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Theorem itscnhlinecirc02plem3 45849
Description: Lemma 3 for itscnhlinecirc02p 45850. (Contributed by AV, 10-Mar-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
itscnhlinecirc02p.i 𝐼 = {1, 2}
itscnhlinecirc02p.e 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
itscnhlinecirc02p.p 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
itscnhlinecirc02p.s 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
itscnhlinecirc02p.0 0 = (𝐼 × {0})
itscnhlinecirc02p.l 𝐿 = (LineM𝐸)
itscnhlinecirc02p.d 𝐷 = (dist‘𝐸)
Assertion
Ref Expression
itscnhlinecirc02plem3 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → 0 < ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))↑2) − (4 · (((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2)))))))

Proof of Theorem itscnhlinecirc02plem3
StepHypRef Expression
1 itscnhlinecirc02p.i . . . . . 6 𝐼 = {1, 2}
2 itscnhlinecirc02p.p . . . . . 6 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
31, 2rrx2pxel 45776 . . . . 5 (𝑋𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
41, 2rrx2pyel 45777 . . . . 5 (𝑋𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
53, 4jca 515 . . . 4 (𝑋𝑃 → ((𝑋‘1) ∈ ℝ ∧ (𝑋‘2) ∈ ℝ))
653ad2ant1 1135 . . 3 ((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → ((𝑋‘1) ∈ ℝ ∧ (𝑋‘2) ∈ ℝ))
76adantr 484 . 2 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((𝑋‘1) ∈ ℝ ∧ (𝑋‘2) ∈ ℝ))
81, 2rrx2pxel 45776 . . . . 5 (𝑌𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
91, 2rrx2pyel 45777 . . . . 5 (𝑌𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
108, 9jca 515 . . . 4 (𝑌𝑃 → ((𝑌‘1) ∈ ℝ ∧ (𝑌‘2) ∈ ℝ))
11103ad2ant2 1136 . . 3 ((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → ((𝑌‘1) ∈ ℝ ∧ (𝑌‘2) ∈ ℝ))
1211adantr 484 . 2 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((𝑌‘1) ∈ ℝ ∧ (𝑌‘2) ∈ ℝ))
13 simpl3 1195 . 2 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))
14 rpre 12624 . . . 4 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ)
1514adantr 484 . . 3 ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅) → 𝑅 ∈ ℝ)
1615adantl 485 . 2 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ)
17 simpl1 1193 . . . . . 6 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑋𝑃)
18 itscnhlinecirc02p.e . . . . . . . 8 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
19 2nn0 12137 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
20 eqid 2739 . . . . . . . . . . 11 (𝔼hil‘2) = (𝔼hil‘2)
2120ehlval 24343 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℕ0 → (𝔼hil‘2) = (ℝ^‘(1...2)))
2219, 21ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝔼hil‘2) = (ℝ^‘(1...2))
23 fz12pr 13199 . . . . . . . . . . 11 (1...2) = {1, 2}
2423, 1eqtr4i 2770 . . . . . . . . . 10 (1...2) = 𝐼
2524fveq2i 6742 . . . . . . . . 9 (ℝ^‘(1...2)) = (ℝ^‘𝐼)
2622, 25eqtri 2767 . . . . . . . 8 (𝔼hil‘2) = (ℝ^‘𝐼)
2718, 26eqtr4i 2770 . . . . . . 7 𝐸 = (𝔼hil‘2)
281oveq2i 7246 . . . . . . . 8 (ℝ ↑m 𝐼) = (ℝ ↑m {1, 2})
292, 28eqtri 2767 . . . . . . 7 𝑃 = (ℝ ↑m {1, 2})
30 itscnhlinecirc02p.d . . . . . . 7 𝐷 = (dist‘𝐸)
31 itscnhlinecirc02p.0 . . . . . . . 8 0 = (𝐼 × {0})
321xpeq1i 5595 . . . . . . . 8 (𝐼 × {0}) = ({1, 2} × {0})
3331, 32eqtri 2767 . . . . . . 7 0 = ({1, 2} × {0})
3427, 29, 30, 33ehl2eudisval0 45790 . . . . . 6 (𝑋𝑃 → (𝑋𝐷 0 ) = (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))))
