Theorem itsclinecirc0in 50090

Description: The intersection points of a line through two different points and a circle around the origin, using the definition of a line in a two dimensional Euclidean space, expressed as intersection. (Contributed by AV, 7-May-2023.) (Revised by AV, 14-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
itsclinecirc0b.i	⊢ 𝐼 = (0..^2)
itsclinecirc0b.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
itsclinecirc0b.p	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
itsclinecirc0b.s	⊢ 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
itsclinecirc0b.0	⊢ 0 = (𝐼 × {0})
itsclinecirc0b.q	⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
itsclinecirc0b.d	⊢ 𝐷 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
itsclinecirc0b.l	⊢ 𝐿 = (LineM‘𝐸)
itsclinecirc0b.a	⊢ 𝐴 = ((𝑋‘1) − (𝑌‘1))
itsclinecirc0b.b	⊢ 𝐵 = ((𝑌‘0) − (𝑋‘0))
itsclinecirc0b.c	⊢ 𝐶 = (((𝑋‘1) · (𝑌‘0)) − ((𝑋‘0) · (𝑌‘1)))

Assertion

Ref	Expression
itsclinecirc0in	⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {⟨“(((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)(((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)”⟩, ⟨“(((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)(((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)”⟩})

Proof of Theorem itsclinecirc0in

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 4096	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ (( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) ↔ (𝑧 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)))
2		itsclinecirc0b.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (0..^2)
3		itsclinecirc0b.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
4		itsclinecirc0b.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
5		itsclinecirc0b.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
6		itsclinecirc0b.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (𝐼 × {0})
7		itsclinecirc0b.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
8		itsclinecirc0b.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
9		itsclinecirc0b.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineM‘𝐸)
10		itsclinecirc0b.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = ((𝑋‘1) − (𝑌‘1))
11		itsclinecirc0b.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = ((𝑌‘0) − (𝑋‘0))
12		itsclinecirc0b.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (((𝑋‘1) · (𝑌‘0)) − ((𝑋‘0) · (𝑌‘1)))
13	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	itsclinecirc0b 50089	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑧 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ↔ (𝑧 ∈ 𝑃 ∧ (((𝑧‘0) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑧‘1) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑧‘0) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑧‘1) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))))
14	1, 13	bitrid 286	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑧 ∈ (( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) ↔ (𝑧 ∈ 𝑃 ∧ (((𝑧‘0) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑧‘1) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑧‘0) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑧‘1) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))))
15	2, 4	rrx2pyel 50027	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
16	15	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
17	2, 4	rrx2pyel 50027	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
18	17	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
19	16, 18	resubcld 11768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋‘1) − (𝑌‘1)) ∈ ℝ)
20	10, 19	eqeltrid 2868	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → 𝐴 ∈ ℝ)
21	20	3adant3 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝐴 ∈ ℝ)
22	21	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ)
23	2, 4	rrx2pxel 50026	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘0) ∈ ℝ)
24	23	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑌‘0) ∈ ℝ)
25	2, 4	rrx2pxel 50026	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘0) ∈ ℝ)
26	25	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋‘0) ∈ ℝ)
27	24, 26	resubcld 11768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑌‘0) − (𝑋‘0)) ∈ ℝ)
28	11, 27	eqeltrid 2868	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → 𝐵 ∈ ℝ)
29	28	3adant3 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝐵 ∈ ℝ)
30	29	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝐵 ∈ ℝ)
31	16, 24	remulcld 11363	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋‘1) · (𝑌‘0)) ∈ ℝ)
32	26, 18	remulcld 11363	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋‘0) · (𝑌‘1)) ∈ ℝ)
33	31, 32	resubcld 11768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (((𝑋‘1) · (𝑌‘0)) − ((𝑋‘0) · (𝑌‘1))) ∈ ℝ)
34	12, 33	eqeltrid 2868	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → 𝐶 ∈ ℝ)
35	34	3adant3 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝐶 ∈ ℝ)
36	35	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝐶 ∈ ℝ)
37	22, 30, 36	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
38	21, 29, 35	3jca 1146	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
39		rpre 13153	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 𝑅 ∈ ℝ)
40	39	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝑅 ∈ ℝ)
41	7, 8	itsclc0lem3 50073	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝐷 ∈ ℝ)
42	38, 40, 41	syl2an 608	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℝ)
43		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 0 ≤ 𝐷)
44	42, 43	jca 521	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))
45	7	resum2sqcl 50021	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝑄 ∈ ℝ)
46	20, 28, 45	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → 𝑄 ∈ ℝ)
47	46	3adant3 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑄 ∈ ℝ)
48	2, 4, 11, 10	rrx2pnedifcoorneorr 50033	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝐵 ≠ 0 ∨ 𝐴 ≠ 0))
49	48	orcomd 885	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))
50	7	resum2sqorgt0 50024	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) → 0 < 𝑄)
51	21, 29, 49, 50	syl3anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 0 < 𝑄)
52	51	gt0ne0d 11904	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑄 ≠ 0)
53	47, 52	jca 521	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑄 ≠ 0))
54	53	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑄 ≠ 0))
55		itsclc0lem1 50071	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ)
56	37, 44, 54, 55	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ)
57	30, 22, 36	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
58		itsclc0lem2 50072	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ)
59	57, 44, 54, 58	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ)
60		itsclc0lem2 50072	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ)
61	37, 44, 54, 60	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ)
62		itsclc0lem1 50071	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ)
63	57, 44, 54, 62	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ)
64	2, 4	prelrrx2b 50030	. . . 4 ⊢ ((((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ ∧ (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ) ∧ ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ ∧ (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ)) → ((𝑧 ∈ 𝑃 ∧ (((𝑧‘0) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑧‘1) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑧‘0) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑧‘1) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))) ↔ 𝑧 ∈ {⟨“(((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)(((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)”⟩, ⟨“(((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)(((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)”⟩}))
65	56, 59, 61, 63, 64	syl22anc 852	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑧 ∈ 𝑃 ∧ (((𝑧‘0) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑧‘1) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑧‘0) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑧‘1) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))) ↔ 𝑧 ∈ {⟨“(((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)(((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)”⟩, ⟨“(((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)(((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)”⟩}))
66	14, 65	bitrd 282	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑧 ∈ (( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) ↔ 𝑧 ∈ {⟨“(((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)(((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)”⟩, ⟨“(((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)(((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)”⟩}))
67	66	eqrdv 2761	1 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {⟨“(((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)(((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)”⟩, ⟨“(((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)(((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)”⟩})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ∩ cin 4092  {csn 4588  {cpr 4590   class class class wbr 5106   × cxp 5653  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440   ↑_m cmap 8872  ℝcr 11223  0cc0 11224  1c1 11225   + caddc 11227   · cmul 11229   < clt 11367   ≤ cle 11368   − cmin 11565   / cdiv 11997  2c2 12421  ℝ⁺crp 13144  ..^cfzo 13812  ↑cexp 14228  ⟨“cs2 15017  √csqrt 15426  ℝ^crrx 25731  Line_Mcline 50043  Spherecsph 50044

