Theorem sgnsub 32769

Description: Subtraction of a number of opposite sign. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
sgnsub	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (sgn‘(𝐴 − 𝐵)) = (sgn‘𝐴))

Proof of Theorem sgnsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 766	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 11231	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		eqeq2 2742	. 2 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 0 → ((sgn‘(𝐴 − 𝐵)) = (sgn‘𝐴) ↔ (sgn‘(𝐴 − 𝐵)) = 0))
4		eqeq2 2742	. 2 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 1 → ((sgn‘(𝐴 − 𝐵)) = (sgn‘𝐴) ↔ (sgn‘(𝐴 − 𝐵)) = 1))
5		eqeq2 2742	. 2 ⊢ ((sgn‘𝐴) = -1 → ((sgn‘(𝐴 − 𝐵)) = (sgn‘𝐴) ↔ (sgn‘(𝐴 − 𝐵)) = -1))
6		simpr 484	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 = 0)
7	1	recnd 11209	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	9	recnd 11209	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
11	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
12		simplr 768	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
13	12	lt0ne0d 11750	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)
14	8, 11, 13	mulne0bad 11840	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 ≠ 0)
15	6, 14	pm2.21ddne 3010	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 = 0) → (sgn‘(𝐴 − 𝐵)) = 0)
16		simplll 774	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
17		simpllr 775	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
18	16, 17	resubcld 11613	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
19	18	rexrd 11231	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ*)
20		0red 11184	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
21		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
22	1, 9, 21	mul2lt0lgt0 13065	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 < 0)
23		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
24	17, 20, 16, 22, 23	lttrd 11342	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 < 𝐴)
25		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
26		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
27	25, 26	posdifd 11772	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 − 𝐵)))
28	27	biimpa 476	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 0 < (𝐴 − 𝐵))
29	16, 17, 24, 28	syl21anc 837	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴 − 𝐵))
30		sgnp 15063	. . 3 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 < (𝐴 − 𝐵)) → (sgn‘(𝐴 − 𝐵)) = 1)
31	19, 29, 30	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘(𝐴 − 𝐵)) = 1)
32		simplll 774	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
33		simpllr 775	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
34	32, 33	resubcld 11613	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
35	34	rexrd 11231	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ*)
36		0red 11184	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 0 ∈ ℝ)
37	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
38	37	subid1d 11529	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 − 0) = 𝐴)
39		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 < 0)
40	1, 9, 21	mul2lt0llt0 13064	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 0 < 𝐵)
41	32, 36, 33, 39, 40	lttrd 11342	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 < 𝐵)
42	38, 41	eqbrtrd 5132	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 − 0) < 𝐵)
43	32, 36, 33, 42	ltsub23d 11790	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 − 𝐵) < 0)
44		sgnn 15067	. . 3 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 − 𝐵) < 0) → (sgn‘(𝐴 − 𝐵)) = -1)
45	35, 43, 44	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) ∧ 𝐴 < 0) → (sgn‘(𝐴 − 𝐵)) = -1)
46	2, 3, 4, 5, 15, 31, 45	sgn3da 32766	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0) → (sgn‘(𝐴 − 𝐵)) = (sgn‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   · cmul 11080  ℝ^*cxr 11214   < clt 11215   − cmin 11412  -cneg 11413  sgncsgn 15059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-rp 12959  df-sgn 15060

This theorem is referenced by: (None)