Theorem itsclinecirc0in 48755

Description: The intersection points of a line through two different points and a circle around the origin, using the definition of a line in a two dimensional Euclidean space, expressed as intersection. (Contributed by AV, 7-May-2023.) (Revised by AV, 14-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
itsclinecirc0b.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
itsclinecirc0b.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
itsclinecirc0b.p	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
itsclinecirc0b.s	⊢ 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
itsclinecirc0b.0	⊢ 0 = (𝐼 × {0})
itsclinecirc0b.q	⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
itsclinecirc0b.d	⊢ 𝐷 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
itsclinecirc0b.l	⊢ 𝐿 = (LineM‘𝐸)
itsclinecirc0b.a	⊢ 𝐴 = ((𝑋‘2) − (𝑌‘2))
itsclinecirc0b.b	⊢ 𝐵 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
itsclinecirc0b.c	⊢ 𝐶 = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))

Assertion

Ref	Expression
itsclinecirc0in	⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {{⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}, {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}})

Proof of Theorem itsclinecirc0in

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3942	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ (( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) ↔ (𝑧 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)))
2		itsclinecirc0b.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
3		itsclinecirc0b.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
4		itsclinecirc0b.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
5		itsclinecirc0b.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
6		itsclinecirc0b.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (𝐼 × {0})
7		itsclinecirc0b.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
8		itsclinecirc0b.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
9		itsclinecirc0b.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineM‘𝐸)
10		itsclinecirc0b.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = ((𝑋‘2) − (𝑌‘2))
11		itsclinecirc0b.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
12		itsclinecirc0b.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))
13	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	itsclinecirc0b 48754	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑧 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ↔ (𝑧 ∈ 𝑃 ∧ (((𝑧‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑧‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑧‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑧‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))))
14	1, 13	bitrid 283	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑧 ∈ (( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) ↔ (𝑧 ∈ 𝑃 ∧ (((𝑧‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑧‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑧‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑧‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))))
15	2, 4	rrx2pyel 48692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
17	2, 4	rrx2pyel 48692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
18	17	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
19	16, 18	resubcld 11665	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ∈ ℝ)
20	10, 19	eqeltrid 2838	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → 𝐴 ∈ ℝ)
21	20	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝐴 ∈ ℝ)
22	21	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ)
23	2, 4	rrx2pxel 48691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
24	23	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
25	2, 4	rrx2pxel 48691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
27	24, 26	resubcld 11665	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ∈ ℝ)
28	11, 27	eqeltrid 2838	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → 𝐵 ∈ ℝ)
29	28	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝐵 ∈ ℝ)
30	29	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝐵 ∈ ℝ)
31	16, 24	remulcld 11265	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) ∈ ℝ)
32	26, 18	remulcld 11265	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)) ∈ ℝ)
33	31, 32	resubcld 11665	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) ∈ ℝ)
34	12, 33	eqeltrid 2838	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → 𝐶 ∈ ℝ)
35	34	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝐶 ∈ ℝ)
36	35	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝐶 ∈ ℝ)
37	22, 30, 36	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
38	21, 29, 35	3jca 1128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
39		rpre 13017	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 𝑅 ∈ ℝ)
40	39	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝑅 ∈ ℝ)
41	7, 8	itsclc0lem3 48738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝐷 ∈ ℝ)
42	38, 40, 41	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℝ)
43		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 0 ≤ 𝐷)
44	42, 43	jca 511	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))
45	20, 28	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
46	7	resum2sqcl 48686	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝑄 ∈ ℝ)
47	45, 46	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → 𝑄 ∈ ℝ)
48	47	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑄 ∈ ℝ)
49	2, 4, 11, 10	rrx2pnedifcoorneorr 48697	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝐵 ≠ 0 ∨ 𝐴 ≠ 0))
50	49	orcomd 871	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))
51	7	resum2sqorgt0 48689	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) → 0 < 𝑄)
52	21, 29, 50, 51	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 0 < 𝑄)
53	52	gt0ne0d 11801	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑄 ≠ 0)
54	48, 53	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑄 ≠ 0))
55	54	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑄 ≠ 0))
56		itsclc0lem1 48736	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ)
57	37, 44, 55, 56	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ)
58	30, 22, 36	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
59	48	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝑄 ∈ ℝ)
60	53	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝑄 ≠ 0)
61	59, 60	jca 511	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑄 ≠ 0))
62		itsclc0lem2 48737	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ)
63	58, 44, 61, 62	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ)
64		itsclc0lem2 48737	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ)
65	37, 44, 61, 64	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ)
66		itsclc0lem1 48736	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ)
67	58, 44, 61, 66	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ)
68	2, 4	prelrrx2b 48694	. . . 4 ⊢ ((((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ ∧ (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ) ∧ ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ ∧ (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ)) → ((𝑧 ∈ 𝑃 ∧ (((𝑧‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑧‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑧‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑧‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))) ↔ 𝑧 ∈ {{⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}, {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}}))
69	57, 63, 65, 67, 68	syl22anc 838	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑧 ∈ 𝑃 ∧ (((𝑧‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑧‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑧‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑧‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))) ↔ 𝑧 ∈ {{⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}, {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}}))
70	14, 69	bitrd 279	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑧 ∈ (( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) ↔ 𝑧 ∈ {{⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}, {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}}))
71	70	eqrdv 2733	1 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {{⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}, {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932   ∩ cin 3925  {csn 4601  {cpr 4603  ⟨cop 4607   class class class wbr 5119   × cxp 5652  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   ↑_m cmap 8840  ℝcr 11128  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132   · cmul 11134   < clt 11269   ≤ cle 11270   − cmin 11466   / cdiv 11894  2c2 12295  ℝ⁺crp 13008  ↑cexp 14079  √csqrt 15252  ℝ^crrx 25335  Line_Mcline 48707  Spherecsph 48708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207  ax-addf 11208  ax-mulf 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-map 8842  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-sup 9454  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-rp 13009  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-seq 14020  df-exp 14080  df-hash 14349  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-clim 15504  df-sum 15703  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-hom 17295  df-cco 17296  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-prds 17461  df-pws 17463  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-mhm 18761  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-subg 19106  df-ghm 19196  df-cntz 19300  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-ring 20195  df-cring 20196  df-oppr 20297  df-dvdsr 20317  df-unit 20318  df-invr 20348  df-dvr 20361  df-rhm 20432  df-subrng 20506  df-subrg 20530  df-drng 20691  df-field 20692  df-staf 20799  df-srng 20800  df-lmod 20819  df-lss 20889  df-sra 21131  df-rgmod 21132  df-xmet 21308  df-met 21309  df-cnfld 21316  df-refld 21565  df-dsmm 21692  df-frlm 21707  df-nm 24521  df-tng 24523  df-tcph 25121  df-rrx 25337  df-ehl 25338  df-line 48709  df-sph 48710

This theorem is referenced by:  inlinecirc02plem  48766