rrx2linest - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem rrx2linest 48773

Description: The line passing through the two different points 𝑋 and 𝑌 in a real Euclidean space of dimension 2 in "standard form". (Contributed by AV, 2-Feb-2023.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
rrx2line.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
rrx2line.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
rrx2line.b	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑_m 𝐼)
rrx2line.l	⊢ 𝐿 = (Line_M‘𝐸)
rrx2linest.a	⊢ 𝐴 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
rrx2linest.b	⊢ 𝐵 = ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))
rrx2linest.c	⊢ 𝐶 = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))

**Assertion**
Ref	Expression
rrx2linest	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)})

Distinct variable groups: 𝐸,𝑝 𝐼,𝑝 𝑃,𝑝 𝑋,𝑝 𝑌,𝑝 Allowed substitution hints: 𝐴(𝑝) 𝐵(𝑝) 𝐶(𝑝) 𝐿(𝑝)

Proof of Theorem rrx2linest Dummy variables 𝑖 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1192	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
2		simpl2 1193	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
3		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋‘1) = (𝑌‘1))
4		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋‘1) = (𝑌‘1))
5	4	anim1i 615	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)) → ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
6		rrx2line.i	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
7	6	raleqi 3290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑖) = (𝑌‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ {1, 2} (𝑋‘𝑖) = (𝑌‘𝑖))
8		1ex 11105	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ V
9		2ex 12199	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ V
10		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑋‘𝑖) = (𝑋‘1))
11		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑌‘𝑖) = (𝑌‘1))
12	10, 11	eqeq12d 2747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 1 → ((𝑋‘𝑖) = (𝑌‘𝑖) ↔ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)))
13		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 2 → (𝑋‘𝑖) = (𝑋‘2))
14		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 2 → (𝑌‘𝑖) = (𝑌‘2))
15	13, 14	eqeq12d 2747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 2 → ((𝑋‘𝑖) = (𝑌‘𝑖) ↔ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
16	8, 9, 12, 15	ralpr 4653	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑖 ∈ {1, 2} (𝑋‘𝑖) = (𝑌‘𝑖) ↔ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
17	7, 16	bitri 275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑖) = (𝑌‘𝑖) ↔ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
18	5, 17	sylibr 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)) → ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑖) = (𝑌‘𝑖))
19		elmapfn 8789	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋 ∈ (ℝ ↑_m 𝐼) → 𝑋 Fn 𝐼)
20		rrx2line.b	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑_m 𝐼)
21	19, 20	eleq2s 2849	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → 𝑋 Fn 𝐼)
22		elmapfn 8789	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑌 ∈ (ℝ ↑_m 𝐼) → 𝑌 Fn 𝐼)
23	22, 20	eleq2s 2849	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → 𝑌 Fn 𝐼)
24	21, 23	anim12i 613	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋 Fn 𝐼 ∧ 𝑌 Fn 𝐼))
25	24	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)) → (𝑋 Fn 𝐼 ∧ 𝑌 Fn 𝐼))
26		eqfnfv 6964	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 Fn 𝐼 ∧ 𝑌 Fn 𝐼) → (𝑋 = 𝑌 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑖) = (𝑌‘𝑖)))
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)) → (𝑋 = 𝑌 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑖) = (𝑌‘𝑖)))
28	18, 27	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)) → 𝑋 = 𝑌)
29	28	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → ((𝑋‘2) = (𝑌‘2) → 𝑋 = 𝑌))
30	29	necon3d 2949	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋 ≠ 𝑌 → (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)))
31	30	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) → (𝑋 ≠ 𝑌 → (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))))
32	31	com23 86	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋 ≠ 𝑌 → ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) → (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))))
33	32	3impia 1117	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) → (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)))
34	33	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))
35		rrx2line.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
36		rrx2line.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (Line_M‘𝐸)
37	6, 35, 20, 36	rrx2vlinest 48772	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)})
38	1, 2, 3, 34, 37	syl112anc 1376	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)})
39		ancom 460	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) ↔ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)))
40		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌))
41		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ∈ 𝑃)
42		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑋‘1) = (𝑌‘1))
43		rrx2linest.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
44	43	oveq1i 7356	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 · (𝑝‘2)) = (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2))
45	44	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝐴 · (𝑝‘2)) = (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)))
46		oveq2 7354	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = ((𝑌‘1) − (𝑌‘1)))
47	46	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = ((𝑌‘1) − (𝑌‘1)))
48	6, 20	rrx2pxel 48742	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
49	48	recnd 11137	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℂ)
50	49	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑌‘1) ∈ ℂ)
51	50	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑌‘1) ∈ ℂ)
52	51	subidd 11457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → ((𝑌‘1) − (𝑌‘1)) = 0)
53	47, 52	eqtrd 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = 0)
54	53	oveq1d 7361	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = (0 · (𝑝‘2)))
55	6, 20	rrx2pyel 48743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
56	55	recnd 11137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℂ)
57	56	ad2antlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑝‘2) ∈ ℂ)
58	57	mul02d 11308	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (0 · (𝑝‘2)) = 0)
59	45, 54, 58	3eqtrd 2770	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝐴 · (𝑝‘2)) = 0)
60		rrx2linest.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))
61	60	oveq1i 7356	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 · (𝑝‘1)) = (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1))
62	61	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝐵 · (𝑝‘1)) = (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)))
63		rrx2linest.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))
64		oveq1 7353	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) → ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)) = ((𝑌‘1) · (𝑌‘2)))
65	64	oveq2d 7362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) → (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2))))
66	63, 65	eqtrid 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) → 𝐶 = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2))))
67	66	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → 𝐶 = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2))))
68	62, 67	oveq12d 7364	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2)))))
69	59, 68	eqeq12d 2747	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → ((𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶) ↔ 0 = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2))))))
70	40, 41, 42, 69	syl21anc 837	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶) ↔ 0 = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2))))))
71	6, 20	rrx2pyel 48743	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
72	71	recnd 11137	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
73	72	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
74	50, 73	mulcomd 11130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑌‘1) · (𝑌‘2)) = ((𝑌‘2) · (𝑌‘1)))
