MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txcnmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem txcnmpt 23128
Description: A map into the product of two topological spaces is continuous if both of its projections are continuous. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
txcnmpt.1 π‘Š = βˆͺ π‘ˆ
txcnmpt.2 𝐻 = (π‘₯ ∈ π‘Š ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΊβ€˜π‘₯)⟩)
Assertion
Ref Expression
txcnmpt ((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) β†’ 𝐻 ∈ (π‘ˆ Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝑆   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,π‘Š
Allowed substitution hint:   𝐻(π‘₯)

Proof of Theorem txcnmpt
Dummy variables 𝑠 π‘Ÿ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txcnmpt.1 . . . . . . 7 π‘Š = βˆͺ π‘ˆ
2 eqid 2733 . . . . . . 7 βˆͺ 𝑅 = βˆͺ 𝑅
31, 2cnf 22750 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) β†’ 𝐹:π‘ŠβŸΆβˆͺ 𝑅)
43adantr 482 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) β†’ 𝐹:π‘ŠβŸΆβˆͺ 𝑅)
54ffvelcdmda 7087 . . . 4 (((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ βˆͺ 𝑅)
6 eqid 2733 . . . . . . 7 βˆͺ 𝑆 = βˆͺ 𝑆
71, 6cnf 22750 . . . . . 6 (𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆) β†’ 𝐺:π‘ŠβŸΆβˆͺ 𝑆)
87adantl 483 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) β†’ 𝐺:π‘ŠβŸΆβˆͺ 𝑆)
98ffvelcdmda 7087 . . . 4 (((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ βˆͺ 𝑆)
105, 9opelxpd 5716 . . 3 (((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) β†’ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΊβ€˜π‘₯)⟩ ∈ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))
11 txcnmpt.2 . . 3 𝐻 = (π‘₯ ∈ π‘Š ↦ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΊβ€˜π‘₯)⟩)
1210, 11fmptd 7114 . 2 ((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) β†’ 𝐻:π‘ŠβŸΆ(βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))
1311mptpreima 6238 . . . . . 6 (◑𝐻 β€œ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) = {π‘₯ ∈ π‘Š ∣ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΊβ€˜π‘₯)⟩ ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)}
144adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) β†’ 𝐹:π‘ŠβŸΆβˆͺ 𝑅)
1514adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) β†’ 𝐹:π‘ŠβŸΆβˆͺ 𝑅)
16 ffn 6718 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:π‘ŠβŸΆβˆͺ 𝑅 β†’ 𝐹 Fn π‘Š)
17 elpreima 7060 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 Fn π‘Š β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ π‘Ÿ) ↔ (π‘₯ ∈ π‘Š ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ π‘Ÿ)))
1815, 16, 173syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ π‘Ÿ) ↔ (π‘₯ ∈ π‘Š ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ π‘Ÿ)))
19 ibar 530 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ π‘Š β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ π‘Ÿ ↔ (π‘₯ ∈ π‘Š ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ π‘Ÿ)))
2019adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ π‘Ÿ ↔ (π‘₯ ∈ π‘Š ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ π‘Ÿ)))
2118, 20bitr4d 282 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ π‘Ÿ) ↔ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ π‘Ÿ))
228ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) β†’ 𝐺:π‘ŠβŸΆβˆͺ 𝑆)
23 ffn 6718 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺:π‘ŠβŸΆβˆͺ 𝑆 β†’ 𝐺 Fn π‘Š)
24 elpreima 7060 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 Fn π‘Š β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ 𝑠) ↔ (π‘₯ ∈ π‘Š ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝑠)))
2522, 23, 243syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ 𝑠) ↔ (π‘₯ ∈ π‘Š ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝑠)))
26 ibar 530 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ π‘Š β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝑠 ↔ (π‘₯ ∈ π‘Š ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝑠)))
