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Theorem rrx2linest 46818
Description: The line passing through the two different points 𝑋 and 𝑌 in a real Euclidean space of dimension 2 in "standard form". (Contributed by AV, 2-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rrx2line.i 𝐼 = {1, 2}
rrx2line.e 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
rrx2line.b 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrx2line.l 𝐿 = (LineM𝐸)
rrx2linest.a 𝐴 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
rrx2linest.b 𝐵 = ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))
rrx2linest.c 𝐶 = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))
Assertion
Ref Expression
rrx2linest ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)})
Distinct variable groups:   𝐸,𝑝   𝐼,𝑝   𝑃,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑝)   𝐵(𝑝)   𝐶(𝑝)   𝐿(𝑝)

Proof of Theorem rrx2linest
Dummy variables 𝑖 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1191 . . . 4 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → 𝑋𝑃)
2 simpl2 1192 . . . 4 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → 𝑌𝑃)
3 simpr 485 . . . 4 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋‘1) = (𝑌‘1))
4 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋‘1) = (𝑌‘1))
54anim1i 615 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)) → ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
6 rrx2line.i . . . . . . . . . . . . . 14 𝐼 = {1, 2}
76raleqi 3311 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑖𝐼 (𝑋𝑖) = (𝑌𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ {1, 2} (𝑋𝑖) = (𝑌𝑖))
8 1ex 11151 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ V
9 2ex 12230 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ V
10 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 1 → (𝑋𝑖) = (𝑋‘1))
11 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 1 → (𝑌𝑖) = (𝑌‘1))
1210, 11eqeq12d 2752 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 1 → ((𝑋𝑖) = (𝑌𝑖) ↔ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)))
13 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 2 → (𝑋𝑖) = (𝑋‘2))
14 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 2 → (𝑌𝑖) = (𝑌‘2))
1513, 14eqeq12d 2752 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 2 → ((𝑋𝑖) = (𝑌𝑖) ↔ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
168, 9, 12, 15ralpr 4661 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑖 ∈ {1, 2} (𝑋𝑖) = (𝑌𝑖) ↔ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
177, 16bitri 274 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑖𝐼 (𝑋𝑖) = (𝑌𝑖) ↔ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
185, 17sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)) → ∀𝑖𝐼 (𝑋𝑖) = (𝑌𝑖))
19 elmapfn 8803 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑋 Fn 𝐼)
20 rrx2line.b . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
2119, 20eleq2s 2856 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋𝑃𝑋 Fn 𝐼)
22 elmapfn 8803 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑌 Fn 𝐼)
2322, 20eleq2s 2856 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑌𝑃𝑌 Fn 𝐼)
2421, 23anim12i 613 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋 Fn 𝐼𝑌 Fn 𝐼))
2524ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)) → (𝑋 Fn 𝐼𝑌 Fn 𝐼))
26 eqfnfv 6982 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 Fn 𝐼𝑌 Fn 𝐼) → (𝑋 = 𝑌 ↔ ∀𝑖𝐼 (𝑋𝑖) = (𝑌𝑖)))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)) → (𝑋 = 𝑌 ↔ ∀𝑖𝐼 (𝑋𝑖) = (𝑌𝑖)))
2818, 27mpbird 256 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)) → 𝑋 = 𝑌)
2928ex 413 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → ((𝑋‘2) = (𝑌‘2) → 𝑋 = 𝑌))
3029necon3d 2964 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋𝑌 → (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)))
3130ex 413 . . . . . . 7 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) → (𝑋𝑌 → (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))))
3231com23 86 . . . . . 6 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋𝑌 → ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) → (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))))
33323impia 1117 . . . . 5 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) → (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)))
3433imp 407 . . . 4 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))
35 rrx2line.e . . . . 5 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
36 rrx2line.l . . . . 5 𝐿 = (LineM𝐸)
376, 35, 20, 36rrx2vlinest 46817 . . . 4 ((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)})
381, 2, 3, 34, 37syl112anc 1374 . . 3 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)})
39 ancom 461 . . . 4 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) ↔ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)))
40 simplr 767 . . . . . . 7 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌))
41 simpr 485 . . . . . . 7 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → 𝑝𝑃)
42 simpll 765 . . . . . . 7 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑋‘1) = (𝑌‘1))
43 rrx2linest.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
4443oveq1i 7367 . . . . . . . . . 10 (𝐴 · (𝑝‘2)) = (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2))
4544a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝐴 · (𝑝‘2)) = (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)))
46 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = ((𝑌‘1) − (𝑌‘1)))
4746adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = ((𝑌‘1) − (𝑌‘1)))
486, 20rrx2pxel 46787 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑌𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
4948recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑌𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℂ)
50493ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑌‘1) ∈ ℂ)
5150ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑌‘1) ∈ ℂ)
5251subidd 11500 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → ((𝑌‘1) − (𝑌‘1)) = 0)
5347, 52eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = 0)
5453oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = (0 · (𝑝‘2)))
