Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrx2linest Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrx2linest 47927
Description: The line passing through the two different points ๐‘‹ and ๐‘Œ in a real Euclidean space of dimension 2 in "standard form". (Contributed by AV, 2-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rrx2line.i ๐ผ = {1, 2}
rrx2line.e ๐ธ = (โ„^โ€˜๐ผ)
rrx2line.b ๐‘ƒ = (โ„ โ†‘m ๐ผ)
rrx2line.l ๐ฟ = (LineMโ€˜๐ธ)
rrx2linest.a ๐ด = ((๐‘Œโ€˜1) โˆ’ (๐‘‹โ€˜1))
rrx2linest.b ๐ต = ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2))
rrx2linest.c ๐ถ = (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘‹โ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2)))
Assertion
Ref Expression
rrx2linest ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (๐‘‹๐ฟ๐‘Œ) = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐ด ยท (๐‘โ€˜2)) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ)})
Distinct variable groups:   ๐ธ,๐‘   ๐ผ,๐‘   ๐‘ƒ,๐‘   ๐‘‹,๐‘   ๐‘Œ,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘)   ๐ต(๐‘)   ๐ถ(๐‘)   ๐ฟ(๐‘)

Proof of Theorem rrx2linest
Dummy variables ๐‘– ๐‘ก are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . . 4 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ)
2 simpl2 1189 . . . 4 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ)
3 simpr 483 . . . 4 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1))
4 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1))
54anim1i 613 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โˆง (๐‘‹โ€˜2) = (๐‘Œโ€˜2)) โ†’ ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) = (๐‘Œโ€˜2)))
6 rrx2line.i . . . . . . . . . . . . . 14 ๐ผ = {1, 2}
76raleqi 3313 . . . . . . . . . . . . 13 (โˆ€๐‘– โˆˆ ๐ผ (๐‘‹โ€˜๐‘–) = (๐‘Œโ€˜๐‘–) โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ {1, 2} (๐‘‹โ€˜๐‘–) = (๐‘Œโ€˜๐‘–))
8 1ex 11240 . . . . . . . . . . . . . 14 1 โˆˆ V
9 2ex 12319 . . . . . . . . . . . . . 14 2 โˆˆ V
10 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘– = 1 โ†’ (๐‘‹โ€˜๐‘–) = (๐‘‹โ€˜1))
11 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘– = 1 โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘–) = (๐‘Œโ€˜1))
1210, 11eqeq12d 2741 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘– = 1 โ†’ ((๐‘‹โ€˜๐‘–) = (๐‘Œโ€˜๐‘–) โ†” (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)))
13 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘– = 2 โ†’ (๐‘‹โ€˜๐‘–) = (๐‘‹โ€˜2))
14 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘– = 2 โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘–) = (๐‘Œโ€˜2))
1513, 14eqeq12d 2741 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘– = 2 โ†’ ((๐‘‹โ€˜๐‘–) = (๐‘Œโ€˜๐‘–) โ†” (๐‘‹โ€˜2) = (๐‘Œโ€˜2)))
168, 9, 12, 15ralpr 4700 . . . . . . . . . . . . 13 (โˆ€๐‘– โˆˆ {1, 2} (๐‘‹โ€˜๐‘–) = (๐‘Œโ€˜๐‘–) โ†” ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) = (๐‘Œโ€˜2)))
177, 16bitri 274 . . . . . . . . . . . 12 (โˆ€๐‘– โˆˆ ๐ผ (๐‘‹โ€˜๐‘–) = (๐‘Œโ€˜๐‘–) โ†” ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) = (๐‘Œโ€˜2)))
185, 17sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โˆง (๐‘‹โ€˜2) = (๐‘Œโ€˜2)) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ ๐ผ (๐‘‹โ€˜๐‘–) = (๐‘Œโ€˜๐‘–))
19 elmapfn 8882 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘‹ โˆˆ (โ„ โ†‘m ๐ผ) โ†’ ๐‘‹ Fn ๐ผ)
20 rrx2line.b . . . . . . . . . . . . . . 15 ๐‘ƒ = (โ„ โ†‘m ๐ผ)
2119, 20eleq2s 2843 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ ๐‘‹ Fn ๐ผ)
22 elmapfn 8882 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘Œ โˆˆ (โ„ โ†‘m ๐ผ) โ†’ ๐‘Œ Fn ๐ผ)
2322, 20eleq2s 2843 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ ๐‘Œ Fn ๐ผ)
2421, 23anim12i 611 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘‹ Fn ๐ผ โˆง ๐‘Œ Fn ๐ผ))
2524ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โˆง (๐‘‹โ€˜2) = (๐‘Œโ€˜2)) โ†’ (๐‘‹ Fn ๐ผ โˆง ๐‘Œ Fn ๐ผ))
26 eqfnfv 7035 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‹ Fn ๐ผ โˆง ๐‘Œ Fn ๐ผ) โ†’ (๐‘‹ = ๐‘Œ โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ ๐ผ (๐‘‹โ€˜๐‘–) = (๐‘Œโ€˜๐‘–)))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โˆง (๐‘‹โ€˜2) = (๐‘Œโ€˜2)) โ†’ (๐‘‹ = ๐‘Œ โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ ๐ผ (๐‘‹โ€˜๐‘–) = (๐‘Œโ€˜๐‘–)))
2818, 27mpbird 256 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โˆง (๐‘‹โ€˜2) = (๐‘Œโ€˜2)) โ†’ ๐‘‹ = ๐‘Œ)
2928ex 411 . . . . . . . . 9 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ ((๐‘‹โ€˜2) = (๐‘Œโ€˜2) โ†’ ๐‘‹ = ๐‘Œ))
3029necon3d 2951 . . . . . . . 8 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ โ†’ (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2)))
3130ex 411 . . . . . . 7 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โ†’ (๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ โ†’ (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))))
3231com23 86 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ โ†’ ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โ†’ (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))))
33323impia 1114 . . . . 5 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โ†’ (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2)))
3433imp 405 . . . 4 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))
35 rrx2line.e . . . . 5 ๐ธ = (โ„^โ€˜๐ผ)
