Theorem rrx2pnedifcoorneorr 48451

Description: If two different points 𝑋 and 𝑌 in a real Euclidean space of dimension 2 are different, then at least one difference of two corresponding coordinates is not 0. (Contributed by AV, 26-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrx2pnecoorneor.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
rrx2pnecoorneor.b	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrx2pnedifcoorneor.a	⊢ 𝐴 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
rrx2pnedifcoorneorr.b	⊢ 𝐵 = ((𝑋‘2) − (𝑌‘2))

Assertion

Ref	Expression
rrx2pnedifcoorneorr	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))

Proof of Theorem rrx2pnedifcoorneorr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrx2pnecoorneor.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
2		rrx2pnecoorneor.b	. . 3 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
3		rrx2pnedifcoorneor.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
4		eqid 2740	. . 3 ⊢ ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))
5	1, 2, 3, 4	rrx2pnedifcoorneor 48450	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝐴 ≠ 0 ∨ ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ≠ 0))
6		eqcom 2747	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌‘2) = (𝑋‘2) ↔ (𝑋‘2) = (𝑌‘2))
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑌‘2) = (𝑋‘2) ↔ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
8	1, 2	rrx2pyel 48446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
10	1, 2	rrx2pyel 48446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
11	10	recnd 11318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
12	9, 11	anim12i 612	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋‘2) ∈ ℂ ∧ (𝑌‘2) ∈ ℂ))
13	12	ancomd 461	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑌‘2) ∈ ℂ ∧ (𝑋‘2) ∈ ℂ))
14	13	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑌‘2) ∈ ℂ ∧ (𝑋‘2) ∈ ℂ))
15		subeq0 11562	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑌‘2) ∈ ℂ ∧ (𝑋‘2) ∈ ℂ) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = 0 ↔ (𝑌‘2) = (𝑋‘2)))
16	14, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = 0 ↔ (𝑌‘2) = (𝑋‘2)))
17	12	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑋‘2) ∈ ℂ ∧ (𝑌‘2) ∈ ℂ))
18		subeq0 11562	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋‘2) ∈ ℂ ∧ (𝑌‘2) ∈ ℂ) → (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) = 0 ↔ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
19	17, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) = 0 ↔ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
20	7, 16, 19	3bitr4d 311	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = 0 ↔ ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) = 0))
21		rrx2pnedifcoorneorr.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = ((𝑋‘2) − (𝑌‘2))
22	21	eqcomi 2749	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) = 𝐵
23	22	eqeq1i 2745	. . . . 5 ⊢ (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) = 0 ↔ 𝐵 = 0)
24	20, 23	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = 0 ↔ 𝐵 = 0))
25	24	necon3bid 2991	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ 0))
26	25	orbi2d 914	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐴 ≠ 0 ∨ ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ≠ 0) ↔ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)))
27	5, 26	mpbid 232	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  {cpr 4650  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ↑_m cmap 8884  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   − cmin 11520  2c2 12348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11522  df-2 12356

This theorem is referenced by:  itsclinecirc0  48507  itsclinecirc0b  48508  itsclinecirc0in  48509  inlinecirc02plem  48520