inlinecirc02plem - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem inlinecirc02plem 49399

Description: Lemma for inlinecirc02p 49400. (Contributed by AV, 7-May-2023.) (Revised by AV, 15-May-2023.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
inlinecirc02p.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
inlinecirc02p.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
inlinecirc02p.p	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑_m 𝐼)
inlinecirc02p.s	⊢ 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
inlinecirc02p.0	⊢ 0 = (𝐼 × {0})
inlinecirc02p.l	⊢ 𝐿 = (Line_M‘𝐸)
inlinecirc02plem.q	⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
inlinecirc02plem.d	⊢ 𝐷 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
inlinecirc02plem.a	⊢ 𝐴 = ((𝑋‘2) − (𝑌‘2))
inlinecirc02plem.b	⊢ 𝐵 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
inlinecirc02plem.c	⊢ 𝐶 = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))

**Assertion**
Ref	Expression
inlinecirc02plem	⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))

Distinct variable groups: 𝐿,𝑎,𝑏 𝑃,𝑎,𝑏 𝑅,𝑎,𝑏 𝑆,𝑎,𝑏 𝑋,𝑎,𝑏 𝑌,𝑎,𝑏 0 ,𝑎,𝑏 𝐴,𝑎,𝑏 𝐵,𝑎,𝑏 𝐶,𝑎,𝑏 𝐷,𝑎,𝑏 𝑄,𝑎,𝑏 Allowed substitution hints: 𝐸(𝑎,𝑏) 𝐼(𝑎,𝑏)

**Proof of Theorem inlinecirc02plem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 782	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → 0 < 𝐷)
2	1	gt0ne0d 11762	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → 𝐷 ≠ 0)
3		inlinecirc02plem.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 = ((𝑋‘2) − (𝑌‘2))
4		inlinecirc02p.i	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
5		inlinecirc02p.p	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑_m 𝐼)
6	4, 5	rrx2pyel 49325	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
7	6	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
8	4, 5	rrx2pyel 49325	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
9	8	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
10	7, 9	resubcld 11626	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ∈ ℝ)
11	3, 10	eqeltrid 2867	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → 𝐴 ∈ ℝ)
12	11	3adant3 1146	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝐴 ∈ ℝ)
13	12	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ)
14		inlinecirc02plem.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
15	4, 5	rrx2pxel 49324	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
16	15	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
17	4, 5	rrx2pxel 49324	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
18	17	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
19	16, 18	resubcld 11626	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ∈ ℝ)
20	14, 19	eqeltrid 2867	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → 𝐵 ∈ ℝ)
21	20	3adant3 1146	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝐵 ∈ ℝ)
22	21	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → 𝐵 ∈ ℝ)
23		inlinecirc02plem.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))
24	7, 16	remulcld 11223	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) ∈ ℝ)
25	18, 9	remulcld 11223	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)) ∈ ℝ)
26	24, 25	resubcld 11626	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) ∈ ℝ)
27	23, 26	eqeltrid 2867	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → 𝐶 ∈ ℝ)
28	27	3adant3 1146	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝐶 ∈ ℝ)
29	28	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → 𝐶 ∈ ℝ)
30	11, 20, 27	3jca 1142	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
31	30	3adant3 1146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
32		rpre 13012	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 𝑅 ∈ ℝ)
33	32	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷) → 𝑅 ∈ ℝ)
34		inlinecirc02plem.q	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
35		inlinecirc02plem.d	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐷 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
36	34, 35	itsclc0lem3 49371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝐷 ∈ ℝ)
37	31, 33, 36	syl2an 605	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℝ)
38	37, 1	elrpd 13044	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℝ⁺)
39	38	rprege0d 13054	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))
40	34	resum2sqcl 49319	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝑄 ∈ ℝ)
41	11, 20, 40	syl2anc 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → 𝑄 ∈ ℝ)
42	41	3adant3 1146	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑄 ∈ ℝ)
43	4, 5, 14, 3	rrx2pnedifcoorneorr 49330	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝐵 ≠ 0 ∨ 𝐴 ≠ 0))
44	43	orcomd 882	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))
45	34	resum2sqorgt0 49322	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) → 0 < 𝑄)
46	12, 21, 44, 45	syl3anc 1392	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 0 < 𝑄)
47	46	gt0ne0d 11762	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑄 ≠ 0)
48	42, 47	jca 519	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑄 ≠ 0))
49	48	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → (𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑄 ≠ 0))
50		itsclc0lem1 49369	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ)
51	13, 22, 29, 39, 49, 50	syl311anc 1405	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ)
52		itsclc0lem2 49370	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ)
53	22, 13, 29, 39, 49, 52	syl311anc 1405	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ)
54	51, 53	jca 519	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ ∧ (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ))
55	54	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) → ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ ∧ (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ))
56	4, 5	prelrrx2 49326	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ ∧ (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ) → {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ∈ 𝑃)
57	55, 56	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) → {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ∈ 𝑃)
