MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txcnmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem txcnmpt 21648
Description: A map into the product of two topological spaces is continuous if both of its projections are continuous. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
txcnmpt.1 𝑊 = 𝑈
txcnmpt.2 𝐻 = (𝑥𝑊 ↦ ⟨(𝐹𝑥), (𝐺𝑥)⟩)
Assertion
Ref Expression
txcnmpt ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) → 𝐻 ∈ (𝑈 Cn (𝑅 ×t 𝑆)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑈   𝑥,𝑊
Allowed substitution hint:   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem txcnmpt
Dummy variables 𝑠 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txcnmpt.1 . . . . . . 7 𝑊 = 𝑈
2 eqid 2771 . . . . . . 7 𝑅 = 𝑅
31, 2cnf 21271 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) → 𝐹:𝑊 𝑅)
43adantr 466 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) → 𝐹:𝑊 𝑅)
54ffvelrnda 6504 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑅)
6 eqid 2771 . . . . . . 7 𝑆 = 𝑆
71, 6cnf 21271 . . . . . 6 (𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆) → 𝐺:𝑊 𝑆)
87adantl 467 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) → 𝐺:𝑊 𝑆)
98ffvelrnda 6504 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
10 opelxpi 5287 . . . 4 (((𝐹𝑥) ∈ 𝑅 ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝑆) → ⟨(𝐹𝑥), (𝐺𝑥)⟩ ∈ ( 𝑅 × 𝑆))
115, 9, 10syl2anc 573 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → ⟨(𝐹𝑥), (𝐺𝑥)⟩ ∈ ( 𝑅 × 𝑆))
12 txcnmpt.2 . . 3 𝐻 = (𝑥𝑊 ↦ ⟨(𝐹𝑥), (𝐺𝑥)⟩)
1311, 12fmptd 6529 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) → 𝐻:𝑊⟶( 𝑅 × 𝑆))
1412mptpreima 5771 . . . . . 6 (𝐻 “ (𝑟 × 𝑠)) = {𝑥𝑊 ∣ ⟨(𝐹𝑥), (𝐺𝑥)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠)}
154adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) → 𝐹:𝑊 𝑅)
1615adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → 𝐹:𝑊 𝑅)
17 ffn 6184 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑊 𝑅𝐹 Fn 𝑊)
18 elpreima 6482 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 Fn 𝑊 → (𝑥 ∈ (𝐹𝑟) ↔ (𝑥𝑊 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑟)))
1916, 17, 183syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → (𝑥 ∈ (𝐹𝑟) ↔ (𝑥𝑊 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑟)))
20 ibar 518 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝑊 → ((𝐹𝑥) ∈ 𝑟 ↔ (𝑥𝑊 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑟)))
2120adantl 467 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → ((𝐹𝑥) ∈ 𝑟 ↔ (𝑥𝑊 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑟)))
2219, 21bitr4d 271 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → (𝑥 ∈ (𝐹𝑟) ↔ (𝐹𝑥) ∈ 𝑟))
238ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → 𝐺:𝑊 𝑆)
24 ffn 6184 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺:𝑊 𝑆𝐺 Fn 𝑊)
25 elpreima 6482 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 Fn 𝑊 → (𝑥 ∈ (𝐺𝑠) ↔ (𝑥𝑊 ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝑠)))
2623, 24, 253syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → (𝑥 ∈ (𝐺𝑠) ↔ (𝑥𝑊 ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝑠)))
27 ibar 518 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝑊 → ((𝐺𝑥) ∈ 𝑠 ↔ (𝑥𝑊 ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝑠)))
