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Theorem inlinecirc02plem 48636
Description: Lemma for inlinecirc02p 48637. (Contributed by AV, 7-May-2023.) (Revised by AV, 15-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
inlinecirc02p.i 𝐼 = {1, 2}
inlinecirc02p.e 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
inlinecirc02p.p 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
inlinecirc02p.s 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
inlinecirc02p.0 0 = (𝐼 × {0})
inlinecirc02p.l 𝐿 = (LineM𝐸)
inlinecirc02plem.q 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
inlinecirc02plem.d 𝐷 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
inlinecirc02plem.a 𝐴 = ((𝑋‘2) − (𝑌‘2))
inlinecirc02plem.b 𝐵 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
inlinecirc02plem.c 𝐶 = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))
Assertion
Ref Expression
inlinecirc02plem (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏))
Distinct variable groups:   𝐿,𝑎,𝑏   𝑃,𝑎,𝑏   𝑅,𝑎,𝑏   𝑆,𝑎,𝑏   𝑋,𝑎,𝑏   𝑌,𝑎,𝑏   0 ,𝑎,𝑏   𝐴,𝑎,𝑏   𝐵,𝑎,𝑏   𝐶,𝑎,𝑏   𝐷,𝑎,𝑏   𝑄,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑎,𝑏)   𝐼(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem inlinecirc02plem
StepHypRef Expression
1 simprr 773 . . . 4 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) → 0 < 𝐷)
21gt0ne0d 11825 . . 3 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) → 𝐷 ≠ 0)
3 inlinecirc02plem.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = ((𝑋‘2) − (𝑌‘2))
4 inlinecirc02p.i . . . . . . . . . . . . . 14 𝐼 = {1, 2}
5 inlinecirc02p.p . . . . . . . . . . . . . 14 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
64, 5rrx2pyel 48562 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
76adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
84, 5rrx2pyel 48562 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
98adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
107, 9resubcld 11689 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ∈ ℝ)
113, 10eqeltrid 2843 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝐴 ∈ ℝ)
12113adant3 1131 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → 𝐴 ∈ ℝ)
1312adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ)
14 inlinecirc02plem.b . . . . . . . . . . 11 𝐵 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
154, 5rrx2pxel 48561 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
1615adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
174, 5rrx2pxel 48561 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
1817adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
1916, 18resubcld 11689 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ∈ ℝ)
2014, 19eqeltrid 2843 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝐵 ∈ ℝ)
21203adant3 1131 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → 𝐵 ∈ ℝ)
2221adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) → 𝐵 ∈ ℝ)
23 inlinecirc02plem.c . . . . . . . . . . 11 𝐶 = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))
247, 16remulcld 11289 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) ∈ ℝ)
2518, 9remulcld 11289 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)) ∈ ℝ)
2624, 25resubcld 11689 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) ∈ ℝ)
2723, 26eqeltrid 2843 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝐶 ∈ ℝ)
28273adant3 1131 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → 𝐶 ∈ ℝ)
2928adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) → 𝐶 ∈ ℝ)
3011, 20, 273jca 1127 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
31303adant3 1131 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
32 rpre 13041 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ)
3332adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷) → 𝑅 ∈ ℝ)
34 inlinecirc02plem.q . . . . . . . . . . . 12 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
35 inlinecirc02plem.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
3634, 35itsclc0lem3 48608 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝐷 ∈ ℝ)
3731, 33, 36syl2an 596 . . . . . . . . . 10 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℝ)
3837, 1elrpd 13072 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℝ+)
3938rprege0d 13082 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) → (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))
4034resum2sqcl 48556 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝑄 ∈ ℝ)
4111, 20, 40syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝑄 ∈ ℝ)
42413adant3 1131 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → 𝑄 ∈ ℝ)
434, 5, 14, 3rrx2pnedifcoorneorr 48567 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝐵 ≠ 0 ∨ 𝐴 ≠ 0))
4443orcomd 871 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))
4534resum2sqorgt0 48559 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) → 0 < 𝑄)
4612, 21, 44, 45syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → 0 < 𝑄)
4746gt0ne0d 11825 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → 𝑄 ≠ 0)
4842, 47jca 511 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑄 ≠ 0))
4948adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) → (𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑄 ≠ 0))
50 itsclc0lem1 48606 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ)
5113, 22, 29, 39, 49, 50syl311anc 1383 . . . . . . 7 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) → (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ)
52 itsclc0lem2 48607 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ)
5322, 13, 29, 39, 49, 52syl311anc 1383 . . . . . . 7 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ)
5451, 53jca 511 . . . . . 6 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) → ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ ∧ (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ))
5554adantr 480 . . . . 5 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) → ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ ∧ (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ))
564, 5prelrrx2 48563 . . . . 5 (((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ ∧ (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ) → {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ∈ 𝑃)
5755, 56syl 17 . . . 4 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) → {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ∈ 𝑃)
58 itsclc0lem2 48607 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ)
5913, 22, 29, 39, 49, 58syl311anc 1383 . . . . . . 7 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ)
60 itsclc0lem1 48606 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ)
6122, 13, 29, 39, 49, 60syl311anc 1383 . . . . . . 7 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) → (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ)
6259, 61jca 511 . . . . . 6 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) → ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ ∧ (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ))
6362adantr 480 . . . . 5 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) → ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ ∧ (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ))
