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Theorem itsclinecirc0b 45115
Description: The intersection points of a line through two different points and a circle around the origin, using the definition of a line in a two dimensional Euclidean space. (Contributed by AV, 2-May-2023.) (Revised by AV, 14-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
itsclinecirc0b.i 𝐼 = {1, 2}
itsclinecirc0b.e 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
itsclinecirc0b.p 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
itsclinecirc0b.s 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
itsclinecirc0b.0 0 = (𝐼 × {0})
itsclinecirc0b.q 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
itsclinecirc0b.d 𝐷 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
itsclinecirc0b.l 𝐿 = (LineM𝐸)
itsclinecirc0b.a 𝐴 = ((𝑋‘2) − (𝑌‘2))
itsclinecirc0b.b 𝐵 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
itsclinecirc0b.c 𝐶 = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))
Assertion
Ref Expression
itsclinecirc0b (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ↔ (𝑍𝑃 ∧ (((𝑍‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑍‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑍‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑍‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))))

Proof of Theorem itsclinecirc0b
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itsclinecirc0b.i . . . . . . 7 𝐼 = {1, 2}
2 itsclinecirc0b.e . . . . . . 7 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
3 itsclinecirc0b.p . . . . . . 7 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
4 itsclinecirc0b.l . . . . . . 7 𝐿 = (LineM𝐸)
5 itsclinecirc0b.b . . . . . . 7 𝐵 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
6 eqid 2824 . . . . . . 7 ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))
7 itsclinecirc0b.c . . . . . . 7 𝐶 = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7rrx2linest 45083 . . . . . 6 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ (𝐵 · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + 𝐶)})
98adantr 484 . . . . 5 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ (𝐵 · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + 𝐶)})
101, 3rrx2pxel 45052 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑌𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
1110adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
121, 3rrx2pxel 45052 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
1312adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
1411, 13resubcld 11067 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ∈ ℝ)
155, 14eqeltrid 2920 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝐵 ∈ ℝ)
16153adant3 1129 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → 𝐵 ∈ ℝ)
1716ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐵 ∈ ℝ)
181, 3rrx2pyel 45053 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
1918adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
2017, 19remulcld 10670 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐵 · (𝑝‘2)) ∈ ℝ)
2120recnd 10668 . . . . . . . . 9 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐵 · (𝑝‘2)) ∈ ℂ)
221, 3rrx2pyel 45053 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑌𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
2322adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
241, 3rrx2pyel 45053 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
2524adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
2623, 25resubcld 11067 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℝ)
27263adant3 1129 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℝ)
2827ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℝ)
291, 3rrx2pxel 45052 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
3029adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
3128, 30remulcld 10670 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) ∈ ℝ)
3231recnd 10668 . . . . . . . . 9 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) ∈ ℂ)
3325, 11remulcld 10670 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) ∈ ℝ)
3413, 23remulcld 10670 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)) ∈ ℝ)
3533, 34resubcld 11067 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) ∈ ℝ)
367, 35eqeltrid 2920 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝐶 ∈ ℝ)
3736recnd 10668 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝐶 ∈ ℂ)
38373adant3 1129 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → 𝐶 ∈ ℂ)
3938ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐶 ∈ ℂ)
4021, 32, 39subaddd 11014 . . . . . . . 8 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝐵 · (𝑝‘2)) − (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + 𝐶) = (𝐵 · (𝑝‘2))))
41 eqcom 2831 . . . . . . . 8 ((𝐵 · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + 𝐶) ↔ ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + 𝐶) = (𝐵 · (𝑝‘2)))
4240, 41syl6rbbr 293 . . . . . . 7 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐵 · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + 𝐶) ↔ ((𝐵 · (𝑝‘2)) − (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1))) = 𝐶))
43 itsclinecirc0b.a . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐴 = ((𝑋‘2) − (𝑌‘2))
4425, 23resubcld 11067 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ∈ ℝ)
4543, 44eqeltrid 2920 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝐴 ∈ ℝ)
46453adant3 1129 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → 𝐴 ∈ ℝ)
4746ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐴 ∈ ℝ)
4847, 30remulcld 10670 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐴 · (𝑝‘1)) ∈ ℝ)
4948recnd 10668 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐴 · (𝑝‘1)) ∈ ℂ)
5049, 21addcomd 10841 . . . . . . . . 9 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = ((𝐵 · (𝑝‘2)) + (𝐴 · (𝑝‘1))))
51233adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
5251ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
5352recnd 10668 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
54253adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
5554ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
5655recnd 10668 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
5753, 56negsubdi2d 11012 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → -((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)))
5857, 43syl6reqr 2878 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐴 = -((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))
5958oveq1d 7165 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐴 · (𝑝‘1)) = (-((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)))
6026recnd 10668 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℂ)
61603adant3 1129 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℂ)