3517, 34syl 17 . . . . 5 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑋𝐷 0 ) = (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))))
3635breq1d 5080 . . . 4 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝑋𝐷 0 ) < 𝑅 ↔ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅))
37 rpge0 12629 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑅)
3814, 37sqrtsqd 15016 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ+ → (√‘(𝑅↑2)) = 𝑅)
3938eqcomd 2745 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 = (√‘(𝑅↑2)))
4039adantl 485 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑅 = (√‘(𝑅↑2)))
4140breq2d 5082 . . . . . . 7 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅 ↔ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < (√‘(𝑅↑2))))
4241biimpa 480 . . . . . 6 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < (√‘(𝑅↑2)))
4317, 3syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
4443adantr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
4544resqcld 13850 . . . . . . . 8 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → ((𝑋‘1)↑2) ∈ ℝ)
4617, 4syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
4746adantr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
4847resqcld 13850 . . . . . . . 8 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → ((𝑋‘2)↑2) ∈ ℝ)
4945, 48readdcld 10892 . . . . . . 7 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) ∈ ℝ)
5044sqge0d 13851 . . . . . . . 8 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → 0 ≤ ((𝑋‘1)↑2))
5147sqge0d 13851 . . . . . . . 8 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → 0 ≤ ((𝑋‘2)↑2))
5245, 48, 50, 51addge0d 11438 . . . . . . 7 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → 0 ≤ (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)))
5314adantl 485 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑅 ∈ ℝ)
5453adantr 484 . . . . . . . 8 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → 𝑅 ∈ ℝ)
5554resqcld 13850 . . . . . . 7 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
5654sqge0d 13851 . . . . . . 7 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → 0 ≤ (𝑅↑2))
5749, 52, 55, 56sqrtltd 15024 . . . . . 6 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → ((((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) < (𝑅↑2) ↔ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < (√‘(𝑅↑2))))
5842, 57mpbird 260 . . . . 5 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) < (𝑅↑2))
5958ex 416 . . . 4 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅 → (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) < (𝑅↑2)))
6036, 59sylbid 243 . . 3 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝑋𝐷 0 ) < 𝑅 → (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) < (𝑅↑2)))
6160impr 458 . 2 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) < (𝑅↑2))
62 eqid 2739 . . 3 ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
63 eqid 2739 . . 3 ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) = ((𝑋‘2) − (𝑌‘2))
64 eqid 2739 . . 3 (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))
6562, 63, 64itscnhlinecirc02plem2 45848 . 2 (((((𝑋‘1) ∈ ℝ ∧ (𝑋‘2) ∈ ℝ) ∧ ((𝑌‘1) ∈ ℝ ∧ (𝑌‘2) ∈ ℝ) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) < (𝑅↑2))) → 0 < ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))↑2) − (4 · (((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2)))))))