2726adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝑠 ↔ (π‘₯ ∈ π‘Š ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝑠)))
2825, 27bitr4d 282 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ 𝑠) ↔ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝑠))
2921, 28anbi12d 632 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) β†’ ((π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ π‘Ÿ) ∧ π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ 𝑠)) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ π‘Ÿ ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝑠)))
30 elin 3965 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ((◑𝐹 β€œ π‘Ÿ) ∩ (◑𝐺 β€œ 𝑠)) ↔ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ π‘Ÿ) ∧ π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ 𝑠)))
31 opelxp 5713 . . . . . . . . 9 (⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΊβ€˜π‘₯)⟩ ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ π‘Ÿ ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝑠))
3229, 30, 313bitr4g 314 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) β†’ (π‘₯ ∈ ((◑𝐹 β€œ π‘Ÿ) ∩ (◑𝐺 β€œ 𝑠)) ↔ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΊβ€˜π‘₯)⟩ ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)))
3332rabbi2dva 4218 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘Š ∩ ((◑𝐹 β€œ π‘Ÿ) ∩ (◑𝐺 β€œ 𝑠))) = {π‘₯ ∈ π‘Š ∣ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΊβ€˜π‘₯)⟩ ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)})
34 inss1 4229 . . . . . . . . . 10 ((◑𝐹 β€œ π‘Ÿ) ∩ (◑𝐺 β€œ 𝑠)) βŠ† (◑𝐹 β€œ π‘Ÿ)
35 cnvimass 6081 . . . . . . . . . 10 (◑𝐹 β€œ π‘Ÿ) βŠ† dom 𝐹
3634, 35sstri 3992 . . . . . . . . 9 ((◑𝐹 β€œ π‘Ÿ) ∩ (◑𝐺 β€œ 𝑠)) βŠ† dom 𝐹
3736, 14fssdm 6738 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) β†’ ((◑𝐹 β€œ π‘Ÿ) ∩ (◑𝐺 β€œ 𝑠)) βŠ† π‘Š)
38 sseqin2 4216 . . . . . . . 8 (((◑𝐹 β€œ π‘Ÿ) ∩ (◑𝐺 β€œ 𝑠)) βŠ† π‘Š ↔ (π‘Š ∩ ((◑𝐹 β€œ π‘Ÿ) ∩ (◑𝐺 β€œ 𝑠))) = ((◑𝐹 β€œ π‘Ÿ) ∩ (◑𝐺 β€œ 𝑠)))
3937, 38sylib 217 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘Š ∩ ((◑𝐹 β€œ π‘Ÿ) ∩ (◑𝐺 β€œ 𝑠))) = ((◑𝐹 β€œ π‘Ÿ) ∩ (◑𝐺 β€œ 𝑠)))
4033, 39eqtr3d 2775 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) β†’ {π‘₯ ∈ π‘Š ∣ ⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΊβ€˜π‘₯)⟩ ∈ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)} = ((◑𝐹 β€œ π‘Ÿ) ∩ (◑𝐺 β€œ 𝑠)))
4113, 40eqtrid 2785 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) β†’ (◑𝐻 β€œ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) = ((◑𝐹 β€œ π‘Ÿ) ∩ (◑𝐺 β€œ 𝑠)))
42 cntop1 22744 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆) β†’ π‘ˆ ∈ Top)
4342adantl 483 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) β†’ π‘ˆ ∈ Top)
4443adantr 482 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) β†’ π‘ˆ ∈ Top)
45 cnima 22769 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘Ÿ) ∈ π‘ˆ)
4645ad2ant2r 746 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘Ÿ) ∈ π‘ˆ)
47 cnima 22769 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ (◑𝐺 β€œ 𝑠) ∈ π‘ˆ)
4847ad2ant2l 745 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) β†’ (◑𝐺 β€œ 𝑠) ∈ π‘ˆ)
49 inopn 22401 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ Top ∧ (◑𝐹 β€œ π‘Ÿ) ∈ π‘ˆ ∧ (◑𝐺 β€œ 𝑠) ∈ π‘ˆ) β†’ ((◑𝐹 β€œ π‘Ÿ) ∩ (◑𝐺 β€œ 𝑠)) ∈ π‘ˆ)
5044, 46, 48, 49syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) β†’ ((◑𝐹 β€œ π‘Ÿ) ∩ (◑𝐺 β€œ 𝑠)) ∈ π‘ˆ)
5141, 50eqeltrd 2834 . . . 4 (((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑅 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆)) β†’ (◑𝐻 β€œ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) ∈ π‘ˆ)
5251ralrimivva 3201 . . 3 ((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆ€π‘  ∈ 𝑆 (◑𝐻 β€œ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) ∈ π‘ˆ)
53 vex 3479 . . . . . 6 π‘Ÿ ∈ V
54 vex 3479 . . . . . 6 𝑠 ∈ V
5553, 54xpex 7740 . . . . 5 (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∈ V
