Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itsclc0b Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem itsclc0b 47448
Description: The intersection points of a (nondegenerate) line through two points and a circle around the origin. (Contributed by AV, 2-May-2023.) (Revised by AV, 14-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
itsclc0.i 𝐼 = {1, 2}
itsclc0.e 𝐸 = (ℝ^β€˜πΌ)
itsclc0.p 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
itsclc0.s 𝑆 = (Sphereβ€˜πΈ)
itsclc0.0 0 = (𝐼 Γ— {0})
itsclc0.q 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐡↑2))
itsclc0.d 𝐷 = (((𝑅↑2) Β· 𝑄) βˆ’ (𝐢↑2))
itsclc0.l 𝐿 = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢}
Assertion
Ref Expression
itsclc0b (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ ((𝑋 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) ↔ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ (((π‘‹β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) + (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘‹β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)) ∨ ((π‘‹β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘‹β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄))))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐡,𝑝   𝐢,𝑝   𝐸,𝑝   𝐼,𝑝   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝   𝑋,𝑝   0 ,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑝)   𝑄(𝑝)   𝑆(𝑝)   𝐿(𝑝)
Proof of Theorem itsclc0b
StepHypRef Expression
1 rprege0 12988 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅))
2 elrege0 13430 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅))
31, 2sylibr 233 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ 𝑅 ∈ (0[,)+∞))
43adantr 481 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷) β†’ 𝑅 ∈ (0[,)+∞))
543ad2ant3 1135 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ 𝑅 ∈ (0[,)+∞))
6 itsclc0.i . . . . . 6 𝐼 = {1, 2}
7 itsclc0.e . . . . . 6 𝐸 = (ℝ^β€˜πΌ)
8 itsclc0.p . . . . . 6 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
9 itsclc0.s . . . . . 6 𝑆 = (Sphereβ€˜πΈ)
10 itsclc0.0 . . . . . 6 0 = (𝐼 Γ— {0})
11 eqid 2732 . . . . . 6 {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((π‘β€˜1)↑2) + ((π‘β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2)} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((π‘β€˜1)↑2) + ((π‘β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2)}
126, 7, 8, 9, 10, 112sphere0 47426 . . . . 5 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) β†’ ( 0 𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((π‘β€˜1)↑2) + ((π‘β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2)})
1312eleq2d 2819 . . . 4 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) β†’ (𝑋 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ↔ 𝑋 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((π‘β€˜1)↑2) + ((π‘β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2)}))
145, 13syl 17 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ (𝑋 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ↔ 𝑋 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((π‘β€˜1)↑2) + ((π‘β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2)}))
15 fveq1 6890 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑋 β†’ (π‘β€˜1) = (π‘‹β€˜1))
1615oveq2d 7424 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑋 β†’ (𝐴 Β· (π‘β€˜1)) = (𝐴 Β· (π‘‹β€˜1)))
17 fveq1 6890 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑋 β†’ (π‘β€˜2) = (π‘‹β€˜2))
1817oveq2d 7424 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑋 β†’ (𝐡 Β· (π‘β€˜2)) = (𝐡 Β· (π‘‹β€˜2)))
1916, 18oveq12d 7426 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑋 β†’ ((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = ((𝐴 Β· (π‘‹β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘‹β€˜2))))
2019eqeq1d 2734 . . . . 5 (𝑝 = 𝑋 β†’ (((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢 ↔ ((𝐴 Β· (π‘‹β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘‹β€˜2))) = 𝐢))
21 itsclc0.l . . . . 5 𝐿 = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢}
2220, 21elrab2 3686 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝐿 ↔ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 Β· (π‘‹β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘‹β€˜2))) = 𝐢))
2322a1i 11 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ (𝑋 ∈ 𝐿 ↔ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 Β· (π‘‹β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘‹β€˜2))) = 𝐢)))
2414, 23anbi12d 631 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ ((𝑋 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) ↔ (𝑋 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((π‘β€˜1)↑2) + ((π‘β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2)} ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 Β· (π‘‹β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘‹β€˜2))) = 𝐢))))
2515oveq1d 7423 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑋 β†’ ((π‘β€˜1)↑2) = ((π‘‹β€˜1)↑2))
2617oveq1d 7423 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑋 β†’ ((π‘β€˜2)↑2) = ((π‘‹β€˜2)↑2))
2725, 26oveq12d 7426 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑋 β†’ (((π‘β€˜1)↑2) + ((π‘β€˜2)↑2)) = (((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)))
2827eqeq1d 2734 . . . . 5 (𝑝 = 𝑋 β†’ ((((π‘β€˜1)↑2) + ((π‘β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2) ↔ (((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2)))
2928elrab 3683 . . . 4 (𝑋 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((π‘β€˜1)↑2) + ((π‘β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2)} ↔ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ (((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2)))
3029anbi1i 624 . . 3 ((𝑋 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((π‘β€˜1)↑2) + ((π‘β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2)} ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 Β· (π‘‹β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘‹β€˜2))) = 𝐢)) ↔ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ (((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 Β· (π‘‹β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘‹β€˜2))) = 𝐢)))
