inlinecirc02plem - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem inlinecirc02plem 48520

Description: Lemma for inlinecirc02p 48521. (Contributed by AV, 7-May-2023.) (Revised by AV, 15-May-2023.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
inlinecirc02p.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
inlinecirc02p.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
inlinecirc02p.p	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑_m 𝐼)
inlinecirc02p.s	⊢ 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
inlinecirc02p.0	⊢ 0 = (𝐼 × {0})
inlinecirc02p.l	⊢ 𝐿 = (Line_M‘𝐸)
inlinecirc02plem.q	⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
inlinecirc02plem.d	⊢ 𝐷 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
inlinecirc02plem.a	⊢ 𝐴 = ((𝑋‘2) − (𝑌‘2))
inlinecirc02plem.b	⊢ 𝐵 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
inlinecirc02plem.c	⊢ 𝐶 = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))

**Assertion**
Ref	Expression
inlinecirc02plem	⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))

Distinct variable groups: 𝐿,𝑎,𝑏 𝑃,𝑎,𝑏 𝑅,𝑎,𝑏 𝑆,𝑎,𝑏 𝑋,𝑎,𝑏 𝑌,𝑎,𝑏 0 ,𝑎,𝑏 𝐴,𝑎,𝑏 𝐵,𝑎,𝑏 𝐶,𝑎,𝑏 𝐷,𝑎,𝑏 𝑄,𝑎,𝑏 Allowed substitution hints: 𝐸(𝑎,𝑏) 𝐼(𝑎,𝑏)

**Proof of Theorem inlinecirc02plem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 772	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → 0 < 𝐷)
2	1	gt0ne0d 11854	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → 𝐷 ≠ 0)
3		inlinecirc02plem.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 = ((𝑋‘2) − (𝑌‘2))
4		inlinecirc02p.i	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
5		inlinecirc02p.p	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑_m 𝐼)
6	4, 5	rrx2pyel 48446	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
7	6	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
8	4, 5	rrx2pyel 48446	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
9	8	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
10	7, 9	resubcld 11718	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ∈ ℝ)
11	3, 10	eqeltrid 2848	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → 𝐴 ∈ ℝ)
12	11	3adant3 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝐴 ∈ ℝ)
13	12	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ)
14		inlinecirc02plem.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
15	4, 5	rrx2pxel 48445	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
16	15	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
17	4, 5	rrx2pxel 48445	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
18	17	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
19	16, 18	resubcld 11718	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ∈ ℝ)
20	14, 19	eqeltrid 2848	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → 𝐵 ∈ ℝ)
21	20	3adant3 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝐵 ∈ ℝ)
22	21	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → 𝐵 ∈ ℝ)
23		inlinecirc02plem.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))
24	7, 16	remulcld 11320	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) ∈ ℝ)
25	18, 9	remulcld 11320	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)) ∈ ℝ)
26	24, 25	resubcld 11718	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) ∈ ℝ)
27	23, 26	eqeltrid 2848	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → 𝐶 ∈ ℝ)
28	27	3adant3 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝐶 ∈ ℝ)
29	28	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → 𝐶 ∈ ℝ)
30	11, 20, 27	3jca 1128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
31	30	3adant3 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
32		rpre 13065	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 𝑅 ∈ ℝ)
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷) → 𝑅 ∈ ℝ)
34		inlinecirc02plem.q	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
35		inlinecirc02plem.d	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐷 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
36	34, 35	itsclc0lem3 48492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝐷 ∈ ℝ)
37	31, 33, 36	syl2an 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℝ)
38	37, 1	elrpd 13096	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℝ⁺)
39	38	rprege0d 13106	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))
40	34	resum2sqcl 48440	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝑄 ∈ ℝ)
41	11, 20, 40	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → 𝑄 ∈ ℝ)
42	41	3adant3 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑄 ∈ ℝ)
43	4, 5, 14, 3	rrx2pnedifcoorneorr 48451	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝐵 ≠ 0 ∨ 𝐴 ≠ 0))
44	43	orcomd 870	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))
45	34	resum2sqorgt0 48443	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) → 0 < 𝑄)
46	12, 21, 44, 45	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 0 < 𝑄)
47	46	gt0ne0d 11854	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑄 ≠ 0)
48	42, 47	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑄 ≠ 0))
49	48	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → (𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑄 ≠ 0))
50		itsclc0lem1 48490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ)
51	13, 22, 29, 39, 49, 50	syl311anc 1384	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ)
52		itsclc0lem2 48491	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ)
53	22, 13, 29, 39, 49, 52	syl311anc 1384	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ)
54	51, 53	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ ∧ (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ))
55	54	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) → ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ ∧ (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ))
56	4, 5	prelrrx2 48447	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ ∧ (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ) → {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ∈ 𝑃)
57	55, 56	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) → {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ∈ 𝑃)
58		itsclc0lem2 48491	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ)
59	13, 22, 29, 39, 49, 58	syl311anc 1384	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ)
60		itsclc0lem1 48490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ)
61	22, 13, 29, 39, 49, 60	syl311anc 1384	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ)
62	59, 61	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ ∧ (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ))
63	62	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) → ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ ∧ (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ))
64	4, 5	prelrrx2 48447	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ ∧ (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ) → {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ∈ 𝑃)
65	63, 64	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) → {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ∈ 𝑃)
66		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌))
67		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → 𝑅 ∈ ℝ⁺)
68		0red 11293	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → 0 ∈ ℝ)
69	68, 37, 1	ltled 11438	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → 0 ≤ 𝐷)
70	66, 67, 69	jca32 515	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)))
71	70	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) → ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)))
72		inlinecirc02p.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
73		inlinecirc02p.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
74		inlinecirc02p.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (𝐼 × {0})
75		inlinecirc02p.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (Line_M‘𝐸)
76	4, 72, 5, 73, 74, 34, 35, 75, 3, 14, 23	itsclinecirc0in 48509	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {{⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}, {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}})
77	71, 76	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) → (( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {{⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}, {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}})
78		opex 5484	. . . . . 6 ⊢ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∈ V
79		opex 5484	. . . . . 6 ⊢ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∈ V
80		opex 5484	. . . . . . 7 ⊢ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∈ V
81		opex 5484	. . . . . . 7 ⊢ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∈ V
82	80, 81	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ (⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∈ V ∧ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∈ V)
83	44	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))
84	83	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))
85		orcom 869	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ↔ (𝐵 ≠ 0 ∨ 𝐴 ≠ 0))
86	13	recnd 11318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → 𝐴 ∈ ℂ)
87	86	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
88	29	recnd 11318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → 𝐶 ∈ ℂ)
89	88	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐶 ∈ ℂ)
90	87, 89	mulcld 11310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
91	22	recnd 11318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → 𝐵 ∈ ℂ)
92	91	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
93	37	recnd 11318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℂ)
94	93	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐷 ∈ ℂ)
95	94	sqrtcld 15486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
96	92, 95	mulcld 11310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 · (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
97	90, 96	addcld 11309	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) ∈ ℂ)
98	90, 96	subcld 11647	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) ∈ ℂ)
99	42	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → 𝑄 ∈ ℝ)
100	99	recnd 11318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → 𝑄 ∈ ℂ)
101	47	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → 𝑄 ≠ 0)
102	100, 101	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0))
103	102	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0))
104		div11 11977	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) ∈ ℂ ∧ (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ↔ ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷)))))
105	97, 98, 103, 104	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ↔ ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷)))))
106		addsubeq0 47211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · (√‘𝐷)) ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) ↔ (𝐵 · (√‘𝐷)) = 0))
107	90, 96, 106	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) ↔ (𝐵 · (√‘𝐷)) = 0))
108	37, 69	resqrtcld 15466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
109	108	recnd 11318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
110	91, 109	mul0ord 11940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → ((𝐵 · (√‘𝐷)) = 0 ↔ (𝐵 = 0 ∨ (√‘𝐷) = 0)))
111	110	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐵 · (√‘𝐷)) = 0 ↔ (𝐵 = 0 ∨ (√‘𝐷) = 0)))
112		eqneqall 2957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐵 ≠ 0 → 𝐷 = 0))
113	112	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐵 ≠ 0 → (𝐵 = 0 → 𝐷 = 0))
114	113	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 = 0 → 𝐷 = 0))
115		sqrt00 15312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((√‘𝐷) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
116	37, 69, 115	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → ((√‘𝐷) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
117	116	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → ((√‘𝐷) = 0 → 𝐷 = 0))
118	117	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((√‘𝐷) = 0 → 𝐷 = 0))
119	114, 118	jaod 858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐵 = 0 ∨ (√‘𝐷) = 0) → 𝐷 = 0))
120	111, 119	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐵 · (√‘𝐷)) = 0 → 𝐷 = 0))
