Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrx2linest Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrx2linest 47703
Description: The line passing through the two different points ๐‘‹ and ๐‘Œ in a real Euclidean space of dimension 2 in "standard form". (Contributed by AV, 2-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rrx2line.i ๐ผ = {1, 2}
rrx2line.e ๐ธ = (โ„^โ€˜๐ผ)
rrx2line.b ๐‘ƒ = (โ„ โ†‘m ๐ผ)
rrx2line.l ๐ฟ = (LineMโ€˜๐ธ)
rrx2linest.a ๐ด = ((๐‘Œโ€˜1) โˆ’ (๐‘‹โ€˜1))
rrx2linest.b ๐ต = ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2))
rrx2linest.c ๐ถ = (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘‹โ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2)))
Assertion
Ref Expression
rrx2linest ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (๐‘‹๐ฟ๐‘Œ) = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐ด ยท (๐‘โ€˜2)) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ)})
Distinct variable groups:   ๐ธ,๐‘   ๐ผ,๐‘   ๐‘ƒ,๐‘   ๐‘‹,๐‘   ๐‘Œ,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘)   ๐ต(๐‘)   ๐ถ(๐‘)   ๐ฟ(๐‘)

Proof of Theorem rrx2linest
Dummy variables ๐‘– ๐‘ก are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . . 4 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ)
2 simpl2 1189 . . . 4 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ)
3 simpr 484 . . . 4 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1))
4 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1))
54anim1i 614 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โˆง (๐‘‹โ€˜2) = (๐‘Œโ€˜2)) โ†’ ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) = (๐‘Œโ€˜2)))
6 rrx2line.i . . . . . . . . . . . . . 14 ๐ผ = {1, 2}
76raleqi 3317 . . . . . . . . . . . . 13 (โˆ€๐‘– โˆˆ ๐ผ (๐‘‹โ€˜๐‘–) = (๐‘Œโ€˜๐‘–) โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ {1, 2} (๐‘‹โ€˜๐‘–) = (๐‘Œโ€˜๐‘–))
8 1ex 11214 . . . . . . . . . . . . . 14 1 โˆˆ V
9 2ex 12293 . . . . . . . . . . . . . 14 2 โˆˆ V
10 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘– = 1 โ†’ (๐‘‹โ€˜๐‘–) = (๐‘‹โ€˜1))
11 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘– = 1 โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘–) = (๐‘Œโ€˜1))
1210, 11eqeq12d 2742 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘– = 1 โ†’ ((๐‘‹โ€˜๐‘–) = (๐‘Œโ€˜๐‘–) โ†” (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)))
13 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘– = 2 โ†’ (๐‘‹โ€˜๐‘–) = (๐‘‹โ€˜2))
14 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘– = 2 โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘–) = (๐‘Œโ€˜2))
1513, 14eqeq12d 2742 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘– = 2 โ†’ ((๐‘‹โ€˜๐‘–) = (๐‘Œโ€˜๐‘–) โ†” (๐‘‹โ€˜2) = (๐‘Œโ€˜2)))
168, 9, 12, 15ralpr 4699 . . . . . . . . . . . . 13 (โˆ€๐‘– โˆˆ {1, 2} (๐‘‹โ€˜๐‘–) = (๐‘Œโ€˜๐‘–) โ†” ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) = (๐‘Œโ€˜2)))
177, 16bitri 275 . . . . . . . . . . . 12 (โˆ€๐‘– โˆˆ ๐ผ (๐‘‹โ€˜๐‘–) = (๐‘Œโ€˜๐‘–) โ†” ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) = (๐‘Œโ€˜2)))
185, 17sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โˆง (๐‘‹โ€˜2) = (๐‘Œโ€˜2)) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ ๐ผ (๐‘‹โ€˜๐‘–) = (๐‘Œโ€˜๐‘–))
19 elmapfn 8861 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘‹ โˆˆ (โ„ โ†‘m ๐ผ) โ†’ ๐‘‹ Fn ๐ผ)
20 rrx2line.b . . . . . . . . . . . . . . 15 ๐‘ƒ = (โ„ โ†‘m ๐ผ)
2119, 20eleq2s 2845 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ ๐‘‹ Fn ๐ผ)
22 elmapfn 8861 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘Œ โˆˆ (โ„ โ†‘m ๐ผ) โ†’ ๐‘Œ Fn ๐ผ)
2322, 20eleq2s 2845 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ ๐‘Œ Fn ๐ผ)
2421, 23anim12i 612 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘‹ Fn ๐ผ โˆง ๐‘Œ Fn ๐ผ))
2524ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โˆง (๐‘‹โ€˜2) = (๐‘Œโ€˜2)) โ†’ (๐‘‹ Fn ๐ผ โˆง ๐‘Œ Fn ๐ผ))
26 eqfnfv 7026 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‹ Fn ๐ผ โˆง ๐‘Œ Fn ๐ผ) โ†’ (๐‘‹ = ๐‘Œ โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ ๐ผ (๐‘‹โ€˜๐‘–) = (๐‘Œโ€˜๐‘–)))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โˆง (๐‘‹โ€˜2) = (๐‘Œโ€˜2)) โ†’ (๐‘‹ = ๐‘Œ โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ ๐ผ (๐‘‹โ€˜๐‘–) = (๐‘Œโ€˜๐‘–)))
2818, 27mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โˆง (๐‘‹โ€˜2) = (๐‘Œโ€˜2)) โ†’ ๐‘‹ = ๐‘Œ)
2928ex 412 . . . . . . . . 9 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ ((๐‘‹โ€˜2) = (๐‘Œโ€˜2) โ†’ ๐‘‹ = ๐‘Œ))
3029necon3d 2955 . . . . . . . 8 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ โ†’ (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2)))
3130ex 412 . . . . . . 7 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โ†’ (๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ โ†’ (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))))
3231com23 86 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ โ†’ ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โ†’ (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))))
33323impia 1114 . . . . 5 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โ†’ (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2)))
