Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itscnhlinecirc02plem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itscnhlinecirc02plem3 47470
Description: Lemma 3 for itscnhlinecirc02p 47471. (Contributed by AV, 10-Mar-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
itscnhlinecirc02p.i 𝐼 = {1, 2}
itscnhlinecirc02p.e 𝐸 = (ℝ^β€˜πΌ)
itscnhlinecirc02p.p 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
itscnhlinecirc02p.s 𝑆 = (Sphereβ€˜πΈ)
itscnhlinecirc02p.0 0 = (𝐼 Γ— {0})
itscnhlinecirc02p.l 𝐿 = (LineMβ€˜πΈ)
itscnhlinecirc02p.d 𝐷 = (distβ€˜πΈ)
Assertion
Ref Expression
itscnhlinecirc02plem3 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ 0 < ((-(2 Β· (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))))↑2) βˆ’ (4 Β· (((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) + (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))↑2)) Β· (((((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))↑2) βˆ’ ((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) Β· (𝑅↑2)))))))

Proof of Theorem itscnhlinecirc02plem3
StepHypRef Expression
1 itscnhlinecirc02p.i . . . . . 6 𝐼 = {1, 2}
2 itscnhlinecirc02p.p . . . . . 6 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
31, 2rrx2pxel 47397 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ (π‘‹β€˜1) ∈ ℝ)
41, 2rrx2pyel 47398 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ)
53, 4jca 513 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ ((π‘‹β€˜1) ∈ ℝ ∧ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ))
653ad2ant1 1134 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) β†’ ((π‘‹β€˜1) ∈ ℝ ∧ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ))
76adantr 482 . 2 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ ((π‘‹β€˜1) ∈ ℝ ∧ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ))
81, 2rrx2pxel 47397 . . . . 5 (π‘Œ ∈ 𝑃 β†’ (π‘Œβ€˜1) ∈ ℝ)
91, 2rrx2pyel 47398 . . . . 5 (π‘Œ ∈ 𝑃 β†’ (π‘Œβ€˜2) ∈ ℝ)
108, 9jca 513 . . . 4 (π‘Œ ∈ 𝑃 β†’ ((π‘Œβ€˜1) ∈ ℝ ∧ (π‘Œβ€˜2) ∈ ℝ))
11103ad2ant2 1135 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) β†’ ((π‘Œβ€˜1) ∈ ℝ ∧ (π‘Œβ€˜2) ∈ ℝ))
1211adantr 482 . 2 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ ((π‘Œβ€˜1) ∈ ℝ ∧ (π‘Œβ€˜2) ∈ ℝ))
13 simpl3 1194 . 2 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2))
14 rpre 12982 . . . 4 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
1514adantr 482 . . 3 ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
1615adantl 483 . 2 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
17 simpl1 1192 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
18 itscnhlinecirc02p.e . . . . . . . 8 𝐸 = (ℝ^β€˜πΌ)
19 2nn0 12489 . . . . . . . . . 10 2 ∈ β„•0
20 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (𝔼hilβ€˜2) = (𝔼hilβ€˜2)
2120ehlval 24931 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ β„•0 β†’ (𝔼hilβ€˜2) = (ℝ^β€˜(1...2)))
2219, 21ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝔼hilβ€˜2) = (ℝ^β€˜(1...2))
23 fz12pr 13558 . . . . . . . . . . 11 (1...2) = {1, 2}
2423, 1eqtr4i 2764 . . . . . . . . . 10 (1...2) = 𝐼
2524fveq2i 6895 . . . . . . . . 9 (ℝ^β€˜(1...2)) = (ℝ^β€˜πΌ)
2622, 25eqtri 2761 . . . . . . . 8 (𝔼hilβ€˜2) = (ℝ^β€˜πΌ)
2718, 26eqtr4i 2764 . . . . . . 7 𝐸 = (𝔼hilβ€˜2)
281oveq2i 7420 . . . . . . . 8 (ℝ ↑m 𝐼) = (ℝ ↑m {1, 2})
292, 28eqtri 2761 . . . . . . 7 𝑃 = (ℝ ↑m {1, 2})
30 itscnhlinecirc02p.d . . . . . . 7 𝐷 = (distβ€˜πΈ)
31 itscnhlinecirc02p.0 . . . . . . . 8 0 = (𝐼 Γ— {0})
321xpeq1i 5703 . . . . . . . 8 (𝐼 Γ— {0}) = ({1, 2} Γ— {0})
3331, 32eqtri 2761 . . . . . . 7 0 = ({1, 2} Γ— {0})
3427, 29, 30, 33ehl2eudisval0 47411 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ (𝑋𝐷 0 ) = (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))))
3517, 34syl 17 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝑋𝐷 0 ) = (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))))
3635breq1d 5159 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑋𝐷 0 ) < 𝑅 ↔ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅))
37 rpge0 12987 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ 0 ≀ 𝑅)
3814, 37sqrtsqd 15366 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ (βˆšβ€˜(𝑅↑2)) = 𝑅)
3938eqcomd 2739 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ 𝑅 = (βˆšβ€˜(𝑅↑2)))
4039adantl 483 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝑅 = (βˆšβ€˜(𝑅↑2)))
4140breq2d 5161 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ ((βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅 ↔ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < (βˆšβ€˜(𝑅↑2))))
4241biimpa 478 . . . . . 6 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅) β†’ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < (βˆšβ€˜(𝑅↑2)))
