Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sgnsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sgnsub 34164
Description: Subtraction of a number of opposite sign. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
sgnsub (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โ†’ (sgnโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) = (sgnโ€˜๐ด))

Proof of Theorem sgnsub
StepHypRef Expression
1 simpll 766 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
21rexrd 11295 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
3 eqeq2 2740 . 2 ((sgnโ€˜๐ด) = 0 โ†’ ((sgnโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) = (sgnโ€˜๐ด) โ†” (sgnโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) = 0))
4 eqeq2 2740 . 2 ((sgnโ€˜๐ด) = 1 โ†’ ((sgnโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) = (sgnโ€˜๐ด) โ†” (sgnโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) = 1))
5 eqeq2 2740 . 2 ((sgnโ€˜๐ด) = -1 โ†’ ((sgnโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) = (sgnโ€˜๐ด) โ†” (sgnโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) = -1))
6 simpr 484 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ ๐ด = 0)
71recnd 11273 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
87adantr 480 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
9 simplr 768 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
109recnd 11273 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1110adantr 480 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
12 simplr 768 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) < 0)
1312lt0ne0d 11810 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โ‰  0)
148, 11, 13mulne0bad 11900 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ ๐ด โ‰  0)
156, 14pm2.21ddne 3023 . 2 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ (sgnโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) = 0)
16 simplll 774 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
17 simpllr 775 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
1816, 17resubcld 11673 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„)
1918rexrd 11295 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„*)
20 0red 11248 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
21 simpr 484 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) < 0)
221, 9, 21mul2lt0lgt0 13112 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ต < 0)
23 simpr 484 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 0 < ๐ด)
2417, 20, 16, 22, 23lttrd 11406 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ต < ๐ด)
25 simpr 484 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
26 simpl 482 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2725, 26posdifd 11832 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต < ๐ด โ†” 0 < (๐ด โˆ’ ๐ต)))
2827biimpa 476 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐ต < ๐ด) โ†’ 0 < (๐ด โˆ’ ๐ต))
2916, 17, 24, 28syl21anc 837 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 0 < (๐ด โˆ’ ๐ต))
30 sgnp 15070 . . 3 (((๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„* โˆง 0 < (๐ด โˆ’ ๐ต)) โ†’ (sgnโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) = 1)
3119, 29, 30syl2anc 583 . 2 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (sgnโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) = 1)
32 simplll 774 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ด < 0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
33 simpllr 775 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ด < 0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
3432, 33resubcld 11673 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ด < 0) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„)
3534rexrd 11295 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ด < 0) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„*)
36 0red 11248 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ด < 0) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
377adantr 480 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ด < 0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3837subid1d 11591 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ด < 0) โ†’ (๐ด โˆ’ 0) = ๐ด)
39 simpr 484 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ด < 0) โ†’ ๐ด < 0)
401, 9, 21mul2lt0llt0 13111 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ด < 0) โ†’ 0 < ๐ต)
4132, 36, 33, 39, 40lttrd 11406 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ด < 0) โ†’ ๐ด < ๐ต)
4238, 41eqbrtrd 5170 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ด < 0) โ†’ (๐ด โˆ’ 0) < ๐ต)
4332, 36, 33, 42ltsub23d 11850 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ด < 0) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) < 0)
44 sgnn 15074 . . 3 (((๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„* โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) < 0) โ†’ (sgnโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) = -1)
4535, 43, 44syl2anc 583 . 2 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ด < 0) โ†’ (sgnโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) = -1)
462, 3, 4, 5, 15, 31, 45sgn3da 34161 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โ†’ (sgnโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) = (sgnโ€˜๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  โ„‚cc 11137  โ„cr 11138  0cc0 11139  1c1 11140   ยท cmul 11144  โ„*cxr 11278   < clt 11279   โˆ’ cmin 11475  -cneg 11476  sgncsgn 15066
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-rp 13008  df-sgn 15067
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator