Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrx2vlinest Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrx2vlinest 46917
Description: The vertical line passing through the two different points ๐‘‹ and ๐‘Œ in a real Euclidean space of dimension 2 in "standard form". (Contributed by AV, 2-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rrx2line.i ๐ผ = {1, 2}
rrx2line.e ๐ธ = (โ„^โ€˜๐ผ)
rrx2line.b ๐‘ƒ = (โ„ โ†‘m ๐ผ)
rrx2line.l ๐ฟ = (LineMโ€˜๐ธ)
Assertion
Ref Expression
rrx2vlinest ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))) โ†’ (๐‘‹๐ฟ๐‘Œ) = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐‘โ€˜1) = (๐‘‹โ€˜1)})
Distinct variable groups:   ๐ธ,๐‘   ๐ผ,๐‘   ๐‘ƒ,๐‘   ๐‘‹,๐‘   ๐‘Œ,๐‘
Allowed substitution hint:   ๐ฟ(๐‘)

Proof of Theorem rrx2vlinest
Dummy variable ๐‘ก is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq1 6845 . . . . 5 (๐‘‹ = ๐‘Œ โ†’ (๐‘‹โ€˜2) = (๐‘Œโ€˜2))
21necon3i 2973 . . . 4 ((๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2) โ†’ ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)
32adantl 483 . . 3 (((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2)) โ†’ ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)
4 rrx2line.i . . . 4 ๐ผ = {1, 2}
5 rrx2line.e . . . 4 ๐ธ = (โ„^โ€˜๐ผ)
6 rrx2line.b . . . 4 ๐‘ƒ = (โ„ โ†‘m ๐ผ)
7 rrx2line.l . . . 4 ๐ฟ = (LineMโ€˜๐ธ)
84, 5, 6, 7rrx2line 46916 . . 3 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (๐‘‹๐ฟ๐‘Œ) = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ((๐‘โ€˜1) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜1)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜1))) โˆง (๐‘โ€˜2) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜2))))})
93, 8syl3an3 1166 . 2 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))) โ†’ (๐‘‹๐ฟ๐‘Œ) = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ((๐‘โ€˜1) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜1)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜1))) โˆง (๐‘โ€˜2) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜2))))})
10 oveq2 7369 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘Œโ€˜1) = (๐‘‹โ€˜1) โ†’ (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜1)) = (๐‘ก ยท (๐‘‹โ€˜1)))
1110oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘Œโ€˜1) = (๐‘‹โ€˜1) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜1)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜1))) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜1)) + (๐‘ก ยท (๐‘‹โ€˜1))))
1211eqcoms 2741 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜1)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜1))) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜1)) + (๐‘ก ยท (๐‘‹โ€˜1))))
1312adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2)) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜1)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜1))) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜1)) + (๐‘ก ยท (๐‘‹โ€˜1))))
14133ad2ant3 1136 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜1)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜1))) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜1)) + (๐‘ก ยท (๐‘‹โ€˜1))))
1514adantr 482 . . . . . . . . 9 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜1)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜1))) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜1)) + (๐‘ก ยท (๐‘‹โ€˜1))))
1615adantr 482 . . . . . . . 8 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜1)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜1))) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜1)) + (๐‘ก ยท (๐‘‹โ€˜1))))
174, 6rrx2pxel 46887 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘‹โ€˜1) โˆˆ โ„)
1817recnd 11191 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘‹โ€˜1) โˆˆ โ„‚)
19183ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))) โ†’ (๐‘‹โ€˜1) โˆˆ โ„‚)
2019adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘‹โ€˜1) โˆˆ โ„‚)
2120adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘‹โ€˜1) โˆˆ โ„‚)
22 recn 11149 . . . . . . . . . 10 (๐‘ก โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„‚)
2322adantl 483 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„‚)
2421, 23affineid 46880 . . . . . . . 8 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜1)) + (๐‘ก ยท (๐‘‹โ€˜1))) = (๐‘‹โ€˜1))
2516, 24eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜1)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜1))) = (๐‘‹โ€˜1))
2625eqeq2d 2744 . . . . . 6 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘โ€˜1) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜1)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜1))) โ†” (๐‘โ€˜1) = (๐‘‹โ€˜1)))
2726anbi1d 631 . . . . 5 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„) โ†’ (((๐‘โ€˜1) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜1)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜1))) โˆง (๐‘โ€˜2) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜2)))) โ†” ((๐‘โ€˜1) = (๐‘‹โ€˜1) โˆง (๐‘โ€˜2) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜2))))))