121	107, 120	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) → 𝐷 = 0))
122	105, 121	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) → 𝐷 = 0))
123	122	necon3d 2967	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐷 ≠ 0 → (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ≠ (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
124	123	impancom 451	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐵 ≠ 0 → (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ≠ (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
125	124	imp 406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ≠ (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄))
126	125	olcd 873	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (1 ≠ 1 ∨ (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ≠ (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
127		1ex 11286	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ V
128		ovex 7481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ V
129	127, 128	opthne 5502	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ↔ (1 ≠ 1 ∨ (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ≠ (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
130	126, 129	sylibr 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩)
131		1ne2 12501	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ≠ 2
132	131	orci 864	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ≠ 2 ∨ (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ≠ (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))
133	127, 128	opthne 5502	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ↔ (1 ≠ 2 ∨ (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ≠ (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
134	132, 133	mpbir 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩
135	130, 134	jctir 520	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∧ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩))
136	135	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐵 ≠ 0 → (⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∧ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩)))
137	20, 27	remulcld 11320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
138	137	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
139	138	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
140	13, 108	remulcld 11320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → (𝐴 · (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
141	139, 140	resubcld 11718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) ∈ ℝ)
142	141	recnd 11318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) ∈ ℂ)
143	142	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) ∈ ℂ)
144	22, 29	remulcld 11320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
145	144, 140	readdcld 11319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) ∈ ℝ)
146	145	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) ∈ ℝ)
147	146	recnd 11318	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) ∈ ℂ)
148	102	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0))
149		div11 11977	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) ∈ ℂ ∧ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) ∈ ℂ ∧ (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → ((((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ↔ ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) = ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷)))))
150	143, 147, 148, 149	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ↔ ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) = ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷)))))
151	139	recnd 11318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
152	140	recnd 11318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → (𝐴 · (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
153	151, 152	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → ((𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐴 · (√‘𝐷)) ∈ ℂ))
154	153	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐴 · (√‘𝐷)) ∈ ℂ))
155		eqcom 2747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) = ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) ↔ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) = ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))))
156		addsubeq0 47211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐴 · (√‘𝐷)) ∈ ℂ) → (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) = ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) ↔ (𝐴 · (√‘𝐷)) = 0))
157	155, 156	bitrid 283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐴 · (√‘𝐷)) ∈ ℂ) → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) = ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) ↔ (𝐴 · (√‘𝐷)) = 0))
158	154, 157	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) = ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) ↔ (𝐴 · (√‘𝐷)) = 0))
159	86, 109	mul0ord 11940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → ((𝐴 · (√‘𝐷)) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ (√‘𝐷) = 0)))
160	159	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 · (√‘𝐷)) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ (√‘𝐷) = 0)))
161		eqneqall 2957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ≠ 0 → 𝐷 = 0))
162	161	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 ≠ 0 → (𝐴 = 0 → 𝐷 = 0))
163	162	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 = 0 → 𝐷 = 0))
164	117	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((√‘𝐷) = 0 → 𝐷 = 0))
165	163, 164	jaod 858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 = 0 ∨ (√‘𝐷) = 0) → 𝐷 = 0))
166	160, 165	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 · (√‘𝐷)) = 0 → 𝐷 = 0))
167	158, 166	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) = ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) → 𝐷 = 0))
168	150, 167	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) → 𝐷 = 0))
169	168	necon3d 2967	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐷 ≠ 0 → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ≠ (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
