Theorem alephf1ALT 9259

Description: Alternate proof of alephf1 9241. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2013.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
alephf1ALT	⊢ ℵ:On–1-1→On

Proof of Theorem alephf1ALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephfnon 9221	. . 3 ⊢ ℵ Fn On
2		alephon 9225	. . . . 5 ⊢ (ℵ‘𝑥) ∈ On
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ On → (ℵ‘𝑥) ∈ On)
4	3	rgen 3104	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ On (ℵ‘𝑥) ∈ On
5		ffnfv 6652	. . 3 ⊢ (ℵ:On⟶On ↔ (ℵ Fn On ∧ ∀𝑥 ∈ On (ℵ‘𝑥) ∈ On))
6	1, 4, 5	mpbir2an 701	. 2 ⊢ ℵ:On⟶On
7		alephsmo 9258	. 2 ⊢ Smo ℵ
8		smo11 7744	. 2 ⊢ ((ℵ:On⟶On ∧ Smo ℵ) → ℵ:On–1-1→On)
9	6, 7, 8	mp2an 682	1 ⊢ ℵ:On–1-1→On

Syntax hints:   ∈ wcel 2107  ∀wral 3090  Oncon0 5976   Fn wfn 6130  ⟶wf 6131  –1-1→wf1 6132  ‘cfv 6135  Smo wsmo 7725  ℵcale 9095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-om 7344  df-wrecs 7689  df-smo 7726  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-oi 8704  df-har 8752  df-card 9098  df-aleph 9099

This theorem is referenced by: (None)