Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrx2linest2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrx2linest2 46920
Description: The line passing through the two different points ๐‘‹ and ๐‘Œ in a real Euclidean space of dimension 2 in another "standard form" (usually with (๐‘โ€˜1) = ๐‘ฅ and (๐‘โ€˜2) = ๐‘ฆ). (Contributed by AV, 23-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rrx2linest2.i ๐ผ = {1, 2}
rrx2linest2.e ๐ธ = (โ„^โ€˜๐ผ)
rrx2linest2.p ๐‘ƒ = (โ„ โ†‘m ๐ผ)
rrx2linest2.l ๐ฟ = (LineMโ€˜๐ธ)
rrx2linest2.a ๐ด = ((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2))
rrx2linest2.b ๐ต = ((๐‘Œโ€˜1) โˆ’ (๐‘‹โ€˜1))
rrx2linest2.c ๐ถ = (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘‹โ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2)))
Assertion
Ref Expression
rrx2linest2 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (๐‘‹๐ฟ๐‘Œ) = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ ((๐ด ยท (๐‘โ€˜1)) + (๐ต ยท (๐‘โ€˜2))) = ๐ถ})
Distinct variable groups:   ๐ธ,๐‘   ๐ผ,๐‘   ๐‘ƒ,๐‘   ๐‘‹,๐‘   ๐‘Œ,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘)   ๐ต(๐‘)   ๐ถ(๐‘)   ๐ฟ(๐‘)

Proof of Theorem rrx2linest2
StepHypRef Expression
1 rrx2linest2.i . . 3 ๐ผ = {1, 2}
2 rrx2linest2.e . . 3 ๐ธ = (โ„^โ€˜๐ผ)
3 rrx2linest2.p . . 3 ๐‘ƒ = (โ„ โ†‘m ๐ผ)
4 rrx2linest2.l . . 3 ๐ฟ = (LineMโ€˜๐ธ)
5 rrx2linest2.b . . 3 ๐ต = ((๐‘Œโ€˜1) โˆ’ (๐‘‹โ€˜1))
6 eqid 2733 . . 3 ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) = ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2))
7 rrx2linest2.c . . 3 ๐ถ = (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘‹โ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2)))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7rrx2linest 46918 . 2 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (๐‘‹๐ฟ๐‘Œ) = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐ต ยท (๐‘โ€˜2)) = ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ)})
9 eqcom 2740 . . . 4 ((๐ต ยท (๐‘โ€˜2)) = ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ) โ†” ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ) = (๐ต ยท (๐‘โ€˜2)))
101, 3rrx2pyel 46888 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘Œโ€˜2) โˆˆ โ„)
11103ad2ant2 1135 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (๐‘Œโ€˜2) โˆˆ โ„)
121, 3rrx2pyel 46888 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘‹โ€˜2) โˆˆ โ„)
13123ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (๐‘‹โ€˜2) โˆˆ โ„)
1411, 13resubcld 11591 . . . . . . . . 9 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) โˆˆ โ„)
1514adantr 482 . . . . . . . 8 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) โˆˆ โ„)
161, 3rrx2pxel 46887 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘โ€˜1) โˆˆ โ„)
1716adantl 483 . . . . . . . 8 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘โ€˜1) โˆˆ โ„)
1815, 17remulcld 11193 . . . . . . 7 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) โˆˆ โ„)
1918recnd 11191 . . . . . 6 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) โˆˆ โ„‚)
201, 3rrx2pxel 46887 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘Œโ€˜1) โˆˆ โ„)
21203ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (๐‘Œโ€˜1) โˆˆ โ„)
2213, 21remulcld 11193 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ ((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆˆ โ„)
231, 3rrx2pxel 46887 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘‹โ€˜1) โˆˆ โ„)
24233ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (๐‘‹โ€˜1) โˆˆ โ„)
2524, 11remulcld 11193 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ ((๐‘‹โ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2)) โˆˆ โ„)
2622, 25resubcld 11591 . . . . . . . . 9 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘‹โ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2))) โˆˆ โ„)
277, 26eqeltrid 2838 . . . . . . . 8 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
2827adantr 482 . . . . . . 7 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
2928recnd 11191 . . . . . 6 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
3021, 24resubcld 11591 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ ((๐‘Œโ€˜1) โˆ’ (๐‘‹โ€˜1)) โˆˆ โ„)
315, 30eqeltrid 2838 . . . . . . . . 9 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
3231adantr 482 . . . . . . . 8 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
331, 3rrx2pyel 46888 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘โ€˜2) โˆˆ โ„)
3433adantl 483 . . . . . . . 8 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘โ€˜2) โˆˆ โ„)
3532, 34remulcld 11193 . . . . . . 7 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐ต ยท (๐‘โ€˜2)) โˆˆ โ„)
3635recnd 11191 . . . . . 6 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐ต ยท (๐‘โ€˜2)) โˆˆ โ„‚)
3719, 29, 36addrsub 11580 . . . . 5 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ) = (๐ต ยท (๐‘โ€˜2)) โ†” ๐ถ = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜2)) โˆ’ (((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)))))
38 eqcom 2740 . . . . . 6 (๐ถ = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜2)) โˆ’ (((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1))) โ†” ((๐ต ยท (๐‘โ€˜2)) โˆ’ (((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1))) = ๐ถ)
39 rrx2linest2.a . . . . . . . . . . . . 13 ๐ด = ((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2))
4013, 11resubcld 11591 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ ((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) โˆˆ โ„)
4139, 40eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
4241adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
4342, 17remulcld 11193 . . . . . . . . . 10 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐ด ยท (๐‘โ€˜1)) โˆˆ โ„)
4443recnd 11191 . . . . . . . . 9 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐ด ยท (๐‘โ€˜1)) โˆˆ โ„‚)
4544, 36addcomd 11365 . . . . . . . 8 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐ด ยท (๐‘โ€˜1)) + (๐ต ยท (๐‘โ€˜2))) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜2)) + (๐ด ยท (๐‘โ€˜1))))
4611adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘Œโ€˜2) โˆˆ โ„)
4746recnd 11191 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘Œโ€˜2) โˆˆ โ„‚)
4813adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘‹โ€˜2) โˆˆ โ„)
4948recnd 11191 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘‹โ€˜2) โˆˆ โ„‚)
5047, 49negsubdi2d 11536 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ -((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) = ((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)))
5139, 50eqtr4id 2792 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ๐ด = -((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)))
5251oveq1d 7376 . . . . . . . . . 10 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐ด ยท (๐‘โ€˜1)) = (-((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)))
5315recnd 11191 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) โˆˆ โ„‚)
5417recnd 11191 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘โ€˜1) โˆˆ โ„‚)
5553, 54mulneg1d 11616 . . . . . . . . . 10 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (-((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) = -(((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)))
5652, 55eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐ด ยท (๐‘โ€˜1)) = -(((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)))
5756oveq2d 7377 . . . . . . . 8 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐ต ยท (๐‘โ€˜2)) + (๐ด ยท (๐‘โ€˜1))) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜2)) + -(((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1))))
5836, 19negsubd 11526 . . . . . . . 8 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐ต ยท (๐‘โ€˜2)) + -(((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1))) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜2)) โˆ’ (((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1))))
5945, 57, 583eqtrd 2777 . . . . . . 7 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐ด ยท (๐‘โ€˜1)) + (๐ต ยท (๐‘โ€˜2))) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜2)) โˆ’ (((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1))))
6059eqeq1d 2735 . . . . . 6 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (((๐ด ยท (๐‘โ€˜1)) + (๐ต ยท (๐‘โ€˜2))) = ๐ถ โ†” ((๐ต ยท (๐‘โ€˜2)) โˆ’ (((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1))) = ๐ถ))
6138, 60bitr4id 290 . . . . 5 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐ถ = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜2)) โˆ’ (((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1))) โ†” ((๐ด ยท (๐‘โ€˜1)) + (๐ต ยท (๐‘โ€˜2))) = ๐ถ))
6237, 61bitrd 279 . . . 4 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ) = (๐ต ยท (๐‘โ€˜2)) โ†” ((๐ด ยท (๐‘โ€˜1)) + (๐ต ยท (๐‘โ€˜2))) = ๐ถ))
639, 62bitrid 283 . . 3 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐ต ยท (๐‘โ€˜2)) = ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ) โ†” ((๐ด ยท (๐‘โ€˜1)) + (๐ต ยท (๐‘โ€˜2))) = ๐ถ))
6463rabbidva 3413 . 2 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐ต ยท (๐‘โ€˜2)) = ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ)} = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ ((๐ด ยท (๐‘โ€˜1)) + (๐ต ยท (๐‘โ€˜2))) = ๐ถ})
658, 64eqtrd 2773 1 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (๐‘‹๐ฟ๐‘Œ) = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ ((๐ด ยท (๐‘โ€˜1)) + (๐ต ยท (๐‘โ€˜2))) = ๐ถ})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  {crab 3406  {cpr 4592  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   โ†‘m cmap 8771  โ„cr 11058  1c1 11060   + caddc 11062   ยท cmul 11064   โˆ’ cmin 11393  -cneg 11394  2c2 12216  โ„^crrx 24770  LineMcline 46903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fz 13434  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-0g 17331  df-prds 17337  df-pws 17339  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-subg 18933  df-ghm 19014  df-cmn 19572  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-cring 19975  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-dvr 20120  df-rnghom 20156  df-drng 20221  df-field 20222  df-subrg 20262  df-staf 20347  df-srng 20348  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-sra 20678  df-rgmod 20679  df-cnfld 20820  df-refld 21032  df-dsmm 21161  df-frlm 21176  df-tng 23963  df-tcph 24556  df-rrx 24772  df-line 46905
This theorem is referenced by:  elrrx2linest2  46921  itsclinecirc0  46949  itscnhlinecirc02p  46961
  Copyright terms: Public domain W3C validator