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Theorem rrx2linest 43306
Description: The line passing through the two different points 𝑋 and 𝑌 in a real Euclidean space of dimension 2 in "standard form". (Contributed by AV, 2-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rrx2line.i 𝐼 = {1, 2}
rrx2line.e 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
rrx2line.b 𝑃 = (ℝ ↑𝑚 𝐼)
rrx2line.l 𝐿 = (LineM𝐸)
rrx2linest.a 𝐴 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
rrx2linest.b 𝐵 = ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))
rrx2linest.c 𝐶 = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))
Assertion
Ref Expression
rrx2linest ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)})
Distinct variable groups:   𝐸,𝑝   𝐼,𝑝   𝑃,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑝)   𝐵(𝑝)   𝐶(𝑝)   𝐿(𝑝)

Proof of Theorem rrx2linest
Dummy variables 𝑖 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1246 . . . 4 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → 𝑋𝑃)
2 simpl2 1248 . . . 4 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → 𝑌𝑃)
3 simpr 479 . . . 4 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋‘1) = (𝑌‘1))
4 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋‘1) = (𝑌‘1))
54anim1i 608 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)) → ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
6 rrx2line.i . . . . . . . . . . . . . 14 𝐼 = {1, 2}
76raleqi 3354 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑖𝐼 (𝑋𝑖) = (𝑌𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ {1, 2} (𝑋𝑖) = (𝑌𝑖))
8 1ex 10359 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ V
9 2ex 11435 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ V
10 fveq2 6437 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 1 → (𝑋𝑖) = (𝑋‘1))
11 fveq2 6437 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 1 → (𝑌𝑖) = (𝑌‘1))
1210, 11eqeq12d 2840 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 1 → ((𝑋𝑖) = (𝑌𝑖) ↔ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)))
13 fveq2 6437 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 2 → (𝑋𝑖) = (𝑋‘2))
14 fveq2 6437 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 2 → (𝑌𝑖) = (𝑌‘2))
1513, 14eqeq12d 2840 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 2 → ((𝑋𝑖) = (𝑌𝑖) ↔ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
168, 9, 12, 15ralpr 4459 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑖 ∈ {1, 2} (𝑋𝑖) = (𝑌𝑖) ↔ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
177, 16bitri 267 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑖𝐼 (𝑋𝑖) = (𝑌𝑖) ↔ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
185, 17sylibr 226 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)) → ∀𝑖𝐼 (𝑋𝑖) = (𝑌𝑖))
19 elmapfn 8150 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → 𝑋 Fn 𝐼)
20 rrx2line.b . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑃 = (ℝ ↑𝑚 𝐼)
2119, 20eleq2s 2924 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋𝑃𝑋 Fn 𝐼)
22 elmapfn 8150 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑌 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → 𝑌 Fn 𝐼)
2322, 20eleq2s 2924 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑌𝑃𝑌 Fn 𝐼)
2421, 23anim12i 606 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋 Fn 𝐼𝑌 Fn 𝐼))
2524ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)) → (𝑋 Fn 𝐼𝑌 Fn 𝐼))
26 eqfnfv 6565 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 Fn 𝐼𝑌 Fn 𝐼) → (𝑋 = 𝑌 ↔ ∀𝑖𝐼 (𝑋𝑖) = (𝑌𝑖)))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)) → (𝑋 = 𝑌 ↔ ∀𝑖𝐼 (𝑋𝑖) = (𝑌𝑖)))
2818, 27mpbird 249 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)) → 𝑋 = 𝑌)
2928ex 403 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → ((𝑋‘2) = (𝑌‘2) → 𝑋 = 𝑌))
3029necon3d 3020 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋𝑌 → (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)))
3130ex 403 . . . . . . 7 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) → (𝑋𝑌 → (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))))
3231com23 86 . . . . . 6 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋𝑌 → ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) → (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))))
33323impia 1149 . . . . 5 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) → (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)))
3433imp 397 . . . 4 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))
35 rrx2line.e . . . . 5 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
36 rrx2line.l . . . . 5 𝐿 = (LineM𝐸)
376, 35, 20, 36rrx2vlinest 43305 . . . 4 ((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)})
381, 2, 3, 34, 37syl112anc 1497 . . 3 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)})
39 ancom 454 . . . 4 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) ↔ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)))
40 simplr 785 . . . . . . 7 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌))
41 simpr 479 . . . . . . 7 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → 𝑝𝑃)
42 simpll 783 . . . . . . 7 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑋‘1) = (𝑌‘1))
43 rrx2linest.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
4443oveq1i 6920 . . . . . . . . . 10 (𝐴 · (𝑝‘2)) = (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2))
4544a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝐴 · (𝑝‘2)) = (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)))
46 oveq2 6918 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = ((𝑌‘1) − (𝑌‘1)))
4746adantl 475 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = ((𝑌‘1) − (𝑌‘1)))
486, 20rrx2pxel 42271 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑌𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
4948recnd 10392 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑌𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℂ)
50493ad2ant2 1168 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑌‘1) ∈ ℂ)
5150ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑌‘1) ∈ ℂ)
5251subidd 10708 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → ((𝑌‘1) − (𝑌‘1)) = 0)
5347, 52eqtrd 2861 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = 0)
5453oveq1d 6925 . . . . . . . . 9 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = (0 · (𝑝‘2)))
556, 20rrx2pyel 42272 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
5655recnd 10392 . . . . . . . . . . 11 (𝑝𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℂ)
5756ad2antlr 718 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑝‘2) ∈ ℂ)
