Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itsclinecirc0in Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itsclinecirc0in 47771
Description: The intersection points of a line through two different points and a circle around the origin, using the definition of a line in a two dimensional Euclidean space, expressed as intersection. (Contributed by AV, 7-May-2023.) (Revised by AV, 14-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
itsclinecirc0b.i 𝐼 = {1, 2}
itsclinecirc0b.e 𝐸 = (ℝ^β€˜πΌ)
itsclinecirc0b.p 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
itsclinecirc0b.s 𝑆 = (Sphereβ€˜πΈ)
itsclinecirc0b.0 0 = (𝐼 Γ— {0})
itsclinecirc0b.q 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐡↑2))
itsclinecirc0b.d 𝐷 = (((𝑅↑2) Β· 𝑄) βˆ’ (𝐢↑2))
itsclinecirc0b.l 𝐿 = (LineMβ€˜πΈ)
itsclinecirc0b.a 𝐴 = ((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))
itsclinecirc0b.b 𝐡 = ((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))
itsclinecirc0b.c 𝐢 = (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))
Assertion
Ref Expression
itsclinecirc0in (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ (( 0 𝑆𝑅) ∩ (π‘‹πΏπ‘Œ)) = {{⟨1, (((𝐴 Β· 𝐢) + (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐡 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)⟩}, {⟨1, (((𝐴 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)⟩}})

Proof of Theorem itsclinecirc0in
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3960 . . . 4 (𝑧 ∈ (( 0 𝑆𝑅) ∩ (π‘‹πΏπ‘Œ)) ↔ (𝑧 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (π‘‹πΏπ‘Œ)))
2 itsclinecirc0b.i . . . . 5 𝐼 = {1, 2}
3 itsclinecirc0b.e . . . . 5 𝐸 = (ℝ^β€˜πΌ)
4 itsclinecirc0b.p . . . . 5 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
5 itsclinecirc0b.s . . . . 5 𝑆 = (Sphereβ€˜πΈ)
6 itsclinecirc0b.0 . . . . 5 0 = (𝐼 Γ— {0})
7 itsclinecirc0b.q . . . . 5 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐡↑2))
8 itsclinecirc0b.d . . . . 5 𝐷 = (((𝑅↑2) Β· 𝑄) βˆ’ (𝐢↑2))
9 itsclinecirc0b.l . . . . 5 𝐿 = (LineMβ€˜πΈ)
10 itsclinecirc0b.a . . . . 5 𝐴 = ((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2))
11 itsclinecirc0b.b . . . . 5 𝐡 = ((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))
12 itsclinecirc0b.c . . . . 5 𝐢 = (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))
132, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12itsclinecirc0b 47770 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ ((𝑧 ∈ ( 0 𝑆𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (π‘‹πΏπ‘Œ)) ↔ (𝑧 ∈ 𝑃 ∧ (((π‘§β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) + (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘§β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)) ∨ ((π‘§β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘§β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄))))))
141, 13bitrid 283 . . 3 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ (𝑧 ∈ (( 0 𝑆𝑅) ∩ (π‘‹πΏπ‘Œ)) ↔ (𝑧 ∈ 𝑃 ∧ (((π‘§β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) + (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘§β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)) ∨ ((π‘§β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘§β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄))))))
152, 4rrx2pyel 47708 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ)
1615adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (π‘‹β€˜2) ∈ ℝ)
172, 4rrx2pyel 47708 . . . . . . . . . . 11 (π‘Œ ∈ 𝑃 β†’ (π‘Œβ€˜2) ∈ ℝ)
1817adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (π‘Œβ€˜2) ∈ ℝ)
1916, 18resubcld 11664 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((π‘‹β€˜2) βˆ’ (π‘Œβ€˜2)) ∈ ℝ)
2010, 19eqeltrid 2832 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
21203adant3 1130 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2221adantr 480 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
232, 4rrx2pxel 47707 . . . . . . . . . . 11 (π‘Œ ∈ 𝑃 β†’ (π‘Œβ€˜1) ∈ ℝ)
2423adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (π‘Œβ€˜1) ∈ ℝ)
252, 4rrx2pxel 47707 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ 𝑃 β†’ (π‘‹β€˜1) ∈ ℝ)
2625adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (π‘‹β€˜1) ∈ ℝ)
2724, 26resubcld 11664 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) ∈ ℝ)
2811, 27eqeltrid 2832 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
29283adant3 1130 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
3029adantr 480 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
3116, 24remulcld 11266 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) ∈ ℝ)
3226, 18remulcld 11266 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)) ∈ ℝ)
3331, 32resubcld 11664 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2))) ∈ ℝ)
3412, 33eqeltrid 2832 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
35343adant3 1130 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
3635adantr 480 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
3722, 30, 363jca 1126 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ))
3821, 29, 353jca 1126 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ))
39 rpre 13006 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
4039adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
417, 8itsclc0lem3 47754 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
4238, 40, 41syl2an 595 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
43 simprr 772 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ 0 ≀ 𝐷)
4442, 43jca 511 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐷))
4520, 28jca 511 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ))
467resum2sqcl 47702 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ 𝑄 ∈ ℝ)
4745, 46syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) β†’ 𝑄 ∈ ℝ)
48473adant3 1130 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ 𝑄 ∈ ℝ)
492, 4, 11, 10rrx2pnedifcoorneorr 47713 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ (𝐡 β‰  0 ∨ 𝐴 β‰  0))
5049orcomd 870 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0))
