Theorem rrx2linest2 48706

Description: The line passing through the two different points 𝑋 and 𝑌 in a real Euclidean space of dimension 2 in another "standard form" (usually with (𝑝‘1) = 𝑥 and (𝑝‘2) = 𝑦). (Contributed by AV, 23-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrx2linest2.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
rrx2linest2.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
rrx2linest2.p	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrx2linest2.l	⊢ 𝐿 = (LineM‘𝐸)
rrx2linest2.a	⊢ 𝐴 = ((𝑋‘2) − (𝑌‘2))
rrx2linest2.b	⊢ 𝐵 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
rrx2linest2.c	⊢ 𝐶 = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))

Assertion

Ref	Expression
rrx2linest2	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶})

Distinct variable groups:   𝐸,𝑝   𝐼,𝑝   𝑃,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑝)   𝐵(𝑝)   𝐶(𝑝)   𝐿(𝑝)

Proof of Theorem rrx2linest2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrx2linest2.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
2		rrx2linest2.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
3		rrx2linest2.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
4		rrx2linest2.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineM‘𝐸)
5		rrx2linest2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
6		eqid 2729	. . 3 ⊢ ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))
7		rrx2linest2.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	rrx2linest 48704	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝐵 · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + 𝐶)})
9		eqcom 2736	. . . 4 ⊢ ((𝐵 · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + 𝐶) ↔ ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + 𝐶) = (𝐵 · (𝑝‘2)))
10	1, 3	rrx2pyel 48674	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
11	10	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
12	1, 3	rrx2pyel 48674	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
13	12	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
14	11, 13	resubcld 11582	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℝ)
15	14	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℝ)
16	1, 3	rrx2pxel 48673	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
17	16	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
18	15, 17	remulcld 11180	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) ∈ ℝ)
19	18	recnd 11178	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) ∈ ℂ)
20	1, 3	rrx2pxel 48673	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
21	20	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
22	13, 21	remulcld 11180	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) ∈ ℝ)
23	1, 3	rrx2pxel 48673	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
24	23	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
25	24, 11	remulcld 11180	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)) ∈ ℝ)
26	22, 25	resubcld 11582	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) ∈ ℝ)
27	7, 26	eqeltrid 2832	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝐶 ∈ ℝ)
28	27	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐶 ∈ ℝ)
29	28	recnd 11178	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐶 ∈ ℂ)
30	21, 24	resubcld 11582	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ∈ ℝ)
31	5, 30	eqeltrid 2832	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝐵 ∈ ℝ)
32	31	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐵 ∈ ℝ)
33	1, 3	rrx2pyel 48674	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
34	33	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
35	32, 34	remulcld 11180	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝐵 · (𝑝‘2)) ∈ ℝ)
36	35	recnd 11178	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝐵 · (𝑝‘2)) ∈ ℂ)
37	19, 29, 36	addrsub 11571	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + 𝐶) = (𝐵 · (𝑝‘2)) ↔ 𝐶 = ((𝐵 · (𝑝‘2)) − (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)))))
38		eqcom 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = ((𝐵 · (𝑝‘2)) − (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1))) ↔ ((𝐵 · (𝑝‘2)) − (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1))) = 𝐶)
39		rrx2linest2.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐴 = ((𝑋‘2) − (𝑌‘2))
40	13, 11	resubcld 11582	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ∈ ℝ)
41	39, 40	eqeltrid 2832	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝐴 ∈ ℝ)
42	41	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐴 ∈ ℝ)
43	42, 17	remulcld 11180	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝐴 · (𝑝‘1)) ∈ ℝ)
44	43	recnd 11178	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝐴 · (𝑝‘1)) ∈ ℂ)
45	44, 36	addcomd 11352	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = ((𝐵 · (𝑝‘2)) + (𝐴 · (𝑝‘1))))
46	11	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
47	46	recnd 11178	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
48	13	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
49	48	recnd 11178	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
50	47, 49	negsubdi2d 11525	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → -((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)))
51	39, 50	eqtr4id 2783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐴 = -((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))
52	51	oveq1d 7384	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝐴 · (𝑝‘1)) = (-((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)))
53	15	recnd 11178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℂ)
54	17	recnd 11178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑝‘1) ∈ ℂ)
55	53, 54	mulneg1d 11607	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (-((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) = -(((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)))
56	52, 55	eqtrd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝐴 · (𝑝‘1)) = -(((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)))
57	56	oveq2d 7385	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝐵 · (𝑝‘2)) + (𝐴 · (𝑝‘1))) = ((𝐵 · (𝑝‘2)) + -(((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1))))
58	36, 19	negsubd 11515	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝐵 · (𝑝‘2)) + -(((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1))) = ((𝐵 · (𝑝‘2)) − (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1))))
59	45, 57, 58	3eqtrd 2768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = ((𝐵 · (𝑝‘2)) − (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1))))
60	59	eqeq1d 2731	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ ((𝐵 · (𝑝‘2)) − (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1))) = 𝐶))
61	38, 60	bitr4id 290	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝐶 = ((𝐵 · (𝑝‘2)) − (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1))) ↔ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶))
62	37, 61	bitrd 279	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + 𝐶) = (𝐵 · (𝑝‘2)) ↔ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶))
63	9, 62	bitrid 283	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝐵 · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + 𝐶) ↔ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶))
64	63	rabbidva 3409	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝐵 · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + 𝐶)} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶})
65	8, 64	eqtrd 2764	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  {crab 3402  {cpr 4587  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ↑_m cmap 8776  ℝcr 11043  1c1 11045   + caddc 11047   · cmul 11049   − cmin 11381  -cneg 11382  2c2 12217  ℝ^crrx 25259  Line_Mcline 48689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122  ax-addf 11123  ax-mulf 11124

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-tpos 8182  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-sup 9369  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-rp 12928  df-fz 13445  df-seq 13943  df-exp 14003  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17380  df-prds 17386  df-pws 17388  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-mhm 18686  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-subg 19031  df-ghm 19121  df-cmn 19688  df-abl 19689  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-cring 20121  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-invr 20273  df-dvr 20286  df-rhm 20357  df-subrng 20431  df-subrg 20455  df-drng 20616  df-field 20617  df-staf 20724  df-srng 20725  df-lmod 20744  df-lss 20814  df-sra 21056  df-rgmod 21057  df-cnfld 21241  df-refld 21490  df-dsmm 21617  df-frlm 21632  df-tng 24448  df-tcph 25045  df-rrx 25261  df-line 48691

This theorem is referenced by:  elrrx2linest2  48707  itsclinecirc0  48735  itscnhlinecirc02p  48747