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Theorem rrx2linest 47516
Description: The line passing through the two different points 𝑋 and 𝑌 in a real Euclidean space of dimension 2 in "standard form". (Contributed by AV, 2-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rrx2line.i 𝐼 = {1, 2}
rrx2line.e 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
rrx2line.b 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrx2line.l 𝐿 = (LineM𝐸)
rrx2linest.a 𝐴 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
rrx2linest.b 𝐵 = ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))
rrx2linest.c 𝐶 = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))
Assertion
Ref Expression
rrx2linest ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)})
Distinct variable groups:   𝐸,𝑝   𝐼,𝑝   𝑃,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑝)   𝐵(𝑝)   𝐶(𝑝)   𝐿(𝑝)

Proof of Theorem rrx2linest
Dummy variables 𝑖 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1190 . . . 4 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → 𝑋𝑃)
2 simpl2 1191 . . . 4 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → 𝑌𝑃)
3 simpr 484 . . . 4 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋‘1) = (𝑌‘1))
4 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋‘1) = (𝑌‘1))
54anim1i 614 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)) → ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
6 rrx2line.i . . . . . . . . . . . . . 14 𝐼 = {1, 2}
76raleqi 3322 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑖𝐼 (𝑋𝑖) = (𝑌𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ {1, 2} (𝑋𝑖) = (𝑌𝑖))
8 1ex 11215 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ V
9 2ex 12294 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ V
10 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 1 → (𝑋𝑖) = (𝑋‘1))
11 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 1 → (𝑌𝑖) = (𝑌‘1))
1210, 11eqeq12d 2747 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 1 → ((𝑋𝑖) = (𝑌𝑖) ↔ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)))
13 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 2 → (𝑋𝑖) = (𝑋‘2))
14 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 2 → (𝑌𝑖) = (𝑌‘2))
1513, 14eqeq12d 2747 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 2 → ((𝑋𝑖) = (𝑌𝑖) ↔ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
168, 9, 12, 15ralpr 4704 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑖 ∈ {1, 2} (𝑋𝑖) = (𝑌𝑖) ↔ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
177, 16bitri 275 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑖𝐼 (𝑋𝑖) = (𝑌𝑖) ↔ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
185, 17sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)) → ∀𝑖𝐼 (𝑋𝑖) = (𝑌𝑖))
19 elmapfn 8863 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑋 Fn 𝐼)
20 rrx2line.b . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
2119, 20eleq2s 2850 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋𝑃𝑋 Fn 𝐼)
22 elmapfn 8863 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑌 Fn 𝐼)
2322, 20eleq2s 2850 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑌𝑃𝑌 Fn 𝐼)
2421, 23anim12i 612 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋 Fn 𝐼𝑌 Fn 𝐼))
2524ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)) → (𝑋 Fn 𝐼𝑌 Fn 𝐼))
26 eqfnfv 7032 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 Fn 𝐼𝑌 Fn 𝐼) → (𝑋 = 𝑌 ↔ ∀𝑖𝐼 (𝑋𝑖) = (𝑌𝑖)))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)) → (𝑋 = 𝑌 ↔ ∀𝑖𝐼 (𝑋𝑖) = (𝑌𝑖)))
2818, 27mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) ∧ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)) → 𝑋 = 𝑌)
2928ex 412 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → ((𝑋‘2) = (𝑌‘2) → 𝑋 = 𝑌))
3029necon3d 2960 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋𝑌 → (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)))
3130ex 412 . . . . . . 7 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) → (𝑋𝑌 → (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))))
3231com23 86 . . . . . 6 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋𝑌 → ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) → (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))))
33323impia 1116 . . . . 5 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) → (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)))
3433imp 406 . . . 4 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))
35 rrx2line.e . . . . 5 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
36 rrx2line.l . . . . 5 𝐿 = (LineM𝐸)
376, 35, 20, 36rrx2vlinest 47515 . . . 4 ((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)})
381, 2, 3, 34, 37syl112anc 1373 . . 3 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)})
39 ancom 460 . . . 4 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) ↔ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)))
40 simplr 766 . . . . . . 7 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌))
41 simpr 484 . . . . . . 7 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → 𝑝𝑃)
42 simpll 764 . . . . . . 7 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑋‘1) = (𝑌‘1))
43 rrx2linest.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
4443oveq1i 7422 . . . . . . . . . 10 (𝐴 · (𝑝‘2)) = (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2))
4544a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝐴 · (𝑝‘2)) = (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)))
46 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = ((𝑌‘1) − (𝑌‘1)))
4746adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = ((𝑌‘1) − (𝑌‘1)))
486, 20rrx2pxel 47485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑌𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
4948recnd 11247 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑌𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℂ)
50493ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑌‘1) ∈ ℂ)
5150ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑌‘1) ∈ ℂ)
5251subidd 11564 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → ((𝑌‘1) − (𝑌‘1)) = 0)
5347, 52eqtrd 2771 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = 0)
5453oveq1d 7427 . . . . . . . . 9 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = (0 · (𝑝‘2)))
556, 20rrx2pyel 47486 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
5655recnd 11247 . . . . . . . . . . 11 (𝑝𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℂ)
