Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpl1 1192 |
. . . 4
โข (((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โง (๐โ1) = (๐โ1)) โ ๐ โ ๐) |
2 | | simpl2 1193 |
. . . 4
โข (((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โง (๐โ1) = (๐โ1)) โ ๐ โ ๐) |
3 | | simpr 486 |
. . . 4
โข (((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โง (๐โ1) = (๐โ1)) โ (๐โ1) = (๐โ1)) |
4 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โง (๐โ1) = (๐โ1)) โ (๐โ1) = (๐โ1)) |
5 | 4 | anim1i 616 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โง (๐โ1) = (๐โ1)) โง (๐โ2) = (๐โ2)) โ ((๐โ1) = (๐โ1) โง (๐โ2) = (๐โ2))) |
6 | | rrx2line.i |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ๐ผ = {1, 2} |
7 | 6 | raleqi 3310 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข
(โ๐ โ
๐ผ (๐โ๐) = (๐โ๐) โ โ๐ โ {1, 2} (๐โ๐) = (๐โ๐)) |
8 | | 1ex 11159 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข 1 โ
V |
9 | | 2ex 12238 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข 2 โ
V |
10 | | fveq2 6846 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ = 1 โ (๐โ๐) = (๐โ1)) |
11 | | fveq2 6846 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ = 1 โ (๐โ๐) = (๐โ1)) |
12 | 10, 11 | eqeq12d 2749 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ = 1 โ ((๐โ๐) = (๐โ๐) โ (๐โ1) = (๐โ1))) |
13 | | fveq2 6846 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ = 2 โ (๐โ๐) = (๐โ2)) |
14 | | fveq2 6846 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ = 2 โ (๐โ๐) = (๐โ2)) |
15 | 13, 14 | eqeq12d 2749 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ = 2 โ ((๐โ๐) = (๐โ๐) โ (๐โ2) = (๐โ2))) |
16 | 8, 9, 12, 15 | ralpr 4665 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข
(โ๐ โ
{1, 2} (๐โ๐) = (๐โ๐) โ ((๐โ1) = (๐โ1) โง (๐โ2) = (๐โ2))) |
17 | 7, 16 | bitri 275 |
. . . . . . . . . . . 12
โข
(โ๐ โ
๐ผ (๐โ๐) = (๐โ๐) โ ((๐โ1) = (๐โ1) โง (๐โ2) = (๐โ2))) |
18 | 5, 17 | sylibr 233 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โง (๐โ1) = (๐โ1)) โง (๐โ2) = (๐โ2)) โ โ๐ โ ๐ผ (๐โ๐) = (๐โ๐)) |
19 | | elmapfn 8809 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ โ (โ
โm ๐ผ)
โ ๐ Fn ๐ผ) |
20 | | rrx2line.b |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ๐ = (โ โm
๐ผ) |
21 | 19, 20 | eleq2s 2852 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ ๐ โ ๐ Fn ๐ผ) |
22 | | elmapfn 8809 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ โ (โ
โm ๐ผ)
โ ๐ Fn ๐ผ) |
23 | 22, 20 | eleq2s 2852 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ ๐ โ ๐ Fn ๐ผ) |
24 | 21, 23 | anim12i 614 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐ Fn ๐ผ โง ๐ Fn ๐ผ)) |
25 | 24 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โง (๐โ1) = (๐โ1)) โง (๐โ2) = (๐โ2)) โ (๐ Fn ๐ผ โง ๐ Fn ๐ผ)) |
26 | | eqfnfv 6986 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ Fn ๐ผ โง ๐ Fn ๐ผ) โ (๐ = ๐ โ โ๐ โ ๐ผ (๐โ๐) = (๐โ๐))) |