3433imp 406 . . . 4 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))
35 rrx2line.e . . . . 5 ๐ธ = (โ„^โ€˜๐ผ)
36 rrx2line.l . . . . 5 ๐ฟ = (LineMโ€˜๐ธ)
376, 35, 20, 36rrx2vlinest 47702 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2))) โ†’ (๐‘‹๐ฟ๐‘Œ) = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐‘โ€˜1) = (๐‘‹โ€˜1)})
381, 2, 3, 34, 37syl112anc 1371 . . 3 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐‘‹๐ฟ๐‘Œ) = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐‘โ€˜1) = (๐‘‹โ€˜1)})
39 ancom 460 . . . 4 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†” ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)))
40 simplr 766 . . . . . . 7 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ))
41 simpr 484 . . . . . . 7 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ)
42 simpll 764 . . . . . . 7 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1))
43 rrx2linest.a . . . . . . . . . . 11 ๐ด = ((๐‘Œโ€˜1) โˆ’ (๐‘‹โ€˜1))
4443oveq1i 7415 . . . . . . . . . 10 (๐ด ยท (๐‘โ€˜2)) = (((๐‘Œโ€˜1) โˆ’ (๐‘‹โ€˜1)) ยท (๐‘โ€˜2))
4544a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐ด ยท (๐‘โ€˜2)) = (((๐‘Œโ€˜1) โˆ’ (๐‘‹โ€˜1)) ยท (๐‘โ€˜2)))
46 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โ†’ ((๐‘Œโ€˜1) โˆ’ (๐‘‹โ€˜1)) = ((๐‘Œโ€˜1) โˆ’ (๐‘Œโ€˜1)))
4746adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ ((๐‘Œโ€˜1) โˆ’ (๐‘‹โ€˜1)) = ((๐‘Œโ€˜1) โˆ’ (๐‘Œโ€˜1)))
486, 20rrx2pxel 47672 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘Œโ€˜1) โˆˆ โ„)
4948recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘Œโ€˜1) โˆˆ โ„‚)
50493ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (๐‘Œโ€˜1) โˆˆ โ„‚)
5150ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐‘Œโ€˜1) โˆˆ โ„‚)
5251subidd 11563 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ ((๐‘Œโ€˜1) โˆ’ (๐‘Œโ€˜1)) = 0)
5347, 52eqtrd 2766 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ ((๐‘Œโ€˜1) โˆ’ (๐‘‹โ€˜1)) = 0)
5453oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (((๐‘Œโ€˜1) โˆ’ (๐‘‹โ€˜1)) ยท (๐‘โ€˜2)) = (0 ยท (๐‘โ€˜2)))
556, 20rrx2pyel 47673 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘โ€˜2) โˆˆ โ„)
5655recnd 11246 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘โ€˜2) โˆˆ โ„‚)
5756ad2antlr 724 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐‘โ€˜2) โˆˆ โ„‚)
5857mul02d 11416 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (0 ยท (๐‘โ€˜2)) = 0)
5945, 54, 583eqtrd 2770 . . . . . . . 8 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐ด ยท (๐‘โ€˜2)) = 0)
60 rrx2linest.b . . . . . . . . . . 11 ๐ต = ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2))
6160oveq1i 7415 . . . . . . . . . 10 (๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) = (((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1))
6261a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) = (((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)))
63 rrx2linest.c . . . . . . . . . . 11 ๐ถ = (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘‹โ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2)))
64 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โ†’ ((๐‘‹โ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2)) = ((๐‘Œโ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2)))
6564oveq2d 7421 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โ†’ (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘‹โ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2))) = (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘Œโ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2))))
6663, 65eqtrid 2778 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โ†’ ๐ถ = (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘Œโ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2))))
6766adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ ๐ถ = (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘Œโ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2))))
6862, 67oveq12d 7423 . . . . . . . 8 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ ((๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ) = ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘Œโ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2)))))
6959, 68eqeq12d 2742 . . . . . . 7 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ ((๐ด ยท (๐‘โ€˜2)) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ) โ†” 0 = ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘Œโ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2))))))
7040, 41, 42, 69syl21anc 835 . . . . . 6 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐ด ยท (๐‘โ€˜2)) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ) โ†” 0 = ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘Œโ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2))))))
716, 20rrx2pyel 47673 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘Œโ€˜2) โˆˆ โ„)
7271recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘Œโ€˜2) โˆˆ โ„‚)
73723ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (๐‘Œโ€˜2) โˆˆ โ„‚)
7450, 73mulcomd 11239 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ ((๐‘Œโ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2)) = ((๐‘Œโ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)))
