Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itscnhlinecirc02plem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itscnhlinecirc02plem3 47460
Description: Lemma 3 for itscnhlinecirc02p 47461. (Contributed by AV, 10-Mar-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
itscnhlinecirc02p.i 𝐼 = {1, 2}
itscnhlinecirc02p.e 𝐸 = (ℝ^β€˜πΌ)
itscnhlinecirc02p.p 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
itscnhlinecirc02p.s 𝑆 = (Sphereβ€˜πΈ)
itscnhlinecirc02p.0 0 = (𝐼 Γ— {0})
itscnhlinecirc02p.l 𝐿 = (LineMβ€˜πΈ)
itscnhlinecirc02p.d 𝐷 = (distβ€˜πΈ)
Assertion
Ref Expression
itscnhlinecirc02plem3 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ 0 < ((-(2 Β· (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))))↑2) βˆ’ (4 Β· (((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) + (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))↑2)) Β· (((((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))↑2) βˆ’ ((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) Β· (𝑅↑2)))))))

Proof of Theorem itscnhlinecirc02plem3
StepHypRef Expression
1 itscnhlinecirc02p.i . . . . . 6 𝐼 = {1, 2}
2 itscnhlinecirc02p.p . . . . . 6 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
31, 2rrx2pxel 47387 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ (π‘‹β€˜1) ∈ ℝ)
41, 2rrx2pyel 47388 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ)
53, 4jca 512 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ ((π‘‹β€˜1) ∈ ℝ ∧ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ))
653ad2ant1 1133 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) β†’ ((π‘‹β€˜1) ∈ ℝ ∧ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ))
76adantr 481 . 2 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ ((π‘‹β€˜1) ∈ ℝ ∧ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ))
81, 2rrx2pxel 47387 . . . . 5 (π‘Œ ∈ 𝑃 β†’ (π‘Œβ€˜1) ∈ ℝ)
91, 2rrx2pyel 47388 . . . . 5 (π‘Œ ∈ 𝑃 β†’ (π‘Œβ€˜2) ∈ ℝ)
108, 9jca 512 . . . 4 (π‘Œ ∈ 𝑃 β†’ ((π‘Œβ€˜1) ∈ ℝ ∧ (π‘Œβ€˜2) ∈ ℝ))
11103ad2ant2 1134 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) β†’ ((π‘Œβ€˜1) ∈ ℝ ∧ (π‘Œβ€˜2) ∈ ℝ))
1211adantr 481 . 2 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ ((π‘Œβ€˜1) ∈ ℝ ∧ (π‘Œβ€˜2) ∈ ℝ))
13 simpl3 1193 . 2 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2))
14 rpre 12981 . . . 4 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
1514adantr 481 . . 3 ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
1615adantl 482 . 2 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
17 simpl1 1191 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
18 itscnhlinecirc02p.e . . . . . . . 8 𝐸 = (ℝ^β€˜πΌ)
19 2nn0 12488 . . . . . . . . . 10 2 ∈ β„•0
20 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (𝔼hilβ€˜2) = (𝔼hilβ€˜2)
2120ehlval 24930 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ β„•0 β†’ (𝔼hilβ€˜2) = (ℝ^β€˜(1...2)))
2219, 21ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝔼hilβ€˜2) = (ℝ^β€˜(1...2))
23 fz12pr 13557 . . . . . . . . . . 11 (1...2) = {1, 2}
2423, 1eqtr4i 2763 . . . . . . . . . 10 (1...2) = 𝐼
2524fveq2i 6894 . . . . . . . . 9 (ℝ^β€˜(1...2)) = (ℝ^β€˜πΌ)
2622, 25eqtri 2760 . . . . . . . 8 (𝔼hilβ€˜2) = (ℝ^β€˜πΌ)
2718, 26eqtr4i 2763 . . . . . . 7 𝐸 = (𝔼hilβ€˜2)
281oveq2i 7419 . . . . . . . 8 (ℝ ↑m 𝐼) = (ℝ ↑m {1, 2})
292, 28eqtri 2760 . . . . . . 7 𝑃 = (ℝ ↑m {1, 2})
30 itscnhlinecirc02p.d . . . . . . 7 𝐷 = (distβ€˜πΈ)
31 itscnhlinecirc02p.0 . . . . . . . 8 0 = (𝐼 Γ— {0})
321xpeq1i 5702 . . . . . . . 8 (𝐼 Γ— {0}) = ({1, 2} Γ— {0})
3331, 32eqtri 2760 . . . . . . 7 0 = ({1, 2} Γ— {0})
3427, 29, 30, 33ehl2eudisval0 47401 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ (𝑋𝐷 0 ) = (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))))
3517, 34syl 17 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝑋𝐷 0 ) = (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))))
3635breq1d 5158 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑋𝐷 0 ) < 𝑅 ↔ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅))
37 rpge0 12986 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ 0 ≀ 𝑅)
3814, 37sqrtsqd 15365 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ (βˆšβ€˜(𝑅↑2)) = 𝑅)
3938eqcomd 2738 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ 𝑅 = (βˆšβ€˜(𝑅↑2)))
4039adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝑅 = (βˆšβ€˜(𝑅↑2)))
4140breq2d 5160 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ ((βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅 ↔ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < (βˆšβ€˜(𝑅↑2))))
4241biimpa 477 . . . . . 6 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅) β†’ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < (βˆšβ€˜(𝑅↑2)))
4317, 3syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (π‘‹β€˜1) ∈ ℝ)
