Theorem itsclinecirc0in 48509

Description: The intersection points of a line through two different points and a circle around the origin, using the definition of a line in a two dimensional Euclidean space, expressed as intersection. (Contributed by AV, 7-May-2023.) (Revised by AV, 14-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
itsclinecirc0b.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
itsclinecirc0b.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
itsclinecirc0b.p	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
itsclinecirc0b.s	⊢ 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
itsclinecirc0b.0	⊢ 0 = (𝐼 × {0})
itsclinecirc0b.q	⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
itsclinecirc0b.d	⊢ 𝐷 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
itsclinecirc0b.l	⊢ 𝐿 = (LineM‘𝐸)
itsclinecirc0b.a	⊢ 𝐴 = ((𝑋‘2) − (𝑌‘2))
itsclinecirc0b.b	⊢ 𝐵 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
itsclinecirc0b.c	⊢ 𝐶 = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))

Assertion

Ref	Expression
itsclinecirc0in	⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {{⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}, {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}})

Proof of Theorem itsclinecirc0in

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3992	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ (( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) ↔ (𝑧 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)))
2		itsclinecirc0b.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
3		itsclinecirc0b.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
4		itsclinecirc0b.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
5		itsclinecirc0b.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Sphere‘𝐸)
6		itsclinecirc0b.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (𝐼 × {0})
7		itsclinecirc0b.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
8		itsclinecirc0b.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
9		itsclinecirc0b.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineM‘𝐸)
10		itsclinecirc0b.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = ((𝑋‘2) − (𝑌‘2))
11		itsclinecirc0b.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
12		itsclinecirc0b.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))
13	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	itsclinecirc0b 48508	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑧 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) ↔ (𝑧 ∈ 𝑃 ∧ (((𝑧‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑧‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑧‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑧‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))))
14	1, 13	bitrid 283	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑧 ∈ (( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) ↔ (𝑧 ∈ 𝑃 ∧ (((𝑧‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑧‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑧‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑧‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄))))))
15	2, 4	rrx2pyel 48446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
17	2, 4	rrx2pyel 48446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
18	17	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
19	16, 18	resubcld 11718	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) ∈ ℝ)
20	10, 19	eqeltrid 2848	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → 𝐴 ∈ ℝ)
21	20	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝐴 ∈ ℝ)
22	21	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝐴 ∈ ℝ)
23	2, 4	rrx2pxel 48445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
24	23	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑌‘1) ∈ ℝ)
25	2, 4	rrx2pxel 48445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
27	24, 26	resubcld 11718	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) ∈ ℝ)
28	11, 27	eqeltrid 2848	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → 𝐵 ∈ ℝ)
29	28	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝐵 ∈ ℝ)
30	29	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝐵 ∈ ℝ)
31	16, 24	remulcld 11320	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) ∈ ℝ)
32	26, 18	remulcld 11320	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)) ∈ ℝ)
33	31, 32	resubcld 11718	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) ∈ ℝ)
34	12, 33	eqeltrid 2848	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → 𝐶 ∈ ℝ)
35	34	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝐶 ∈ ℝ)
36	35	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝐶 ∈ ℝ)
37	22, 30, 36	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
38	21, 29, 35	3jca 1128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
39		rpre 13065	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 𝑅 ∈ ℝ)
40	39	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷) → 𝑅 ∈ ℝ)
41	7, 8	itsclc0lem3 48492	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝐷 ∈ ℝ)
42	38, 40, 41	syl2an 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℝ)
43		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 0 ≤ 𝐷)
44	42, 43	jca 511	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))
45	20, 28	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
46	7	resum2sqcl 48440	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝑄 ∈ ℝ)
47	45, 46	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → 𝑄 ∈ ℝ)
48	47	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑄 ∈ ℝ)
49	2, 4, 11, 10	rrx2pnedifcoorneorr 48451	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝐵 ≠ 0 ∨ 𝐴 ≠ 0))
50	49	orcomd 870	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))
51	7	resum2sqorgt0 48443	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) → 0 < 𝑄)
52	21, 29, 50, 51	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 0 < 𝑄)
53	52	gt0ne0d 11854	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑄 ≠ 0)
54	48, 53	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑄 ≠ 0))
55	54	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑄 ≠ 0))
56		itsclc0lem1 48490	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ)
57	37, 44, 55, 56	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ)
58	30, 22, 36	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
59	48	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝑄 ∈ ℝ)
60	53	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → 𝑄 ≠ 0)
61	59, 60	jca 511	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑄 ≠ 0))
62		itsclc0lem2 48491	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ)
63	58, 44, 61, 62	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ)
64		itsclc0lem2 48491	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ)
65	37, 44, 61, 64	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ)
66		itsclc0lem1 48490	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ (𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑄 ≠ 0)) → (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ)
67	58, 44, 61, 66	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ)
68	2, 4	prelrrx2b 48448	. . . 4 ⊢ ((((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ ∧ (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ) ∧ ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ ∧ (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∈ ℝ)) → ((𝑧 ∈ 𝑃 ∧ (((𝑧‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑧‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑧‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑧‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))) ↔ 𝑧 ∈ {{⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}, {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}}))
69	57, 63, 65, 67, 68	syl22anc 838	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → ((𝑧 ∈ 𝑃 ∧ (((𝑧‘1) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑧‘2) = (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)) ∨ ((𝑧‘1) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄) ∧ (𝑧‘2) = (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)))) ↔ 𝑧 ∈ {{⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}, {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}}))
70	14, 69	bitrd 279	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝑧 ∈ (( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) ↔ 𝑧 ∈ {{⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}, {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}}))
71	70	eqrdv 2738	1 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (( 0 𝑆𝑅) ∩ (𝑋𝐿𝑌)) = {{⟨1, (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}, {⟨1, (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · (√‘𝐷))) / 𝑄)⟩}})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   ∩ cin 3975  {csn 4648  {cpr 4650  ⟨cop 4654   class class class wbr 5166   × cxp 5698  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ↑_m cmap 8884  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11520   / cdiv 11947  2c2 12348  ℝ⁺crp 13057  ↑cexp 14112  √csqrt 15282  ℝ^crrx 25436  Line_Mcline 48461  Spherecsph 48462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263  ax-mulf 11264

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-sup 9511  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-sum 15735  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-prds 17507  df-pws 17509  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-subg 19163  df-ghm 19253  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-cring 20263  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-dvr 20427  df-rhm 20498  df-subrng 20572  df-subrg 20597  df-drng 20753  df-field 20754  df-staf 20862  df-srng 20863  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-sra 21195  df-rgmod 21196  df-xmet 21380  df-met 21381  df-cnfld 21388  df-refld 21646  df-dsmm 21775  df-frlm 21790  df-nm 24616  df-tng 24618  df-tcph 25222  df-rrx 25438  df-ehl 25439  df-line 48463  df-sph 48464

This theorem is referenced by:  inlinecirc02plem  48520