517resum2sqorgt0 47705 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ (𝐴 β‰  0 ∨ 𝐡 β‰  0)) β†’ 0 < 𝑄)
5221, 29, 50, 51syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ 0 < 𝑄)
5352gt0ne0d 11800 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ 𝑄 β‰  0)
5448, 53jca 511 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ (𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑄 β‰  0))
5554adantr 480 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ (𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑄 β‰  0))
56 itsclc0lem1 47752 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐷) ∧ (𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑄 β‰  0)) β†’ (((𝐴 Β· 𝐢) + (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∈ ℝ)
5737, 44, 55, 56syl3anc 1369 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ (((𝐴 Β· 𝐢) + (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∈ ℝ)
5830, 22, 363jca 1126 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ))
5948adantr 480 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ 𝑄 ∈ ℝ)
6053adantr 480 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ 𝑄 β‰  0)
6159, 60jca 511 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ (𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑄 β‰  0))
62 itsclc0lem2 47753 . . . . 5 (((𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐷) ∧ (𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑄 β‰  0)) β†’ (((𝐡 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∈ ℝ)
6358, 44, 61, 62syl3anc 1369 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ (((𝐡 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∈ ℝ)
64 itsclc0lem2 47753 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐷) ∧ (𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑄 β‰  0)) β†’ (((𝐴 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∈ ℝ)
6537, 44, 61, 64syl3anc 1369 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ (((𝐴 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∈ ℝ)
66 itsclc0lem1 47752 . . . . 5 (((𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐷) ∧ (𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑄 β‰  0)) β†’ (((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∈ ℝ)
6758, 44, 61, 66syl3anc 1369 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ (((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∈ ℝ)
682, 4prelrrx2b 47710 . . . 4 ((((((𝐴 Β· 𝐢) + (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∈ ℝ ∧ (((𝐡 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∈ ℝ) ∧ ((((𝐴 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∈ ℝ ∧ (((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∈ ℝ)) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑃 ∧ (((π‘§β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) + (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘§β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)) ∨ ((π‘§β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘§β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)))) ↔ 𝑧 ∈ {{⟨1, (((𝐴 Β· 𝐢) + (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐡 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)⟩}, {⟨1, (((𝐴 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)⟩}}))
6957, 63, 65, 67, 68syl22anc 838 . . 3 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑃 ∧ (((π‘§β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) + (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘§β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)) ∨ ((π‘§β€˜1) = (((𝐴 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄) ∧ (π‘§β€˜2) = (((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)))) ↔ 𝑧 ∈ {{⟨1, (((𝐴 Β· 𝐢) + (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐡 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)⟩}, {⟨1, (((𝐴 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)⟩}}))
7014, 69bitrd 279 . 2 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ (𝑧 ∈ (( 0 𝑆𝑅) ∩ (π‘‹πΏπ‘Œ)) ↔ 𝑧 ∈ {{⟨1, (((𝐴 Β· 𝐢) + (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐡 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)⟩}, {⟨1, (((𝐴 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)⟩}}))
7170eqrdv 2725 1 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐷)) β†’ (( 0 𝑆𝑅) ∩ (π‘‹πΏπ‘Œ)) = {{⟨1, (((𝐴 Β· 𝐢) + (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐡 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)⟩}, {⟨1, (((𝐴 Β· 𝐢) βˆ’ (𝐡 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)⟩, ⟨2, (((𝐡 Β· 𝐢) + (𝐴 Β· (βˆšβ€˜π·))) / 𝑄)⟩}})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935   ∩ cin 3943  {csn 4624  {cpr 4626  βŸ¨cop 4630   class class class wbr 5142   Γ— cxp 5670  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ↑m cmap 8836  β„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   Β· cmul 11135   < clt 11270   ≀ cle 11271   βˆ’ cmin 11466   / cdiv 11893  2c2 12289  β„+crp 12998  β†‘cexp 14050  βˆšcsqrt 15204  β„^crrx 25298  LineMcline 47723  Spherecsph 47724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209  ax-mulf 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-sup 9457  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-clim 15456  df-sum 15657  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-prds 17420  df-pws 17422  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-mhm 18731  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-subg 19069  df-ghm 19159  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-cring 20167  df-oppr 20262  df-dvdsr 20285  df-unit 20286  df-invr 20316  df-dvr 20329  df-rhm 20400  df-subrng 20472  df-subrg 20497  df-drng 20615  df-field 20616  df-staf 20714  df-srng 20715  df-lmod 20734  df-lss 20805  df-sra 21047  df-rgmod 21048  df-xmet 21259  df-met 21260  df-cnfld 21267  df-refld 21524  df-dsmm 21653  df-frlm 21668  df-nm 24478  df-tng 24480  df-tcph 25084  df-rrx 25300  df-ehl 25301  df-line 47725  df-sph 47726
This theorem is referenced by:  inlinecirc02plem  47782
  Copyright terms: Public domain W3C validator