Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | itscnhlinecirc02p.i |
. . . . . 6
β’ πΌ = {1, 2} |
2 | | itscnhlinecirc02p.p |
. . . . . 6
β’ π = (β βm
πΌ) |
3 | 1, 2 | rrx2pxel 46887 |
. . . . 5
β’ (π β π β (πβ1) β β) |
4 | 1, 2 | rrx2pyel 46888 |
. . . . 5
β’ (π β π β (πβ2) β β) |
5 | 3, 4 | jca 513 |
. . . 4
β’ (π β π β ((πβ1) β β β§ (πβ2) β
β)) |
6 | 5 | 3ad2ant1 1134 |
. . 3
β’ ((π β π β§ π β π β§ (πβ2) β (πβ2)) β ((πβ1) β β β§ (πβ2) β
β)) |
7 | 6 | adantr 482 |
. 2
β’ (((π β π β§ π β π β§ (πβ2) β (πβ2)) β§ (π
β β+ β§ (ππ· 0 ) < π
)) β ((πβ1) β β β§ (πβ2) β
β)) |
8 | 1, 2 | rrx2pxel 46887 |
. . . . 5
β’ (π β π β (πβ1) β β) |
9 | 1, 2 | rrx2pyel 46888 |
. . . . 5
β’ (π β π β (πβ2) β β) |
10 | 8, 9 | jca 513 |
. . . 4
β’ (π β π β ((πβ1) β β β§ (πβ2) β
β)) |
11 | 10 | 3ad2ant2 1135 |
. . 3
β’ ((π β π β§ π β π β§ (πβ2) β (πβ2)) β ((πβ1) β β β§ (πβ2) β
β)) |
12 | 11 | adantr 482 |
. 2
β’ (((π β π β§ π β π β§ (πβ2) β (πβ2)) β§ (π
β β+ β§ (ππ· 0 ) < π
)) β ((πβ1) β β β§ (πβ2) β
β)) |
13 | | simpl3 1194 |
. 2
β’ (((π β π β§ π β π β§ (πβ2) β (πβ2)) β§ (π
β β+ β§ (ππ· 0 ) < π
)) β (πβ2) β (πβ2)) |
14 | | rpre 12931 |
. . . 4
β’ (π
β β+
β π
β
β) |
15 | 14 | adantr 482 |
. . 3
β’ ((π
β β+
β§ (ππ· 0 ) < π
) β π
β β) |
16 | 15 | adantl 483 |
. 2
β’ (((π β π β§ π β π β§ (πβ2) β (πβ2)) β§ (π
β β+ β§ (ππ· 0 ) < π
)) β π
β β) |
17 | | simpl1 1192 |
. . . . . 6
β’ (((π β π β§ π β π β§ (πβ2) β (πβ2)) β§ π
β β+) β π β π) |
18 | | itscnhlinecirc02p.e |
. . . . . . . 8
β’ πΈ = (β^βπΌ) |
19 | | 2nn0 12438 |
. . . . . . . . . 10
β’ 2 β
β0 |
20 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(πΌhilβ2) =
(πΌhilβ2) |
21 | 20 | ehlval 24801 |
. . . . . . . . . 10
β’ (2 β
β0 β (πΌhilβ2) =
(β^β(1...2))) |
22 | 19, 21 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . 9
β’
(πΌhilβ2) =
(β^β(1...2)) |
23 | | fz12pr 13507 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (1...2) =
{1, 2} |
24 | 23, 1 | eqtr4i 2764 |
. . . . . . . . . 10
β’ (1...2) =
πΌ |
25 | 24 | fveq2i 6849 |
. . . . . . . . 9
β’
(β^β(1...2)) = (β^βπΌ) |
26 | 22, 25 | eqtri 2761 |
. . . . . . . 8
β’
(πΌhilβ2) = (β^βπΌ) |
27 | 18, 26 | eqtr4i 2764 |
. . . . . . 7
β’ πΈ =
(πΌhilβ2) |
28 | 1 | oveq2i 7372 |
. . . . . . . 8
β’ (β
βm πΌ) =
(β βm {1, 2}) |
29 | 2, 28 | eqtri 2761 |
. . . . . . 7
β’ π = (β βm
{1, 2}) |
30 | | itscnhlinecirc02p.d |
. . . . . . 7
β’ π· = (distβπΈ) |
31 | | itscnhlinecirc02p.0 |
. . . . . . . 8
β’ 0 = (πΌ Γ {0}) |
32 | 1 | xpeq1i 5663 |
. . . . . . . 8
β’ (πΌ Γ {0}) = ({1, 2} Γ
{0}) |
33 | 31, 32 | eqtri 2761 |
. . . . . . 7
β’ 0 = ({1, 2}
