Theorem rrx2pnedifcoorneorr 46793

Description: If two different points 𝑋 and 𝑌 in a real Euclidean space of dimension 2 are different, then at least one difference of two corresponding coordinates is not 0. (Contributed by AV, 26-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrx2pnecoorneor.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
rrx2pnecoorneor.b	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrx2pnedifcoorneor.a	⊢ 𝐴 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
rrx2pnedifcoorneorr.b	⊢ 𝐵 = ((𝑋‘2) − (𝑌‘2))

Assertion

Ref	Expression
rrx2pnedifcoorneorr	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))

Proof of Theorem rrx2pnedifcoorneorr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrx2pnecoorneor.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
2		rrx2pnecoorneor.b	. . 3 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
3		rrx2pnedifcoorneor.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
4		eqid 2736	. . 3 ⊢ ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))
5	1, 2, 3, 4	rrx2pnedifcoorneor 46792	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝐴 ≠ 0 ∨ ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ≠ 0))
6		eqcom 2743	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌‘2) = (𝑋‘2) ↔ (𝑋‘2) = (𝑌‘2))
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑌‘2) = (𝑋‘2) ↔ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
8	1, 2	rrx2pyel 46788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11183	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
10	1, 2	rrx2pyel 46788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
11	10	recnd 11183	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
12	9, 11	anim12i 613	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋‘2) ∈ ℂ ∧ (𝑌‘2) ∈ ℂ))
13	12	ancomd 462	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑌‘2) ∈ ℂ ∧ (𝑋‘2) ∈ ℂ))
14	13	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑌‘2) ∈ ℂ ∧ (𝑋‘2) ∈ ℂ))
15		subeq0 11427	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑌‘2) ∈ ℂ ∧ (𝑋‘2) ∈ ℂ) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = 0 ↔ (𝑌‘2) = (𝑋‘2)))
16	14, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = 0 ↔ (𝑌‘2) = (𝑋‘2)))
17	12	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑋‘2) ∈ ℂ ∧ (𝑌‘2) ∈ ℂ))
18		subeq0 11427	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋‘2) ∈ ℂ ∧ (𝑌‘2) ∈ ℂ) → (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) = 0 ↔ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
19	17, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) = 0 ↔ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
20	7, 16, 19	3bitr4d 310	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = 0 ↔ ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) = 0))
21		rrx2pnedifcoorneorr.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = ((𝑋‘2) − (𝑌‘2))
22	21	eqcomi 2745	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) = 𝐵
23	22	eqeq1i 2741	. . . . 5 ⊢ (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) = 0 ↔ 𝐵 = 0)
24	20, 23	bitrdi 286	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = 0 ↔ 𝐵 = 0))
25	24	necon3bid 2988	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ 0))
26	25	orbi2d 914	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐴 ≠ 0 ∨ ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ≠ 0) ↔ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)))
27	5, 26	mpbid 231	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  {cpr 4588  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ↑_m cmap 8765  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   − cmin 11385  2c2 12208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-ltxr 11194  df-sub 11387  df-2 12216

This theorem is referenced by:  itsclinecirc0  46849  itsclinecirc0b  46850  itsclinecirc0in  46851  inlinecirc02plem  46862