27 | 25, 26 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โง (๐โ1) = (๐โ1)) โง (๐โ2) = (๐โ2)) โ (๐ = ๐ โ โ๐ โ ๐ผ (๐โ๐) = (๐โ๐))) |
28 | 18, 27 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . 10
โข ((((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โง (๐โ1) = (๐โ1)) โง (๐โ2) = (๐โ2)) โ ๐ = ๐) |
29 | 28 | ex 414 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โง (๐โ1) = (๐โ1)) โ ((๐โ2) = (๐โ2) โ ๐ = ๐)) |
30 | 29 | necon3d 2961 |
. . . . . . . 8
โข (((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โง (๐โ1) = (๐โ1)) โ (๐ โ ๐ โ (๐โ2) โ (๐โ2))) |
31 | 30 | ex 414 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โ ((๐โ1) = (๐โ1) โ (๐ โ ๐ โ (๐โ2) โ (๐โ2)))) |
32 | 31 | com23 86 |
. . . . . 6
โข ((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐ โ ๐ โ ((๐โ1) = (๐โ1) โ (๐โ2) โ (๐โ2)))) |
33 | 32 | 3impia 1118 |
. . . . 5
โข ((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โ ((๐โ1) = (๐โ1) โ (๐โ2) โ (๐โ2))) |
34 | 33 | imp 408 |
. . . 4
โข (((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โง (๐โ1) = (๐โ1)) โ (๐โ2) โ (๐โ2)) |
35 | | rrx2line.e |
. . . . 5
โข ๐ธ = (โ^โ๐ผ) |
36 | | rrx2line.l |
. . . . 5
โข ๐ฟ = (LineMโ๐ธ) |
37 | 6, 35, 20, 36 | rrx2vlinest 46917 |
. . . 4
โข ((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ((๐โ1) = (๐โ1) โง (๐โ2) โ (๐โ2))) โ (๐๐ฟ๐) = {๐ โ ๐ โฃ (๐โ1) = (๐โ1)}) |
38 | 1, 2, 3, 34, 37 | syl112anc 1375 |
. . 3
โข (((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โง (๐โ1) = (๐โ1)) โ (๐๐ฟ๐) = {๐ โ ๐ โฃ (๐โ1) = (๐โ1)}) |
39 | | ancom 462 |
. . . 4
โข (((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โง (๐โ1) = (๐โ1)) โ ((๐โ1) = (๐โ1) โง (๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐))) |
40 | | simplr 768 |
. . . . . . 7
โข ((((๐โ1) = (๐โ1) โง (๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐)) โง ๐ โ ๐) โ (๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐)) |
41 | | simpr 486 |
. . . . . . 7
โข ((((๐โ1) = (๐โ1) โง (๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐)) โง ๐ โ ๐) โ ๐ โ ๐) |
42 | | simpll 766 |
. . . . . . 7
โข ((((๐โ1) = (๐โ1) โง (๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐)) โง ๐ โ ๐) โ (๐โ1) = (๐โ1)) |
43 | | rrx2linest.a |
. . . . . . . . . . 11
โข ๐ด = ((๐โ1) โ (๐โ1)) |
44 | 43 | oveq1i 7371 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ด ยท (๐โ2)) = (((๐โ1) โ (๐โ1)) ยท (๐โ2)) |
45 | 44 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
โข ((((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โง ๐ โ ๐) โง (๐โ1) = (๐โ1)) โ (๐ด ยท (๐โ2)) = (((๐โ1) โ (๐โ1)) ยท (๐โ2))) |
46 | | oveq2 7369 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐โ1) = (๐โ1) โ ((๐โ1) โ (๐โ1)) = ((๐โ1) โ (๐โ1))) |
47 | 46 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โง ๐ โ ๐) โง (๐โ1) = (๐โ1)) โ ((๐โ1) โ (๐โ1)) = ((๐โ1) โ (๐โ1))) |
