rrx2vlinest - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem rrx2vlinest 44748

Description: The vertical line passing through the two different points 𝑋 and 𝑌 in a real Euclidean space of dimension 2 in "standard form". (Contributed by AV, 2-Feb-2023.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
rrx2line.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
rrx2line.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
rrx2line.b	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑_m 𝐼)
rrx2line.l	⊢ 𝐿 = (Line_M‘𝐸)

**Assertion**
Ref	Expression
rrx2vlinest	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)})

Distinct variable groups: 𝐸,𝑝 𝐼,𝑝 𝑃,𝑝 𝑋,𝑝 𝑌,𝑝 Allowed substitution hint: 𝐿(𝑝)

Proof of Theorem rrx2vlinest Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6669	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝑋‘2) = (𝑌‘2))
2	1	necon3i 3048	. . . 4 ⊢ ((𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2) → 𝑋 ≠ 𝑌)
3	2	adantl 484	. . 3 ⊢ (((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → 𝑋 ≠ 𝑌)
4		rrx2line.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
5		rrx2line.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
6		rrx2line.b	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑_m 𝐼)
7		rrx2line.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (Line_M‘𝐸)
8	4, 5, 6, 7	rrx2line 44747	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))})
9	3, 8	syl3an3 1161	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))})
10		oveq2 7164	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑌‘1) = (𝑋‘1) → (𝑡 · (𝑌‘1)) = (𝑡 · (𝑋‘1)))
11	10	oveq2d 7172	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌‘1) = (𝑋‘1) → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑋‘1))))
12	11	eqcoms 2829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑋‘1))))
13	12	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑋‘1))))
14	13	3ad2ant3 1131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑋‘1))))
15	14	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑋‘1))))
16	15	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑋‘1))))
17	4, 6	rrx2pxel 44718	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
18	17	recnd 10669	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℂ)
19	18	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → (𝑋‘1) ∈ ℂ)
20	19	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑋‘1) ∈ ℂ)
21	20	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑋‘1) ∈ ℂ)
22		recn 10627	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → 𝑡 ∈ ℂ)
23	22	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℂ)
24	21, 23	affineid 44711	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑋‘1))) = (𝑋‘1))
25	16, 24	eqtrd 2856	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) = (𝑋‘1))
26	25	eqeq2d 2832	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ↔ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)))
27	26	anbi1d 631	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ ((𝑝‘1) = (𝑋‘1) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))))
28	27	rexbidva 3296	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (𝑋‘1) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))))
29		simpl 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝‘1) = (𝑋‘1) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) → (𝑝‘1) = (𝑋‘1))
30	29	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((𝑝‘1) = (𝑋‘1) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) → (𝑝‘1) = (𝑋‘1)))
31	30	rexlimdva 3284	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (𝑋‘1) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) → (𝑝‘1) = (𝑋‘1)))
32	4, 6	rrx2pyel 44719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
33	32	adantl 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
34	4, 6	rrx2pyel 44719	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
35	34	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
36	35	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
37	33, 36	resubcld 11068	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℝ)
38	4, 6	rrx2pyel 44719	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
39	38	3ad2ant2 1130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
40	39, 35	resubcld 11068	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℝ)
41	40	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℝ)
42	38	recnd 10669	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
43	42	3ad2ant2 1130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
44	34	recnd 10669	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
45	44	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
46		simpr 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))
47	46	necomd 3071	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)) → (𝑌‘2) ≠ (𝑋‘2))
48	47	3ad2ant3 1131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → (𝑌‘2) ≠ (𝑋‘2))
49	43, 45, 48	subne0d 11006	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ≠ 0)
50	49	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ≠ 0)
51	37, 41, 50	redivcld 11468	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) ∈ ℝ)
52	51	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)) → (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) ∈ ℝ)
53		oveq2 7164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) → (1 − 𝑡) = (1 − (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))))
54	53	oveq1d 7171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) → ((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) = ((1 − (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))) · (𝑋‘2)))
