Theorem acsinfd 18731

Description: In an algebraic closure system, if 𝑆 and 𝑇 have the same closure and 𝑆 is infinite independent, then 𝑇 is infinite. This follows from applying unirnffid 9337 to the map given in acsmap2d 18730. See Section II.5 in [Cohn] p. 81 to 82. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
acsmap2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
acsmap2d.2	⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
acsmap2d.3	⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
acsmap2d.4	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐼)
acsmap2d.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑋)
acsmap2d.6	⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑆) = (𝑁‘𝑇))
acsinfd.7	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
acsinfd	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑇 ∈ Fin)

Proof of Theorem acsinfd

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		acsmap2d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
2		acsmap2d.2	. . 3 ⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
3		acsmap2d.3	. . 3 ⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
4		acsmap2d.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐼)
5		acsmap2d.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑋)
6		acsmap2d.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑆) = (𝑁‘𝑇))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	acsmap2d 18730	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑆 = ∪ ran 𝑓))
8		simplrr 790	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑆 = ∪ ran 𝑓)) ∧ 𝑇 ∈ Fin) → 𝑆 = ∪ ran 𝑓)
9		simplrl 789	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑆 = ∪ ran 𝑓)) ∧ 𝑇 ∈ Fin) → 𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin))
10		inss2 4134	. . . . . 6 ⊢ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ Fin
11		fss 6726	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) ⊆ Fin) → 𝑓:𝑇⟶Fin)
12	9, 10, 11	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑆 = ∪ ran 𝑓)) ∧ 𝑇 ∈ Fin) → 𝑓:𝑇⟶Fin)
13		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑆 = ∪ ran 𝑓)) ∧ 𝑇 ∈ Fin) → 𝑇 ∈ Fin)
14	12, 13	unirnffid 9337	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑆 = ∪ ran 𝑓)) ∧ 𝑇 ∈ Fin) → ∪ ran 𝑓 ∈ Fin)
15	8, 14	eqeltrd 2860	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑆 = ∪ ran 𝑓)) ∧ 𝑇 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ Fin)
16		acsinfd.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 ∈ Fin)
17	16	ad2antrr 739	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑆 = ∪ ran 𝑓)) ∧ 𝑇 ∈ Fin) → ¬ 𝑆 ∈ Fin)
18	15, 17	pm2.65da 829	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑆 = ∪ ran 𝑓)) → ¬ 𝑇 ∈ Fin)
19	7, 18	exlimddv 1967	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑇 ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895   ∩ cin 4089  𝒫 cpw 4556  ∪ cuni 4866  ran crn 5651  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  Fincfn 8974  mrClscmrc 17754  mrIndcmri 17755  ACScacs 17756

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-reg 9587  ax-inf2 9643  ax-ac2 10542  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-r1 9769  df-rank 9770  df-scott 9930  df-card 10021  df-ac 10196  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-9 12413  df-n0 12608  df-z 12695  df-dec 12816  df-uz 12967  df-fz 13641  df-struct 17326  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-tset 17448  df-ple 17449  df-ocomp 17450  df-mre 17757  df-mrc 17758  df-mri 17759  df-acs 17760  df-proset 18469  df-drs 18470  df-poset 18488  df-ipo 18703

This theorem is used by:  acsdomd  18732  acsinfdimd  18733