rrx2vlinest - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem rrx2vlinest 48734

Description: The vertical line passing through the two different points 𝑋 and 𝑌 in a real Euclidean space of dimension 2 in "standard form". (Contributed by AV, 2-Feb-2023.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
rrx2line.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
rrx2line.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
rrx2line.b	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑_m 𝐼)
rrx2line.l	⊢ 𝐿 = (Line_M‘𝐸)

**Assertion**
Ref	Expression
rrx2vlinest	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)})

Distinct variable groups: 𝐸,𝑝 𝐼,𝑝 𝑃,𝑝 𝑋,𝑝 𝑌,𝑝 Allowed substitution hint: 𝐿(𝑝)

Proof of Theorem rrx2vlinest Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6860	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝑋‘2) = (𝑌‘2))
2	1	necon3i 2958	. . . 4 ⊢ ((𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2) → 𝑋 ≠ 𝑌)
3	2	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → 𝑋 ≠ 𝑌)
4		rrx2line.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
5		rrx2line.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
6		rrx2line.b	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑_m 𝐼)
7		rrx2line.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (Line_M‘𝐸)
8	4, 5, 6, 7	rrx2line 48733	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))})
9	3, 8	syl3an3 1165	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))})
10		oveq2 7398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑌‘1) = (𝑋‘1) → (𝑡 · (𝑌‘1)) = (𝑡 · (𝑋‘1)))
11	10	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌‘1) = (𝑋‘1) → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑋‘1))))
12	11	eqcoms 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑋‘1))))
13	12	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑋‘1))))
14	13	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑋‘1))))
15	14	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑋‘1))))
16	15	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑋‘1))))
17	4, 6	rrx2pxel 48704	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
18	17	recnd 11209	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℂ)
19	18	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → (𝑋‘1) ∈ ℂ)
20	19	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑋‘1) ∈ ℂ)
21	20	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑋‘1) ∈ ℂ)
22		recn 11165	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → 𝑡 ∈ ℂ)
23	22	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℂ)
24	21, 23	affineid 48697	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑋‘1))) = (𝑋‘1))
25	16, 24	eqtrd 2765	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) = (𝑋‘1))
26	25	eqeq2d 2741	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ↔ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)))
27	26	anbi1d 631	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ ((𝑝‘1) = (𝑋‘1) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))))
28	27	rexbidva 3156	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (𝑋‘1) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))))
29		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝‘1) = (𝑋‘1) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) → (𝑝‘1) = (𝑋‘1))
30	29	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((𝑝‘1) = (𝑋‘1) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) → (𝑝‘1) = (𝑋‘1)))
31	30	rexlimdva 3135	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (𝑋‘1) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) → (𝑝‘1) = (𝑋‘1)))
32	4, 6	rrx2pyel 48705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
33	32	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
34	4, 6	rrx2pyel 48705	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
35	34	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
36	35	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
37	33, 36	resubcld 11613	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℝ)
38	4, 6	rrx2pyel 48705	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
39	38	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
40	39, 35	resubcld 11613	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℝ)
41	40	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℝ)
42	38	recnd 11209	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
43	42	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
44	34	recnd 11209	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
45	44	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
46		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))
47	46	necomd 2981	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → (𝑌‘2) ≠ (𝑋‘2))
48	47	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → (𝑌‘2) ≠ (𝑋‘2))
49	43, 45, 48	subne0d 11549	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ≠ 0)
50	49	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ≠ 0)
51	37, 41, 50	redivcld 12017	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) ∈ ℝ)
52	51	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)) → (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) ∈ ℝ)
53		oveq2 7398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) → (1 − 𝑡) = (1 − (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))))
54	53	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) → ((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) = ((1 − (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))) · (𝑋‘2)))