556, 20rrx2pyel 46788 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
5655recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 (𝑝𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℂ)
5756ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑝‘2) ∈ ℂ)
5857mul02d 11353 . . . . . . . . 9 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (0 · (𝑝‘2)) = 0)
5945, 54, 583eqtrd 2780 . . . . . . . 8 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝐴 · (𝑝‘2)) = 0)
60 rrx2linest.b . . . . . . . . . . 11 𝐵 = ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))
6160oveq1i 7367 . . . . . . . . . 10 (𝐵 · (𝑝‘1)) = (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1))
6261a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝐵 · (𝑝‘1)) = (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)))
63 rrx2linest.c . . . . . . . . . . 11 𝐶 = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))
64 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) → ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)) = ((𝑌‘1) · (𝑌‘2)))
6564oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) → (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2))))
6663, 65eqtrid 2788 . . . . . . . . . 10 ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) → 𝐶 = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2))))
6766adantl 482 . . . . . . . . 9 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → 𝐶 = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2))))
6862, 67oveq12d 7375 . . . . . . . 8 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2)))))
6959, 68eqeq12d 2752 . . . . . . 7 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → ((𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶) ↔ 0 = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2))))))
7040, 41, 42, 69syl21anc 836 . . . . . 6 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶) ↔ 0 = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2))))))
716, 20rrx2pyel 46788 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑌𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
7271recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑌𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
73723ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
7450, 73mulcomd 11176 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → ((𝑌‘1) · (𝑌‘2)) = ((𝑌‘2) · (𝑌‘1)))
7574oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘2) · (𝑌‘1))))
766, 20rrx2pyel 46788 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
7776recnd 11183 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
78773ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
7978, 73, 50subdird 11612 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘2) · (𝑌‘1))))
8075, 79eqtr4d 2779 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2))) = (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)))
8180ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2))) = (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)))
8281oveq2d 7373 . . . . . . . 8 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2)))) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1))))
8382eqeq2d 2747 . . . . . . 7 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → (0 = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2)))) ↔ 0 = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)))))
84 eqcom 2743 . . . . . . . . 9 (0 = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1))) ↔ ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1))) = 0)
8584a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → (0 = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1))) ↔ ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1))) = 0))
8673ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
8778ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
8886, 87subcld 11512 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℂ)
896, 20rrx2pxel 46787 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
9089recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 (𝑝𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℂ)
9190adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝‘1) ∈ ℂ)
9288, 91mulcld 11175 . . . . . . . . 9 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) ∈ ℂ)
9387, 86subcld 11512 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ∈ ℂ)
9450ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑌‘1) ∈ ℂ)
9593, 94mulcld 11175 . . . . . . . . 9 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)) ∈ ℂ)
96 addeq0 11578 . . . . . . . . 9 (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) ∈ ℂ ∧ (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)) ∈ ℂ) → (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1))) = 0 ↔ (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) = -(((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1))))
9792, 95, 96syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1))) = 0 ↔ (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) = -(((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1))))
9893, 94mulneg1d 11608 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → (-((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)) = -(((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)))
9987, 86negsubdi2d 11528 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → -((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) = ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))
10099oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → (-((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)) = (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑌‘1)))
10198, 100eqtr3d 2778 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → -(((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)) = (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑌‘1)))
102101eqeq2d 2747 . . . . . . . . 9 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) = -(((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)) ↔ (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) = (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑌‘1))))
