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Theorem itsclinecirc0b 46950
Description: The intersection points of a line through two different points and a circle around the origin, using the definition of a line in a two dimensional Euclidean space. (Contributed by AV, 2-May-2023.) (Revised by AV, 14-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
itsclinecirc0b.i 𝐼 = {1, 2}
itsclinecirc0b.e 𝐸 = (ℝ^β€˜πΌ)
itsclinecirc0b.p 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
itsclinecirc0b.s 𝑆 = (Sphereβ€˜πΈ)
itsclinecirc0b.0 0 = (𝐼 Γ— {0})
itsclinecirc0b.q 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐡↑2))
itsclinecirc0b.d 𝐷 = (((𝑅↑2) Β· 𝑄) βˆ’ (𝐢↑2))
itsclinecirc0b.l 𝐿 = (LineMβ€˜πΈ)
itsclinecirc0b.a 𝐴 = ((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))
itsclinecirc0b.b 𝐡 = ((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))
itsclinecirc0b.c 𝐢 = (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))
Assertion
Ref Expression
itsclinecirc0b (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ ((𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (π‘‹πΏπ‘Œ)) ↔ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ (((π‘β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) + (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)) ∨ ((π‘β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄))))))

Proof of Theorem itsclinecirc0b
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itsclinecirc0b.i . . . . . . 7 𝐼 = {1, 2}
2 itsclinecirc0b.e . . . . . . 7 𝐸 = (ℝ^β€˜πΌ)
3 itsclinecirc0b.p . . . . . . 7 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
4 itsclinecirc0b.l . . . . . . 7 𝐿 = (LineMβ€˜πΈ)
5 itsclinecirc0b.b . . . . . . 7 𝐡 = ((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))
6 eqid 2733 . . . . . . 7 ((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) = ((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2))
7 itsclinecirc0b.c . . . . . . 7 𝐢 = (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7rrx2linest 46918 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ (π‘‹πΏπ‘Œ) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝐡 Β· (π‘β€˜2)) = ((((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) Β· (π‘β€˜1)) + 𝐢)})
98adantr 482 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ (π‘‹πΏπ‘Œ) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝐡 Β· (π‘β€˜2)) = ((((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) Β· (π‘β€˜1)) + 𝐢)})
10 eqcom 2740 . . . . . . . 8 ((𝐡 Β· (π‘β€˜2)) = ((((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) Β· (π‘β€˜1)) + 𝐢) ↔ ((((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) Β· (π‘β€˜1)) + 𝐢) = (𝐡 Β· (π‘β€˜2)))
111, 3rrx2pxel 46887 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Œ ∈ 𝑃 β†’ (π‘Œβ€˜1) ∈ ℝ)
1211adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (π‘Œβ€˜1) ∈ ℝ)
131, 3rrx2pxel 46887 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ (π‘‹β€˜1) ∈ ℝ)
1413adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (π‘‹β€˜1) ∈ ℝ)
1512, 14resubcld 11591 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) ∈ ℝ)
165, 15eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
17163adant3 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
1817ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
191, 3rrx2pyel 46888 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ (π‘β€˜2) ∈ ℝ)
2019adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (π‘β€˜2) ∈ ℝ)
2118, 20remulcld 11193 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (𝐡 Β· (π‘β€˜2)) ∈ ℝ)
2221recnd 11191 . . . . . . . . 9 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (𝐡 Β· (π‘β€˜2)) ∈ β„‚)
231, 3rrx2pyel 46888 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Œ ∈ 𝑃 β†’ (π‘Œβ€˜2) ∈ ℝ)
2423adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (π‘Œβ€˜2) ∈ ℝ)
251, 3rrx2pyel 46888 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ)
2625adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ)
2724, 26resubcld 11591 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) ∈ ℝ)
28273adant3 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ ((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) ∈ ℝ)
2928ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ ((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) ∈ ℝ)
301, 3rrx2pxel 46887 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ (π‘β€˜1) ∈ ℝ)
3130adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (π‘β€˜1) ∈ ℝ)
3229, 31remulcld 11193 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) Β· (π‘β€˜1)) ∈ ℝ)
3332recnd 11191 . . . . . . . . 9 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) Β· (π‘β€˜1)) ∈ β„‚)
3426, 12remulcld 11193 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) ∈ ℝ)
3514, 24remulcld 11193 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)) ∈ ℝ)
3634, 35resubcld 11591 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2))) ∈ ℝ)
377, 36eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
3837recnd 11191 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
39383adant3 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
4039ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
4122, 33, 40subaddd 11538 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (((𝐡 Β· (π‘β€˜2)) βˆ’ (((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) Β· (π‘β€˜1))) = 𝐢 ↔ ((((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) Β· (π‘β€˜1)) + 𝐢) = (𝐡 Β· (π‘β€˜2))))
4210, 41bitr4id 290 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ ((𝐡 Β· (π‘β€˜2)) = ((((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) Β· (π‘β€˜1)) + 𝐢) ↔ ((𝐡 Β· (π‘β€˜2)) βˆ’ (((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) Β· (π‘β€˜1))) = 𝐢))
43 itsclinecirc0b.a . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐴 = ((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))
4426, 24resubcld 11591 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) ∈ ℝ)
4543, 44eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
46453adant3 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
4746ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
4847, 31remulcld 11193 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (𝐴 Β· (π‘β€˜1)) ∈ ℝ)
4948recnd 11191 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (𝐴 Β· (π‘β€˜1)) ∈ β„‚)
5049, 22addcomd 11365 . . . . . . . . 9 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ ((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = ((𝐡 Β· (π‘β€˜2)) + (𝐴 Β· (π‘β€˜1))))
51243adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ (π‘Œβ€˜2) ∈ ℝ)
5251ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (π‘Œβ€˜2) ∈ ℝ)
5352recnd 11191 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (π‘Œβ€˜2) ∈ β„‚)
54263adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ)