58		itsclc0lem2 49370	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ)
59	13, 22, 29, 39, 49, 58	syl311anc 1405	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ)
60		itsclc0lem1 49369	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ)
61	22, 13, 29, 39, 49, 60	syl311anc 1405	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ)
62	59, 61	jca 519	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ ∧ (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ))
63	62	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) → ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ ∧ (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ))
64	4, 5	prelrrx2 49326	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ ∧ (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ) → {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ∈ 𝑃)
65	63, 64	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) → {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ∈ 𝑃)
66		simpl 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌))
67		simprl 780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → 𝑅 ∈ ℝ⁺)
68		0red 11195	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → 0 ∈ ℝ)
69	68, 37, 1	ltled 11342	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → 0 ≤ 𝐷)
70	66, 67, 69	jca32 523	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)))
71	70	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) → ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)))
72		inlinecirc02p.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
73		inlinecirc02p.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
74		inlinecirc02p.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (𝐼 × {0})
75		inlinecirc02p.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (Line_M‘𝐸)
76	4, 72, 5, 73, 74, 34, 35, 75, 3, 14, 23	itsclinecirc0in 49388	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {{⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}, {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}})
77	71, 76	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) → (( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {{⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}, {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}})
78		opex 5432	. . . . . 6 ⊢ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∈ V
79		opex 5432	. . . . . 6 ⊢ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∈ V
80		opex 5432	. . . . . . 7 ⊢ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∈ V
81		opex 5432	. . . . . . 7 ⊢ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∈ V
82	80, 81	pm3.2i 474	. . . . . 6 ⊢ (⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∈ V ∧ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∈ V)
83	44	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))
84	83	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))
85		orcom 881	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ↔ (𝐵 ≠ 0 ∨ 𝐴 ≠ 0))
86	13	recnd 11221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → 𝐴 ∈ ℂ)
87	86	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
88	29	recnd 11221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → 𝐶 ∈ ℂ)
89	88	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐶 ∈ ℂ)
90	87, 89	mulcld 11213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
91	22	recnd 11221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → 𝐵 ∈ ℂ)
92	91	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
93	37	recnd 11221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℂ)
94	93	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐷 ∈ ℂ)
95	94	sqrtcld 15477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
96	92, 95	mulcld 11213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 · (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
97	90, 96	addcld 11212	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) ∈ ℂ)
98	90, 96	subcld 11553	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) ∈ ℂ)
99	42	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → 𝑄 ∈ ℝ)
100	99	recnd 11221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → 𝑄 ∈ ℂ)
101	47	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → 𝑄 ≠ 0)
102	100, 101	jca 519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0))
103	102	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0))
104		div11 11884	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) ∈ ℂ ∧ (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ↔ ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷)))))
105	97, 98, 103, 104	syl3anc 1392	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ↔ ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷)))))
106		addsubeq0 47881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · (√‘𝐷)) ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) ↔ (𝐵 · (√‘𝐷)) = 0))
107	90, 96, 106	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) ↔ (𝐵 · (√‘𝐷)) = 0))
108	37, 69	resqrtcld 15455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
109	108	recnd 11221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
110	91, 109	mul0ord 11846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → ((𝐵 · (√‘𝐷)) = 0 ↔ (𝐵 = 0 ∨ (√‘𝐷) = 0)))
111	110	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐵 · (√‘𝐷)) = 0 ↔ (𝐵 = 0 ∨ (√‘𝐷) = 0)))
112		eqneqall 2969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐵 ≠ 0 → 𝐷 = 0))
113	112	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐵 ≠ 0 → (𝐵 = 0 → 𝐷 = 0))
114	113	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 = 0 → 𝐷 = 0))
115		sqrt00 15300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((√‘𝐷) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
116	37, 69, 115	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → ((√‘𝐷) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
117	116	biimpd 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → ((√‘𝐷) = 0 → 𝐷 = 0))
118	117	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((√‘𝐷) = 0 → 𝐷 = 0))
119	114, 118	jaod 870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐵 = 0 ∨ (√‘𝐷) = 0) → 𝐷 = 0))
120	111, 119	sylbid 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐵 · (√‘𝐷)) = 0 → 𝐷 = 0))
