Theorem itscnhlinecirc02plem3 49026

Description: Lemma 3 for itscnhlinecirc02p 49027. (Contributed by AV, 10-Mar-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
itscnhlinecirc02p.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
itscnhlinecirc02p.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
itscnhlinecirc02p.p	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
itscnhlinecirc02p.s	⊢ 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
itscnhlinecirc02p.0	⊢ 0 = (𝐼 × {0})
itscnhlinecirc02p.l	⊢ 𝐿 = (LineM‘𝐸)
itscnhlinecirc02p.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
itscnhlinecirc02plem3	⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → 0 < ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))↑2) − (4 · (((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2)))))))

Proof of Theorem itscnhlinecirc02plem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itscnhlinecirc02p.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
2		itscnhlinecirc02p.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
3	1, 2	rrx2pxel 48953	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
4	1, 2	rrx2pyel 48954	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
5	3, 4	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → ((𝑋‘1) ∈ ℝ ∧ (𝑋‘2) ∈ ℝ))
6	5	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → ((𝑋‘1) ∈ ℝ ∧ (𝑋‘2) ∈ ℝ))
7	6	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((𝑋‘1) ∈ ℝ ∧ (𝑋‘2) ∈ ℝ))
8	1, 2	rrx2pxel 48953	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
9	1, 2	rrx2pyel 48954	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
10	8, 9	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → ((𝑌‘1) ∈ ℝ ∧ (𝑌‘2) ∈ ℝ))
11	10	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → ((𝑌‘1) ∈ ℝ ∧ (𝑌‘2) ∈ ℝ))
12	11	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((𝑌‘1) ∈ ℝ ∧ (𝑌‘2) ∈ ℝ))
13		simpl3 1194	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))
14		rpre 12914	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 𝑅 ∈ ℝ)
15	14	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅) → 𝑅 ∈ ℝ)
16	15	adantl 481	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ)
17		simpl1 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ 𝑃)
18		itscnhlinecirc02p.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
19		2nn0 12418	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
20		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝔼hil‘2) = (𝔼hil‘2)
21	20	ehlval 25370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℕ0 → (𝔼hil‘2) = (ℝ^‘(1...2)))
22	19, 21	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝔼hil‘2) = (ℝ^‘(1...2))
23		fz12pr 13497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1...2) = {1, 2}
24	23, 1	eqtr4i 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1...2) = 𝐼
25	24	fveq2i 6837	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ^‘(1...2)) = (ℝ^‘𝐼)
26	22, 25	eqtri 2759	. . . . . . . 8 ⊢ (𝔼hil‘2) = (ℝ^‘𝐼)
27	18, 26	eqtr4i 2762	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘2)
28	1	oveq2i 7369	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ ↑m 𝐼) = (ℝ ↑m {1, 2})
29	2, 28	eqtri 2759	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m {1, 2})
30		itscnhlinecirc02p.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)
31		itscnhlinecirc02p.0	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (𝐼 × {0})
32	1	xpeq1i 5650	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 × {0}) = ({1, 2} × {0})
33	31, 32	eqtri 2759	. . . . . . 7 ⊢ 0 = ({1, 2} × {0})
34	27, 29, 30, 33	ehl2eudisval0 48967	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋𝐷 0 ) = (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))))
35	17, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑋𝐷 0 ) = (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))))
36	35	breq1d 5108	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝑋𝐷 0 ) < 𝑅 ↔ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅))
37		rpge0 12919	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑅)
38	14, 37	sqrtsqd 15343	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → (√‘(𝑅↑2)) = 𝑅)
39	38	eqcomd 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 𝑅 = (√‘(𝑅↑2)))
40	39	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑅 = (√‘(𝑅↑2)))
41	40	breq2d 5110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅 ↔ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < (√‘(𝑅↑2))))
42	41	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < (√‘(𝑅↑2)))
43	17, 3	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
44	43	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
45	44	resqcld 14048	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → ((𝑋‘1)↑2) ∈ ℝ)
46	17, 4	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
47	46	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
48	47	resqcld 14048	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → ((𝑋‘2)↑2) ∈ ℝ)
49	45, 48	readdcld 11161	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) ∈ ℝ)
50	44	sqge0d 14060	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → 0 ≤ ((𝑋‘1)↑2))
51	47	sqge0d 14060	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → 0 ≤ ((𝑋‘2)↑2))
52	45, 48, 50, 51	addge0d 11713	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → 0 ≤ (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)))
53	14	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑅 ∈ ℝ)
54	53	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → 𝑅 ∈ ℝ)
55	54	resqcld 14048	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
56	54	sqge0d 14060	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → 0 ≤ (𝑅↑2))
57	49, 52, 55, 56	sqrtltd 15351	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → ((((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) < (𝑅↑2) ↔ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < (√‘(𝑅↑2))))
58	42, 57	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) < (𝑅↑2))
59	58	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅 → (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) < (𝑅↑2)))
60	36, 59	sylbid 240	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝑋𝐷 0 ) < 𝑅 → (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) < (𝑅↑2)))
61	60	impr 454	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) < (𝑅↑2))
62		eqid 2736	. . 3 ⊢ ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
63		eqid 2736	. . 3 ⊢ ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) = ((𝑋‘2) − (𝑌‘2))
64		eqid 2736	. . 3 ⊢ (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))
65	62, 63, 64	itscnhlinecirc02plem2 49025	. 2 ⊢ (((((𝑋‘1) ∈ ℝ ∧ (𝑋‘2) ∈ ℝ) ∧ ((𝑌‘1) ∈ ℝ ∧ (𝑌‘2) ∈ ℝ) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) < (𝑅↑2))) → 0 < ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))↑2) − (4 · (((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2)))))))
66	7, 12, 13, 16, 61, 65	syl32anc 1380	1 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → 0 < ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))↑2) − (4 · (((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2)))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  {csn 4580  {cpr 4582   class class class wbr 5098   × cxp 5622  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ↑_m cmap 8763  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   · cmul 11031   < clt 11166   − cmin 11364  -cneg 11365  2c2 12200  4c4 12202  ℕ₀cn0 12401  ℝ⁺crp 12905  ...cfz 13423  ↑cexp 13984  √csqrt 15156  distcds 17186  ℝ^crrx 25339  𝔼_hilcehl 25340  Line_Mcline 48969  Spherecsph 48970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104  ax-addf 11105  ax-mulf 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-exp 13985  df-hash 14254  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-clim 15411  df-sum 15610  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-hom 17201  df-cco 17202  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-prds 17367  df-pws 17369  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18708  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19053  df-ghm 19142  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-cring 20171  df-oppr 20273  df-dvdsr 20293  df-unit 20294  df-invr 20324  df-dvr 20337  df-rhm 20408  df-subrng 20479  df-subrg 20503  df-drng 20664  df-field 20665  df-staf 20772  df-srng 20773  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-sra 21125  df-rgmod 21126  df-cnfld 21310  df-refld 21560  df-dsmm 21687  df-frlm 21702  df-nm 24526  df-tng 24528  df-tcph 25125  df-rrx 25341  df-ehl 25342

This theorem is referenced by:  itscnhlinecirc02p  49027