rrx2linest - Mathbox for Alexander van der Vekens

	Mathbox for Alexander van der Vekens		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > rrx2linest		Structured version Visualization version GIF version

Theorem rrx2linest 46818

Description: The line passing through the two different points 𝑋 and 𝑌 in a real Euclidean space of dimension 2 in "standard form". (Contributed by AV, 2-Feb-2023.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
rrx2line.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
rrx2line.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
rrx2line.b	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑_m 𝐼)
rrx2line.l	⊢ 𝐿 = (Line_M‘𝐸)
rrx2linest.a	⊢ 𝐴 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
rrx2linest.b	⊢ 𝐵 = ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))
rrx2linest.c	⊢ 𝐶 = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))

**Assertion**
Ref	Expression
rrx2linest	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)})

Distinct variable groups: 𝐸,𝑝 𝐼,𝑝 𝑃,𝑝 𝑋,𝑝 𝑌,𝑝 Allowed substitution hints: 𝐴(𝑝) 𝐵(𝑝) 𝐶(𝑝) 𝐿(𝑝)

Proof of Theorem rrx2linest Dummy variables 𝑖 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1191	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
2		simpl2 1192	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
3		simpr 485	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋‘1) = (𝑌‘1))
4		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋‘1) = (𝑌‘1))
5	4	anim1i 615	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)) → ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
6		rrx2line.i	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
7	6	raleqi 3311	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑖) = (𝑌‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ {1, 2} (𝑋‘𝑖) = (𝑌‘𝑖))
8		1ex 11151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ V
9		2ex 12230	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ V
10		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑋‘𝑖) = (𝑋‘1))
11		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑌‘𝑖) = (𝑌‘1))
12	10, 11	eqeq12d 2752	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 1 → ((𝑋‘𝑖) = (𝑌‘𝑖) ↔ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)))
13		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 2 → (𝑋‘𝑖) = (𝑋‘2))
14		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 2 → (𝑌‘𝑖) = (𝑌‘2))
15	13, 14	eqeq12d 2752	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 2 → ((𝑋‘𝑖) = (𝑌‘𝑖) ↔ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
16	8, 9, 12, 15	ralpr 4661	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑖 ∈ {1, 2} (𝑋‘𝑖) = (𝑌‘𝑖) ↔ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
17	7, 16	bitri 274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑖) = (𝑌‘𝑖) ↔ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
18	5, 17	sylibr 233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)) → ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑖) = (𝑌‘𝑖))
19		elmapfn 8803	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋 ∈ (ℝ ↑_m 𝐼) → 𝑋 Fn 𝐼)
20		rrx2line.b	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑_m 𝐼)
21	19, 20	eleq2s 2856	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → 𝑋 Fn 𝐼)
22		elmapfn 8803	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑌 ∈ (ℝ ↑_m 𝐼) → 𝑌 Fn 𝐼)
23	22, 20	eleq2s 2856	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → 𝑌 Fn 𝐼)
24	21, 23	anim12i 613	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋 Fn 𝐼 ∧ 𝑌 Fn 𝐼))
25	24	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)) → (𝑋 Fn 𝐼 ∧ 𝑌 Fn 𝐼))
26		eqfnfv 6982	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 Fn 𝐼 ∧ 𝑌 Fn 𝐼) → (𝑋 = 𝑌 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑖) = (𝑌‘𝑖)))
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)) → (𝑋 = 𝑌 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑖) = (𝑌‘𝑖)))
28	18, 27	mpbird 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)) → 𝑋 = 𝑌)
29	28	ex 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → ((𝑋‘2) = (𝑌‘2) → 𝑋 = 𝑌))
30	29	necon3d 2964	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋 ≠ 𝑌 → (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)))
31	30	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) → (𝑋 ≠ 𝑌 → (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))))
32	31	com23 86	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋 ≠ 𝑌 → ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) → (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))))
33	32	3impia 1117	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) → (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)))
34	33	imp 407	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))
35		rrx2line.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
36		rrx2line.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (Line_M‘𝐸)
37	6, 35, 20, 36	rrx2vlinest 46817	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)})
38	1, 2, 3, 34, 37	syl112anc 1374	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)})
39		ancom 461	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) ↔ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)))
40		simplr 767	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌))
41		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ∈ 𝑃)
42		simpll 765	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑋‘1) = (𝑌‘1))
43		rrx2linest.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
44	43	oveq1i 7367	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 · (𝑝‘2)) = (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2))
