Theorem itscnhlinecirc02plem3 49260

Description: Lemma 3 for itscnhlinecirc02p 49261. (Contributed by AV, 10-Mar-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
itscnhlinecirc02p.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
itscnhlinecirc02p.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
itscnhlinecirc02p.p	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
itscnhlinecirc02p.s	⊢ 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
itscnhlinecirc02p.0	⊢ 0 = (𝐼 × {0})
itscnhlinecirc02p.l	⊢ 𝐿 = (LineM‘𝐸)
itscnhlinecirc02p.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
itscnhlinecirc02plem3	⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → 0 < ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))↑2) − (4 · (((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2)))))))

Proof of Theorem itscnhlinecirc02plem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itscnhlinecirc02p.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
2		itscnhlinecirc02p.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
3	1, 2	rrx2pxel 49187	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
4	1, 2	rrx2pyel 49188	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
5	3, 4	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → ((𝑋‘1) ∈ ℝ ∧ (𝑋‘2) ∈ ℝ))
6	5	3ad2ant1 1134	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → ((𝑋‘1) ∈ ℝ ∧ (𝑋‘2) ∈ ℝ))
7	6	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((𝑋‘1) ∈ ℝ ∧ (𝑋‘2) ∈ ℝ))
8	1, 2	rrx2pxel 49187	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
9	1, 2	rrx2pyel 49188	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
10	8, 9	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → ((𝑌‘1) ∈ ℝ ∧ (𝑌‘2) ∈ ℝ))
11	10	3ad2ant2 1135	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → ((𝑌‘1) ∈ ℝ ∧ (𝑌‘2) ∈ ℝ))
12	11	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((𝑌‘1) ∈ ℝ ∧ (𝑌‘2) ∈ ℝ))
13		simpl3 1195	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))
14		rpre 12951	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 𝑅 ∈ ℝ)
15	14	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅) → 𝑅 ∈ ℝ)
16	15	adantl 481	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ)
17		simpl1 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ 𝑃)
18		itscnhlinecirc02p.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
19		2nn0 12454	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
20		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝔼hil‘2) = (𝔼hil‘2)
21	20	ehlval 25381	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℕ0 → (𝔼hil‘2) = (ℝ^‘(1...2)))
22	19, 21	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝔼hil‘2) = (ℝ^‘(1...2))
23		fz12pr 13535	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1...2) = {1, 2}
24	23, 1	eqtr4i 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1...2) = 𝐼
25	24	fveq2i 6843	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ^‘(1...2)) = (ℝ^‘𝐼)
26	22, 25	eqtri 2759	. . . . . . . 8 ⊢ (𝔼hil‘2) = (ℝ^‘𝐼)
27	18, 26	eqtr4i 2762	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘2)
28	1	oveq2i 7378	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ ↑m 𝐼) = (ℝ ↑m {1, 2})
29	2, 28	eqtri 2759	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m {1, 2})
30		itscnhlinecirc02p.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)
31		itscnhlinecirc02p.0	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (𝐼 × {0})
32	1	xpeq1i 5657	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 × {0}) = ({1, 2} × {0})
33	31, 32	eqtri 2759	. . . . . . 7 ⊢ 0 = ({1, 2} × {0})
34	27, 29, 30, 33	ehl2eudisval0 49201	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋𝐷 0 ) = (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))))
35	17, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑋𝐷 0 ) = (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))))
36	35	breq1d 5095	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝑋𝐷 0 ) < 𝑅 ↔ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅))
37		rpge0 12956	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑅)
38	14, 37	sqrtsqd 15382	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → (√‘(𝑅↑2)) = 𝑅)
39	38	eqcomd 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 𝑅 = (√‘(𝑅↑2)))
40	39	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑅 = (√‘(𝑅↑2)))
41	40	breq2d 5097	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅 ↔ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < (√‘(𝑅↑2))))
42	41	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < (√‘(𝑅↑2)))
43	17, 3	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
44	43	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
45	44	resqcld 14087	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → ((𝑋‘1)↑2) ∈ ℝ)
46	17, 4	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
47	46	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
48	47	resqcld 14087	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → ((𝑋‘2)↑2) ∈ ℝ)
49	45, 48	readdcld 11174	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) ∈ ℝ)
50	44	sqge0d 14099	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → 0 ≤ ((𝑋‘1)↑2))
51	47	sqge0d 14099	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → 0 ≤ ((𝑋‘2)↑2))
52	45, 48, 50, 51	addge0d 11726	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → 0 ≤ (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)))
53	14	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑅 ∈ ℝ)
54	53	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → 𝑅 ∈ ℝ)
55	54	resqcld 14087	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
56	54	sqge0d 14099	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → 0 ≤ (𝑅↑2))
57	49, 52, 55, 56	sqrtltd 15390	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → ((((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) < (𝑅↑2) ↔ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < (√‘(𝑅↑2))))
58	42, 57	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) < (𝑅↑2))
59	58	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅 → (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) < (𝑅↑2)))
60	36, 59	sylbid 240	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝑋𝐷 0 ) < 𝑅 → (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) < (𝑅↑2)))
61	60	impr 454	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) < (𝑅↑2))
62		eqid 2736	. . 3 ⊢ ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
63		eqid 2736	. . 3 ⊢ ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) = ((𝑋‘2) − (𝑌‘2))
64		eqid 2736	. . 3 ⊢ (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))
65	62, 63, 64	itscnhlinecirc02plem2 49259	. 2 ⊢ (((((𝑋‘1) ∈ ℝ ∧ (𝑋‘2) ∈ ℝ) ∧ ((𝑌‘1) ∈ ℝ ∧ (𝑌‘2) ∈ ℝ) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) < (𝑅↑2))) → 0 < ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))↑2) − (4 · (((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2)))))))
66	7, 12, 13, 16, 61, 65	syl32anc 1381	1 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → 0 < ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))↑2) − (4 · (((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2)))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  {csn 4567  {cpr 4569   class class class wbr 5085   × cxp 5629  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ↑_m cmap 8773  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   < clt 11179   − cmin 11377  -cneg 11378  2c2 12236  4c4 12238  ℕ₀cn0 12437  ℝ⁺crp 12942  ...cfz 13461  ↑cexp 14023  √csqrt 15195  distcds 17229  ℝ^crrx 25350  𝔼_hilcehl 25351  Line_Mcline 49203  Spherecsph 49204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-sup 9355  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-sum 15649  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18751  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-subg 19099  df-ghm 19188  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-cring 20217  df-oppr 20317  df-dvdsr 20337  df-unit 20338  df-invr 20368  df-dvr 20381  df-rhm 20452  df-subrng 20523  df-subrg 20547  df-drng 20708  df-field 20709  df-staf 20816  df-srng 20817  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-sra 21168  df-rgmod 21169  df-cnfld 21353  df-refld 21585  df-dsmm 21712  df-frlm 21727  df-nm 24547  df-tng 24549  df-tcph 25136  df-rrx 25352  df-ehl 25353

This theorem is referenced by:  itscnhlinecirc02p  49261