36 rrx2line.l . . . . 5 ๐ฟ = (LineMโ€˜๐ธ)
376, 35, 20, 36rrx2vlinest 47926 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))) โ†’ (๐‘‹๐ฟ๐‘Œ) = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐‘โ€˜1) = (๐‘‹โ€˜1)})
381, 2, 3, 34, 37syl112anc 1371 . . 3 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐‘‹๐ฟ๐‘Œ) = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐‘โ€˜1) = (๐‘‹โ€˜1)})
39 ancom 459 . . . 4 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†” ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)))
40 simplr 767 . . . . . . 7 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ))
41 simpr 483 . . . . . . 7 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ)
42 simpll 765 . . . . . . 7 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1))
43 rrx2linest.a . . . . . . . . . . 11 ๐ด = ((๐‘Œโ€˜1) โˆ’ (๐‘‹โ€˜1))
4443oveq1i 7426 . . . . . . . . . 10 (๐ด ยท (๐‘โ€˜2)) = (((๐‘Œโ€˜1) โˆ’ (๐‘‹โ€˜1)) ยท (๐‘โ€˜2))
4544a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐ด ยท (๐‘โ€˜2)) = (((๐‘Œโ€˜1) โˆ’ (๐‘‹โ€˜1)) ยท (๐‘โ€˜2)))
46 oveq2 7424 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โ†’ ((๐‘Œโ€˜1) โˆ’ (๐‘‹โ€˜1)) = ((๐‘Œโ€˜1) โˆ’ (๐‘Œโ€˜1)))
4746adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ ((๐‘Œโ€˜1) โˆ’ (๐‘‹โ€˜1)) = ((๐‘Œโ€˜1) โˆ’ (๐‘Œโ€˜1)))
486, 20rrx2pxel 47896 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘Œโ€˜1) โˆˆ โ„)
4948recnd 11272 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘Œโ€˜1) โˆˆ โ„‚)
50493ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (๐‘Œโ€˜1) โˆˆ โ„‚)
5150ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐‘Œโ€˜1) โˆˆ โ„‚)
5251subidd 11589 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ ((๐‘Œโ€˜1) โˆ’ (๐‘Œโ€˜1)) = 0)
5347, 52eqtrd 2765 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ ((๐‘Œโ€˜1) โˆ’ (๐‘‹โ€˜1)) = 0)
5453oveq1d 7431 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (((๐‘Œโ€˜1) โˆ’ (๐‘‹โ€˜1)) ยท (๐‘โ€˜2)) = (0 ยท (๐‘โ€˜2)))
556, 20rrx2pyel 47897 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘โ€˜2) โˆˆ โ„)
5655recnd 11272 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘โ€˜2) โˆˆ โ„‚)
5756ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐‘โ€˜2) โˆˆ โ„‚)
5857mul02d 11442 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (0 ยท (๐‘โ€˜2)) = 0)
5945, 54, 583eqtrd 2769 . . . . . . . 8 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐ด ยท (๐‘โ€˜2)) = 0)
60 rrx2linest.b . . . . . . . . . . 11 ๐ต = ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2))
6160oveq1i 7426 . . . . . . . . . 10 (๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) = (((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1))
6261a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) = (((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)))
63 rrx2linest.c . . . . . . . . . . 11 ๐ถ = (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘‹โ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2)))
64 oveq1 7423 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โ†’ ((๐‘‹โ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2)) = ((๐‘Œโ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2)))
6564oveq2d 7432 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โ†’ (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘‹โ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2))) = (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘Œโ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2))))
6663, 65eqtrid 2777 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โ†’ ๐ถ = (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘Œโ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2))))
6766adantl 480 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ ๐ถ = (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘Œโ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2))))
6862, 67oveq12d 7434 . . . . . . . 8 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ ((๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ) = ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘Œโ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2)))))
6959, 68eqeq12d 2741 . . . . . . 7 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ ((๐ด ยท (๐‘โ€˜2)) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ) โ†” 0 = ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘Œโ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2))))))
7040, 41, 42, 69syl21anc 836 . . . . . 6 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐ด ยท (๐‘โ€˜2)) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ) โ†” 0 = ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘Œโ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2))))))
716, 20rrx2pyel 47897 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘Œโ€˜2) โˆˆ โ„)
7271recnd 11272 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘Œโ€˜2) โˆˆ โ„‚)
73723ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (๐‘Œโ€˜2) โˆˆ โ„‚)
7450, 73mulcomd 11265 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ ((๐‘Œโ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2)) = ((๐‘Œโ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)))
