Theorem alephf1ALT 10128

Description: Alternate proof of alephf1 10110. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2013.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
alephf1ALT	⊢ ℵ:On–1-1→On

Proof of Theorem alephf1ALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephfnon 10090	. . 3 ⊢ ℵ Fn On
2		alephon 10094	. . . . 5 ⊢ (ℵ‘𝑥) ∈ On
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ On → (ℵ‘𝑥) ∈ On)
4	3	rgen 3052	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ On (ℵ‘𝑥) ∈ On
5		ffnfv 7128	. . 3 ⊢ (ℵ:On⟶On ↔ (ℵ Fn On ∧ ∀𝑥 ∈ On (ℵ‘𝑥) ∈ On))
6	1, 4, 5	mpbir2an 709	. 2 ⊢ ℵ:On⟶On
7		alephsmo 10127	. 2 ⊢ Smo ℵ
8		smo11 8385	. 2 ⊢ ((ℵ:On⟶On ∧ Smo ℵ) → ℵ:On–1-1→On)
9	6, 7, 8	mp2an 690	1 ⊢ ℵ:On–1-1→On

Syntax hints:   ∈ wcel 2098  ∀wral 3050  Oncon0 6371   Fn wfn 6544  ⟶wf 6545  –1-1→wf1 6546  ‘cfv 6549  Smo wsmo 8366  ℵcale 9961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-smo 8367  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-oi 9535  df-har 9582  df-card 9964  df-aleph 9965

This theorem is referenced by: (None)