48 | 6, 20 | rrx2pxel 46887 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ โ ๐ โ (๐โ1) โ โ) |
49 | 48 | recnd 11191 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ ๐ โ (๐โ1) โ โ) |
50 | 49 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐โ1) โ โ) |
51 | 50 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โง ๐ โ ๐) โง (๐โ1) = (๐โ1)) โ (๐โ1) โ โ) |
52 | 51 | subidd 11508 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โง ๐ โ ๐) โง (๐โ1) = (๐โ1)) โ ((๐โ1) โ (๐โ1)) = 0) |
53 | 47, 52 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . 10
โข ((((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โง ๐ โ ๐) โง (๐โ1) = (๐โ1)) โ ((๐โ1) โ (๐โ1)) = 0) |
54 | 53 | oveq1d 7376 |
. . . . . . . . 9
โข ((((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โง ๐ โ ๐) โง (๐โ1) = (๐โ1)) โ (((๐โ1) โ (๐โ1)) ยท (๐โ2)) = (0 ยท (๐โ2))) |
55 | 6, 20 | rrx2pyel 46888 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ ๐ โ (๐โ2) โ โ) |
56 | 55 | recnd 11191 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ ๐ โ (๐โ2) โ โ) |
57 | 56 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . . 10
โข ((((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โง ๐ โ ๐) โง (๐โ1) = (๐โ1)) โ (๐โ2) โ โ) |
58 | 57 | mul02d 11361 |
. . . . . . . . 9
โข ((((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โง ๐ โ ๐) โง (๐โ1) = (๐โ1)) โ (0 ยท (๐โ2)) = 0) |
59 | 45, 54, 58 | 3eqtrd 2777 |
. . . . . . . 8
โข ((((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โง ๐ โ ๐) โง (๐โ1) = (๐โ1)) โ (๐ด ยท (๐โ2)) = 0) |
60 | | rrx2linest.b |
. . . . . . . . . . 11
โข ๐ต = ((๐โ2) โ (๐โ2)) |
61 | 60 | oveq1i 7371 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ต ยท (๐โ1)) = (((๐โ2) โ (๐โ2)) ยท (๐โ1)) |
62 | 61 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
โข ((((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โง ๐ โ ๐) โง (๐โ1) = (๐โ1)) โ (๐ต ยท (๐โ1)) = (((๐โ2) โ (๐โ2)) ยท (๐โ1))) |
63 | | rrx2linest.c |
. . . . . . . . . . 11
โข ๐ถ = (((๐โ2) ยท (๐โ1)) โ ((๐โ1) ยท (๐โ2))) |
64 | | oveq1 7368 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐โ1) = (๐โ1) โ ((๐โ1) ยท (๐โ2)) = ((๐โ1) ยท (๐โ2))) |
65 | 64 | oveq2d 7377 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐โ1) = (๐โ1) โ (((๐โ2) ยท (๐โ1)) โ ((๐โ1) ยท (๐โ2))) = (((๐โ2) ยท (๐โ1)) โ ((๐โ1) ยท (๐โ2)))) |
66 | 63, 65 | eqtrid 2785 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐โ1) = (๐โ1) โ ๐ถ = (((๐โ2) ยท (๐โ1)) โ ((๐โ1) ยท (๐โ2)))) |
67 | 66 | adantl 483 |
. . . . . . . . 9
โข ((((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โง ๐ โ ๐) โง (๐โ1) = (๐โ1)) โ ๐ถ = (((๐โ2) ยท (๐โ1)) โ ((๐โ1) ยท (๐โ2)))) |
68 | 62, 67 | oveq12d 7379 |
. . . . . . . 8
โข ((((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โง ๐ โ ๐) โง (๐โ1) = (๐โ1)) โ ((๐ต ยท (๐โ1)) + ๐ถ) = ((((๐โ2) โ (๐โ2)) ยท (๐โ1)) + (((๐โ2) ยท (๐โ1)) โ ((๐โ1) ยท (๐โ2))))) |