45	44	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝐴 · (𝑝‘2)) = (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)))
46		oveq2 7365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = ((𝑌‘1) − (𝑌‘1)))
47	46	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = ((𝑌‘1) − (𝑌‘1)))
48	6, 20	rrx2pxel 46787	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
49	48	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℂ)
50	49	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑌‘1) ∈ ℂ)
51	50	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑌‘1) ∈ ℂ)
52	51	subidd 11500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → ((𝑌‘1) − (𝑌‘1)) = 0)
53	47, 52	eqtrd 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = 0)
54	53	oveq1d 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = (0 · (𝑝‘2)))
55	6, 20	rrx2pyel 46788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
56	55	recnd 11183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℂ)
57	56	ad2antlr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑝‘2) ∈ ℂ)
58	57	mul02d 11353	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (0 · (𝑝‘2)) = 0)
59	45, 54, 58	3eqtrd 2780	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝐴 · (𝑝‘2)) = 0)
60		rrx2linest.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))
61	60	oveq1i 7367	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 · (𝑝‘1)) = (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1))
62	61	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝐵 · (𝑝‘1)) = (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)))
63		rrx2linest.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))
64		oveq1 7364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) → ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)) = ((𝑌‘1) · (𝑌‘2)))
65	64	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) → (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2))))
66	63, 65	eqtrid 2788	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) → 𝐶 = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2))))
67	66	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → 𝐶 = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2))))
68	62, 67	oveq12d 7375	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2)))))
69	59, 68	eqeq12d 2752	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → ((𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶) ↔ 0 = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2))))))
70	40, 41, 42, 69	syl21anc 836	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶) ↔ 0 = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2))))))
71	6, 20	rrx2pyel 46788	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
72	71	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
73	72	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
74	50, 73	mulcomd 11176	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑌‘1) · (𝑌‘2)) = ((𝑌‘2) · (𝑌‘1)))
75	74	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘2) · (𝑌‘1))))
76	6, 20	rrx2pyel 46788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
77	76	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
78	77	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
79	78, 73, 50	subdird 11612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘2) · (𝑌‘1))))
80	75, 79	eqtr4d 2779	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2))) = (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)))
81	80	ad2antlr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2))) = (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)))
82	81	oveq2d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2)))) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1))))
83	82	eqeq2d 2747	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (0 = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2)))) ↔ 0 = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)))))
84		eqcom 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1))) ↔ ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1))) = 0)
85	84	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (0 = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1))) ↔ ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1))) = 0))
86	73	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
87	78	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
88	86, 87	subcld 11512	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℂ)
89	6, 20	rrx2pxel 46787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
90	89	recnd 11183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℂ)
91	90	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑝‘1) ∈ ℂ)
92	88, 91	mulcld 11175	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) ∈ ℂ)
93	87, 86	subcld 11512	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ∈ ℂ)
94	50	ad2antlr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑌‘1) ∈ ℂ)
95	93, 94	mulcld 11175	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)) ∈ ℂ)
96		addeq0 11578	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) ∈ ℂ ∧ (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)) ∈ ℂ) → (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1))) = 0 ↔ (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) = -(((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1))))
97	92, 95, 96	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1))) = 0 ↔ (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) = -(((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1))))
98	93, 94	mulneg1d 11608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (-((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)) = -(((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)))