644, 5prelrrx2 48563 . . . . 5 (((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ ∧ (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ) → {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ∈ 𝑃)
6563, 64syl 17 . . . 4 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) → {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ∈ 𝑃)
66 simpl 482 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) → (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌))
67 simprl 771 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
68 0red 11262 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) → 0 ∈ ℝ)
6968, 37, 1ltled 11407 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) → 0 ≤ 𝐷)
7066, 67, 69jca32 515 . . . . . . 7 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) → ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)))
7170adantr 480 . . . . . 6 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) → ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)))
72 inlinecirc02p.e . . . . . . 7 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
73 inlinecirc02p.s . . . . . . 7 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
74 inlinecirc02p.0 . . . . . . 7 0 = (𝐼 × {0})
75 inlinecirc02p.l . . . . . . 7 𝐿 = (LineM𝐸)
764, 72, 5, 73, 74, 34, 35, 75, 3, 14, 23itsclinecirc0in 48625 . . . . . 6 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {{⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}, {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}})
7771, 76syl 17 . . . . 5 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) → (( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {{⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}, {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}})
78 opex 5475 . . . . . 6 ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∈ V
79 opex 5475 . . . . . 6 ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∈ V
80 opex 5475 . . . . . . 7 ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∈ V
81 opex 5475 . . . . . . 7 ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∈ V
8280, 81pm3.2i 470 . . . . . 6 (⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∈ V ∧ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∈ V)
8344adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))
8483adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))
85 orcom 870 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ↔ (𝐵 ≠ 0 ∨ 𝐴 ≠ 0))
8613recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) → 𝐴 ∈ ℂ)
8786adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
8829recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) → 𝐶 ∈ ℂ)
8988adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐶 ∈ ℂ)
9087, 89mulcld 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
9122recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) → 𝐵 ∈ ℂ)
9291adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
9337recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℂ)
9493adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐷 ∈ ℂ)
9594sqrtcld 15473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
9692, 95mulcld 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 · (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
9790, 96addcld 11278 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) ∈ ℂ)
9890, 96subcld 11618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) ∈ ℂ)
9942adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) → 𝑄 ∈ ℝ)
10099recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) → 𝑄 ∈ ℂ)
10147adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) → 𝑄 ≠ 0)
102100, 101jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) → (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0))
103102adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0))
104 div11 11948 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) ∈ ℂ ∧ (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ↔ ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷)))))
10597, 98, 103, 104syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ↔ ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷)))))
106 addsubeq0 47246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · (√‘𝐷)) ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) ↔ (𝐵 · (√‘𝐷)) = 0))
10790, 96, 106syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) ↔ (𝐵 · (√‘𝐷)) = 0))
10837, 69resqrtcld 15453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
109108recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
11091, 109mul0ord 11911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) → ((𝐵 · (√‘𝐷)) = 0 ↔ (𝐵 = 0 ∨ (√‘𝐷) = 0)))
111110adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐵 · (√‘𝐷)) = 0 ↔ (𝐵 = 0 ∨ (√‘𝐷) = 0)))
112 eqneqall 2949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐵 = 0 → (𝐵 ≠ 0 → 𝐷 = 0))
113112com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐵 ≠ 0 → (𝐵 = 0 → 𝐷 = 0))
114113adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 = 0 → 𝐷 = 0))
115 sqrt00 15299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((√‘𝐷) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
11637, 69, 115syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) → ((√‘𝐷) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
117116biimpd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) → ((√‘𝐷) = 0 → 𝐷 = 0))
118117adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((√‘𝐷) = 0 → 𝐷 = 0))
119114, 118jaod 859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐵 = 0 ∨ (√‘𝐷) = 0) → 𝐷 = 0))
120111, 119sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐵 · (√‘𝐷)) = 0 → 𝐷 = 0))
121107, 120sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) → 𝐷 = 0))
122105, 121sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) → 𝐷 = 0))
123122necon3d 2959 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐷 ≠ 0 → (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ≠ (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
124123impancom 451 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐵 ≠ 0 → (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ≠ (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
125124imp 406 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ≠ (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄))
126125olcd 874 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (1 ≠ 1 ∨ (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ≠ (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
127 1ex 11255 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ V
128 ovex 7464 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ V
129127, 128opthne 5493 . . . . . . . . . . . 12 (⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ↔ (1 ≠ 1 ∨ (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ≠ (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
130126, 129sylibr 234 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩)
131 1ne2 12472 . . . . . . . . . . . . 13 1 ≠ 2
132131orci 865 . . . . . . . . . . . 12 (1 ≠ 2 ∨ (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ≠ (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))
133127, 128opthne 5493 . . . . . . . . . . . 12 (⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ↔ (1 ≠ 2 ∨ (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ≠ (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
134132, 133mpbir 231 . . . . . . . . . . 11 ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩
135130, 134jctir 520 . . . . . . . . . 10 (((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∧ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩))
136135ex 412 . . . . . . . . 9 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐵 ≠ 0 → (⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∧ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩)))
13720, 27remulcld 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
1381373adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
139138adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
14013, 108remulcld 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) → (𝐴 · (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
141139, 140resubcld 11689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) → ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) ∈ ℝ)
142141recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) → ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) ∈ ℂ)
143142adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) ∈ ℂ)
14422, 29remulcld 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
145144, 140readdcld 11288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) → ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) ∈ ℝ)
146145adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) ∈ ℝ)
147146recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) ∈ ℂ)
148102adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0))
149 div11 11948 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) ∈ ℂ ∧ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) ∈ ℂ ∧ (𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → ((((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ↔ ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) = ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷)))))
150143, 147, 148, 149syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ↔ ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) = ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷)))))
151139recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
152140recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) → (𝐴 · (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
153151, 152jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) → ((𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐴 · (√‘𝐷)) ∈ ℂ))
154153adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐴 · (√‘𝐷)) ∈ ℂ))
155 eqcom 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) = ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) ↔ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) = ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))))
156 addsubeq0 47246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐴 · (√‘𝐷)) ∈ ℂ) → (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) = ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) ↔ (𝐴 · (√‘𝐷)) = 0))
157155, 156bitrid 283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐴 · (√‘𝐷)) ∈ ℂ) → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) = ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) ↔ (𝐴 · (√‘𝐷)) = 0))
158154, 157syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) = ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) ↔ (𝐴 · (√‘𝐷)) = 0))
15986, 109mul0ord 11911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) → ((𝐴 · (√‘𝐷)) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ (√‘𝐷) = 0)))
160159adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 · (√‘𝐷)) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ (√‘𝐷) = 0)))
161 eqneqall 2949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 = 0 → (𝐴 ≠ 0 → 𝐷 = 0))
162161com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ≠ 0 → (𝐴 = 0 → 𝐷 = 0))
163162adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 = 0 → 𝐷 = 0))
164117adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((√‘𝐷) = 0 → 𝐷 = 0))
165163, 164jaod 859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 = 0 ∨ (√‘𝐷) = 0) → 𝐷 = 0))
166160, 165sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 · (√‘𝐷)) = 0 → 𝐷 = 0))
167158, 166sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) = ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) → 𝐷 = 0))
168150, 167sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) → 𝐷 = 0))
169168necon3d 2959 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐷 ≠ 0 → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ≠ (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
170169impancom 451 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐴 ≠ 0 → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ≠ (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
171170imp 406 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ≠ (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))
172171olcd 874 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (2 ≠ 2 ∨ (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ≠ (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
173 2ex 12341 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ V
174 ovex 7464 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ V
175173, 174opthne 5493 . . . . . . . . . . . 12 (⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ↔ (2 ≠ 2 ∨ (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ≠ (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
176172, 175sylibr 234 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩)
177131necomi 2993 . . . . . . . . . . . . 13 2 ≠ 1
178177orci 865 . . . . . . . . . . . 12 (2 ≠ 1 ∨ (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ≠ (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄))
179173, 174opthne 5493 . . . . . . . . . . . 12 (⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ↔ (2 ≠ 1 ∨ (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ≠ (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))
180178, 179mpbir 231 . . . . . . . . . . 11 ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩
181176, 180jctil 519 . . . . . . . . . 10 (((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∧ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩))
182181ex 412 . . . . . . . . 9 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐴 ≠ 0 → (⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∧ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩)))
183136, 182orim12d 966 . . . . . . . 8 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) → ((𝐵 ≠ 0 ∨ 𝐴 ≠ 0) → ((⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∧ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩) ∨ (⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∧ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩))))
