Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrx2linest Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrx2linest 46918
Description: The line passing through the two different points ๐‘‹ and ๐‘Œ in a real Euclidean space of dimension 2 in "standard form". (Contributed by AV, 2-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rrx2line.i ๐ผ = {1, 2}
rrx2line.e ๐ธ = (โ„^โ€˜๐ผ)
rrx2line.b ๐‘ƒ = (โ„ โ†‘m ๐ผ)
rrx2line.l ๐ฟ = (LineMโ€˜๐ธ)
rrx2linest.a ๐ด = ((๐‘Œโ€˜1) โˆ’ (๐‘‹โ€˜1))
rrx2linest.b ๐ต = ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2))
rrx2linest.c ๐ถ = (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘‹โ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2)))
Assertion
Ref Expression
rrx2linest ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (๐‘‹๐ฟ๐‘Œ) = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐ด ยท (๐‘โ€˜2)) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ)})
Distinct variable groups:   ๐ธ,๐‘   ๐ผ,๐‘   ๐‘ƒ,๐‘   ๐‘‹,๐‘   ๐‘Œ,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘)   ๐ต(๐‘)   ๐ถ(๐‘)   ๐ฟ(๐‘)

Proof of Theorem rrx2linest
Dummy variables ๐‘– ๐‘ก are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1192 . . . 4 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ)
2 simpl2 1193 . . . 4 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ)
3 simpr 486 . . . 4 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1))
4 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1))
54anim1i 616 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โˆง (๐‘‹โ€˜2) = (๐‘Œโ€˜2)) โ†’ ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) = (๐‘Œโ€˜2)))
6 rrx2line.i . . . . . . . . . . . . . 14 ๐ผ = {1, 2}
76raleqi 3310 . . . . . . . . . . . . 13 (โˆ€๐‘– โˆˆ ๐ผ (๐‘‹โ€˜๐‘–) = (๐‘Œโ€˜๐‘–) โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ {1, 2} (๐‘‹โ€˜๐‘–) = (๐‘Œโ€˜๐‘–))
8 1ex 11159 . . . . . . . . . . . . . 14 1 โˆˆ V
9 2ex 12238 . . . . . . . . . . . . . 14 2 โˆˆ V
10 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘– = 1 โ†’ (๐‘‹โ€˜๐‘–) = (๐‘‹โ€˜1))
11 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘– = 1 โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘–) = (๐‘Œโ€˜1))
1210, 11eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘– = 1 โ†’ ((๐‘‹โ€˜๐‘–) = (๐‘Œโ€˜๐‘–) โ†” (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)))
13 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘– = 2 โ†’ (๐‘‹โ€˜๐‘–) = (๐‘‹โ€˜2))
14 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘– = 2 โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘–) = (๐‘Œโ€˜2))
1513, 14eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘– = 2 โ†’ ((๐‘‹โ€˜๐‘–) = (๐‘Œโ€˜๐‘–) โ†” (๐‘‹โ€˜2) = (๐‘Œโ€˜2)))
168, 9, 12, 15ralpr 4665 . . . . . . . . . . . . 13 (โˆ€๐‘– โˆˆ {1, 2} (๐‘‹โ€˜๐‘–) = (๐‘Œโ€˜๐‘–) โ†” ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) = (๐‘Œโ€˜2)))
177, 16bitri 275 . . . . . . . . . . . 12 (โˆ€๐‘– โˆˆ ๐ผ (๐‘‹โ€˜๐‘–) = (๐‘Œโ€˜๐‘–) โ†” ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) = (๐‘Œโ€˜2)))
185, 17sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โˆง (๐‘‹โ€˜2) = (๐‘Œโ€˜2)) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ ๐ผ (๐‘‹โ€˜๐‘–) = (๐‘Œโ€˜๐‘–))
19 elmapfn 8809 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘‹ โˆˆ (โ„ โ†‘m ๐ผ) โ†’ ๐‘‹ Fn ๐ผ)
20 rrx2line.b . . . . . . . . . . . . . . 15 ๐‘ƒ = (โ„ โ†‘m ๐ผ)
2119, 20eleq2s 2852 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ ๐‘‹ Fn ๐ผ)
22 elmapfn 8809 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘Œ โˆˆ (โ„ โ†‘m ๐ผ) โ†’ ๐‘Œ Fn ๐ผ)
2322, 20eleq2s 2852 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ ๐‘Œ Fn ๐ผ)
2421, 23anim12i 614 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘‹ Fn ๐ผ โˆง ๐‘Œ Fn ๐ผ))
2524ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โˆง (๐‘‹โ€˜2) = (๐‘Œโ€˜2)) โ†’ (๐‘‹ Fn ๐ผ โˆง ๐‘Œ Fn ๐ผ))
26 eqfnfv 6986 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‹ Fn ๐ผ โˆง ๐‘Œ Fn ๐ผ) โ†’ (๐‘‹ = ๐‘Œ โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ ๐ผ (๐‘‹โ€˜๐‘–) = (๐‘Œโ€˜๐‘–)))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โˆง (๐‘‹โ€˜2) = (๐‘Œโ€˜2)) โ†’ (๐‘‹ = ๐‘Œ โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ ๐ผ (๐‘‹โ€˜๐‘–) = (๐‘Œโ€˜๐‘–)))
2818, 27mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โˆง (๐‘‹โ€˜2) = (๐‘Œโ€˜2)) โ†’ ๐‘‹ = ๐‘Œ)
2928ex 414 . . . . . . . . 9 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ ((๐‘‹โ€˜2) = (๐‘Œโ€˜2) โ†’ ๐‘‹ = ๐‘Œ))
3029necon3d 2961 . . . . . . . 8 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ โ†’ (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2)))
3130ex 414 . . . . . . 7 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โ†’ (๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ โ†’ (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))))
3231com23 86 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ โ†’ ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โ†’ (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))))
33323impia 1118 . . . . 5 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โ†’ (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2)))
3433imp 408 . . . 4 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))
35 rrx2line.e . . . . 5 ๐ธ = (โ„^โ€˜๐ผ)
