MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txcnmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem txcnmpt 23348
Description: A map into the product of two topological spaces is continuous if both of its projections are continuous. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
txcnmpt.1 π‘Š = βˆͺ π‘ˆ
txcnmpt.2 𝐻 = (π‘₯ ∈ π‘Š ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΊβ€˜π‘₯)⟩)
Assertion
Ref Expression
txcnmpt ((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) β†’ 𝐻 ∈ (π‘ˆ Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝑆   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,π‘Š
Allowed substitution hint:   𝐻(π‘₯)

Proof of Theorem txcnmpt
Dummy variables 𝑠 π‘Ÿ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txcnmpt.1 . . . . . . 7 π‘Š = βˆͺ π‘ˆ
2 eqid 2730 . . . . . . 7 βˆͺ 𝑅 = βˆͺ 𝑅
31, 2cnf 22970 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) β†’ 𝐹:π‘ŠβŸΆβˆͺ 𝑅)
43adantr 479 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) β†’ 𝐹:π‘ŠβŸΆβˆͺ 𝑅)
54ffvelcdmda 7085 . . . 4 (((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ βˆͺ 𝑅)
6 eqid 2730 . . . . . . 7 βˆͺ 𝑆 = βˆͺ 𝑆
71, 6cnf 22970 . . . . . 6 (𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆) β†’ 𝐺:π‘ŠβŸΆβˆͺ 𝑆)
87adantl 480 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) β†’ 𝐺:π‘ŠβŸΆβˆͺ 𝑆)
98ffvelcdmda 7085 . . . 4 (((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ βˆͺ 𝑆)
105, 9opelxpd 5714 . . 3 (((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) β†’ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΊβ€˜π‘₯)⟩ ∈ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))
11 txcnmpt.2 . . 3 𝐻 = (π‘₯ ∈ π‘Š ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΊβ€˜π‘₯)⟩)
1210, 11fmptd 7114 . 2 ((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) β†’ 𝐻:π‘ŠβŸΆ(βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))
1311mptpreima 6236 . . . . . 6 (◑𝐻 β€œ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) = {π‘₯ ∈ π‘Š ∣ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΊβ€˜π‘₯)⟩ ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)}
144adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) β†’ 𝐹:π‘ŠβŸΆβˆͺ 𝑅)
1514adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) β†’ 𝐹:π‘ŠβŸΆβˆͺ 𝑅)
16 ffn 6716 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:π‘ŠβŸΆβˆͺ 𝑅 β†’ 𝐹 Fn π‘Š)
17 elpreima 7058 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 Fn π‘Š β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ π‘Ÿ) ↔ (π‘₯ ∈ π‘Š ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ π‘Ÿ)))
1815, 16, 173syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ π‘Ÿ) ↔ (π‘₯ ∈ π‘Š ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ π‘Ÿ)))
19 ibar 527 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ π‘Š β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ π‘Ÿ ↔ (π‘₯ ∈ π‘Š ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ π‘Ÿ)))
2019adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ π‘Ÿ ↔ (π‘₯ ∈ π‘Š ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ π‘Ÿ)))
2118, 20bitr4d 281 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ π‘Ÿ) ↔ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ π‘Ÿ))
228ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) β†’ 𝐺:π‘ŠβŸΆβˆͺ 𝑆)
23 ffn 6716 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺:π‘ŠβŸΆβˆͺ 𝑆 β†’ 𝐺 Fn π‘Š)
24 elpreima 7058 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 Fn π‘Š β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ 𝑠) ↔ (π‘₯ ∈ π‘Š ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝑠)))
2522, 23, 243syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ 𝑠) ↔ (π‘₯ ∈ π‘Š ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝑠)))
26 ibar 527 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ π‘Š β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝑠 ↔ (π‘₯ ∈ π‘Š ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝑠)))
