Theorem sgnnbi 32491

Description: Negative signum. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
sgnnbi	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((sgn‘𝐴) = -1 ↔ 𝐴 < 0))

Proof of Theorem sgnnbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		eqeq1 2743	. . . . 5 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 0 → ((sgn‘𝐴) = -1 ↔ 0 = -1))
3	2	imbi1d 341	. . . 4 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 0 → (((sgn‘𝐴) = -1 → 𝐴 < 0) ↔ (0 = -1 → 𝐴 < 0)))
4		eqeq1 2743	. . . . 5 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 1 → ((sgn‘𝐴) = -1 ↔ 1 = -1))
5	4	imbi1d 341	. . . 4 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 1 → (((sgn‘𝐴) = -1 → 𝐴 < 0) ↔ (1 = -1 → 𝐴 < 0)))
6		eqeq1 2743	. . . . 5 ⊢ ((sgn‘𝐴) = -1 → ((sgn‘𝐴) = -1 ↔ -1 = -1))
7	6	imbi1d 341	. . . 4 ⊢ ((sgn‘𝐴) = -1 → (((sgn‘𝐴) = -1 → 𝐴 < 0) ↔ (-1 = -1 → 𝐴 < 0)))
8		neg1ne0 12072	. . . . . . 7 ⊢ -1 ≠ 0
9	8	nesymi 3002	. . . . . 6 ⊢ ¬ 0 = -1
10	9	pm2.21i 119	. . . . 5 ⊢ (0 = -1 → 𝐴 < 0)
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 = 0) → (0 = -1 → 𝐴 < 0))
12		neg1rr 12071	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℝ
13		neg1lt0 12073	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 < 0
14		0lt1 11480	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 1
15		0re 10961	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
16		1re 10959	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
17	12, 15, 16	lttri 11084	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1 < 0 ∧ 0 < 1) → -1 < 1)
18	13, 14, 17	mp2an 688	. . . . . . . 8 ⊢ -1 < 1
19	12, 18	gtneii 11070	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ -1
20	19	neii 2946	. . . . . 6 ⊢ ¬ 1 = -1
21	20	pm2.21i 119	. . . . 5 ⊢ (1 = -1 → 𝐴 < 0)
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (1 = -1 → 𝐴 < 0))
23		simp2 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0 ∧ -1 = -1) → 𝐴 < 0)
24	23	3expia 1119	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (-1 = -1 → 𝐴 < 0))
25	1, 3, 5, 7, 11, 22, 24	sgn3da 32487	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((sgn‘𝐴) = -1 → 𝐴 < 0))
26	25	imp 406	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (sgn‘𝐴) = -1) → 𝐴 < 0)
27		sgnn 14786	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (sgn‘𝐴) = -1)
28	26, 27	impbida 797	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((sgn‘𝐴) = -1 ↔ 𝐴 < 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5078  ‘cfv 6430  0cc0 10855  1c1 10856  ℝ^*cxr 10992   < clt 10993  -cneg 11189  sgncsgn 14778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-po 5502  df-so 5503  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-sgn 14779

This theorem is referenced by:  sgnmulsgn  32495