103 necom 2997 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2) ↔ (𝑌‘2) ≠ (𝑋‘2))
10434, 39, 1033imtr3i 290 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) → (𝑌‘2) ≠ (𝑋‘2))
105104adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑌‘2) ≠ (𝑋‘2))
10686, 87, 105subne0d 11521 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ≠ 0)
10791, 94, 88, 106mulcand 11788 . . . . . . . . 9 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) = (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑌‘1)) ↔ (𝑝‘1) = (𝑌‘1)))
108102, 107bitrd 278 . . . . . . . 8 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) = -(((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)) ↔ (𝑝‘1) = (𝑌‘1)))
10985, 97, 1083bitrd 304 . . . . . . 7 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → (0 = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1))) ↔ (𝑝‘1) = (𝑌‘1)))
11083, 109bitrd 278 . . . . . 6 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → (0 = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2)))) ↔ (𝑝‘1) = (𝑌‘1)))
111 simpl 483 . . . . . . . . 9 (((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) → (𝑋‘1) = (𝑌‘1))
112111eqcomd 2742 . . . . . . . 8 (((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) → (𝑌‘1) = (𝑋‘1))
113112adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑌‘1) = (𝑋‘1))
114113eqeq2d 2747 . . . . . 6 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑝‘1) = (𝑌‘1) ↔ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)))
11570, 110, 1143bitrrd 305 . . . . 5 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑝‘1) = (𝑋‘1) ↔ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)))
116115rabbidva 3414 . . . 4 (((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) → {𝑝𝑃 ∣ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)} = {𝑝𝑃 ∣ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)})
11739, 116sylbi 216 . . 3 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → {𝑝𝑃 ∣ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)} = {𝑝𝑃 ∣ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)})
11838, 117eqtrd 2776 . 2 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)})
1196, 35, 20, 36rrx2line 46816 . . . 4 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))})
120119adantr 481 . . 3 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ ¬ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))})
121 df-ne 2944 . . . . . . . 8 ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) ↔ ¬ (𝑋‘1) = (𝑌‘1))
12289ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
1236, 20rrx2pxel 46787 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
1241233ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
125124ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
126483ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
127126ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
128 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))
12955ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
130763ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
131130ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
132713ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
133132ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
134122, 125, 127, 128, 129, 131, 133affinecomb2 46779 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))))
13543eqcomi 2745 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = 𝐴
136135oveq1i 7367 . . . . . . . . . . 11 (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = (𝐴 · (𝑝‘2))
13760eqcomi 2745 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = 𝐵
138137oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) = (𝐵 · (𝑝‘1))
13963eqcomi 2745 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) = 𝐶
140138, 139oveq12i 7369 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)
141136, 140eqeq12i 2754 . . . . . . . . . 10 ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))) ↔ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶))
142134, 141bitrdi 286 . . . . . . . . 9 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)))
143142expcom 414 . . . . . . . 8 ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) → (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶))))
144121, 143sylbir 234 . . . . . . 7 (¬ (𝑋‘1) = (𝑌‘1) → (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶))))
145144expd 416 . . . . . 6 (¬ (𝑋‘1) = (𝑌‘1) → ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑝𝑃 → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)))))
146145impcom 408 . . . . 5 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ ¬ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑝𝑃 → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶))))
147146imp 407 . . . 4 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ ¬ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) ∧ 𝑝𝑃) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)))
148147rabbidva 3414 . . 3 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ ¬ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → {𝑝𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))} = {𝑝𝑃 ∣ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)})
149120, 148eqtrd 2776 . 2 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ ¬ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)})
150118, 149pm2.61dan 811 1 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  {crab 3407  {cpr 4588   Fn wfn 6491  cfv 6496  (class class class)co 7357  m cmap 8765  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  cmin 11385  -cneg 11386  2c2 12208  ℝ^crrx 24747  LineMcline 46803
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cmn 19564  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-rnghom 20146  df-drng 20187  df-field 20188  df-subrg 20220  df-staf 20304  df-srng 20305  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-cnfld 20797  df-refld 21009  df-dsmm 21138  df-frlm 21153  df-tng 23940  df-tcph 24533  df-rrx 24749  df-line 46805
This theorem is referenced by:  rrx2linest2  46820  line2x  46830  itsclinecirc0b  46850
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