Theorem sgnsub 15143

Description: Signum of a difference with a number of opposite sign. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
sgnsub	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (sgn‘(𝐴 − 𝐵)) = (sgn‘𝐴))

Proof of Theorem sgnsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 778	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 11259	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		eqeq2 2781	. 2 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 0 → ((sgn‘(𝐴 − 𝐵)) = (sgn‘𝐴) ↔ (sgn‘(𝐴 − 𝐵)) = 0))
4		eqeq2 2781	. 2 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 1 → ((sgn‘(𝐴 − 𝐵)) = (sgn‘𝐴) ↔ (sgn‘(𝐴 − 𝐵)) = 1))
5		eqeq2 2781	. 2 ⊢ ((sgn‘𝐴) = -1 → ((sgn‘(𝐴 − 𝐵)) = (sgn‘𝐴) ↔ (sgn‘(𝐴 − 𝐵)) = -1))
6		simpr 489	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 = 0)
7	1	recnd 11237	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		simplr 780	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	9	recnd 11237	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
11	10	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
12		simplr 780	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
13	12	lt0ne0d 11779	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)
14	8, 11, 13	mulne0bad 11869	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 ≠ 0)
15	6, 14	pm2.21ddne 3048	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 = 0) → (sgn‘(𝐴 − 𝐵)) = 0)
16		simplll 786	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
17		simpllr 787	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
18	16, 17	resubcld 11642	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
19	18	rexrd 11259	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ*)
20		0red 11211	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
21		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
22	1, 9, 21	mul2lt0lgt0 13123	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 < 0)
23		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
24	17, 20, 16, 22, 23	lttrd 11371	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 < 𝐴)
25		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
26		simpl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
27	25, 26	posdifd 11801	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 − 𝐵)))
28	27	biimpa 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 0 < (𝐴 − 𝐵))
29	16, 17, 24, 28	syl21anc 850	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴 − 𝐵))
30		sgnp 15127	. . 3 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 < (𝐴 − 𝐵)) → (sgn‘(𝐴 − 𝐵)) = 1)
31	19, 29, 30	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘(𝐴 − 𝐵)) = 1)
32		simplll 786	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
33		simpllr 787	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
34	32, 33	resubcld 11642	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
35	34	rexrd 11259	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ*)
36		0red 11211	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 0 ∈ ℝ)
37	7	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
38	37	subid1d 11558	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 − 0) = 𝐴)
39		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 < 0)
40	1, 9, 21	mul2lt0llt0 13122	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 0 < 𝐵)
41	32, 36, 33, 39, 40	lttrd 11371	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 < 𝐵)
42	38, 41	eqbrtrd 5137	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 − 0) < 𝐵)
43	32, 36, 33, 42	ltsub23d 11819	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 − 𝐵) < 0)
44		sgnn 15131	. . 3 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 − 𝐵) < 0) → (sgn‘(𝐴 − 𝐵)) = -1)
45	35, 43, 44	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → (sgn‘(𝐴 − 𝐵)) = -1)
46	2, 3, 4, 5, 15, 31, 45	sgn3da 15138	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (sgn‘(𝐴 − 𝐵)) = (sgn‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℂcc 11098  ℝcr 11099  0cc0 11100  1c1 11101   · cmul 11105  ℝ^*cxr 11242   < clt 11243   − cmin 11441  -cneg 11442  sgncsgn 15123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-rp 13017  df-sgn 15124

This theorem is referenced by: (None)