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Theorem itsclinecirc0b 46089
Description: The intersection points of a line through two different points and a circle around the origin, using the definition of a line in a two dimensional Euclidean space. (Contributed by AV, 2-May-2023.) (Revised by AV, 14-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
itsclinecirc0b.i 𝐼 = {1, 2}
itsclinecirc0b.e 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
itsclinecirc0b.p 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
itsclinecirc0b.s 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
itsclinecirc0b.0 0 = (𝐼 × {0})
itsclinecirc0b.q 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
itsclinecirc0b.d 𝐷 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
itsclinecirc0b.l 𝐿 = (LineM𝐸)
itsclinecirc0b.a 𝐴 = ((𝑋‘2) − (𝑌‘2))
itsclinecirc0b.b 𝐵 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
itsclinecirc0b.c 𝐶 = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))
Assertion
Ref Expression
itsclinecirc0b (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ↔ (𝑍𝑃 ∧ (((𝑍‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑍‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑍‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑍‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))))

Proof of Theorem itsclinecirc0b
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itsclinecirc0b.i . . . . . . 7 𝐼 = {1, 2}
2 itsclinecirc0b.e . . . . . . 7 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
3 itsclinecirc0b.p . . . . . . 7 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
4 itsclinecirc0b.l . . . . . . 7 𝐿 = (LineM𝐸)
5 itsclinecirc0b.b . . . . . . 7 𝐵 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
6 eqid 2740 . . . . . . 7 ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))
7 itsclinecirc0b.c . . . . . . 7 𝐶 = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7rrx2linest 46057 . . . . . 6 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ (𝐵 · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + 𝐶)})
98adantr 481 . . . . 5 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ (𝐵 · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + 𝐶)})
10 eqcom 2747 . . . . . . . 8 ((𝐵 · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + 𝐶) ↔ ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + 𝐶) = (𝐵 · (𝑝‘2)))
111, 3rrx2pxel 46026 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑌𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
1211adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
131, 3rrx2pxel 46026 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
1413adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
1512, 14resubcld 11403 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ∈ ℝ)
165, 15eqeltrid 2845 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝐵 ∈ ℝ)
17163adant3 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → 𝐵 ∈ ℝ)
1817ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐵 ∈ ℝ)
191, 3rrx2pyel 46027 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
2019adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
2118, 20remulcld 11006 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐵 · (𝑝‘2)) ∈ ℝ)
2221recnd 11004 . . . . . . . . 9 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐵 · (𝑝‘2)) ∈ ℂ)
231, 3rrx2pyel 46027 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑌𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
2423adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
251, 3rrx2pyel 46027 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
2625adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
2724, 26resubcld 11403 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℝ)
28273adant3 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℝ)
2928ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℝ)
301, 3rrx2pxel 46026 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
3130adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
3229, 31remulcld 11006 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) ∈ ℝ)
3332recnd 11004 . . . . . . . . 9 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) ∈ ℂ)
3426, 12remulcld 11006 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) ∈ ℝ)
3514, 24remulcld 11006 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)) ∈ ℝ)
3634, 35resubcld 11403 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) ∈ ℝ)
377, 36eqeltrid 2845 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝐶 ∈ ℝ)
3837recnd 11004 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝐶 ∈ ℂ)
39383adant3 1131 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → 𝐶 ∈ ℂ)
4039ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐶 ∈ ℂ)
4122, 33, 40subaddd 11350 . . . . . . . 8 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝐵 · (𝑝‘2)) − (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + 𝐶) = (𝐵 · (𝑝‘2))))
4210, 41bitr4id 290 . . . . . . 7 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐵 · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + 𝐶) ↔ ((𝐵 · (𝑝‘2)) − (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1))) = 𝐶))
43 itsclinecirc0b.a . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐴 = ((𝑋‘2) − (𝑌‘2))
4426, 24resubcld 11403 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ∈ ℝ)
4543, 44eqeltrid 2845 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝐴 ∈ ℝ)
46453adant3 1131 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → 𝐴 ∈ ℝ)
4746ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐴 ∈ ℝ)
4847, 31remulcld 11006 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐴 · (𝑝‘1)) ∈ ℝ)
4948recnd 11004 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐴 · (𝑝‘1)) ∈ ℂ)
5049, 22addcomd 11177 . . . . . . . . 9 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = ((𝐵 · (𝑝‘2)) + (𝐴 · (𝑝‘1))))
51243adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
5251ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
5352recnd 11004 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
54263adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
5554ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
5655recnd 11004 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
5753, 56negsubdi2d 11348 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → -((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)))
5843, 57eqtr4id 2799 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐴 = -((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))
5958oveq1d 7286 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐴 · (𝑝‘1)) = (-((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)))
6027recnd 11004 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℂ)
61603adant3 1131 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℂ)
6261ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℂ)
6331recnd 11004 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝‘1) ∈ ℂ)
6462, 63mulneg1d 11428 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (-((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) = -(((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)))
6559, 64eqtr2d 2781 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → -(((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) = (𝐴 · (𝑝‘1)))
6665oveq2d 7287 . . . . . . . . 9 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐵 · (𝑝‘2)) + -(((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1))) = ((𝐵 · (𝑝‘2)) + (𝐴 · (𝑝‘1))))
6722, 33negsubd 11338 . . . . . . . . 9 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐵 · (𝑝‘2)) + -(((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1))) = ((𝐵 · (𝑝‘2)) − (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1))))
6850, 66, 673eqtr2rd 2787 . . . . . . . 8 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐵 · (𝑝‘2)) − (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1))) = ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))))
6968eqeq1d 2742 . . . . . . 7 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝐵 · (𝑝‘2)) − (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶))
7042, 69bitrd 278 . . . . . 6 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐵 · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + 𝐶) ↔ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶))
7170rabbidva 3411 . . . . 5 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → {𝑝𝑃 ∣ (𝐵 · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + 𝐶)} = {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶})
729, 71eqtrd 2780 . . . 4 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶})
7372eleq2d 2826 . . 3 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ↔ 𝑍 ∈ {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶}))
7473anbi2d 629 . 2 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ↔ (𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑍 ∈ {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶})))
7546adantr 481 . . 3 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ)
7617adantr 481 . . 3 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝐵 ∈ ℝ)
77373adant3 1131 . . . 4 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → 𝐶 ∈ ℝ)
7877adantr 481 . . 3 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝐶 ∈ ℝ)
791, 3, 5, 43rrx2pnedifcoorneorr 46032 . . . . 5 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝐵 ≠ 0 ∨ 𝐴 ≠ 0))
8079orcomd 868 . . . 4 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))
8180adantr 481 . . 3 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))
82 simpr 485 . . 3 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷))
83 itsclinecirc0b.s . . . 4 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
84 itsclinecirc0b.0 . . . 4 0 = (𝐼 × {0})
85 itsclinecirc0b.q . . . 4 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
86 itsclinecirc0b.d . . . 4 𝐷 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
87 eqid 2740 . . . 4 {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶} = {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶}
881, 2, 3, 83, 84, 85, 86, 87itsclc0b 46087 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑍 ∈ {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶}) ↔ (𝑍𝑃 ∧ (((𝑍‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑍‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑍‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑍‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))))
8975, 76, 78, 81, 82, 88syl311anc 1383 . 2 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑍 ∈ {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶}) ↔ (𝑍𝑃 ∧ (((𝑍‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑍‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑍‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑍‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))))
9074, 89bitrd 278 1 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑍 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ↔ (𝑍𝑃 ∧ (((𝑍‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑍‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑍‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑍‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 844  w3a 1086   = wceq 1542  wcel 2110  wne 2945  {crab 3070  {csn 4567  {cpr 4569   class class class wbr 5079   × cxp 5588  cfv 6432  (class class class)co 7271  m cmap 8598  cc 10870  cr 10871  0cc0 10872  1c1 10873   + caddc 10875   · cmul 10877  cle 11011  cmin 11205  -cneg 11206   / cdiv 11632  2c2 12028  +crp 12729  cexp 13780  csqrt 14942  ℝ^crrx 24545  LineMcline 46042  Spherecsph 46043
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-inf2 9377  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950  ax-addf 10951  ax-mulf 10952
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-isom 6441  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-of 7527  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-supp 7969  df-tpos 8033  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-er 8481  df-map 8600  df-ixp 8669  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-fsupp 9107  df-sup 9179  df-oi 9247  df-card 9698  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12437  df-uz 12582  df-rp 12730  df-xneg 12847  df-xadd 12848  df-xmul 12849  df-ico 13084  df-icc 13085  df-fz 13239  df-fzo 13382  df-seq 13720  df-exp 13781  df-hash 14043  df-cj 14808  df-re 14809  df-im 14810  df-sqrt 14944  df-abs 14945  df-clim 15195  df-sum 15396  df-struct 16846  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-starv 16975  df-sca 16976  df-vsca 16977  df-ip 16978  df-tset 16979  df-ple 16980  df-ds 16982  df-unif 16983  df-hom 16984  df-cco 16985  df-0g 17150  df-gsum 17151  df-prds 17156  df-pws 17158  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-mhm 18428  df-grp 18578  df-minusg 18579  df-sbg 18580  df-subg 18750  df-ghm 18830  df-cntz 18921  df-cmn 19386  df-abl 19387  df-mgp 19719  df-ur 19736  df-ring 19783  df-cring 19784  df-oppr 19860  df-dvdsr 19881  df-unit 19882  df-invr 19912  df-dvr 19923  df-rnghom 19957  df-drng 19991  df-field 19992  df-subrg 20020  df-staf 20103  df-srng 20104  df-lmod 20123  df-lss 20192  df-sra 20432  df-rgmod 20433  df-xmet 20588  df-met 20589  df-cnfld 20596  df-refld 20808  df-dsmm 20937  df-frlm 20952  df-nm 23736  df-tng 23738  df-tcph 24331  df-rrx 24547  df-ehl 24548  df-line 46044  df-sph 46045
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