5655rgen2w 3067 . . . 4 βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆ€π‘  ∈ 𝑆 (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∈ V
57 eqid 2733 . . . . 5 (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) = (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))
58 imaeq2 6056 . . . . . 6 (𝑧 = (π‘Ÿ Γ— 𝑠) β†’ (◑𝐻 β€œ 𝑧) = (◑𝐻 β€œ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)))
5958eleq1d 2819 . . . . 5 (𝑧 = (π‘Ÿ Γ— 𝑠) β†’ ((◑𝐻 β€œ 𝑧) ∈ π‘ˆ ↔ (◑𝐻 β€œ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) ∈ π‘ˆ))
6057, 59ralrnmpo 7547 . . . 4 (βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆ€π‘  ∈ 𝑆 (π‘Ÿ Γ— 𝑠) ∈ V β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))(◑𝐻 β€œ 𝑧) ∈ π‘ˆ ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆ€π‘  ∈ 𝑆 (◑𝐻 β€œ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) ∈ π‘ˆ))
6156, 60ax-mp 5 . . 3 (βˆ€π‘§ ∈ ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))(◑𝐻 β€œ 𝑧) ∈ π‘ˆ ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑅 βˆ€π‘  ∈ 𝑆 (◑𝐻 β€œ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) ∈ π‘ˆ)
6252, 61sylibr 233 . 2 ((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))(◑𝐻 β€œ 𝑧) ∈ π‘ˆ)
631toptopon 22419 . . . 4 (π‘ˆ ∈ Top ↔ π‘ˆ ∈ (TopOnβ€˜π‘Š))
6443, 63sylib 217 . . 3 ((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) β†’ π‘ˆ ∈ (TopOnβ€˜π‘Š))
65 cntop2 22745 . . . 4 (𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) β†’ 𝑅 ∈ Top)
66 cntop2 22745 . . . 4 (𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆) β†’ 𝑆 ∈ Top)
67 eqid 2733 . . . . 5 ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠)) = ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))
6867txval 23068 . . . 4 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) = (topGenβ€˜ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))))
6965, 66, 68syl2an 597 . . 3 ((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) = (topGenβ€˜ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))))
70 toptopon2 22420 . . . . 5 (𝑅 ∈ Top ↔ 𝑅 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑅))
7165, 70sylib 217 . . . 4 (𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) β†’ 𝑅 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑅))
72 toptopon2 22420 . . . . 5 (𝑆 ∈ Top ↔ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑆))
7366, 72sylib 217 . . . 4 (𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆) β†’ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑆))
74 txtopon 23095 . . . 4 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑆)) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜(βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)))
7571, 73, 74syl2an 597 . . 3 ((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜(βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)))
7664, 69, 75tgcn 22756 . 2 ((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) β†’ (𝐻 ∈ (π‘ˆ Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ↔ (𝐻:π‘ŠβŸΆ(βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆) ∧ βˆ€π‘§ ∈ ran (π‘Ÿ ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 ↦ (π‘Ÿ Γ— 𝑠))(◑𝐻 β€œ 𝑧) ∈ π‘ˆ)))
7712, 62, 76mpbir2and 712 1 ((𝐹 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (π‘ˆ Cn 𝑆)) β†’ 𝐻 ∈ (π‘ˆ Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  {crab 3433  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βŸ¨cop 4635  βˆͺ cuni 4909   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678   β€œ cima 5680   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  topGenctg 17383  Topctop 22395  TopOnctopon 22412   Cn ccn 22728   Γ—t ctx 23064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-map 8822  df-topgen 17389  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-cn 22731  df-tx 23066
This theorem is referenced by:  uptx  23129  hauseqlcld  23150  txkgen  23156  cnmpt1t  23169  cnmpt2t  23177  txpconn  34223
  Copyright terms: Public domain W3C validator