55		oveq1 7163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) → (𝑡 · (𝑌‘2)) = ((((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) · (𝑌‘2)))
56	54, 55	oveq12d 7174	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) → (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))) = (((1 − (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))) · (𝑋‘2)) + ((((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) · (𝑌‘2))))
57	56	eqeq2d 2832	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) → ((𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))) ↔ (𝑝‘2) = (((1 − (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))) · (𝑋‘2)) + ((((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) · (𝑌‘2)))))
58	57	anbi2d 630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) → (((𝑝‘1) = (𝑋‘1) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ ((𝑝‘1) = (𝑋‘1) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))) · (𝑋‘2)) + ((((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) · (𝑌‘2))))))
59	58	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)) ∧ 𝑡 = (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))) → (((𝑝‘1) = (𝑋‘1) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ ((𝑝‘1) = (𝑋‘1) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))) · (𝑋‘2)) + ((((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) · (𝑌‘2))))))
60		simpr 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)) → (𝑝‘1) = (𝑋‘1))
61	44	mulid2d 10659	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (1 · (𝑋‘2)) = (𝑋‘2))
62	61	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → (1 · (𝑋‘2)) = (𝑋‘2))
63	62	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (1 · (𝑋‘2)) = (𝑋‘2))
64	37	recnd 10669	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℂ)
65	42	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
66	44	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
67	65, 66	subcld 10997	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℂ)
68	67	3adant3 1128	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℂ)
69	68	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℂ)
70	64, 69, 50	divcan1d 11417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) · ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) = ((𝑝‘2) − (𝑋‘2)))
71	63, 70	oveq12d 7174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((1 · (𝑋‘2)) + ((((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) · ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))) = ((𝑋‘2) + ((𝑝‘2) − (𝑋‘2))))
72	45	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
73	32	recnd 10669	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℂ)
74	73	adantl 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑝‘2) ∈ ℂ)
75	72, 74	pncan3d 11000	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑋‘2) + ((𝑝‘2) − (𝑋‘2))) = (𝑝‘2))
76	71, 75	eqtr2d 2857	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑝‘2) = ((1 · (𝑋‘2)) + ((((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) · ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))))
77	76	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)) → (𝑝‘2) = ((1 · (𝑋‘2)) + ((((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) · ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))))
78		1cnd 10636	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 1 ∈ ℂ)
79	51	recnd 10669	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) ∈ ℂ)
80	43	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
81	78, 79, 72, 80	submuladdmuld 44708	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((1 − (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))) · (𝑋‘2)) + ((((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) · (𝑌‘2))) = ((1 · (𝑋‘2)) + ((((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) · ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))))
82	81	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)) → (((1 − (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))) · (𝑋‘2)) + ((((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) · (𝑌‘2))) = ((1 · (𝑋‘2)) + ((((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) · ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))))
83	77, 82	eqtr4d 2859	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)) → (𝑝‘2) = (((1 − (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))) · (𝑋‘2)) + ((((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) · (𝑌‘2))))
84	60, 83	jca 514	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)) → ((𝑝‘1) = (𝑋‘1) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − (((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))) · (𝑋‘2)) + ((((𝑝‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))) · (𝑌‘2)))))
85	52, 59, 84	rspcedvd 3626	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)) → ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (𝑋‘1) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))))
86	85	ex 415	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑝‘1) = (𝑋‘1) → ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (𝑋‘1) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))))
87	31, 86	impbid 214	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (𝑋‘1) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)))
88	28, 87	bitrd 281	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)))
89	88	rabbidva 3478	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)})
90	9, 89	eqtrd 2856	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)})

