Theorem sgnpbi 15179

Description: Positive signum. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
sgnpbi	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((sgn‘𝐴) = 1 ↔ 0 < 𝐴))

Proof of Theorem sgnpbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		eqeq1 2764	. . . . 5 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 0 → ((sgn‘𝐴) = 1 ↔ 0 = 1))
3	2	imbi1d 344	. . . 4 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 0 → (((sgn‘𝐴) = 1 → 0 < 𝐴) ↔ (0 = 1 → 0 < 𝐴)))
4		eqeq1 2764	. . . . 5 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 1 → ((sgn‘𝐴) = 1 ↔ 1 = 1))
5	4	imbi1d 344	. . . 4 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 1 → (((sgn‘𝐴) = 1 → 0 < 𝐴) ↔ (1 = 1 → 0 < 𝐴)))
6		eqeq1 2764	. . . . 5 ⊢ ((sgn‘𝐴) = -1 → ((sgn‘𝐴) = 1 ↔ -1 = 1))
7	6	imbi1d 344	. . . 4 ⊢ ((sgn‘𝐴) = -1 → (((sgn‘𝐴) = 1 → 0 < 𝐴) ↔ (-1 = 1 → 0 < 𝐴)))
8		0ne1 12337	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≠ 1
9	8	neii 2957	. . . . . 6 ⊢ ¬ 0 = 1
10	9	pm2.21i 120	. . . . 5 ⊢ (0 = 1 → 0 < 𝐴)
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 = 0) → (0 = 1 → 0 < 𝐴))
12		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴 ∧ 1 = 1) → 0 < 𝐴)
13	12	3expia 1139	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (1 = 1 → 0 < 𝐴))
14		neg1rr 12229	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℝ
15		neg1lt0 12231	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 < 0
16		0lt1 11761	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 1
17		0re 11235	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
18		1re 11233	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
19	14, 17, 18	lttri 11361	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1 < 0 ∧ 0 < 1) → -1 < 1)
20	15, 16, 19	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ -1 < 1
21	14, 20	gtneii 11347	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ -1
22	21	nesymi 3012	. . . . . 6 ⊢ ¬ -1 = 1
23	22	pm2.21i 120	. . . . 5 ⊢ (-1 = 1 → 0 < 𝐴)
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (-1 = 1 → 0 < 𝐴))
25	1, 3, 5, 7, 11, 13, 24	sgn3da 15175	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((sgn‘𝐴) = 1 → 0 < 𝐴))
26	25	imp 412	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (sgn‘𝐴) = 1) → 0 < 𝐴)
27		sgnp 15164	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘𝐴) = 1)
28	26, 27	impbida 813	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((sgn‘𝐴) = 1 ↔ 0 < 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  0cc0 11125  1c1 11126  ℝ^*cxr 11267   < clt 11268  -cneg 11467  sgncsgn 15160

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-sgn 15161

This theorem is used by:  sgnmulsgp  33303