Theorem rrx2vlinest 49946

Description: The vertical line passing through the two different points 𝑋 and 𝑌 in a real Euclidean space of dimension 2 in "standard form". (Contributed by AV, 2-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrx2line.i	⊢ 𝐼 = (0..^2)
rrx2line.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
rrx2line.b	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrx2line.l	⊢ 𝐿 = (LineM‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
rrx2vlinest	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘0) = (𝑋‘0)})

Distinct variable groups:   𝐸,𝑝   𝐼,𝑝   𝑃,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝

Allowed substitution hint:   𝐿(𝑝)

Proof of Theorem rrx2vlinest

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6884	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝑋‘1) = (𝑌‘1))
2	1	necon3i 2987	. . . 4 ⊢ ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) → 𝑋 ≠ 𝑌)
3	2	adantl 487	. . 3 ⊢ (((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → 𝑋 ≠ 𝑌)
4		rrx2line.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (0..^2)
5		rrx2line.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
6		rrx2line.b	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
7		rrx2line.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineM‘𝐸)
8	4, 5, 6, 7	rrx2line 49945	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘0) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘0)) + (𝑡 · (𝑌‘0))) ∧ (𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))))})
9	3, 8	syl3an3 1183	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘0) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘0)) + (𝑡 · (𝑌‘0))) ∧ (𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))))})
10		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑌‘0) = (𝑋‘0) → (𝑡 · (𝑌‘0)) = (𝑡 · (𝑋‘0)))
11	10	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌‘0) = (𝑋‘0) → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘0)) + (𝑡 · (𝑌‘0))) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘0)) + (𝑡 · (𝑋‘0))))
12	11	eqcoms 2768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘0)) + (𝑡 · (𝑌‘0))) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘0)) + (𝑡 · (𝑋‘0))))
13	12	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘0)) + (𝑡 · (𝑌‘0))) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘0)) + (𝑡 · (𝑋‘0))))
14	13	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘0)) + (𝑡 · (𝑌‘0))) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘0)) + (𝑡 · (𝑋‘0))))
15	14	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘0)) + (𝑡 · (𝑌‘0))) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘0)) + (𝑡 · (𝑋‘0))))
16	15	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘0)) + (𝑡 · (𝑌‘0))) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘0)) + (𝑡 · (𝑋‘0))))
17	4, 6	rrx2pxel 49916	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘0) ∈ ℝ)
18	17	recnd 11340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘0) ∈ ℂ)
19	18	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) → (𝑋‘0) ∈ ℂ)
20	19	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑋‘0) ∈ ℂ)
21	20	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑋‘0) ∈ ℂ)
22		recn 11293	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → 𝑡 ∈ ℂ)
23	22	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℂ)
24	21, 23	affineid 49909	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘0)) + (𝑡 · (𝑋‘0))) = (𝑋‘0))
25	16, 24	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘0)) + (𝑡 · (𝑌‘0))) = (𝑋‘0))
26	25	eqeq2d 2771	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑝‘0) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘0)) + (𝑡 · (𝑌‘0))) ↔ (𝑝‘0) = (𝑋‘0)))
27	26	anbi1d 643	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((𝑝‘0) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘0)) + (𝑡 · (𝑌‘0))) ∧ (𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1)))) ↔ ((𝑝‘0) = (𝑋‘0) ∧ (𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))))))
28	27	rexbidva 3184	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘0) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘0)) + (𝑡 · (𝑌‘0))) ∧ (𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1)))) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘0) = (𝑋‘0) ∧ (𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))))))
29		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝑝‘0) = (𝑋‘0) ∧ (𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1)))) → (𝑝‘0) = (𝑋‘0))
30	29	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((𝑝‘0) = (𝑋‘0) ∧ (𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1)))) → (𝑝‘0) = (𝑋‘0)))
31	4, 6	rrx2pyel 49917	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
32	31	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
33	4, 6	rrx2pyel 49917	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
34	33	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
35	34	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
36	32, 35	resubcld 11747	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) ∈ ℝ)
37	4, 6	rrx2pyel 49917	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
38	37	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
39	38, 34	resubcld 11747	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ∈ ℝ)
40	39	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ∈ ℝ)
41	37	recnd 11340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℂ)
42	41	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) → (𝑌‘1) ∈ ℂ)
43	33	recnd 11340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℂ)
44	43	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) → (𝑋‘1) ∈ ℂ)
45		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))
46	45	necomd 3010	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑌‘1) ≠ (𝑋‘1))
47	46	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) → (𝑌‘1) ≠ (𝑋‘1))
48	42, 44, 47	subne0d 11682	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ≠ 0)
49	48	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ≠ 0)
50	36, 40, 49	redivcld 12148	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) ∈ ℝ)
51	50	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝‘0) = (𝑋‘0)) → (((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) ∈ ℝ)
52		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝‘0) = (𝑋‘0)) → (𝑝‘0) = (𝑋‘0))
53	43	mullidd 11330	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (1 · (𝑋‘1)) = (𝑋‘1))
54	53	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) → (1 · (𝑋‘1)) = (𝑋‘1))
55	54	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (1 · (𝑋‘1)) = (𝑋‘1))
56	36	recnd 11340	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) ∈ ℂ)
57	41	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑌‘1) ∈ ℂ)
58	43	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋‘1) ∈ ℂ)
59	57, 58	subcld 11672	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ∈ ℂ)
60	59	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ∈ ℂ)
61	60	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ∈ ℂ)
62	56, 61, 49	divcan1d 12097	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) = ((𝑝‘1) − (𝑋‘1)))
63	55, 62	oveq12d 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((1 · (𝑋‘1)) + ((((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)))) = ((𝑋‘1) + ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))))
64	44	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑋‘1) ∈ ℂ)
65	31	recnd 11340	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℂ)
66	65	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑝‘1) ∈ ℂ)
67	64, 66	pncan3d 11675	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑋‘1) + ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) = (𝑝‘1))
68	63, 67	eqtr2d 2796	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑝‘1) = ((1 · (𝑋‘1)) + ((((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)))))
69	68	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝‘0) = (𝑋‘0)) → (𝑝‘1) = ((1 · (𝑋‘1)) + ((((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)))))
70		1cnd 11305	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 1 ∈ ℂ)
71	50	recnd 11340	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) ∈ ℂ)
72	42	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑌‘1) ∈ ℂ)
73	70, 71, 64, 72	submuladdmuld 49906	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((1 − (((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)))) · (𝑋‘1)) + ((((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · (𝑌‘1))) = ((1 · (𝑋‘1)) + ((((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)))))
74	73	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝‘0) = (𝑋‘0)) → (((1 − (((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)))) · (𝑋‘1)) + ((((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · (𝑌‘1))) = ((1 · (𝑋‘1)) + ((((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)))))
75	69, 74	eqtr4d 2798	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝‘0) = (𝑋‘0)) → (𝑝‘1) = (((1 − (((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)))) · (𝑋‘1)) + ((((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · (𝑌‘1))))
76	52, 75	jca 521	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝‘0) = (𝑋‘0)) → ((𝑝‘0) = (𝑋‘0) ∧ (𝑝‘1) = (((1 − (((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)))) · (𝑋‘1)) + ((((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · (𝑌‘1)))))
77		oveq2 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = (((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) → (1 − 𝑡) = (1 − (((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)))))
78	77	oveq1d 7435	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = (((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) → ((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) = ((1 − (((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)))) · (𝑋‘1)))
79		oveq1 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = (((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) → (𝑡 · (𝑌‘1)) = ((((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · (𝑌‘1)))
80	78, 79	oveq12d 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = (((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) = (((1 − (((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)))) · (𝑋‘1)) + ((((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · (𝑌‘1))))
81	80	eqeq2d 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = (((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) → ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ↔ (𝑝‘1) = (((1 − (((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)))) · (𝑋‘1)) + ((((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · (𝑌‘1)))))
82	81	anbi2d 642	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = (((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) → (((𝑝‘0) = (𝑋‘0) ∧ (𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1)))) ↔ ((𝑝‘0) = (𝑋‘0) ∧ (𝑝‘1) = (((1 − (((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)))) · (𝑋‘1)) + ((((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · (𝑌‘1))))))
83	30, 51, 76, 82	rspceb2dv 3580	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘0) = (𝑋‘0) ∧ (𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1)))) ↔ (𝑝‘0) = (𝑋‘0)))
84	28, 83	bitrd 282	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘0) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘0)) + (𝑡 · (𝑌‘0))) ∧ (𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1)))) ↔ (𝑝‘0) = (𝑋‘0)))
85	84	rabbidva 3418	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) → {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘0) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘0)) + (𝑡 · (𝑌‘0))) ∧ (𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))))} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘0) = (𝑋‘0)})
86	9, 85	eqtrd 2795	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘0) = (𝑋‘0)})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  {crab 3412  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8850  ℂcc 11201  ℝcr 11202  0cc0 11203  1c1 11204   + caddc 11206   · cmul 11208   − cmin 11544   / cdiv 11976  2c2 12400  ..^cfzo 13791  ℝ^crrx 25709  Line_Mcline 49933