55		oveq1 7397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) → (𝑡 · (𝑌‘2)) = ((((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) · (𝑌‘2)))
56	54, 55	oveq12d 7408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))) = (((1 − (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))) · (𝑋‘2)) + ((((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) · (𝑌‘2))))
57	56	eqeq2d 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) → ((𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))) ↔ (𝑝‘2) = (((1 − (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))) · (𝑋‘2)) + ((((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) · (𝑌‘2)))))
58	57	anbi2d 630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) → (((𝑝‘1) = (𝑋‘1) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ ((𝑝‘1) = (𝑋‘1) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))) · (𝑋‘2)) + ((((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) · (𝑌‘2))))))
59	58	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)) ∧ 𝑡 = (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))) → (((𝑝‘1) = (𝑋‘1) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ ((𝑝‘1) = (𝑋‘1) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))) · (𝑋‘2)) + ((((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) · (𝑌‘2))))))
60		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)) → (𝑝‘1) = (𝑋‘1))
61	44	mullidd 11199	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (1 · (𝑋‘2)) = (𝑋‘2))
62	61	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → (1 · (𝑋‘2)) = (𝑋‘2))
63	62	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (1 · (𝑋‘2)) = (𝑋‘2))
64	37	recnd 11209	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℂ)
65	42	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
66	44	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
67	65, 66	subcld 11540	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℂ)
68	67	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℂ)
69	68	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℂ)
70	64, 69, 50	divcan1d 11966	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) · ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) = ((𝑝‘2) − (𝑋‘2)))
71	63, 70	oveq12d 7408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((1 · (𝑋‘2)) + ((((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) · ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))) = ((𝑋‘2) + ((𝑝‘2) − (𝑋‘2))))
72	45	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
73	32	recnd 11209	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℂ)
74	73	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑝‘2) ∈ ℂ)
75	72, 74	pncan3d 11543	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑋‘2) + ((𝑝‘2) − (𝑋‘2))) = (𝑝‘2))
76	71, 75	eqtr2d 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑝‘2) = ((1 · (𝑋‘2)) + ((((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) · ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))))
77	76	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)) → (𝑝‘2) = ((1 · (𝑋‘2)) + ((((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) · ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))))
78		1cnd 11176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 1 ∈ ℂ)
79	51	recnd 11209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) ∈ ℂ)
80	43	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
81	78, 79, 72, 80	submuladdmuld 48694	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((1 − (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))) · (𝑋‘2)) + ((((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) · (𝑌‘2))) = ((1 · (𝑋‘2)) + ((((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) · ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))))
82	81	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)) → (((1 − (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))) · (𝑋‘2)) + ((((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) · (𝑌‘2))) = ((1 · (𝑋‘2)) + ((((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) · ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))))
83	77, 82	eqtr4d 2768	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)) → (𝑝‘2) = (((1 − (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))) · (𝑋‘2)) + ((((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) · (𝑌‘2))))
84	60, 83	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)) → ((𝑝‘1) = (𝑋‘1) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))) · (𝑋‘2)) + ((((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) · (𝑌‘2)))))
85	52, 59, 84	rspcedvd 3593	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)) → ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (𝑋‘1) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))))
86	85	ex 412	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑝‘1) = (𝑋‘1) → ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (𝑋‘1) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))))
87	31, 86	impbid 212	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (𝑋‘1) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)))
88	28, 87	bitrd 279	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)))
89	88	rabbidva 3415	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)})
90	9, 89	eqtrd 2765	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)})

