MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txcnmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem txcnmpt 22521
Description: A map into the product of two topological spaces is continuous if both of its projections are continuous. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
txcnmpt.1 𝑊 = 𝑈
txcnmpt.2 𝐻 = (𝑥𝑊 ↦ ⟨(𝐹𝑥), (𝐺𝑥)⟩)
Assertion
Ref Expression
txcnmpt ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) → 𝐻 ∈ (𝑈 Cn (𝑅 ×t 𝑆)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑈   𝑥,𝑊
Allowed substitution hint:   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem txcnmpt
Dummy variables 𝑠 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txcnmpt.1 . . . . . . 7 𝑊 = 𝑈
2 eqid 2737 . . . . . . 7 𝑅 = 𝑅
31, 2cnf 22143 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) → 𝐹:𝑊 𝑅)
43adantr 484 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) → 𝐹:𝑊 𝑅)
54ffvelrnda 6904 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑅)
6 eqid 2737 . . . . . . 7 𝑆 = 𝑆
71, 6cnf 22143 . . . . . 6 (𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆) → 𝐺:𝑊 𝑆)
87adantl 485 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) → 𝐺:𝑊 𝑆)
98ffvelrnda 6904 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
105, 9opelxpd 5589 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → ⟨(𝐹𝑥), (𝐺𝑥)⟩ ∈ ( 𝑅 × 𝑆))
11 txcnmpt.2 . . 3 𝐻 = (𝑥𝑊 ↦ ⟨(𝐹𝑥), (𝐺𝑥)⟩)
1210, 11fmptd 6931 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) → 𝐻:𝑊⟶( 𝑅 × 𝑆))
1311mptpreima 6101 . . . . . 6 (𝐻 “ (𝑟 × 𝑠)) = {𝑥𝑊 ∣ ⟨(𝐹𝑥), (𝐺𝑥)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠)}
144adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) → 𝐹:𝑊 𝑅)
1514adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → 𝐹:𝑊 𝑅)
16 ffn 6545 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑊 𝑅𝐹 Fn 𝑊)
17 elpreima 6878 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 Fn 𝑊 → (𝑥 ∈ (𝐹𝑟) ↔ (𝑥𝑊 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑟)))
1815, 16, 173syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → (𝑥 ∈ (𝐹𝑟) ↔ (𝑥𝑊 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑟)))
19 ibar 532 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝑊 → ((𝐹𝑥) ∈ 𝑟 ↔ (𝑥𝑊 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑟)))
2019adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → ((𝐹𝑥) ∈ 𝑟 ↔ (𝑥𝑊 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑟)))
2118, 20bitr4d 285 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → (𝑥 ∈ (𝐹𝑟) ↔ (𝐹𝑥) ∈ 𝑟))
228ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → 𝐺:𝑊 𝑆)
23 ffn 6545 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺:𝑊 𝑆𝐺 Fn 𝑊)
24 elpreima 6878 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 Fn 𝑊 → (𝑥 ∈ (𝐺𝑠) ↔ (𝑥𝑊 ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝑠)))
2522, 23, 243syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → (𝑥 ∈ (𝐺𝑠) ↔ (𝑥𝑊 ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝑠)))
26 ibar 532 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝑊 → ((𝐺𝑥) ∈ 𝑠 ↔ (𝑥𝑊 ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝑠)))