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281  ax-addf 11282  ax-mulf 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8180  df-tpos 8246  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-map 8852  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9357  df-sup 9437  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-rp 13124  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-seq 14148  df-exp 14208  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-starv 17448  df-sca 17449  df-vsca 17450  df-ip 17451  df-tset 17452  df-ple 17453  df-ds 17455  df-unif 17456  df-hom 17457  df-cco 17458  df-0g 17617  df-prds 17623  df-pws 17625  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-mhm 18983  df-grp 19152  df-minusg 19153  df-sbg 19154  df-subg 19338  df-ghm 19433  df-cmn 20001  df-abl 20002  df-mgp 20366  df-rng 20380  df-ur 20413  df-ring 20466  df-cring 20467  df-oppr 20572  df-dvdsr 20592  df-unit 20593  df-invr 20623  df-dvr 20636  df-rhm 20707  df-subrng 20803  df-subrg 20827  df-drng 20987  df-field 20988  df-staf 21101  df-srng 21102  df-lmod 21142  df-lss 21212  df-sra 21453  df-rgmod 21454  df-cnfld 21684  df-refld 21916  df-dsmm 22043  df-frlm 22058  df-tng 24908  df-tcph 25495  df-rrx 25711  df-line 49935

This theorem is used by:  rrx2linest  49947  line2y  49960