itscnhlinecirc02plem3 - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem itscnhlinecirc02plem3 49812

Description: Lemma 3 for itscnhlinecirc02p 49813. (Contributed by AV, 10-Mar-2023.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
itscnhlinecirc02p.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
itscnhlinecirc02p.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
itscnhlinecirc02p.p	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑_m 𝐼)
itscnhlinecirc02p.s	⊢ 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
itscnhlinecirc02p.0	⊢ 0 = (𝐼 × {0})
itscnhlinecirc02p.l	⊢ 𝐿 = (Line_M‘𝐸)
itscnhlinecirc02p.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)

**Assertion**
Ref	Expression
itscnhlinecirc02plem3	⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → 0 < ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))↑2) − (4 · (((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2)))))))

**Proof of Theorem itscnhlinecirc02plem3**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		itscnhlinecirc02p.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
2		itscnhlinecirc02p.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑_m 𝐼)
3	1, 2	rrx2pxel 49739	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
4	1, 2	rrx2pyel 49740	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
5	3, 4	jca 521	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → ((𝑋‘1) ∈ ℝ ∧ (𝑋‘2) ∈ ℝ))
6	5	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → ((𝑋‘1) ∈ ℝ ∧ (𝑋‘2) ∈ ℝ))
7	6	adantr 486	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((𝑋‘1) ∈ ℝ ∧ (𝑋‘2) ∈ ℝ))
8	1, 2	rrx2pxel 49739	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
9	1, 2	rrx2pyel 49740	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
10	8, 9	jca 521	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → ((𝑌‘1) ∈ ℝ ∧ (𝑌‘2) ∈ ℝ))
11	10	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → ((𝑌‘1) ∈ ℝ ∧ (𝑌‘2) ∈ ℝ))
12	11	adantr 486	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((𝑌‘1) ∈ ℝ ∧ (𝑌‘2) ∈ ℝ))
13		simpl3 1212	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))
14		rpre 13084	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 𝑅 ∈ ℝ)
15	14	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅) → 𝑅 ∈ ℝ)
16	15	adantl 487	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ)
17		simpl1 1210	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺) → 𝑋 ∈ 𝑃)
18		itscnhlinecirc02p.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
19		2nn0 12578	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
20		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝔼_hil‘2) = (𝔼_hil‘2)
21	20	ehlval 25682	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℕ₀ → (𝔼_hil‘2) = (ℝ^‘(1...2)))
22	19, 21	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝔼_hil‘2) = (ℝ^‘(1...2))
23		fz12pr 13669	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1...2) = {1, 2}
24	23, 1	eqtr4i 2786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1...2) = 𝐼
25	24	fveq2i 6877	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ^‘(1...2)) = (ℝ^‘𝐼)
26	22, 25	eqtri 2783	. . . . . . . 8 ⊢ (𝔼_hil‘2) = (ℝ^‘𝐼)
27	18, 26	eqtr4i 2786	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (𝔼_hil‘2)
28	1	oveq2i 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ ↑_m 𝐼) = (ℝ ↑_m {1, 2})
29	2, 28	eqtri 2783	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑_m {1, 2})
30		itscnhlinecirc02p.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)
31		itscnhlinecirc02p.0	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (𝐼 × {0})
32	1	xpeq1i 5674	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 × {0}) = ({1, 2} × {0})
33	31, 32	eqtri 2783	. . . . . . 7 ⊢ 0 = ({1, 2} × {0})
34	27, 29, 30, 33	ehl2eudisval0 49753	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋𝐷 0 ) = (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))))
35	17, 34	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺) → (𝑋𝐷 0 ) = (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))))