5857mul02d 10560 . . . . . . . . 9 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (0 · (𝑝‘2)) = 0)
5945, 54, 583eqtrd 2865 . . . . . . . 8 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝐴 · (𝑝‘2)) = 0)
60 rrx2linest.b . . . . . . . . . . 11 𝐵 = ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))
6160oveq1i 6920 . . . . . . . . . 10 (𝐵 · (𝑝‘1)) = (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1))
6261a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝐵 · (𝑝‘1)) = (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)))
63 rrx2linest.c . . . . . . . . . . 11 𝐶 = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))
64 oveq1 6917 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) → ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)) = ((𝑌‘1) · (𝑌‘2)))
6564oveq2d 6926 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) → (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2))))
6663, 65syl5eq 2873 . . . . . . . . . 10 ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) → 𝐶 = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2))))
6766adantl 475 . . . . . . . . 9 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → 𝐶 = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2))))
6862, 67oveq12d 6928 . . . . . . . 8 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2)))))
6959, 68eqeq12d 2840 . . . . . . 7 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → ((𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶) ↔ 0 = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2))))))
7040, 41, 42, 69syl21anc 871 . . . . . 6 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶) ↔ 0 = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2))))))
716, 20rrx2pyel 42272 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑌𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
7271recnd 10392 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑌𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
73723ad2ant2 1168 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
7450, 73mulcomd 10385 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → ((𝑌‘1) · (𝑌‘2)) = ((𝑌‘2) · (𝑌‘1)))
7574oveq2d 6926 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘2) · (𝑌‘1))))
766, 20rrx2pyel 42272 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
7776recnd 10392 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
78773ad2ant1 1167 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
7978, 73, 50subdird 10818 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘2) · (𝑌‘1))))
8075, 79eqtr4d 2864 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2))) = (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)))
8180ad2antlr 718 . . . . . . . . 9 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2))) = (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)))
8281oveq2d 6926 . . . . . . . 8 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2)))) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1))))
8382eqeq2d 2835 . . . . . . 7 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → (0 = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2)))) ↔ 0 = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)))))
84 eqcom 2832 . . . . . . . . 9 (0 = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1))) ↔ ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1))) = 0)
8584a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → (0 = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1))) ↔ ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1))) = 0))
8673ad2antlr 718 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
8778ad2antlr 718 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
8886, 87subcld 10720 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℂ)
896, 20rrx2pxel 42271 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
9089recnd 10392 . . . . . . . . . . 11 (𝑝𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℂ)
9190adantl 475 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝‘1) ∈ ℂ)
9288, 91mulcld 10384 . . . . . . . . 9 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) ∈ ℂ)
9387, 86subcld 10720 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ∈ ℂ)
9450ad2antlr 718 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑌‘1) ∈ ℂ)
9593, 94mulcld 10384 . . . . . . . . 9 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)) ∈ ℂ)
96 addeq0 10784 . . . . . . . . 9 (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) ∈ ℂ ∧ (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)) ∈ ℂ) → (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1))) = 0 ↔ (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) = -(((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1))))
9792, 95, 96syl2anc 579 . . . . . . . 8 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1))) = 0 ↔ (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) = -(((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1))))
9893, 94mulneg1d 10814 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → (-((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)) = -(((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)))
9987, 86negsubdi2d 10736 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → -((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) = ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))
10099oveq1d 6925 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → (-((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)) = (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑌‘1)))
10198, 100eqtr3d 2863 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → -(((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)) = (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑌‘1)))
102101eqeq2d 2835 . . . . . . . . 9 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) = -(((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)) ↔ (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) = (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑌‘1))))
103 necom 3052 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2) ↔ (𝑌‘2) ≠ (𝑋‘2))
10434, 39, 1033imtr3i 283 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) → (𝑌‘2) ≠ (𝑋‘2))
105104adantr 474 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑌‘2) ≠ (𝑋‘2))
10686, 87, 105subne0d 10729 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ≠ 0)
10791, 94, 88, 106mulcand 10992 . . . . . . . . 9 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) = (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑌‘1)) ↔ (𝑝‘1) = (𝑌‘1)))
