MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txcnmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem txcnmpt 23647
Description: A map into the product of two topological spaces is continuous if both of its projections are continuous. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
txcnmpt.1 𝑊 = 𝑈
txcnmpt.2 𝐻 = (𝑥𝑊 ↦ ⟨(𝐹𝑥), (𝐺𝑥)⟩)
Assertion
Ref Expression
txcnmpt ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) → 𝐻 ∈ (𝑈 Cn (𝑅 ×t 𝑆)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑈   𝑥,𝑊
Allowed substitution hint:   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem txcnmpt
Dummy variables 𝑠 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txcnmpt.1 . . . . . . 7 𝑊 = 𝑈
2 eqid 2734 . . . . . . 7 𝑅 = 𝑅
31, 2cnf 23269 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) → 𝐹:𝑊 𝑅)
43adantr 480 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) → 𝐹:𝑊 𝑅)
54ffvelcdmda 7103 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑅)
6 eqid 2734 . . . . . . 7 𝑆 = 𝑆
71, 6cnf 23269 . . . . . 6 (𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆) → 𝐺:𝑊 𝑆)
87adantl 481 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) → 𝐺:𝑊 𝑆)
98ffvelcdmda 7103 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
105, 9opelxpd 5727 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → ⟨(𝐹𝑥), (𝐺𝑥)⟩ ∈ ( 𝑅 × 𝑆))
11 txcnmpt.2 . . 3 𝐻 = (𝑥𝑊 ↦ ⟨(𝐹𝑥), (𝐺𝑥)⟩)
1210, 11fmptd 7133 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) → 𝐻:𝑊⟶( 𝑅 × 𝑆))
1311mptpreima 6259 . . . . . 6 (𝐻 “ (𝑟 × 𝑠)) = {𝑥𝑊 ∣ ⟨(𝐹𝑥), (𝐺𝑥)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠)}
144adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) → 𝐹:𝑊 𝑅)
1514adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → 𝐹:𝑊 𝑅)
16 ffn 6736 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑊 𝑅𝐹 Fn 𝑊)
17 elpreima 7077 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 Fn 𝑊 → (𝑥 ∈ (𝐹𝑟) ↔ (𝑥𝑊 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑟)))
1815, 16, 173syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → (𝑥 ∈ (𝐹𝑟) ↔ (𝑥𝑊 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑟)))
19 ibar 528 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝑊 → ((𝐹𝑥) ∈ 𝑟 ↔ (𝑥𝑊 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑟)))
2019adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → ((𝐹𝑥) ∈ 𝑟 ↔ (𝑥𝑊 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑟)))
2118, 20bitr4d 282 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → (𝑥 ∈ (𝐹𝑟) ↔ (𝐹𝑥) ∈ 𝑟))
228ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → 𝐺:𝑊 𝑆)
23 ffn 6736 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺:𝑊 𝑆𝐺 Fn 𝑊)
24 elpreima 7077 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 Fn 𝑊 → (𝑥 ∈ (𝐺𝑠) ↔ (𝑥𝑊 ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝑠)))
2522, 23, 243syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → (𝑥 ∈ (𝐺𝑠) ↔ (𝑥𝑊 ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝑠)))
26 ibar 528 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝑊 → ((𝐺𝑥) ∈ 𝑠 ↔ (𝑥𝑊 ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝑠)))
2726adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → ((𝐺𝑥) ∈ 𝑠 ↔ (𝑥𝑊 ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝑠)))
2825, 27bitr4d 282 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → (𝑥 ∈ (𝐺𝑠) ↔ (𝐺𝑥) ∈ 𝑠))
2921, 28anbi12d 632 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → ((𝑥 ∈ (𝐹𝑟) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺𝑠)) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑟 ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝑠)))
30 elin 3978 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐹𝑟) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺𝑠)))
31 opelxp 5724 . . . . . . . . 9 (⟨(𝐹𝑥), (𝐺𝑥)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑟 ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝑠))
3229, 30, 313bitr4g 314 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → (𝑥 ∈ ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠)) ↔ ⟨(𝐹𝑥), (𝐺𝑥)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠)))
3332rabbi2dva 4233 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) → (𝑊 ∩ ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠))) = {𝑥𝑊 ∣ ⟨(𝐹𝑥), (𝐺𝑥)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠)})
34 inss1 4244 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠)) ⊆ (𝐹𝑟)
35 cnvimass 6101 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝑟) ⊆ dom 𝐹
3634, 35sstri 4004 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠)) ⊆ dom 𝐹
3736, 14fssdm 6755 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) → ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠)) ⊆ 𝑊)
