rrx2vlinest - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem rrx2vlinest 47925

Description: The vertical line passing through the two different points 𝑋 and 𝑌 in a real Euclidean space of dimension 2 in "standard form". (Contributed by AV, 2-Feb-2023.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
rrx2line.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
rrx2line.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
rrx2line.b	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑_m 𝐼)
rrx2line.l	⊢ 𝐿 = (Line_M‘𝐸)

**Assertion**
Ref	Expression
rrx2vlinest	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)})

Distinct variable groups: 𝐸,𝑝 𝐼,𝑝 𝑃,𝑝 𝑋,𝑝 𝑌,𝑝 Allowed substitution hint: 𝐿(𝑝)

Proof of Theorem rrx2vlinest Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6890	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝑋‘2) = (𝑌‘2))
2	1	necon3i 2963	. . . 4 ⊢ ((𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2) → 𝑋 ≠ 𝑌)
3	2	adantl 480	. . 3 ⊢ (((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → 𝑋 ≠ 𝑌)
4		rrx2line.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
5		rrx2line.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
6		rrx2line.b	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑_m 𝐼)
7		rrx2line.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (Line_M‘𝐸)
8	4, 5, 6, 7	rrx2line 47924	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))})
9	3, 8	syl3an3 1162	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))})
10		oveq2 7423	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑌‘1) = (𝑋‘1) → (𝑡 · (𝑌‘1)) = (𝑡 · (𝑋‘1)))
11	10	oveq2d 7431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌‘1) = (𝑋‘1) → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑋‘1))))
12	11	eqcoms 2733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑋‘1))))
13	12	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑋‘1))))
14	13	3ad2ant3 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑋‘1))))
15	14	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑋‘1))))
16	15	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑋‘1))))
17	4, 6	rrx2pxel 47895	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
18	17	recnd 11270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℂ)
19	18	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → (𝑋‘1) ∈ ℂ)
20	19	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑋‘1) ∈ ℂ)
21	20	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑋‘1) ∈ ℂ)
22		recn 11226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → 𝑡 ∈ ℂ)
23	22	adantl 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℂ)
24	21, 23	affineid 47888	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑋‘1))) = (𝑋‘1))
25	16, 24	eqtrd 2765	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) = (𝑋‘1))
26	25	eqeq2d 2736	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ↔ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)))
27	26	anbi1d 629	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ ((𝑝‘1) = (𝑋‘1) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))))
28	27	rexbidva 3167	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (𝑋‘1) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))))
29		simpl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝‘1) = (𝑋‘1) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) → (𝑝‘1) = (𝑋‘1))
30	29	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((𝑝‘1) = (𝑋‘1) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) → (𝑝‘1) = (𝑋‘1)))
31	30	rexlimdva 3145	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (𝑋‘1) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) → (𝑝‘1) = (𝑋‘1)))
32	4, 6	rrx2pyel 47896	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
33	32	adantl 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
34	4, 6	rrx2pyel 47896	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
35	34	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
36	35	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
37	33, 36	resubcld 11670	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℝ)
38	4, 6	rrx2pyel 47896	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
39	38	3ad2ant2 1131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
40	39, 35	resubcld 11670	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℝ)
41	40	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℝ)
42	38	recnd 11270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
43	42	3ad2ant2 1131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
44	34	recnd 11270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
45	44	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
46		simpr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))
47	46	necomd 2986	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → (𝑌‘2) ≠ (𝑋‘2))
48	47	3ad2ant3 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → (𝑌‘2) ≠ (𝑋‘2))
49	43, 45, 48	subne0d 11608	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ≠ 0)
50	49	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ≠ 0)
51	37, 41, 50	redivcld 12070	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) ∈ ℝ)
52	51	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)) → (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) ∈ ℝ)
53		oveq2 7423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) → (1 − 𝑡) = (1 − (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))))
54	53	oveq1d 7430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) → ((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) = ((1 − (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))) · (𝑋‘2)))
