Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itsclinecirc0in Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itsclinecirc0in 45614
 Description: The intersection points of a line through two different points and a circle around the origin, using the definition of a line in a two dimensional Euclidean space, expressed as intersection. (Contributed by AV, 7-May-2023.) (Revised by AV, 14-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
itsclinecirc0b.i 𝐼 = {1, 2}
itsclinecirc0b.e 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
itsclinecirc0b.p 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
itsclinecirc0b.s 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
itsclinecirc0b.0 0 = (𝐼 × {0})
itsclinecirc0b.q 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
itsclinecirc0b.d 𝐷 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
itsclinecirc0b.l 𝐿 = (LineM𝐸)
itsclinecirc0b.a 𝐴 = ((𝑋‘2) − (𝑌‘2))
itsclinecirc0b.b 𝐵 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
itsclinecirc0b.c 𝐶 = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))
Assertion
Ref Expression
itsclinecirc0in (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {{⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}, {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}})

Proof of Theorem itsclinecirc0in
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3877 . . . 4 (𝑧 ∈ (( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) ↔ (𝑧 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)))
2 itsclinecirc0b.i . . . . 5 𝐼 = {1, 2}
3 itsclinecirc0b.e . . . . 5 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
4 itsclinecirc0b.p . . . . 5 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
5 itsclinecirc0b.s . . . . 5 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
6 itsclinecirc0b.0 . . . . 5 0 = (𝐼 × {0})
7 itsclinecirc0b.q . . . . 5 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
8 itsclinecirc0b.d . . . . 5 𝐷 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
9 itsclinecirc0b.l . . . . 5 𝐿 = (LineM𝐸)
10 itsclinecirc0b.a . . . . 5 𝐴 = ((𝑋‘2) − (𝑌‘2))
11 itsclinecirc0b.b . . . . 5 𝐵 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
12 itsclinecirc0b.c . . . . 5 𝐶 = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))
132, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12itsclinecirc0b 45613 . . . 4 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑧 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ↔ (𝑧𝑃 ∧ (((𝑧‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑧‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑧‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑧‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))))
141, 13syl5bb 286 . . 3 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑧 ∈ (( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) ↔ (𝑧𝑃 ∧ (((𝑧‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑧‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑧‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑧‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))))
152, 4rrx2pyel 45551 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
1615adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
172, 4rrx2pyel 45551 . . . . . . . . . . 11 (𝑌𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
1817adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
1916, 18resubcld 11120 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ∈ ℝ)
2010, 19eqeltrid 2857 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝐴 ∈ ℝ)
21203adant3 1130 . . . . . . 7 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → 𝐴 ∈ ℝ)
2221adantr 484 . . . . . 6 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ)
232, 4rrx2pxel 45550 . . . . . . . . . . 11 (𝑌𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
2423adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
252, 4rrx2pxel 45550 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
2625adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
2724, 26resubcld 11120 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ∈ ℝ)
2811, 27eqeltrid 2857 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝐵 ∈ ℝ)
29283adant3 1130 . . . . . . 7 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → 𝐵 ∈ ℝ)
3029adantr 484 . . . . . 6 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝐵 ∈ ℝ)
3116, 24remulcld 10723 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) ∈ ℝ)
3226, 18remulcld 10723 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)) ∈ ℝ)
3331, 32resubcld 11120 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) ∈ ℝ)
3412, 33eqeltrid 2857 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝐶 ∈ ℝ)
35343adant3 1130 . . . . . . 7 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → 𝐶 ∈ ℝ)
3635adantr 484 . . . . . 6 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝐶 ∈ ℝ)
3722, 30, 363jca 1126 . . . . 5 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
3821, 29, 353jca 1126 . . . . . . 7 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
39 rpre 12452 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ)
4039adantr 484 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝑅 ∈ ℝ)
417, 8itsclc0lem3 45597 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝐷 ∈ ℝ)
4238, 40, 41syl2an 598 . . . . . 6 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℝ)
43 simprr 772 . . . . . 6 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 0 ≤ 𝐷)
4442, 43jca 515 . . . . 5 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))
4520, 28jca 515 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
467resum2sqcl 45545 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝑄 ∈ ℝ)
4745, 46syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝑄 ∈ ℝ)
48473adant3 1130 . . . . . . 7 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → 𝑄 ∈ ℝ)
492, 4, 11, 10rrx2pnedifcoorneorr 45556 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝐵 ≠ 0 ∨ 𝐴 ≠ 0))
5049orcomd 868 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))
517resum2sqorgt0 45548 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) → 0 < 𝑄)
5221, 29, 50, 51syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → 0 < 𝑄)