38 sseqin2 4230 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠)) ⊆ 𝑊 ↔ (𝑊 ∩ ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠))) = ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠)))
3937, 38sylib 218 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) → (𝑊 ∩ ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠))) = ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠)))
4033, 39eqtr3d 2776 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) → {𝑥𝑊 ∣ ⟨(𝐹𝑥), (𝐺𝑥)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠)} = ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠)))
4113, 40eqtrid 2786 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) → (𝐻 “ (𝑟 × 𝑠)) = ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠)))
42 cntop1 23263 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆) → 𝑈 ∈ Top)
4342adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) → 𝑈 ∈ Top)
4443adantr 480 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) → 𝑈 ∈ Top)
45 cnima 23288 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝑟𝑅) → (𝐹𝑟) ∈ 𝑈)
4645ad2ant2r 747 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) → (𝐹𝑟) ∈ 𝑈)
47 cnima 23288 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆) ∧ 𝑠𝑆) → (𝐺𝑠) ∈ 𝑈)
4847ad2ant2l 746 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) → (𝐺𝑠) ∈ 𝑈)
49 inopn 22920 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ Top ∧ (𝐹𝑟) ∈ 𝑈 ∧ (𝐺𝑠) ∈ 𝑈) → ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠)) ∈ 𝑈)
5044, 46, 48, 49syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) → ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠)) ∈ 𝑈)
5141, 50eqeltrd 2838 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) → (𝐻 “ (𝑟 × 𝑠)) ∈ 𝑈)
5251ralrimivva 3199 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) → ∀𝑟𝑅𝑠𝑆 (𝐻 “ (𝑟 × 𝑠)) ∈ 𝑈)
53 vex 3481 . . . . . 6 𝑟 ∈ V
54 vex 3481 . . . . . 6 𝑠 ∈ V
5553, 54xpex 7771 . . . . 5 (𝑟 × 𝑠) ∈ V
5655rgen2w 3063 . . . 4 𝑟𝑅𝑠𝑆 (𝑟 × 𝑠) ∈ V
57 eqid 2734 . . . . 5 (𝑟𝑅, 𝑠𝑆 ↦ (𝑟 × 𝑠)) = (𝑟𝑅, 𝑠𝑆 ↦ (𝑟 × 𝑠))
58 imaeq2 6075 . . . . . 6 (𝑧 = (𝑟 × 𝑠) → (𝐻𝑧) = (𝐻 “ (𝑟 × 𝑠)))
5958eleq1d 2823 . . . . 5 (𝑧 = (𝑟 × 𝑠) → ((𝐻𝑧) ∈ 𝑈 ↔ (𝐻 “ (𝑟 × 𝑠)) ∈ 𝑈))
6057, 59ralrnmpo 7571 . . . 4 (∀𝑟𝑅𝑠𝑆 (𝑟 × 𝑠) ∈ V → (∀𝑧 ∈ ran (𝑟𝑅, 𝑠𝑆 ↦ (𝑟 × 𝑠))(𝐻𝑧) ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑟𝑅𝑠𝑆 (𝐻 “ (𝑟 × 𝑠)) ∈ 𝑈))
6156, 60ax-mp 5 . . 3 (∀𝑧 ∈ ran (𝑟𝑅, 𝑠𝑆 ↦ (𝑟 × 𝑠))(𝐻𝑧) ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑟𝑅𝑠𝑆 (𝐻 “ (𝑟 × 𝑠)) ∈ 𝑈)
6252, 61sylibr 234 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) → ∀𝑧 ∈ ran (𝑟𝑅, 𝑠𝑆 ↦ (𝑟 × 𝑠))(𝐻𝑧) ∈ 𝑈)
631toptopon 22938 . . . 4 (𝑈 ∈ Top ↔ 𝑈 ∈ (TopOn‘𝑊))
6443, 63sylib 218 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) → 𝑈 ∈ (TopOn‘𝑊))
65 cntop2 23264 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) → 𝑅 ∈ Top)
66 cntop2 23264 . . . 4 (𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆) → 𝑆 ∈ Top)
67 eqid 2734 . . . . 5 ran (𝑟𝑅, 𝑠𝑆 ↦ (𝑟 × 𝑠)) = ran (𝑟𝑅, 𝑠𝑆 ↦ (𝑟 × 𝑠))
6867txval 23587 . . . 4 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑅 ×t 𝑆) = (topGen‘ran (𝑟𝑅, 𝑠𝑆 ↦ (𝑟 × 𝑠))))
6965, 66, 68syl2an 596 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) → (𝑅 ×t 𝑆) = (topGen‘ran (𝑟𝑅, 𝑠𝑆 ↦ (𝑟 × 𝑠))))
70 toptopon2 22939 . . . . 5 (𝑅 ∈ Top ↔ 𝑅 ∈ (TopOn‘ 𝑅))
7165, 70sylib 218 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) → 𝑅 ∈ (TopOn‘ 𝑅))
72 toptopon2 22939 . . . . 5 (𝑆 ∈ Top ↔ 𝑆 ∈ (TopOn‘ 𝑆))
7366, 72sylib 218 . . . 4 (𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆) → 𝑆 ∈ (TopOn‘ 𝑆))
74 txtopon 23614 . . . 4 ((𝑅 ∈ (TopOn‘ 𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (TopOn‘ 𝑆)) → (𝑅 ×t 𝑆) ∈ (TopOn‘( 𝑅 × 𝑆)))
7571, 73, 74syl2an 596 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) → (𝑅 ×t 𝑆) ∈ (TopOn‘( 𝑅 × 𝑆)))
7664, 69, 75tgcn 23275 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) → (𝐻 ∈ (𝑈 Cn (𝑅 ×t 𝑆)) ↔ (𝐻:𝑊⟶( 𝑅 × 𝑆) ∧ ∀𝑧 ∈ ran (𝑟𝑅, 𝑠𝑆 ↦ (𝑟 × 𝑠))(𝐻𝑧) ∈ 𝑈)))
7712, 62, 76mpbir2and 713 1 ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) → 𝐻 ∈ (𝑈 Cn (𝑅 ×t 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  {crab 3432  Vcvv 3477  cin 3961  wss 3962  cop 4636   cuni 4911  cmpt 5230   × cxp 5686  ccnv 5687  dom cdm 5688  ran crn 5689  cima 5691   Fn wfn 6557  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  cmpo 7432  topGenctg 17483  Topctop 22914  TopOnctopon 22931   Cn ccn 23247   ×t ctx 23583
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-map 8866  df-topgen 17489  df-top 22915  df-topon 22932  df-bases 22968  df-cn 23250  df-tx 23585
This theorem is referenced by:  uptx  23648  hauseqlcld  23669  txkgen  23675  cnmpt1t  23688  cnmpt2t  23696  txpconn  35216
  Copyright terms: Public domain W3C validator