36	35	breq1d 5113	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺) → ((𝑋𝐷 0 ) < 𝑅 ↔ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅))
37		rpge0 13089	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 0 ≤ 𝑅)
38	14, 37	sqrtsqd 15540	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (√‘(𝑅↑2)) = 𝑅)
39	38	eqcomd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 𝑅 = (√‘(𝑅↑2)))
40	39	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺) → 𝑅 = (√‘(𝑅↑2)))
41	40	breq2d 5115	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺) → ((√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅 ↔ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < (√‘(𝑅↑2))))
42	41	biimpa 482	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < (√‘(𝑅↑2)))
43	17, 3	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
44	43	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
45	44	resqcld 14222	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → ((𝑋‘1)↑2) ∈ ℝ)
46	17, 4	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
47	46	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
48	47	resqcld 14222	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → ((𝑋‘2)↑2) ∈ ℝ)
49	45, 48	readdcld 11295	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) ∈ ℝ)
50	44	sqge0d 14234	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → 0 ≤ ((𝑋‘1)↑2))
51	47	sqge0d 14234	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → 0 ≤ ((𝑋‘2)↑2))
52	45, 48, 50, 51	addge0d 11847	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → 0 ≤ (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)))
53	14	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺) → 𝑅 ∈ ℝ)
54	53	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → 𝑅 ∈ ℝ)
55	54	resqcld 14222	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
56	54	sqge0d 14234	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → 0 ≤ (𝑅↑2))
57	49, 52, 55, 56	sqrtltd 15548	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → ((((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) < (𝑅↑2) ↔ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < (√‘(𝑅↑2))))
58	42, 57	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) < (𝑅↑2))
59	58	ex 418	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺) → ((√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅 → (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) < (𝑅↑2)))
60	36, 59	sylbid 243	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺) → ((𝑋𝐷 0 ) < 𝑅 → (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) < (𝑅↑2)))
61	60	impr 460	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) < (𝑅↑2))
62		eqid 2760	. . 3 ⊢ ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
63		eqid 2760	. . 3 ⊢ ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) = ((𝑋‘2) − (𝑌‘2))
64		eqid 2760	. . 3 ⊢ (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))
65	62, 63, 64	itscnhlinecirc02plem2 49811	. 2 ⊢ (((((𝑋‘1) ∈ ℝ ∧ (𝑋‘2) ∈ ℝ) ∧ ((𝑌‘1) ∈ ℝ ∧ (𝑌‘2) ∈ ℝ) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) < (𝑅↑2))) → 0 < ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))↑2) − (4 · (((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2)))))))
66	7, 12, 13, 16, 61, 65	syl32anc 1405	1 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → 0 < ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))↑2) − (4 · (((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2)))))))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ∧ wa 401 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2145 ≠ wne 2955 {csn 4584 {cpr 4586 class class class wbr 5103 × cxp 5646 ‘cfv 6528 (class class class)co 7409 ↑_m cmap 8826 ℝcr 11156 0cc0 11157 1c1 11158 + caddc 11160 · cmul 11162 < clt 11300 − cmin 11498 -cneg 11499 2c2 12352 4c4 12354 ℕ₀cn0 12561 ℝ⁺crp 13075 ...cfz 13594 ↑cexp 14158 √csqrt 15353 distcds 17384 ℝ^crrx 25651 𝔼_hilcehl 25652 Line_Mcline 49755 Spherecsph 49756

