Theorem rrx2vlinest 50058

Description: The vertical line passing through the two different points 𝑋 and 𝑌 in a real Euclidean space of dimension 2 in "standard form". (Contributed by AV, 2-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrx2line.i	⊢ 𝐼 = (0..^2)
rrx2line.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
rrx2line.b	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrx2line.l	⊢ 𝐿 = (LineM‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
rrx2vlinest	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘0) = (𝑋‘0)})

Distinct variable groups:   𝐸,𝑝   𝐼,𝑝   𝑃,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝

Allowed substitution hint:   𝐿(𝑝)

Proof of Theorem rrx2vlinest

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6907	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝑋‘1) = (𝑌‘1))
2	1	necon3i 2991	. . . 4 ⊢ ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) → 𝑋 ≠ 𝑌)
3	2	adantl 487	. . 3 ⊢ (((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → 𝑋 ≠ 𝑌)
4		rrx2line.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (0..^2)
5		rrx2line.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
6		rrx2line.b	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
7		rrx2line.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineM‘𝐸)
8	4, 5, 6, 7	rrx2line 50057	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘0) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘0)) + (𝑡 · (𝑌‘0))) ∧ (𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))))})
9	3, 8	syl3an3 1183	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘0) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘0)) + (𝑡 · (𝑌‘0))) ∧ (𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))))})
10		oveq2 7451	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑌‘0) = (𝑋‘0) → (𝑡 · (𝑌‘0)) = (𝑡 · (𝑋‘0)))
11	10	oveq2d 7459	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌‘0) = (𝑋‘0) → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘0)) + (𝑡 · (𝑌‘0))) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘0)) + (𝑡 · (𝑋‘0))))
12	11	eqcoms 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘0)) + (𝑡 · (𝑌‘0))) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘0)) + (𝑡 · (𝑋‘0))))
13	12	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘0)) + (𝑡 · (𝑌‘0))) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘0)) + (𝑡 · (𝑋‘0))))
14	13	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘0)) + (𝑡 · (𝑌‘0))) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘0)) + (𝑡 · (𝑋‘0))))
15	14	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘0)) + (𝑡 · (𝑌‘0))) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘0)) + (𝑡 · (𝑋‘0))))
16	15	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘0)) + (𝑡 · (𝑌‘0))) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘0)) + (𝑡 · (𝑋‘0))))
17	4, 6	rrx2pxel 50028	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘0) ∈ ℝ)
18	17	recnd 11364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘0) ∈ ℂ)
19	18	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) → (𝑋‘0) ∈ ℂ)
20	19	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑋‘0) ∈ ℂ)
21	20	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑋‘0) ∈ ℂ)
22		recn 11317	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → 𝑡 ∈ ℂ)
23	22	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℂ)
24	21, 23	affineid 50021	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘0)) + (𝑡 · (𝑋‘0))) = (𝑋‘0))
25	16, 24	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘0)) + (𝑡 · (𝑌‘0))) = (𝑋‘0))
26	25	eqeq2d 2774	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑝‘0) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘0)) + (𝑡 · (𝑌‘0))) ↔ (𝑝‘0) = (𝑋‘0)))
27	26	anbi1d 643	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((𝑝‘0) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘0)) + (𝑡 · (𝑌‘0))) ∧ (𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1)))) ↔ ((𝑝‘0) = (𝑋‘0) ∧ (𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))))))
28	27	rexbidva 3188	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘0) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘0)) + (𝑡 · (𝑌‘0))) ∧ (𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1)))) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘0) = (𝑋‘0) ∧ (𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))))))
29		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝑝‘0) = (𝑋‘0) ∧ (𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1)))) → (𝑝‘0) = (𝑋‘0))
30	29	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((𝑝‘0) = (𝑋‘0) ∧ (𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1)))) → (𝑝‘0) = (𝑋‘0)))
31	4, 6	rrx2pyel 50029	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
32	31	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
33	4, 6	rrx2pyel 50029	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
34	33	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
35	34	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
36	32, 35	resubcld 11771	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) ∈ ℝ)
37	4, 6	rrx2pyel 50029	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
38	37	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
39	38, 34	resubcld 11771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ∈ ℝ)
40	39	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ∈ ℝ)
41	37	recnd 11364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℂ)
42	41	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) → (𝑌‘1) ∈ ℂ)
43	33	recnd 11364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℂ)
44	43	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) → (𝑋‘1) ∈ ℂ)
45		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))
46	45	necomd 3014	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑌‘1) ≠ (𝑋‘1))
47	46	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) → (𝑌‘1) ≠ (𝑋‘1))
48	42, 44, 47	subne0d 11706	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ≠ 0)
49	48	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ≠ 0)
50	36, 40, 49	redivcld 12172	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) ∈ ℝ)
51	50	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝‘0) = (𝑋‘0)) → (((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) ∈ ℝ)
52		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝‘0) = (𝑋‘0)) → (𝑝‘0) = (𝑋‘0))
53	43	mullidd 11354	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (1 · (𝑋‘1)) = (𝑋‘1))
54	53	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) → (1 · (𝑋‘1)) = (𝑋‘1))
55	54	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (1 · (𝑋‘1)) = (𝑋‘1))
56	36	recnd 11364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) ∈ ℂ)
57	41	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑌‘1) ∈ ℂ)
58	43	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋‘1) ∈ ℂ)
59	57, 58	subcld 11696	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ∈ ℂ)
60	59	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ∈ ℂ)
61	60	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ∈ ℂ)
62	56, 61, 49	divcan1d 12121	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) = ((𝑝‘1) − (𝑋‘1)))
63	55, 62	oveq12d 7461	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((1 · (𝑋‘1)) + ((((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)))) = ((𝑋‘1) + ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))))
64	44	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑋‘1) ∈ ℂ)
65	31	recnd 11364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℂ)
66	65	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑝‘1) ∈ ℂ)
67	64, 66	pncan3d 11699	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑋‘1) + ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) = (𝑝‘1))
68	63, 67	eqtr2d 2799	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑝‘1) = ((1 · (𝑋‘1)) + ((((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)))))
69	68	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝‘0) = (𝑋‘0)) → (𝑝‘1) = ((1 · (𝑋‘1)) + ((((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)))))
70		1cnd 11329	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 1 ∈ ℂ)
71	50	recnd 11364	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) ∈ ℂ)
72	42	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑌‘1) ∈ ℂ)
73	70, 71, 64, 72	submuladdmuld 50018	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((1 − (((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)))) · (𝑋‘1)) + ((((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · (𝑌‘1))) = ((1 · (𝑋‘1)) + ((((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)))))
74	73	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝‘0) = (𝑋‘0)) → (((1 − (((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)))) · (𝑋‘1)) + ((((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · (𝑌‘1))) = ((1 · (𝑋‘1)) + ((((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)))))
75	69, 74	eqtr4d 2801	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝‘0) = (𝑋‘0)) → (𝑝‘1) = (((1 − (((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)))) · (𝑋‘1)) + ((((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · (𝑌‘1))))
76	52, 75	jca 521	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝‘0) = (𝑋‘0)) → ((𝑝‘0) = (𝑋‘0) ∧ (𝑝‘1) = (((1 − (((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)))) · (𝑋‘1)) + ((((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · (𝑌‘1)))))
77		oveq2 7451	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = (((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) → (1 − 𝑡) = (1 − (((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)))))
78	77	oveq1d 7458	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = (((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) → ((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) = ((1 − (((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)))) · (𝑋‘1)))
79		oveq1 7450	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = (((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) → (𝑡 · (𝑌‘1)) = ((((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · (𝑌‘1)))
80	78, 79	oveq12d 7461	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = (((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) = (((1 − (((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)))) · (𝑋‘1)) + ((((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · (𝑌‘1))))
81	80	eqeq2d 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = (((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) → ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ↔ (𝑝‘1) = (((1 − (((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)))) · (𝑋‘1)) + ((((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · (𝑌‘1)))))
82	81	anbi2d 642	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = (((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) → (((𝑝‘0) = (𝑋‘0) ∧ (𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1)))) ↔ ((𝑝‘0) = (𝑋‘0) ∧ (𝑝‘1) = (((1 − (((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)))) · (𝑋‘1)) + ((((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · (𝑌‘1))))))
83	30, 51, 76, 82	rspceb2dv 3584	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘0) = (𝑋‘0) ∧ (𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1)))) ↔ (𝑝‘0) = (𝑋‘0)))
84	28, 83	bitrd 282	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘0) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘0)) + (𝑡 · (𝑌‘0))) ∧ (𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1)))) ↔ (𝑝‘0) = (𝑋‘0)))
85	84	rabbidva 3422	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) → {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘0) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘0)) + (𝑡 · (𝑌‘0))) ∧ (𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))))} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘0) = (𝑋‘0)})
86	9, 85	eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘0) = (𝑋‘0)})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090  {crab 3416  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443   ↑_m cmap 8875  ℂcc 11225  ℝcr 11226  0cc0 11227  1c1 11228   + caddc 11230   · cmul 11232   − cmin 11568   / cdiv 12000  2c2 12424  ..^cfzo 13815  ℝ^crrx 25734  Line_Mcline 50045

