Proof of Theorem sgnsub
| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | simpll 767 | . . 3
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐴 ∈ ℝ) | 
| 2 | 1 | rexrd 11311 | . 2
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐴 ∈
ℝ*) | 
| 3 |  | eqeq2 2749 | . 2
⊢
((sgn‘𝐴) = 0
→ ((sgn‘(𝐴
− 𝐵)) =
(sgn‘𝐴) ↔
(sgn‘(𝐴 − 𝐵)) = 0)) | 
| 4 |  | eqeq2 2749 | . 2
⊢
((sgn‘𝐴) = 1
→ ((sgn‘(𝐴
− 𝐵)) =
(sgn‘𝐴) ↔
(sgn‘(𝐴 − 𝐵)) = 1)) | 
| 5 |  | eqeq2 2749 | . 2
⊢
((sgn‘𝐴) = -1
→ ((sgn‘(𝐴
− 𝐵)) =
(sgn‘𝐴) ↔
(sgn‘(𝐴 − 𝐵)) = -1)) | 
| 6 |  | simpr 484 | . . 3
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 = 0) | 
| 7 | 1 | recnd 11289 | . . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐴 ∈ ℂ) | 
| 8 | 7 | adantr 480 | . . . 4
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 ∈ ℂ) | 
| 9 |  | simplr 769 | . . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐵 ∈ ℝ) | 
| 10 | 9 | recnd 11289 | . . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐵 ∈ ℂ) | 
| 11 | 10 | adantr 480 | . . . 4
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐵 ∈ ℂ) | 
| 12 |  | simplr 769 | . . . . 5
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 · 𝐵) < 0) | 
| 13 | 12 | lt0ne0d 11828 | . . . 4
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0) | 
| 14 | 8, 11, 13 | mulne0bad 11918 | . . 3
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 ≠ 0) | 
| 15 | 6, 14 | pm2.21ddne 3026 | . 2
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 = 0) → (sgn‘(𝐴 − 𝐵)) = 0) | 
| 16 |  | simplll 775 | . . . . 5
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ) | 
| 17 |  | simpllr 776 | . . . . 5
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ) | 
| 18 | 16, 17 | resubcld 11691 | . . . 4
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ) | 
| 19 | 18 | rexrd 11311 | . . 3
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 − 𝐵) ∈
ℝ*) | 
| 20 |  | 0red 11264 | . . . . 5
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ) | 
| 21 |  | simpr 484 | . . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝐴 · 𝐵) < 0) | 
| 22 | 1, 9, 21 | mul2lt0lgt0 13140 | . . . . 5
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 < 0) | 
| 23 |  | simpr 484 | . . . . 5
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴) | 
| 24 | 17, 20, 16, 22, 23 | lttrd 11422 | . . . 4
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 < 𝐴) | 
| 25 |  | simpr 484 | . . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈
ℝ) | 
| 26 |  | simpl 482 | . . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈
ℝ) | 
| 27 | 25, 26 | posdifd 11850 | . . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 − 𝐵))) | 
| 28 | 27 | biimpa 476 | . . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 0 < (𝐴 − 𝐵)) | 
| 29 | 16, 17, 24, 28 | syl21anc 838 | . . 3
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴 − 𝐵)) | 
| 30 |  | sgnp 15129 | . . 3
⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 <
(𝐴 − 𝐵)) → (sgn‘(𝐴 − 𝐵)) = 1) | 
| 31 | 19, 29, 30 | syl2anc 584 | . 2
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘(𝐴 − 𝐵)) = 1) | 
| 32 |  | simplll 775 | . . . . 5
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ) | 
| 33 |  | simpllr 776 | . . . . 5
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐵 ∈ ℝ) | 
| 34 | 32, 33 | resubcld 11691 | . . . 4
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ) | 
| 35 | 34 | rexrd 11311 | . . 3
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 − 𝐵) ∈
ℝ*) | 
| 36 |  | 0red 11264 | . . . 4
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 0 ∈
ℝ) | 
| 37 | 7 | adantr 480 | . . . . . 6
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℂ) | 
| 38 | 37 | subid1d 11609 | . . . . 5
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 − 0) = 𝐴) | 
| 39 |  | simpr 484 | . . . . . 6
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 < 0) | 
| 40 | 1, 9, 21 | mul2lt0llt0 13139 | . . . . . 6
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 0 < 𝐵) | 
| 41 | 32, 36, 33, 39, 40 | lttrd 11422 | . . . . 5
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 < 𝐵) | 
| 42 | 38, 41 | eqbrtrd 5165 | . . . 4
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 − 0) < 𝐵) | 
| 43 | 32, 36, 33, 42 | ltsub23d 11868 | . . 3
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 − 𝐵) < 0) | 
| 44 |  | sgnn 15133 | . . 3
⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 − 𝐵) < 0) → (sgn‘(𝐴 − 𝐵)) = -1) | 
| 45 | 35, 43, 44 | syl2anc 584 | . 2
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → (sgn‘(𝐴 − 𝐵)) = -1) | 
| 46 | 2, 3, 4, 5, 15, 31, 45 | sgn3da 34544 | 1
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (sgn‘(𝐴 − 𝐵)) = (sgn‘𝐴)) |