99	87, 86	negsubdi2d 11528	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → -((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) = ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))
100	99	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (-((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)) = (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑌‘1)))
101	98, 100	eqtr3d 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → -(((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)) = (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑌‘1)))
102	101	eqeq2d 2747	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) = -(((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)) ↔ (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) = (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑌‘1))))
103		necom 2997	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2) ↔ (𝑌‘2) ≠ (𝑋‘2))
104	34, 39, 103	3imtr3i 290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝑌‘2) ≠ (𝑋‘2))
105	104	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑌‘2) ≠ (𝑋‘2))
106	86, 87, 105	subne0d 11521	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ≠ 0)
107	91, 94, 88, 106	mulcand 11788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) = (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑌‘1)) ↔ (𝑝‘1) = (𝑌‘1)))
108	102, 107	bitrd 278	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) = -(((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)) ↔ (𝑝‘1) = (𝑌‘1)))
109	85, 97, 108	3bitrd 304	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (0 = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1))) ↔ (𝑝‘1) = (𝑌‘1)))
110	83, 109	bitrd 278	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (0 = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2)))) ↔ (𝑝‘1) = (𝑌‘1)))
111		simpl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝑋‘1) = (𝑌‘1))
112	111	eqcomd 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝑌‘1) = (𝑋‘1))
113	112	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑌‘1) = (𝑋‘1))
114	113	eqeq2d 2747	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑝‘1) = (𝑌‘1) ↔ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)))
115	70, 110, 114	3bitrrd 305	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑝‘1) = (𝑋‘1) ↔ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)))
116	115	rabbidva 3414	. . . 4 ⊢ (((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)})
117	39, 116	sylbi 216	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)})
118	38, 117	eqtrd 2776	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)})
119	6, 35, 20, 36	rrx2line 46816	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))})
120	119	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ ¬ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))})
121		df-ne 2944	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) ↔ ¬ (𝑋‘1) = (𝑌‘1))
122	89	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
123	6, 20	rrx2pxel 46787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
124	123	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
125	124	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
126	48	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
127	126	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
128		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))
129	55	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
130	76	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
131	130	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
132	71	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
133	132	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
134	122, 125, 127, 128, 129, 131, 133	affinecomb2 46779	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))))
135	43	eqcomi 2745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = 𝐴
136	135	oveq1i 7367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = (𝐴 · (𝑝‘2))
137	60	eqcomi 2745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = 𝐵
138	137	oveq1i 7367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) = (𝐵 · (𝑝‘1))
139	63	eqcomi 2745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) = 𝐶
140	138, 139	oveq12i 7369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)
141	136, 140	eqeq12i 2754	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))) ↔ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶))
142	134, 141	bitrdi 286	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)))
143	142	expcom 414	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) → (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶))))
144	121, 143	sylbir 234	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑋‘1) = (𝑌‘1) → (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶))))
145	144	expd 416	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝑋‘1) = (𝑌‘1) → ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑝 ∈ 𝑃 → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)))))
146	145	impcom 408	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ ¬ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑝 ∈ 𝑃 → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶))))
147	146	imp 407	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ ¬ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)))
148	147	rabbidva 3414	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ ¬ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)})
149	120, 148	eqtrd 2776	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ ¬ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)})
150	118, 149	pm2.61dan 811	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)})

