Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itscnhlinecirc02plem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itscnhlinecirc02plem3 46960
Description: Lemma 3 for itscnhlinecirc02p 46961. (Contributed by AV, 10-Mar-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
itscnhlinecirc02p.i 𝐼 = {1, 2}
itscnhlinecirc02p.e 𝐸 = (ℝ^β€˜πΌ)
itscnhlinecirc02p.p 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
itscnhlinecirc02p.s 𝑆 = (Sphereβ€˜πΈ)
itscnhlinecirc02p.0 0 = (𝐼 Γ— {0})
itscnhlinecirc02p.l 𝐿 = (LineMβ€˜πΈ)
itscnhlinecirc02p.d 𝐷 = (distβ€˜πΈ)
Assertion
Ref Expression
itscnhlinecirc02plem3 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ 0 < ((-(2 Β· (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))))↑2) βˆ’ (4 Β· (((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) + (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))↑2)) Β· (((((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))↑2) βˆ’ ((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) Β· (𝑅↑2)))))))

Proof of Theorem itscnhlinecirc02plem3
StepHypRef Expression
1 itscnhlinecirc02p.i . . . . . 6 𝐼 = {1, 2}
2 itscnhlinecirc02p.p . . . . . 6 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
31, 2rrx2pxel 46887 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ (π‘‹β€˜1) ∈ ℝ)
41, 2rrx2pyel 46888 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ)
53, 4jca 513 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ ((π‘‹β€˜1) ∈ ℝ ∧ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ))
653ad2ant1 1134 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) β†’ ((π‘‹β€˜1) ∈ ℝ ∧ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ))
76adantr 482 . 2 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ ((π‘‹β€˜1) ∈ ℝ ∧ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ))
81, 2rrx2pxel 46887 . . . . 5 (π‘Œ ∈ 𝑃 β†’ (π‘Œβ€˜1) ∈ ℝ)
91, 2rrx2pyel 46888 . . . . 5 (π‘Œ ∈ 𝑃 β†’ (π‘Œβ€˜2) ∈ ℝ)
108, 9jca 513 . . . 4 (π‘Œ ∈ 𝑃 β†’ ((π‘Œβ€˜1) ∈ ℝ ∧ (π‘Œβ€˜2) ∈ ℝ))
11103ad2ant2 1135 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) β†’ ((π‘Œβ€˜1) ∈ ℝ ∧ (π‘Œβ€˜2) ∈ ℝ))
1211adantr 482 . 2 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ ((π‘Œβ€˜1) ∈ ℝ ∧ (π‘Œβ€˜2) ∈ ℝ))
13 simpl3 1194 . 2 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2))
14 rpre 12931 . . . 4 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
1514adantr 482 . . 3 ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
1615adantl 483 . 2 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
17 simpl1 1192 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
18 itscnhlinecirc02p.e . . . . . . . 8 𝐸 = (ℝ^β€˜πΌ)
19 2nn0 12438 . . . . . . . . . 10 2 ∈ β„•0
20 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (𝔼hilβ€˜2) = (𝔼hilβ€˜2)
2120ehlval 24801 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ β„•0 β†’ (𝔼hilβ€˜2) = (ℝ^β€˜(1...2)))
2219, 21ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝔼hilβ€˜2) = (ℝ^β€˜(1...2))
23 fz12pr 13507 . . . . . . . . . . 11 (1...2) = {1, 2}
2423, 1eqtr4i 2764 . . . . . . . . . 10 (1...2) = 𝐼
2524fveq2i 6849 . . . . . . . . 9 (ℝ^β€˜(1...2)) = (ℝ^β€˜πΌ)
2622, 25eqtri 2761 . . . . . . . 8 (𝔼hilβ€˜2) = (ℝ^β€˜πΌ)
2718, 26eqtr4i 2764 . . . . . . 7 𝐸 = (𝔼hilβ€˜2)
281oveq2i 7372 . . . . . . . 8 (ℝ ↑m 𝐼) = (ℝ ↑m {1, 2})
292, 28eqtri 2761 . . . . . . 7 𝑃 = (ℝ ↑m {1, 2})
30 itscnhlinecirc02p.d . . . . . . 7 𝐷 = (distβ€˜πΈ)
31 itscnhlinecirc02p.0 . . . . . . . 8 0 = (𝐼 Γ— {0})
321xpeq1i 5663 . . . . . . . 8 (𝐼 Γ— {0}) = ({1, 2} Γ— {0})
3331, 32eqtri 2761 . . . . . . 7 0 = ({1, 2} Γ— {0})
3427, 29, 30, 33ehl2eudisval0 46901 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ (𝑋𝐷 0 ) = (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))))
3517, 34syl 17 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝑋𝐷 0 ) = (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))))
3635breq1d 5119 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑋𝐷 0 ) < 𝑅 ↔ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅))
37 rpge0 12936 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ 0 ≀ 𝑅)
3814, 37sqrtsqd 15313 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ (βˆšβ€˜(𝑅↑2)) = 𝑅)
3938eqcomd 2739 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ 𝑅 = (βˆšβ€˜(𝑅↑2)))
4039adantl 483 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝑅 = (βˆšβ€˜(𝑅↑2)))
4140breq2d 5121 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ ((βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅 ↔ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < (βˆšβ€˜(𝑅↑2))))
4241biimpa 478 . . . . . 6 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅) β†’ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < (βˆšβ€˜(𝑅↑2)))
4317, 3syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (π‘‹β€˜1) ∈ ℝ)
4443adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅) β†’ (π‘‹β€˜1) ∈ ℝ)