2827rexbidva 3170 . . . 4 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ((๐‘โ€˜1) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜1)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜1))) โˆง (๐‘โ€˜2) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜2)))) โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ((๐‘โ€˜1) = (๐‘‹โ€˜1) โˆง (๐‘โ€˜2) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜2))))))
29 simpl 484 . . . . . . 7 (((๐‘โ€˜1) = (๐‘‹โ€˜1) โˆง (๐‘โ€˜2) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜2)))) โ†’ (๐‘โ€˜1) = (๐‘‹โ€˜1))
3029a1i 11 . . . . . 6 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„) โ†’ (((๐‘โ€˜1) = (๐‘‹โ€˜1) โˆง (๐‘โ€˜2) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜2)))) โ†’ (๐‘โ€˜1) = (๐‘‹โ€˜1)))
3130rexlimdva 3149 . . . . 5 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ((๐‘โ€˜1) = (๐‘‹โ€˜1) โˆง (๐‘โ€˜2) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜2)))) โ†’ (๐‘โ€˜1) = (๐‘‹โ€˜1)))
324, 6rrx2pyel 46888 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘โ€˜2) โˆˆ โ„)
3332adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘โ€˜2) โˆˆ โ„)
344, 6rrx2pyel 46888 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘‹โ€˜2) โˆˆ โ„)
35343ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))) โ†’ (๐‘‹โ€˜2) โˆˆ โ„)
3635adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘‹โ€˜2) โˆˆ โ„)
3733, 36resubcld 11591 . . . . . . . . 9 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘โ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) โˆˆ โ„)
384, 6rrx2pyel 46888 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘Œโ€˜2) โˆˆ โ„)
39383ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))) โ†’ (๐‘Œโ€˜2) โˆˆ โ„)
4039, 35resubcld 11591 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))) โ†’ ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) โˆˆ โ„)
4140adantr 482 . . . . . . . . 9 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) โˆˆ โ„)
4238recnd 11191 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘Œโ€˜2) โˆˆ โ„‚)
43423ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))) โ†’ (๐‘Œโ€˜2) โˆˆ โ„‚)
4434recnd 11191 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘‹โ€˜2) โˆˆ โ„‚)
45443ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))) โ†’ (๐‘‹โ€˜2) โˆˆ โ„‚)
46 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2)) โ†’ (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))
4746necomd 2996 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2)) โ†’ (๐‘Œโ€˜2) โ‰  (๐‘‹โ€˜2))
48473ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))) โ†’ (๐‘Œโ€˜2) โ‰  (๐‘‹โ€˜2))
4943, 45, 48subne0d 11529 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))) โ†’ ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) โ‰  0)
5049adantr 482 . . . . . . . . 9 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) โ‰  0)
5137, 41, 50redivcld 11991 . . . . . . . 8 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (((๐‘โ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) / ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2))) โˆˆ โ„)
5251adantr 482 . . . . . . 7 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘โ€˜1) = (๐‘‹โ€˜1)) โ†’ (((๐‘โ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) / ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2))) โˆˆ โ„)
53 oveq2 7369 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ก = (((๐‘โ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) / ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2))) โ†’ (1 โˆ’ ๐‘ก) = (1 โˆ’ (((๐‘โ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) / ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)))))
5453oveq1d 7376 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ก = (((๐‘โ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) / ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2))) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜2)) = ((1 โˆ’ (((๐‘โ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) / ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)))) ยท (๐‘‹โ€˜2)))
55 oveq1 7368 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ก = (((๐‘โ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) / ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2))) โ†’ (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜2)) = ((((๐‘โ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) / ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2))) ยท (๐‘Œโ€˜2)))
5654, 55oveq12d 7379 . . . . . . . . . 10 (๐‘ก = (((๐‘โ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) / ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2))) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜2))) = (((1 โˆ’ (((๐‘โ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) / ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)))) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + ((((๐‘โ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) / ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2))) ยท (๐‘Œโ€˜2))))