7574oveq2d 7432 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘Œโ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2))) = (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘Œโ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1))))
766, 20rrx2pyel 47897 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘‹โ€˜2) โˆˆ โ„)
7776recnd 11272 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘‹โ€˜2) โˆˆ โ„‚)
78773ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (๐‘‹โ€˜2) โˆˆ โ„‚)
7978, 73, 50subdird 11701 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1)) = (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘Œโ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1))))
8075, 79eqtr4d 2768 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘Œโ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2))) = (((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1)))
8180ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘Œโ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2))) = (((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1)))
8281oveq2d 7432 . . . . . . . 8 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘Œโ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2)))) = ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + (((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1))))
8382eqeq2d 2736 . . . . . . 7 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (0 = ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘Œโ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2)))) โ†” 0 = ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + (((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1)))))
84 eqcom 2732 . . . . . . . . 9 (0 = ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + (((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1))) โ†” ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + (((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1))) = 0)
8584a1i 11 . . . . . . . 8 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (0 = ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + (((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1))) โ†” ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + (((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1))) = 0))
8673ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘Œโ€˜2) โˆˆ โ„‚)
8778ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘‹โ€˜2) โˆˆ โ„‚)
8886, 87subcld 11601 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) โˆˆ โ„‚)
896, 20rrx2pxel 47896 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘โ€˜1) โˆˆ โ„)
9089recnd 11272 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘โ€˜1) โˆˆ โ„‚)
9190adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘โ€˜1) โˆˆ โ„‚)
9288, 91mulcld 11264 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) โˆˆ โ„‚)
9387, 86subcld 11601 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) โˆˆ โ„‚)
9450ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘Œโ€˜1) โˆˆ โ„‚)
9593, 94mulcld 11264 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆˆ โ„‚)
96 addeq0 11667 . . . . . . . . 9 (((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) โˆˆ โ„‚ โˆง (((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + (((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1))) = 0 โ†” (((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) = -(((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1))))
9792, 95, 96syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + (((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1))) = 0 โ†” (((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) = -(((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1))))
9893, 94mulneg1d 11697 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (-((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1)) = -(((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1)))
9987, 86negsubdi2d 11617 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ -((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) = ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)))
10099oveq1d 7431 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (-((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1)) = (((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1)))
10198, 100eqtr3d 2767 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ -(((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1)) = (((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1)))
102101eqeq2d 2736 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) = -(((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โ†” (((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) = (((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1))))
103 necom 2984 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2) โ†” (๐‘Œโ€˜2) โ‰  (๐‘‹โ€˜2))
10434, 39, 1033imtr3i 290 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โ†’ (๐‘Œโ€˜2) โ‰  (๐‘‹โ€˜2))
105104adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘Œโ€˜2) โ‰  (๐‘‹โ€˜2))
10686, 87, 105subne0d 11610 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) โ‰  0)
10791, 94, 88, 106mulcand 11877 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) = (((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โ†” (๐‘โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)))