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-inf2 9666  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302  ax-addf 11303  ax-mulf 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-of 7714  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8202  df-tpos 8268  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-oadd 8505  df-er 8742  df-map 8874  df-ixp 8951  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fsupp 9379  df-sup 9458  df-oi 9528  df-dju 10006  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-rp 13145  df-xneg 13265  df-xadd 13266  df-xmul 13267  df-ico 13506  df-icc 13507  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-seq 14169  df-exp 14229  df-hash 14499  df-word 14683  df-concat 14740  df-s1 14767  df-s2 15024  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-clim 15681  df-sum 15880  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-starv 17469  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-unif 17477  df-hom 17478  df-cco 17479  df-0g 17638  df-gsum 17639  df-prds 17644  df-pws 17646  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-mhm 19004  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-sbg 19175  df-subg 19359  df-ghm 19454  df-cntz 19558  df-cmn 20023  df-abl 20024  df-mgp 20388  df-rng 20402  df-ur 20435  df-ring 20488  df-cring 20489  df-oppr 20594  df-dvdsr 20614  df-unit 20615  df-invr 20645  df-dvr 20658  df-rhm 20729  df-subrng 20825  df-subrg 20849  df-drng 21009  df-field 21010  df-staf 21123  df-srng 21124  df-lmod 21164  df-lss 21234  df-sra 21475  df-rgmod 21476  df-xmet 21698  df-met 21699  df-cnfld 21706  df-refld 21938  df-dsmm 22065  df-frlm 22080  df-nm 24928  df-tng 24930  df-tcph 25517  df-rrx 25733  df-ehl 25734  df-line 50045  df-sph 50046

This theorem is used by:  inlinecirc02plem  50101