Theorem sgnsub 33531

Description: Subtraction of a number of opposite sign. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
sgnsub	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (sgn‘(𝐴 − 𝐵)) = (sgn‘𝐴))

Proof of Theorem sgnsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 765	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 11260	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		eqeq2 2744	. 2 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 0 → ((sgn‘(𝐴 − 𝐵)) = (sgn‘𝐴) ↔ (sgn‘(𝐴 − 𝐵)) = 0))
4		eqeq2 2744	. 2 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 1 → ((sgn‘(𝐴 − 𝐵)) = (sgn‘𝐴) ↔ (sgn‘(𝐴 − 𝐵)) = 1))
5		eqeq2 2744	. 2 ⊢ ((sgn‘𝐴) = -1 → ((sgn‘(𝐴 − 𝐵)) = (sgn‘𝐴) ↔ (sgn‘(𝐴 − 𝐵)) = -1))
6		simpr 485	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 = 0)
7	1	recnd 11238	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		simplr 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	9	recnd 11238	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
11	10	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
12		simplr 767	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
13	12	lt0ne0d 11775	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)
14	8, 11, 13	mulne0bad 11865	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 ≠ 0)
15	6, 14	pm2.21ddne 3026	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 = 0) → (sgn‘(𝐴 − 𝐵)) = 0)
16		simplll 773	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
17		simpllr 774	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
18	16, 17	resubcld 11638	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
19	18	rexrd 11260	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ*)
20		0red 11213	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
21		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
22	1, 9, 21	mul2lt0lgt0 13075	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 < 0)
23		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
24	17, 20, 16, 22, 23	lttrd 11371	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 < 𝐴)
25		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
26		simpl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
27	25, 26	posdifd 11797	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 − 𝐵)))
28	27	biimpa 477	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 0 < (𝐴 − 𝐵))
29	16, 17, 24, 28	syl21anc 836	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴 − 𝐵))
30		sgnp 15033	. . 3 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 < (𝐴 − 𝐵)) → (sgn‘(𝐴 − 𝐵)) = 1)
31	19, 29, 30	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘(𝐴 − 𝐵)) = 1)
32		simplll 773	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
33		simpllr 774	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
34	32, 33	resubcld 11638	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
35	34	rexrd 11260	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ*)
36		0red 11213	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 0 ∈ ℝ)
37	7	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
38	37	subid1d 11556	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 − 0) = 𝐴)
39		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 < 0)
40	1, 9, 21	mul2lt0llt0 13074	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 0 < 𝐵)
41	32, 36, 33, 39, 40	lttrd 11371	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 < 𝐵)
42	38, 41	eqbrtrd 5169	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 − 0) < 𝐵)
43	32, 36, 33, 42	ltsub23d 11815	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 − 𝐵) < 0)
44		sgnn 15037	. . 3 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 − 𝐵) < 0) → (sgn‘(𝐴 − 𝐵)) = -1)
45	35, 43, 44	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → (sgn‘(𝐴 − 𝐵)) = -1)
46	2, 3, 4, 5, 15, 31, 45	sgn3da 33528	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (sgn‘(𝐴 − 𝐵)) = (sgn‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ℂcc 11104  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   · cmul 11111  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244   − cmin 11440  -cneg 11441  sgncsgn 15029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-rp 12971  df-sgn 15030

This theorem is referenced by: (None)