121	107, 120	sylbid 242	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) → 𝐷 = 0))
122	105, 121	sylbid 242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) → 𝐷 = 0))
123	122	necon3d 2979	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐷 ≠ 0 → (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ≠ (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
124	123	impancom 455	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐵 ≠ 0 → (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ≠ (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
125	124	imp 410	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ≠ (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄))
126	125	olcd 885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (1 ≠ 1 ∨ (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ≠ (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
127		1ex 11187	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ V
128		ovex 7429	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ V
129	127, 128	opthne 5451	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ↔ (1 ≠ 1 ∨ (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ≠ (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
130	126, 129	sylibr 236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩)
131		1ne2 12438	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ≠ 2
132	131	orci 876	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ≠ 2 ∨ (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ≠ (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))
133	127, 128	opthne 5451	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ↔ (1 ≠ 2 ∨ (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ≠ (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
134	132, 133	mpbir 233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩
135	130, 134	jctir 528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∧ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩))
136	135	ex 416	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐵 ≠ 0 → (⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∧ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩)))
137	20, 27	remulcld 11223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
138	137	3adant3 1146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
139	138	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
140	13, 108	remulcld 11223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → (𝐴 · (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
141	139, 140	resubcld 11626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) ∈ ℝ)
142	141	recnd 11221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) ∈ ℂ)
143	142	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) ∈ ℂ)
144	22, 29	remulcld 11223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
145	144, 140	readdcld 11222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) ∈ ℝ)
146	145	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) ∈ ℝ)
147	146	recnd 11221	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) ∈ ℂ)
148	102	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0))
149		div11 11884	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) ∈ ℂ ∧ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) ∈ ℂ ∧ (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → ((((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ↔ ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) = ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷)))))
150	143, 147, 148, 149	syl3anc 1392	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ↔ ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) = ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷)))))
151	139	recnd 11221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
152	140	recnd 11221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → (𝐴 · (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
153	151, 152	jca 519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → ((𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐴 · (√‘𝐷)) ∈ ℂ))
154	153	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐴 · (√‘𝐷)) ∈ ℂ))
155		eqcom 2770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) = ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) ↔ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) = ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))))
156		addsubeq0 47881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐴 · (√‘𝐷)) ∈ ℂ) → (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) = ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) ↔ (𝐴 · (√‘𝐷)) = 0))
157	155, 156	bitrid 285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐴 · (√‘𝐷)) ∈ ℂ) → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) = ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) ↔ (𝐴 · (√‘𝐷)) = 0))
158	154, 157	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) = ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) ↔ (𝐴 · (√‘𝐷)) = 0))
159	86, 109	mul0ord 11846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → ((𝐴 · (√‘𝐷)) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ (√‘𝐷) = 0)))
160	159	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 · (√‘𝐷)) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ (√‘𝐷) = 0)))
161		eqneqall 2969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ≠ 0 → 𝐷 = 0))
162	161	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 ≠ 0 → (𝐴 = 0 → 𝐷 = 0))
163	162	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 = 0 → 𝐷 = 0))
164	117	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((√‘𝐷) = 0 → 𝐷 = 0))
165	163, 164	jaod 870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 = 0 ∨ (√‘𝐷) = 0) → 𝐷 = 0))
166	160, 165	sylbid 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 · (√‘𝐷)) = 0 → 𝐷 = 0))
167	158, 166	sylbid 242	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) = ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) → 𝐷 = 0))
168	150, 167	sylbid 242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) → 𝐷 = 0))
169	168	necon3d 2979	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐷 ≠ 0 → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ≠ (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