5554ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ)
5655recnd 11191 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ β„‚)
5753, 56negsubdi2d 11536 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ -((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) = ((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)))
5843, 57eqtr4id 2792 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ 𝐴 = -((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)))
5958oveq1d 7376 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (𝐴 Β· (π‘β€˜1)) = (-((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) Β· (π‘β€˜1)))
6027recnd 11191 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) ∈ β„‚)
61603adant3 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ ((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) ∈ β„‚)
6261ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ ((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) ∈ β„‚)
6331recnd 11191 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (π‘β€˜1) ∈ β„‚)
6462, 63mulneg1d 11616 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (-((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) Β· (π‘β€˜1)) = -(((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) Β· (π‘β€˜1)))
6559, 64eqtr2d 2774 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ -(((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) Β· (π‘β€˜1)) = (𝐴 Β· (π‘β€˜1)))
6665oveq2d 7377 . . . . . . . . 9 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ ((𝐡 Β· (π‘β€˜2)) + -(((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) Β· (π‘β€˜1))) = ((𝐡 Β· (π‘β€˜2)) + (𝐴 Β· (π‘β€˜1))))
6722, 33negsubd 11526 . . . . . . . . 9 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ ((𝐡 Β· (π‘β€˜2)) + -(((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) Β· (π‘β€˜1))) = ((𝐡 Β· (π‘β€˜2)) βˆ’ (((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) Β· (π‘β€˜1))))
6850, 66, 673eqtr2rd 2780 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ ((𝐡 Β· (π‘β€˜2)) βˆ’ (((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) Β· (π‘β€˜1))) = ((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))))
6968eqeq1d 2735 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (((𝐡 Β· (π‘β€˜2)) βˆ’ (((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) Β· (π‘β€˜1))) = 𝐢 ↔ ((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢))
7042, 69bitrd 279 . . . . . 6 ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ ((𝐡 Β· (π‘β€˜2)) = ((((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) Β· (π‘β€˜1)) + 𝐢) ↔ ((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢))
7170rabbidva 3413 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝐡 Β· (π‘β€˜2)) = ((((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) Β· (π‘β€˜1)) + 𝐢)} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢})
729, 71eqtrd 2773 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ (π‘‹πΏπ‘Œ) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢})
7372eleq2d 2820 . . 3 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ (𝑍 ∈ (π‘‹πΏπ‘Œ) ↔ 𝑍 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢}))
7473anbi2d 630 . 2 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ ((𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (π‘‹πΏπ‘Œ)) ↔ (𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑍 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢})))
7546adantr 482 . . 3 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
7617adantr 482 . . 3 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
77373adant3 1133 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
7877adantr 482 . . 3 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
791, 3, 5, 43rrx2pnedifcoorneorr 46893 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ (𝐡 β‰  0 ∨ 𝐴 β‰  0))
8079orcomd 870 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0))
8180adantr 482 . . 3 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0))
82 simpr 486 . . 3 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷))
83 itsclinecirc0b.s . . . 4 𝑆 = (Sphereβ€˜πΈ)
84 itsclinecirc0b.0 . . . 4 0 = (𝐼 Γ— {0})
85 itsclinecirc0b.q . . . 4 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐡↑2))
86 itsclinecirc0b.d . . . 4 𝐷 = (((𝑅↑2) Β· 𝑄) βˆ’ (𝐢↑2))
87 eqid 2733 . . . 4 {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢}
881, 2, 3, 83, 84, 85, 86, 87itsclc0b 46948 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ ((𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑍 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢}) ↔ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ (((π‘β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) + (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)) ∨ ((π‘β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄))))))
8975, 76, 78, 81, 82, 88syl311anc 1385 . 2 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ ((𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑍 ∈ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢}) ↔ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ (((π‘β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) + (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)) ∨ ((π‘β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄))))))
9074, 89bitrd 279 1 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ ((𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (π‘‹πΏπ‘Œ)) ↔ (𝑍 ∈ 𝑃 ∧ (((π‘β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) + (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)) ∨ ((π‘β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  {crab 3406  {csn 4590  {cpr 4592   class class class wbr 5109   Γ— cxp 5635  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ↑m cmap 8771  β„‚cc 11057  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   Β· cmul 11064   ≀ cle 11198   βˆ’ cmin 11393  -cneg 11394   / cdiv 11820  2c2 12216  β„+crp 12923  β†‘cexp 13976  βˆšcsqrt 15127  β„^crrx 24770  LineMcline 46903  Spherecsph 46904
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-sup 9386  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-sum 15580  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-prds 17337  df-pws 17339  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-subg 18933  df-ghm 19014  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-cring 19975  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-dvr 20120  df-rnghom 20156  df-drng 20221  df-field 20222  df-subrg 20262  df-staf 20347  df-srng 20348  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-sra 20678  df-rgmod 20679  df-xmet 20812  df-met 20813  df-cnfld 20820  df-refld 21032  df-dsmm 21161  df-frlm 21176  df-nm 23961  df-tng 23963  df-tcph 24556  df-rrx 24772  df-ehl 24773  df-line 46905  df-sph 46906
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