Theorem itsclc0 49262

Description: The intersection points of a line 𝐿 and a circle around the origin. (Contributed by AV, 25-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
itsclc0.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
itsclc0.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
itsclc0.p	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
itsclc0.s	⊢ 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
itsclc0.0	⊢ 0 = (𝐼 × {0})
itsclc0.q	⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
itsclc0.d	⊢ 𝐷 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
itsclc0.l	⊢ 𝐿 = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶}

Assertion

Ref	Expression
itsclc0	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑋 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) → (((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐶,𝑝   𝐸,𝑝   𝐼,𝑝   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝   𝑋,𝑝   0 ,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑝)   𝑄(𝑝)   𝑆(𝑝)   𝐿(𝑝)

Proof of Theorem itsclc0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rprege0 12952	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅))
2		elrege0 13401	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅))
3	1, 2	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 𝑅 ∈ (0[,)+∞))
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝑅 ∈ (0[,)+∞))
5	4	3ad2ant3 1136	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝑅 ∈ (0[,)+∞))
6		itsclc0.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
7		itsclc0.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
8		itsclc0.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
9		itsclc0.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
10		itsclc0.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (𝐼 × {0})
11		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)}
12	6, 7, 8, 9, 10, 11	2sphere0 49241	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → ( 0 𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)})
13	12	eleq2d 2823	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → (𝑋 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ↔ 𝑋 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)}))
14	5, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑋 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ↔ 𝑋 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)}))
15		fveq1 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑋 → (𝑝‘1) = (𝑋‘1))
16	15	oveq2d 7377	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑋 → (𝐴 · (𝑝‘1)) = (𝐴 · (𝑋‘1)))
17		fveq1 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑋 → (𝑝‘2) = (𝑋‘2))
18	17	oveq2d 7377	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑋 → (𝐵 · (𝑝‘2)) = (𝐵 · (𝑋‘2)))
19	16, 18	oveq12d 7379	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑋 → ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = ((𝐴 · (𝑋‘1)) + (𝐵 · (𝑋‘2))))
20	19	eqeq1d 2739	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑋 → (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ ((𝐴 · (𝑋‘1)) + (𝐵 · (𝑋‘2))) = 𝐶))
21		itsclc0.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶}
22	20, 21	elrab2 3638	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐿 ↔ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 · (𝑋‘1)) + (𝐵 · (𝑋‘2))) = 𝐶))
23	22	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑋 ∈ 𝐿 ↔ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 · (𝑋‘1)) + (𝐵 · (𝑋‘2))) = 𝐶)))
24	14, 23	anbi12d 633	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑋 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) ↔ (𝑋 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)} ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 · (𝑋‘1)) + (𝐵 · (𝑋‘2))) = 𝐶))))
25	15	oveq1d 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑋 → ((𝑝‘1)↑2) = ((𝑋‘1)↑2))
26	17	oveq1d 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑋 → ((𝑝‘2)↑2) = ((𝑋‘2)↑2))
27	25, 26	oveq12d 7379	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑋 → (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)))
28	27	eqeq1d 2739	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑋 → ((((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2) ↔ (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) = (𝑅↑2)))
29	28	elrab 3635	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)} ↔ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) = (𝑅↑2)))
30		3simpa 1149	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)))
31	30	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)))
32		simpl3 1195	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷))
33	6, 8	rrx2pxel 49202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
34	6, 8	rrx2pyel 49203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
35	33, 34	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → ((𝑋‘1) ∈ ℝ ∧ (𝑋‘2) ∈ ℝ))
36	35	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → ((𝑋‘1) ∈ ℝ ∧ (𝑋‘2) ∈ ℝ))
37		itsclc0.q	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
38		itsclc0.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
39	37, 38	itsclc0xyqsol 49259	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ ((𝑋‘1) ∈ ℝ ∧ (𝑋‘2) ∈ ℝ)) → (((((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · (𝑋‘1)) + (𝐵 · (𝑋‘2))) = 𝐶) → (((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))))
40	31, 32, 36, 39	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → (((((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · (𝑋‘1)) + (𝐵 · (𝑋‘2))) = 𝐶) → (((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))))
41	40	expcomd 416	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → (((𝐴 · (𝑋‘1)) + (𝐵 · (𝑋‘2))) = 𝐶 → ((((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) = (𝑅↑2) → (((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))))
42	41	expimpd 453	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 · (𝑋‘1)) + (𝐵 · (𝑋‘2))) = 𝐶) → ((((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) = (𝑅↑2) → (((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))))
43	42	com23 86	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) = (𝑅↑2) → ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 · (𝑋‘1)) + (𝐵 · (𝑋‘2))) = 𝐶) → (((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))))
44	43	adantld 490	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) = (𝑅↑2)) → ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 · (𝑋‘1)) + (𝐵 · (𝑋‘2))) = 𝐶) → (((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))))
45	29, 44	biimtrid 242	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑋 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)} → ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 · (𝑋‘1)) + (𝐵 · (𝑋‘2))) = 𝐶) → (((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))))
46	45	impd 410	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑋 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)} ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 · (𝑋‘1)) + (𝐵 · (𝑋‘2))) = 𝐶)) → (((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))))
47	24, 46	sylbid 240	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑋 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) → (((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  {crab 3390  {csn 4568  {cpr 4570   class class class wbr 5086   × cxp 5623  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   ↑_m cmap 8767  ℝcr 11031  0cc0 11032  1c1 11033   + caddc 11035   · cmul 11037  +∞cpnf 11170   ≤ cle 11174   − cmin 11371   / cdiv 11801  2c2 12230  ℝ⁺crp 12936  [,)cico 13294  ↑cexp 14017  √csqrt 15189  ℝ^crrx 25363  Spherecsph 49219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-inf2 9556  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110  ax-addf 11111  ax-mulf 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8105  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-rp 12937  df-xneg 13057  df-xadd 13058  df-xmul 13059  df-ico 13298  df-icc 13299  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-seq 13958  df-exp 14018  df-hash 14287  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-clim 15444  df-sum 15643  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-starv 17229  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-unif 17237  df-hom 17238  df-cco 17239  df-0g 17398  df-gsum 17399  df-prds 17404  df-pws 17406  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-mhm 18745  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-subg 19093  df-ghm 19182  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-ring 20210  df-cring 20211  df-oppr 20311  df-dvdsr 20331  df-unit 20332  df-invr 20362  df-dvr 20375  df-rhm 20446  df-subrng 20517  df-subrg 20541  df-drng 20702  df-field 20703  df-staf 20810  df-srng 20811  df-lmod 20851  df-lss 20921  df-sra 21163  df-rgmod 21164  df-xmet 21340  df-met 21341  df-cnfld 21348  df-refld 21598  df-dsmm 21725  df-frlm 21740  df-nm 24560  df-tng 24562  df-tcph 25149  df-rrx 25365  df-ehl 25366  df-sph 49221

This theorem is referenced by:  itsclinecirc0  49264