5756eqeq2d 2744 . . . . . . . . 9 (๐‘ก = (((๐‘โ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) / ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2))) โ†’ ((๐‘โ€˜2) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜2))) โ†” (๐‘โ€˜2) = (((1 โˆ’ (((๐‘โ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) / ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)))) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + ((((๐‘โ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) / ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2))) ยท (๐‘Œโ€˜2)))))
5857anbi2d 630 . . . . . . . 8 (๐‘ก = (((๐‘โ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) / ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2))) โ†’ (((๐‘โ€˜1) = (๐‘‹โ€˜1) โˆง (๐‘โ€˜2) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜2)))) โ†” ((๐‘โ€˜1) = (๐‘‹โ€˜1) โˆง (๐‘โ€˜2) = (((1 โˆ’ (((๐‘โ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) / ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)))) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + ((((๐‘โ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) / ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2))) ยท (๐‘Œโ€˜2))))))
5958adantl 483 . . . . . . 7 (((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘โ€˜1) = (๐‘‹โ€˜1)) โˆง ๐‘ก = (((๐‘โ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) / ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)))) โ†’ (((๐‘โ€˜1) = (๐‘‹โ€˜1) โˆง (๐‘โ€˜2) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜2)))) โ†” ((๐‘โ€˜1) = (๐‘‹โ€˜1) โˆง (๐‘โ€˜2) = (((1 โˆ’ (((๐‘โ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) / ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)))) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + ((((๐‘โ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) / ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2))) ยท (๐‘Œโ€˜2))))))
60 simpr 486 . . . . . . . 8 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘โ€˜1) = (๐‘‹โ€˜1)) โ†’ (๐‘โ€˜1) = (๐‘‹โ€˜1))
6144mullidd 11181 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (1 ยท (๐‘‹โ€˜2)) = (๐‘‹โ€˜2))
62613ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))) โ†’ (1 ยท (๐‘‹โ€˜2)) = (๐‘‹โ€˜2))
6362adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (1 ยท (๐‘‹โ€˜2)) = (๐‘‹โ€˜2))
6437recnd 11191 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘โ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) โˆˆ โ„‚)
6542adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘Œโ€˜2) โˆˆ โ„‚)
6644adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘‹โ€˜2) โˆˆ โ„‚)
6765, 66subcld 11520 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) โˆˆ โ„‚)
68673adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))) โ†’ ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) โˆˆ โ„‚)
6968adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) โˆˆ โ„‚)
7064, 69, 50divcan1d 11940 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((((๐‘โ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) / ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2))) ยท ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2))) = ((๐‘โ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)))
7163, 70oveq12d 7379 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((1 ยท (๐‘‹โ€˜2)) + ((((๐‘โ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) / ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2))) ยท ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)))) = ((๐‘‹โ€˜2) + ((๐‘โ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2))))
7245adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘‹โ€˜2) โˆˆ โ„‚)
7332recnd 11191 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘โ€˜2) โˆˆ โ„‚)
7473adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘โ€˜2) โˆˆ โ„‚)
7572, 74pncan3d 11523 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘‹โ€˜2) + ((๐‘โ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2))) = (๐‘โ€˜2))
7671, 75eqtr2d 2774 . . . . . . . . . 10 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘โ€˜2) = ((1 ยท (๐‘‹โ€˜2)) + ((((๐‘โ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) / ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2))) ยท ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)))))
7776adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘โ€˜1) = (๐‘‹โ€˜1)) โ†’ (๐‘โ€˜2) = ((1 ยท (๐‘‹โ€˜2)) + ((((๐‘โ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) / ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2))) ยท ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)))))
78 1cnd 11158 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
7951recnd 11191 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (((๐‘โ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) / ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2))) โˆˆ โ„‚)
