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Theorem rrx2pnedifcoorneorr 48567
Description: If two different points 𝑋 and 𝑌 in a real Euclidean space of dimension 2 are different, then at least one difference of two corresponding coordinates is not 0. (Contributed by AV, 26-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rrx2pnecoorneor.i 𝐼 = {1, 2}
rrx2pnecoorneor.b 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrx2pnedifcoorneor.a 𝐴 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
rrx2pnedifcoorneorr.b 𝐵 = ((𝑋‘2) − (𝑌‘2))
Assertion
Ref Expression
rrx2pnedifcoorneorr ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))

Proof of Theorem rrx2pnedifcoorneorr
StepHypRef Expression
1 rrx2pnecoorneor.i . . 3 𝐼 = {1, 2}
2 rrx2pnecoorneor.b . . 3 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
3 rrx2pnedifcoorneor.a . . 3 𝐴 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
4 eqid 2735 . . 3 ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))
51, 2, 3, 4rrx2pnedifcoorneor 48566 . 2 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝐴 ≠ 0 ∨ ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ≠ 0))
6 eqcom 2742 . . . . . . 7 ((𝑌‘2) = (𝑋‘2) ↔ (𝑋‘2) = (𝑌‘2))
76a1i 11 . . . . . 6 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → ((𝑌‘2) = (𝑋‘2) ↔ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
81, 2rrx2pyel 48562 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
98recnd 11287 . . . . . . . . . 10 (𝑋𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
101, 2rrx2pyel 48562 . . . . . . . . . . 11 (𝑌𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
1110recnd 11287 . . . . . . . . . 10 (𝑌𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
129, 11anim12i 613 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑋‘2) ∈ ℂ ∧ (𝑌‘2) ∈ ℂ))
1312ancomd 461 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑌‘2) ∈ ℂ ∧ (𝑋‘2) ∈ ℂ))
14133adant3 1131 . . . . . . 7 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → ((𝑌‘2) ∈ ℂ ∧ (𝑋‘2) ∈ ℂ))
15 subeq0 11533 . . . . . . 7 (((𝑌‘2) ∈ ℂ ∧ (𝑋‘2) ∈ ℂ) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = 0 ↔ (𝑌‘2) = (𝑋‘2)))
1614, 15syl 17 . . . . . 6 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = 0 ↔ (𝑌‘2) = (𝑋‘2)))
17123adant3 1131 . . . . . . 7 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → ((𝑋‘2) ∈ ℂ ∧ (𝑌‘2) ∈ ℂ))
18 subeq0 11533 . . . . . . 7 (((𝑋‘2) ∈ ℂ ∧ (𝑌‘2) ∈ ℂ) → (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) = 0 ↔ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
1917, 18syl 17 . . . . . 6 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) = 0 ↔ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
207, 16, 193bitr4d 311 . . . . 5 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = 0 ↔ ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) = 0))
21 rrx2pnedifcoorneorr.b . . . . . . 7 𝐵 = ((𝑋‘2) − (𝑌‘2))
2221eqcomi 2744 . . . . . 6 ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) = 𝐵
2322eqeq1i 2740 . . . . 5 (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) = 0 ↔ 𝐵 = 0)
2420, 23bitrdi 287 . . . 4 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = 0 ↔ 𝐵 = 0))
2524necon3bid 2983 . . 3 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ 0))
2625orbi2d 915 . 2 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → ((𝐴 ≠ 0 ∨ ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ≠ 0) ↔ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)))
275, 26mpbid 232 1 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  {cpr 4633  cfv 6563  (class class class)co 7431  m cmap 8865  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154  cmin 11490  2c2 12319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-sub 11492  df-2 12327
This theorem is referenced by:  itsclinecirc0  48623  itsclinecirc0b  48624  itsclinecirc0in  48625  inlinecirc02plem  48636
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