rrx2linest - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem rrx2linest 49680

Description: The line passing through the two different points 𝑋 and 𝑌 in a real Euclidean space of dimension 2 in "standard form". (Contributed by AV, 2-Feb-2023.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
rrx2line.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
rrx2line.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
rrx2line.b	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑_m 𝐼)
rrx2line.l	⊢ 𝐿 = (Line_M‘𝐸)
rrx2linest.a	⊢ 𝐴 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
rrx2linest.b	⊢ 𝐵 = ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))
rrx2linest.c	⊢ 𝐶 = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))

**Assertion**
Ref	Expression
rrx2linest	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)})

Distinct variable groups: 𝐸,𝑝 𝐼,𝑝 𝑃,𝑝 𝑋,𝑝 𝑌,𝑝 Allowed substitution hints: 𝐴(𝑝) 𝐵(𝑝) 𝐶(𝑝) 𝐿(𝑝)

Proof of Theorem rrx2linest Dummy variables 𝑖 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1210	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
2		simpl2 1211	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
3		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋‘1) = (𝑌‘1))
4		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋‘1) = (𝑌‘1))
5	4	anim1i 627	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)) → ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
6		rrx2line.i	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
7	6	raleqi 3319	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑖) = (𝑌‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ {1, 2} (𝑋‘𝑖) = (𝑌‘𝑖))
8		1ex 11231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ V
9		2ex 12346	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ V
10		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑋‘𝑖) = (𝑋‘1))
11		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑌‘𝑖) = (𝑌‘1))
12	10, 11	eqeq12d 2778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 1 → ((𝑋‘𝑖) = (𝑌‘𝑖) ↔ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)))
13		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 2 → (𝑋‘𝑖) = (𝑋‘2))
14		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 2 → (𝑌‘𝑖) = (𝑌‘2))
15	13, 14	eqeq12d 2778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 2 → ((𝑋‘𝑖) = (𝑌‘𝑖) ↔ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
16	8, 9, 12, 15	ralpr 4664	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑖 ∈ {1, 2} (𝑋‘𝑖) = (𝑌‘𝑖) ↔ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
17	7, 16	bitri 278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑖) = (𝑌‘𝑖) ↔ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
18	5, 17	sylibr 237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)) → ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑖) = (𝑌‘𝑖))
19		elmapfn 8870	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋 ∈ (ℝ ↑_m 𝐼) → 𝑋 Fn 𝐼)
20		rrx2line.b	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑_m 𝐼)
21	19, 20	eleq2s 2880	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → 𝑋 Fn 𝐼)
22		elmapfn 8870	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑌 ∈ (ℝ ↑_m 𝐼) → 𝑌 Fn 𝐼)
23	22, 20	eleq2s 2880	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → 𝑌 Fn 𝐼)
24	21, 23	anim12i 625	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋 Fn 𝐼 ∧ 𝑌 Fn 𝐼))
25	24	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)) → (𝑋 Fn 𝐼 ∧ 𝑌 Fn 𝐼))
26		eqfnfv 7026	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 Fn 𝐼 ∧ 𝑌 Fn 𝐼) → (𝑋 = 𝑌 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑖) = (𝑌‘𝑖)))
27	25, 26	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)) → (𝑋 = 𝑌 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑋‘𝑖) = (𝑌‘𝑖)))
28	18, 27	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)) → 𝑋 = 𝑌)
29	28	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → ((𝑋‘2) = (𝑌‘2) → 𝑋 = 𝑌))
30	29	necon3d 2978	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋 ≠ 𝑌 → (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)))
31	30	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) → (𝑋 ≠ 𝑌 → (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))))
32	31	com23 87	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋 ≠ 𝑌 → ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) → (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))))
33	32	3impia 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) → (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)))
34	33	imp 412	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))
35		rrx2line.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
36		rrx2line.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (Line_M‘𝐸)
37	6, 35, 20, 36	rrx2vlinest 49679	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)})
38	1, 2, 3, 34, 37	syl112anc 1401	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)})
39		ancom 466	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) ↔ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)))
40		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌))
41		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ∈ 𝑃)
42		simpll 779	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑋‘1) = (𝑌‘1))
43		rrx2linest.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
44	43	oveq1i 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 · (𝑝‘2)) = (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2))
45	44	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝐴 · (𝑝‘2)) = (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)))
46		oveq2 7425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = ((𝑌‘1) − (𝑌‘1)))
47	46	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = ((𝑌‘1) − (𝑌‘1)))
48	6, 20	rrx2pxel 49649	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
49	48	recnd 11265	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℂ)
50	49	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑌‘1) ∈ ℂ)
51	50	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑌‘1) ∈ ℂ)
52	51	subidd 11585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → ((𝑌‘1) − (𝑌‘1)) = 0)
53	47, 52	eqtrd 2797	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = 0)
54	53	oveq1d 7432	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = (0 · (𝑝‘2)))
55	6, 20	rrx2pyel 49650	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
56	55	recnd 11265	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℂ)
57	56	ad2antlr 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑝‘2) ∈ ℂ)
58	57	mul02d 11436	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (0 · (𝑝‘2)) = 0)
59	45, 54, 58	3eqtrd 2801	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝐴 · (𝑝‘2)) = 0)
60		rrx2linest.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))
61	60	oveq1i 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 · (𝑝‘1)) = (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1))
62	61	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝐵 · (𝑝‘1)) = (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)))
63		rrx2linest.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))
64		oveq1 7424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) → ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)) = ((𝑌‘1) · (𝑌‘2)))
65	64	oveq2d 7433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) → (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2))))
66	63, 65	eqtrid 2809	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) → 𝐶 = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2))))
67	66	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → 𝐶 = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2))))
68	62, 67	oveq12d 7435	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2)))))
69	59, 68	eqeq12d 2778	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → ((𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶) ↔ 0 = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2))))))
70	40, 41, 42, 69	syl21anc 851	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶) ↔ 0 = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2))))))
71	6, 20	rrx2pyel 49650	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
72	71	recnd 11265	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
73	72	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
74	50, 73	mulcomd 11258	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑌‘1) · (𝑌‘2)) = ((𝑌‘2) · (𝑌‘1)))