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 208 ∧ wa 398 ∧ w3a 1083 = wceq 1537 ∈ wcel 2114 ≠ wne 3016 ∃wrex 3139 {crab 3142 {cpr 4569 ‘cfv 6355 (class class class)co 7156 ↑_m cmap 8406 ℂcc 10535 ℝcr 10536 0cc0 10537 1c1 10538 + caddc 10540 · cmul 10542 − cmin 10870 / cdiv 11297 2c2 11693 ℝ^crrx 23986 Line_Mcline 44734

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1970 ax-7 2015 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2145 ax-11 2161 ax-12 2177 ax-ext 2793 ax-rep 5190 ax-sep 5203 ax-nul 5210 ax-pow 5266 ax-pr 5330 ax-un 7461 ax-cnex 10593 ax-resscn 10594 ax-1cn 10595 ax-icn 10596 ax-addcl 10597 ax-addrcl 10598 ax-mulcl 10599 ax-mulrcl 10600 ax-mulcom 10601 ax-addass 10602 ax-mulass 10603 ax-distr 10604 ax-i2m1 10605 ax-1ne0 10606 ax-1rid 10607 ax-rnegex 10608 ax-rrecex 10609 ax-cnre 10610 ax-pre-lttri 10611 ax-pre-lttrn 10612 ax-pre-ltadd 10613 ax-pre-mulgt0 10614 ax-pre-sup 10615 ax-addf 10616 ax-mulf 10617

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 399 df-or 844 df-3or 1084 df-3an 1085 df-tru 1540 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2070 df-mo 2622 df-eu 2654 df-clab 2800 df-cleq 2814 df-clel 2893 df-nfc 2963 df-ne 3017 df-nel 3124 df-ral 3143 df-rex 3144 df-reu 3145 df-rmo 3146 df-rab 3147 df-v 3496 df-sbc 3773 df-csb 3884 df-dif 3939 df-un 3941 df-in 3943 df-ss 3952 df-pss 3954 df-nul 4292 df-if 4468 df-pw 4541 df-sn 4568 df-pr 4570 df-tp 4572 df-op 4574 df-uni 4839 df-int 4877 df-iun 4921 df-br 5067 df-opab 5129 df-mpt 5147 df-tr 5173 df-id 5460 df-eprel 5465 df-po 5474 df-so 5475 df-fr 5514 df-we 5516 df-xp 5561 df-rel 5562 df-cnv 5563 df-co 5564 df-dm 5565 df-rn 5566 df-res 5567 df-ima 5568 df-pred 6148 df-ord 6194 df-on 6195 df-lim 6196 df-suc 6197 df-iota 6314 df-fun 6357 df-fn 6358 df-f 6359 df-f1 6360 df-fo 6361 df-f1o 6362 df-fv 6363 df-riota 7114 df-ov 7159 df-oprab 7160 df-mpo 7161 df-of 7409 df-om 7581 df-1st 7689 df-2nd 7690 df-supp 7831 df-tpos 7892 df-wrecs 7947 df-recs 8008 df-rdg 8046 df-1o 8102 df-oadd 8106 df-er 8289 df-map 8408 df-ixp 8462 df-en 8510 df-dom 8511 df-sdom 8512 df-fin 8513 df-fsupp 8834 df-sup 8906 df-pnf 10677 df-mnf 10678 df-xr 10679 df-ltxr 10680 df-le 10681 df-sub 10872 df-neg 10873 df-div 11298 df-nn 11639 df-2 11701 df-3 11702 df-4 11703 df-5 11704 df-6 11705 df-7 11706 df-8 11707 df-9 11708 df-n0 11899 df-z 11983 df-dec 12100 df-uz 12245 df-rp 12391 df-fz 12894 df-seq 13371 df-exp 13431 df-cj 14458 df-re 14459 df-im 14460 df-sqrt 14594 df-abs 14595 df-struct 16485 df-ndx 16486 df-slot 16487 df-base 16489 df-sets 16490 df-ress 16491 df-plusg 16578 df-mulr 16579 df-starv 16580 df-sca 16581 df-vsca 16582 df-ip 16583 df-tset 16584 df-ple 16585 df-ds 16587 df-unif 16588 df-hom 16589 df-cco 16590 df-0g 16715 df-prds 16721 df-pws 16723 df-mgm 17852 df-sgrp 17901 df-mnd 17912 df-mhm 17956 df-grp 18106 df-minusg 18107 df-sbg 18108 df-subg 18276 df-ghm 18356 df-cmn 18908 df-mgp 19240 df-ur 19252 df-ring 19299 df-cring 19300 df-oppr 19373 df-dvdsr 19391 df-unit 19392 df-invr 19422 df-dvr 19433 df-rnghom 19467 df-drng 19504 df-field 19505 df-subrg 19533 df-staf 19616 df-srng 19617 df-lmod 19636 df-lss 19704 df-sra 19944 df-rgmod 19945 df-cnfld 20546 df-refld 20749 df-dsmm 20876 df-frlm 20891 df-tng 23194 df-tcph 23773 df-rrx 23988 df-line 44736

This theorem is referenced by: rrx2linest 44749 line2y 44762

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