Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sgnnbi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sgnnbi 34549
Description: Negative signum. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
sgnnbi (𝐴 ∈ ℝ* → ((sgn‘𝐴) = -1 ↔ 𝐴 < 0))

Proof of Theorem sgnnbi
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*)
2 eqeq1 2740 . . . . 5 ((sgn‘𝐴) = 0 → ((sgn‘𝐴) = -1 ↔ 0 = -1))
32imbi1d 341 . . . 4 ((sgn‘𝐴) = 0 → (((sgn‘𝐴) = -1 → 𝐴 < 0) ↔ (0 = -1 → 𝐴 < 0)))
4 eqeq1 2740 . . . . 5 ((sgn‘𝐴) = 1 → ((sgn‘𝐴) = -1 ↔ 1 = -1))
54imbi1d 341 . . . 4 ((sgn‘𝐴) = 1 → (((sgn‘𝐴) = -1 → 𝐴 < 0) ↔ (1 = -1 → 𝐴 < 0)))
6 eqeq1 2740 . . . . 5 ((sgn‘𝐴) = -1 → ((sgn‘𝐴) = -1 ↔ -1 = -1))
76imbi1d 341 . . . 4 ((sgn‘𝐴) = -1 → (((sgn‘𝐴) = -1 → 𝐴 < 0) ↔ (-1 = -1 → 𝐴 < 0)))
8 neg1ne0 12383 . . . . . . 7 -1 ≠ 0
98nesymi 2997 . . . . . 6 ¬ 0 = -1
109pm2.21i 119 . . . . 5 (0 = -1 → 𝐴 < 0)
1110a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = 0) → (0 = -1 → 𝐴 < 0))
12 neg1rr 12382 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℝ
13 neg1lt0 12384 . . . . . . . . 9 -1 < 0
14 0lt1 11786 . . . . . . . . 9 0 < 1
15 0re 11264 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
16 1re 11262 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
1712, 15, 16lttri 11388 . . . . . . . . 9 ((-1 < 0 ∧ 0 < 1) → -1 < 1)
1813, 14, 17mp2an 692 . . . . . . . 8 -1 < 1
1912, 18gtneii 11374 . . . . . . 7 1 ≠ -1
2019neii 2941 . . . . . 6 ¬ 1 = -1
2120pm2.21i 119 . . . . 5 (1 = -1 → 𝐴 < 0)
2221a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (1 = -1 → 𝐴 < 0))
23 simp2 1137 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0 ∧ -1 = -1) → 𝐴 < 0)
24233expia 1121 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → (-1 = -1 → 𝐴 < 0))
251, 3, 5, 7, 11, 22, 24sgn3da 34545 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → ((sgn‘𝐴) = -1 → 𝐴 < 0))
2625imp 406 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (sgn‘𝐴) = -1) → 𝐴 < 0)
27 sgnn 15134 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → (sgn‘𝐴) = -1)
2826, 27impbida 800 1 (𝐴 ∈ ℝ* → ((sgn‘𝐴) = -1 ↔ 𝐴 < 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107   class class class wbr 5142  cfv 6560  0cc0 11156  1c1 11157  *cxr 11295   < clt 11296  -cneg 11494  sgncsgn 15126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-sgn 15127
This theorem is referenced by:  sgnmulsgn  34553
  Copyright terms: Public domain W3C validator