75	74	oveq2d 7433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘2) · (𝑌‘1))))
76	6, 20	rrx2pyel 49650	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
77	76	recnd 11265	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
78	77	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
79	78, 73, 50	subdird 11699	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘2) · (𝑌‘1))))
80	75, 79	eqtr4d 2800	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2))) = (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)))
81	80	ad2antlr 740	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2))) = (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)))
82	81	oveq2d 7433	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2)))) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1))))
83	82	eqeq2d 2773	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (0 = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2)))) ↔ 0 = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)))))
84		eqcom 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1))) ↔ ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1))) = 0)
85	84	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (0 = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1))) ↔ ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1))) = 0))
86	73	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
87	78	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
88	86, 87	subcld 11597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℂ)
89	6, 20	rrx2pxel 49649	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
90	89	recnd 11265	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℂ)
91	90	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑝‘1) ∈ ℂ)
92	88, 91	mulcld 11257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) ∈ ℂ)
93	87, 86	subcld 11597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ∈ ℂ)
94	50	ad2antlr 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑌‘1) ∈ ℂ)
95	93, 94	mulcld 11257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)) ∈ ℂ)
96		addeq0 11665	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) ∈ ℂ ∧ (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)) ∈ ℂ) → (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1))) = 0 ↔ (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) = -(((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1))))
97	92, 95, 96	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1))) = 0 ↔ (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) = -(((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1))))
98	93, 94	mulneg1d 11695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (-((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)) = -(((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)))
99	87, 86	negsubdi2d 11613	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → -((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) = ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))
100	99	oveq1d 7432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (-((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)) = (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑌‘1)))
101	98, 100	eqtr3d 2799	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → -(((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)) = (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑌‘1)))
102	101	eqeq2d 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) = -(((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)) ↔ (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) = (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑌‘1))))
103		necom 3010	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2) ↔ (𝑌‘2) ≠ (𝑋‘2))
104	34, 39, 103	3imtr3i 294	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝑌‘2) ≠ (𝑋‘2))
105	104	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑌‘2) ≠ (𝑋‘2))
106	86, 87, 105	subne0d 11607	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ≠ 0)
107	91, 94, 88, 106	mulcand 11875	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) = (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑌‘1)) ↔ (𝑝‘1) = (𝑌‘1)))
108	102, 107	bitrd 282	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) = -(((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)) ↔ (𝑝‘1) = (𝑌‘1)))
109	85, 97, 108	3bitrd 308	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (0 = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1))) ↔ (𝑝‘1) = (𝑌‘1)))
110	83, 109	bitrd 282	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (0 = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2)))) ↔ (𝑝‘1) = (𝑌‘1)))
111		simpl 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝑋‘1) = (𝑌‘1))
112	111	eqcomd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝑌‘1) = (𝑋‘1))
113	112	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑌‘1) = (𝑋‘1))
114	113	eqeq2d 2773	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑝‘1) = (𝑌‘1) ↔ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)))
115	70, 110, 114	3bitrrd 309	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑝‘1) = (𝑋‘1) ↔ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)))
116	115	rabbidva 3420	. . . 4 ⊢ (((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)})
117	39, 116	sylbi 220	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)})
118	38, 117	eqtrd 2797	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)})
119	6, 35, 20, 36	rrx2line 49678	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))})
120	119	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ ¬ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))})
121		df-ne 2958	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) ↔ ¬ (𝑋‘1) = (𝑌‘1))
122	89	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
123	6, 20	rrx2pxel 49649	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
124	123	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
125	124	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
126	48	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
127	126	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
128		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))
129	55	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
130	76	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
131	130	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
132	71	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
133	132	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
134	122, 125, 127, 128, 129, 131, 133	affinecomb2 49641	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))))
135	43	eqcomi 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = 𝐴
136	135	oveq1i 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = (𝐴 · (𝑝‘2))
137	60	eqcomi 2771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = 𝐵
138	137	oveq1i 7427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) = (𝐵 · (𝑝‘1))
139	63	eqcomi 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) = 𝐶
140	138, 139	oveq12i 7429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)
141	136, 140	eqeq12i 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))) ↔ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶))
142	134, 141	bitrdi 290	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)))
143	142	expcom 419	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) → (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶))))
144	121, 143	sylbir 238	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑋‘1) = (𝑌‘1) → (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶))))
145	144	expd 421	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝑋‘1) = (𝑌‘1) → ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑝 ∈ 𝑃 → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)))))
146	145	impcom 413	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ ¬ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑝 ∈ 𝑃 → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶))))
147	146	imp 412	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ ¬ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)))
148	147	rabbidva 3420	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ ¬ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)})
149	120, 148	eqtrd 2797	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ ¬ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)})
150	118, 149	pm2.61dan 825	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)})