69 | 59, 68 | eqeq12d 2749 |
. . . . . . 7
โข ((((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โง ๐ โ ๐) โง (๐โ1) = (๐โ1)) โ ((๐ด ยท (๐โ2)) = ((๐ต ยท (๐โ1)) + ๐ถ) โ 0 = ((((๐โ2) โ (๐โ2)) ยท (๐โ1)) + (((๐โ2) ยท (๐โ1)) โ ((๐โ1) ยท (๐โ2)))))) |
70 | 40, 41, 42, 69 | syl21anc 837 |
. . . . . 6
โข ((((๐โ1) = (๐โ1) โง (๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐)) โง ๐ โ ๐) โ ((๐ด ยท (๐โ2)) = ((๐ต ยท (๐โ1)) + ๐ถ) โ 0 = ((((๐โ2) โ (๐โ2)) ยท (๐โ1)) + (((๐โ2) ยท (๐โ1)) โ ((๐โ1) ยท (๐โ2)))))) |
71 | 6, 20 | rrx2pyel 46888 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ โ ๐ โ (๐โ2) โ โ) |
72 | 71 | recnd 11191 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ ๐ โ (๐โ2) โ โ) |
73 | 72 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐โ2) โ โ) |
74 | 50, 73 | mulcomd 11184 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โ ((๐โ1) ยท (๐โ2)) = ((๐โ2) ยท (๐โ1))) |
75 | 74 | oveq2d 7377 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โ (((๐โ2) ยท (๐โ1)) โ ((๐โ1) ยท (๐โ2))) = (((๐โ2) ยท (๐โ1)) โ ((๐โ2) ยท (๐โ1)))) |
76 | 6, 20 | rrx2pyel 46888 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ ๐ โ (๐โ2) โ โ) |
77 | 76 | recnd 11191 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ ๐ โ (๐โ2) โ โ) |
78 | 77 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐โ2) โ โ) |
79 | 78, 73, 50 | subdird 11620 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โ (((๐โ2) โ (๐โ2)) ยท (๐โ1)) = (((๐โ2) ยท (๐โ1)) โ ((๐โ2) ยท (๐โ1)))) |
80 | 75, 79 | eqtr4d 2776 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โ (((๐โ2) ยท (๐โ1)) โ ((๐โ1) ยท (๐โ2))) = (((๐โ2) โ (๐โ2)) ยท (๐โ1))) |
81 | 80 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . 9
โข ((((๐โ1) = (๐โ1) โง (๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐)) โง ๐ โ ๐) โ (((๐โ2) ยท (๐โ1)) โ ((๐โ1) ยท (๐โ2))) = (((๐โ2) โ (๐โ2)) ยท (๐โ1))) |
82 | 81 | oveq2d 7377 |
. . . . . . . 8
โข ((((๐โ1) = (๐โ1) โง (๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐)) โง ๐ โ ๐) โ ((((๐โ2) โ (๐โ2)) ยท (๐โ1)) + (((๐โ2) ยท (๐โ1)) โ ((๐โ1) ยท (๐โ2)))) = ((((๐โ2) โ (๐โ2)) ยท (๐โ1)) + (((๐โ2) โ (๐โ2)) ยท (๐โ1)))) |
83 | 82 | eqeq2d 2744 |
. . . . . . 7
โข ((((๐โ1) = (๐โ1) โง (๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐)) โง ๐ โ ๐) โ (0 = ((((๐โ2) โ (๐โ2)) ยท (๐โ1)) + (((๐โ2) ยท (๐โ1)) โ ((๐โ1) ยท (๐โ2)))) โ 0 = ((((๐โ2) โ (๐โ2)) ยท (๐โ1)) + (((๐โ2) โ (๐โ2)) ยท (๐โ1))))) |
84 | | eqcom 2740 |
. . . . . . . . 9
โข (0 =
((((๐โ2) โ
(๐โ2)) ยท
(๐โ1)) + (((๐โ2) โ (๐โ2)) ยท (๐โ1))) โ ((((๐โ2) โ (๐โ2)) ยท (๐โ1)) + (((๐โ2) โ (๐โ2)) ยท (๐โ1))) =
0) |
85 | 84 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
โข ((((๐โ1) = (๐โ1) โง (๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐)) โง ๐ โ ๐) โ (0 = ((((๐โ2) โ (๐โ2)) ยท (๐โ1)) + (((๐โ2) โ (๐โ2)) ยท (๐โ1))) โ ((((๐โ2) โ (๐โ2)) ยท (๐โ1)) + (((๐โ2) โ (๐โ2)) ยท (๐โ1))) = 0)) |