5756ad2antlr 724 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑝‘2) ∈ ℂ)
5857mul02d 11417 . . . . . . . . 9 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (0 · (𝑝‘2)) = 0)
5945, 54, 583eqtrd 2775 . . . . . . . 8 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝐴 · (𝑝‘2)) = 0)
60 rrx2linest.b . . . . . . . . . . 11 𝐵 = ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))
6160oveq1i 7422 . . . . . . . . . 10 (𝐵 · (𝑝‘1)) = (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1))
6261a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝐵 · (𝑝‘1)) = (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)))
63 rrx2linest.c . . . . . . . . . . 11 𝐶 = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))
64 oveq1 7419 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) → ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)) = ((𝑌‘1) · (𝑌‘2)))
6564oveq2d 7428 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) → (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2))))
6663, 65eqtrid 2783 . . . . . . . . . 10 ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) → 𝐶 = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2))))
6766adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → 𝐶 = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2))))
6862, 67oveq12d 7430 . . . . . . . 8 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2)))))
6959, 68eqeq12d 2747 . . . . . . 7 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → ((𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶) ↔ 0 = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2))))))
7040, 41, 42, 69syl21anc 835 . . . . . 6 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶) ↔ 0 = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2))))))
716, 20rrx2pyel 47486 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑌𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
7271recnd 11247 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑌𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
73723ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
7450, 73mulcomd 11240 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → ((𝑌‘1) · (𝑌‘2)) = ((𝑌‘2) · (𝑌‘1)))
7574oveq2d 7428 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘2) · (𝑌‘1))))
766, 20rrx2pyel 47486 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
7776recnd 11247 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
78773ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
7978, 73, 50subdird 11676 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘2) · (𝑌‘1))))
8075, 79eqtr4d 2774 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2))) = (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)))
8180ad2antlr 724 . . . . . . . . 9 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2))) = (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)))
8281oveq2d 7428 . . . . . . . 8 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2)))) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1))))
8382eqeq2d 2742 . . . . . . 7 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → (0 = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2)))) ↔ 0 = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)))))
84 eqcom 2738 . . . . . . . . 9 (0 = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1))) ↔ ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1))) = 0)
8584a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → (0 = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1))) ↔ ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1))) = 0))
8673ad2antlr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
8778ad2antlr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
8886, 87subcld 11576 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℂ)
896, 20rrx2pxel 47485 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
9089recnd 11247 . . . . . . . . . . 11 (𝑝𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℂ)
9190adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝‘1) ∈ ℂ)
9288, 91mulcld 11239 . . . . . . . . 9 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) ∈ ℂ)
9387, 86subcld 11576 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ∈ ℂ)
9450ad2antlr 724 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑌‘1) ∈ ℂ)
9593, 94mulcld 11239 . . . . . . . . 9 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)) ∈ ℂ)
96 addeq0 11642 . . . . . . . . 9 (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) ∈ ℂ ∧ (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)) ∈ ℂ) → (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1))) = 0 ↔ (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) = -(((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1))))
9792, 95, 96syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1))) = 0 ↔ (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) = -(((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1))))
9893, 94mulneg1d 11672 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → (-((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)) = -(((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)))
9987, 86negsubdi2d 11592 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → -((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) = ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))
10099oveq1d 7427 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → (-((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)) = (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑌‘1)))
10198, 100eqtr3d 2773 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → -(((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)) = (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑌‘1)))
102101eqeq2d 2742 . . . . . . . . 9 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) = -(((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)) ↔ (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) = (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑌‘1))))
103 necom 2993 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2) ↔ (𝑌‘2) ≠ (𝑋‘2))
10434, 39, 1033imtr3i 291 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) → (𝑌‘2) ≠ (𝑋‘2))
105104adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑌‘2) ≠ (𝑋‘2))
10686, 87, 105subne0d 11585 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ≠ 0)