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2145 ≠ wne 2957 ∀wral 3078 ∃wrex 3088 {crab 3414 {cpr 4589 Fn wfn 6532 ‘cfv 6537 (class class class)co 7417 ↑_m cmap 8830 ℂcc 11126 ℝcr 11127 0cc0 11128 1c1 11129 + caddc 11131 · cmul 11133 − cmin 11469 -cneg 11470 2c2 12323 ℝ^crrx 25617 Line_Mcline 49665

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2215 ax-ext 2734 ax-rep 5236 ax-sep 5255 ax-nul 5267 ax-pow 5334 ax-pr 5402 ax-un 7740 ax-cnex 11184 ax-resscn 11185 ax-1cn 11186 ax-icn 11187 ax-addcl 11188 ax-addrcl 11189 ax-mulcl 11190 ax-mulrcl 11191 ax-mulcom 11192 ax-addass 11193 ax-mulass 11194 ax-distr 11195 ax-i2m1 11196 ax-1ne0 11197 ax-1rid 11198 ax-rnegex 11199 ax-rrecex 11200 ax-cnre 11201 ax-pre-lttri 11202 ax-pre-lttrn 11203 ax-pre-ltadd 11204 ax-pre-mulgt0 11205 ax-pre-sup 11206 ax-addf 11207 ax-mulf 11208

