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Theorem itscnhlinecirc02plem3 46860
Description: Lemma 3 for itscnhlinecirc02p 46861. (Contributed by AV, 10-Mar-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
itscnhlinecirc02p.i 𝐼 = {1, 2}
itscnhlinecirc02p.e 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
itscnhlinecirc02p.p 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
itscnhlinecirc02p.s 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
itscnhlinecirc02p.0 0 = (𝐼 × {0})
itscnhlinecirc02p.l 𝐿 = (LineM𝐸)
itscnhlinecirc02p.d 𝐷 = (dist‘𝐸)
Assertion
Ref Expression
itscnhlinecirc02plem3 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → 0 < ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))↑2) − (4 · (((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2)))))))

Proof of Theorem itscnhlinecirc02plem3
StepHypRef Expression
1 itscnhlinecirc02p.i . . . . . 6 𝐼 = {1, 2}
2 itscnhlinecirc02p.p . . . . . 6 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
31, 2rrx2pxel 46787 . . . . 5 (𝑋𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
41, 2rrx2pyel 46788 . . . . 5 (𝑋𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
53, 4jca 512 . . . 4 (𝑋𝑃 → ((𝑋‘1) ∈ ℝ ∧ (𝑋‘2) ∈ ℝ))
653ad2ant1 1133 . . 3 ((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → ((𝑋‘1) ∈ ℝ ∧ (𝑋‘2) ∈ ℝ))
76adantr 481 . 2 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((𝑋‘1) ∈ ℝ ∧ (𝑋‘2) ∈ ℝ))
81, 2rrx2pxel 46787 . . . . 5 (𝑌𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
91, 2rrx2pyel 46788 . . . . 5 (𝑌𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
108, 9jca 512 . . . 4 (𝑌𝑃 → ((𝑌‘1) ∈ ℝ ∧ (𝑌‘2) ∈ ℝ))
11103ad2ant2 1134 . . 3 ((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → ((𝑌‘1) ∈ ℝ ∧ (𝑌‘2) ∈ ℝ))
1211adantr 481 . 2 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → ((𝑌‘1) ∈ ℝ ∧ (𝑌‘2) ∈ ℝ))
13 simpl3 1193 . 2 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))
14 rpre 12923 . . . 4 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ)
1514adantr 481 . . 3 ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅) → 𝑅 ∈ ℝ)
1615adantl 482 . 2 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ)
17 simpl1 1191 . . . . . 6 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑋𝑃)
18 itscnhlinecirc02p.e . . . . . . . 8 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
19 2nn0 12430 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
20 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (𝔼hil‘2) = (𝔼hil‘2)
2120ehlval 24778 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℕ0 → (𝔼hil‘2) = (ℝ^‘(1...2)))
2219, 21ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝔼hil‘2) = (ℝ^‘(1...2))
23 fz12pr 13498 . . . . . . . . . . 11 (1...2) = {1, 2}
2423, 1eqtr4i 2767 . . . . . . . . . 10 (1...2) = 𝐼
2524fveq2i 6845 . . . . . . . . 9 (ℝ^‘(1...2)) = (ℝ^‘𝐼)
2622, 25eqtri 2764 . . . . . . . 8 (𝔼hil‘2) = (ℝ^‘𝐼)
2718, 26eqtr4i 2767 . . . . . . 7 𝐸 = (𝔼hil‘2)
281oveq2i 7368 . . . . . . . 8 (ℝ ↑m 𝐼) = (ℝ ↑m {1, 2})
292, 28eqtri 2764 . . . . . . 7 𝑃 = (ℝ ↑m {1, 2})
30 itscnhlinecirc02p.d . . . . . . 7 𝐷 = (dist‘𝐸)
31 itscnhlinecirc02p.0 . . . . . . . 8 0 = (𝐼 × {0})
321xpeq1i 5659 . . . . . . . 8 (𝐼 × {0}) = ({1, 2} × {0})
3331, 32eqtri 2764 . . . . . . 7 0 = ({1, 2} × {0})
3427, 29, 30, 33ehl2eudisval0 46801 . . . . . 6 (𝑋𝑃 → (𝑋𝐷 0 ) = (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))))
3517, 34syl 17 . . . . 5 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑋𝐷 0 ) = (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))))
3635breq1d 5115 . . . 4 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝑋𝐷 0 ) < 𝑅 ↔ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅))
37 rpge0 12928 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑅)
3814, 37sqrtsqd 15304 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ+ → (√‘(𝑅↑2)) = 𝑅)
3938eqcomd 2742 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 = (√‘(𝑅↑2)))
4039adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑅 = (√‘(𝑅↑2)))
