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Theorem rrx2pnedifcoorneorr 46704
Description: If two different points 𝑋 and 𝑌 in a real Euclidean space of dimension 2 are different, then at least one difference of two corresponding coordinates is not 0. (Contributed by AV, 26-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rrx2pnecoorneor.i 𝐼 = {1, 2}
rrx2pnecoorneor.b 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrx2pnedifcoorneor.a 𝐴 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
rrx2pnedifcoorneorr.b 𝐵 = ((𝑋‘2) − (𝑌‘2))
Assertion
Ref Expression
rrx2pnedifcoorneorr ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))

Proof of Theorem rrx2pnedifcoorneorr
StepHypRef Expression
1 rrx2pnecoorneor.i . . 3 𝐼 = {1, 2}
2 rrx2pnecoorneor.b . . 3 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
3 rrx2pnedifcoorneor.a . . 3 𝐴 = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
4 eqid 2737 . . 3 ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))
51, 2, 3, 4rrx2pnedifcoorneor 46703 . 2 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝐴 ≠ 0 ∨ ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ≠ 0))
6 eqcom 2744 . . . . . . 7 ((𝑌‘2) = (𝑋‘2) ↔ (𝑋‘2) = (𝑌‘2))
76a1i 11 . . . . . 6 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → ((𝑌‘2) = (𝑋‘2) ↔ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
81, 2rrx2pyel 46699 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℝ)
98recnd 11141 . . . . . . . . . 10 (𝑋𝑃 → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
101, 2rrx2pyel 46699 . . . . . . . . . . 11 (𝑌𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℝ)
1110recnd 11141 . . . . . . . . . 10 (𝑌𝑃 → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
129, 11anim12i 613 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑋‘2) ∈ ℂ ∧ (𝑌‘2) ∈ ℂ))
1312ancomd 462 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑃𝑌𝑃) → ((𝑌‘2) ∈ ℂ ∧ (𝑋‘2) ∈ ℂ))
14133adant3 1132 . . . . . . 7 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → ((𝑌‘2) ∈ ℂ ∧ (𝑋‘2) ∈ ℂ))
15 subeq0 11385 . . . . . . 7 (((𝑌‘2) ∈ ℂ ∧ (𝑋‘2) ∈ ℂ) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = 0 ↔ (𝑌‘2) = (𝑋‘2)))
1614, 15syl 17 . . . . . 6 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = 0 ↔ (𝑌‘2) = (𝑋‘2)))
17123adant3 1132 . . . . . . 7 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → ((𝑋‘2) ∈ ℂ ∧ (𝑌‘2) ∈ ℂ))
18 subeq0 11385 . . . . . . 7 (((𝑋‘2) ∈ ℂ ∧ (𝑌‘2) ∈ ℂ) → (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) = 0 ↔ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
1917, 18syl 17 . . . . . 6 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) = 0 ↔ (𝑋‘2) = (𝑌‘2)))
207, 16, 193bitr4d 310 . . . . 5 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = 0 ↔ ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) = 0))
21 rrx2pnedifcoorneorr.b . . . . . . 7 𝐵 = ((𝑋‘2) − (𝑌‘2))
2221eqcomi 2746 . . . . . 6 ((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) = 𝐵
2322eqeq1i 2742 . . . . 5 (((𝑋‘2) − (𝑌‘2)) = 0 ↔ 𝐵 = 0)
2420, 23bitrdi 286 . . . 4 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = 0 ↔ 𝐵 = 0))
2524necon3bid 2986 . . 3 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ 0))
2625orbi2d 914 . 2 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → ((𝐴 ≠ 0 ∨ ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ≠ 0) ↔ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)))
275, 26mpbid 231 1 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  {cpr 4586  cfv 6493  (class class class)co 7351  m cmap 8723  cc 11007  cr 11008  0cc0 11009  1c1 11010  cmin 11343  2c2 12166
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-er 8606  df-map 8725  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-ltxr 11152  df-sub 11345  df-2 12174
This theorem is referenced by:  itsclinecirc0  46760  itsclinecirc0b  46761  itsclinecirc0in  46762  inlinecirc02plem  46773
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