Theorem rrx2pnedifcoorneorr 49872

Description: If two different points 𝑋 and 𝑌 in a real Euclidean space of dimension 2 are different, then at least one difference of two corresponding coordinates is not 0. (Contributed by AV, 26-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrx2pnecoorneor.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
rrx2pnecoorneor.b	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrx2pnedifcoorneor.a	⊢ 𝐴 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
rrx2pnedifcoorneorr.b	⊢ 𝐵 = ((𝑋‘2) − (𝑌‘2))

Assertion

Ref	Expression
rrx2pnedifcoorneorr	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))

Proof of Theorem rrx2pnedifcoorneorr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrx2pnecoorneor.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
2		rrx2pnecoorneor.b	. . 3 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
3		rrx2pnedifcoorneor.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
4		eqid 2760	. . 3 ⊢ ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))
5	1, 2, 3, 4	rrx2pnedifcoorneor 49871	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝐴 ≠ 0 ∨ ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ≠ 0))
6		eqcom 2767	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌‘2) = (𝑋‘2) ↔ (𝑋‘2) = (𝑌‘2))
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑌‘2) = (𝑋‘2) ↔ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
8	1, 2	rrx2pyel 49867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11337	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
10	1, 2	rrx2pyel 49867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
11	10	recnd 11337	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
12	9, 11	anim12i 625	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋‘2) ∈ ℂ ∧ (𝑌‘2) ∈ ℂ))
13	12	ancomd 467	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑌‘2) ∈ ℂ ∧ (𝑋‘2) ∈ ℂ))
14	13	3adant3 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑌‘2) ∈ ℂ ∧ (𝑋‘2) ∈ ℂ))
15		subeq0 11584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑌‘2) ∈ ℂ ∧ (𝑋‘2) ∈ ℂ) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = 0 ↔ (𝑌‘2) = (𝑋‘2)))
16	14, 15	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = 0 ↔ (𝑌‘2) = (𝑋‘2)))
17	12	3adant3 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑋‘2) ∈ ℂ ∧ (𝑌‘2) ∈ ℂ))
18		subeq0 11584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋‘2) ∈ ℂ ∧ (𝑌‘2) ∈ ℂ) → (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) = 0 ↔ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
19	17, 18	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) = 0 ↔ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
20	7, 16, 19	3bitr4d 314	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = 0 ↔ ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) = 0))
21		rrx2pnedifcoorneorr.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = ((𝑋‘2) − (𝑌‘2))
22	21	eqcomi 2769	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) = 𝐵
23	22	eqeq1i 2765	. . . . 5 ⊢ (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) = 0 ↔ 𝐵 = 0)
24	20, 23	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = 0 ↔ 𝐵 = 0))
25	24	necon3bid 2999	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ 0))
26	25	orbi2d 929	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐴 ≠ 0 ∨ ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ≠ 0) ↔ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)))
27	5, 26	mpbid 235	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  {cpr 4585  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8847  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   − cmin 11541  2c2 12397

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-ltxr 11348  df-sub 11543  df-2 12405

This theorem is used by:  itsclinecirc0  49928  itsclinecirc0b  49929  itsclinecirc0in  49930  inlinecirc02plem  49941