36 rrx2line.l . . . . 5 ๐ฟ = (LineMโ€˜๐ธ)
376, 35, 20, 36rrx2vlinest 46917 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))) โ†’ (๐‘‹๐ฟ๐‘Œ) = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐‘โ€˜1) = (๐‘‹โ€˜1)})
381, 2, 3, 34, 37syl112anc 1375 . . 3 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐‘‹๐ฟ๐‘Œ) = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐‘โ€˜1) = (๐‘‹โ€˜1)})
39 ancom 462 . . . 4 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†” ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)))
40 simplr 768 . . . . . . 7 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ))
41 simpr 486 . . . . . . 7 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ)
42 simpll 766 . . . . . . 7 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1))
43 rrx2linest.a . . . . . . . . . . 11 ๐ด = ((๐‘Œโ€˜1) โˆ’ (๐‘‹โ€˜1))
4443oveq1i 7371 . . . . . . . . . 10 (๐ด ยท (๐‘โ€˜2)) = (((๐‘Œโ€˜1) โˆ’ (๐‘‹โ€˜1)) ยท (๐‘โ€˜2))
4544a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐ด ยท (๐‘โ€˜2)) = (((๐‘Œโ€˜1) โˆ’ (๐‘‹โ€˜1)) ยท (๐‘โ€˜2)))
46 oveq2 7369 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โ†’ ((๐‘Œโ€˜1) โˆ’ (๐‘‹โ€˜1)) = ((๐‘Œโ€˜1) โˆ’ (๐‘Œโ€˜1)))
4746adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ ((๐‘Œโ€˜1) โˆ’ (๐‘‹โ€˜1)) = ((๐‘Œโ€˜1) โˆ’ (๐‘Œโ€˜1)))
486, 20rrx2pxel 46887 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘Œโ€˜1) โˆˆ โ„)
4948recnd 11191 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘Œโ€˜1) โˆˆ โ„‚)
50493ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (๐‘Œโ€˜1) โˆˆ โ„‚)
5150ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐‘Œโ€˜1) โˆˆ โ„‚)
5251subidd 11508 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ ((๐‘Œโ€˜1) โˆ’ (๐‘Œโ€˜1)) = 0)
5347, 52eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ ((๐‘Œโ€˜1) โˆ’ (๐‘‹โ€˜1)) = 0)
5453oveq1d 7376 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (((๐‘Œโ€˜1) โˆ’ (๐‘‹โ€˜1)) ยท (๐‘โ€˜2)) = (0 ยท (๐‘โ€˜2)))
556, 20rrx2pyel 46888 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘โ€˜2) โˆˆ โ„)
5655recnd 11191 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘โ€˜2) โˆˆ โ„‚)
5756ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐‘โ€˜2) โˆˆ โ„‚)
5857mul02d 11361 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (0 ยท (๐‘โ€˜2)) = 0)
5945, 54, 583eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐ด ยท (๐‘โ€˜2)) = 0)
60 rrx2linest.b . . . . . . . . . . 11 ๐ต = ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2))
6160oveq1i 7371 . . . . . . . . . 10 (๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) = (((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1))
6261a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) = (((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)))
63 rrx2linest.c . . . . . . . . . . 11 ๐ถ = (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘‹โ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2)))
64 oveq1 7368 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โ†’ ((๐‘‹โ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2)) = ((๐‘Œโ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2)))
6564oveq2d 7377 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โ†’ (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘‹โ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2))) = (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘Œโ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2))))
6663, 65eqtrid 2785 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โ†’ ๐ถ = (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘Œโ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2))))
6766adantl 483 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ ๐ถ = (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘Œโ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2))))
6862, 67oveq12d 7379 . . . . . . . 8 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ ((๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ) = ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘Œโ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2)))))
6959, 68eqeq12d 2749 . . . . . . 7 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ ((๐ด ยท (๐‘โ€˜2)) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ) โ†” 0 = ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘Œโ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2))))))
7040, 41, 42, 69syl21anc 837 . . . . . 6 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐ด ยท (๐‘โ€˜2)) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ) โ†” 0 = ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘Œโ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2))))))
716, 20rrx2pyel 46888 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘Œโ€˜2) โˆˆ โ„)
7271recnd 11191 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘Œโ€˜2) โˆˆ โ„‚)
73723ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (๐‘Œโ€˜2) โˆˆ โ„‚)
7450, 73mulcomd 11184 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ ((๐‘Œโ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2)) = ((๐‘Œโ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)))