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ≠ wne 2926 ∃wrex 3054 {crab 3408 {cpr 4594 ‘cfv 6514 (class class class)co 7390 ↑_m cmap 8802 ℂcc 11073 ℝcr 11074 0cc0 11075 1c1 11076 + caddc 11078 · cmul 11080 − cmin 11412 / cdiv 11842 2c2 12248 ℝ^crrx 25290 Line_Mcline 48720

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2702 ax-rep 5237 ax-sep 5254 ax-nul 5264 ax-pow 5323 ax-pr 5390 ax-un 7714 ax-cnex 11131 ax-resscn 11132 ax-1cn 11133 ax-icn 11134 ax-addcl 11135 ax-addrcl 11136 ax-mulcl 11137 ax-mulrcl 11138 ax-mulcom 11139 ax-addass 11140 ax-mulass 11141 ax-distr 11142 ax-i2m1 11143 ax-1ne0 11144 ax-1rid 11145 ax-rnegex 11146 ax-rrecex 11147 ax-cnre 11148 ax-pre-lttri 11149 ax-pre-lttrn 11150 ax-pre-ltadd 11151 ax-pre-mulgt0 11152 ax-pre-sup 11153 ax-addf 11154 ax-mulf 11155

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2709 df-cleq 2722 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2927 df-nel 3031 df-ral 3046 df-rex 3055 df-rmo 3356 df-reu 3357 df-rab 3409 df-v 3452 df-sbc 3757 df-csb 3866 df-dif 3920 df-un 3922 df-in 3924 df-ss 3934 df-pss 3937 df-nul 4300 df-if 4492 df-pw 4568 df-sn 4593 df-pr 4595 df-tp 4597 df-op 4599 df-uni 4875 df-iun 4960 df-br 5111 df-opab 5173 df-mpt 5192 df-tr 5218 df-id 5536 df-eprel 5541 df-po 5549 df-so 5550 df-fr 5594 df-we 5596 df-xp 5647 df-rel 5648 df-cnv 5649 df-co 5650 df-dm 5651 df-rn 5652 df-res 5653 df-ima 5654 df-pred 6277 df-ord 6338 df-on 6339 df-lim 6340 df-suc 6341 df-iota 6467 df-fun 6516 df-fn 6517 df-f 6518 df-f1 6519 df-fo 6520 df-f1o 6521 df-fv 6522 df-riota 7347 df-ov 7393 df-oprab 7394 df-mpo 7395 df-of 7656 df-om 7846 df-1st 7971 df-2nd 7972 df-supp 8143 df-tpos 8208 df-frecs 8263 df-wrecs 8294 df-recs 8343 df-rdg 8381 df-1o 8437 df-2o 8438 df-er 8674 df-map 8804 df-ixp 8874 df-en 8922 df-dom 8923 df-sdom 8924 df-fin 8925 df-fsupp 9320 df-sup 9400 df-pnf 11217 df-mnf 11218 df-xr 11219 df-ltxr 11220 df-le 11221 df-sub 11414 df-neg 11415 df-div 11843 df-nn 12194 df-2 12256 df-3 12257 df-4 12258 df-5 12259 df-6 12260 df-7 12261 df-8 12262 df-9 12263 df-n0 12450 df-z 12537 df-dec 12657 df-uz 12801 df-rp 12959 df-fz 13476 df-seq 13974 df-exp 14034 df-cj 15072 df-re 15073 df-im 15074 df-sqrt 15208 df-abs 15209 df-struct 17124 df-sets 17141 df-slot 17159 df-ndx 17171 df-base 17187 df-ress 17208 df-plusg 17240 df-mulr 17241 df-starv 17242 df-sca 17243 df-vsca 17244 df-ip 17245 df-tset 17246 df-ple 17247 df-ds 17249 df-unif 17250 df-hom 17251 df-cco 17252 df-0g 17411 df-prds 17417 df-pws 17419 df-mgm 18574 df-sgrp 18653 df-mnd 18669 df-mhm 18717 df-grp 18875 df-minusg 18876 df-sbg 18877 df-subg 19062 df-ghm 19152 df-cmn 19719 df-abl 19720 df-mgp 20057 df-rng 20069 df-ur 20098 df-ring 20151 df-cring 20152 df-oppr 20253 df-dvdsr 20273 df-unit 20274 df-invr 20304 df-dvr 20317 df-rhm 20388 df-subrng 20462 df-subrg 20486 df-drng 20647 df-field 20648 df-staf 20755 df-srng 20756 df-lmod 20775 df-lss 20845 df-sra 21087 df-rgmod 21088 df-cnfld 21272 df-refld 21521 df-dsmm 21648 df-frlm 21663 df-tng 24479 df-tcph 25076 df-rrx 25292 df-line 48722

This theorem is referenced by: rrx2linest 48735 line2y 48748

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