5352gt0ne0d 11256 . . . . . . 7 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → 𝑄 ≠ 0)
5448, 53jca 515 . . . . . 6 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑄 ≠ 0))
5554adantr 484 . . . . 5 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑄 ≠ 0))
56 itsclc0lem1 45595 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ)
5737, 44, 55, 56syl3anc 1369 . . . 4 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ)
5830, 22, 363jca 1126 . . . . 5 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
5948adantr 484 . . . . . 6 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝑄 ∈ ℝ)
6053adantr 484 . . . . . 6 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝑄 ≠ 0)
6159, 60jca 515 . . . . 5 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑄 ≠ 0))
62 itsclc0lem2 45596 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ)
6358, 44, 61, 62syl3anc 1369 . . . 4 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ)
64 itsclc0lem2 45596 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ)
6537, 44, 61, 64syl3anc 1369 . . . 4 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ)
66 itsclc0lem1 45595 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ)
6758, 44, 61, 66syl3anc 1369 . . . 4 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ)
682, 4prelrrx2b 45553 . . . 4 ((((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ ∧ (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ) ∧ ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ ∧ (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ)) → ((𝑧𝑃 ∧ (((𝑧‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑧‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑧‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑧‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))) ↔ 𝑧 ∈ {{⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}, {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}}))
6957, 63, 65, 67, 68syl22anc 837 . . 3 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑧𝑃 ∧ (((𝑧‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑧‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑧‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑧‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))) ↔ 𝑧 ∈ {{⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}, {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}}))
7014, 69bitrd 282 . 2 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑧 ∈ (( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) ↔ 𝑧 ∈ {{⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}, {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}}))
7170eqrdv 2757 1 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {{⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}, {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2952   ∩ cin 3860  {csn 4526  {cpr 4528  ⟨cop 4532   class class class wbr 5037   × cxp 5527  ‘cfv 6341  (class class class)co 7157   ↑m cmap 8423  ℝcr 10588  0cc0 10589  1c1 10590   + caddc 10592   · cmul 10594   < clt 10727   ≤ cle 10728   − cmin 10922   / cdiv 11349  2c2 11743  ℝ+crp 12444  ↑cexp 13493  √csqrt 14654  ℝ^crrx 24098  LineMcline 45566  Spherecsph 45567 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5161  ax-sep 5174  ax-nul 5181  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7466  ax-inf2 9151  ax-cnex 10645  ax-resscn 10646  ax-1cn 10647  ax-icn 10648  ax-addcl 10649  ax-addrcl 10650  ax-mulcl 10651  ax-mulrcl 10652  ax-mulcom 10653  ax-addass 10654  ax-mulass 10655  ax-distr 10656  ax-i2m1 10657  ax-1ne0 10658  ax-1rid 10659  ax-rnegex 10660  ax-rrecex 10661  ax-cnre 10662  ax-pre-lttri 10663  ax-pre-lttrn 10664  ax-pre-ltadd 10665  ax-pre-mulgt0 10666  ax-pre-sup 10667  ax-addf 10668  ax-mulf 10669 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3700  df-csb 3809  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4229  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4803  df-int 4843  df-iun 4889  df-br 5038  df-opab 5100  df-mpt 5118  df-tr 5144  df-id 5435  df-eprel 5440  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-se 5489  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6132  df-ord 6178  df-on 6179  df-lim 6180  df-suc 6181  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-isom 6350  df-riota 7115  df-ov 7160  df-oprab 7161  df-mpo 7162  df-of 7412  df-om 7587  df-1st 7700  df-2nd 7701  df-supp 7843  df-tpos 7909  df-wrecs 7964  df-recs 8025  df-rdg 8063  df-1o 8119  df-er 8306  df-map 8425  df-ixp 8494  df-en 8542  df-dom 8543  df-sdom 8544  df-fin 8545  df-fsupp 8881  df-sup 8953  df-oi 9021  df-card 9415  df-pnf 10729  df-mnf 10730  df-xr 10731  df-ltxr 10732  df-le 10733  df-sub 10924  df-neg 10925  df-div 11350  df-nn 11689  df-2 11751  df-3 11752  df-4 11753  df-5 11754  df-6 11755  df-7 11756  df-8 11757  df-9 11758  df-n0 11949  df-z 12035  df-dec 12152  df-uz 12297  df-rp 12445  df-xneg 12562  df-xadd 12563  df-xmul 12564  df-ico 12799  df-icc 12800  df-fz 12954  df-fzo 13097  df-seq 13433  df-exp 13494  df-hash 13755  df-cj 14520  df-re 14521  df-im 14522  df-sqrt 14656  df-abs 14657  df-clim 14907  df-sum 15105  df-struct 16558  df-ndx 16559  df-slot 16560  df-base 16562  df-sets 16563  df-ress 16564  df-plusg 16651  df-mulr 16652  df-starv 16653  df-sca 16654  df-vsca 16655  df-ip 16656  df-tset 16657  df-ple 16658  df-ds 16660  df-unif 16661  df-hom 16662  df-cco 16663  df-0g 16788  df-gsum 16789  df-prds 16794  df-pws 16796  df-mgm 17933  df-sgrp 17982  df-mnd 17993  df-mhm 18037  df-grp 18187  df-minusg 18188  df-sbg 18189  df-subg 18358  df-ghm 18438  df-cntz 18529  df-cmn 18990  df-abl 18991  df-mgp 19323  df-ur 19335  df-ring 19382  df-cring 19383  df-oppr 19459  df-dvdsr 19477  df-unit 19478  df-invr 19508  df-dvr 19519  df-rnghom 19553  df-drng 19587  df-field 19588  df-subrg 19616  df-staf 19699  df-srng 19700  df-lmod 19719  df-lss 19787  df-sra 20027  df-rgmod 20028  df-xmet 20174  df-met 20175  df-cnfld 20182  df-refld 20385  df-dsmm 20512  df-frlm 20527  df-nm 23299  df-tng 23301  df-tcph 23885  df-rrx 24100  df-ehl 24101  df-line 45568  df-sph 45569 This theorem is referenced by:  inlinecirc02plem  45625
 Copyright terms: Public domain W3C validator