Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itscnhlinecirc02plem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itscnhlinecirc02plem3 47559
Description: Lemma 3 for itscnhlinecirc02p 47560. (Contributed by AV, 10-Mar-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
itscnhlinecirc02p.i 𝐼 = {1, 2}
itscnhlinecirc02p.e 𝐸 = (ℝ^β€˜πΌ)
itscnhlinecirc02p.p 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
itscnhlinecirc02p.s 𝑆 = (Sphereβ€˜πΈ)
itscnhlinecirc02p.0 0 = (𝐼 Γ— {0})
itscnhlinecirc02p.l 𝐿 = (LineMβ€˜πΈ)
itscnhlinecirc02p.d 𝐷 = (distβ€˜πΈ)
Assertion
Ref Expression
itscnhlinecirc02plem3 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ 0 < ((-(2 Β· (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))))↑2) βˆ’ (4 Β· (((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) + (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))↑2)) Β· (((((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))↑2) βˆ’ ((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) Β· (𝑅↑2)))))))

Proof of Theorem itscnhlinecirc02plem3
StepHypRef Expression
1 itscnhlinecirc02p.i . . . . . 6 𝐼 = {1, 2}
2 itscnhlinecirc02p.p . . . . . 6 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
31, 2rrx2pxel 47486 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ (π‘‹β€˜1) ∈ ℝ)
41, 2rrx2pyel 47487 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ)
53, 4jca 510 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ ((π‘‹β€˜1) ∈ ℝ ∧ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ))
653ad2ant1 1131 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) β†’ ((π‘‹β€˜1) ∈ ℝ ∧ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ))
76adantr 479 . 2 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ ((π‘‹β€˜1) ∈ ℝ ∧ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ))
81, 2rrx2pxel 47486 . . . . 5 (π‘Œ ∈ 𝑃 β†’ (π‘Œβ€˜1) ∈ ℝ)
91, 2rrx2pyel 47487 . . . . 5 (π‘Œ ∈ 𝑃 β†’ (π‘Œβ€˜2) ∈ ℝ)
108, 9jca 510 . . . 4 (π‘Œ ∈ 𝑃 β†’ ((π‘Œβ€˜1) ∈ ℝ ∧ (π‘Œβ€˜2) ∈ ℝ))
11103ad2ant2 1132 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) β†’ ((π‘Œβ€˜1) ∈ ℝ ∧ (π‘Œβ€˜2) ∈ ℝ))
1211adantr 479 . 2 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ ((π‘Œβ€˜1) ∈ ℝ ∧ (π‘Œβ€˜2) ∈ ℝ))
13 simpl3 1191 . 2 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2))
14 rpre 12988 . . . 4 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
1514adantr 479 . . 3 ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
1615adantl 480 . 2 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
17 simpl1 1189 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
18 itscnhlinecirc02p.e . . . . . . . 8 𝐸 = (ℝ^β€˜πΌ)
19 2nn0 12495 . . . . . . . . . 10 2 ∈ β„•0
20 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (𝔼hilβ€˜2) = (𝔼hilβ€˜2)
2120ehlval 25164 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ β„•0 β†’ (𝔼hilβ€˜2) = (ℝ^β€˜(1...2)))
2219, 21ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝔼hilβ€˜2) = (ℝ^β€˜(1...2))
23 fz12pr 13564 . . . . . . . . . . 11 (1...2) = {1, 2}
2423, 1eqtr4i 2761 . . . . . . . . . 10 (1...2) = 𝐼
2524fveq2i 6895 . . . . . . . . 9 (ℝ^β€˜(1...2)) = (ℝ^β€˜πΌ)
2622, 25eqtri 2758 . . . . . . . 8 (𝔼hilβ€˜2) = (ℝ^β€˜πΌ)
2718, 26eqtr4i 2761 . . . . . . 7 𝐸 = (𝔼hilβ€˜2)
281oveq2i 7424 . . . . . . . 8 (ℝ ↑m 𝐼) = (ℝ ↑m {1, 2})
292, 28eqtri 2758 . . . . . . 7 𝑃 = (ℝ ↑m {1, 2})
30 itscnhlinecirc02p.d . . . . . . 7 𝐷 = (distβ€˜πΈ)
31 itscnhlinecirc02p.0 . . . . . . . 8 0 = (𝐼 Γ— {0})
321xpeq1i 5703 . . . . . . . 8 (𝐼 Γ— {0}) = ({1, 2} Γ— {0})
3331, 32eqtri 2758 . . . . . . 7 0 = ({1, 2} Γ— {0})
3427, 29, 30, 33ehl2eudisval0 47500 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ (𝑋𝐷 0 ) = (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))))
3517, 34syl 17 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (𝑋𝐷 0 ) = (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))))
3635breq1d 5159 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑋𝐷 0 ) < 𝑅 ↔ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅))
37 rpge0 12993 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ 0 ≀ 𝑅)
3814, 37sqrtsqd 15372 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ (βˆšβ€˜(𝑅↑2)) = 𝑅)
3938eqcomd 2736 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ 𝑅 = (βˆšβ€˜(𝑅↑2)))
4039adantl 480 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝑅 = (βˆšβ€˜(𝑅↑2)))
4140breq2d 5161 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ ((βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅 ↔ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < (βˆšβ€˜(𝑅↑2))))
4241biimpa 475 . . . . . 6 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅) β†’ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < (βˆšβ€˜(𝑅↑2)))
4317, 3syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (π‘‹β€˜1) ∈ ℝ)
4443adantr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅) β†’ (π‘‹β€˜1) ∈ ℝ)
4544resqcld 14096 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅) β†’ ((π‘‹β€˜1)↑2) ∈ ℝ)
4617, 4syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ)
4746adantr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅) β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ)