6261ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℂ)
6330recnd 10668 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝‘1) ∈ ℂ)
6462, 63mulneg1d 11092 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (-((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) = -(((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)))
6559, 64eqtr2d 2860 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → -(((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) = (𝐴 · (𝑝‘1)))
6665oveq2d 7166 . . . . . . . . 9 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐵 · (𝑝‘2)) + -(((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1))) = ((𝐵 · (𝑝‘2)) + (𝐴 · (𝑝‘1))))
6721, 32negsubd 11002 . . . . . . . . 9 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐵 · (𝑝‘2)) + -(((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1))) = ((𝐵 · (𝑝‘2)) − (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1))))
6850, 66, 673eqtr2rd 2866 . . . . . . . 8 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐵 · (𝑝‘2)) − (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1))) = ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))))
6968eqeq1d 2826 . . . . . . 7 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝐵 · (𝑝‘2)) − (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶))
7042, 69bitrd 282 . . . . . 6 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐵 · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + 𝐶) ↔ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶))
7170rabbidva 3464 . . . . 5 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → {𝑝𝑃 ∣ (𝐵 · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + 𝐶)} = {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶})
729, 71eqtrd 2859 . . . 4 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶})
7372eleq2d 2901 . . 3 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ↔ 𝑍 ∈ {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶}))
7473anbi2d 631 . 2 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ↔ (𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑍 ∈ {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶})))
7546adantr 484 . . 3 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ)
7616adantr 484 . . 3 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝐵 ∈ ℝ)
77363adant3 1129 . . . 4 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → 𝐶 ∈ ℝ)
7877adantr 484 . . 3 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝐶 ∈ ℝ)
791, 3, 5, 43rrx2pnedifcoorneorr 45058 . . . . 5 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝐵 ≠ 0 ∨ 𝐴 ≠ 0))
8079orcomd 868 . . . 4 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))
8180adantr 484 . . 3 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))
82 simpr 488 . . 3 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷))
83 itsclinecirc0b.s . . . 4 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
84 itsclinecirc0b.0 . . . 4 0 = (𝐼 × {0})
85 itsclinecirc0b.q . . . 4 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
86 itsclinecirc0b.d . . . 4 𝐷 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
87 eqid 2824 . . . 4 {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶} = {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶}
881, 2, 3, 83, 84, 85, 86, 87itsclc0b 45113 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑍 ∈ {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶}) ↔ (𝑍𝑃 ∧ (((𝑍‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑍‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑍‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑍‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))))
8975, 76, 78, 81, 82, 88syl311anc 1381 . 2 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑍 ∈ {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶}) ↔ (𝑍𝑃 ∧ (((𝑍‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑍‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑍‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑍‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))))
9074, 89bitrd 282 1 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ↔ (𝑍𝑃 ∧ (((𝑍‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑍‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑍‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑍‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  {crab 3137  {csn 4551  {cpr 4553   class class class wbr 5053   × cxp 5541  cfv 6344  (class class class)co 7150  m cmap 8403  cc 10534  cr 10535  0cc0 10536  1c1 10537   + caddc 10539   · cmul 10541  cle 10675  cmin 10869  -cneg 10870   / cdiv 11296  2c2 11692  +crp 12389  cexp 13437  csqrt 14595  ℝ^crrx 23993  LineMcline 45068  Spherecsph 45069
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-inf2 9102  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614  ax-addf 10615  ax-mulf 10616
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-pss 3939  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-tp 4556  df-op 4558  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-isom 6353  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7404  df-om 7576  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-supp 7828  df-tpos 7889  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-1o 8099  df-oadd 8103  df-er 8286  df-map 8405  df-ixp 8459  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-fin 8510  df-fsupp 8832  df-sup 8904  df-oi 8972  df-card 9366  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11700  df-3 11701  df-4 11702  df-5 11703  df-6 11704  df-7 11705  df-8 11706  df-9 11707  df-n0 11898  df-z 11982  df-dec 12099  df-uz 12244  df-rp 12390  df-xneg 12507  df-xadd 12508  df-xmul 12509  df-ico 12744  df-icc 12745  df-fz 12898  df-fzo 13041  df-seq 13377  df-exp 13438  df-hash 13699  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-clim 14848  df-sum 15046  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-starv 16583  df-sca 16584  df-vsca 16585  df-ip 16586  df-tset 16587  df-ple 16588  df-ds 16590  df-unif 16591  df-hom 16592  df-cco 16593  df-0g 16718  df-gsum 16719  df-prds 16724  df-pws 16726  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-mhm 17959  df-grp 18109  df-minusg 18110  df-sbg 18111  df-subg 18279  df-ghm 18359  df-cntz 18450  df-cmn 18911  df-abl 18912  df-mgp 19243  df-ur 19255  df-ring 19302  df-cring 19303  df-oppr 19379  df-dvdsr 19397  df-unit 19398  df-invr 19428  df-dvr 19439  df-rnghom 19473  df-drng 19507  df-field 19508  df-subrg 19536  df-staf 19619  df-srng 19620  df-lmod 19639  df-lss 19707  df-sra 19947  df-rgmod 19948  df-xmet 20541  df-met 20542  df-cnfld 20549  df-refld 20752  df-dsmm 20879  df-frlm 20894  df-nm 23195  df-tng 23197  df-tcph 23780  df-rrx 23995  df-ehl 23996  df-line 45070  df-sph 45071
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