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305  ax-addf 11306  ax-mulf 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-supp 8205  df-tpos 8271  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-map 8877  df-ixp 8954  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-fsupp 9382  df-sup 9461  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-rp 13148  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-seq 14172  df-exp 14232  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-struct 17354  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-starv 17472  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-ip 17475  df-tset 17476  df-ple 17477  df-ds 17479  df-unif 17480  df-hom 17481  df-cco 17482  df-0g 17641  df-prds 17647  df-pws 17649  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-mhm 19007  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-sbg 19178  df-subg 19362  df-ghm 19457  df-cmn 20026  df-abl 20027  df-mgp 20391  df-rng 20405  df-ur 20438  df-ring 20491  df-cring 20492  df-oppr 20597  df-dvdsr 20617  df-unit 20618  df-invr 20648  df-dvr 20661  df-rhm 20732  df-subrng 20828  df-subrg 20852  df-drng 21012  df-field 21013  df-staf 21126  df-srng 21127  df-lmod 21167  df-lss 21237  df-sra 21478  df-rgmod 21479  df-cnfld 21709  df-refld 21941  df-dsmm 22068  df-frlm 22083  df-tng 24933  df-tcph 25520  df-rrx 25736  df-line 50047

This theorem is used by:  rrx2linest  50059  line2y  50072