑋 → (𝑝‘1) = (𝑋‘1))
18	17	oveq2d 7467	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑋 → (𝐵 · (𝑝‘1)) = (𝐵 · (𝑋‘1)))
19	16, 18	oveq12d 7469	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑋 → ((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = ((𝐴 · (𝑋‘0)) + (𝐵 · (𝑋‘1))))
20	19	eqeq1d 2765	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑋 → (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ ((𝐴 · (𝑋‘0)) + (𝐵 · (𝑋‘1))) = 𝐶))
21		itsclc0.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶}
22	20, 21	elrab2 3652	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐿 ↔ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 · (𝑋‘0)) + (𝐵 · (𝑋‘1))) = 𝐶))
23	22	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑋 ∈ 𝐿 ↔ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 · (𝑋‘0)) + (𝐵 · (𝑋‘1))) = 𝐶)))
24	14, 23	anbi12d 644	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑋 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) ↔ (𝑋 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘0)↑2) + ((𝑝‘1)↑2)) = (𝑅↑2)} ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 · (𝑋‘0)) + (𝐵 · (𝑋‘1))) = 𝐶))))
25	15	oveq1d 7466	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑋 → ((𝑝‘0)↑2) = ((𝑋‘0)↑2))
26	17	oveq1d 7466	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑋 → ((𝑝‘1)↑2) = ((𝑋‘1)↑2))
27	25, 26	oveq12d 7469	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑋 → (((𝑝‘0)↑2) + ((𝑝‘1)↑2)) = (((𝑋‘0)↑2) + ((𝑋‘1)↑2)))
28	27	eqeq1d 2765	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑋 → ((((𝑝‘0)↑2) + ((𝑝‘1)↑2)) = (𝑅↑2) ↔ (((𝑋‘0)↑2) + ((𝑋‘1)↑2)) = (𝑅↑2)))
29	28	elrab 3648	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘0)↑2) + ((𝑝‘1)↑2)) = (𝑅↑2)} ↔ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ (((𝑋‘0)↑2) + ((𝑋‘1)↑2)) = (𝑅↑2)))
30		3simpa 1166	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)))
31	30	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)))
32		simpl3 1212	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷))
33	6, 8	rrx2pxel 50154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘0) ∈ ℝ)
34	6, 8	rrx2pyel 50155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
35	33, 34	jca 521	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → ((𝑋‘0) ∈ ℝ ∧ (𝑋‘1) ∈ ℝ))
36	35	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → ((𝑋‘0) ∈ ℝ ∧ (𝑋‘1) ∈ ℝ))
37		itsclc0.q	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
38		itsclc0.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
39	37, 38	itsclc0xyqsol 50211	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ ((𝑋‘0) ∈ ℝ ∧ (𝑋‘1) ∈ ℝ)) → (((((𝑋‘0)↑2) + ((𝑋‘1)↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · (𝑋‘0)) + (𝐵 · (𝑋‘1))) = 𝐶) → (((𝑋‘0) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘1) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑋‘0) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘1) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))))
40	31, 32, 36, 39	syl3anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → (((((𝑋‘0)↑2) + ((𝑋‘1)↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · (𝑋‘0)) + (𝐵 · (𝑋‘1))) = 𝐶) → (((𝑋‘0) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘1) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑋‘0) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘1) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))))
41	40	expcomd 422	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → (((𝐴 · (𝑋‘0)) + (𝐵 · (𝑋‘1))) = 𝐶 → ((((𝑋‘0)↑2) + ((𝑋‘1)↑2)) = (𝑅↑2) → (((𝑋‘0) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘1) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑋‘0) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘1) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))))
42	41	expimpd 459	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 · (𝑋‘0)) + (𝐵 · (𝑋‘1))) = 𝐶) → ((((𝑋‘0)↑2) + ((𝑋‘1)↑2)) = (𝑅↑2) → (((𝑋‘0) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘1) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑋‘0) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘1) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))))
43	42	com23 87	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((((𝑋‘0)↑2) + ((𝑋‘1)↑2)) = (𝑅↑2) → ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 · (𝑋‘0)) + (𝐵 · (𝑋‘1))) = 𝐶) → (((𝑋‘0) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘1) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑋‘0) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘1) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))))
44	43	adantld 496	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ (((𝑋‘0)↑2) + ((𝑋‘1)↑2)) = (𝑅↑2)) → ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 · (𝑋‘0)) + (𝐵 · (𝑋‘1))) = 𝐶) → (((𝑋‘0) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘1) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑋‘0) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘1) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))))
45	29, 44	biimtrid 245	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑋 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘0)↑2) + ((𝑝‘1)↑2)) = (𝑅↑2)} → ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 · (𝑋‘0)) + (𝐵 · (𝑋‘1))) = 𝐶) → (((𝑋‘0) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘1) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑋‘0) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘1) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))))
46	45	impd 416	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑋 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘0)↑2) + ((𝑝‘1)↑2)) = (𝑅↑2)} ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 · (𝑋‘0)) + (𝐵 · (𝑋‘1))) = 𝐶)) → (((𝑋‘0) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘1) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑋‘0) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘1) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))))
47	24, 46	sylbid 243	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑋 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) → (((𝑋‘0) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘1) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑋‘0) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘1) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  {crab 3416   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ↑_m cmap 8885  ℝcr 11238  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   · cmul 11244  +∞cpnf 11379   ≤ cle 11383   − cmin 11580   / cdiv 12013  2c2 12437  ℝ⁺crp 13160  [,)cico 13518  ..^cfzo 13828  ↑cexp 14244  ⟨“cs2 15034  √csqrt 15443  ℝ^crrx 25759  Spherecsph 50172

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317  ax-addf 11318  ax-mulf 11319

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-tpos 8281  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-map 8887  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-sup 9471  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-rp 13161  df-xneg 13281  df-xadd 13282  df-xmul 13283  df-ico 13522  df-icc 13523  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-seq 14185  df-exp 14245  df-hash 14516  df-word 14700  df-concat 14757  df-s1 14784  df-s2 15041  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-clim 15699  df-sum 15898  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-starv 17488  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-unif 17496  df-hom 17497  df-cco 17498  df-euf 17499  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-prds 17668  df-pws 17670  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-mhm 19028  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-subg 19383  df-ghm 19478  df-cntz 19582  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-cring 20513  df-oppr 20618  df-dvdsr 20638  df-unit 20639  df-invr 20669  df-dvr 20682  df-rhm 20753  df-subrng 20849  df-subrg 20873  df-drng 21033  df-field 21034  df-staf 21147  df-srng 21148  df-lmod 21188  df-lss 21258  df-sra 21499  df-rgmod 21500  df-xmet 21722  df-met 21723  df-cnfld 21730  df-refld 21966  df-dsmm 22093  df-frlm 22108  df-nm 24956  df-tng 24958  df-tcph 25545  df-rrx 25761  df-ehl 25762  df-sph 50174

This theorem is used by:  itsclinecirc0  50216