Theorem sgnpbi 15118

Description: Positive signum. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
sgnpbi	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((sgn‘𝐴) = 1 ↔ 0 < 𝐴))

Proof of Theorem sgnpbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		eqeq1 2766	. . . . 5 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 0 → ((sgn‘𝐴) = 1 ↔ 0 = 1))
3	2	imbi1d 343	. . . 4 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 0 → (((sgn‘𝐴) = 1 → 0 < 𝐴) ↔ (0 = 1 → 0 < 𝐴)))
4		eqeq1 2766	. . . . 5 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 1 → ((sgn‘𝐴) = 1 ↔ 1 = 1))
5	4	imbi1d 343	. . . 4 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 1 → (((sgn‘𝐴) = 1 → 0 < 𝐴) ↔ (1 = 1 → 0 < 𝐴)))
6		eqeq1 2766	. . . . 5 ⊢ ((sgn‘𝐴) = -1 → ((sgn‘𝐴) = 1 ↔ -1 = 1))
7	6	imbi1d 343	. . . 4 ⊢ ((sgn‘𝐴) = -1 → (((sgn‘𝐴) = 1 → 0 < 𝐴) ↔ (-1 = 1 → 0 < 𝐴)))
8		0ne1 12289	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≠ 1
9	8	neii 2959	. . . . . 6 ⊢ ¬ 0 = 1
10	9	pm2.21i 119	. . . . 5 ⊢ (0 = 1 → 0 < 𝐴)
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 = 0) → (0 = 1 → 0 < 𝐴))
12		simp2 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴 ∧ 1 = 1) → 0 < 𝐴)
13	12	3expia 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (1 = 1 → 0 < 𝐴))
14		neg1rr 12181	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℝ
15		neg1lt0 12183	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 < 0
16		0lt1 11709	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 1
17		0re 11183	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
18		1re 11181	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
19	14, 17, 18	lttri 11309	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1 < 0 ∧ 0 < 1) → -1 < 1)
20	15, 16, 19	mp2an 702	. . . . . . . 8 ⊢ -1 < 1
21	14, 20	gtneii 11295	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ -1
22	21	nesymi 3014	. . . . . 6 ⊢ ¬ -1 = 1
23	22	pm2.21i 119	. . . . 5 ⊢ (-1 = 1 → 0 < 𝐴)
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (-1 = 1 → 0 < 𝐴))
25	1, 3, 5, 7, 11, 13, 24	sgn3da 15114	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((sgn‘𝐴) = 1 → 0 < 𝐴))
26	25	imp 410	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (sgn‘𝐴) = 1) → 0 < 𝐴)
27		sgnp 15103	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘𝐴) = 1)
28	26, 27	impbida 810	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((sgn‘𝐴) = 1 ↔ 0 < 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  0cc0 11073  1c1 11074  ℝ^*cxr 11215   < clt 11216  -cneg 11415  sgncsgn 15099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-sgn 15100

This theorem is referenced by:  sgnmulsgp  33034