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Theorem itsclinecirc0b 44130
Description: The intersection points of a line through two different points and a circle around the origin, using the definition of a line in a two dimensional Euclidean space. (Contributed by AV, 2-May-2023.) (Revised by AV, 14-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
itsclinecirc0b.i 𝐼 = {1, 2}
itsclinecirc0b.e 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
itsclinecirc0b.p 𝑃 = (ℝ ↑𝑚 𝐼)
itsclinecirc0b.s 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
itsclinecirc0b.0 0 = (𝐼 × {0})
itsclinecirc0b.q 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
itsclinecirc0b.d 𝐷 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
itsclinecirc0b.l 𝐿 = (LineM𝐸)
itsclinecirc0b.a 𝐴 = ((𝑋‘2) − (𝑌‘2))
itsclinecirc0b.b 𝐵 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
itsclinecirc0b.c 𝐶 = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))
Assertion
Ref Expression
itsclinecirc0b (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ↔ (𝑍𝑃 ∧ (((𝑍‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑍‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑍‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑍‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))))

Proof of Theorem itsclinecirc0b
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itsclinecirc0b.i . . . . . . 7 𝐼 = {1, 2}
2 itsclinecirc0b.e . . . . . . 7 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
3 itsclinecirc0b.p . . . . . . 7 𝑃 = (ℝ ↑𝑚 𝐼)
4 itsclinecirc0b.l . . . . . . 7 𝐿 = (LineM𝐸)
5 itsclinecirc0b.b . . . . . . 7 𝐵 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
6 eqid 2778 . . . . . . 7 ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))
7 itsclinecirc0b.c . . . . . . 7 𝐶 = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7rrx2linest 44098 . . . . . 6 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ (𝐵 · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + 𝐶)})
98adantr 473 . . . . 5 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ (𝐵 · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + 𝐶)})
101, 3rrx2pxel 44067 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑌𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
1110adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
121, 3rrx2pxel 44067 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
1312adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
1411, 13resubcld 10871 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ∈ ℝ)
155, 14syl5eqel 2870 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝐵 ∈ ℝ)
16153adant3 1112 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → 𝐵 ∈ ℝ)
1716ad2antrr 713 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐵 ∈ ℝ)
181, 3rrx2pyel 44068 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
1918adantl 474 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
2017, 19remulcld 10472 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐵 · (𝑝‘2)) ∈ ℝ)
2120recnd 10470 . . . . . . . . 9 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐵 · (𝑝‘2)) ∈ ℂ)
221, 3rrx2pyel 44068 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑌𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
2322adantl 474 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
241, 3rrx2pyel 44068 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
2524adantr 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
2623, 25resubcld 10871 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℝ)
27263adant3 1112 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℝ)
2827ad2antrr 713 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℝ)
291, 3rrx2pxel 44067 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
3029adantl 474 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
3128, 30remulcld 10472 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) ∈ ℝ)
3231recnd 10470 . . . . . . . . 9 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) ∈ ℂ)
3325, 11remulcld 10472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) ∈ ℝ)
3413, 23remulcld 10472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)) ∈ ℝ)
3533, 34resubcld 10871 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) ∈ ℝ)
367, 35syl5eqel 2870 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝐶 ∈ ℝ)
3736recnd 10470 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝐶 ∈ ℂ)
38373adant3 1112 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → 𝐶 ∈ ℂ)
3938ad2antrr 713 . . . . . . . . 9 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐶 ∈ ℂ)
4021, 32, 39subaddd 10818 . . . . . . . 8 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝐵 · (𝑝‘2)) − (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + 𝐶) = (𝐵 · (𝑝‘2))))
41 eqcom 2785 . . . . . . . 8 ((𝐵 · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + 𝐶) ↔ ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + 𝐶) = (𝐵 · (𝑝‘2)))
4240, 41syl6rbbr 282 . . . . . . 7 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐵 · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + 𝐶) ↔ ((𝐵 · (𝑝‘2)) − (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1))) = 𝐶))
43 itsclinecirc0b.a . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐴 = ((𝑋‘2) − (𝑌‘2))
4425, 23resubcld 10871 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ∈ ℝ)
4543, 44syl5eqel 2870 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝐴 ∈ ℝ)
46453adant3 1112 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → 𝐴 ∈ ℝ)
4746ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐴 ∈ ℝ)
4847, 30remulcld 10472 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐴 · (𝑝‘1)) ∈ ℝ)
4948recnd 10470 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐴 · (𝑝‘1)) ∈ ℂ)
5049, 21addcomd 10644 . . . . . . . . 9 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = ((𝐵 · (𝑝‘2)) + (𝐴 · (𝑝‘1))))
51233adant3 1112 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
5251ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
5352recnd 10470 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
54253adant3 1112 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
5554ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
5655recnd 10470 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
5753, 56negsubdi2d 10816 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → -((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)))
5857, 43syl6reqr 2833 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐴 = -((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))
5958oveq1d 6993 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐴 · (𝑝‘1)) = (-((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)))
6026recnd 10470 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℂ)
61603adant3 1112 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℂ)
6261ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℂ)