7574oveq2d 7377 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘Œโ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2))) = (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘Œโ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1))))
766, 20rrx2pyel 46888 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘‹โ€˜2) โˆˆ โ„)
7776recnd 11191 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘‹โ€˜2) โˆˆ โ„‚)
78773ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (๐‘‹โ€˜2) โˆˆ โ„‚)
7978, 73, 50subdird 11620 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1)) = (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘Œโ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1))))
8075, 79eqtr4d 2776 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘Œโ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2))) = (((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1)))
8180ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘Œโ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2))) = (((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1)))
8281oveq2d 7377 . . . . . . . 8 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘Œโ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2)))) = ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + (((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1))))
8382eqeq2d 2744 . . . . . . 7 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (0 = ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘Œโ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2)))) โ†” 0 = ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + (((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1)))))
84 eqcom 2740 . . . . . . . . 9 (0 = ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + (((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1))) โ†” ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + (((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1))) = 0)
8584a1i 11 . . . . . . . 8 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (0 = ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + (((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1))) โ†” ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + (((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1))) = 0))
8673ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘Œโ€˜2) โˆˆ โ„‚)
8778ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘‹โ€˜2) โˆˆ โ„‚)
8886, 87subcld 11520 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) โˆˆ โ„‚)
896, 20rrx2pxel 46887 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘โ€˜1) โˆˆ โ„)
9089recnd 11191 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘โ€˜1) โˆˆ โ„‚)
9190adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘โ€˜1) โˆˆ โ„‚)
9288, 91mulcld 11183 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) โˆˆ โ„‚)
9387, 86subcld 11520 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) โˆˆ โ„‚)
9450ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘Œโ€˜1) โˆˆ โ„‚)
9593, 94mulcld 11183 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆˆ โ„‚)
96 addeq0 11586 . . . . . . . . 9 (((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) โˆˆ โ„‚ โˆง (((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + (((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1))) = 0 โ†” (((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) = -(((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1))))
9792, 95, 96syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + (((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1))) = 0 โ†” (((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) = -(((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1))))
9893, 94mulneg1d 11616 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (-((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1)) = -(((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1)))
9987, 86negsubdi2d 11536 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ -((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) = ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)))
10099oveq1d 7376 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (-((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1)) = (((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1)))
10198, 100eqtr3d 2775 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ -(((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1)) = (((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1)))
102101eqeq2d 2744 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) = -(((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โ†” (((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) = (((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1))))
103 necom 2994 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2) โ†” (๐‘Œโ€˜2) โ‰  (๐‘‹โ€˜2))
10434, 39, 1033imtr3i 291 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โ†’ (๐‘Œโ€˜2) โ‰  (๐‘‹โ€˜2))
105104adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘Œโ€˜2) โ‰  (๐‘‹โ€˜2))
10686, 87, 105subne0d 11529 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) โ‰  0)
10791, 94, 88, 106mulcand 11796 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) = (((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โ†” (๐‘โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)))