55		oveq1 7422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) → (𝑡 · (𝑌‘2)) = ((((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) · (𝑌‘2)))
56	54, 55	oveq12d 7433	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))) = (((1 − (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))) · (𝑋‘2)) + ((((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) · (𝑌‘2))))
57	56	eqeq2d 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) → ((𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))) ↔ (𝑝‘2) = (((1 − (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))) · (𝑋‘2)) + ((((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) · (𝑌‘2)))))
58	57	anbi2d 628	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) → (((𝑝‘1) = (𝑋‘1) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ ((𝑝‘1) = (𝑋‘1) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))) · (𝑋‘2)) + ((((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) · (𝑌‘2))))))
59	58	adantl 480	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)) ∧ 𝑡 = (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))) → (((𝑝‘1) = (𝑋‘1) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ ((𝑝‘1) = (𝑋‘1) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))) · (𝑋‘2)) + ((((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) · (𝑌‘2))))))
60		simpr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)) → (𝑝‘1) = (𝑋‘1))
61	44	mullidd 11260	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (1 · (𝑋‘2)) = (𝑋‘2))
62	61	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → (1 · (𝑋‘2)) = (𝑋‘2))
63	62	adantr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (1 · (𝑋‘2)) = (𝑋‘2))
64	37	recnd 11270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℂ)
65	42	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
66	44	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
67	65, 66	subcld 11599	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℂ)
68	67	3adant3 1129	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℂ)
69	68	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℂ)
70	64, 69, 50	divcan1d 12019	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) · ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) = ((𝑝‘2) − (𝑋‘2)))
71	63, 70	oveq12d 7433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((1 · (𝑋‘2)) + ((((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) · ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))) = ((𝑋‘2) + ((𝑝‘2) − (𝑋‘2))))
72	45	adantr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
73	32	recnd 11270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℂ)
74	73	adantl 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑝‘2) ∈ ℂ)
75	72, 74	pncan3d 11602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑋‘2) + ((𝑝‘2) − (𝑋‘2))) = (𝑝‘2))
76	71, 75	eqtr2d 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑝‘2) = ((1 · (𝑋‘2)) + ((((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) · ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))))
77	76	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)) → (𝑝‘2) = ((1 · (𝑋‘2)) + ((((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) · ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))))
78		1cnd 11237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 1 ∈ ℂ)
79	51	recnd 11270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) ∈ ℂ)
80	43	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
81	78, 79, 72, 80	submuladdmuld 47885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((1 − (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))) · (𝑋‘2)) + ((((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) · (𝑌‘2))) = ((1 · (𝑋‘2)) + ((((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) · ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))))
82	81	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)) → (((1 − (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))) · (𝑋‘2)) + ((((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) · (𝑌‘2))) = ((1 · (𝑋‘2)) + ((((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) · ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))))
83	77, 82	eqtr4d 2768	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)) → (𝑝‘2) = (((1 − (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))) · (𝑋‘2)) + ((((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) · (𝑌‘2))))
84	60, 83	jca 510	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)) → ((𝑝‘1) = (𝑋‘1) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))) · (𝑋‘2)) + ((((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) · (𝑌‘2)))))
85	52, 59, 84	rspcedvd 3604	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)) → ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (𝑋‘1) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))))
86	85	ex 411	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑝‘1) = (𝑋‘1) → ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (𝑋‘1) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))))
87	31, 86	impbid 211	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (𝑋‘1) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)))
88	28, 87	bitrd 278	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)))
89	88	rabbidva 3426	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)})
90	9, 89	eqtrd 2765	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)})

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 394 ∧ w3a 1084 = wceq 1533 ∈ wcel 2098 ≠ wne 2930 ∃wrex 3060 {crab 3419 {cpr 4626 ‘cfv 6542 (class class class)co 7415 ↑_m cmap 8841 ℂcc 11134 ℝcr 11135 0cc0 11136 1c1 11137 + caddc 11139 · cmul 11141 − cmin 11472 / cdiv 11899 2c2 12295 ℝ^crrx 25327 Line_Mcline 47911

