Theorem itsclc0b 49687

Description: The intersection points of a (nondegenerate) line through two points and a circle around the origin. (Contributed by AV, 2-May-2023.) (Revised by AV, 14-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
itsclc0.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
itsclc0.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
itsclc0.p	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
itsclc0.s	⊢ 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
itsclc0.0	⊢ 0 = (𝐼 × {0})
itsclc0.q	⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
itsclc0.d	⊢ 𝐷 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
itsclc0.l	⊢ 𝐿 = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶}

Assertion

Ref	Expression
itsclc0b	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑋 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) ↔ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ (((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐶,𝑝   𝐸,𝑝   𝐼,𝑝   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝   𝑋,𝑝   0 ,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑝)   𝑄(𝑝)   𝑆(𝑝)   𝐿(𝑝)

Proof of Theorem itsclc0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rprege0 13058	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅))
2		elrege0 13507	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅))
3	1, 2	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 𝑅 ∈ (0[,)+∞))
4	3	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝑅 ∈ (0[,)+∞))
5	4	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝑅 ∈ (0[,)+∞))
6		itsclc0.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
7		itsclc0.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
8		itsclc0.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
9		itsclc0.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
10		itsclc0.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (𝐼 × {0})
11		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)}
12	6, 7, 8, 9, 10, 11	2sphere0 49665	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → ( 0 𝑆𝑅) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)})
13	12	eleq2d 2848	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → (𝑋 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ↔ 𝑋 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)}))
14	5, 13	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑋 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ↔ 𝑋 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)}))
15		fveq1 6881	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑋 → (𝑝‘1) = (𝑋‘1))
16	15	oveq2d 7432	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑋 → (𝐴 · (𝑝‘1)) = (𝐴 · (𝑋‘1)))
17		fveq1 6881	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑋 → (𝑝‘2) = (𝑋‘2))
18	17	oveq2d 7432	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑋 → (𝐵 · (𝑝‘2)) = (𝐵 · (𝑋‘2)))
19	16, 18	oveq12d 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑋 → ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = ((𝐴 · (𝑋‘1)) + (𝐵 · (𝑋‘2))))
20	19	eqeq1d 2764	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑋 → (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ ((𝐴 · (𝑋‘1)) + (𝐵 · (𝑋‘2))) = 𝐶))
21		itsclc0.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶}
22	20, 21	elrab2 3652	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐿 ↔ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 · (𝑋‘1)) + (𝐵 · (𝑋‘2))) = 𝐶))
23	22	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑋 ∈ 𝐿 ↔ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 · (𝑋‘1)) + (𝐵 · (𝑋‘2))) = 𝐶)))
24	14, 23	anbi12d 644	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑋 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) ↔ (𝑋 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)} ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 · (𝑋‘1)) + (𝐵 · (𝑋‘2))) = 𝐶))))
25	15	oveq1d 7431	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑋 → ((𝑝‘1)↑2) = ((𝑋‘1)↑2))
26	17	oveq1d 7431	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑋 → ((𝑝‘2)↑2) = ((𝑋‘2)↑2))
27	25, 26	oveq12d 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑋 → (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)))
28	27	eqeq1d 2764	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑋 → ((((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2) ↔ (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) = (𝑅↑2)))
29	28	elrab 3648	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)} ↔ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) = (𝑅↑2)))
30	29	anbi1i 636	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)} ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 · (𝑋‘1)) + (𝐵 · (𝑋‘2))) = 𝐶)) ↔ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) = (𝑅↑2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 · (𝑋‘1)) + (𝐵 · (𝑋‘2))) = 𝐶)))
31		anandi 689	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ((((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · (𝑋‘1)) + (𝐵 · (𝑋‘2))) = 𝐶)) ↔ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) = (𝑅↑2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 · (𝑋‘1)) + (𝐵 · (𝑋‘2))) = 𝐶)))
32		simpl1 1210	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
33		simpl2 1211	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))
34		simpl3l 1247	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → 𝑅 ∈ ℝ+)
35		simpl3r 1248	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → 0 ≤ 𝐷)
36	6, 8	rrx2pxel 49626	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
37	6, 8	rrx2pyel 49627	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
38	36, 37	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → ((𝑋‘1) ∈ ℝ ∧ (𝑋‘2) ∈ ℝ))
39	38	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → ((𝑋‘1) ∈ ℝ ∧ (𝑋‘2) ∈ ℝ))
40	34, 35, 39	jca31 524	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ ((𝑋‘1) ∈ ℝ ∧ (𝑋‘2) ∈ ℝ)))
41		itsclc0.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
42		itsclc0.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
43	41, 42	itsclc0xyqsolb 49685	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ ((𝑋‘1) ∈ ℝ ∧ (𝑋‘2) ∈ ℝ))) → (((((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · (𝑋‘1)) + (𝐵 · (𝑋‘2))) = 𝐶) ↔ (((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))))
44	32, 33, 40, 43	syl21anc 851	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → (((((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · (𝑋‘1)) + (𝐵 · (𝑋‘2))) = 𝐶) ↔ (((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))))
45	44	pm5.32da 590	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ((((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) = (𝑅↑2) ∧ ((𝐴 · (𝑋‘1)) + (𝐵 · (𝑋‘2))) = 𝐶)) ↔ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ (((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))))
46	31, 45	bitr3id 288	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ (((𝑋‘1)↑2) + ((𝑋‘2)↑2)) = (𝑅↑2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 · (𝑋‘1)) + (𝐵 · (𝑋‘2))) = 𝐶)) ↔ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ (((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))))
47	30, 46	bitrid 286	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑋 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑝‘1)↑2) + ((𝑝‘2)↑2)) = (𝑅↑2)} ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ((𝐴 · (𝑋‘1)) + (𝐵 · (𝑋‘2))) = 𝐶)) ↔ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ (((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))))
48	24, 47	bitrd 282	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑋 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐿) ↔ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ (((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑋‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑋‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  {crab 3414  {csn 4587  {cpr 4589   class class class wbr 5107   × cxp 5657  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ↑_m cmap 8829  ℝcr 11124  0cc0 11125  1c1 11126   + caddc 11128   · cmul 11130  +∞cpnf 11265   ≤ cle 11269   − cmin 11466   / cdiv 11896  2c2 12320  ℝ⁺crp 13042  [,)cico 13400  ↑cexp 14125  √csqrt 15320  ℝ^crrx 25610  Spherecsph 49643

