Theorem sgnnbi 34064

Description: Negative signum. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
sgnnbi	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((sgn‘𝐴) = -1 ↔ 𝐴 < 0))

Proof of Theorem sgnnbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		eqeq1 2728	. . . . 5 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 0 → ((sgn‘𝐴) = -1 ↔ 0 = -1))
3	2	imbi1d 341	. . . 4 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 0 → (((sgn‘𝐴) = -1 → 𝐴 < 0) ↔ (0 = -1 → 𝐴 < 0)))
4		eqeq1 2728	. . . . 5 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 1 → ((sgn‘𝐴) = -1 ↔ 1 = -1))
5	4	imbi1d 341	. . . 4 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 1 → (((sgn‘𝐴) = -1 → 𝐴 < 0) ↔ (1 = -1 → 𝐴 < 0)))
6		eqeq1 2728	. . . . 5 ⊢ ((sgn‘𝐴) = -1 → ((sgn‘𝐴) = -1 ↔ -1 = -1))
7	6	imbi1d 341	. . . 4 ⊢ ((sgn‘𝐴) = -1 → (((sgn‘𝐴) = -1 → 𝐴 < 0) ↔ (-1 = -1 → 𝐴 < 0)))
8		neg1ne0 12327	. . . . . . 7 ⊢ -1 ≠ 0
9	8	nesymi 2990	. . . . . 6 ⊢ ¬ 0 = -1
10	9	pm2.21i 119	. . . . 5 ⊢ (0 = -1 → 𝐴 < 0)
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 = 0) → (0 = -1 → 𝐴 < 0))
12		neg1rr 12326	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℝ
13		neg1lt0 12328	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 < 0
14		0lt1 11735	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 1
15		0re 11215	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
16		1re 11213	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
17	12, 15, 16	lttri 11339	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1 < 0 ∧ 0 < 1) → -1 < 1)
18	13, 14, 17	mp2an 689	. . . . . . . 8 ⊢ -1 < 1
19	12, 18	gtneii 11325	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ -1
20	19	neii 2934	. . . . . 6 ⊢ ¬ 1 = -1
21	20	pm2.21i 119	. . . . 5 ⊢ (1 = -1 → 𝐴 < 0)
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (1 = -1 → 𝐴 < 0))
23		simp2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0 ∧ -1 = -1) → 𝐴 < 0)
24	23	3expia 1118	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (-1 = -1 → 𝐴 < 0))
25	1, 3, 5, 7, 11, 22, 24	sgn3da 34060	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((sgn‘𝐴) = -1 → 𝐴 < 0))
26	25	imp 406	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (sgn‘𝐴) = -1) → 𝐴 < 0)
27		sgnn 15043	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (sgn‘𝐴) = -1)
28	26, 27	impbida 798	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((sgn‘𝐴) = -1 ↔ 𝐴 < 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5139  ‘cfv 6534  0cc0 11107  1c1 11108  ℝ^*cxr 11246   < clt 11247  -cneg 11444  sgncsgn 15035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-sgn 15036

This theorem is referenced by:  sgnmulsgn  34068