Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrx2linest2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrx2linest2 47517
Description: The line passing through the two different points ๐‘‹ and ๐‘Œ in a real Euclidean space of dimension 2 in another "standard form" (usually with (๐‘โ€˜1) = ๐‘ฅ and (๐‘โ€˜2) = ๐‘ฆ). (Contributed by AV, 23-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rrx2linest2.i ๐ผ = {1, 2}
rrx2linest2.e ๐ธ = (โ„^โ€˜๐ผ)
rrx2linest2.p ๐‘ƒ = (โ„ โ†‘m ๐ผ)
rrx2linest2.l ๐ฟ = (LineMโ€˜๐ธ)
rrx2linest2.a ๐ด = ((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2))
rrx2linest2.b ๐ต = ((๐‘Œโ€˜1) โˆ’ (๐‘‹โ€˜1))
rrx2linest2.c ๐ถ = (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘‹โ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2)))
Assertion
Ref Expression
rrx2linest2 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (๐‘‹๐ฟ๐‘Œ) = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ ((๐ด ยท (๐‘โ€˜1)) + (๐ต ยท (๐‘โ€˜2))) = ๐ถ})
Distinct variable groups:   ๐ธ,๐‘   ๐ผ,๐‘   ๐‘ƒ,๐‘   ๐‘‹,๐‘   ๐‘Œ,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘)   ๐ต(๐‘)   ๐ถ(๐‘)   ๐ฟ(๐‘)

Proof of Theorem rrx2linest2
StepHypRef Expression
1 rrx2linest2.i . . 3 ๐ผ = {1, 2}
2 rrx2linest2.e . . 3 ๐ธ = (โ„^โ€˜๐ผ)
3 rrx2linest2.p . . 3 ๐‘ƒ = (โ„ โ†‘m ๐ผ)
4 rrx2linest2.l . . 3 ๐ฟ = (LineMโ€˜๐ธ)
5 rrx2linest2.b . . 3 ๐ต = ((๐‘Œโ€˜1) โˆ’ (๐‘‹โ€˜1))
6 eqid 2730 . . 3 ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) = ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2))
7 rrx2linest2.c . . 3 ๐ถ = (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘‹โ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2)))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7rrx2linest 47515 . 2 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (๐‘‹๐ฟ๐‘Œ) = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐ต ยท (๐‘โ€˜2)) = ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ)})
9 eqcom 2737 . . . 4 ((๐ต ยท (๐‘โ€˜2)) = ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ) โ†” ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ) = (๐ต ยท (๐‘โ€˜2)))
101, 3rrx2pyel 47485 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘Œโ€˜2) โˆˆ โ„)
11103ad2ant2 1132 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (๐‘Œโ€˜2) โˆˆ โ„)
121, 3rrx2pyel 47485 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘‹โ€˜2) โˆˆ โ„)
13123ad2ant1 1131 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (๐‘‹โ€˜2) โˆˆ โ„)
1411, 13resubcld 11646 . . . . . . . . 9 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) โˆˆ โ„)
1514adantr 479 . . . . . . . 8 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) โˆˆ โ„)
161, 3rrx2pxel 47484 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘โ€˜1) โˆˆ โ„)
1716adantl 480 . . . . . . . 8 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘โ€˜1) โˆˆ โ„)
1815, 17remulcld 11248 . . . . . . 7 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) โˆˆ โ„)
1918recnd 11246 . . . . . 6 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) โˆˆ โ„‚)
201, 3rrx2pxel 47484 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘Œโ€˜1) โˆˆ โ„)
21203ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (๐‘Œโ€˜1) โˆˆ โ„)
2213, 21remulcld 11248 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ ((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆˆ โ„)
231, 3rrx2pxel 47484 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘‹โ€˜1) โˆˆ โ„)
24233ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (๐‘‹โ€˜1) โˆˆ โ„)
2524, 11remulcld 11248 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ ((๐‘‹โ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2)) โˆˆ โ„)
2622, 25resubcld 11646 . . . . . . . . 9 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘‹โ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2))) โˆˆ โ„)
277, 26eqeltrid 2835 . . . . . . . 8 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
2827adantr 479 . . . . . . 7 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
2928recnd 11246 . . . . . 6 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
3021, 24resubcld 11646 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ ((๐‘Œโ€˜1) โˆ’ (๐‘‹โ€˜1)) โˆˆ โ„)
315, 30eqeltrid 2835 . . . . . . . . 9 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
3231adantr 479 . . . . . . . 8 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
331, 3rrx2pyel 47485 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘โ€˜2) โˆˆ โ„)
3433adantl 480 . . . . . . . 8 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘โ€˜2) โˆˆ โ„)
3532, 34remulcld 11248 . . . . . . 7 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐ต ยท (๐‘โ€˜2)) โˆˆ โ„)
3635recnd 11246 . . . . . 6 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐ต ยท (๐‘โ€˜2)) โˆˆ โ„‚)
3719, 29, 36addrsub 11635 . . . . 5 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ) = (๐ต ยท (๐‘โ€˜2)) โ†” ๐ถ = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜2)) โˆ’ (((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)))))
38 eqcom 2737 . . . . . 6 (๐ถ = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜2)) โˆ’ (((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1))) โ†” ((๐ต ยท (๐‘โ€˜2)) โˆ’ (((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1))) = ๐ถ)
39 rrx2linest2.a . . . . . . . . . . . . 13 ๐ด = ((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2))
4013, 11resubcld 11646 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ ((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) โˆˆ โ„)
4139, 40eqeltrid 2835 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
4241adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
4342, 17remulcld 11248 . . . . . . . . . 10 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐ด ยท (๐‘โ€˜1)) โˆˆ โ„)
4443recnd 11246 . . . . . . . . 9 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐ด ยท (๐‘โ€˜1)) โˆˆ โ„‚)
4544, 36addcomd 11420 . . . . . . . 8 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐ด ยท (๐‘โ€˜1)) + (๐ต ยท (๐‘โ€˜2))) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜2)) + (๐ด ยท (๐‘โ€˜1))))
4611adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘Œโ€˜2) โˆˆ โ„)
4746recnd 11246 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘Œโ€˜2) โˆˆ โ„‚)
4813adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘‹โ€˜2) โˆˆ โ„)
4948recnd 11246 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘‹โ€˜2) โˆˆ โ„‚)
5047, 49negsubdi2d 11591 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ -((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) = ((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)))
5139, 50eqtr4id 2789 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ๐ด = -((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)))
5251oveq1d 7426 . . . . . . . . . 10 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐ด ยท (๐‘โ€˜1)) = (-((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)))
5315recnd 11246 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) โˆˆ โ„‚)
5417recnd 11246 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘โ€˜1) โˆˆ โ„‚)
5553, 54mulneg1d 11671 . . . . . . . . . 10 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (-((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) = -(((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)))
5652, 55eqtrd 2770 . . . . . . . . 9 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐ด ยท (๐‘โ€˜1)) = -(((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)))
5756oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐ต ยท (๐‘โ€˜2)) + (๐ด ยท (๐‘โ€˜1))) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜2)) + -(((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1))))
5836, 19negsubd 11581 . . . . . . . 8 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐ต ยท (๐‘โ€˜2)) + -(((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1))) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜2)) โˆ’ (((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1))))
5945, 57, 583eqtrd 2774 . . . . . . 7 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐ด ยท (๐‘โ€˜1)) + (๐ต ยท (๐‘โ€˜2))) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜2)) โˆ’ (((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1))))
6059eqeq1d 2732 . . . . . 6 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (((๐ด ยท (๐‘โ€˜1)) + (๐ต ยท (๐‘โ€˜2))) = ๐ถ โ†” ((๐ต ยท (๐‘โ€˜2)) โˆ’ (((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1))) = ๐ถ))
6138, 60bitr4id 289 . . . . 5 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐ถ = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜2)) โˆ’ (((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1))) โ†” ((๐ด ยท (๐‘โ€˜1)) + (๐ต ยท (๐‘โ€˜2))) = ๐ถ))
6237, 61bitrd 278 . . . 4 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ) = (๐ต ยท (๐‘โ€˜2)) โ†” ((๐ด ยท (๐‘โ€˜1)) + (๐ต ยท (๐‘โ€˜2))) = ๐ถ))
639, 62bitrid 282 . . 3 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐ต ยท (๐‘โ€˜2)) = ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ) โ†” ((๐ด ยท (๐‘โ€˜1)) + (๐ต ยท (๐‘โ€˜2))) = ๐ถ))
6463rabbidva 3437 . 2 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐ต ยท (๐‘โ€˜2)) = ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ)} = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ ((๐ด ยท (๐‘โ€˜1)) + (๐ต ยท (๐‘โ€˜2))) = ๐ถ})
658, 64eqtrd 2770 1 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (๐‘‹๐ฟ๐‘Œ) = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ ((๐ด ยท (๐‘โ€˜1)) + (๐ต ยท (๐‘โ€˜2))) = ๐ถ})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938  {crab 3430  {cpr 4629  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   โ†‘m cmap 8822  โ„cr 11111  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11448  -cneg 11449  2c2 12271  โ„^crrx 25131  LineMcline 47500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-prds 17397  df-pws 17399  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-rhm 20363  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-drng 20502  df-field 20503  df-staf 20596  df-srng 20597  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-sra 20930  df-rgmod 20931  df-cnfld 21145  df-refld 21377  df-dsmm 21506  df-frlm 21521  df-tng 24313  df-tcph 24917  df-rrx 25133  df-line 47502
This theorem is referenced by:  elrrx2linest2  47518  itsclinecirc0  47546  itscnhlinecirc02p  47558
  Copyright terms: Public domain W3C validator