2726adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → ((𝐺𝑥) ∈ 𝑠 ↔ (𝑥𝑊 ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝑠)))
2825, 27bitr4d 285 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → (𝑥 ∈ (𝐺𝑠) ↔ (𝐺𝑥) ∈ 𝑠))
2921, 28anbi12d 634 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → ((𝑥 ∈ (𝐹𝑟) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺𝑠)) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑟 ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝑠)))
30 elin 3882 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐹𝑟) ∧ 𝑥 ∈ (𝐺𝑠)))
31 opelxp 5587 . . . . . . . . 9 (⟨(𝐹𝑥), (𝐺𝑥)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑟 ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝑠))
3229, 30, 313bitr4g 317 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) ∧ 𝑥𝑊) → (𝑥 ∈ ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠)) ↔ ⟨(𝐹𝑥), (𝐺𝑥)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠)))
3332rabbi2dva 4132 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) → (𝑊 ∩ ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠))) = {𝑥𝑊 ∣ ⟨(𝐹𝑥), (𝐺𝑥)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠)})
34 inss1 4143 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠)) ⊆ (𝐹𝑟)
35 cnvimass 5949 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝑟) ⊆ dom 𝐹
3634, 35sstri 3910 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠)) ⊆ dom 𝐹
3736, 14fssdm 6565 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) → ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠)) ⊆ 𝑊)
38 sseqin2 4130 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠)) ⊆ 𝑊 ↔ (𝑊 ∩ ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠))) = ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠)))
3937, 38sylib 221 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) → (𝑊 ∩ ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠))) = ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠)))
4033, 39eqtr3d 2779 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) → {𝑥𝑊 ∣ ⟨(𝐹𝑥), (𝐺𝑥)⟩ ∈ (𝑟 × 𝑠)} = ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠)))
4113, 40syl5eq 2790 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) → (𝐻 “ (𝑟 × 𝑠)) = ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠)))
42 cntop1 22137 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆) → 𝑈 ∈ Top)
4342adantl 485 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) → 𝑈 ∈ Top)
4443adantr 484 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) → 𝑈 ∈ Top)
45 cnima 22162 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝑟𝑅) → (𝐹𝑟) ∈ 𝑈)
4645ad2ant2r 747 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) → (𝐹𝑟) ∈ 𝑈)
47 cnima 22162 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆) ∧ 𝑠𝑆) → (𝐺𝑠) ∈ 𝑈)
4847ad2ant2l 746 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) → (𝐺𝑠) ∈ 𝑈)
49 inopn 21796 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ Top ∧ (𝐹𝑟) ∈ 𝑈 ∧ (𝐺𝑠) ∈ 𝑈) → ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠)) ∈ 𝑈)
5044, 46, 48, 49syl3anc 1373 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) → ((𝐹𝑟) ∩ (𝐺𝑠)) ∈ 𝑈)
