Theorem alephf1ALT 10182

Description: Alternate proof of alephf1 10164. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2013.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
alephf1ALT	⊢ ℵ:On–1-1→On

Proof of Theorem alephf1ALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephfnon 10144	. . 3 ⊢ ℵ Fn On
2		alephon 10148	. . . . 5 ⊢ (ℵ‘𝑥) ∈ On
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ On → (ℵ‘𝑥) ∈ On)
4	3	rgen 3078	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ On (ℵ‘𝑥) ∈ On
5		ffnfv 7119	. . 3 ⊢ (ℵ:On⟶On ↔ (ℵ Fn On ∧ ∀𝑥 ∈ On (ℵ‘𝑥) ∈ On))
6	1, 4, 5	mpbir2an 724	. 2 ⊢ ℵ:On⟶On
7		alephsmo 10181	. 2 ⊢ Smo ℵ
8		smo11 8372	. 2 ⊢ ((ℵ:On⟶On ∧ Smo ℵ) → ℵ:On–1-1→On)
9	6, 7, 8	mp2an 705	1 ⊢ ℵ:On–1-1→On

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  Oncon0 6362   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  –1-1→wf1 6535  ‘cfv 6538  Smo wsmo 8353  ℵcale 10017

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9642

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-smo 8354  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-oi 9504  df-har 9551  df-card 10020  df-aleph 10021

This theorem is used by: (None)