2827adantl 467 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → ((𝐺𝑥) ∈ 𝑠 ↔ (𝑥𝑊 ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝑠)))
2926, 28bitr4d 271 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → (𝑥 ∈ (𝐺𝑠) ↔ (𝐺𝑥) ∈ 𝑠))
3022, 29anbi12d 616 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → ((𝑥 ∈ (𝐹𝑟) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺𝑠)) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑟 ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝑠)))
31 elin 3947 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐹𝑟) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺𝑠)))
32 opelxp 5285 . . . . . . . . 9 (⟨(𝐹𝑥), (𝐺𝑥)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑟 ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝑠))
3330, 31, 323bitr4g 303 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → (𝑥 ∈ ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠)) ↔ ⟨(𝐹𝑥), (𝐺𝑥)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠)))
3433rabbi2dva 3970 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) → (𝑊 ∩ ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠))) = {𝑥𝑊 ∣ ⟨(𝐹𝑥), (𝐺𝑥)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠)})
35 inss1 3981 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠)) ⊆ (𝐹𝑟)
36 cnvimass 5625 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝑟) ⊆ dom 𝐹
3735, 36sstri 3761 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠)) ⊆ dom 𝐹
3815fdmd 6193 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) → dom 𝐹 = 𝑊)
3937, 38syl5sseq 3802 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) → ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠)) ⊆ 𝑊)
40 sseqin2 3968 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠)) ⊆ 𝑊 ↔ (𝑊 ∩ ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠))) = ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠)))
4139, 40sylib 208 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) → (𝑊 ∩ ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠))) = ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠)))
4234, 41eqtr3d 2807 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) → {𝑥𝑊 ∣ ⟨(𝐹𝑥), (𝐺𝑥)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠)} = ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠)))
4314, 42syl5eq 2817 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) → (𝐻 “ (𝑟 × 𝑠)) = ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠)))
44 cntop1 21265 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆) → 𝑈 ∈ Top)
4544adantl 467 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) → 𝑈 ∈ Top)
4645adantr 466 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) → 𝑈 ∈ Top)
47 cnima 21290 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝑟𝑅) → (𝐹𝑟) ∈ 𝑈)
4847ad2ant2r 741 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) → (𝐹𝑟) ∈ 𝑈)
49 cnima 21290 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆) ∧ 𝑠𝑆) → (𝐺𝑠) ∈ 𝑈)
5049ad2ant2l 740 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) → (𝐺𝑠) ∈ 𝑈)
51 inopn 20924 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ Top ∧ (𝐹𝑟) ∈ 𝑈 ∧ (𝐺𝑠) ∈ 𝑈) → ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠)) ∈ 𝑈)
