Theorem itscnhlinecirc02plem3 50099

Description: Lemma 3 for itscnhlinecirc02p 50100. (Contributed by AV, 10-Mar-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
itscnhlinecirc02p.i	⊢ 𝐼 = (0..^2)
itscnhlinecirc02p.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
itscnhlinecirc02p.p	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
itscnhlinecirc02p.s	⊢ 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
itscnhlinecirc02p.0	⊢ 0 = (𝐼 × {0})
itscnhlinecirc02p.l	⊢ 𝐿 = (LineM‘𝐸)
itscnhlinecirc02p.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
itscnhlinecirc02plem3	⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → 0 < (( -(2 · (((𝑌‘0) − (𝑋‘0)) · (((𝑋‘1) · (𝑌‘0)) − ((𝑋‘0) · (𝑌‘1)))))↑2) − (4 · (((((𝑋‘1) − (𝑌‘1))↑2) + (((𝑌‘0) − (𝑋‘0))↑2)) · (((((𝑋‘1) · (𝑌‘0)) − ((𝑋‘0) · (𝑌‘1)))↑2) − ((((𝑋‘1) − (𝑌‘1))↑2) · (𝑅↑2)))))))

Proof of Theorem itscnhlinecirc02plem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itscnhlinecirc02p.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (0..^2)
2		itscnhlinecirc02p.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
3	1, 2	rrx2pxel 50026	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘0) ∈ ℝ)
4	1, 2	rrx2pyel 50027	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
5	3, 4	jca 521	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → ((𝑋‘0) ∈ ℝ ∧ (𝑋‘1) ∈ ℝ))
6	5	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → ((𝑋‘0) ∈ ℝ ∧ (𝑋‘1) ∈ ℝ))
7	6	adantr 486	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((𝑋‘0) ∈ ℝ ∧ (𝑋‘1) ∈ ℝ))
8	1, 2	rrx2pxel 50026	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘0) ∈ ℝ)
9	1, 2	rrx2pyel 50027	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
10	8, 9	jca 521	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → ((𝑌‘0) ∈ ℝ ∧ (𝑌‘1) ∈ ℝ))
11	10	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → ((𝑌‘0) ∈ ℝ ∧ (𝑌‘1) ∈ ℝ))
12	11	adantr 486	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((𝑌‘0) ∈ ℝ ∧ (𝑌‘1) ∈ ℝ))
13		simpl3 1212	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))
14		rpre 13153	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 𝑅 ∈ ℝ)
15	14	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅) → 𝑅 ∈ ℝ)
16	15	adantl 487	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ)
17		simpl1 1210	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ 𝑃)
18	1	eqcomi 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^2) = 𝐼
19	18	fveq2i 6908	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ^‘(0..^2)) = (ℝ^‘𝐼)
20		2nn0 12647	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
21		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝔼hil‘2) = (𝔼hil‘2)
22	21	ehlval 25762	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℕ0 → (𝔼hil‘2) = (ℝ^‘(0..^2)))
23	20, 22	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝔼hil‘2) = (ℝ^‘(0..^2))
24		itscnhlinecirc02p.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
25	19, 23, 24	3eqtr4ri 2797	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘2)
26	1	oveq2i 7451	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ ↑m 𝐼) = (ℝ ↑m (0..^2))
27	2, 26	eqtri 2786	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m (0..^2))
28		itscnhlinecirc02p.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)
