Theorem sgnpbi 32510

Description: Positive signum. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
sgnpbi	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((sgn‘𝐴) = 1 ↔ 0 < 𝐴))

Proof of Theorem sgnpbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		eqeq1 2742	. . . . 5 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 0 → ((sgn‘𝐴) = 1 ↔ 0 = 1))
3	2	imbi1d 342	. . . 4 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 0 → (((sgn‘𝐴) = 1 → 0 < 𝐴) ↔ (0 = 1 → 0 < 𝐴)))
4		eqeq1 2742	. . . . 5 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 1 → ((sgn‘𝐴) = 1 ↔ 1 = 1))
5	4	imbi1d 342	. . . 4 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 1 → (((sgn‘𝐴) = 1 → 0 < 𝐴) ↔ (1 = 1 → 0 < 𝐴)))
6		eqeq1 2742	. . . . 5 ⊢ ((sgn‘𝐴) = -1 → ((sgn‘𝐴) = 1 ↔ -1 = 1))
7	6	imbi1d 342	. . . 4 ⊢ ((sgn‘𝐴) = -1 → (((sgn‘𝐴) = 1 → 0 < 𝐴) ↔ (-1 = 1 → 0 < 𝐴)))
8		0ne1 12042	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≠ 1
9	8	neii 2945	. . . . . 6 ⊢ ¬ 0 = 1
10	9	pm2.21i 119	. . . . 5 ⊢ (0 = 1 → 0 < 𝐴)
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 = 0) → (0 = 1 → 0 < 𝐴))
12		simp2 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴 ∧ 1 = 1) → 0 < 𝐴)
13	12	3expia 1120	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (1 = 1 → 0 < 𝐴))
14		neg1rr 12086	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℝ
15		neg1lt0 12088	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 < 0
16		0lt1 11495	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 1
17		0re 10975	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
18		1re 10973	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
19	14, 17, 18	lttri 11099	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1 < 0 ∧ 0 < 1) → -1 < 1)
20	15, 16, 19	mp2an 689	. . . . . . . 8 ⊢ -1 < 1
21	14, 20	gtneii 11085	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ -1
22	21	nesymi 3001	. . . . . 6 ⊢ ¬ -1 = 1
23	22	pm2.21i 119	. . . . 5 ⊢ (-1 = 1 → 0 < 𝐴)
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (-1 = 1 → 0 < 𝐴))
25	1, 3, 5, 7, 11, 13, 24	sgn3da 32505	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((sgn‘𝐴) = 1 → 0 < 𝐴))
26	25	imp 407	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (sgn‘𝐴) = 1) → 0 < 𝐴)
27		sgnp 14799	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘𝐴) = 1)
28	26, 27	impbida 798	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((sgn‘𝐴) = 1 ↔ 0 < 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5076  ‘cfv 6435  0cc0 10869  1c1 10870  ℝ^*cxr 11006   < clt 11007  -cneg 11204  sgncsgn 14795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5225  ax-nul 5232  ax-pow 5290  ax-pr 5354  ax-un 7588  ax-cnex 10925  ax-resscn 10926  ax-1cn 10927  ax-icn 10928  ax-addcl 10929  ax-addrcl 10930  ax-mulcl 10931  ax-mulrcl 10932  ax-mulcom 10933  ax-addass 10934  ax-mulass 10935  ax-distr 10936  ax-i2m1 10937  ax-1ne0 10938  ax-1rid 10939  ax-rnegex 10940  ax-rrecex 10941  ax-cnre 10942  ax-pre-lttri 10943  ax-pre-lttrn 10944  ax-pre-ltadd 10945  ax-pre-mulgt0 10946

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4842  df-br 5077  df-opab 5139  df-mpt 5160  df-id 5491  df-po 5505  df-so 5506  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-iota 6393  df-fun 6437  df-fn 6438  df-f 6439  df-f1 6440  df-fo 6441  df-f1o 6442  df-fv 6443  df-riota 7234  df-ov 7280  df-oprab 7281  df-mpo 7282  df-er 8496  df-en 8732  df-dom 8733  df-sdom 8734  df-pnf 11009  df-mnf 11010  df-xr 11011  df-ltxr 11012  df-le 11013  df-sub 11205  df-neg 11206  df-sgn 14796

This theorem is referenced by:  sgnmulsgp  32514