18485, 183biimtrid 242 . . . . . . 7 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) → ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → ((⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∧ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩) ∨ (⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∧ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩))))
18584, 184mpd 15 . . . . . 6 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) → ((⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∧ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩) ∨ (⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∧ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩)))
186 prneimg 4859 . . . . . . 7 (((⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∈ V ∧ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∈ V ∧ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∈ V)) → (((⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∧ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩) ∨ (⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∧ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩)) → {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ≠ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}))
187186imp 406 . . . . . 6 ((((⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∈ V ∧ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∈ V ∧ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∈ V)) ∧ ((⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∧ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩) ∨ (⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ∧ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩ ≠ ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩))) → {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ≠ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩})
18878, 79, 82, 185, 187mpsyl4anc 842 . . . . 5 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) → {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ≠ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩})
18977, 188jca 511 . . . 4 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) → ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {{⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}, {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}} ∧ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ≠ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}))
19057, 65, 1893jca 1127 . . 3 ((((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) ∧ 𝐷 ≠ 0) → ({⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ∈ 𝑃 ∧ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ∈ 𝑃 ∧ ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {{⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}, {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}} ∧ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ≠ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩})))
1912, 190mpdan 687 . 2 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) → ({⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ∈ 𝑃 ∧ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ∈ 𝑃 ∧ ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {{⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}, {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}} ∧ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ≠ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩})))
192 preq1 4738 . . . . 5 (𝑎 = {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} → {𝑎, 𝑏} = {{⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}, 𝑏})
193192eqeq2d 2746 . . . 4 (𝑎 = {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} → ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {𝑎, 𝑏} ↔ (( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {{⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}, 𝑏}))
194 neeq1 3001 . . . 4 (𝑎 = {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} → (𝑎𝑏 ↔ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ≠ 𝑏))
195193, 194anbi12d 632 . . 3 (𝑎 = {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} → (((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏) ↔ ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {{⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}, 𝑏} ∧ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ≠ 𝑏)))
196 preq2 4739 . . . . 5 (𝑏 = {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} → {{⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}, 𝑏} = {{⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}, {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}})
197196eqeq2d 2746 . . . 4 (𝑏 = {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} → ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {{⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}, 𝑏} ↔ (( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {{⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}, {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}}))
198 neeq2 3002 . . . 4 (𝑏 = {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} → ({⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ≠ 𝑏 ↔ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ≠ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}))
199197, 198anbi12d 632 . . 3 (𝑏 = {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} → (((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {{⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}, 𝑏} ∧ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ≠ 𝑏) ↔ ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {{⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}, {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}} ∧ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ≠ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩})))
200195, 199rspc2ev 3635 . 2 (({⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ∈ 𝑃 ∧ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ∈ 𝑃 ∧ ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {{⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}, {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}} ∧ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩} ≠ {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩})) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏))
201191, 200syl 17 1 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 < 𝐷)) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 ((( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {𝑎, 𝑏} ∧ 𝑎𝑏))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  Vcvv 3478  cin 3962  {csn 4631  {cpr 4633  cop 4637   class class class wbr 5148   × cxp 5687  cfv 6563  (class class class)co 7431  m cmap 8865  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490   / cdiv 11918  2c2 12319  +crp 13032  cexp 14099  csqrt 15269  ℝ^crrx 25431  LineMcline 48577  Spherecsph 48578
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-drng 20748  df-field 20749  df-staf 20857  df-srng 20858  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-xmet 21375  df-met 21376  df-cnfld 21383  df-refld 21641  df-dsmm 21770  df-frlm 21785  df-nm 24611  df-tng 24613  df-tcph 25217  df-rrx 25433  df-ehl 25434  df-line 48579  df-sph 48580
This theorem is referenced by:  inlinecirc02p  48637
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