10791, 94, 88, 106mulcand 11852 . . . . . . . . 9 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) = (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑌‘1)) ↔ (𝑝‘1) = (𝑌‘1)))
108102, 107bitrd 279 . . . . . . . 8 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) = -(((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1)) ↔ (𝑝‘1) = (𝑌‘1)))
10985, 97, 1083bitrd 305 . . . . . . 7 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → (0 = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) · (𝑌‘1))) ↔ (𝑝‘1) = (𝑌‘1)))
11083, 109bitrd 279 . . . . . 6 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → (0 = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑌‘1) · (𝑌‘2)))) ↔ (𝑝‘1) = (𝑌‘1)))
111 simpl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) → (𝑋‘1) = (𝑌‘1))
112111eqcomd 2737 . . . . . . . 8 (((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) → (𝑌‘1) = (𝑋‘1))
113112adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑌‘1) = (𝑋‘1))
114113eqeq2d 2742 . . . . . 6 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑝‘1) = (𝑌‘1) ↔ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)))
11570, 110, 1143bitrrd 306 . . . . 5 ((((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑝‘1) = (𝑋‘1) ↔ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)))
116115rabbidva 3438 . . . 4 (((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌)) → {𝑝𝑃 ∣ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)} = {𝑝𝑃 ∣ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)})
11739, 116sylbi 216 . . 3 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → {𝑝𝑃 ∣ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)} = {𝑝𝑃 ∣ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)})
11838, 117eqtrd 2771 . 2 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)})
1196, 35, 20, 36rrx2line 47514 . . . 4 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))})
120119adantr 480 . . 3 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ ¬ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))})
121 df-ne 2940 . . . . . . . 8 ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) ↔ ¬ (𝑋‘1) = (𝑌‘1))
12289ad2antlr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
1236, 20rrx2pxel 47485 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
1241233ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
125124ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
126483ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
127126ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
128 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))
12955ad2antlr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
130763ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
131130ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
132713ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
133132ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
134122, 125, 127, 128, 129, 131, 133affinecomb2 47477 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))))
13543eqcomi 2740 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = 𝐴
136135oveq1i 7422 . . . . . . . . . . 11 (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = (𝐴 · (𝑝‘2))
13760eqcomi 2740 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = 𝐵
138137oveq1i 7422 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) = (𝐵 · (𝑝‘1))
13963eqcomi 2740 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) = 𝐶
140138, 139oveq12i 7424 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)
141136, 140eqeq12i 2749 . . . . . . . . . 10 ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))) ↔ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶))
142134, 141bitrdi 287 . . . . . . . . 9 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)))
143142expcom 413 . . . . . . . 8 ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) → (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶))))
144121, 143sylbir 234 . . . . . . 7 (¬ (𝑋‘1) = (𝑌‘1) → (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝑃) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶))))
145144expd 415 . . . . . 6 (¬ (𝑋‘1) = (𝑌‘1) → ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑝𝑃 → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)))))
146145impcom 407 . . . . 5 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ ¬ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑝𝑃 → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶))))
147146imp 406 . . . 4 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ ¬ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) ∧ 𝑝𝑃) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2)))) ↔ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)))
148147rabbidva 3438 . . 3 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ ¬ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → {𝑝𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ((𝑝‘1) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘1)) + (𝑡 · (𝑌‘1))) ∧ (𝑝‘2) = (((1 − 𝑡) · (𝑋‘2)) + (𝑡 · (𝑌‘2))))} = {𝑝𝑃 ∣ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)})
149120, 148eqtrd 2771 . 2 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ ¬ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)})
150118, 149pm2.61dan 810 1 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ (𝐴 · (𝑝‘2)) = ((𝐵 · (𝑝‘1)) + 𝐶)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  {crab 3431  {cpr 4630   Fn wfn 6538  cfv 6543  (class class class)co 7412  m cmap 8824  cc 11112  cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   · cmul 11119  cmin 11449  -cneg 11450  2c2 12272  ℝ^crrx 25132  LineMcline 47501
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193  ax-mulf 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-tpos 8215  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-sup 9441  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-seq 13972  df-exp 14033  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-0g 17392  df-prds 17398  df-pws 17400  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18706  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-dvr 20293  df-rhm 20364  df-subrng 20435  df-subrg 20460  df-drng 20503  df-field 20504  df-staf 20597  df-srng 20598  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-sra 20931  df-rgmod 20932  df-cnfld 21146  df-refld 21378  df-dsmm 21507  df-frlm 21522  df-tng 24314  df-tcph 24918  df-rrx 25134  df-line 47503
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