667, 12, 13, 16, 61, 65syl32anc 1380 1 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → 0 < ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))↑2) − (4 · (((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2112  wne 2943  {csn 4558  {cpr 4560   class class class wbr 5070   × cxp 5567  cfv 6401  (class class class)co 7235  m cmap 8532  cr 10758  0cc0 10759  1c1 10760   + caddc 10762   · cmul 10764   < clt 10897  cmin 11092  -cneg 11093  2c2 11915  4c4 11917  0cn0 12120  +crp 12616  ...cfz 13125  cexp 13667  csqrt 14829  distcds 16844  ℝ^crrx 24312  𝔼hilcehl 24313  LineMcline 45792  Spherecsph 45793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-rep 5196  ax-sep 5209  ax-nul 5216  ax-pow 5275  ax-pr 5339  ax-un 7545  ax-inf2 9286  ax-cnex 10815  ax-resscn 10816  ax-1cn 10817  ax-icn 10818  ax-addcl 10819  ax-addrcl 10820  ax-mulcl 10821  ax-mulrcl 10822  ax-mulcom 10823  ax-addass 10824  ax-mulass 10825  ax-distr 10826  ax-i2m1 10827  ax-1ne0 10828  ax-1rid 10829  ax-rnegex 10830  ax-rrecex 10831  ax-cnre 10832  ax-pre-lttri 10833  ax-pre-lttrn 10834  ax-pre-ltadd 10835  ax-pre-mulgt0 10836  ax-pre-sup 10837  ax-addf 10838  ax-mulf 10839
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4255  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5153  df-tr 5179  df-id 5472  df-eprel 5478  df-po 5486  df-so 5487  df-fr 5527  df-se 5528  df-we 5529  df-xp 5575  df-rel 5576  df-cnv 5577  df-co 5578  df-dm 5579  df-rn 5580  df-res 5581  df-ima 5582  df-pred 6179  df-ord 6237  df-on 6238  df-lim 6239  df-suc 6240  df-iota 6359  df-fun 6403  df-fn 6404  df-f 6405  df-f1 6406  df-fo 6407  df-f1o 6408  df-fv 6409  df-isom 6410  df-riota 7192  df-ov 7238  df-oprab 7239  df-mpo 7240  df-of 7491  df-om 7667  df-1st 7783  df-2nd 7784  df-supp 7928  df-tpos 7992  df-wrecs 8071  df-recs 8132  df-rdg 8170  df-1o 8226  df-er 8415  df-map 8534  df-ixp 8603  df-en 8651  df-dom 8652  df-sdom 8653  df-fin 8654  df-fsupp 9016  df-sup 9088  df-oi 9156  df-card 9585  df-pnf 10899  df-mnf 10900  df-xr 10901  df-ltxr 10902  df-le 10903  df-sub 11094  df-neg 11095  df-div 11520  df-nn 11861  df-2 11923  df-3 11924  df-4 11925  df-5 11926  df-6 11927  df-7 11928  df-8 11929  df-9 11930  df-n0 12121  df-z 12207  df-dec 12324  df-uz 12469  df-rp 12617  df-fz 13126  df-fzo 13269  df-seq 13607  df-exp 13668  df-hash 13930  df-cj 14695  df-re 14696  df-im 14697  df-sqrt 14831  df-abs 14832  df-clim 15082  df-sum 15283  df-struct 16733  df-sets 16750  df-slot 16768  df-ndx 16778  df-base 16794  df-ress 16818  df-plusg 16848  df-mulr 16849  df-starv 16850  df-sca 16851  df-vsca 16852  df-ip 16853  df-tset 16854  df-ple 16855  df-ds 16857  df-unif 16858  df-hom 16859  df-cco 16860  df-0g 16979  df-gsum 16980  df-prds 16985  df-pws 16987  df-mgm 18147  df-sgrp 18196  df-mnd 18207  df-mhm 18251  df-grp 18401  df-minusg 18402  df-sbg 18403  df-subg 18573  df-ghm 18653  df-cntz 18744  df-cmn 19205  df-abl 19206  df-mgp 19538  df-ur 19550  df-ring 19597  df-cring 19598  df-oppr 19674  df-dvdsr 19692  df-unit 19693  df-invr 19723  df-dvr 19734  df-rnghom 19768  df-drng 19802  df-field 19803  df-subrg 19831  df-staf 19914  df-srng 19915  df-lmod 19934  df-lss 20002  df-sra 20242  df-rgmod 20243  df-cnfld 20397  df-refld 20600  df-dsmm 20727  df-frlm 20742  df-nm 23512  df-tng 23514  df-tcph 24098  df-rrx 24314  df-ehl 24315
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