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Theorem rrx2linest2 48594
Description: The line passing through the two different points 𝑋 and 𝑌 in a real Euclidean space of dimension 2 in another "standard form" (usually with (𝑝‘1) = 𝑥 and (𝑝‘2) = 𝑦). (Contributed by AV, 23-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rrx2linest2.i 𝐼 = {1, 2}
rrx2linest2.e 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
rrx2linest2.p 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrx2linest2.l 𝐿 = (LineM𝐸)
rrx2linest2.a 𝐴 = ((𝑋‘2) − (𝑌‘2))
rrx2linest2.b 𝐵 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
rrx2linest2.c 𝐶 = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))
Assertion
Ref Expression
rrx2linest2 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶})
Distinct variable groups:   𝐸,𝑝   𝐼,𝑝   𝑃,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑝)   𝐵(𝑝)   𝐶(𝑝)   𝐿(𝑝)

Proof of Theorem rrx2linest2
StepHypRef Expression
1 rrx2linest2.i . . 3 𝐼 = {1, 2}
2 rrx2linest2.e . . 3 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
3 rrx2linest2.p . . 3 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
4 rrx2linest2.l . . 3 𝐿 = (LineM𝐸)
5 rrx2linest2.b . . 3 𝐵 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
6 eqid 2735 . . 3 ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))
7 rrx2linest2.c . . 3 𝐶 = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7rrx2linest 48592 . 2 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ (𝐵 · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + 𝐶)})
9 eqcom 2742 . . . 4 ((𝐵 · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + 𝐶) ↔ ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + 𝐶) = (𝐵 · (𝑝‘2)))
101, 3rrx2pyel 48562 . . . . . . . . . . 11 (𝑌𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
11103ad2ant2 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
121, 3rrx2pyel 48562 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
13123ad2ant1 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
1411, 13resubcld 11689 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℝ)
1514adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℝ)
161, 3rrx2pxel 48561 . . . . . . . . 9 (𝑝𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
1716adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
1815, 17remulcld 11289 . . . . . . 7 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) ∈ ℝ)
1918recnd 11287 . . . . . 6 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) ∈ ℂ)
201, 3rrx2pxel 48561 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
21203ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
2213, 21remulcld 11289 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → ((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) ∈ ℝ)
231, 3rrx2pxel 48561 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
24233ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
2524, 11remulcld 11289 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)) ∈ ℝ)
2622, 25resubcld 11689 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) ∈ ℝ)
277, 26eqeltrid 2843 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → 𝐶 ∈ ℝ)
2827adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐶 ∈ ℝ)
2928recnd 11287 . . . . . 6 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐶 ∈ ℂ)
3021, 24resubcld 11689 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ∈ ℝ)
315, 30eqeltrid 2843 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → 𝐵 ∈ ℝ)
3231adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐵 ∈ ℝ)
331, 3rrx2pyel 48562 . . . . . . . . 9 (𝑝𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
3433adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
3532, 34remulcld 11289 . . . . . . 7 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐵 · (𝑝‘2)) ∈ ℝ)
3635recnd 11287 . . . . . 6 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐵 · (𝑝‘2)) ∈ ℂ)
3719, 29, 36addrsub 11678 . . . . 5 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + 𝐶) = (𝐵 · (𝑝‘2)) ↔ 𝐶 = ((𝐵 · (𝑝‘2)) − (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)))))
38 eqcom 2742 . . . . . 6 (𝐶 = ((𝐵 · (𝑝‘2)) − (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1))) ↔ ((𝐵 · (𝑝‘2)) − (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1))) = 𝐶)
39 rrx2linest2.a . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 = ((𝑋‘2) − (𝑌‘2))
4013, 11resubcld 11689 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ∈ ℝ)
4139, 40eqeltrid 2843 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → 𝐴 ∈ ℝ)
4241adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐴 ∈ ℝ)
4342, 17remulcld 11289 . . . . . . . . . 10 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐴 · (𝑝‘1)) ∈ ℝ)
4443recnd 11287 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐴 · (𝑝‘1)) ∈ ℂ)
4544, 36addcomd 11461 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = ((𝐵 · (𝑝‘2)) + (𝐴 · (𝑝‘1))))
4611adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
4746recnd 11287 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
4813adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
4948recnd 11287 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
5047, 49negsubdi2d 11634 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → -((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)))
5139, 50eqtr4id 2794 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐴 = -((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))
5251oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐴 · (𝑝‘1)) = (-((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)))
5315recnd 11287 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℂ)
5417recnd 11287 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝‘1) ∈ ℂ)
5553, 54mulneg1d 11714 . . . . . . . . . 10 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → (-((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) = -(((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)))
5652, 55eqtrd 2775 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐴 · (𝑝‘1)) = -(((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)))
5756oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐵 · (𝑝‘2)) + (𝐴 · (𝑝‘1))) = ((𝐵 · (𝑝‘2)) + -(((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1))))
5836, 19negsubd 11624 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐵 · (𝑝‘2)) + -(((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1))) = ((𝐵 · (𝑝‘2)) − (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1))))
5945, 57, 583eqtrd 2779 . . . . . . 7 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = ((𝐵 · (𝑝‘2)) − (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1))))
6059eqeq1d 2737 . . . . . 6 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ ((𝐵 · (𝑝‘2)) − (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1))) = 𝐶))
6138, 60bitr4id 290 . . . . 5 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐶 = ((𝐵 · (𝑝‘2)) − (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1))) ↔ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶))
6237, 61bitrd 279 . . . 4 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + 𝐶) = (𝐵 · (𝑝‘2)) ↔ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶))
639, 62bitrid 283 . . 3 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐵 · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + 𝐶) ↔ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶))
6463rabbidva 3440 . 2 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → {𝑝𝑃 ∣ (𝐵 · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + 𝐶)} = {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶})
658, 64eqtrd 2775 1 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  {crab 3433  {cpr 4633  cfv 6563  (class class class)co 7431  m cmap 8865  cr 11152  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cmin 11490  -cneg 11491  2c2 12319  ℝ^crrx 25431  LineMcline 48577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-drng 20748  df-field 20749  df-staf 20857  df-srng 20858  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-cnfld 21383  df-refld 21641  df-dsmm 21770  df-frlm 21785  df-tng 24613  df-tcph 25217  df-rrx 25433  df-line 48579
This theorem is referenced by:  elrrx2linest2  48595  itsclinecirc0  48623  itscnhlinecirc02p  48635
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