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2213 ax-ext 2732 ax-rep 5232 ax-sep 5249 ax-nul 5260 ax-pow 5327 ax-pr 5391 ax-un 7735 ax-inf2 9620 ax-cnex 11213 ax-resscn 11214 ax-1cn 11215 ax-icn 11216 ax-addcl 11217 ax-addrcl 11218 ax-mulcl 11219 ax-mulrcl 11220 ax-mulcom 11221 ax-addass 11222 ax-mulass 11223 ax-distr 11224 ax-i2m1 11225 ax-1ne0 11226 ax-1rid 11227 ax-rnegex 11228 ax-rrecex 11229 ax-cnre 11230 ax-pre-lttri 11231 ax-pre-lttrn 11232 ax-pre-ltadd 11233 ax-pre-mulgt0 11234 ax-pre-sup 11235 ax-addf 11236 ax-mulf 11237

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2564 df-eu 2594 df-clab 2739 df-cleq 2752 df-clel 2835 df-nfc 2909 df-ne 2956 df-nel 3062 df-ral 3077 df-rex 3087 df-rmo 3365 df-reu 3366 df-rab 3413 df-v 3452 df-sbc 3740 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-pss 3919 df-nul 4280 df-if 4483 df-pw 4559 df-sn 4585 df-pr 4587 df-tp 4589 df-op 4591 df-uni 4868 df-int 4908 df-iun 4953 df-br 5104 df-opab 5168 df-mpt 5187 df-tr 5213 df-id 5543 df-eprel 5548 df-po 5556 df-so 5557 df-fr 5601 df-se 5602 df-we 5603 df-xp 5654 df-rel 5655 df-cnv 5656 df-co 5657 df-dm 5658 df-rn 5659 df-res 5660 df-ima 5661 df-pred 6294 df-ord 6355 df-on 6356 df-lim 6357 df-suc 6358 df-iota 6484 df-fun 6530 df-fn 6531 df-f 6532 df-f1 6533 df-fo 6534 df-f1o 6535 df-fv 6536 df-isom 6537 df-riota 7366 df-ov 7412 df-oprab 7413 df-mpo 7414 df-of 7677 df-om 7862 df-1st 7985 df-2nd 7986 df-supp 8157 df-tpos 8222 df-frecs 8278 df-wrecs 8309 df-recs 8358 df-rdg 8397 df-1o 8455 df-2o 8456 df-er 8696 df-map 8828 df-ixp 8905 df-en 8953 df-dom 8954 df-sdom 8955 df-fin 8956 df-fsupp 9332 df-sup 9412 df-oi 9482 df-card 9977 df-pnf 11302 df-mnf 11303 df-xr 11304 df-ltxr 11305 df-le 11306 df-sub 11500 df-neg 11501 df-div 11929 df-nn 12291 df-2 12360 df-3 12361 df-4 12362 df-5 12363 df-6 12364 df-7 12365 df-8 12366 df-9 12367 df-n0 12562 df-z 12649 df-dec 12770 df-uz 12921 df-rp 13076 df-fz 13595 df-fzo 13743 df-seq 14099 df-exp 14159 df-hash 14428 df-cj 15219 df-re 15220 df-im 15221 df-sqrt 15355 df-abs 15356 df-clim 15608 df-sum 15807 df-struct 17272 df-sets 17289 df-slot 17307 df-ndx 17319 df-base 17335 df-ress 17356 df-plusg 17388 df-mulr 17389 df-starv 17390 df-sca 17391 df-vsca 17392 df-ip 17393 df-tset 17394 df-ple 17395 df-ds 17397 df-unif 17398 df-hom 17399 df-cco 17400 df-0g 17559 df-gsum 17560 df-prds 17565 df-pws 17567 df-mgm 18763 df-sgrp 18855 df-mnd 18871 df-mhm 18925 df-grp 19094 df-minusg 19095 df-sbg 19096 df-subg 19280 df-ghm 19375 df-cntz 19478 df-cmn 19943 df-abl 19944 df-mgp 20308 df-rng 20322 df-ur 20355 df-ring 20408 df-cring 20409 df-oppr 20514 df-dvdsr 20534 df-unit 20535 df-invr 20565 df-dvr 20578 df-rhm 20649 df-subrng 20745 df-subrg 20769 df-drng 20929 df-field 20930 df-staf 21043 df-srng 21044 df-lmod 21084 df-lss 21154 df-sra 21395 df-rgmod 21396 df-cnfld 21626 df-refld 21858 df-dsmm 21985 df-frlm 22000 df-nm 24848 df-tng 24850 df-tcph 25437 df-rrx 25653 df-ehl 25654

This theorem is used by: itscnhlinecirc02p 49813

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