Theorem acsinfd 18522

Description: In an algebraic closure system, if 𝑆 and 𝑇 have the same closure and 𝑆 is infinite independent, then 𝑇 is infinite. This follows from applying unirnffid 9257 to the map given in acsmap2d 18521. See Section II.5 in [Cohn] p. 81 to 82. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
acsmap2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
acsmap2d.2	⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
acsmap2d.3	⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
acsmap2d.4	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐼)
acsmap2d.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑋)
acsmap2d.6	⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑆) = (𝑁‘𝑇))
acsinfd.7	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
acsinfd	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑇 ∈ Fin)

Proof of Theorem acsinfd

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		acsmap2d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
2		acsmap2d.2	. . 3 ⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
3		acsmap2d.3	. . 3 ⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
4		acsmap2d.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐼)
5		acsmap2d.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑋)
6		acsmap2d.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑆) = (𝑁‘𝑇))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	acsmap2d 18521	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑆 = ∪ ran 𝑓))
8		simplrr 778	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑆 = ∪ ran 𝑓)) ∧ 𝑇 ∈ Fin) → 𝑆 = ∪ ran 𝑓)
9		simplrl 777	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑆 = ∪ ran 𝑓)) ∧ 𝑇 ∈ Fin) → 𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin))
10		inss2 4179	. . . . . 6 ⊢ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ Fin
11		fss 6685	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ Fin) → 𝑓:𝑇⟶Fin)
12	9, 10, 11	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑆 = ∪ ran 𝑓)) ∧ 𝑇 ∈ Fin) → 𝑓:𝑇⟶Fin)
13		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑆 = ∪ ran 𝑓)) ∧ 𝑇 ∈ Fin) → 𝑇 ∈ Fin)
14	12, 13	unirnffid 9257	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑆 = ∪ ran 𝑓)) ∧ 𝑇 ∈ Fin) → ∪ ran 𝑓 ∈ Fin)
15	8, 14	eqeltrd 2837	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑆 = ∪ ran 𝑓)) ∧ 𝑇 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ Fin)
16		acsinfd.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ Fin)
17	16	ad2antrr 727	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑆 = ∪ ran 𝑓)) ∧ 𝑇 ∈ Fin) → ¬ 𝑆 ∈ Fin)
18	15, 17	pm2.65da 817	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑆 = ∪ ran 𝑓)) → ¬ 𝑇 ∈ Fin)
19	7, 18	exlimddv 1937	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑇 ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  𝒫 cpw 4542  ∪ cuni 4851  ran crn 5632  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  Fincfn 8893  mrClscmrc 17545  mrIndcmri 17546  ACScacs 17547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-reg 9507  ax-inf2 9562  ax-ac2 10385  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-r1 9688  df-rank 9689  df-card 9863  df-ac 10038  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ocomp 17241  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-mri 17550  df-acs 17551  df-proset 18260  df-drs 18261  df-poset 18279  df-ipo 18494

This theorem is referenced by:  acsdomd  18523  acsinfdimd  18524