7574oveq2d 7421 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘Œโ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2))) = (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘Œโ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1))))
766, 20rrx2pyel 47673 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘‹โ€˜2) โˆˆ โ„)
7776recnd 11246 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘‹โ€˜2) โˆˆ โ„‚)
78773ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (๐‘‹โ€˜2) โˆˆ โ„‚)
7978, 73, 50subdird 11675 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1)) = (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘Œโ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1))))
8075, 79eqtr4d 2769 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘Œโ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2))) = (((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1)))
8180ad2antlr 724 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘Œโ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2))) = (((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1)))
8281oveq2d 7421 . . . . . . . 8 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘Œโ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2)))) = ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + (((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1))))
8382eqeq2d 2737 . . . . . . 7 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (0 = ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘Œโ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2)))) โ†” 0 = ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + (((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1)))))
84 eqcom 2733 . . . . . . . . 9 (0 = ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + (((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1))) โ†” ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + (((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1))) = 0)
8584a1i 11 . . . . . . . 8 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (0 = ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + (((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1))) โ†” ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + (((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1))) = 0))
8673ad2antlr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘Œโ€˜2) โˆˆ โ„‚)
8778ad2antlr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘‹โ€˜2) โˆˆ โ„‚)
8886, 87subcld 11575 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) โˆˆ โ„‚)
896, 20rrx2pxel 47672 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘โ€˜1) โˆˆ โ„)
9089recnd 11246 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘โ€˜1) โˆˆ โ„‚)
9190adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘โ€˜1) โˆˆ โ„‚)
9288, 91mulcld 11238 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) โˆˆ โ„‚)
9387, 86subcld 11575 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) โˆˆ โ„‚)
9450ad2antlr 724 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘Œโ€˜1) โˆˆ โ„‚)
9593, 94mulcld 11238 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆˆ โ„‚)
96 addeq0 11641 . . . . . . . . 9 (((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) โˆˆ โ„‚ โˆง (((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + (((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1))) = 0 โ†” (((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) = -(((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1))))
9792, 95, 96syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + (((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1))) = 0 โ†” (((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) = -(((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1))))
9893, 94mulneg1d 11671 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (-((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1)) = -(((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1)))
9987, 86negsubdi2d 11591 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ -((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) = ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)))
10099oveq1d 7420 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (-((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1)) = (((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1)))
10198, 100eqtr3d 2768 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ -(((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1)) = (((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1)))
102101eqeq2d 2737 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) = -(((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โ†” (((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) = (((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1))))
103 necom 2988 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‹โ€˜2) โ‰  (๐‘Œโ€˜2) โ†” (๐‘Œโ€˜2) โ‰  (๐‘‹โ€˜2))
10434, 39, 1033imtr3i 291 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โ†’ (๐‘Œโ€˜2) โ‰  (๐‘‹โ€˜2))
105104adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘Œโ€˜2) โ‰  (๐‘‹โ€˜2))
10686, 87, 105subne0d 11584 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) โ‰  0)
