Theorem itsclc0 49390

Description: The intersection points of a line 𝐿 and a circle around the origin. (Contributed by AV, 25-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
itsclc0.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
itsclc0.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
itsclc0.p	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
itsclc0.s	⊢ 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
itsclc0.0	⊢ 0 = (𝐼 × {0})
itsclc0.q	⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
itsclc0.d	⊢ 𝐷 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
itsclc0.l	⊢ 𝐿 = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶}

Assertion

Ref	Expression
itsclc0	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑋 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) → (((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐶,𝑝   𝐸,𝑝   𝐼,𝑝   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝   𝑋,𝑝   0 ,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑝)   𝑄(𝑝)   𝑆(𝑝)   𝐿(𝑝)

Proof of Theorem itsclc0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rprege0 13009	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅))
2		elrege0 13458	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅))
3	1, 2	sylibr 236	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 𝑅 ∈ (0[,)+∞))
4	3	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝑅 ∈ (0[,)+∞))
5	4	3ad2ant3 1148	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝑅 ∈ (0[,)+∞))
6		itsclc0.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
7		itsclc0.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
8		itsclc0.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
9		itsclc0.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
10		itsclc0.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (𝐼 × {0})
11		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)}
12	6, 7, 8, 9, 10, 11	2sphere0 49369	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → ( 0 𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)})
13	12	eleq2d 2848	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → (𝑋 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ↔ 𝑋 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)}))
14	5, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑋 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ↔ 𝑋 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)}))
15		fveq1 6866	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑋 → (𝑝‘1) = (𝑋‘1))
16	15	oveq2d 7412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑋 → (𝐴 · (𝑝‘1)) = (𝐴 · (𝑋‘1)))
17		fveq1 6866	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑋 → (𝑝‘2) = (𝑋‘2))
18	17	oveq2d 7412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑋 → (𝐵 · (𝑝‘2)) = (𝐵 · (𝑋‘2)))
19	16, 18	oveq12d 7414	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑋 → ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = ((𝐴 · (𝑋‘1)) + (𝐵 · (𝑋‘2))))
20	19	eqeq1d 2764	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑋 → (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ ((𝐴 · (𝑋‘1)) + (𝐵 · (𝑋‘2))) = 𝐶))
21		itsclc0.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶}
22	20, 21	elrab2 3654	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐿 ↔ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 · (𝑋‘1)) + (𝐵 · (𝑋‘2))) = 𝐶))
23	22	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑋 ∈ 𝐿 ↔ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 · (𝑋‘1)) + (𝐵 · (𝑋‘2))) = 𝐶)))
24	14, 23	anbi12d 641	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑋 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) ↔ (𝑋 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)} ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 · (𝑋‘1)) + (𝐵 · (𝑋‘2))) = 𝐶))))
25	15	oveq1d 7411	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑋 → ((𝑝‘1)↑2) = ((𝑋‘1)↑2))
26	17	oveq1d 7411	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑋 → ((𝑝‘2)↑2) = ((𝑋‘2)↑2))
27	25, 26	oveq12d 7414	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑋 → (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)))
28	27	eqeq1d 2764	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑋 → ((((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2) ↔ (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) = (𝑅↑2)))
29	28	elrab 3650	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)} ↔ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) = (𝑅↑2)))
30		3simpa 1161	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)))
31	30	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)))
32		simpl3 1207	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷))
33	6, 8	rrx2pxel 49330	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
34	6, 8	rrx2pyel 49331	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
35	33, 34	jca 519	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → ((𝑋‘1) ∈ ℝ ∧ (𝑋‘2) ∈ ℝ))
36	35	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → ((𝑋‘1) ∈ ℝ ∧ (𝑋‘2) ∈ ℝ))
37		itsclc0.q	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
38		itsclc0.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
39	37, 38	itsclc0xyqsol 49387	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ ((𝑋‘1) ∈ ℝ ∧ (𝑋‘2) ∈ ℝ)) → (((((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · (𝑋‘1)) + (𝐵 · (𝑋‘2))) = 𝐶) → (((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))))
40	31, 32, 36, 39	syl3anc 1390	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → (((((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · (𝑋‘1)) + (𝐵 · (𝑋‘2))) = 𝐶) → (((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))))
41	40	expcomd 420	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → (((𝐴 · (𝑋‘1)) + (𝐵 · (𝑋‘2))) = 𝐶 → ((((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) = (𝑅↑2) → (((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))))
42	41	expimpd 457	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 · (𝑋‘1)) + (𝐵 · (𝑋‘2))) = 𝐶) → ((((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) = (𝑅↑2) → (((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))))
43	42	com23 86	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) = (𝑅↑2) → ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 · (𝑋‘1)) + (𝐵 · (𝑋‘2))) = 𝐶) → (((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))))
44	43	adantld 494	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) = (𝑅↑2)) → ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 · (𝑋‘1)) + (𝐵 · (𝑋‘2))) = 𝐶) → (((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))))
45	29, 44	biimtrid 244	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑋 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)} → ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 · (𝑋‘1)) + (𝐵 · (𝑋‘2))) = 𝐶) → (((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))))
46	45	impd 414	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑋 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)} ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 · (𝑋‘1)) + (𝐵 · (𝑋‘2))) = 𝐶)) → (((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))))
47	24, 46	sylbid 242	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑋 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) → (((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  {crab 3414  {csn 4582  {cpr 4584   class class class wbr 5100   × cxp 5645  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   ↑_m cmap 8808  ℝcr 11072  0cc0 11073  1c1 11074   + caddc 11076   · cmul 11078  +∞cpnf 11213   ≤ cle 11217   − cmin 11414   / cdiv 11844  2c2 12272  ℝ⁺crp 12993  [,)cico 13351  ↑cexp 14074  √csqrt 15260  ℝ^crrx 25442  Spherecsph 49347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151  ax-addf 11152  ax-mulf 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-tpos 8206  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9308  df-sup 9388  df-oi 9458  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-rp 12994  df-xneg 13114  df-xadd 13115  df-xmul 13116  df-ico 13355  df-icc 13356  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-seq 14015  df-exp 14075  df-hash 14344  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-clim 15515  df-sum 15714  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-starv 17301  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-ip 17304  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-unif 17309  df-hom 17310  df-cco 17311  df-0g 17470  df-gsum 17471  df-prds 17476  df-pws 17478  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-mhm 18817  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-sbg 18980  df-subg 19165  df-ghm 19254  df-cntz 19357  df-cmn 19822  df-abl 19823  df-mgp 20187  df-rng 20199  df-ur 20228  df-ring 20281  df-cring 20282  df-oppr 20382  df-dvdsr 20402  df-unit 20403  df-invr 20433  df-dvr 20446  df-rhm 20517  df-subrng 20592  df-subrg 20616  df-drng 20777  df-field 20778  df-staf 20885  df-srng 20886  df-lmod 20926  df-lss 20996  df-sra 21237  df-rgmod 21238  df-xmet 21414  df-met 21415  df-cnfld 21422  df-refld 21654  df-dsmm 21781  df-frlm 21796  df-nm 24639  df-tng 24641  df-tcph 25228  df-rrx 25444  df-ehl 25445  df-sph 49349

This theorem is referenced by:  itsclinecirc0  49392