Theorem rrx2pnedifcoorneorr 49187

Description: If two different points 𝑋 and 𝑌 in a real Euclidean space of dimension 2 are different, then at least one difference of two corresponding coordinates is not 0. (Contributed by AV, 26-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrx2pnecoorneor.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
rrx2pnecoorneor.b	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrx2pnedifcoorneor.a	⊢ 𝐴 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
rrx2pnedifcoorneorr.b	⊢ 𝐵 = ((𝑋‘2) − (𝑌‘2))

Assertion

Ref	Expression
rrx2pnedifcoorneorr	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))

Proof of Theorem rrx2pnedifcoorneorr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrx2pnecoorneor.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
2		rrx2pnecoorneor.b	. . 3 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
3		rrx2pnedifcoorneor.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
4		eqid 2737	. . 3 ⊢ ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))
5	1, 2, 3, 4	rrx2pnedifcoorneor 49186	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝐴 ≠ 0 ∨ ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ≠ 0))
6		eqcom 2744	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌‘2) = (𝑋‘2) ↔ (𝑋‘2) = (𝑌‘2))
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑌‘2) = (𝑋‘2) ↔ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
8	1, 2	rrx2pyel 49182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11173	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
10	1, 2	rrx2pyel 49182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
11	10	recnd 11173	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
12	9, 11	anim12i 614	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑋‘2) ∈ ℂ ∧ (𝑌‘2) ∈ ℂ))
13	12	ancomd 461	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) → ((𝑌‘2) ∈ ℂ ∧ (𝑋‘2) ∈ ℂ))
14	13	3adant3 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑌‘2) ∈ ℂ ∧ (𝑋‘2) ∈ ℂ))
15		subeq0 11420	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑌‘2) ∈ ℂ ∧ (𝑋‘2) ∈ ℂ) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = 0 ↔ (𝑌‘2) = (𝑋‘2)))
16	14, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = 0 ↔ (𝑌‘2) = (𝑋‘2)))
17	12	3adant3 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝑋‘2) ∈ ℂ ∧ (𝑌‘2) ∈ ℂ))
18		subeq0 11420	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋‘2) ∈ ℂ ∧ (𝑌‘2) ∈ ℂ) → (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) = 0 ↔ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
19	17, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) = 0 ↔ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
20	7, 16, 19	3bitr4d 311	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = 0 ↔ ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) = 0))
21		rrx2pnedifcoorneorr.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = ((𝑋‘2) − (𝑌‘2))
22	21	eqcomi 2746	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) = 𝐵
23	22	eqeq1i 2742	. . . . 5 ⊢ (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) = 0 ↔ 𝐵 = 0)
24	20, 23	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = 0 ↔ 𝐵 = 0))
25	24	necon3bid 2977	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ 0))
26	25	orbi2d 916	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ((𝐴 ≠ 0 ∨ ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ≠ 0) ↔ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)))
27	5, 26	mpbid 232	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  {cpr 4570  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367   ↑_m cmap 8773  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   − cmin 11377  2c2 12236

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184  df-sub 11379  df-2 12244

This theorem is referenced by:  itsclinecirc0  49243  itsclinecirc0b  49244  itsclinecirc0in  49245  inlinecirc02plem  49256