4140breq2d 5117 . . . . . . 7 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅 ↔ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < (√‘(𝑅↑2))))
4241biimpa 477 . . . . . 6 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < (√‘(𝑅↑2)))
4317, 3syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
4443adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
4544resqcld 14030 . . . . . . . 8 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → ((𝑋‘1)↑2) ∈ ℝ)
4617, 4syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
4746adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
4847resqcld 14030 . . . . . . . 8 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → ((𝑋‘2)↑2) ∈ ℝ)
4945, 48readdcld 11184 . . . . . . 7 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) ∈ ℝ)
5044sqge0d 14042 . . . . . . . 8 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → 0 ≤ ((𝑋‘1)↑2))
5147sqge0d 14042 . . . . . . . 8 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → 0 ≤ ((𝑋‘2)↑2))
5245, 48, 50, 51addge0d 11731 . . . . . . 7 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → 0 ≤ (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)))
5314adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑅 ∈ ℝ)
5453adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → 𝑅 ∈ ℝ)
5554resqcld 14030 . . . . . . 7 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
5654sqge0d 14042 . . . . . . 7 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → 0 ≤ (𝑅↑2))
5749, 52, 55, 56sqrtltd 15312 . . . . . 6 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → ((((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) < (𝑅↑2) ↔ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < (√‘(𝑅↑2))))
5842, 57mpbird 256 . . . . 5 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅) → (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) < (𝑅↑2))
5958ex 413 . . . 4 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((√‘(((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2))) < 𝑅 → (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) < (𝑅↑2)))
6036, 59sylbid 239 . . 3 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝑋𝐷 0 ) < 𝑅 → (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) < (𝑅↑2)))
6160impr 455 . 2 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) < (𝑅↑2))
62 eqid 2736 . . 3 ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
63 eqid 2736 . . 3 ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) = ((𝑋‘2) − (𝑌‘2))
64 eqid 2736 . . 3 (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))
6562, 63, 64itscnhlinecirc02plem2 46859 . 2 (((((𝑋‘1) ∈ ℝ ∧ (𝑋‘2) ∈ ℝ) ∧ ((𝑌‘1) ∈ ℝ ∧ (𝑌‘2) ∈ ℝ) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) < (𝑅↑2))) → 0 < ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))↑2) − (4 · (((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2)))))))
667, 12, 13, 16, 61, 65syl32anc 1378 1 (((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑋𝐷 0 ) < 𝑅)) → 0 < ((-(2 · (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))))↑2) − (4 · (((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) + (((𝑌‘1) − (𝑋‘1))↑2)) · (((((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))↑2) − ((((𝑋‘2) − (𝑌‘2))↑2) · (𝑅↑2)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  {csn 4586  {cpr 4588   class class class wbr 5105   × cxp 5631  cfv 6496  (class class class)co 7357  m cmap 8765  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cmin 11385  -cneg 11386  2c2 12208  4c4 12210  0cn0 12413  +crp 12915  ...cfz 13424  cexp 13967  csqrt 15118  distcds 17142  ℝ^crrx 24747  𝔼hilcehl 24748  LineMcline 46803  Spherecsph 46804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-rnghom 20146  df-drng 20187  df-field 20188  df-subrg 20220  df-staf 20304  df-srng 20305  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-cnfld 20797  df-refld 21009  df-dsmm 21138  df-frlm 21153  df-nm 23938  df-tng 23940  df-tcph 24533  df-rrx 24749  df-ehl 24750
This theorem is referenced by:  itscnhlinecirc02p  46861
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