10791, 94, 88, 106mulcand 11851 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) = (((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โ†” (๐‘โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)))
108102, 107bitrd 279 . . . . . . . 8 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) = -(((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โ†” (๐‘โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)))
10985, 97, 1083bitrd 305 . . . . . . 7 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (0 = ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + (((๐‘‹โ€˜2) โˆ’ (๐‘Œโ€˜2)) ยท (๐‘Œโ€˜1))) โ†” (๐‘โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)))
11083, 109bitrd 279 . . . . . 6 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (0 = ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘Œโ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2)))) โ†” (๐‘โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)))
111 simpl 482 . . . . . . . . 9 (((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โ†’ (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1))
112111eqcomd 2732 . . . . . . . 8 (((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โ†’ (๐‘Œโ€˜1) = (๐‘‹โ€˜1))
113112adantr 480 . . . . . . 7 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘Œโ€˜1) = (๐‘‹โ€˜1))
114113eqeq2d 2737 . . . . . 6 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โ†” (๐‘โ€˜1) = (๐‘‹โ€˜1)))
11570, 110, 1143bitrrd 306 . . . . 5 ((((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘โ€˜1) = (๐‘‹โ€˜1) โ†” (๐ด ยท (๐‘โ€˜2)) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ)))
116115rabbidva 3433 . . . 4 (((๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โ†’ {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐‘โ€˜1) = (๐‘‹โ€˜1)} = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐ด ยท (๐‘โ€˜2)) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ)})
11739, 116sylbi 216 . . 3 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐‘โ€˜1) = (๐‘‹โ€˜1)} = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐ด ยท (๐‘โ€˜2)) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ)})
11838, 117eqtrd 2766 . 2 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐‘‹๐ฟ๐‘Œ) = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐ด ยท (๐‘โ€˜2)) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ)})
1196, 35, 20, 36rrx2line 47701 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (๐‘‹๐ฟ๐‘Œ) = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ((๐‘โ€˜1) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜1)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜1))) โˆง (๐‘โ€˜2) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜2))))})
120119adantr 480 . . 3 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ยฌ (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐‘‹๐ฟ๐‘Œ) = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ((๐‘โ€˜1) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜1)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜1))) โˆง (๐‘โ€˜2) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜2))))})
121 df-ne 2935 . . . . . . . 8 ((๐‘‹โ€˜1) โ‰  (๐‘Œโ€˜1) โ†” ยฌ (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1))
12289ad2antlr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) โ‰  (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐‘โ€˜1) โˆˆ โ„)
1236, 20rrx2pxel 47672 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘‹โ€˜1) โˆˆ โ„)
1241233ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (๐‘‹โ€˜1) โˆˆ โ„)
125124ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) โ‰  (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐‘‹โ€˜1) โˆˆ โ„)
126483ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (๐‘Œโ€˜1) โˆˆ โ„)
127126ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) โ‰  (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐‘Œโ€˜1) โˆˆ โ„)
128 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) โ‰  (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐‘‹โ€˜1) โ‰  (๐‘Œโ€˜1))
12955ad2antlr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) โ‰  (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐‘โ€˜2) โˆˆ โ„)
130763ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (๐‘‹โ€˜2) โˆˆ โ„)
131130ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) โ‰  (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐‘‹โ€˜2) โˆˆ โ„)
132713ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (๐‘Œโ€˜2) โˆˆ โ„)
133132ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) โ‰  (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐‘Œโ€˜2) โˆˆ โ„)
134122, 125, 127, 128, 129, 131, 133affinecomb2 47664 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) โ‰  (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ((๐‘โ€˜1) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜1)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜1))) โˆง (๐‘โ€˜2) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜2)))) โ†” (((๐‘Œโ€˜1) โˆ’ (๐‘‹โ€˜1)) ยท (๐‘โ€˜2)) = ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘‹โ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2))))))
