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Theorem rrx2linest2 44659
Description: The line passing through the two different points 𝑋 and 𝑌 in a real Euclidean space of dimension 2 in another "standard form" (usually with (𝑝‘1) = 𝑥 and (𝑝‘2) = 𝑦). (Contributed by AV, 23-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rrx2linest2.i 𝐼 = {1, 2}
rrx2linest2.e 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
rrx2linest2.p 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrx2linest2.l 𝐿 = (LineM𝐸)
rrx2linest2.a 𝐴 = ((𝑋‘2) − (𝑌‘2))
rrx2linest2.b 𝐵 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
rrx2linest2.c 𝐶 = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))
Assertion
Ref Expression
rrx2linest2 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶})
Distinct variable groups:   𝐸,𝑝   𝐼,𝑝   𝑃,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑝)   𝐵(𝑝)   𝐶(𝑝)   𝐿(𝑝)

Proof of Theorem rrx2linest2
StepHypRef Expression
1 rrx2linest2.i . . 3 𝐼 = {1, 2}
2 rrx2linest2.e . . 3 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
3 rrx2linest2.p . . 3 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
4 rrx2linest2.l . . 3 𝐿 = (LineM𝐸)
5 rrx2linest2.b . . 3 𝐵 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
6 eqid 2818 . . 3 ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))
7 rrx2linest2.c . . 3 𝐶 = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7rrx2linest 44657 . 2 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ (𝐵 · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + 𝐶)})
9 eqcom 2825 . . . 4 ((𝐵 · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + 𝐶) ↔ ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + 𝐶) = (𝐵 · (𝑝‘2)))
101, 3rrx2pyel 44627 . . . . . . . . . . 11 (𝑌𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
11103ad2ant2 1126 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
121, 3rrx2pyel 44627 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
13123ad2ant1 1125 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
1411, 13resubcld 11056 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℝ)
1514adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℝ)
161, 3rrx2pxel 44626 . . . . . . . . 9 (𝑝𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
1716adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
1815, 17remulcld 10659 . . . . . . 7 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) ∈ ℝ)
1918recnd 10657 . . . . . 6 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) ∈ ℂ)
201, 3rrx2pxel 44626 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
21203ad2ant2 1126 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
2213, 21remulcld 10659 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → ((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) ∈ ℝ)
231, 3rrx2pxel 44626 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
24233ad2ant1 1125 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
2524, 11remulcld 10659 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)) ∈ ℝ)
2622, 25resubcld 11056 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) ∈ ℝ)
277, 26eqeltrid 2914 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → 𝐶 ∈ ℝ)
2827adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐶 ∈ ℝ)
2928recnd 10657 . . . . . 6 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐶 ∈ ℂ)
3021, 24resubcld 11056 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ∈ ℝ)
315, 30eqeltrid 2914 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → 𝐵 ∈ ℝ)
3231adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐵 ∈ ℝ)
331, 3rrx2pyel 44627 . . . . . . . . 9 (𝑝𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
3433adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
3532, 34remulcld 10659 . . . . . . 7 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐵 · (𝑝‘2)) ∈ ℝ)
3635recnd 10657 . . . . . 6 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐵 · (𝑝‘2)) ∈ ℂ)
3719, 29, 36addrsub 11045 . . . . 5 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + 𝐶) = (𝐵 · (𝑝‘2)) ↔ 𝐶 = ((𝐵 · (𝑝‘2)) − (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)))))
38 rrx2linest2.a . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 = ((𝑋‘2) − (𝑌‘2))
3913, 11resubcld 11056 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ∈ ℝ)
4038, 39eqeltrid 2914 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → 𝐴 ∈ ℝ)
4140adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐴 ∈ ℝ)
4241, 17remulcld 10659 . . . . . . . . . 10 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐴 · (𝑝‘1)) ∈ ℝ)
4342recnd 10657 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐴 · (𝑝‘1)) ∈ ℂ)
4443, 36addcomd 10830 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = ((𝐵 · (𝑝‘2)) + (𝐴 · (𝑝‘1))))
4511adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
4645recnd 10657 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
4713adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
4847recnd 10657 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
4946, 48negsubdi2d 11001 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → -((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)))
5049, 38syl6reqr 2872 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐴 = -((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))
5150oveq1d 7160 . . . . . . . . . 10 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐴 · (𝑝‘1)) = (-((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)))
5215recnd 10657 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℂ)
5317recnd 10657 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝‘1) ∈ ℂ)
5452, 53mulneg1d 11081 . . . . . . . . . 10 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → (-((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) = -(((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)))
5551, 54eqtrd 2853 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐴 · (𝑝‘1)) = -(((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)))
5655oveq2d 7161 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐵 · (𝑝‘2)) + (𝐴 · (𝑝‘1))) = ((𝐵 · (𝑝‘2)) + -(((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1))))
5736, 19negsubd 10991 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐵 · (𝑝‘2)) + -(((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1))) = ((𝐵 · (𝑝‘2)) − (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1))))
5844, 56, 573eqtrd 2857 . . . . . . 7 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = ((𝐵 · (𝑝‘2)) − (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1))))
5958eqeq1d 2820 . . . . . 6 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ ((𝐵 · (𝑝‘2)) − (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1))) = 𝐶))
60 eqcom 2825 . . . . . 6 (𝐶 = ((𝐵 · (𝑝‘2)) − (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1))) ↔ ((𝐵 · (𝑝‘2)) − (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1))) = 𝐶)
6159, 60syl6rbbr 291 . . . . 5 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐶 = ((𝐵 · (𝑝‘2)) − (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1))) ↔ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶))
6237, 61bitrd 280 . . . 4 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + 𝐶) = (𝐵 · (𝑝‘2)) ↔ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶))
639, 62syl5bb 284 . . 3 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐵 · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + 𝐶) ↔ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶))
6463rabbidva 3476 . 2 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → {𝑝𝑃 ∣ (𝐵 · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + 𝐶)} = {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶})
658, 64eqtrd 2853 1 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  {crab 3139  {cpr 4559  cfv 6348  (class class class)co 7145  m cmap 8395  cr 10524  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  cmin 10858  -cneg 10859  2c2 11680  ℝ^crrx 23913  LineMcline 44642
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-0g 16703  df-prds 16709  df-pws 16711  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mhm 17944  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-subg 18214  df-ghm 18294  df-cmn 18837  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-cring 19229  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-invr 19351  df-dvr 19362  df-rnghom 19396  df-drng 19433  df-field 19434  df-subrg 19462  df-staf 19545  df-srng 19546  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-sra 19873  df-rgmod 19874  df-cnfld 20474  df-refld 20677  df-dsmm 20804  df-frlm 20819  df-tng 23121  df-tcph 23700  df-rrx 23915  df-line 44644
This theorem is referenced by:  elrrx2linest2  44660  itsclinecirc0  44688  itscnhlinecirc02p  44700
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