8043adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘Œโ€˜2) โˆˆ โ„‚)
8178, 79, 72, 80submuladdmuld 46877 . . . . . . . . . 10 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (((1 โˆ’ (((๐‘โ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) / ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)))) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + ((((๐‘โ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) / ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2))) ยท (๐‘Œโ€˜2))) = ((1 ยท (๐‘‹โ€˜2)) + ((((๐‘โ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) / ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2))) ยท ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)))))
8281adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘โ€˜1) = (๐‘‹โ€˜1)) โ†’ (((1 โˆ’ (((๐‘โ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) / ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)))) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + ((((๐‘โ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) / ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2))) ยท (๐‘Œโ€˜2))) = ((1 ยท (๐‘‹โ€˜2)) + ((((๐‘โ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) / ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2))) ยท ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)))))
8377, 82eqtr4d 2776 . . . . . . . 8 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘โ€˜1) = (๐‘‹โ€˜1)) โ†’ (๐‘โ€˜2) = (((1 โˆ’ (((๐‘โ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) / ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)))) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + ((((๐‘โ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) / ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2))) ยท (๐‘Œโ€˜2))))
8460, 83jca 513 . . . . . . 7 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘โ€˜1) = (๐‘‹โ€˜1)) โ†’ ((๐‘โ€˜1) = (๐‘‹โ€˜1) โˆง (๐‘โ€˜2) = (((1 โˆ’ (((๐‘โ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) / ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)))) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + ((((๐‘โ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) / ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2))) ยท (๐‘Œโ€˜2)))))
8552, 59, 84rspcedvd 3585 . . . . . 6 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘โ€˜1) = (๐‘‹โ€˜1)) โ†’ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ((๐‘โ€˜1) = (๐‘‹โ€˜1) โˆง (๐‘โ€˜2) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜2)))))
8685ex 414 . . . . 5 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘โ€˜1) = (๐‘‹โ€˜1) โ†’ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ((๐‘โ€˜1) = (๐‘‹โ€˜1) โˆง (๐‘โ€˜2) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜2))))))
8731, 86impbid 211 . . . 4 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ((๐‘โ€˜1) = (๐‘‹โ€˜1) โˆง (๐‘โ€˜2) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜2)))) โ†” (๐‘โ€˜1) = (๐‘‹โ€˜1)))
8828, 87bitrd 279 . . 3 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ((๐‘โ€˜1) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜1)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜1))) โˆง (๐‘โ€˜2) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜2)))) โ†” (๐‘โ€˜1) = (๐‘‹โ€˜1)))
8988rabbidva 3413 . 2 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))) โ†’ {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ((๐‘โ€˜1) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜1)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜1))) โˆง (๐‘โ€˜2) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜2))))} = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐‘โ€˜1) = (๐‘‹โ€˜1)})
909, 89eqtrd 2773 1 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))) โ†’ (๐‘‹๐ฟ๐‘Œ) = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐‘โ€˜1) = (๐‘‹โ€˜1)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  โˆƒwrex 3070  {crab 3406  {cpr 4592  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   โ†‘m cmap 8771  โ„‚cc 11057  โ„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   ยท cmul 11064   โˆ’ cmin 11393   / cdiv 11820  2c2 12216  โ„^crrx 24770  LineMcline 46903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fz 13434  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-0g 17331  df-prds 17337  df-pws 17339  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-subg 18933  df-ghm 19014  df-cmn 19572  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-cring 19975  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-dvr 20120  df-rnghom 20156  df-drng 20221  df-field 20222  df-subrg 20262  df-staf 20347  df-srng 20348  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-sra 20678  df-rgmod 20679  df-cnfld 20820  df-refld 21032  df-dsmm 21161  df-frlm 21176  df-tng 23963  df-tcph 24556  df-rrx 24772  df-line 46905
This theorem is referenced by:  rrx2linest  46918  line2y  46931
  Copyright terms: Public domain W3C validator