86 | 73 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((((๐โ1) = (๐โ1) โง (๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐)) โง ๐ โ ๐) โ (๐โ2) โ โ) |
87 | 78 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((((๐โ1) = (๐โ1) โง (๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐)) โง ๐ โ ๐) โ (๐โ2) โ โ) |
88 | 86, 87 | subcld 11520 |
. . . . . . . . . 10
โข ((((๐โ1) = (๐โ1) โง (๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐)) โง ๐ โ ๐) โ ((๐โ2) โ (๐โ2)) โ โ) |
89 | 6, 20 | rrx2pxel 46887 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ ๐ โ (๐โ1) โ โ) |
90 | 89 | recnd 11191 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ ๐ โ (๐โ1) โ โ) |
91 | 90 | adantl 483 |
. . . . . . . . . 10
โข ((((๐โ1) = (๐โ1) โง (๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐)) โง ๐ โ ๐) โ (๐โ1) โ โ) |
92 | 88, 91 | mulcld 11183 |
. . . . . . . . 9
โข ((((๐โ1) = (๐โ1) โง (๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐)) โง ๐ โ ๐) โ (((๐โ2) โ (๐โ2)) ยท (๐โ1)) โ โ) |
93 | 87, 86 | subcld 11520 |
. . . . . . . . . 10
โข ((((๐โ1) = (๐โ1) โง (๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐)) โง ๐ โ ๐) โ ((๐โ2) โ (๐โ2)) โ โ) |
94 | 50 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . . 10
โข ((((๐โ1) = (๐โ1) โง (๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐)) โง ๐ โ ๐) โ (๐โ1) โ โ) |
95 | 93, 94 | mulcld 11183 |
. . . . . . . . 9
โข ((((๐โ1) = (๐โ1) โง (๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐)) โง ๐ โ ๐) โ (((๐โ2) โ (๐โ2)) ยท (๐โ1)) โ โ) |
96 | | addeq0 11586 |
. . . . . . . . 9
โข
(((((๐โ2)
โ (๐โ2))
ยท (๐โ1))
โ โ โง (((๐โ2) โ (๐โ2)) ยท (๐โ1)) โ โ) โ (((((๐โ2) โ (๐โ2)) ยท (๐โ1)) + (((๐โ2) โ (๐โ2)) ยท (๐โ1))) = 0 โ (((๐โ2) โ (๐โ2)) ยท (๐โ1)) = -(((๐โ2) โ (๐โ2)) ยท (๐โ1)))) |
97 | 92, 95, 96 | syl2anc 585 |
. . . . . . . 8
โข ((((๐โ1) = (๐โ1) โง (๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐)) โง ๐ โ ๐) โ (((((๐โ2) โ (๐โ2)) ยท (๐โ1)) + (((๐โ2) โ (๐โ2)) ยท (๐โ1))) = 0 โ (((๐โ2) โ (๐โ2)) ยท (๐โ1)) = -(((๐โ2) โ (๐โ2)) ยท (๐โ1)))) |
98 | 93, 94 | mulneg1d 11616 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((((๐โ1) = (๐โ1) โง (๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐)) โง ๐ โ ๐) โ (-((๐โ2) โ (๐โ2)) ยท (๐โ1)) = -(((๐โ2) โ (๐โ2)) ยท (๐โ1))) |
99 | 87, 86 | negsubdi2d 11536 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((((๐โ1) = (๐โ1) โง (๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐)) โง ๐ โ ๐) โ -((๐โ2) โ (๐โ2)) = ((๐โ2) โ (๐โ2))) |
100 | 99 | oveq1d 7376 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((((๐โ1) = (๐โ1) โง (๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐)) โง ๐ โ ๐) โ (-((๐โ2) โ (๐โ2)) ยท (๐โ1)) = (((๐โ2) โ (๐โ2)) ยท (๐โ1))) |
101 | 98, 100 | eqtr3d 2775 |
. . . . . . . . . 10