29		itscnhlinecirc02p.0	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (𝐼 × {0})
30	1	xpeq1i 5681	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 × {0}) = ((0..^2) × {0})
31	29, 30	eqtri 2786	. . . . . . 7 ⊢ 0 = ((0..^2) × {0})
32	25, 27, 28, 31	ehl2eudisval0 50041	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋𝐷 0 ) = (√‘(((𝑋‘0)↑2) + ((𝑋‘1)↑2))))
33	17, 32	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑋𝐷 0 ) = (√‘(((𝑋‘0)↑2) + ((𝑋‘1)↑2))))
34	33	breq1d 5116	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝑋𝐷 0 ) < 𝑅 ↔ (√‘(((𝑋‘0)↑2) + ((𝑋‘1)↑2))) < 𝑅))
35		rpge0 13158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑅)
36	14, 35	sqrtsqd 15613	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → (√‘(𝑅↑2)) = 𝑅)
37	36	eqcomd 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 𝑅 = (√‘(𝑅↑2)))
38	37	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑅 = (√‘(𝑅↑2)))
39	38	breq2d 5118	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((√‘(((𝑋‘0)↑2) + ((𝑋‘1)↑2))) < 𝑅 ↔ (√‘(((𝑋‘0)↑2) + ((𝑋‘1)↑2))) < (√‘(𝑅↑2))))
40	39	biimpa 482	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘0)↑2) + ((𝑋‘1)↑2))) < 𝑅) → (√‘(((𝑋‘0)↑2) + ((𝑋‘1)↑2))) < (√‘(𝑅↑2)))
41	17, 3	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑋‘0) ∈ ℝ)
42	41	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘0)↑2) + ((𝑋‘1)↑2))) < 𝑅) → (𝑋‘0) ∈ ℝ)
43	42	resqcld 14292	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘0)↑2) + ((𝑋‘1)↑2))) < 𝑅) → ((𝑋‘0)↑2) ∈ ℝ)
44	17, 4	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
45	44	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘0)↑2) + ((𝑋‘1)↑2))) < 𝑅) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
46	45	resqcld 14292	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘0)↑2) + ((𝑋‘1)↑2))) < 𝑅) → ((𝑋‘1)↑2) ∈ ℝ)
47	43, 46	readdcld 11362	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘0)↑2) + ((𝑋‘1)↑2))) < 𝑅) → (((𝑋‘0)↑2) + ((𝑋‘1)↑2)) ∈ ℝ)
48	42	sqge0d 14304	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘0)↑2) + ((𝑋‘1)↑2))) < 𝑅) → 0 ≤ ((𝑋‘0)↑2))
49	45	sqge0d 14304	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘0)↑2) + ((𝑋‘1)↑2))) < 𝑅) → 0 ≤ ((𝑋‘1)↑2))
50	43, 46, 48, 49	addge0d 11916	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘0)↑2) + ((𝑋‘1)↑2))) < 𝑅) → 0 ≤ (((𝑋‘0)↑2) + ((𝑋‘1)↑2)))
51	14	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑅 ∈ ℝ)
52	51	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘0)↑2) + ((𝑋‘1)↑2))) < 𝑅) → 𝑅 ∈ ℝ)
53	52	resqcld 14292	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘0)↑2) + ((𝑋‘1)↑2))) < 𝑅) → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
54	52	sqge0d 14304	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘0)↑2) + ((𝑋‘1)↑2))) < 𝑅) → 0 ≤ (𝑅↑2))
55	47, 50, 53, 54	sqrtltd 15621	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘0)↑2) + ((𝑋‘1)↑2))) < 𝑅) → ((((𝑋‘0)↑2) + ((𝑋‘1)↑2)) < (𝑅↑2) ↔ (√‘(((𝑋‘0)↑2) + ((𝑋‘1)↑2))) < (√‘(𝑅↑2))))
56	40, 55	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘0)↑2) + ((𝑋‘1)↑2))) < 𝑅) → (((𝑋‘0)↑2) + ((𝑋‘1)↑2)) < (𝑅↑2))
57	56	ex 418	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((√‘(((𝑋‘0)↑2) + ((𝑋‘1)↑2))) < 𝑅 → (((𝑋‘0)↑2) + ((𝑋‘1)↑2)) < (𝑅↑2)))