13543eqcomi 2735 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Œโ€˜1) โˆ’ (๐‘‹โ€˜1)) = ๐ด
136135oveq1i 7415 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘Œโ€˜1) โˆ’ (๐‘‹โ€˜1)) ยท (๐‘โ€˜2)) = (๐ด ยท (๐‘โ€˜2))
13760eqcomi 2735 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) = ๐ต
138137oveq1i 7415 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) = (๐ต ยท (๐‘โ€˜1))
13963eqcomi 2735 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘‹โ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2))) = ๐ถ
140138, 139oveq12i 7417 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘‹โ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2)))) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ)
141136, 140eqeq12i 2744 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘Œโ€˜1) โˆ’ (๐‘‹โ€˜1)) ยท (๐‘โ€˜2)) = ((((๐‘Œโ€˜2) โˆ’ (๐‘‹โ€˜2)) ยท (๐‘โ€˜1)) + (((๐‘‹โ€˜2) ยท (๐‘Œโ€˜1)) โˆ’ ((๐‘‹โ€˜1) ยท (๐‘Œโ€˜2)))) โ†” (๐ด ยท (๐‘โ€˜2)) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ))
142134, 141bitrdi 287 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง (๐‘‹โ€˜1) โ‰  (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ((๐‘โ€˜1) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜1)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜1))) โˆง (๐‘โ€˜2) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜2)))) โ†” (๐ด ยท (๐‘โ€˜2)) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ)))
143142expcom 413 . . . . . . . 8 ((๐‘‹โ€˜1) โ‰  (๐‘Œโ€˜1) โ†’ (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ((๐‘โ€˜1) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜1)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜1))) โˆง (๐‘โ€˜2) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜2)))) โ†” (๐ด ยท (๐‘โ€˜2)) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ))))
144121, 143sylbir 234 . . . . . . 7 (ยฌ (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โ†’ (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ((๐‘โ€˜1) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜1)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜1))) โˆง (๐‘โ€˜2) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜2)))) โ†” (๐ด ยท (๐‘โ€˜2)) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ))))
145144expd 415 . . . . . 6 (ยฌ (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1) โ†’ ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ((๐‘โ€˜1) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜1)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜1))) โˆง (๐‘โ€˜2) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜2)))) โ†” (๐ด ยท (๐‘โ€˜2)) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ)))))
146145impcom 407 . . . . 5 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ยฌ (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ((๐‘โ€˜1) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜1)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜1))) โˆง (๐‘โ€˜2) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜2)))) โ†” (๐ด ยท (๐‘โ€˜2)) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ))))
147146imp 406 . . . 4 ((((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ยฌ (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ((๐‘โ€˜1) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜1)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜1))) โˆง (๐‘โ€˜2) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜2)))) โ†” (๐ด ยท (๐‘โ€˜2)) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ)))
148147rabbidva 3433 . . 3 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ยฌ (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ((๐‘โ€˜1) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜1)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜1))) โˆง (๐‘โ€˜2) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘‹โ€˜2)) + (๐‘ก ยท (๐‘Œโ€˜2))))} = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐ด ยท (๐‘โ€˜2)) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ)})
149120, 148eqtrd 2766 . 2 (((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โˆง ยฌ (๐‘‹โ€˜1) = (๐‘Œโ€˜1)) โ†’ (๐‘‹๐ฟ๐‘Œ) = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐ด ยท (๐‘โ€˜2)) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ)})
150118, 149pm2.61dan 810 1 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (๐‘‹๐ฟ๐‘Œ) = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐ด ยท (๐‘โ€˜2)) = ((๐ต ยท (๐‘โ€˜1)) + ๐ถ)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  โˆ€wral 3055  โˆƒwrex 3064  {crab 3426  {cpr 4625   Fn wfn 6532  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   โ†‘m cmap 8822  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11448  -cneg 11449  2c2 12271  โ„^crrx 25266  LineMcline 47688
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-dvr 20303  df-rhm 20374  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-drng 20589  df-field 20590  df-staf 20688  df-srng 20689  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-cnfld 21241  df-refld 21498  df-dsmm 21627  df-frlm 21642  df-tng 24448  df-tcph 25052  df-rrx 25268  df-line 47690
This theorem is referenced by:  rrx2linest2  47705  line2x  47715  itsclinecirc0b  47735
  Copyright terms: Public domain W3C validator