4847resqcld 14096 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅) β†’ ((π‘‹β€˜2)↑2) ∈ ℝ)
4945, 48readdcld 11249 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅) β†’ (((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) ∈ ℝ)
5044sqge0d 14108 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅) β†’ 0 ≀ ((π‘‹β€˜1)↑2))
5147sqge0d 14108 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅) β†’ 0 ≀ ((π‘‹β€˜2)↑2))
5245, 48, 50, 51addge0d 11796 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅) β†’ 0 ≀ (((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)))
5314adantl 480 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
5453adantr 479 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
5554resqcld 14096 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅) β†’ (𝑅↑2) ∈ ℝ)
5654sqge0d 14108 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅) β†’ 0 ≀ (𝑅↑2))
5749, 52, 55, 56sqrtltd 15380 . . . . . 6 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅) β†’ ((((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) < (𝑅↑2) ↔ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < (βˆšβ€˜(𝑅↑2))))
5842, 57mpbird 256 . . . . 5 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅) β†’ (((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) < (𝑅↑2))
5958ex 411 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ ((βˆšβ€˜(((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2))) < 𝑅 β†’ (((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) < (𝑅↑2)))
6036, 59sylbid 239 . . 3 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑋𝐷 0 ) < 𝑅 β†’ (((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) < (𝑅↑2)))
6160impr 453 . 2 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ (((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) < (𝑅↑2))
62 eqid 2730 . . 3 ((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) = ((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))
63 eqid 2730 . . 3 ((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) = ((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))
64 eqid 2730 . . 3 (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2))) = (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))
6562, 63, 64itscnhlinecirc02plem2 47558 . 2 (((((π‘‹β€˜1) ∈ ℝ ∧ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ) ∧ ((π‘Œβ€˜1) ∈ ℝ ∧ (π‘Œβ€˜2) ∈ ℝ) ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ (((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) < (𝑅↑2))) β†’ 0 < ((-(2 Β· (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))))↑2) βˆ’ (4 Β· (((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) + (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))↑2)) Β· (((((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))↑2) βˆ’ ((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) Β· (𝑅↑2)))))))
667, 12, 13, 16, 61, 65syl32anc 1376 1 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ (π‘‹β€˜2) β‰  (π‘Œβ€˜2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) β†’ 0 < ((-(2 Β· (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))))↑2) βˆ’ (4 Β· (((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) + (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))↑2)) Β· (((((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))↑2) βˆ’ ((((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))↑2) Β· (𝑅↑2)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  {csn 4629  {cpr 4631   class class class wbr 5149   Γ— cxp 5675  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7413   ↑m cmap 8824  β„cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   Β· cmul 11119   < clt 11254   βˆ’ cmin 11450  -cneg 11451  2c2 12273  4c4 12275  β„•0cn0 12478  β„+crp 12980  ...cfz 13490  β†‘cexp 14033  βˆšcsqrt 15186  distcds 17212  β„^crrx 25133  π”Όhilcehl 25134  LineMcline 47502  Spherecsph 47503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193  ax-mulf 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-tpos 8215  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-sup 9441  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12479  df-z 12565  df-dec 12684  df-uz 12829  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14034  df-hash 14297  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-hom 17227  df-cco 17228  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-prds 17399  df-pws 17401  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18707  df-grp 18860  df-minusg 18861  df-sbg 18862  df-subg 19041  df-ghm 19130  df-cntz 19224  df-cmn 19693  df-abl 19694  df-mgp 20031  df-rng 20049  df-ur 20078  df-ring 20131  df-cring 20132  df-oppr 20227  df-dvdsr 20250  df-unit 20251  df-invr 20281  df-dvr 20294  df-rhm 20365  df-subrng 20436  df-subrg 20461  df-drng 20504  df-field 20505  df-staf 20598  df-srng 20599  df-lmod 20618  df-lss 20689  df-sra 20932  df-rgmod 20933  df-cnfld 21147  df-refld 21379  df-dsmm 21508  df-frlm 21523  df-nm 24313  df-tng 24315  df-tcph 24919  df-rrx 25135  df-ehl 25136
This theorem is referenced by:  itscnhlinecirc02p  47560
  Copyright terms: Public domain W3C validator