5246, 48, 50, 51syl3anc 1476 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) → ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠)) ∈ 𝑈)
5343, 52eqeltrd 2850 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) → (𝐻 “ (𝑟 × 𝑠)) ∈ 𝑈)
5453ralrimivva 3120 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) → ∀𝑟𝑅𝑠𝑆 (𝐻 “ (𝑟 × 𝑠)) ∈ 𝑈)
55 vex 3354 . . . . . 6 𝑟 ∈ V
56 vex 3354 . . . . . 6 𝑠 ∈ V
5755, 56xpex 7113 . . . . 5 (𝑟 × 𝑠) ∈ V
5857rgen2w 3074 . . . 4 𝑟𝑅𝑠𝑆 (𝑟 × 𝑠) ∈ V
59 eqid 2771 . . . . 5 (𝑟𝑅, 𝑠𝑆 ↦ (𝑟 × 𝑠)) = (𝑟𝑅, 𝑠𝑆 ↦ (𝑟 × 𝑠))
60 imaeq2 5602 . . . . . 6 (𝑧 = (𝑟 × 𝑠) → (𝐻𝑧) = (𝐻 “ (𝑟 × 𝑠)))
6160eleq1d 2835 . . . . 5 (𝑧 = (𝑟 × 𝑠) → ((𝐻𝑧) ∈ 𝑈 ↔ (𝐻 “ (𝑟 × 𝑠)) ∈ 𝑈))
6259, 61ralrnmpt2 6926 . . . 4 (∀𝑟𝑅𝑠𝑆 (𝑟 × 𝑠) ∈ V → (∀𝑧 ∈ ran (𝑟𝑅, 𝑠𝑆 ↦ (𝑟 × 𝑠))(𝐻𝑧) ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑟𝑅𝑠𝑆 (𝐻 “ (𝑟 × 𝑠)) ∈ 𝑈))
6358, 62ax-mp 5 . . 3 (∀𝑧 ∈ ran (𝑟𝑅, 𝑠𝑆 ↦ (𝑟 × 𝑠))(𝐻𝑧) ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑟𝑅𝑠𝑆 (𝐻 “ (𝑟 × 𝑠)) ∈ 𝑈)
6454, 63sylibr 224 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) → ∀𝑧 ∈ ran (𝑟𝑅, 𝑠𝑆 ↦ (𝑟 × 𝑠))(𝐻𝑧) ∈ 𝑈)
651toptopon 20942 . . . 4 (𝑈 ∈ Top ↔ 𝑈 ∈ (TopOn‘𝑊))
6645, 65sylib 208 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) → 𝑈 ∈ (TopOn‘𝑊))
67 cntop2 21266 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) → 𝑅 ∈ Top)
68 cntop2 21266 . . . 4 (𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆) → 𝑆 ∈ Top)
69 eqid 2771 . . . . 5 ran (𝑟𝑅, 𝑠𝑆 ↦ (𝑟 × 𝑠)) = ran (𝑟𝑅, 𝑠𝑆 ↦ (𝑟 × 𝑠))
7069txval 21588 . . . 4 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑅 ×t 𝑆) = (topGen‘ran (𝑟𝑅, 𝑠𝑆 ↦ (𝑟 × 𝑠))))
7167, 68, 70syl2an 583 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) → (𝑅 ×t 𝑆) = (topGen‘ran (𝑟𝑅, 𝑠𝑆 ↦ (𝑟 × 𝑠))))
722toptopon 20942 . . . . 5 (𝑅 ∈ Top ↔ 𝑅 ∈ (TopOn‘ 𝑅))
7367, 72sylib 208 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) → 𝑅 ∈ (TopOn‘ 𝑅))
746toptopon 20942 . . . . 5 (𝑆 ∈ Top ↔ 𝑆 ∈ (TopOn‘ 𝑆))
7568, 74sylib 208 . . . 4 (𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆) → 𝑆 ∈ (TopOn‘ 𝑆))
76 txtopon 21615 . . . 4 ((𝑅 ∈ (TopOn‘ 𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (TopOn‘ 𝑆)) → (𝑅 ×t 𝑆) ∈ (TopOn‘( 𝑅 × 𝑆)))
7773, 75, 76syl2an 583 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) → (𝑅 ×t 𝑆) ∈ (TopOn‘( 𝑅 × 𝑆)))
7866, 71, 77tgcn 21277 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) → (𝐻 ∈ (𝑈 Cn (𝑅 ×t 𝑆)) ↔ (𝐻:𝑊⟶( 𝑅 × 𝑆) ∧ ∀𝑧 ∈ ran (𝑟𝑅, 𝑠𝑆 ↦ (𝑟 × 𝑠))(𝐻𝑧) ∈ 𝑈)))
7913, 64, 78mpbir2and 692 1 ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) → 𝐻 ∈ (𝑈 Cn (𝑅 ×t 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  {crab 3065  Vcvv 3351  cin 3722  wss 3723  cop 4323   cuni 4575  cmpt 4864   × cxp 5248  ccnv 5249  dom cdm 5250  ran crn 5251  cima 5253   Fn wfn 6025  wf 6026  cfv 6030  (class class class)co 6796  cmpt2 6798  topGenctg 16306  Topctop 20918  TopOnctopon 20935   Cn ccn 21249   ×t ctx 21584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-fv 6038  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-map 8015  df-topgen 16312  df-top 20919  df-topon 20936  df-bases 20971  df-cn 21252  df-tx 21586
This theorem is referenced by:  uptx  21649  hauseqlcld  21670  txkgen  21676  cnmpt1t  21689  cnmpt2t  21697  txpconn  31552
  Copyright terms: Public domain W3C validator