4544resqcld 14039 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅) β†’ ((π‘‹β€˜1)↑2) ∈ ℝ)
4617, 4syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ)
4746adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅) β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ)
4847resqcld 14039 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅) β†’ ((π‘‹β€˜2)↑2) ∈ ℝ)
4945, 48readdcld 11192 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅) β†’ (((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) ∈ ℝ)
5044sqge0d 14051 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅) β†’ 0 ≀ ((π‘‹β€˜1)↑2))
5147sqge0d 14051 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅) β†’ 0 ≀ ((π‘‹β€˜2)↑2))
5245, 48, 50, 51addge0d 11739 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅) β†’ 0 ≀ (((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)))
5314adantl 483 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
5453adantr 482 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
5554resqcld 14039 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅) β†’ (𝑅↑2) ∈ ℝ)
5654sqge0d 14051 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅) β†’ 0 ≀ (𝑅↑2))
5749, 52, 55, 56sqrtltd 15321 . . . . . 6 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅) β†’ ((((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) < (𝑅↑2) ↔ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < (βˆšβ€˜(𝑅↑2))))
5842, 57mpbird 257 . . . . 5 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅) β†’ (((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) < (𝑅↑2))
5958ex 414 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ ((βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅 β†’ (((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) < (𝑅↑2)))
6036, 59sylbid 239 . . 3 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑋𝐷 0 ) < 𝑅 β†’ (((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) < (𝑅↑2)))
6160impr 456 . 2 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ (((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) < (𝑅↑2))
62 eqid 2733 . . 3 ((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) = ((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))
63 eqid 2733 . . 3 ((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) = ((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))
64 eqid 2733 . . 3 (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2))) = (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))
6562, 63, 64itscnhlinecirc02plem2 46959 . 2 (((((π‘‹β€˜1) ∈ ℝ ∧ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ) ∧ ((π‘Œβ€˜1) ∈ ℝ ∧ (π‘Œβ€˜2) ∈ ℝ) ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ (((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) < (𝑅↑2))) β†’ 0 < ((-(2 Β· (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))))↑2) βˆ’ (4 Β· (((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) + (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))↑2)) Β· (((((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))↑2) βˆ’ ((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) Β· (𝑅↑2)))))))
667, 12, 13, 16, 61, 65syl32anc 1379 1 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ 0 < ((-(2 Β· (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))))↑2) βˆ’ (4 Β· (((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) + (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))↑2)) Β· (((((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))↑2) βˆ’ ((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) Β· (𝑅↑2)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  {csn 4590  {cpr 4592   class class class wbr 5109   Γ— cxp 5635  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ↑m cmap 8771  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   Β· cmul 11064   < clt 11197   βˆ’ cmin 11393  -cneg 11394  2c2 12216  4c4 12218  β„•0cn0 12421  β„+crp 12923  ...cfz 13433  β†‘cexp 13976  βˆšcsqrt 15127  distcds 17150  β„^crrx 24770  π”Όhilcehl 24771  LineMcline 46903  Spherecsph 46904
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-sup 9386  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-sum 15580  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-prds 17337  df-pws 17339  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-subg 18933  df-ghm 19014  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-cring 19975  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-dvr 20120  df-rnghom 20156  df-drng 20221  df-field 20222  df-subrg 20262  df-staf 20347  df-srng 20348  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-sra 20678  df-rgmod 20679  df-cnfld 20820  df-refld 21032  df-dsmm 21161  df-frlm 21176  df-nm 23961  df-tng 23963  df-tcph 24556  df-rrx 24772  df-ehl 24773
This theorem is referenced by:  itscnhlinecirc02p  46961
  Copyright terms: Public domain W3C validator