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2696 ax-rep 5280 ax-sep 5294 ax-nul 5301 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7737 ax-cnex 11192 ax-resscn 11193 ax-1cn 11194 ax-icn 11195 ax-addcl 11196 ax-addrcl 11197 ax-mulcl 11198 ax-mulrcl 11199 ax-mulcom 11200 ax-addass 11201 ax-mulass 11202 ax-distr 11203 ax-i2m1 11204 ax-1ne0 11205 ax-1rid 11206 ax-rnegex 11207 ax-rrecex 11208 ax-cnre 11209 ax-pre-lttri 11210 ax-pre-lttrn 11211 ax-pre-ltadd 11212 ax-pre-mulgt0 11213 ax-pre-sup 11214 ax-addf 11215 ax-mulf 11216

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2703 df-cleq 2717 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2931 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3364 df-reu 3365 df-rab 3420 df-v 3465 df-sbc 3770 df-csb 3886 df-dif 3943 df-un 3945 df-in 3947 df-ss 3957 df-pss 3960 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-tp 4629 df-op 4631 df-uni 4904 df-iun 4993 df-br 5144 df-opab 5206 df-mpt 5227 df-tr 5261 df-id 5570 df-eprel 5576 df-po 5584 df-so 5585 df-fr 5627 df-we 5629 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-riota 7371 df-ov 7418 df-oprab 7419 df-mpo 7420 df-of 7681 df-om 7868 df-1st 7989 df-2nd 7990 df-supp 8162 df-tpos 8228 df-frecs 8283 df-wrecs 8314 df-recs 8388 df-rdg 8427 df-1o 8483 df-er 8721 df-map 8843 df-ixp 8913 df-en 8961 df-dom 8962 df-sdom 8963 df-fin 8964 df-fsupp 9384 df-sup 9463 df-pnf 11278 df-mnf 11279 df-xr 11280 df-ltxr 11281 df-le 11282 df-sub 11474 df-neg 11475 df-div 11900 df-nn 12241 df-2 12303 df-3 12304 df-4 12305 df-5 12306 df-6 12307 df-7 12308 df-8 12309 df-9 12310 df-n0 12501 df-z 12587 df-dec 12706 df-uz 12851 df-rp 13005 df-fz 13515 df-seq 13997 df-exp 14057 df-cj 15076 df-re 15077 df-im 15078 df-sqrt 15212 df-abs 15213 df-struct 17113 df-sets 17130 df-slot 17148 df-ndx 17160 df-base 17178 df-ress 17207 df-plusg 17243 df-mulr 17244 df-starv 17245 df-sca 17246 df-vsca 17247 df-ip 17248 df-tset 17249 df-ple 17250 df-ds 17252 df-unif 17253 df-hom 17254 df-cco 17255 df-0g 17420 df-prds 17426 df-pws 17428 df-mgm 18597 df-sgrp 18676 df-mnd 18692 df-mhm 18737 df-grp 18895 df-minusg 18896 df-sbg 18897 df-subg 19080 df-ghm 19170 df-cmn 19739 df-abl 19740 df-mgp 20077 df-rng 20095 df-ur 20124 df-ring 20177 df-cring 20178 df-oppr 20275 df-dvdsr 20298 df-unit 20299 df-invr 20329 df-dvr 20342 df-rhm 20413 df-subrng 20485 df-subrg 20510 df-drng 20628 df-field 20629 df-staf 20727 df-srng 20728 df-lmod 20747 df-lss 20818 df-sra 21060 df-rgmod 21061 df-cnfld 21282 df-refld 21539 df-dsmm 21668 df-frlm 21683 df-tng 24509 df-tcph 25113 df-rrx 25329 df-line 47913

This theorem is referenced by: rrx2linest 47926 line2y 47939

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