4317, 3syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (π‘‹β€˜1) ∈ ℝ)
4443adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅) β†’ (π‘‹β€˜1) ∈ ℝ)
4544resqcld 14090 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅) β†’ ((π‘‹β€˜1)↑2) ∈ ℝ)
4617, 4syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ)
4746adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅) β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ)
4847resqcld 14090 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅) β†’ ((π‘‹β€˜2)↑2) ∈ ℝ)
4945, 48readdcld 11243 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅) β†’ (((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) ∈ ℝ)
5044sqge0d 14102 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅) β†’ 0 ≀ ((π‘‹β€˜1)↑2))
5147sqge0d 14102 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅) β†’ 0 ≀ ((π‘‹β€˜2)↑2))
5245, 48, 50, 51addge0d 11790 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅) β†’ 0 ≀ (((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)))
5314adantl 483 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
5453adantr 482 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
5554resqcld 14090 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅) β†’ (𝑅↑2) ∈ ℝ)
5654sqge0d 14102 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅) β†’ 0 ≀ (𝑅↑2))
5749, 52, 55, 56sqrtltd 15374 . . . . . 6 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅) β†’ ((((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) < (𝑅↑2) ↔ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < (βˆšβ€˜(𝑅↑2))))
5842, 57mpbird 257 . . . . 5 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅) β†’ (((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) < (𝑅↑2))
5958ex 414 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ ((βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅 β†’ (((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) < (𝑅↑2)))
6036, 59sylbid 239 . . 3 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑋𝐷 0 ) < 𝑅 β†’ (((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) < (𝑅↑2)))
6160impr 456 . 2 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ (((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) < (𝑅↑2))
62 eqid 2733 . . 3 ((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) = ((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))
63 eqid 2733 . . 3 ((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) = ((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))
64 eqid 2733 . . 3 (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2))) = (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))
6562, 63, 64itscnhlinecirc02plem2 47469 . 2 (((((π‘‹β€˜1) ∈ ℝ ∧ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ) ∧ ((π‘Œβ€˜1) ∈ ℝ ∧ (π‘Œβ€˜2) ∈ ℝ) ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ (((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) < (𝑅↑2))) β†’ 0 < ((-(2 Β· (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))))↑2) βˆ’ (4 Β· (((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) + (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))↑2)) Β· (((((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))↑2) βˆ’ ((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) Β· (𝑅↑2)))))))
667, 12, 13, 16, 61, 65syl32anc 1379 1 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ 0 < ((-(2 Β· (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))))↑2) βˆ’ (4 Β· (((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) + (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))↑2)) Β· (((((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))↑2) βˆ’ ((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) Β· (𝑅↑2)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  {csn 4629  {cpr 4631   class class class wbr 5149   Γ— cxp 5675  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑m cmap 8820  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   < clt 11248   βˆ’ cmin 11444  -cneg 11445  2c2 12267  4c4 12269  β„•0cn0 12472  β„+crp 12974  ...cfz 13484  β†‘cexp 14027  βˆšcsqrt 15180  distcds 17206  β„^crrx 24900  π”Όhilcehl 24901  LineMcline 47413  Spherecsph 47414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-prds 17393  df-pws 17395  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-subg 19003  df-ghm 19090  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-dvr 20215  df-rnghom 20251  df-subrg 20317  df-drng 20359  df-field 20360  df-staf 20453  df-srng 20454  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-cnfld 20945  df-refld 21158  df-dsmm 21287  df-frlm 21302  df-nm 24091  df-tng 24093  df-tcph 24686  df-rrx 24902  df-ehl 24903
This theorem is referenced by:  itscnhlinecirc02p  47471
  Copyright terms: Public domain W3C validator