โข ((((๐โ1) = (๐โ1) โง (๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐)) โง ๐ โ ๐) โ -(((๐โ2) โ (๐โ2)) ยท (๐โ1)) = (((๐โ2) โ (๐โ2)) ยท (๐โ1))) |
102 | 101 | eqeq2d 2744 |
. . . . . . . . 9
โข ((((๐โ1) = (๐โ1) โง (๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐)) โง ๐ โ ๐) โ ((((๐โ2) โ (๐โ2)) ยท (๐โ1)) = -(((๐โ2) โ (๐โ2)) ยท (๐โ1)) โ (((๐โ2) โ (๐โ2)) ยท (๐โ1)) = (((๐โ2) โ (๐โ2)) ยท (๐โ1)))) |
103 | | necom 2994 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐โ2) โ (๐โ2) โ (๐โ2) โ (๐โ2)) |
104 | 34, 39, 103 | 3imtr3i 291 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (((๐โ1) = (๐โ1) โง (๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐)) โ (๐โ2) โ (๐โ2)) |
105 | 104 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((((๐โ1) = (๐โ1) โง (๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐)) โง ๐ โ ๐) โ (๐โ2) โ (๐โ2)) |
106 | 86, 87, 105 | subne0d 11529 |
. . . . . . . . . 10
โข ((((๐โ1) = (๐โ1) โง (๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐)) โง ๐ โ ๐) โ ((๐โ2) โ (๐โ2)) โ 0) |
107 | 91, 94, 88, 106 | mulcand 11796 |
. . . . . . . . 9
โข ((((๐โ1) = (๐โ1) โง (๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐)) โง ๐ โ ๐) โ ((((๐โ2) โ (๐โ2)) ยท (๐โ1)) = (((๐โ2) โ (๐โ2)) ยท (๐โ1)) โ (๐โ1) = (๐โ1))) |
108 | 102, 107 | bitrd 279 |
. . . . . . . 8
โข ((((๐โ1) = (๐โ1) โง (๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐)) โง ๐ โ ๐) โ ((((๐โ2) โ (๐โ2)) ยท (๐โ1)) = -(((๐โ2) โ (๐โ2)) ยท (๐โ1)) โ (๐โ1) = (๐โ1))) |
109 | 85, 97, 108 | 3bitrd 305 |
. . . . . . 7
โข ((((๐โ1) = (๐โ1) โง (๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐)) โง ๐ โ ๐) โ (0 = ((((๐โ2) โ (๐โ2)) ยท (๐โ1)) + (((๐โ2) โ (๐โ2)) ยท (๐โ1))) โ (๐โ1) = (๐โ1))) |
110 | 83, 109 | bitrd 279 |
. . . . . 6
โข ((((๐โ1) = (๐โ1) โง (๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐)) โง ๐ โ ๐) โ (0 = ((((๐โ2) โ (๐โ2)) ยท (๐โ1)) + (((๐โ2) ยท (๐โ1)) โ ((๐โ1) ยท (๐โ2)))) โ (๐โ1) = (๐โ1))) |
111 | | simpl 484 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐โ1) = (๐โ1) โง (๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐)) โ (๐โ1) = (๐โ1)) |
112 | 111 | eqcomd 2739 |
. . . . . . . 8
โข (((๐โ1) = (๐โ1) โง (๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐)) โ (๐โ1) = (๐โ1)) |
113 | 112 | adantr 482 |
. . . . . . 7
โข ((((๐โ1) = (๐โ1) โง (๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐)) โง ๐ โ ๐) โ (๐โ1) = (๐โ1)) |
114 | 113 | eqeq2d 2744 |
. . . . . 6
โข ((((๐โ1) = (๐โ1) โง (๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐)) โง ๐ โ ๐) โ ((๐โ1) = (๐โ1) โ (๐โ1) = (๐โ1))) |
115 | 70, 110, 114 | 3bitrrd 306 |
. . . . 5
โข ((((๐โ1) = (๐โ1) โง (๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐)) โง ๐ โ ๐) โ ((๐โ1) = (๐โ1) โ (๐ด ยท (๐โ2)) = ((๐ต ยท (๐โ1)) + ๐ถ))) |
116 | 115 | rabbidva 3413 |
. . . 4
โข (((๐โ1) = (๐โ1) โง (๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐)) โ {๐ โ ๐ โฃ (๐โ1) = (๐โ1)} = {๐ โ ๐ โฃ (๐ด ยท (๐โ2)) = ((๐ต ยท (๐โ1)) + ๐ถ)}) |
117 | 39, 116 | sylbi 216 |
. . 3
โข (((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โง (๐โ1) = (๐โ1)) โ {๐ โ ๐ โฃ (๐โ1) = (๐โ1)} = {๐ โ ๐ โฃ (๐ด ยท (๐โ2)) = ((๐ต ยท (๐โ1)) + ๐ถ)}) |
118 | 38, 117 | eqtrd 2773 |
. 2
โข (((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โง (๐โ1) = (๐โ1)) โ (๐๐ฟ๐) = {๐ โ ๐ โฃ (๐ด ยท (๐โ2)) = ((๐ต ยท (๐โ1)) + ๐ถ)}) |
119 | 6, 35, 20, 36 | rrx2line 46916 |
. . . 4
โข ((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐๐ฟ๐) = {๐ โ ๐ โฃ โ๐ก โ โ ((๐โ1) = (((1 โ ๐ก) ยท (๐โ1)) + (๐ก ยท (๐โ1))) โง (๐โ2) = (((1 โ ๐ก) ยท (๐โ2)) + (๐ก ยท (๐โ2))))}) |
120 | 119 | adantr 482 |
. . 3
โข (((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โง ยฌ (๐โ1) = (๐โ1)) โ (๐๐ฟ๐) = {๐ โ ๐ โฃ โ๐ก โ โ ((๐โ1) = (((1 โ ๐ก) ยท (๐โ1)) + (๐ก ยท (๐โ1))) โง (๐โ2) = (((1 โ ๐ก) ยท (๐โ2)) + (๐ก ยท (๐โ2))))}) |
121 | | df-ne 2941 |
. . . . . . . 8
โข ((๐โ1) โ (๐โ1) โ ยฌ (๐โ1) = (๐โ1)) |
122 | 89 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โง ๐ โ ๐) โง (๐โ1) โ (๐โ1)) โ (๐โ1) โ โ) |
123 | 6, 20 | rrx2pxel 46887 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ ๐ โ (๐โ1) โ โ) |
124 | 123 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐โ1) โ โ) |
125 | 124 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โง ๐ โ ๐) โง (๐โ1) โ (๐โ1)) โ (๐โ1) โ โ) |
126 | 48 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐โ1) โ โ) |
127 | 126 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โง ๐ โ ๐) โง (๐โ1) โ (๐โ1)) โ (๐โ1) โ โ) |
128 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โง ๐ โ ๐) โง (๐โ1) โ (๐โ1)) โ (๐โ1) โ (๐โ1)) |
129 | 55 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โง ๐ โ ๐) โง (๐โ1) โ (๐โ1)) โ (๐โ2) โ โ) |
130 | 76 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐โ2) โ โ) |
131 | 130 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โง ๐ โ ๐) โง (๐โ1) โ (๐โ1)) โ (๐โ2) โ โ) |
132 | 71 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐โ2) โ โ) |
133 | 132 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โง ๐ โ ๐) โง (๐โ1) โ (๐โ1)) โ (๐โ2) โ โ) |
134 | 122, 125,
127, 128, 129, 131, 133 | affinecomb2 46879 |
. . . . . . . . . 10
โข ((((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โง ๐ โ ๐) โง (๐โ1) โ (๐โ1)) โ (โ๐ก โ โ ((๐โ1) = (((1 โ ๐ก) ยท (๐โ1)) + (๐ก ยท (๐โ1))) โง (๐โ2) = (((1 โ ๐ก) ยท (๐โ2)) + (๐ก ยท (๐โ2)))) โ (((๐โ1) โ (๐โ1)) ยท (๐โ2)) = ((((๐โ2) โ (๐โ2)) ยท (๐โ1)) + (((๐โ2) ยท (๐โ1)) โ ((๐โ1) ยท (๐โ2)))))) |
135 | 43 | eqcomi 2742 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐โ1) โ (๐โ1)) = ๐ด |
136 | 135 | oveq1i 7371 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐โ1) โ (๐โ1)) ยท (๐โ2)) = (๐ด ยท (๐โ2)) |
137 | 60 | eqcomi 2742 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐โ2) โ (๐โ2)) = ๐ต |