2726adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝑠 ↔ (π‘₯ ∈ π‘Š ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝑠)))
2825, 27bitr4d 281 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ 𝑠) ↔ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝑠))
2921, 28anbi12d 629 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) β†’ ((π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ π‘Ÿ) ∧ π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ 𝑠)) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ π‘Ÿ ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝑠)))
30 elin 3963 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ((◑𝐹 β€œ π‘Ÿ) ∩ (◑𝐺 β€œ 𝑠)) ↔ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ π‘Ÿ) ∧ π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ 𝑠)))
31 opelxp 5711 . . . . . . . . 9 (⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΊβ€˜π‘₯)⟩ ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ π‘Ÿ ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝑠))
3229, 30, 313bitr4g 313 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) β†’ (π‘₯ ∈ ((◑𝐹 β€œ π‘Ÿ) ∩ (◑𝐺 β€œ 𝑠)) ↔ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΊβ€˜π‘₯)⟩ ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)))
3332rabbi2dva 4216 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘Š ∩ ((◑𝐹 β€œ π‘Ÿ) ∩ (◑𝐺 β€œ 𝑠))) = {π‘₯ ∈ π‘Š ∣ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΊβ€˜π‘₯)⟩ ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)})
34 inss1 4227 . . . . . . . . . 10 ((◑𝐹 β€œ π‘Ÿ) ∩ (◑𝐺 β€œ 𝑠)) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘Ÿ)
35 cnvimass 6079 . . . . . . . . . 10 (◑𝐹 β€œ π‘Ÿ) βŠ† dom 𝐹
3634, 35sstri 3990 . . . . . . . . 9 ((◑𝐹 β€œ π‘Ÿ) ∩ (◑𝐺 β€œ 𝑠)) βŠ† dom 𝐹
3736, 14fssdm 6736 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) β†’ ((◑𝐹 β€œ π‘Ÿ) ∩ (◑𝐺 β€œ 𝑠)) βŠ† π‘Š)
38 sseqin2 4214 . . . . . . . 8 (((◑𝐹 β€œ π‘Ÿ) ∩ (◑𝐺 β€œ 𝑠)) βŠ† π‘Š ↔ (π‘Š ∩ ((◑𝐹 β€œ π‘Ÿ) ∩ (◑𝐺 β€œ 𝑠))) = ((◑𝐹 β€œ π‘Ÿ) ∩ (◑𝐺 β€œ 𝑠)))
3937, 38sylib 217 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘Š ∩ ((◑𝐹 β€œ π‘Ÿ) ∩ (◑𝐺 β€œ 𝑠))) = ((◑𝐹 β€œ π‘Ÿ) ∩ (◑𝐺 β€œ 𝑠)))
4033, 39eqtr3d 2772 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) β†’ {π‘₯ ∈ π‘Š ∣ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΊβ€˜π‘₯)⟩ ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)} = ((◑𝐹 β€œ π‘Ÿ) ∩ (◑𝐺 β€œ 𝑠)))
4113, 40eqtrid 2782 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) β†’ (◑𝐻 β€œ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) = ((◑𝐹 β€œ π‘Ÿ) ∩ (◑𝐺 β€œ 𝑠)))
42 cntop1 22964 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆) β†’ π‘ˆ ∈ Top)
4342adantl 480 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) β†’ π‘ˆ ∈ Top)
4443adantr 479 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) β†’ π‘ˆ ∈ Top)
45 cnima 22989 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘Ÿ) ∈ π‘ˆ)
4645ad2ant2r 743 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘Ÿ) ∈ π‘ˆ)
47 cnima 22989 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ (◑𝐺 β€œ 𝑠) ∈ π‘ˆ)
4847ad2ant2l 742 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) β†’ (◑𝐺 β€œ 𝑠) ∈ π‘ˆ)
49 inopn 22621 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ Top ∧ (◑𝐹 β€œ π‘Ÿ) ∈ π‘ˆ ∧ (◑𝐺 β€œ 𝑠) ∈ π‘ˆ) β†’ ((◑𝐹 β€œ π‘Ÿ) ∩ (◑𝐺 β€œ 𝑠)) ∈ π‘ˆ)
5044, 46, 48, 49syl3anc 1369 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) β†’ ((◑𝐹 β€œ π‘Ÿ) ∩ (◑𝐺 β€œ 𝑠)) ∈ π‘ˆ)
5141, 50eqeltrd 2831 . . . 4 (((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) β†’ (◑𝐻 β€œ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) ∈ π‘ˆ)
5251ralrimivva 3198 . . 3 ((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆ€π‘  ∈ 𝑆 (◑𝐻 β€œ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) ∈ π‘ˆ)
53 vex 3476 . . . . . 6 π‘Ÿ ∈ V
54 vex 3476 . . . . . 6 𝑠 ∈ V
5553, 54xpex 7742 . . . . 5 (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∈ V