6330recnd 10470 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝‘1) ∈ ℂ)
6462, 63mulneg1d 10896 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (-((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) = -(((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)))
6559, 64eqtr2d 2815 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → -(((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) = (𝐴 · (𝑝‘1)))
6665oveq2d 6994 . . . . . . . . 9 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐵 · (𝑝‘2)) + -(((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1))) = ((𝐵 · (𝑝‘2)) + (𝐴 · (𝑝‘1))))
6721, 32negsubd 10806 . . . . . . . . 9 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐵 · (𝑝‘2)) + -(((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1))) = ((𝐵 · (𝑝‘2)) − (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1))))
6850, 66, 673eqtr2rd 2821 . . . . . . . 8 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐵 · (𝑝‘2)) − (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1))) = ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))))
6968eqeq1d 2780 . . . . . . 7 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝐵 · (𝑝‘2)) − (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶))
7042, 69bitrd 271 . . . . . 6 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐵 · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + 𝐶) ↔ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶))
7170rabbidva 3402 . . . . 5 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → {𝑝𝑃 ∣ (𝐵 · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + 𝐶)} = {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶})
729, 71eqtrd 2814 . . . 4 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶})
7372eleq2d 2851 . . 3 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ↔ 𝑍 ∈ {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶}))
7473anbi2d 619 . 2 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ↔ (𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑍 ∈ {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶})))
7546adantr 473 . . 3 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ)
7616adantr 473 . . 3 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝐵 ∈ ℝ)
77363adant3 1112 . . . 4 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → 𝐶 ∈ ℝ)
7877adantr 473 . . 3 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝐶 ∈ ℝ)
791, 3, 5, 43rrx2pnedifcoorneorr 44073 . . . . 5 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝐵 ≠ 0 ∨ 𝐴 ≠ 0))
8079orcomd 857 . . . 4 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))
8180adantr 473 . . 3 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))
82 simpr 477 . . 3 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷))
83 itsclinecirc0b.s . . . 4 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
84 itsclinecirc0b.0 . . . 4 0 = (𝐼 × {0})
85 itsclinecirc0b.q . . . 4 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
86 itsclinecirc0b.d . . . 4 𝐷 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
87 eqid 2778 . . . 4 {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶} = {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶}
881, 2, 3, 83, 84, 85, 86, 87itsclc0b 44128 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑍 ∈ {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶}) ↔ (𝑍𝑃 ∧ (((𝑍‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑍‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑍‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑍‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))))
8975, 76, 78, 81, 82, 88syl311anc 1364 . 2 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑍 ∈ {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶}) ↔ (𝑍𝑃 ∧ (((𝑍‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑍‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑍‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑍‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))))
9074, 89bitrd 271 1 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ↔ (𝑍𝑃 ∧ (((𝑍‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑍‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑍‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑍‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  wo 833  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2967  {crab 3092  {csn 4442  {cpr 4444   class class class wbr 4930   × cxp 5406  cfv 6190  (class class class)co 6978  𝑚 cmap 8208  cc 10335  cr 10336  0cc0 10337  1c1 10338   + caddc 10340   · cmul 10342  cle 10477  cmin 10672  -cneg 10673   / cdiv 11100  2c2 11498  +crp 12207  cexp 13247  csqrt 14456  ℝ^crrx 23692  LineMcline 44083  Spherecsph 44084
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-inf2 8900  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414  ax-pre-sup 10415  ax-addf 10416  ax-mulf 10417
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-int 4751  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-se 5368  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-isom 6199  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-of 7229  df-om 7399  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-supp 7636  df-tpos 7697  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-1o 7907  df-oadd 7911  df-er 8091  df-map 8210  df-ixp 8262  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-fin 8312  df-fsupp 8631  df-sup 8703  df-oi 8771  df-card 9164  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-div 11101  df-nn 11442  df-2 11506  df-3 11507  df-4 11508  df-5 11509  df-6 11510  df-7 11511  df-8 11512  df-9 11513  df-n0 11711  df-z 11797  df-dec 11915  df-uz 12062  df-rp 12208  df-xneg 12327  df-xadd 12328  df-xmul 12329  df-ico 12563  df-icc 12564  df-fz 12712  df-fzo 12853  df-seq 13188  df-exp 13248  df-hash 13509  df-cj 14322  df-re 14323  df-im 14324  df-sqrt 14458  df-abs 14459  df-clim 14709  df-sum 14907  df-struct 16344  df-ndx 16345  df-slot 16346  df-base 16348  df-sets 16349  df-ress 16350  df-plusg 16437  df-mulr 16438  df-starv 16439  df-sca 16440  df-vsca 16441  df-ip 16442  df-tset 16443  df-ple 16444  df-ds 16446  df-unif 16447  df-hom 16448  df-cco 16449  df-0g 16574  df-gsum 16575  df-prds 16580  df-pws 16582  df-mgm 17713  df-sgrp 17755  df-mnd 17766  df-mhm 17806  df-grp 17897  df-minusg 17898  df-sbg 17899  df-subg 18063  df-ghm 18130  df-cntz 18221  df-cmn 18671  df-abl 18672  df-mgp 18966  df-ur 18978  df-ring 19025  df-cring 19026  df-oppr 19099  df-dvdsr 19117  df-unit 19118  df-invr 19148  df-dvr 19159  df-rnghom 19193  df-drng 19230  df-field 19231  df-subrg 19259  df-staf 19341  df-srng 19342  df-lmod 19361  df-lss 19429  df-sra 19669  df-rgmod 19670  df-xmet 20243  df-met 20244  df-cnfld 20251  df-refld 20454  df-dsmm 20581  df-frlm 20596  df-nm 22898  df-tng 22900  df-tcph 23479  df-rrx 23694  df-ehl 23695  df-line 44085  df-sph 44086
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