Γ {0}) |
34 | 27, 29, 30, 33 | ehl2eudisval0 46901 |
. . . . . 6
β’ (π β π β (ππ· 0 ) =
(ββ(((πβ1)β2) + ((πβ2)β2)))) |
35 | 17, 34 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((π β π β§ π β π β§ (πβ2) β (πβ2)) β§ π
β β+) β (ππ· 0 ) =
(ββ(((πβ1)β2) + ((πβ2)β2)))) |
36 | 35 | breq1d 5119 |
. . . 4
β’ (((π β π β§ π β π β§ (πβ2) β (πβ2)) β§ π
β β+) β ((ππ· 0 ) < π
β (ββ(((πβ1)β2) + ((πβ2)β2))) < π
)) |
37 | | rpge0 12936 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π
β β+
β 0 β€ π
) |
38 | 14, 37 | sqrtsqd 15313 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π
β β+
β (ββ(π
β2)) = π
) |
39 | 38 | eqcomd 2739 |
. . . . . . . . 9
β’ (π
β β+
β π
=
(ββ(π
β2))) |
40 | 39 | adantl 483 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β π β§ π β π β§ (πβ2) β (πβ2)) β§ π
β β+) β π
= (ββ(π
β2))) |
41 | 40 | breq2d 5121 |
. . . . . . 7
β’ (((π β π β§ π β π β§ (πβ2) β (πβ2)) β§ π
β β+) β
((ββ(((πβ1)β2) + ((πβ2)β2))) < π
β (ββ(((πβ1)β2) + ((πβ2)β2))) <
(ββ(π
β2)))) |
42 | 41 | biimpa 478 |
. . . . . 6
β’ ((((π β π β§ π β π β§ (πβ2) β (πβ2)) β§ π
β β+) β§
(ββ(((πβ1)β2) + ((πβ2)β2))) < π
) β (ββ(((πβ1)β2) + ((πβ2)β2))) <
(ββ(π
β2))) |
43 | 17, 3 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β π β§ π β π β§ (πβ2) β (πβ2)) β§ π
β β+) β (πβ1) β
β) |
44 | 43 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π β π β§ π β π β§ (πβ2) β (πβ2)) β§ π
β β+) β§
(ββ(((πβ1)β2) + ((πβ2)β2))) < π
) β (πβ1) β β) |
45 | 44 | resqcld 14039 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π β π β§ π β π β§ (πβ2) β (πβ2)) β§ π
β β+) β§
(ββ(((πβ1)β2) + ((πβ2)β2))) < π
) β ((πβ1)β2) β
β) |
46 | 17, 4 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β π β§ π β π β§ (πβ2) β (πβ2)) β§ π
β β+) β (πβ2) β
β) |
47 | 46 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π β π β§ π β π β§ (πβ2) β (πβ2)) β§ π
β β+) β§
(ββ(((πβ1)β2) + ((πβ2)β2))) < π
) β (πβ2) β β) |
48 | 47 | resqcld 14039 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π β π β§ π β π β§ (πβ2) β (πβ2)) β§ π
β β+) β§
(ββ(((πβ1)β2) + ((πβ2)β2))) < π
) β ((πβ2)β2) β
β) |
49 | 45, 48 | readdcld 11192 |
. . . . . . 7
β’ ((((π β π β§ π β π β§ (πβ2) β (πβ2)) β§ π
β β+) β§
(ββ(((πβ1)β2) + ((πβ2)β2))) < π
) β (((πβ1)β2) + ((πβ2)β2)) β
β) |
50 | 44 | sqge0d 14051 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π β π β§ π β π β§ (πβ2) β (πβ2)) β§ π
β β+) β§
(ββ(((πβ1)β2) + ((πβ2)β2))) < π
) β 0 β€ ((πβ1)β2)) |
51 | 47 | sqge0d 14051 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π β π β§ π β π β§ (πβ2) β (πβ2)) β§ π
β β+) β§
(ββ(((πβ1)β2) + ((πβ2)β2))) < π