75	74	oveq2d 7362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘2) · (𝑌‘1))))
76	6, 20	rrx2pyel 48743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
77	76	recnd 11137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
78	77	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
79	78, 73, 50	subdird 11571	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘2) · (𝑌‘1))))
80	75, 79	eqtr4d 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2))) = (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)))
81	80	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2))) = (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)))
82	81	oveq2d 7362	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2)))) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1))))
83	82	eqeq2d 2742	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (0 = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2)))) ↔ 0 = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)))))
84		eqcom 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1))) ↔ ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1))) = 0)
85	84	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (0 = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1))) ↔ ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1))) = 0))
86	73	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
87	78	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
88	86, 87	subcld 11469	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℂ)
89	6, 20	rrx2pxel 48742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
90	89	recnd 11137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℂ)
91	90	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑝‘1) ∈ ℂ)
92	88, 91	mulcld 11129	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) ∈ ℂ)
93	87, 86	subcld 11469	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ∈ ℂ)
94	50	ad2antlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑌‘1) ∈ ℂ)
95	93, 94	mulcld 11129	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)) ∈ ℂ)
96		addeq0 11537	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) ∈ ℂ ∧ (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)) ∈ ℂ) → (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1))) = 0 ↔ (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) = -(((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1))))
97	92, 95, 96	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1))) = 0 ↔ (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) = -(((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1))))
98	93, 94	mulneg1d 11567	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (-((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)) = -(((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)))
99	87, 86	negsubdi2d 11485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → -((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) = ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))
100	99	oveq1d 7361	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (-((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)) = (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑌‘1)))
101	98, 100	eqtr3d 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → -(((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)) = (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑌‘1)))
102	101	eqeq2d 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) = -(((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)) ↔ (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) = (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑌‘1))))
103		necom 2981	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2) ↔ (𝑌‘2) ≠ (𝑋‘2))
104	34, 39, 103	3imtr3i 291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝑌‘2) ≠ (𝑋‘2))
105	104	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑌‘2) ≠ (𝑋‘2))
106	86, 87, 105	subne0d 11478	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ≠ 0)
107	91, 94, 88, 106	mulcand 11747	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) = (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑌‘1)) ↔ (𝑝‘1) = (𝑌‘1)))
108	102, 107	bitrd 279	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) = -(((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)) ↔ (𝑝‘1) = (𝑌‘1)))
109	85, 97, 108	3bitrd 305	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (0 = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1))) ↔ (𝑝‘1) = (𝑌‘1)))
110	83, 109	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (0 = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2)))) ↔ (𝑝‘1) = (𝑌‘1)))
111		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝑋‘1) = (𝑌‘1))
112	111	eqcomd 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝑌‘1) = (𝑋‘1))
113	112	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑌‘1) = (𝑋‘1))
114	113	eqeq2d 2742	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑝‘1) = (𝑌‘1) ↔ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)))
115	70, 110, 114	3bitrrd 306	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑝‘1) = (𝑋‘1) ↔ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)))
116	115	rabbidva 3401	. . . 4 ⊢ (((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)})
117	39, 116	sylbi 217	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)})
118	38, 117	eqtrd 2766	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)})
119	6, 35, 20, 36	rrx2line 48771	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))})
120	119	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ ¬ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))})
121		df-ne 2929	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) ↔ ¬ (𝑋‘1) = (𝑌‘1))
122	89	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
123	6, 20	rrx2pxel 48742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
124	123	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
125	124	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
126	48	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
127	126	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
128		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))
129	55	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
130	76	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
131	130	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
132	71	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
133	132	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
134	122, 125, 127, 128, 129, 131, 133	affinecomb2 48734	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))))
135	43	eqcomi 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = 𝐴
136	135	oveq1i 7356	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = (𝐴 · (𝑝‘2))
137	60	eqcomi 2740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = 𝐵
138	137	oveq1i 7356	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) = (𝐵 · (𝑝‘1))
139	63	eqcomi 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) = 𝐶
140	138, 139	oveq12i 7358	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)
141	136, 140	eqeq12i 2749	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))) ↔ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶))
142	134, 141	bitrdi 287	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)))
143	142	expcom 413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) → (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶))))
144	121, 143	sylbir 235	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑋‘1) = (𝑌‘1) → (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶))))
145	144	expd 415	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝑋‘1) = (𝑌‘1) → ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑝 ∈ 𝑃 → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)))))
146	145	impcom 407	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ ¬ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑝 ∈ 𝑃 → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶))))
147	146	imp 406	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ ¬ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)))
148	147	rabbidva 3401	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ ¬ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)})
149	120, 148	eqtrd 2766	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ ¬ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)})
150	118, 149	pm2.61dan 812	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)})