5655rgen2w 3064 . . . 4 βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆ€π‘  ∈ 𝑆 (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∈ V
57 eqid 2730 . . . . 5 (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) = (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))
58 imaeq2 6054 . . . . . 6 (𝑧 = (π‘Ÿ Γ— 𝑠) β†’ (◑𝐻 β€œ 𝑧) = (◑𝐻 β€œ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)))
5958eleq1d 2816 . . . . 5 (𝑧 = (π‘Ÿ Γ— 𝑠) β†’ ((◑𝐻 β€œ 𝑧) ∈ π‘ˆ ↔ (◑𝐻 β€œ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) ∈ π‘ˆ))
6057, 59ralrnmpo 7549 . . . 4 (βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆ€π‘  ∈ 𝑆 (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∈ V β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))(◑𝐻 β€œ 𝑧) ∈ π‘ˆ ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆ€π‘  ∈ 𝑆 (◑𝐻 β€œ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) ∈ π‘ˆ))
6156, 60ax-mp 5 . . 3 (βˆ€π‘§ ∈ ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))(◑𝐻 β€œ 𝑧) ∈ π‘ˆ ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆ€π‘  ∈ 𝑆 (◑𝐻 β€œ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) ∈ π‘ˆ)
6252, 61sylibr 233 . 2 ((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))(◑𝐻 β€œ 𝑧) ∈ π‘ˆ)
631toptopon 22639 . . . 4 (π‘ˆ ∈ Top ↔ π‘ˆ ∈ (TopOnβ€˜π‘Š))
6443, 63sylib 217 . . 3 ((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) β†’ π‘ˆ ∈ (TopOnβ€˜π‘Š))
65 cntop2 22965 . . . 4 (𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) β†’ 𝑅 ∈ Top)
66 cntop2 22965 . . . 4 (𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆) β†’ 𝑆 ∈ Top)
67 eqid 2730 . . . . 5 ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) = ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))
6867txval 23288 . . . 4 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) = (topGenβ€˜ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))))
6965, 66, 68syl2an 594 . . 3 ((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) = (topGenβ€˜ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))))
70 toptopon2 22640 . . . . 5 (𝑅 ∈ Top ↔ 𝑅 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑅))
7165, 70sylib 217 . . . 4 (𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) β†’ 𝑅 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑅))
72 toptopon2 22640 . . . . 5 (𝑆 ∈ Top ↔ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑆))
7366, 72sylib 217 . . . 4 (𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆) β†’ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑆))
74 txtopon 23315 . . . 4 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑆)) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜(βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)))
7571, 73, 74syl2an 594 . . 3 ((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜(βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)))
7664, 69, 75tgcn 22976 . 2 ((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) β†’ (𝐻 ∈ (π‘ˆ Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ↔ (𝐻:π‘ŠβŸΆ(βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆) ∧ βˆ€π‘§ ∈ ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))(◑𝐻 β€œ 𝑧) ∈ π‘ˆ)))
7712, 62, 76mpbir2and 709 1 ((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) β†’ 𝐻 ∈ (π‘ˆ Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  {crab 3430  Vcvv 3472   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βŸ¨cop 4633  βˆͺ cuni 4907   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675  ran crn 5676   β€œ cima 5678   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  topGenctg 17387  Topctop 22615  TopOnctopon 22632   Cn ccn 22948   Γ—t ctx 23284
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-map 8824  df-topgen 17393  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669  df-cn 22951  df-tx 23286
This theorem is referenced by:  uptx  23349  hauseqlcld  23370  txkgen  23376  cnmpt1t  23389  cnmpt2t  23397  txpconn  34521
  Copyright terms: Public domain W3C validator