170	169	impancom 451	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐴 ≠ 0 → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ≠ (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
171	170	imp 406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ≠ (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))
172	171	olcd 873	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (2 ≠ 2 ∨ (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ≠ (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
173		2ex 12370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ V
174		ovex 7481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ V
175	173, 174	opthne 5502	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ↔ (2 ≠ 2 ∨ (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ≠ (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
176	172, 175	sylibr 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩)
177	131	necomi 3001	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 1
178	177	orci 864	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ≠ 1 ∨ (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ≠ (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄))
179	173, 174	opthne 5502	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ↔ (2 ≠ 1 ∨ (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ≠ (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
180	178, 179	mpbir 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩
181	176, 180	jctil 519	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∧ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩))
182	181	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐴 ≠ 0 → (⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∧ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩)))
183	136, 182	orim12d 965	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) → ((𝐵 ≠ 0 ∨ 𝐴 ≠ 0) → ((⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∧ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩) ∨ (⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∧ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩))))
184	85, 183	biimtrid 242	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) → ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → ((⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∧ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩) ∨ (⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∧ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩))))
185	84, 184	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) → ((⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∧ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩) ∨ (⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∧ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩)))
186		prneimg 4879	. . . . . . 7 ⊢ (((⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∈ V ∧ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∈ V ∧ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∈ V)) → (((⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∧ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩) ∨ (⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∧ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩)) → {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ≠ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}))
187	186	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((((⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∈ V ∧ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∈ V ∧ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∈ V)) ∧ ((⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∧ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩) ∨ (⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∧ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩))) → {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ≠ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩})
188	78, 79, 82, 185, 187	mpsyl4anc 841	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) → {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ≠ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩})
189	77, 188	jca 511	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) → ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {{⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}, {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}} ∧ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ≠ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}))
190	57, 65, 189	3jca 1128	. . 3 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) → ({⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ∈ 𝑃 ∧ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ∈ 𝑃 ∧ ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {{⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}, {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}} ∧ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ≠ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩})))
191	2, 190	mpdan 686	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → ({⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ∈ 𝑃 ∧ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ∈ 𝑃 ∧ ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {{⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}, {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}} ∧ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ≠ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩})))
192		preq1 4758	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} → {𝑎, 𝑏} = {{⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}, 𝑏})
193	192	eqeq2d 2751	. . . 4 ⊢ (𝑎 = {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} → ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {𝑎, 𝑏} ↔ (( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {{⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}, 𝑏}))
194		neeq1 3009	. . . 4 ⊢ (𝑎 = {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} → (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ≠ 𝑏))
