Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sgnnbi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sgnnbi 34527
Description: Negative signum. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
sgnnbi (𝐴 ∈ ℝ* → ((sgn‘𝐴) = -1 ↔ 𝐴 < 0))

Proof of Theorem sgnnbi
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*)
2 eqeq1 2739 . . . . 5 ((sgn‘𝐴) = 0 → ((sgn‘𝐴) = -1 ↔ 0 = -1))
32imbi1d 341 . . . 4 ((sgn‘𝐴) = 0 → (((sgn‘𝐴) = -1 → 𝐴 < 0) ↔ (0 = -1 → 𝐴 < 0)))
4 eqeq1 2739 . . . . 5 ((sgn‘𝐴) = 1 → ((sgn‘𝐴) = -1 ↔ 1 = -1))
54imbi1d 341 . . . 4 ((sgn‘𝐴) = 1 → (((sgn‘𝐴) = -1 → 𝐴 < 0) ↔ (1 = -1 → 𝐴 < 0)))
6 eqeq1 2739 . . . . 5 ((sgn‘𝐴) = -1 → ((sgn‘𝐴) = -1 ↔ -1 = -1))
76imbi1d 341 . . . 4 ((sgn‘𝐴) = -1 → (((sgn‘𝐴) = -1 → 𝐴 < 0) ↔ (-1 = -1 → 𝐴 < 0)))
8 neg1ne0 12380 . . . . . . 7 -1 ≠ 0
98nesymi 2996 . . . . . 6 ¬ 0 = -1
109pm2.21i 119 . . . . 5 (0 = -1 → 𝐴 < 0)
1110a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = 0) → (0 = -1 → 𝐴 < 0))
12 neg1rr 12379 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℝ
13 neg1lt0 12381 . . . . . . . . 9 -1 < 0
14 0lt1 11783 . . . . . . . . 9 0 < 1
15 0re 11261 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
16 1re 11259 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
1712, 15, 16lttri 11385 . . . . . . . . 9 ((-1 < 0 ∧ 0 < 1) → -1 < 1)
1813, 14, 17mp2an 692 . . . . . . . 8 -1 < 1
1912, 18gtneii 11371 . . . . . . 7 1 ≠ -1
2019neii 2940 . . . . . 6 ¬ 1 = -1
2120pm2.21i 119 . . . . 5 (1 = -1 → 𝐴 < 0)
2221a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (1 = -1 → 𝐴 < 0))
23 simp2 1136 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0 ∧ -1 = -1) → 𝐴 < 0)
24233expia 1120 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → (-1 = -1 → 𝐴 < 0))
251, 3, 5, 7, 11, 22, 24sgn3da 34523 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → ((sgn‘𝐴) = -1 → 𝐴 < 0))
2625imp 406 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (sgn‘𝐴) = -1) → 𝐴 < 0)
27 sgnn 15130 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → (sgn‘𝐴) = -1)
2826, 27impbida 801 1 (𝐴 ∈ ℝ* → ((sgn‘𝐴) = -1 ↔ 𝐴 < 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  cfv 6563  0cc0 11153  1c1 11154  *cxr 11292   < clt 11293  -cneg 11491  sgncsgn 15122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-sgn 15123
This theorem is referenced by:  sgnmulsgn  34531
  Copyright terms: Public domain W3C validator