108102, 107bitrd 279 . . . . . . . 8 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) = -(((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โ†” (๐‘โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)))
10985, 97, 1083bitrd 305 . . . . . . 7 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (0 = ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + (((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1))) โ†” (๐‘โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)))
11083, 109bitrd 279 . . . . . 6 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (0 = ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘Œโ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2)))) โ†” (๐‘โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)))
111 simpl 484 . . . . . . . . 9 (((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โ†’ (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1))
112111eqcomd 2739 . . . . . . . 8 (((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โ†’ (๐‘Œโ€˜1) = (๐‘‹โ€˜1))
113112adantr 482 . . . . . . 7 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘Œโ€˜1) = (๐‘‹โ€˜1))
114113eqeq2d 2744 . . . . . 6 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โ†” (๐‘โ€˜1) = (๐‘‹โ€˜1)))
11570, 110, 1143bitrrd 306 . . . . 5 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘โ€˜1) = (๐‘‹โ€˜1) โ†” (๐ด ยท (๐‘โ€˜2)) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ)))
116115rabbidva 3413 . . . 4 (((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โ†’ {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐‘โ€˜1) = (๐‘‹โ€˜1)} = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐ด ยท (๐‘โ€˜2)) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ)})
11739, 116sylbi 216 . . 3 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐‘โ€˜1) = (๐‘‹โ€˜1)} = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐ด ยท (๐‘โ€˜2)) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ)})
11838, 117eqtrd 2773 . 2 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐‘‹๐ฟ๐‘Œ) = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐ด ยท (๐‘โ€˜2)) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ)})
1196, 35, 20, 36rrx2line 46916 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (๐‘‹๐ฟ๐‘Œ) = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ((๐‘โ€˜1) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜1)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜1))) โˆง (๐‘โ€˜2) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜2))))})
120119adantr 482 . . 3 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ยฌ (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐‘‹๐ฟ๐‘Œ) = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ((๐‘โ€˜1) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜1)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜1))) โˆง (๐‘โ€˜2) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜2))))})
121 df-ne 2941 . . . . . . . 8 ((๐‘‹โ€˜1) โ‰  (๐‘Œโ€˜1) โ†” ยฌ (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1))
12289ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) โ‰  (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐‘โ€˜1) โˆˆ โ„)
1236, 20rrx2pxel 46887 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘‹โ€˜1) โˆˆ โ„)
1241233ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (๐‘‹โ€˜1) โˆˆ โ„)
125124ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) โ‰  (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐‘‹โ€˜1) โˆˆ โ„)
126483ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (๐‘Œโ€˜1) โˆˆ โ„)
127126ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) โ‰  (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐‘Œโ€˜1) โˆˆ โ„)
128 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) โ‰  (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐‘‹โ€˜1) โ‰  (๐‘Œโ€˜1))
12955ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) โ‰  (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐‘โ€˜2) โˆˆ โ„)
130763ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (๐‘‹โ€˜2) โˆˆ โ„)
131130ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) โ‰  (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐‘‹โ€˜2) โˆˆ โ„)
132713ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (๐‘Œโ€˜2) โˆˆ โ„)
133132ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) โ‰  (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐‘Œโ€˜2) โˆˆ โ„)
134122, 125, 127, 128, 129, 131, 133affinecomb2 46879 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) โ‰  (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ((๐‘โ€˜1) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜1)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜1))) โˆง (๐‘โ€˜2) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜2)))) โ†” (((๐‘Œโ€˜1) โˆ’ (๐‘‹โ€˜1)) ยท (๐‘โ€˜2)) = ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘‹โ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2))))))
13543eqcomi 2742 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Œโ€˜1) โˆ’ (๐‘‹โ€˜1)) = ๐ด
136135oveq1i 7371 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘Œโ€˜1) โˆ’ (๐‘‹โ€˜1)) ยท (๐‘โ€˜2)) = (๐ด ยท (๐‘โ€˜2))
13760eqcomi 2742 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) = ๐ต
