Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sgnsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sgnsub 34073
Description: Subtraction of a number of opposite sign. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
sgnsub (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โ†’ (sgnโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) = (sgnโ€˜๐ด))

Proof of Theorem sgnsub
StepHypRef Expression
1 simpll 764 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
21rexrd 11265 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
3 eqeq2 2738 . 2 ((sgnโ€˜๐ด) = 0 โ†’ ((sgnโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) = (sgnโ€˜๐ด) โ†” (sgnโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) = 0))
4 eqeq2 2738 . 2 ((sgnโ€˜๐ด) = 1 โ†’ ((sgnโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) = (sgnโ€˜๐ด) โ†” (sgnโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) = 1))
5 eqeq2 2738 . 2 ((sgnโ€˜๐ด) = -1 โ†’ ((sgnโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) = (sgnโ€˜๐ด) โ†” (sgnโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) = -1))
6 simpr 484 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ ๐ด = 0)
71recnd 11243 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
87adantr 480 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
9 simplr 766 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
109recnd 11243 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1110adantr 480 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
12 simplr 766 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) < 0)
1312lt0ne0d 11780 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โ‰  0)
148, 11, 13mulne0bad 11870 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ ๐ด โ‰  0)
156, 14pm2.21ddne 3020 . 2 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ด = 0) โ†’ (sgnโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) = 0)
16 simplll 772 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
17 simpllr 773 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
1816, 17resubcld 11643 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„)
1918rexrd 11265 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„*)
20 0red 11218 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
21 simpr 484 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) < 0)
221, 9, 21mul2lt0lgt0 13082 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ต < 0)
23 simpr 484 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 0 < ๐ด)
2417, 20, 16, 22, 23lttrd 11376 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ต < ๐ด)
25 simpr 484 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
26 simpl 482 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2725, 26posdifd 11802 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต < ๐ด โ†” 0 < (๐ด โˆ’ ๐ต)))
2827biimpa 476 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐ต < ๐ด) โ†’ 0 < (๐ด โˆ’ ๐ต))
2916, 17, 24, 28syl21anc 835 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 0 < (๐ด โˆ’ ๐ต))
30 sgnp 15041 . . 3 (((๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„* โˆง 0 < (๐ด โˆ’ ๐ต)) โ†’ (sgnโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) = 1)
3119, 29, 30syl2anc 583 . 2 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (sgnโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) = 1)
32 simplll 772 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ด < 0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
33 simpllr 773 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ด < 0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
3432, 33resubcld 11643 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ด < 0) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„)
3534rexrd 11265 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ด < 0) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„*)
36 0red 11218 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ด < 0) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
377adantr 480 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ด < 0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3837subid1d 11561 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ด < 0) โ†’ (๐ด โˆ’ 0) = ๐ด)
39 simpr 484 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ด < 0) โ†’ ๐ด < 0)
401, 9, 21mul2lt0llt0 13081 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ด < 0) โ†’ 0 < ๐ต)
4132, 36, 33, 39, 40lttrd 11376 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ด < 0) โ†’ ๐ด < ๐ต)
4238, 41eqbrtrd 5163 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ด < 0) โ†’ (๐ด โˆ’ 0) < ๐ต)
4332, 36, 33, 42ltsub23d 11820 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ด < 0) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) < 0)
44 sgnn 15045 . . 3 (((๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„* โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) < 0) โ†’ (sgnโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) = -1)
4535, 43, 44syl2anc 583 . 2 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โˆง ๐ด < 0) โ†’ (sgnโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) = -1)
462, 3, 4, 5, 15, 31, 45sgn3da 34070 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0) โ†’ (sgnโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) = (sgnโ€˜๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   ยท cmul 11114  โ„*cxr 11248   < clt 11249   โˆ’ cmin 11445  -cneg 11446  sgncsgn 15037
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-rp 12978  df-sgn 15038
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator