rrx2vlinest - Mathbox for Alexander van der Vekens

	Mathbox for Alexander van der Vekens		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > rrx2vlinest		Structured version Visualization version GIF version

Theorem rrx2vlinest 47707

Description: The vertical line passing through the two different points 𝑋 and 𝑌 in a real Euclidean space of dimension 2 in "standard form". (Contributed by AV, 2-Feb-2023.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
rrx2line.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
rrx2line.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
rrx2line.b	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑_m 𝐼)
rrx2line.l	⊢ 𝐿 = (Line_M‘𝐸)

**Assertion**
Ref	Expression
rrx2vlinest	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)})

Distinct variable groups: 𝐸,𝑝 𝐼,𝑝 𝑃,𝑝 𝑋,𝑝 𝑌,𝑝 Allowed substitution hint: 𝐿(𝑝)

Proof of Theorem rrx2vlinest Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6884	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝑋‘2) = (𝑌‘2))
2	1	necon3i 2967	. . . 4 ⊢ ((𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2) → 𝑋 ≠ 𝑌)
3	2	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → 𝑋 ≠ 𝑌)
4		rrx2line.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
5		rrx2line.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
6		rrx2line.b	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑_m 𝐼)
7		rrx2line.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (Line_M‘𝐸)
8	4, 5, 6, 7	rrx2line 47706	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))})
9	3, 8	syl3an3 1162	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))})
10		oveq2 7413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑌‘1) = (𝑋‘1) → (𝑡 · (𝑌‘1)) = (𝑡 · (𝑋‘1)))
11	10	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌‘1) = (𝑋‘1) → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑋‘1))))
12	11	eqcoms 2734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑋‘1))))
13	12	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑋‘1))))
14	13	3ad2ant3 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑋‘1))))
15	14	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑋‘1))))
16	15	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑋‘1))))
17	4, 6	rrx2pxel 47677	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
18	17	recnd 11246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℂ)
19	18	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → (𝑋‘1) ∈ ℂ)
20	19	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑋‘1) ∈ ℂ)
21	20	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑋‘1) ∈ ℂ)
22		recn 11202	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → 𝑡 ∈ ℂ)
23	22	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℂ)
24	21, 23	affineid 47670	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑋‘1))) = (𝑋‘1))
25	16, 24	eqtrd 2766	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) = (𝑋‘1))
26	25	eqeq2d 2737	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ↔ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)))
27	26	anbi1d 629	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ ((𝑝‘1) = (𝑋‘1) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))))
28	27	rexbidva 3170	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (𝑋‘1) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))))
29		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝‘1) = (𝑋‘1) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) → (𝑝‘1) = (𝑋‘1))
30	29	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((𝑝‘1) = (𝑋‘1) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) → (𝑝‘1) = (𝑋‘1)))
31	30	rexlimdva 3149	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (𝑋‘1) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) → (𝑝‘1) = (𝑋‘1)))
32	4, 6	rrx2pyel 47678	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
33	32	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
34	4, 6	rrx2pyel 47678	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
35	34	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
36	35	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
37	33, 36	resubcld 11646	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℝ)
38	4, 6	rrx2pyel 47678	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
39	38	3ad2ant2 1131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
40	39, 35	resubcld 11646	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℝ)
41	40	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℝ)
42	38	recnd 11246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
43	42	3ad2ant2 1131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
44	34	recnd 11246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
45	44	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
46		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))
47	46	necomd 2990	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → (𝑌‘2) ≠ (𝑋‘2))
48	47	3ad2ant3 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → (𝑌‘2) ≠ (𝑋‘2))
49	43, 45, 48	subne0d 11584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ≠ 0)
50	49	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ≠ 0)
51	37, 41, 50	redivcld 12046	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) ∈ ℝ)
52	51	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)) → (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) ∈ ℝ)
53		oveq2 7413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) → (1 − 𝑡) = (1 − (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))))
54	53	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) → ((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) = ((1 − (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))) · (𝑋‘2)))
55		oveq1 7412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) → (𝑡 · (𝑌‘2)) = ((((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) · (𝑌‘2)))
56	54, 55	oveq12d 7423	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))) = (((1 − (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))) · (𝑋‘2)) + ((((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) · (𝑌‘2))))
57	56	eqeq2d 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) → ((𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))) ↔ (𝑝‘2) = (((1 − (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))) · (𝑋‘2)) + ((((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) · (𝑌‘2)))))
58	57	anbi2d 628	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) → (((𝑝‘1) = (𝑋‘1) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ ((𝑝‘1) = (𝑋‘1) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))) · (𝑋‘2)) + ((((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) · (𝑌‘2))))))
59	58	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)) ∧ 𝑡 = (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))) → (((𝑝‘1) = (𝑋‘1) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ ((𝑝‘1) = (𝑋‘1) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))) · (𝑋‘2)) + ((((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) · (𝑌‘2))))))
60		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)) → (𝑝‘1) = (𝑋‘1))
61	44	mullidd 11236	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (1 · (𝑋‘2)) = (𝑋‘2))
62	61	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → (1 · (𝑋‘2)) = (𝑋‘2))
63	62	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (1 · (𝑋‘2)) = (𝑋‘2))
64	37	recnd 11246	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℂ)
65	42	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
66	44	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
67	65, 66	subcld 11575	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℂ)
68	67	3adant3 1129	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℂ)
69	68	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℂ)
70	64, 69, 50	divcan1d 11995	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) · ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) = ((𝑝‘2) − (𝑋‘2)))
71	63, 70	oveq12d 7423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((1 · (𝑋‘2)) + ((((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) · ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))) = ((𝑋‘2) + ((𝑝‘2) − (𝑋‘2))))
72	45	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
73	32	recnd 11246	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℂ)
74	73	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑝‘2) ∈ ℂ)
75	72, 74	pncan3d 11578	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑋‘2) + ((𝑝‘2) − (𝑋‘2))) = (𝑝‘2))
76	71, 75	eqtr2d 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑝‘2) = ((1 · (𝑋‘2)) + ((((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) · ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))))
77	76	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)) → (𝑝‘2) = ((1 · (𝑋‘2)) + ((((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) · ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))))
78		1cnd 11213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 1 ∈ ℂ)
79	51	recnd 11246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) ∈ ℂ)
80	43	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
81	78, 79, 72, 80	submuladdmuld 47667	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((1 − (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))) · (𝑋‘2)) + ((((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) · (𝑌‘2))) = ((1 · (𝑋‘2)) + ((((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) · ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))))
82	81	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)) → (((1 − (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))) · (𝑋‘2)) + ((((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) · (𝑌‘2))) = ((1 · (𝑋‘2)) + ((((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) · ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))))
83	77, 82	eqtr4d 2769	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)) → (𝑝‘2) = (((1 − (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))) · (𝑋‘2)) + ((((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) · (𝑌‘2))))
84	60, 83	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)) → ((𝑝‘1) = (𝑋‘1) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))) · (𝑋‘2)) + ((((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) · (𝑌‘2)))))
85	52, 59, 84	rspcedvd 3608	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)) → ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (𝑋‘1) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))))
86	85	ex 412	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑝‘1) = (𝑋‘1) → ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (𝑋‘1) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))))
87	31, 86	impbid 211	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (𝑋‘1) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)))
88	28, 87	bitrd 279	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)))
89	88	rabbidva 3433	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)})
90	9, 89	eqtrd 2766	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)})

