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Theorem rrx2pnedifcoorneorr 44985
Description: If two different points 𝑋 and 𝑌 in a real Euclidean space of dimension 2 are different, then at least one difference of two corresponding coordinates is not 0. (Contributed by AV, 26-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rrx2pnecoorneor.i 𝐼 = {1, 2}
rrx2pnecoorneor.b 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrx2pnedifcoorneor.a 𝐴 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
rrx2pnedifcoorneorr.b 𝐵 = ((𝑋‘2) − (𝑌‘2))
Assertion
Ref Expression
rrx2pnedifcoorneorr ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))

Proof of Theorem rrx2pnedifcoorneorr
StepHypRef Expression
1 rrx2pnecoorneor.i . . 3 𝐼 = {1, 2}
2 rrx2pnecoorneor.b . . 3 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
3 rrx2pnedifcoorneor.a . . 3 𝐴 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
4 eqid 2824 . . 3 ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))
51, 2, 3, 4rrx2pnedifcoorneor 44984 . 2 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝐴 ≠ 0 ∨ ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ≠ 0))
6 eqcom 2831 . . . . . . 7 ((𝑌‘2) = (𝑋‘2) ↔ (𝑋‘2) = (𝑌‘2))
76a1i 11 . . . . . 6 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → ((𝑌‘2) = (𝑋‘2) ↔ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
81, 2rrx2pyel 44980 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
98recnd 10663 . . . . . . . . . 10 (𝑋𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
101, 2rrx2pyel 44980 . . . . . . . . . . 11 (𝑌𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
1110recnd 10663 . . . . . . . . . 10 (𝑌𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
129, 11anim12i 615 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑋‘2) ∈ ℂ ∧ (𝑌‘2) ∈ ℂ))
1312ancomd 465 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑌‘2) ∈ ℂ ∧ (𝑋‘2) ∈ ℂ))
14133adant3 1129 . . . . . . 7 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → ((𝑌‘2) ∈ ℂ ∧ (𝑋‘2) ∈ ℂ))
15 subeq0 10906 . . . . . . 7 (((𝑌‘2) ∈ ℂ ∧ (𝑋‘2) ∈ ℂ) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = 0 ↔ (𝑌‘2) = (𝑋‘2)))
1614, 15syl 17 . . . . . 6 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = 0 ↔ (𝑌‘2) = (𝑋‘2)))
17123adant3 1129 . . . . . . 7 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → ((𝑋‘2) ∈ ℂ ∧ (𝑌‘2) ∈ ℂ))
18 subeq0 10906 . . . . . . 7 (((𝑋‘2) ∈ ℂ ∧ (𝑌‘2) ∈ ℂ) → (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) = 0 ↔ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
1917, 18syl 17 . . . . . 6 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) = 0 ↔ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
207, 16, 193bitr4d 314 . . . . 5 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = 0 ↔ ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) = 0))
21 rrx2pnedifcoorneorr.b . . . . . . 7 𝐵 = ((𝑋‘2) − (𝑌‘2))
2221eqcomi 2833 . . . . . 6 ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) = 𝐵
2322eqeq1i 2829 . . . . 5 (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) = 0 ↔ 𝐵 = 0)
2420, 23syl6bb 290 . . . 4 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = 0 ↔ 𝐵 = 0))
2524necon3bid 3058 . . 3 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ 0))
2625orbi2d 913 . 2 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → ((𝐴 ≠ 0 ∨ ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ≠ 0) ↔ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)))
275, 26mpbid 235 1 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  {cpr 4552  cfv 6344  (class class class)co 7146  m cmap 8398  cc 10529  cr 10530  0cc0 10531  1c1 10532  cmin 10864  2c2 11687
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4826  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-po 5462  df-so 5463  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-ltxr 10674  df-sub 10866  df-2 11695
This theorem is referenced by:  itsclinecirc0  45041  itsclinecirc0b  45042  itsclinecirc0in  45043  inlinecirc02plem  45054
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