4443adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅) β†’ (π‘‹β€˜1) ∈ ℝ)
4544resqcld 14089 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅) β†’ ((π‘‹β€˜1)↑2) ∈ ℝ)
4617, 4syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ)
4746adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅) β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ)
4847resqcld 14089 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅) β†’ ((π‘‹β€˜2)↑2) ∈ ℝ)
4945, 48readdcld 11242 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅) β†’ (((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) ∈ ℝ)
5044sqge0d 14101 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅) β†’ 0 ≀ ((π‘‹β€˜1)↑2))
5147sqge0d 14101 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅) β†’ 0 ≀ ((π‘‹β€˜2)↑2))
5245, 48, 50, 51addge0d 11789 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅) β†’ 0 ≀ (((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)))
5314adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
5453adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
5554resqcld 14089 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅) β†’ (𝑅↑2) ∈ ℝ)
5654sqge0d 14101 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅) β†’ 0 ≀ (𝑅↑2))
5749, 52, 55, 56sqrtltd 15373 . . . . . 6 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅) β†’ ((((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) < (𝑅↑2) ↔ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < (βˆšβ€˜(𝑅↑2))))
5842, 57mpbird 256 . . . . 5 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅) β†’ (((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) < (𝑅↑2))
5958ex 413 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ ((βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅 β†’ (((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) < (𝑅↑2)))
6036, 59sylbid 239 . . 3 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑋𝐷 0 ) < 𝑅 β†’ (((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) < (𝑅↑2)))
6160impr 455 . 2 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ (((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) < (𝑅↑2))
62 eqid 2732 . . 3 ((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) = ((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))
63 eqid 2732 . . 3 ((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) = ((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))
64 eqid 2732 . . 3 (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2))) = (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))
6562, 63, 64itscnhlinecirc02plem2 47459 . 2 (((((π‘‹β€˜1) ∈ ℝ ∧ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ) ∧ ((π‘Œβ€˜1) ∈ ℝ ∧ (π‘Œβ€˜2) ∈ ℝ) ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ (((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) < (𝑅↑2))) β†’ 0 < ((-(2 Β· (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))))↑2) βˆ’ (4 Β· (((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) + (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))↑2)) Β· (((((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))↑2) βˆ’ ((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) Β· (𝑅↑2)))))))
667, 12, 13, 16, 61, 65syl32anc 1378 1 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ 0 < ((-(2 Β· (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))))↑2) βˆ’ (4 Β· (((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) + (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))↑2)) Β· (((((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))↑2) βˆ’ ((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) Β· (𝑅↑2)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  {csn 4628  {cpr 4630   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ↑m cmap 8819  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   Β· cmul 11114   < clt 11247   βˆ’ cmin 11443  -cneg 11444  2c2 12266  4c4 12268  β„•0cn0 12471  β„+crp 12973  ...cfz 13483  β†‘cexp 14026  βˆšcsqrt 15179  distcds 17205  β„^crrx 24899  π”Όhilcehl 24900  LineMcline 47403  Spherecsph 47404
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-sum 15632  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-prds 17392  df-pws 17394  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-subg 19002  df-ghm 19089  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-dvr 20214  df-rnghom 20250  df-subrg 20316  df-drng 20358  df-field 20359  df-staf 20452  df-srng 20453  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-sra 20784  df-rgmod 20785  df-cnfld 20944  df-refld 21157  df-dsmm 21286  df-frlm 21301  df-nm 24090  df-tng 24092  df-tcph 24685  df-rrx 24901  df-ehl 24902
This theorem is referenced by:  itscnhlinecirc02p  47461
  Copyright terms: Public domain W3C validator