Theorem sgnmulrp2 31404

Description: Multiplication by a positive number does not affect signum. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
sgnmulrp2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = (sgn‘𝐴))

Proof of Theorem sgnmulrp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 12241	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
3		sgnmul 31403	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)))
4	2, 3	syldan 582	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)))
5	1	rpxrd 12242	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6	1	rpgt0d 12244	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 < 𝐵)
7		sgnp 14300	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) → (sgn‘𝐵) = 1)
8	5, 6, 7	syl2anc 576	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (sgn‘𝐵) = 1)
9	8	oveq2d 6986	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) = ((sgn‘𝐴) · 1))
10		simpl 475	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
11		sgnclre 31400	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sgn‘𝐴) ∈ ℝ)
12		ax-1rid 10397	. . 3 ⊢ ((sgn‘𝐴) ∈ ℝ → ((sgn‘𝐴) · 1) = (sgn‘𝐴))
13	10, 11, 12	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((sgn‘𝐴) · 1) = (sgn‘𝐴))
14	4, 9, 13	3eqtrd 2812	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = (sgn‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2048   class class class wbr 4923  ‘cfv 6182  (class class class)co 6970  ℝcr 10326  0cc0 10327  1c1 10328   · cmul 10332  ℝ^*cxr 10465   < clt 10466  ℝ⁺crp 12197  sgncsgn 14296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-id 5305  df-po 5319  df-so 5320  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-er 8081  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-div 11091  df-rp 12198  df-sgn 14297

This theorem is referenced by: (None)