31 anandi 674 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ((((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 Β· (π‘‹β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘‹β€˜2))) = 𝐢)) ↔ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ (((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 Β· (π‘‹β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘‹β€˜2))) = 𝐢)))
32 simpl1 1191 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ))
33 simpl2 1192 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) β†’ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0))
34 simpl3l 1228 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
35 simpl3r 1229 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) β†’ 0 ≀ 𝐷)
366, 8rrx2pxel 47387 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ (π‘‹β€˜1) ∈ ℝ)
376, 8rrx2pyel 47388 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ)
3836, 37jca 512 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ ((π‘‹β€˜1) ∈ ℝ ∧ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ))
3938adantl 482 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) β†’ ((π‘‹β€˜1) ∈ ℝ ∧ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ))
4034, 35, 39jca31 515 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) β†’ ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷) ∧ ((π‘‹β€˜1) ∈ ℝ ∧ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ)))
41 itsclc0.q . . . . . . 7 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐡↑2))
42 itsclc0.d . . . . . . 7 𝐷 = (((𝑅↑2) Β· 𝑄) βˆ’ (𝐢↑2))
4341, 42itsclc0xyqsolb 47446 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0)) ∧ ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷) ∧ ((π‘‹β€˜1) ∈ ℝ ∧ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ))) β†’ (((((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 Β· (π‘‹β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘‹β€˜2))) = 𝐢) ↔ (((π‘‹β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) + (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘‹β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)) ∨ ((π‘‹β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘‹β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)))))
4432, 33, 40, 43syl21anc 836 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) β†’ (((((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 Β· (π‘‹β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘‹β€˜2))) = 𝐢) ↔ (((π‘‹β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) + (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘‹β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)) ∨ ((π‘‹β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘‹β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)))))
4544pm5.32da 579 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ((((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 Β· (π‘‹β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘‹β€˜2))) = 𝐢)) ↔ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ (((π‘‹β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) + (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘‹β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)) ∨ ((π‘‹β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘‹β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄))))))
4631, 45bitr3id 284 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ (((π‘‹β€˜1)↑2) + ((π‘‹β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 Β· (π‘‹β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘‹β€˜2))) = 𝐢)) ↔ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ (((π‘‹β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) + (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘‹β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)) ∨ ((π‘‹β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘‹β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄))))))
4730, 46bitrid 282 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ ((𝑋 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((π‘β€˜1)↑2) + ((π‘β€˜2)↑2)) = (𝑅↑2)} ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 Β· (π‘‹β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘‹β€˜2))) = 𝐢)) ↔ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ (((π‘‹β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) + (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘‹β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)) ∨ ((π‘‹β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘‹β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄))))))
4824, 47bitrd 278 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ ((𝑋 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) ↔ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ (((π‘‹β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) + (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘‹β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)) ∨ ((π‘‹β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘‹β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  {crab 3432  {csn 4628  {cpr 4630   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ↑m cmap 8819  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   Β· cmul 11114  +∞cpnf 11244   ≀ cle 11248   βˆ’ cmin 11443   / cdiv 11870  2c2 12266  β„+crp 12973  [,)cico 13325  β†‘cexp 14026  βˆšcsqrt 15179  β„^crrx 24899  Spherecsph 47404
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-sum 15632  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-prds 17392  df-pws 17394  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-subg 19002  df-ghm 19089  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-dvr 20214  df-rnghom 20250  df-subrg 20316  df-drng 20358  df-field 20359  df-staf 20452  df-srng 20453  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-sra 20784  df-rgmod 20785  df-xmet 20936  df-met 20937  df-cnfld 20944  df-refld 21157  df-dsmm 21286  df-frlm 21301  df-nm 24090  df-tng 24092  df-tcph 24685  df-rrx 24901  df-ehl 24902  df-sph 47406
This theorem is referenced by:  itsclinecirc0b  47450
  Copyright terms: Public domain W3C validator