5141, 50eqeltrd 2838 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) ∧ (𝑟𝑅𝑠𝑆)) → (𝐻 “ (𝑟 × 𝑠)) ∈ 𝑈)
5251ralrimivva 3112 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) → ∀𝑟𝑅𝑠𝑆 (𝐻 “ (𝑟 × 𝑠)) ∈ 𝑈)
53 vex 3412 . . . . . 6 𝑟 ∈ V
54 vex 3412 . . . . . 6 𝑠 ∈ V
5553, 54xpex 7538 . . . . 5 (𝑟 × 𝑠) ∈ V
5655rgen2w 3074 . . . 4 𝑟𝑅𝑠𝑆 (𝑟 × 𝑠) ∈ V
57 eqid 2737 . . . . 5 (𝑟𝑅, 𝑠𝑆 ↦ (𝑟 × 𝑠)) = (𝑟𝑅, 𝑠𝑆 ↦ (𝑟 × 𝑠))
58 imaeq2 5925 . . . . . 6 (𝑧 = (𝑟 × 𝑠) → (𝐻𝑧) = (𝐻 “ (𝑟 × 𝑠)))
5958eleq1d 2822 . . . . 5 (𝑧 = (𝑟 × 𝑠) → ((𝐻𝑧) ∈ 𝑈 ↔ (𝐻 “ (𝑟 × 𝑠)) ∈ 𝑈))
6057, 59ralrnmpo 7348 . . . 4 (∀𝑟𝑅𝑠𝑆 (𝑟 × 𝑠) ∈ V → (∀𝑧 ∈ ran (𝑟𝑅, 𝑠𝑆 ↦ (𝑟 × 𝑠))(𝐻𝑧) ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑟𝑅𝑠𝑆 (𝐻 “ (𝑟 × 𝑠)) ∈ 𝑈))
6156, 60ax-mp 5 . . 3 (∀𝑧 ∈ ran (𝑟𝑅, 𝑠𝑆 ↦ (𝑟 × 𝑠))(𝐻𝑧) ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑟𝑅𝑠𝑆 (𝐻 “ (𝑟 × 𝑠)) ∈ 𝑈)
6252, 61sylibr 237 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) → ∀𝑧 ∈ ran (𝑟𝑅, 𝑠𝑆 ↦ (𝑟 × 𝑠))(𝐻𝑧) ∈ 𝑈)
631toptopon 21814 . . . 4 (𝑈 ∈ Top ↔ 𝑈 ∈ (TopOn‘𝑊))
6443, 63sylib 221 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) → 𝑈 ∈ (TopOn‘𝑊))
65 cntop2 22138 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) → 𝑅 ∈ Top)
66 cntop2 22138 . . . 4 (𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆) → 𝑆 ∈ Top)
67 eqid 2737 . . . . 5 ran (𝑟𝑅, 𝑠𝑆 ↦ (𝑟 × 𝑠)) = ran (𝑟𝑅, 𝑠𝑆 ↦ (𝑟 × 𝑠))
6867txval 22461 . . . 4 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑅 ×t 𝑆) = (topGen‘ran (𝑟𝑅, 𝑠𝑆 ↦ (𝑟 × 𝑠))))
6965, 66, 68syl2an 599 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) → (𝑅 ×t 𝑆) = (topGen‘ran (𝑟𝑅, 𝑠𝑆 ↦ (𝑟 × 𝑠))))
70 toptopon2 21815 . . . . 5 (𝑅 ∈ Top ↔ 𝑅 ∈ (TopOn‘ 𝑅))
7165, 70sylib 221 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) → 𝑅 ∈ (TopOn‘ 𝑅))
72 toptopon2 21815 . . . . 5 (𝑆 ∈ Top ↔ 𝑆 ∈ (TopOn‘ 𝑆))
7366, 72sylib 221 . . . 4 (𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆) → 𝑆 ∈ (TopOn‘ 𝑆))
74 txtopon 22488 . . . 4 ((𝑅 ∈ (TopOn‘ 𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (TopOn‘ 𝑆)) → (𝑅 ×t 𝑆) ∈ (TopOn‘( 𝑅 × 𝑆)))
7571, 73, 74syl2an 599 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) → (𝑅 ×t 𝑆) ∈ (TopOn‘( 𝑅 × 𝑆)))
7664, 69, 75tgcn 22149 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) → (𝐻 ∈ (𝑈 Cn (𝑅 ×t 𝑆)) ↔ (𝐻:𝑊⟶( 𝑅 × 𝑆) ∧ ∀𝑧 ∈ ran (𝑟𝑅, 𝑠𝑆 ↦ (𝑟 × 𝑠))(𝐻𝑧) ∈ 𝑈)))
7712, 62, 76mpbir2and 713 1 ((𝐹 ∈ (𝑈 Cn 𝑅) ∧ 𝐺 ∈ (𝑈 Cn 𝑆)) → 𝐻 ∈ (𝑈 Cn (𝑅 ×t 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  wral 3061  {crab 3065  Vcvv 3408  cin 3865  wss 3866  cop 4547   cuni 4819  cmpt 5135   × cxp 5549  ccnv 5550  dom cdm 5551  ran crn 5552  cima 5554   Fn wfn 6375  wf 6376  cfv 6380  (class class class)co 7213  cmpo 7215  topGenctg 16942  Topctop 21790  TopOnctopon 21807   Cn ccn 22121   ×t ctx 22457
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-map 8510  df-topgen 16948  df-top 21791  df-topon 21808  df-bases 21843  df-cn 22124  df-tx 22459
This theorem is referenced by:  uptx  22522  hauseqlcld  22543  txkgen  22549  cnmpt1t  22562  cnmpt2t  22570  txpconn  32907
  Copyright terms: Public domain W3C validator