Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sgnpbi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sgnpbi 31812
Description: Positive signum. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
sgnpbi (𝐴 ∈ ℝ* → ((sgn‘𝐴) = 1 ↔ 0 < 𝐴))

Proof of Theorem sgnpbi
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*)
2 eqeq1 2825 . . . . 5 ((sgn‘𝐴) = 0 → ((sgn‘𝐴) = 1 ↔ 0 = 1))
32imbi1d 345 . . . 4 ((sgn‘𝐴) = 0 → (((sgn‘𝐴) = 1 → 0 < 𝐴) ↔ (0 = 1 → 0 < 𝐴)))
4 eqeq1 2825 . . . . 5 ((sgn‘𝐴) = 1 → ((sgn‘𝐴) = 1 ↔ 1 = 1))
54imbi1d 345 . . . 4 ((sgn‘𝐴) = 1 → (((sgn‘𝐴) = 1 → 0 < 𝐴) ↔ (1 = 1 → 0 < 𝐴)))
6 eqeq1 2825 . . . . 5 ((sgn‘𝐴) = -1 → ((sgn‘𝐴) = 1 ↔ -1 = 1))
76imbi1d 345 . . . 4 ((sgn‘𝐴) = -1 → (((sgn‘𝐴) = 1 → 0 < 𝐴) ↔ (-1 = 1 → 0 < 𝐴)))
8 0ne1 11686 . . . . . . 7 0 ≠ 1
98neii 3009 . . . . . 6 ¬ 0 = 1
109pm2.21i 119 . . . . 5 (0 = 1 → 0 < 𝐴)
1110a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = 0) → (0 = 1 → 0 < 𝐴))
12 simp2 1134 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴 ∧ 1 = 1) → 0 < 𝐴)
13123expia 1118 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (1 = 1 → 0 < 𝐴))
14 neg1rr 11730 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℝ
15 neg1lt0 11732 . . . . . . . . 9 -1 < 0
16 0lt1 11139 . . . . . . . . 9 0 < 1
17 0re 10620 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
18 1re 10618 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
1914, 17, 18lttri 10743 . . . . . . . . 9 ((-1 < 0 ∧ 0 < 1) → -1 < 1)
2015, 16, 19mp2an 691 . . . . . . . 8 -1 < 1
2114, 20gtneii 10729 . . . . . . 7 1 ≠ -1
2221nesymi 3064 . . . . . 6 ¬ -1 = 1
2322pm2.21i 119 . . . . 5 (-1 = 1 → 0 < 𝐴)
2423a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → (-1 = 1 → 0 < 𝐴))
251, 3, 5, 7, 11, 13, 24sgn3da 31807 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → ((sgn‘𝐴) = 1 → 0 < 𝐴))
2625imp 410 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (sgn‘𝐴) = 1) → 0 < 𝐴)
27 sgnp 14428 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘𝐴) = 1)
2826, 27impbida 800 1 (𝐴 ∈ ℝ* → ((sgn‘𝐴) = 1 ↔ 0 < 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115   class class class wbr 5039  cfv 6328  0cc0 10514  1c1 10515  *cxr 10651   < clt 10652  -cneg 10848  sgncsgn 14424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-op 4547  df-uni 4812  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-id 5433  df-po 5447  df-so 5448  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-sgn 14425
This theorem is referenced by:  sgnmulsgp  31816
  Copyright terms: Public domain W3C validator