108102, 107bitrd 271 . . . . . . . 8 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) = -(((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)) ↔ (𝑝‘1) = (𝑌‘1)))
10985, 97, 1083bitrd 297 . . . . . . 7 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → (0 = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1))) ↔ (𝑝‘1) = (𝑌‘1)))
11083, 109bitrd 271 . . . . . 6 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → (0 = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2)))) ↔ (𝑝‘1) = (𝑌‘1)))
111 simpl 476 . . . . . . . . 9 (((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) → (𝑋‘1) = (𝑌‘1))
112111eqcomd 2831 . . . . . . . 8 (((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) → (𝑌‘1) = (𝑋‘1))
113112adantr 474 . . . . . . 7 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑌‘1) = (𝑋‘1))
114113eqeq2d 2835 . . . . . 6 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑝‘1) = (𝑌‘1) ↔ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)))
11570, 110, 1143bitrrd 298 . . . . 5 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑝‘1) = (𝑋‘1) ↔ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)))
116115rabbidva 3401 . . . 4 (((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) → {𝑝𝑃 ∣ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)} = {𝑝𝑃 ∣ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)})
11739, 116sylbi 209 . . 3 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → {𝑝𝑃 ∣ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)} = {𝑝𝑃 ∣ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)})
11838, 117eqtrd 2861 . 2 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)})
1196, 35, 20, 36rrx2line 43304 . . . 4 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))})
120119adantr 474 . . 3 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ ¬ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))})
121 df-ne 3000 . . . . . . . 8 ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) ↔ ¬ (𝑋‘1) = (𝑌‘1))
12289ad2antlr 718 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
1236, 20rrx2pxel 42271 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
1241233ad2ant1 1167 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
125124ad2antrr 717 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
126483ad2ant2 1168 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
127126ad2antrr 717 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
128 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))
12955ad2antlr 718 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
130763ad2ant1 1167 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
131130ad2antrr 717 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
132713ad2ant2 1168 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
133132ad2antrr 717 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
134122, 125, 127, 128, 129, 131, 133affinecomb2 43285 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))))
13543eqcomi 2834 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = 𝐴
136135oveq1i 6920 . . . . . . . . . . 11 (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = (𝐴 · (𝑝‘2))
13760eqcomi 2834 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = 𝐵
138137oveq1i 6920 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) = (𝐵 · (𝑝‘1))
13963eqcomi 2834 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) = 𝐶
140138, 139oveq12i 6922 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)
141136, 140eqeq12i 2839 . . . . . . . . . 10 ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))) ↔ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶))
142134, 141syl6bb 279 . . . . . . . . 9 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)))
143142expcom 404 . . . . . . . 8 ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) → (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶))))
144121, 143sylbir 227 . . . . . . 7 (¬ (𝑋‘1) = (𝑌‘1) → (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶))))
145144expd 406 . . . . . 6 (¬ (𝑋‘1) = (𝑌‘1) → ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑝𝑃 → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)))))
146145impcom 398 . . . . 5 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ ¬ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑝𝑃 → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶))))
147146imp 397 . . . 4 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ ¬ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) ∧ 𝑝𝑃) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)))
148147rabbidva 3401 . . 3 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ ¬ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → {𝑝𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))} = {𝑝𝑃 ∣ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)})
149120, 148eqtrd 2861 . 2 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ ¬ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)})
150118, 149pm2.61dan 847 1 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1111   = wceq 1656  wcel 2164  wne 2999  wral 3117  wrex 3118  {crab 3121  {cpr 4401   Fn wfn 6122  cfv 6127  (class class class)co 6910  𝑚 cmap 8127  cc 10257  cr 10258  0cc0 10259  1c1 10260   + caddc 10262   · cmul 10264  cmin 10592  -cneg 10593  2c2 11413  ℝ^crrx 23558  LineMcline 43291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337  ax-addf 10338  ax-mulf 10339
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-supp 7565  df-tpos 7622  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-ixp 8182  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-fsupp 8551  df-sup 8623  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-rp 12120  df-fz 12627  df-seq 13103  df-exp 13162  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-starv 16327  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-ip 16330  df-tset 16331  df-ple 16332  df-ds 16334  df-unif 16335  df-hom 16336  df-cco 16337  df-0g 16462  df-prds 16468  df-pws 16470  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-mhm 17695  df-grp 17786  df-minusg 17787  df-sbg 17788  df-subg 17949  df-ghm 18016  df-cmn 18555  df-mgp 18851  df-ur 18863  df-ring 18910  df-cring 18911  df-oppr 18984  df-dvdsr 19002  df-unit 19003  df-invr 19033  df-dvr 19044  df-rnghom 19078  df-drng 19112  df-field 19113  df-subrg 19141  df-staf 19208  df-srng 19209  df-lmod 19228  df-lss 19296  df-sra 19540  df-rgmod 19541  df-cnfld 20114  df-refld 20319  df-dsmm 20446  df-frlm 20461  df-tng 22766  df-tcph 23345  df-rrx 23560  df-line 43293
This theorem is referenced by:  line2x  43316  itsclinecirc0  43324
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