Theorem tcidm 9770

Description: The transitive closure function is idempotent. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
tcidm	⊢ (TC‘(TC‘𝐴)) = (TC‘𝐴)

Proof of Theorem tcidm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 4002	. . 3 ⊢ (TC‘𝐴) ⊆ (TC‘𝐴)
2		tctr 9764	. . 3 ⊢ Tr (TC‘𝐴)
3		fvex 6910	. . . 4 ⊢ (TC‘𝐴) ∈ V
4		tcmin 9765	. . . 4 ⊢ ((TC‘𝐴) ∈ V → (((TC‘𝐴) ⊆ (TC‘𝐴) ∧ Tr (TC‘𝐴)) → (TC‘(TC‘𝐴)) ⊆ (TC‘𝐴)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (((TC‘𝐴) ⊆ (TC‘𝐴) ∧ Tr (TC‘𝐴)) → (TC‘(TC‘𝐴)) ⊆ (TC‘𝐴))
6	1, 2, 5	mp2an 691	. 2 ⊢ (TC‘(TC‘𝐴)) ⊆ (TC‘𝐴)
7		tcid 9763	. . 3 ⊢ ((TC‘𝐴) ∈ V → (TC‘𝐴) ⊆ (TC‘(TC‘𝐴)))
8	3, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ (TC‘𝐴) ⊆ (TC‘(TC‘𝐴))
9	6, 8	eqssi 3996	1 ⊢ (TC‘(TC‘𝐴)) = (TC‘𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3471   ⊆ wss 3947  Tr wtr 5265  ‘cfv 6548  TCctc 9760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-tc 9761

This theorem is referenced by: (None)