Theorem sgnnbi 31803

Description: Negative signum. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
sgnnbi	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((sgn‘𝐴) = -1 ↔ 𝐴 < 0))

Proof of Theorem sgnnbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		eqeq1 2825	. . . . 5 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 0 → ((sgn‘𝐴) = -1 ↔ 0 = -1))
3	2	imbi1d 344	. . . 4 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 0 → (((sgn‘𝐴) = -1 → 𝐴 < 0) ↔ (0 = -1 → 𝐴 < 0)))
4		eqeq1 2825	. . . . 5 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 1 → ((sgn‘𝐴) = -1 ↔ 1 = -1))
5	4	imbi1d 344	. . . 4 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 1 → (((sgn‘𝐴) = -1 → 𝐴 < 0) ↔ (1 = -1 → 𝐴 < 0)))
6		eqeq1 2825	. . . . 5 ⊢ ((sgn‘𝐴) = -1 → ((sgn‘𝐴) = -1 ↔ -1 = -1))
7	6	imbi1d 344	. . . 4 ⊢ ((sgn‘𝐴) = -1 → (((sgn‘𝐴) = -1 → 𝐴 < 0) ↔ (-1 = -1 → 𝐴 < 0)))
8		neg1ne0 11754	. . . . . . 7 ⊢ -1 ≠ 0
9	8	nesymi 3073	. . . . . 6 ⊢ ¬ 0 = -1
10	9	pm2.21i 119	. . . . 5 ⊢ (0 = -1 → 𝐴 < 0)
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 = 0) → (0 = -1 → 𝐴 < 0))
12		neg1rr 11753	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℝ
13		neg1lt0 11755	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 < 0
14		0lt1 11162	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 1
15		0re 10643	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
16		1re 10641	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
17	12, 15, 16	lttri 10766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1 < 0 ∧ 0 < 1) → -1 < 1)
18	13, 14, 17	mp2an 690	. . . . . . . 8 ⊢ -1 < 1
19	12, 18	gtneii 10752	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ -1
20	19	neii 3018	. . . . . 6 ⊢ ¬ 1 = -1
21	20	pm2.21i 119	. . . . 5 ⊢ (1 = -1 → 𝐴 < 0)
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (1 = -1 → 𝐴 < 0))
23		simp2 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0 ∧ -1 = -1) → 𝐴 < 0)
24	23	3expia 1117	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (-1 = -1 → 𝐴 < 0))
25	1, 3, 5, 7, 11, 22, 24	sgn3da 31799	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((sgn‘𝐴) = -1 → 𝐴 < 0))
26	25	imp 409	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (sgn‘𝐴) = -1) → 𝐴 < 0)
27		sgnn 14453	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (sgn‘𝐴) = -1)
28	26, 27	impbida 799	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((sgn‘𝐴) = -1 ↔ 𝐴 < 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5066  ‘cfv 6355  0cc0 10537  1c1 10538  ℝ^*cxr 10674   < clt 10675  -cneg 10871  sgncsgn 14445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-sgn 14446

This theorem is referenced by:  sgnmulsgn  31807