108102, 107bitrd 278 . . . . . . . 8 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) = -(((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โ†” (๐‘โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)))
10985, 97, 1083bitrd 304 . . . . . . 7 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (0 = ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + (((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1))) โ†” (๐‘โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)))
11083, 109bitrd 278 . . . . . 6 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (0 = ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘Œโ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2)))) โ†” (๐‘โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)))
111 simpl 481 . . . . . . . . 9 (((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โ†’ (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1))
112111eqcomd 2731 . . . . . . . 8 (((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โ†’ (๐‘Œโ€˜1) = (๐‘‹โ€˜1))
113112adantr 479 . . . . . . 7 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘Œโ€˜1) = (๐‘‹โ€˜1))
114113eqeq2d 2736 . . . . . 6 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โ†” (๐‘โ€˜1) = (๐‘‹โ€˜1)))
11570, 110, 1143bitrrd 305 . . . . 5 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘โ€˜1) = (๐‘‹โ€˜1) โ†” (๐ด ยท (๐‘โ€˜2)) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ)))
116115rabbidva 3426 . . . 4 (((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โ†’ {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐‘โ€˜1) = (๐‘‹โ€˜1)} = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐ด ยท (๐‘โ€˜2)) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ)})
11739, 116sylbi 216 . . 3 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐‘โ€˜1) = (๐‘‹โ€˜1)} = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐ด ยท (๐‘โ€˜2)) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ)})
11838, 117eqtrd 2765 . 2 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐‘‹๐ฟ๐‘Œ) = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐ด ยท (๐‘โ€˜2)) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ)})
1196, 35, 20, 36rrx2line 47925 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (๐‘‹๐ฟ๐‘Œ) = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ((๐‘โ€˜1) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜1)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜1))) โˆง (๐‘โ€˜2) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜2))))})
120119adantr 479 . . 3 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ยฌ (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐‘‹๐ฟ๐‘Œ) = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ((๐‘โ€˜1) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜1)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜1))) โˆง (๐‘โ€˜2) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜2))))})
121 df-ne 2931 . . . . . . . 8 ((๐‘‹โ€˜1) โ‰  (๐‘Œโ€˜1) โ†” ยฌ (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1))
12289ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) โ‰  (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐‘โ€˜1) โˆˆ โ„)
1236, 20rrx2pxel 47896 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘‹โ€˜1) โˆˆ โ„)
1241233ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (๐‘‹โ€˜1) โˆˆ โ„)
125124ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) โ‰  (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐‘‹โ€˜1) โˆˆ โ„)
126483ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (๐‘Œโ€˜1) โˆˆ โ„)
127126ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) โ‰  (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐‘Œโ€˜1) โˆˆ โ„)
128 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) โ‰  (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐‘‹โ€˜1) โ‰  (๐‘Œโ€˜1))
12955ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) โ‰  (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐‘โ€˜2) โˆˆ โ„)
130763ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (๐‘‹โ€˜2) โˆˆ โ„)
131130ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) โ‰  (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐‘‹โ€˜2) โˆˆ โ„)
132713ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (๐‘Œโ€˜2) โˆˆ โ„)
133132ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) โ‰  (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐‘Œโ€˜2) โˆˆ โ„)
134122, 125, 127, 128, 129, 131, 133affinecomb2 47888 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) โ‰  (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ((๐‘โ€˜1) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜1)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜1))) โˆง (๐‘โ€˜2) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜2)))) โ†” (((๐‘Œโ€˜1) โˆ’ (๐‘‹โ€˜1)) ยท (๐‘โ€˜2)) = ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘‹โ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2))))))
13543eqcomi 2734 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Œโ€˜1) โˆ’ (๐‘‹โ€˜1)) = ๐ด
136135oveq1i 7426 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘Œโ€˜1) โˆ’ (๐‘‹โ€˜1)) ยท (๐‘โ€˜2)) = (๐ด ยท (๐‘โ€˜2))
13760eqcomi 2734 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) = ๐ต
138137oveq1i 7426 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) = (๐ต ยท (๐‘โ€˜1))