138 | 137 | oveq1i 7371 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (((๐โ2) โ (๐โ2)) ยท (๐โ1)) = (๐ต ยท (๐โ1)) |
139 | 63 | eqcomi 2742 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (((๐โ2) ยท (๐โ1)) โ ((๐โ1) ยท (๐โ2))) = ๐ถ |
140 | 138, 139 | oveq12i 7373 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((((๐โ2) โ (๐โ2)) ยท (๐โ1)) + (((๐โ2) ยท (๐โ1)) โ ((๐โ1) ยท (๐โ2)))) = ((๐ต ยท (๐โ1)) + ๐ถ) |
141 | 136, 140 | eqeq12i 2751 |
. . . . . . . . . 10
โข ((((๐โ1) โ (๐โ1)) ยท (๐โ2)) = ((((๐โ2) โ (๐โ2)) ยท (๐โ1)) + (((๐โ2) ยท (๐โ1)) โ ((๐โ1) ยท (๐โ2)))) โ (๐ด ยท (๐โ2)) = ((๐ต ยท (๐โ1)) + ๐ถ)) |
142 | 134, 141 | bitrdi 287 |
. . . . . . . . 9
โข ((((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โง ๐ โ ๐) โง (๐โ1) โ (๐โ1)) โ (โ๐ก โ โ ((๐โ1) = (((1 โ ๐ก) ยท (๐โ1)) + (๐ก ยท (๐โ1))) โง (๐โ2) = (((1 โ ๐ก) ยท (๐โ2)) + (๐ก ยท (๐โ2)))) โ (๐ด ยท (๐โ2)) = ((๐ต ยท (๐โ1)) + ๐ถ))) |
143 | 142 | expcom 415 |
. . . . . . . 8
โข ((๐โ1) โ (๐โ1) โ (((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โง ๐ โ ๐) โ (โ๐ก โ โ ((๐โ1) = (((1 โ ๐ก) ยท (๐โ1)) + (๐ก ยท (๐โ1))) โง (๐โ2) = (((1 โ ๐ก) ยท (๐โ2)) + (๐ก ยท (๐โ2)))) โ (๐ด ยท (๐โ2)) = ((๐ต ยท (๐โ1)) + ๐ถ)))) |
144 | 121, 143 | sylbir 234 |
. . . . . . 7
โข (ยฌ
(๐โ1) = (๐โ1) โ (((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โง ๐ โ ๐) โ (โ๐ก โ โ ((๐โ1) = (((1 โ ๐ก) ยท (๐โ1)) + (๐ก ยท (๐โ1))) โง (๐โ2) = (((1 โ ๐ก) ยท (๐โ2)) + (๐ก ยท (๐โ2)))) โ (๐ด ยท (๐โ2)) = ((๐ต ยท (๐โ1)) + ๐ถ)))) |
145 | 144 | expd 417 |
. . . . . 6
โข (ยฌ
(๐โ1) = (๐โ1) โ ((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐ โ ๐ โ (โ๐ก โ โ ((๐โ1) = (((1 โ ๐ก) ยท (๐โ1)) + (๐ก ยท (๐โ1))) โง (๐โ2) = (((1 โ ๐ก) ยท (๐โ2)) + (๐ก ยท (๐โ2)))) โ (๐ด ยท (๐โ2)) = ((๐ต ยท (๐โ1)) + ๐ถ))))) |
146 | 145 | impcom 409 |
. . . . 5
โข (((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โง ยฌ (๐โ1) = (๐โ1)) โ (๐ โ ๐ โ (โ๐ก โ โ ((๐โ1) = (((1 โ ๐ก) ยท (๐โ1)) + (๐ก ยท (๐โ1))) โง (๐โ2) = (((1 โ ๐ก) ยท (๐โ2)) + (๐ก ยท (๐โ2)))) โ (๐ด ยท (๐โ2)) = ((๐ต ยท (๐โ1)) + ๐ถ)))) |
147 | 146 | imp 408 |
. . . 4
โข ((((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โง ยฌ (๐โ1) = (๐โ1)) โง ๐ โ ๐) โ (โ๐ก โ โ ((๐โ1) = (((1 โ ๐ก) ยท (๐โ1)) + (๐ก ยท (๐โ1))) โง (๐โ2) = (((1 โ ๐ก) ยท (๐โ2)) + (๐ก ยท (๐โ2)))) โ (๐ด ยท (๐โ2)) = ((๐ต ยท (๐โ1)) + ๐ถ))) |
148 | 147 | rabbidva 3413 |
. . 3
โข (((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โง ยฌ (๐โ1) = (๐โ1)) โ {๐ โ ๐ โฃ โ๐ก โ โ ((๐โ1) = (((1 โ ๐ก) ยท (๐โ1)) + (๐ก ยท (๐โ1))) โง (๐โ2) = (((1 โ ๐ก) ยท (๐โ2)) + (๐ก ยท (๐โ2))))} = {๐ โ ๐ โฃ (๐ด ยท (๐โ2)) = ((๐ต ยท (๐โ1)) + ๐ถ)}) |
149 | 120, 148 | eqtrd 2773 |
. 2
โข (((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โง ยฌ (๐โ1) = (๐โ1)) โ (๐๐ฟ๐) = {๐ โ ๐ โฃ (๐ด ยท (๐โ2)) = ((๐ต ยท (๐โ1)) + ๐ถ)}) |
150 | 118, 149 | pm2.61dan 812 |
1
โข ((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐๐ฟ๐) = {๐ โ ๐ โฃ (๐ด ยท (๐โ2)) = ((๐ต ยท (๐โ1)) + ๐ถ)}) |