) β 0 β€ ((πβ2)β2)) |
52 | 45, 48, 50, 51 | addge0d 11739 |
. . . . . . 7
β’ ((((π β π β§ π β π β§ (πβ2) β (πβ2)) β§ π
β β+) β§
(ββ(((πβ1)β2) + ((πβ2)β2))) < π
) β 0 β€ (((πβ1)β2) + ((πβ2)β2))) |
53 | 14 | adantl 483 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β π β§ π β π β§ (πβ2) β (πβ2)) β§ π
β β+) β π
β
β) |
54 | 53 | adantr 482 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π β π β§ π β π β§ (πβ2) β (πβ2)) β§ π
β β+) β§
(ββ(((πβ1)β2) + ((πβ2)β2))) < π
) β π
β β) |
55 | 54 | resqcld 14039 |
. . . . . . 7
β’ ((((π β π β§ π β π β§ (πβ2) β (πβ2)) β§ π
β β+) β§
(ββ(((πβ1)β2) + ((πβ2)β2))) < π
) β (π
β2) β β) |
56 | 54 | sqge0d 14051 |
. . . . . . 7
β’ ((((π β π β§ π β π β§ (πβ2) β (πβ2)) β§ π
β β+) β§
(ββ(((πβ1)β2) + ((πβ2)β2))) < π
) β 0 β€ (π
β2)) |
57 | 49, 52, 55, 56 | sqrtltd 15321 |
. . . . . 6
β’ ((((π β π β§ π β π β§ (πβ2) β (πβ2)) β§ π
β β+) β§
(ββ(((πβ1)β2) + ((πβ2)β2))) < π
) β ((((πβ1)β2) + ((πβ2)β2)) < (π
β2) β (ββ(((πβ1)β2) + ((πβ2)β2))) <
(ββ(π
β2)))) |
58 | 42, 57 | mpbird 257 |
. . . . 5
β’ ((((π β π β§ π β π β§ (πβ2) β (πβ2)) β§ π
β β+) β§
(ββ(((πβ1)β2) + ((πβ2)β2))) < π
) β (((πβ1)β2) + ((πβ2)β2)) < (π
β2)) |
59 | 58 | ex 414 |
. . . 4
β’ (((π β π β§ π β π β§ (πβ2) β (πβ2)) β§ π
β β+) β
((ββ(((πβ1)β2) + ((πβ2)β2))) < π
β (((πβ1)β2) + ((πβ2)β2)) < (π
β2))) |
60 | 36, 59 | sylbid 239 |
. . 3
β’ (((π β π β§ π β π β§ (πβ2) β (πβ2)) β§ π
β β+) β ((ππ· 0 ) < π
β (((πβ1)β2) + ((πβ2)β2)) < (π
β2))) |
61 | 60 | impr 456 |
. 2
β’ (((π β π β§ π β π β§ (πβ2) β (πβ2)) β§ (π
β β+ β§ (ππ· 0 ) < π
)) β (((πβ1)β2) + ((πβ2)β2)) < (π
β2)) |
62 | | eqid 2733 |
. . 3
β’ ((πβ1) β (πβ1)) = ((πβ1) β (πβ1)) |
63 | | eqid 2733 |
. . 3
β’ ((πβ2) β (πβ2)) = ((πβ2) β (πβ2)) |
64 | | eqid 2733 |
. . 3
β’ (((πβ2) Β· (πβ1)) β ((πβ1) Β· (πβ2))) = (((πβ2) Β· (πβ1)) β ((πβ1) Β· (πβ2))) |
65 | 62, 63, 64 | itscnhlinecirc02plem2 46959 |
. 2
β’
(((((πβ1)
β β β§ (πβ2) β β) β§ ((πβ1) β β β§
(πβ2) β β)
β§ (πβ2) β
(πβ2)) β§ (π
β β β§ (((πβ1)β2) + ((πβ2)β2)) < (π
β2))) β 0 < ((-(2
Β· (((πβ1)
β (πβ1))
Β· (((πβ2)
Β· (πβ1))
β ((πβ1)
Β· (πβ2)))))β2) β (4 Β·
(((((πβ2) β
(πβ2))β2) +
(((πβ1) β
(πβ1))β2))
Β· (((((πβ2)
Β· (πβ1))
β ((πβ1)
Β· (πβ2)))β2) β ((((πβ2) β (πβ2))β2) Β·
(π
β2))))))) |
66 | 7, 12, 13, 16, 61, 65 | syl32anc 1379 |
1
β’ (((π β π β§ π β π β§ (πβ2) β (πβ2)) β§ (π
β β+ β§ (ππ· 0 ) < π
)) β 0 < ((-(2 Β· (((πβ1) β (πβ1)) Β· (((πβ2) Β· (πβ1)) β ((πβ1) Β· (πβ2)))))β2) β (4
Β· (((((πβ2)
β (πβ2))β2) + (((πβ1) β (πβ1))β2)) Β· (((((πβ2) Β· (πβ1)) β ((πβ1) Β· (πβ2)))β2) β
((((πβ2) β
(πβ2))β2)
Β· (π
β2))))))) |