170	169	impancom 455	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐴 ≠ 0 → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ≠ (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
171	170	imp 410	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ≠ (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))
172	171	olcd 885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (2 ≠ 2 ∨ (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ≠ (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
173		2ex 12305	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ V
174		ovex 7429	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ V
175	173, 174	opthne 5451	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ↔ (2 ≠ 2 ∨ (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ≠ (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
176	172, 175	sylibr 236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩)
177	131	necomi 3012	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 1
178	177	orci 876	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ≠ 1 ∨ (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ≠ (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄))
179	173, 174	opthne 5451	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ↔ (2 ≠ 1 ∨ (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ≠ (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
180	178, 179	mpbir 233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩
181	176, 180	jctil 527	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∧ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩))
182	181	ex 416	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐴 ≠ 0 → (⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∧ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩)))
183	136, 182	orim12d 977	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) → ((𝐵 ≠ 0 ∨ 𝐴 ≠ 0) → ((⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∧ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩) ∨ (⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∧ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩))))
184	85, 183	biimtrid 244	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) → ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → ((⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∧ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩) ∨ (⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∧ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩))))
185	84, 184	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) → ((⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∧ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩) ∨ (⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∧ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩)))
186		prneimg 4813	. . . . . . 7 ⊢ (((⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∈ V ∧ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∈ V ∧ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∈ V)) → (((⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∧ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩) ∨ (⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∧ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩)) → {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ≠ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}))
187	186	imp 410	. . . . . 6 ⊢ ((((⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∈ V ∧ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∈ V ∧ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∈ V)) ∧ ((⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∧ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩) ∨ (⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∧ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩))) → {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ≠ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩})
188	78, 79, 82, 185, 187	mpsyl4anc 853	. . . . 5 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) → {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ≠ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩})
189	77, 188	jca 519	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) → ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {{⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}, {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}} ∧ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ≠ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}))
190	57, 65, 189	3jca 1142	. . 3 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) → ({⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ∈ 𝑃 ∧ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ∈ 𝑃 ∧ ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {{⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}, {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}} ∧ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ≠ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩})))
191	2, 190	mpdan 697	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → ({⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ∈ 𝑃 ∧ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ∈ 𝑃 ∧ ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {{⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}, {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}} ∧ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ≠ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩})))
192		preq1 4693	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} → {𝑎, 𝑏} = {{⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}, 𝑏})
193	192	eqeq2d 2774	. . . 4 ⊢ (𝑎 = {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} → ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {𝑎, 𝑏} ↔ (( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {{⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}, 𝑏}))
194		neeq1 3020	. . . 4 ⊢ (𝑎 = {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} → (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ≠ 𝑏))