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 ∧ w3a 1087 = wceq 1541 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2943 ∀wral 3064 ∃wrex 3073 {crab 3407 {cpr 4588 Fn wfn 6491 ‘cfv 6496 (class class class)co 7357 ↑_m cmap 8765 ℂcc 11049 ℝcr 11050 0cc0 11051 1c1 11052 + caddc 11054 · cmul 11056 − cmin 11385 -cneg 11386 2c2 12208 ℝ^crrx 24747 Line_Mcline 46803

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2707 ax-rep 5242 ax-sep 5256 ax-nul 5263 ax-pow 5320 ax-pr 5384 ax-un 7672 ax-cnex 11107 ax-resscn 11108 ax-1cn 11109 ax-icn 11110 ax-addcl 11111 ax-addrcl 11112 ax-mulcl 11113 ax-mulrcl 11114 ax-mulcom 11115 ax-addass 11116 ax-mulass 11117 ax-distr 11118 ax-i2m1 11119 ax-1ne0 11120 ax-1rid 11121 ax-rnegex 11122 ax-rrecex 11123 ax-cnre 11124 ax-pre-lttri 11125 ax-pre-lttrn 11126 ax-pre-ltadd 11127 ax-pre-mulgt0 11128 ax-pre-sup 11129 ax-addf 11130 ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2714 df-cleq 2728 df-clel 2814 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-nel 3050 df-ral 3065 df-rex 3074 df-rmo 3353 df-reu 3354 df-rab 3408 df-v 3447 df-sbc 3740 df-csb 3856 df-dif 3913 df-un 3915 df-in 3917 df-ss 3927 df-pss 3929 df-nul 4283 df-if 4487 df-pw 4562 df-sn 4587 df-pr 4589 df-tp 4591 df-op 4593 df-uni 4866 df-iun 4956 df-br 5106 df-opab 5168 df-mpt 5189 df-tr 5223 df-id 5531 df-eprel 5537 df-po 5545 df-so 5546 df-fr 5588 df-we 5590 df-xp 5639 df-rel 5640 df-cnv 5641 df-co 5642 df-dm 5643 df-rn 5644 df-res 5645 df-ima 5646 df-pred 6253 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6498 df-fn 6499 df-f 6500 df-f1 6501 df-fo 6502 df-f1o 6503 df-fv 6504 df-riota 7313 df-ov 7360 df-oprab 7361 df-mpo 7362 df-of 7617 df-om 7803 df-1st 7921 df-2nd 7922 df-supp 8093 df-tpos 8157 df-frecs 8212 df-wrecs 8243 df-recs 8317 df-rdg 8356 df-1o 8412 df-er 8648 df-map 8767 df-ixp 8836 df-en 8884 df-dom 8885 df-sdom 8886 df-fin 8887 df-fsupp 9306 df-sup 9378 df-pnf 11191 df-mnf 11192 df-xr 11193 df-ltxr 11194 df-le 11195 df-sub 11387 df-neg 11388 df-div 11813 df-nn 12154 df-2 12216 df-3 12217 df-4 12218 df-5 12219 df-6 12220 df-7 12221 df-8 12222 df-9 12223 df-n0 12414 df-z 12500 df-dec 12619 df-uz 12764 df-rp 12916 df-fz 13425 df-seq 13907 df-exp 13968 df-cj 14984 df-re 14985 df-im 14986 df-sqrt 15120 df-abs 15121 df-struct 17019 df-sets 17036 df-slot 17054 df-ndx 17066 df-base 17084 df-ress 17113 df-plusg 17146 df-mulr 17147 df-starv 17148 df-sca 17149 df-vsca 17150 df-ip 17151 df-tset 17152 df-ple 17153 df-ds 17155 df-unif 17156 df-hom 17157 df-cco 17158 df-0g 17323 df-prds 17329 df-pws 17331 df-mgm 18497 df-sgrp 18546 df-mnd 18557 df-mhm 18601 df-grp 18751 df-minusg 18752 df-sbg 18753 df-subg 18925 df-ghm 19006 df-cmn 19564 df-mgp 19897 df-ur 19914 df-ring 19966 df-cring 19967 df-oppr 20049 df-dvdsr 20070 df-unit 20071 df-invr 20101 df-dvr 20112 df-rnghom 20146 df-drng 20187 df-field 20188 df-subrg 20220 df-staf 20304 df-srng 20305 df-lmod 20324 df-lss 20393 df-sra 20633 df-rgmod 20634 df-cnfld 20797 df-refld 21009 df-dsmm 21138 df-frlm 21153 df-tng 23940 df-tcph 24533 df-rrx 24749 df-line 46805

This theorem is referenced by: rrx2linest2 46820 line2x 46830 itsclinecirc0b 46850

W3C validator