Theorem sgnpbi 15168

Description: Positive signum. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
sgnpbi	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((sgn‘𝐴) = 1 ↔ 0 < 𝐴))

Proof of Theorem sgnpbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		eqeq1 2769	. . . . 5 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 0 → ((sgn‘𝐴) = 1 ↔ 0 = 1))
3	2	imbi1d 344	. . . 4 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 0 → (((sgn‘𝐴) = 1 → 0 < 𝐴) ↔ (0 = 1 → 0 < 𝐴)))
4		eqeq1 2769	. . . . 5 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 1 → ((sgn‘𝐴) = 1 ↔ 1 = 1))
5	4	imbi1d 344	. . . 4 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 1 → (((sgn‘𝐴) = 1 → 0 < 𝐴) ↔ (1 = 1 → 0 < 𝐴)))
6		eqeq1 2769	. . . . 5 ⊢ ((sgn‘𝐴) = -1 → ((sgn‘𝐴) = 1 ↔ -1 = 1))
7	6	imbi1d 344	. . . 4 ⊢ ((sgn‘𝐴) = -1 → (((sgn‘𝐴) = 1 → 0 < 𝐴) ↔ (-1 = 1 → 0 < 𝐴)))
8		0ne1 12329	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≠ 1
9	8	neii 2962	. . . . . 6 ⊢ ¬ 0 = 1
10	9	pm2.21i 120	. . . . 5 ⊢ (0 = 1 → 0 < 𝐴)
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 = 0) → (0 = 1 → 0 < 𝐴))
12		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴 ∧ 1 = 1) → 0 < 𝐴)
13	12	3expia 1139	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (1 = 1 → 0 < 𝐴))
14		neg1rr 12221	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℝ
15		neg1lt0 12223	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 < 0
16		0lt1 11753	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 1
17		0re 11227	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
18		1re 11225	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
19	14, 17, 18	lttri 11353	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1 < 0 ∧ 0 < 1) → -1 < 1)
20	15, 16, 19	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ -1 < 1
21	14, 20	gtneii 11339	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ -1
22	21	nesymi 3017	. . . . . 6 ⊢ ¬ -1 = 1
23	22	pm2.21i 120	. . . . 5 ⊢ (-1 = 1 → 0 < 𝐴)
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (-1 = 1 → 0 < 𝐴))
25	1, 3, 5, 7, 11, 13, 24	sgn3da 15164	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((sgn‘𝐴) = 1 → 0 < 𝐴))
26	25	imp 412	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (sgn‘𝐴) = 1) → 0 < 𝐴)
27		sgnp 15153	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘𝐴) = 1)
28	26, 27	impbida 813	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((sgn‘𝐴) = 1 ↔ 0 < 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  0cc0 11117  1c1 11118  ℝ^*cxr 11259   < clt 11260  -cneg 11459  sgncsgn 15149

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-sgn 15150

This theorem is used by:  sgnmulsgp  33248