138137oveq1i 7371 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) = (๐ต ยท (๐‘โ€˜1))
13963eqcomi 2742 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘‹โ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2))) = ๐ถ
140138, 139oveq12i 7373 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘‹โ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2)))) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ)
141136, 140eqeq12i 2751 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘Œโ€˜1) โˆ’ (๐‘‹โ€˜1)) ยท (๐‘โ€˜2)) = ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘‹โ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2)))) โ†” (๐ด ยท (๐‘โ€˜2)) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ))
142134, 141bitrdi 287 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) โ‰  (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ((๐‘โ€˜1) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜1)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜1))) โˆง (๐‘โ€˜2) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜2)))) โ†” (๐ด ยท (๐‘โ€˜2)) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ)))
143142expcom 415 . . . . . . . 8 ((๐‘‹โ€˜1) โ‰  (๐‘Œโ€˜1) โ†’ (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ((๐‘โ€˜1) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜1)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜1))) โˆง (๐‘โ€˜2) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜2)))) โ†” (๐ด ยท (๐‘โ€˜2)) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ))))
144121, 143sylbir 234 . . . . . . 7 (ยฌ (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โ†’ (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ((๐‘โ€˜1) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜1)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜1))) โˆง (๐‘โ€˜2) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜2)))) โ†” (๐ด ยท (๐‘โ€˜2)) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ))))
145144expd 417 . . . . . 6 (ยฌ (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โ†’ ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ((๐‘โ€˜1) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜1)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜1))) โˆง (๐‘โ€˜2) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜2)))) โ†” (๐ด ยท (๐‘โ€˜2)) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ)))))
146145impcom 409 . . . . 5 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ยฌ (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ((๐‘โ€˜1) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜1)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜1))) โˆง (๐‘โ€˜2) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜2)))) โ†” (๐ด ยท (๐‘โ€˜2)) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ))))
147146imp 408 . . . 4 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ยฌ (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ((๐‘โ€˜1) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜1)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜1))) โˆง (๐‘โ€˜2) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜2)))) โ†” (๐ด ยท (๐‘โ€˜2)) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ)))
148147rabbidva 3413 . . 3 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ยฌ (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ((๐‘โ€˜1) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜1)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜1))) โˆง (๐‘โ€˜2) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜2))))} = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐ด ยท (๐‘โ€˜2)) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ)})
149120, 148eqtrd 2773 . 2 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ยฌ (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐‘‹๐ฟ๐‘Œ) = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐ด ยท (๐‘โ€˜2)) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ)})
150118, 149pm2.61dan 812 1 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (๐‘‹๐ฟ๐‘Œ) = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐ด ยท (๐‘โ€˜2)) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070  {crab 3406  {cpr 4592   Fn wfn 6495  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   โ†‘m cmap 8771  โ„‚cc 11057  โ„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   ยท cmul 11064   โˆ’ cmin 11393  -cneg 11394  2c2 12216  โ„^crrx 24770  LineMcline 46903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fz 13434  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-0g 17331  df-prds 17337  df-pws 17339  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-subg 18933  df-ghm 19014  df-cmn 19572  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-cring 19975  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-dvr 20120  df-rnghom 20156  df-drng 20221  df-field 20222  df-subrg 20262  df-staf 20347  df-srng 20348  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-sra 20678  df-rgmod 20679  df-cnfld 20820  df-refld 21032  df-dsmm 21161  df-frlm 21176  df-tng 23963  df-tcph 24556  df-rrx 24772  df-line 46905
This theorem is referenced by:  rrx2linest2  46920  line2x  46930  itsclinecirc0b  46950
  Copyright terms: Public domain W3C validator