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1541 ∈ wcel 2111 ≠ wne 2928 ∀wral 3047 ∃wrex 3056 {crab 3395 {cpr 4578 Fn wfn 6476 ‘cfv 6481 (class class class)co 7346 ↑_m cmap 8750 ℂcc 11001 ℝcr 11002 0cc0 11003 1c1 11004 + caddc 11006 · cmul 11008 − cmin 11341 -cneg 11342 2c2 12177 ℝ^crrx 25308 Line_Mcline 48758

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2113 ax-9 2121 ax-10 2144 ax-11 2160 ax-12 2180 ax-ext 2703 ax-rep 5217 ax-sep 5234 ax-nul 5244 ax-pow 5303 ax-pr 5370 ax-un 7668 ax-cnex 11059 ax-resscn 11060 ax-1cn 11061 ax-icn 11062 ax-addcl 11063 ax-addrcl 11064 ax-mulcl 11065 ax-mulrcl 11066 ax-mulcom 11067 ax-addass 11068 ax-mulass 11069 ax-distr 11070 ax-i2m1 11071 ax-1ne0 11072 ax-1rid 11073 ax-rnegex 11074 ax-rrecex 11075 ax-cnre 11076 ax-pre-lttri 11077 ax-pre-lttrn 11078 ax-pre-ltadd 11079 ax-pre-mulgt0 11080 ax-pre-sup 11081 ax-addf 11082 ax-mulf 11083