195	193, 194	anbi12d 631	. . 3 ⊢ (𝑎 = {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} → (((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ↔ ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {{⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}, 𝑏} ∧ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ≠ 𝑏)))
196		preq2 4759	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} → {{⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}, 𝑏} = {{⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}, {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}})
197	196	eqeq2d 2751	. . . 4 ⊢ (𝑏 = {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} → ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {{⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}, 𝑏} ↔ (( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {{⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}, {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}}))
198		neeq2 3010	. . . 4 ⊢ (𝑏 = {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} → ({⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ≠ 𝑏 ↔ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ≠ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}))
199	197, 198	anbi12d 631	. . 3 ⊢ (𝑏 = {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} → (((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {{⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}, 𝑏} ∧ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ≠ 𝑏) ↔ ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {{⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}, {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}} ∧ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ≠ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩})))
200	195, 199	rspc2ev 3648	. 2 ⊢ (({⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ∈ 𝑃 ∧ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ∈ 𝑃 ∧ ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {{⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}, {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}} ∧ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ≠ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩})) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))
201	191, 200	syl 17	1 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∨ wo 846 ∧ w3a 1087 = wceq 1537 ∈ wcel 2108 ≠ wne 2946 ∃wrex 3076 Vcvv 3488 ∩ cin 3975 {csn 4648 {cpr 4650 ⟨cop 4654 class class class wbr 5166 × cxp 5698 ‘cfv 6573 (class class class)co 7448 ↑_m cmap 8884 ℂcc 11182 ℝcr 11183 0cc0 11184 1c1 11185 + caddc 11187 · cmul 11189 < clt 11324 ≤ cle 11325 − cmin 11520 / cdiv 11947 2c2 12348 ℝ⁺crp 13057 ↑cexp 14112 √csqrt 15282 ℝ^crrx 25436 Line_Mcline 48461 Spherecsph 48462

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1793 ax-4 1807 ax-5 1909 ax-6 1967 ax-7 2007 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2141 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2711 ax-rep 5303 ax-sep 5317 ax-nul 5324 ax-pow 5383 ax-pr 5447 ax-un 7770 ax-inf2 9710 ax-cnex 11240 ax-resscn 11241 ax-1cn 11242 ax-icn 11243 ax-addcl 11244 ax-addrcl 11245 ax-mulcl 11246 ax-mulrcl 11247 ax-mulcom 11248 ax-addass 11249 ax-mulass 11250 ax-distr 11251 ax-i2m1 11252 ax-1ne0 11253 ax-1rid 11254 ax-rnegex 11255 ax-rrecex 11256 ax-cnre 11257 ax-pre-lttri 11258 ax-pre-lttrn 11259 ax-pre-ltadd 11260 ax-pre-mulgt0 11261 ax-pre-sup 11262 ax-addf 11263 ax-mulf 11264

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 847 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1540 df-fal 1550 df-ex 1778 df-nf 1782 df-sb 2065 df-mo 2543 df-eu 2572 df-clab 2718 df-cleq 2732 df-clel 2819 df-nfc 2895 df-ne 2947 df-nel 3053 df-ral 3068 df-rex 3077 df-rmo 3388 df-reu 3389 df-rab 3444 df-v 3490 df-sbc 3805 df-csb 3922 df-dif 3979 df-un 3981 df-in 3983 df-ss 3993 df-pss 3996 df-nul 4353 df-if 4549 df-pw 4624 df-sn 4649 df-pr 4651 df-tp 4653 df-op 4655 df-uni 4932 df-int 4971 df-iun 5017 df-br 5167 df-opab 5229 df-mpt 5250 df-tr 5284 df-id 5593 df-eprel 5599 df-po 5607 df-so 5608 df-fr 5652 df-se 5653 df-we 5654 df-xp 5706 df-rel 5707 df-cnv 5708 df-co 5709 df-dm 5710 df-rn 5711 df-res 5712 df-ima 5713 df-pred 6332 df-ord 6398 df-on 6399 df-lim 6400 df-suc 6401 df-iota 6525 df-fun 6575 df-fn 6576 df-f 6577 df-f1 6578 df-fo 6579 df-f1o 6580 df-fv 6581 df-isom 6582 df-riota 7404 df-ov 7451 df-oprab 7452 df-mpo 7453 df-of 7714 df-om 7904 df-1st 8030 df-2nd 8031 df-supp 8202 df-tpos 8267 df-frecs 8322 df-wrecs 8353 df-recs 8427 df-rdg 8466 df-1o 8522 df-2o 8523 df-er 8763 df-map 8886 df-ixp 8956 df-en 9004 df-dom 9005 df-sdom 9006 df-fin 9007 df-fsupp 9432 df-sup 9511 df-oi 9579 df-card 10008 df-pnf 11326 df-mnf 11327 df-xr 11328 df-ltxr 11329 df-le 11330 df-sub 11522 df-neg 11523 df-div 11948 df-nn 12294 df-2 12356 df-3 12357 df-4 12358 df-5 12359 df-6 12360 df-7 12361 df-8 12362 df-9 12363 df-n0 12554 df-z 12640 df-dec 12759 df-uz 12904 df-rp 13058 df-xneg 13175 df-xadd 13176 df-xmul 13177 df-ico 13413 df-icc 13414 df-fz 13568 df-fzo 13712 df-seq 14053 df-exp 14113 df-hash 14380 df-cj 15148 df-re 15149 df-im 15150 df-sqrt 15284 df-abs 15285 df-clim 15534 df-sum 15735 df-struct 17194 df-sets 17211 df-slot 17229 df-ndx 17241 df-base 17259 df-ress 17288 df-plusg 17324 df-mulr 17325 df-starv 17326 df-sca 17327 df-vsca 17328 df-ip 17329 df-tset 17330 df-ple 17331 df-ds 17333 df-unif 17334 df-hom 17335 df-cco 17336 df-0g 17501 df-gsum 17502 df-prds 17507 df-pws 17509 df-mgm 18678 df-sgrp 18757 df-mnd 18773 df-mhm 18818 df-grp 18976 df-minusg 18977 df-sbg 18978 df-subg 19163 df-ghm 19253 df-cntz 19357 df-cmn 19824 df-abl 19825 df-mgp 20162 df-rng 20180 df-ur 20209 df-ring 20262 df-cring 20263 df-oppr 20360 df-dvdsr 20383 df-unit 20384 df-invr 20414 df-dvr 20427 df-rhm 20498 df-subrng 20572 df-subrg 20597 df-drng 20753 df-field 20754 df-staf 20862 df-srng 20863 df-lmod 20882 df-lss 20953 df-sra 21195 df-rgmod 21196 df-xmet 21380 df-met 21381 df-cnfld 21388 df-refld 21646 df-dsmm 21775 df-frlm 21790 df-nm 24616 df-tng 24618 df-tcph 25222 df-rrx 25438 df-ehl 25439 df-line 48463 df-sph 48464

This theorem is referenced by: inlinecirc02p 48521

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