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203  ax-addf 11204  ax-mulf 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-rp 13043  df-xneg 13163  df-xadd 13164  df-xmul 13165  df-ico 13404  df-icc 13405  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-seq 14066  df-exp 14126  df-hash 14395  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-clim 15575  df-sum 15774  df-struct 17241  df-sets 17258  df-slot 17276  df-ndx 17288  df-base 17304  df-ress 17325  df-plusg 17357  df-mulr 17358  df-starv 17359  df-sca 17360  df-vsca 17361  df-ip 17362  df-tset 17363  df-ple 17364  df-ds 17366  df-unif 17367  df-hom 17368  df-cco 17369  df-0g 17528  df-gsum 17529  df-prds 17534  df-pws 17536  df-mgm 18732  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-mhm 18890  df-grp 19059  df-minusg 19060  df-sbg 19061  df-subg 19245  df-ghm 19340  df-cntz 19443  df-cmn 19908  df-abl 19909  df-mgp 20273  df-rng 20287  df-ur 20320  df-ring 20373  df-cring 20374  df-oppr 20477  df-dvdsr 20497  df-unit 20498  df-invr 20528  df-dvr 20541  df-rhm 20612  df-subrng 20707  df-subrg 20731  df-drng 20891  df-field 20892  df-staf 21004  df-srng 21005  df-lmod 21045  df-lss 21115  df-sra 21356  df-rgmod 21357  df-xmet 21577  df-met 21578  df-cnfld 21585  df-refld 21817  df-dsmm 21944  df-frlm 21959  df-nm 24807  df-tng 24809  df-tcph 25396  df-rrx 25612  df-ehl 25613  df-sph 49645

This theorem is used by:  itsclinecirc0b  49689