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2710 df-cleq 2723 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2929 df-nel 3033 df-ral 3048 df-rex 3057 df-rmo 3346 df-reu 3347 df-rab 3396 df-v 3438 df-sbc 3742 df-csb 3851 df-dif 3905 df-un 3907 df-in 3909 df-ss 3919 df-pss 3922 df-nul 4284 df-if 4476 df-pw 4552 df-sn 4577 df-pr 4579 df-tp 4581 df-op 4583 df-uni 4860 df-iun 4943 df-br 5092 df-opab 5154 df-mpt 5173 df-tr 5199 df-id 5511 df-eprel 5516 df-po 5524 df-so 5525 df-fr 5569 df-we 5571 df-xp 5622 df-rel 5623 df-cnv 5624 df-co 5625 df-dm 5626 df-rn 5627 df-res 5628 df-ima 5629 df-pred 6248 df-ord 6309 df-on 6310 df-lim 6311 df-suc 6312 df-iota 6437 df-fun 6483 df-fn 6484 df-f 6485 df-f1 6486 df-fo 6487 df-f1o 6488 df-fv 6489 df-riota 7303 df-ov 7349 df-oprab 7350 df-mpo 7351 df-of 7610 df-om 7797 df-1st 7921 df-2nd 7922 df-supp 8091 df-tpos 8156 df-frecs 8211 df-wrecs 8242 df-recs 8291 df-rdg 8329 df-1o 8385 df-2o 8386 df-er 8622 df-map 8752 df-ixp 8822 df-en 8870 df-dom 8871 df-sdom 8872 df-fin 8873 df-fsupp 9246 df-sup 9326 df-pnf 11145 df-mnf 11146 df-xr 11147 df-ltxr 11148 df-le 11149 df-sub 11343 df-neg 11344 df-div 11772 df-nn 12123 df-2 12185 df-3 12186 df-4 12187 df-5 12188 df-6 12189 df-7 12190 df-8 12191 df-9 12192 df-n0 12379 df-z 12466 df-dec 12586 df-uz 12730 df-rp 12888 df-fz 13405 df-seq 13906 df-exp 13966 df-cj 15003 df-re 15004 df-im 15005 df-sqrt 15139 df-abs 15140 df-struct 17055 df-sets 17072 df-slot 17090 df-ndx 17102 df-base 17118 df-ress 17139 df-plusg 17171 df-mulr 17172 df-starv 17173 df-sca 17174 df-vsca 17175 df-ip 17176 df-tset 17177 df-ple 17178 df-ds 17180 df-unif 17181 df-hom 17182 df-cco 17183 df-0g 17342 df-prds 17348 df-pws 17350 df-mgm 18545 df-sgrp 18624 df-mnd 18640 df-mhm 18688 df-grp 18846 df-minusg 18847 df-sbg 18848 df-subg 19033 df-ghm 19123 df-cmn 19692 df-abl 19693 df-mgp 20057 df-rng 20069 df-ur 20098 df-ring 20151 df-cring 20152 df-oppr 20253 df-dvdsr 20273 df-unit 20274 df-invr 20304 df-dvr 20317 df-rhm 20388 df-subrng 20459 df-subrg 20483 df-drng 20644 df-field 20645 df-staf 20752 df-srng 20753 df-lmod 20793 df-lss 20863 df-sra 21105 df-rgmod 21106 df-cnfld 21290 df-refld 21540 df-dsmm 21667 df-frlm 21682 df-tng 24497 df-tcph 25094 df-rrx 25310 df-line 48760

This theorem is referenced by: rrx2linest2 48775 line2x 48785 itsclinecirc0b 48805

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