13963eqcomi 2734 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘‹โ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2))) = ๐ถ
140138, 139oveq12i 7428 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘‹โ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2)))) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ)
141136, 140eqeq12i 2743 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘Œโ€˜1) โˆ’ (๐‘‹โ€˜1)) ยท (๐‘โ€˜2)) = ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘‹โ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2)))) โ†” (๐ด ยท (๐‘โ€˜2)) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ))
142134, 141bitrdi 286 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) โ‰  (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ((๐‘โ€˜1) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜1)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜1))) โˆง (๐‘โ€˜2) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜2)))) โ†” (๐ด ยท (๐‘โ€˜2)) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ)))
143142expcom 412 . . . . . . . 8 ((๐‘‹โ€˜1) โ‰  (๐‘Œโ€˜1) โ†’ (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ((๐‘โ€˜1) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜1)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜1))) โˆง (๐‘โ€˜2) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜2)))) โ†” (๐ด ยท (๐‘โ€˜2)) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ))))
144121, 143sylbir 234 . . . . . . 7 (ยฌ (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โ†’ (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ((๐‘โ€˜1) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜1)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜1))) โˆง (๐‘โ€˜2) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜2)))) โ†” (๐ด ยท (๐‘โ€˜2)) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ))))
145144expd 414 . . . . . 6 (ยฌ (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โ†’ ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ((๐‘โ€˜1) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜1)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜1))) โˆง (๐‘โ€˜2) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜2)))) โ†” (๐ด ยท (๐‘โ€˜2)) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ)))))
146145impcom 406 . . . . 5 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ยฌ (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ((๐‘โ€˜1) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜1)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜1))) โˆง (๐‘โ€˜2) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜2)))) โ†” (๐ด ยท (๐‘โ€˜2)) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ))))
147146imp 405 . . . 4 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ยฌ (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ((๐‘โ€˜1) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜1)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜1))) โˆง (๐‘โ€˜2) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜2)))) โ†” (๐ด ยท (๐‘โ€˜2)) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ)))
148147rabbidva 3426 . . 3 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ยฌ (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ((๐‘โ€˜1) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜1)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜1))) โˆง (๐‘โ€˜2) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜2))))} = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐ด ยท (๐‘โ€˜2)) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ)})
149120, 148eqtrd 2765 . 2 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ยฌ (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐‘‹๐ฟ๐‘Œ) = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐ด ยท (๐‘โ€˜2)) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ)})
150118, 149pm2.61dan 811 1 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (๐‘‹๐ฟ๐‘Œ) = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐ด ยท (๐‘โ€˜2)) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2930  โˆ€wral 3051  โˆƒwrex 3060  {crab 3419  {cpr 4626   Fn wfn 6538  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   โ†‘m cmap 8843  โ„‚cc 11136  โ„cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   ยท cmul 11143   โˆ’ cmin 11474  -cneg 11475  2c2 12297  โ„^crrx 25329  LineMcline 47912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217  ax-mulf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-sup 9465  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-prds 17428  df-pws 17430  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-subg 19082  df-ghm 19172  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-cring 20180  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-invr 20331  df-dvr 20344  df-rhm 20415  df-subrng 20487  df-subrg 20512  df-drng 20630  df-field 20631  df-staf 20729  df-srng 20730  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-sra 21062  df-rgmod 21063  df-cnfld 21284  df-refld 21541  df-dsmm 21670  df-frlm 21685  df-tng 24511  df-tcph 25115  df-rrx 25331  df-line 47914
This theorem is referenced by:  rrx2linest2  47929  line2x  47939  itsclinecirc0b  47959
  Copyright terms: Public domain W3C validator