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 395 ∧ w3a 1084 = wceq 1533 ∈ wcel 2098 ≠ wne 2934 ∃wrex 3064 {crab 3426 {cpr 4625 ‘cfv 6537 (class class class)co 7405 ↑_m cmap 8822 ℂcc 11110 ℝcr 11111 0cc0 11112 1c1 11113 + caddc 11115 · cmul 11117 − cmin 11448 / cdiv 11875 2c2 12271 ℝ^crrx 25266 Line_Mcline 47693

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-rep 5278 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7722 ax-cnex 11168 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189 ax-pre-sup 11190 ax-addf 11191 ax-mulf 11192

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-tp 4628 df-op 4630 df-uni 4903 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6294 df-ord 6361 df-on 6362 df-lim 6363 df-suc 6364 df-iota 6489 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-of 7667 df-om 7853 df-1st 7974 df-2nd 7975 df-supp 8147 df-tpos 8212 df-frecs 8267 df-wrecs 8298 df-recs 8372 df-rdg 8411 df-1o 8467 df-er 8705 df-map 8824 df-ixp 8894 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-fin 8945 df-fsupp 9364 df-sup 9439 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-xr 11256 df-ltxr 11257 df-le 11258 df-sub 11450 df-neg 11451 df-div 11876 df-nn 12217 df-2 12279 df-3 12280 df-4 12281 df-5 12282 df-6 12283 df-7 12284 df-8 12285 df-9 12286 df-n0 12477 df-z 12563 df-dec 12682 df-uz 12827 df-rp 12981 df-fz 13491 df-seq 13973 df-exp 14033 df-cj 15052 df-re 15053 df-im 15054 df-sqrt 15188 df-abs 15189 df-struct 17089 df-sets 17106 df-slot 17124 df-ndx 17136 df-base 17154 df-ress 17183 df-plusg 17219 df-mulr 17220 df-starv 17221 df-sca 17222 df-vsca 17223 df-ip 17224 df-tset 17225 df-ple 17226 df-ds 17228 df-unif 17229 df-hom 17230 df-cco 17231 df-0g 17396 df-prds 17402 df-pws 17404 df-mgm 18573 df-sgrp 18652 df-mnd 18668 df-mhm 18713 df-grp 18866 df-minusg 18867 df-sbg 18868 df-subg 19050 df-ghm 19139 df-cmn 19702 df-abl 19703 df-mgp 20040 df-rng 20058 df-ur 20087 df-ring 20140 df-cring 20141 df-oppr 20236 df-dvdsr 20259 df-unit 20260 df-invr 20290 df-dvr 20303 df-rhm 20374 df-subrng 20446 df-subrg 20471 df-drng 20589 df-field 20590 df-staf 20688 df-srng 20689 df-lmod 20708 df-lss 20779 df-sra 21021 df-rgmod 21022 df-cnfld 21241 df-refld 21498 df-dsmm 21627 df-frlm 21642 df-tng 24448 df-tcph 25052 df-rrx 25268 df-line 47695

This theorem is referenced by: rrx2linest 47708 line2y 47721

W3C validator