Theorem sgnnbi 34165

Description: Negative signum. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
sgnnbi	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((sgn‘𝐴) = -1 ↔ 𝐴 < 0))

Proof of Theorem sgnnbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		eqeq1 2732	. . . . 5 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 0 → ((sgn‘𝐴) = -1 ↔ 0 = -1))
3	2	imbi1d 341	. . . 4 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 0 → (((sgn‘𝐴) = -1 → 𝐴 < 0) ↔ (0 = -1 → 𝐴 < 0)))
4		eqeq1 2732	. . . . 5 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 1 → ((sgn‘𝐴) = -1 ↔ 1 = -1))
5	4	imbi1d 341	. . . 4 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 1 → (((sgn‘𝐴) = -1 → 𝐴 < 0) ↔ (1 = -1 → 𝐴 < 0)))
6		eqeq1 2732	. . . . 5 ⊢ ((sgn‘𝐴) = -1 → ((sgn‘𝐴) = -1 ↔ -1 = -1))
7	6	imbi1d 341	. . . 4 ⊢ ((sgn‘𝐴) = -1 → (((sgn‘𝐴) = -1 → 𝐴 < 0) ↔ (-1 = -1 → 𝐴 < 0)))
8		neg1ne0 12359	. . . . . . 7 ⊢ -1 ≠ 0
9	8	nesymi 2995	. . . . . 6 ⊢ ¬ 0 = -1
10	9	pm2.21i 119	. . . . 5 ⊢ (0 = -1 → 𝐴 < 0)
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 = 0) → (0 = -1 → 𝐴 < 0))
12		neg1rr 12358	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℝ
13		neg1lt0 12360	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 < 0
14		0lt1 11767	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 1
15		0re 11247	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
16		1re 11245	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
17	12, 15, 16	lttri 11371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1 < 0 ∧ 0 < 1) → -1 < 1)
18	13, 14, 17	mp2an 691	. . . . . . . 8 ⊢ -1 < 1
19	12, 18	gtneii 11357	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ -1
20	19	neii 2939	. . . . . 6 ⊢ ¬ 1 = -1
21	20	pm2.21i 119	. . . . 5 ⊢ (1 = -1 → 𝐴 < 0)
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (1 = -1 → 𝐴 < 0))
23		simp2 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0 ∧ -1 = -1) → 𝐴 < 0)
24	23	3expia 1119	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (-1 = -1 → 𝐴 < 0))
25	1, 3, 5, 7, 11, 22, 24	sgn3da 34161	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((sgn‘𝐴) = -1 → 𝐴 < 0))
26	25	imp 406	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (sgn‘𝐴) = -1) → 𝐴 < 0)
27		sgnn 15074	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (sgn‘𝐴) = -1)
28	26, 27	impbida 800	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((sgn‘𝐴) = -1 ↔ 𝐴 < 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5148  ‘cfv 6548  0cc0 11139  1c1 11140  ℝ^*cxr 11278   < clt 11279  -cneg 11476  sgncsgn 15066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-sgn 15067

This theorem is referenced by:  sgnmulsgn  34169