195	193, 194	anbi12d 641	. . 3 ⊢ (𝑎 = {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} → (((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ↔ ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {{⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}, 𝑏} ∧ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ≠ 𝑏)))
196		preq2 4694	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} → {{⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}, 𝑏} = {{⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}, {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}})
197	196	eqeq2d 2774	. . . 4 ⊢ (𝑏 = {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} → ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {{⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}, 𝑏} ↔ (( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {{⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}, {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}}))
198		neeq2 3021	. . . 4 ⊢ (𝑏 = {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} → ({⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ≠ 𝑏 ↔ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ≠ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}))
199	197, 198	anbi12d 641	. . 3 ⊢ (𝑏 = {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} → (((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {{⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}, 𝑏} ∧ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ≠ 𝑏) ↔ ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {{⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}, {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}} ∧ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ≠ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩})))
200	195, 199	rspc2ev 3595	. 2 ⊢ (({⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ∈ 𝑃 ∧ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ∈ 𝑃 ∧ ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {{⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}, {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}} ∧ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ≠ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩})) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))
201	191, 200	syl 17	1 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 0 < 𝐷)) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 208 ∧ wa 399 ∨ wo 858 ∧ w3a 1099 = wceq 1561 ∈ wcel 2143 ≠ wne 2958 ∃wrex 3087 Vcvv 3455 ∩ cin 3904 {csn 4583 {cpr 4585 ⟨cop 4589 class class class wbr 5101 × cxp 5646 ‘cfv 6521 (class class class)co 7396 ↑_m cmap 8808 ℂcc 11082 ℝcr 11083 0cc0 11084 1c1 11085 + caddc 11087 · cmul 11089 < clt 11227 ≤ cle 11228 − cmin 11425 / cdiv 11855 2c2 12282 ℝ⁺crp 13003 ↑cexp 14084 √csqrt 15270 ℝ^crrx 25452 Line_Mcline 49340 Spherecsph 49341

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1816 ax-4 1830 ax-5 1931 ax-6 1988 ax-7 2029 ax-8 2145 ax-9 2153 ax-10 2176 ax-11 2192 ax-12 2213 ax-ext 2735 ax-rep 5228 ax-sep 5247 ax-nul 5257 ax-pow 5323 ax-pr 5391 ax-un 7718 ax-inf2 9594 ax-cnex 11140 ax-resscn 11141 ax-1cn 11142 ax-icn 11143 ax-addcl 11144 ax-addrcl 11145 ax-mulcl 11146 ax-mulrcl 11147 ax-mulcom 11148 ax-addass 11149 ax-mulass 11150 ax-distr 11151 ax-i2m1 11152 ax-1ne0 11153 ax-1rid 11154 ax-rnegex 11155 ax-rrecex 11156 ax-cnre 11157 ax-pre-lttri 11158 ax-pre-lttrn 11159 ax-pre-ltadd 11160 ax-pre-mulgt0 11161 ax-pre-sup 11162 ax-addf 11163 ax-mulf 11164

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 400 df-or 859 df-3or 1100 df-3an 1101 df-tru 1564 df-fal 1574 df-ex 1801 df-nf 1805 df-sb 2092 df-mo 2567 df-eu 2597 df-clab 2742 df-cleq 2755 df-clel 2838 df-nfc 2912 df-ne 2959 df-nel 3063 df-ral 3078 df-rex 3088 df-rmo 3368 df-reu 3369 df-rab 3416 df-v 3457 df-sbc 3746 df-csb 3854 df-dif 3908 df-un 3910 df-in 3912 df-ss 3922 df-pss 3925 df-nul 4287 df-if 4482 df-pw 4558 df-sn 4584 df-pr 4586 df-tp 4588 df-op 4590 df-uni 4867 df-int 4907 df-iun 4952 df-br 5102 df-opab 5164 df-mpt 5183 df-tr 5209 df-id 5543 df-eprel 5548 df-po 5556 df-so 5557 df-fr 5601 df-se 5602 df-we 5603 df-xp 5654 df-rel 5655 df-cnv 5656 df-co 5657 df-dm 5658 df-rn 5659 df-res 5660 df-ima 5661 df-pred 6288 df-ord 6349 df-on 6350 df-lim 6351 df-suc 6352 df-iota 6477 df-fun 6523 df-fn 6524 df-f 6525 df-f1 6526 df-fo 6527 df-f1o 6528 df-fv 6529 df-isom 6530 df-riota 7353 df-ov 7399 df-oprab 7400 df-mpo 7401 df-of 7660 df-om 7847 df-1st 7970 df-2nd 7971 df-supp 8141 df-tpos 8206 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8342 df-rdg 8381 df-1o 8437 df-2o 8438 df-er 8678 df-map 8810 df-ixp 8880 df-en 8928 df-dom 8929 df-sdom 8930 df-fin 8931 df-fsupp 9306 df-sup 9386 df-oi 9456 df-card 9909 df-pnf 11229 df-mnf 11230 df-xr 11231 df-ltxr 11232 df-le 11233 df-sub 11427 df-neg 11428 df-div 11856 df-nn 12221 df-2 12290 df-3 12291 df-4 12292 df-5 12293 df-6 12294 df-7 12295 df-8 12296 df-9 12297 df-n0 12492 df-z 12579 df-dec 12699 df-uz 12850 df-rp 13004 df-xneg 13124 df-xadd 13125 df-xmul 13126 df-ico 13365 df-icc 13366 df-fz 13523 df-fzo 13670 df-seq 14025 df-exp 14085 df-hash 14354 df-cj 15136 df-re 15137 df-im 15138 df-sqrt 15272 df-abs 15273 df-clim 15525 df-sum 15724 df-struct 17193 df-sets 17210 df-slot 17228 df-ndx 17240 df-base 17256 df-ress 17277 df-plusg 17309 df-mulr 17310 df-starv 17311 df-sca 17312 df-vsca 17313 df-ip 17314 df-tset 17315 df-ple 17316 df-ds 17318 df-unif 17319 df-hom 17320 df-cco 17321 df-0g 17480 df-gsum 17481 df-prds 17486 df-pws 17488 df-mgm 18684 df-sgrp 18763 df-mnd 18779 df-mhm 18827 df-grp 18988 df-minusg 18989 df-sbg 18990 df-subg 19175 df-ghm 19264 df-cntz 19367 df-cmn 19832 df-abl 19833 df-mgp 20197 df-rng 20209 df-ur 20242 df-ring 20295 df-cring 20296 df-oppr 20396 df-dvdsr 20416 df-unit 20417 df-invr 20447 df-dvr 20460 df-rhm 20531 df-subrng 20606 df-subrg 20630 df-drng 20790 df-field 20791 df-staf 20895 df-srng 20896 df-lmod 20936 df-lss 21006 df-sra 21247 df-rgmod 21248 df-xmet 21424 df-met 21425 df-cnfld 21432 df-refld 21664 df-dsmm 21791 df-frlm 21806 df-nm 24649 df-tng 24651 df-tcph 25238 df-rrx 25454 df-ehl 25455 df-line 49342 df-sph 49343

This theorem is referenced by: inlinecirc02p 49400

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