58	34, 57	sylbid 243	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝑋𝐷 0 ) < 𝑅 → (((𝑋‘0)↑2) + ((𝑋‘1)↑2)) < (𝑅↑2)))
59	58	impr 460	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (((𝑋‘0)↑2) + ((𝑋‘1)↑2)) < (𝑅↑2))
60		eqid 2763	. . 3 ⊢ ((𝑌‘0) − (𝑋‘0)) = ((𝑌‘0) − (𝑋‘0))
61		eqid 2763	. . 3 ⊢ ((𝑋‘1) − (𝑌‘1)) = ((𝑋‘1) − (𝑌‘1))
62		eqid 2763	. . 3 ⊢ (((𝑋‘1) · (𝑌‘0)) − ((𝑋‘0) · (𝑌‘1))) = (((𝑋‘1) · (𝑌‘0)) − ((𝑋‘0) · (𝑌‘1)))
63	60, 61, 62	itscnhlinecirc02plem2 50098	. 2 ⊢ (((((𝑋‘0) ∈ ℝ ∧ (𝑋‘1) ∈ ℝ) ∧ ((𝑌‘0) ∈ ℝ ∧ (𝑌‘1) ∈ ℝ) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ (((𝑋‘0)↑2) + ((𝑋‘1)↑2)) < (𝑅↑2))) → 0 < (( -(2 · (((𝑌‘0) − (𝑋‘0)) · (((𝑋‘1) · (𝑌‘0)) − ((𝑋‘0) · (𝑌‘1)))))↑2) − (4 · (((((𝑋‘1) − (𝑌‘1))↑2) + (((𝑌‘0) − (𝑋‘0))↑2)) · (((((𝑋‘1) · (𝑌‘0)) − ((𝑋‘0) · (𝑌‘1)))↑2) − ((((𝑋‘1) − (𝑌‘1))↑2) · (𝑅↑2)))))))
64	7, 12, 13, 16, 59, 63	syl32anc 1406	1 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → 0 < (( -(2 · (((𝑌‘0) − (𝑋‘0)) · (((𝑋‘1) · (𝑌‘0)) − ((𝑋‘0) · (𝑌‘1)))))↑2) − (4 · (((((𝑋‘1) − (𝑌‘1))↑2) + (((𝑌‘0) − (𝑋‘0))↑2)) · (((((𝑋‘1) · (𝑌‘0)) − ((𝑋‘0) · (𝑌‘1)))↑2) − ((((𝑋‘1) − (𝑌‘1))↑2) · (𝑅↑2)))))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  {csn 4588   class class class wbr 5106   × cxp 5653  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440   ↑_m cmap 8872  ℝcr 11223  0cc0 11224  1c1 11225   + caddc 11227   · cmul 11229   < clt 11367   − cmin 11565   -cneg 11566  2c2 12421  4c4 12423  ℕ₀cn0 12630  ℝ⁺crp 13144  ..^cfzo 13812  ↑cexp 14228  √csqrt 15426  distcds 17463  ℝ^crrx 25731  𝔼_hilcehl 25732  Line_Mcline 50043  Spherecsph 50044

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-inf2 9666  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302  ax-addf 11303  ax-mulf 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-of 7714  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8202  df-tpos 8268  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-er 8742  df-map 8874  df-ixp 8951  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fsupp 9379  df-sup 9458  df-oi 9528  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-rp 13145  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-seq 14169  df-exp 14229  df-hash 14499  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-clim 15681  df-sum 15880  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-starv 17469  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-unif 17477  df-hom 17478  df-cco 17479  df-0g 17638  df-gsum 17639  df-prds 17644  df-pws 17646  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-mhm 19004  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-sbg 19175  df-subg 19359  df-ghm 19454  df-cntz 19558  df-cmn 20023  df-abl 20024  df-mgp 20388  df-rng 20402  df-ur 20435  df-ring 20488  df-cring 20489  df-oppr 20594  df-dvdsr 20614  df-unit 20615  df-invr 20645  df-dvr 20658  df-rhm 20729  df-subrng 20825  df-subrg 20849  df-drng 21009  df-field 21010  df-staf 21123  df-srng 21124  df-lmod 21164  df-lss 21234  df-sra 21475  df-rgmod 21476  df-cnfld 21706  df-refld 21938  df-dsmm 22065  df-frlm 22080  df-nm 24928  df-tng 24930  df-tcph 25517  df-rrx 25733  df-ehl 25734

This theorem is used by:  itscnhlinecirc02p  50100