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2566 df-eu 2596 df-clab 2741 df-cleq 2754 df-clel 2837 df-nfc 2911 df-ne 2958 df-nel 3064 df-ral 3079 df-rex 3089 df-rmo 3367 df-reu 3368 df-rab 3415 df-v 3455 df-sbc 3743 df-csb 3851 df-dif 3905 df-un 3907 df-in 3909 df-ss 3919 df-pss 3922 df-nul 4283 df-if 4486 df-pw 4562 df-sn 4588 df-pr 4590 df-tp 4592 df-op 4594 df-uni 4871 df-iun 4956 df-br 5108 df-opab 5172 df-mpt 5191 df-tr 5217 df-id 5554 df-eprel 5559 df-po 5567 df-so 5568 df-fr 5612 df-we 5614 df-xp 5665 df-rel 5666 df-cnv 5667 df-co 5668 df-dm 5669 df-rn 5670 df-res 5671 df-ima 5672 df-pred 6303 df-ord 6364 df-on 6365 df-lim 6366 df-suc 6367 df-iota 6493 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-riota 7374 df-ov 7420 df-oprab 7421 df-mpo 7422 df-of 7682 df-om 7867 df-1st 7990 df-2nd 7991 df-supp 8163 df-tpos 8228 df-frecs 8284 df-wrecs 8315 df-recs 8364 df-rdg 8403 df-1o 8459 df-2o 8460 df-er 8700 df-map 8832 df-ixp 8909 df-en 8957 df-dom 8958 df-sdom 8959 df-fin 8960 df-fsupp 9336 df-sup 9416 df-pnf 11273 df-mnf 11274 df-xr 11275 df-ltxr 11276 df-le 11277 df-sub 11471 df-neg 11472 df-div 11900 df-nn 12262 df-2 12331 df-3 12332 df-4 12333 df-5 12334 df-6 12335 df-7 12336 df-8 12337 df-9 12338 df-n0 12533 df-z 12620 df-dec 12741 df-uz 12892 df-rp 13047 df-fz 13566 df-seq 14070 df-exp 14130 df-cj 15190 df-re 15191 df-im 15192 df-sqrt 15326 df-abs 15327 df-struct 17245 df-sets 17262 df-slot 17280 df-ndx 17292 df-base 17308 df-ress 17329 df-plusg 17361 df-mulr 17362 df-starv 17363 df-sca 17364 df-vsca 17365 df-ip 17366 df-tset 17367 df-ple 17368 df-ds 17370 df-unif 17371 df-hom 17372 df-cco 17373 df-0g 17532 df-prds 17538 df-pws 17540 df-mgm 18736 df-sgrp 18827 df-mnd 18843 df-mhm 18897 df-grp 19066 df-minusg 19067 df-sbg 19068 df-subg 19252 df-ghm 19347 df-cmn 19915 df-abl 19916 df-mgp 20280 df-rng 20294 df-ur 20327 df-ring 20380 df-cring 20381 df-oppr 20484 df-dvdsr 20504 df-unit 20505 df-invr 20535 df-dvr 20548 df-rhm 20619 df-subrng 20714 df-subrg 20738 df-drng 20898 df-field 20899 df-staf 21011 df-srng 21012 df-lmod 21052 df-lss 21122 df-sra 21363 df-rgmod 21364 df-cnfld 21592 df-refld 21824 df-dsmm 21951 df-frlm 21966 df-tng 24816 df-tcph 25403 df-rrx 25619 df-line 49667

This theorem is used by: rrx2linest2 49682 line2x 49692 itsclinecirc0b 49712

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