MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  marypha2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem marypha2 9436
Description: Version of marypha1 9431 using a functional family of sets instead of a relation. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
marypha2.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
marypha2.b (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢Fin)
marypha2.c ((πœ‘ ∧ 𝑑 βŠ† 𝐴) β†’ 𝑑 β‰Ό βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑))
Assertion
Ref Expression
marypha2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘”(𝑔:𝐴–1-1β†’V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ (πΉβ€˜π‘₯)))
Distinct variable groups:   πœ‘,𝑑,𝑔,π‘₯   𝐴,𝑑,𝑔,π‘₯   𝐹,𝑑,𝑔,π‘₯
Proof of Theorem marypha2
StepHypRef Expression
1 marypha2.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
2 marypha2.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢Fin)
32, 1unirnffid 9346 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran 𝐹 ∈ Fin)
4 eqid 2730 . . . . 5 βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯)) = βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯))
54marypha2lem1 9432 . . . 4 βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† (𝐴 Γ— βˆͺ ran 𝐹)
65a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† (𝐴 Γ— βˆͺ ran 𝐹))
7 marypha2.c . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 βŠ† 𝐴) β†’ 𝑑 β‰Ό βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑))
82ffnd 6717 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
94marypha2lem4 9435 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑑 βŠ† 𝐴) β†’ (βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯)) β€œ 𝑑) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑))
108, 9sylan 578 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 βŠ† 𝐴) β†’ (βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯)) β€œ 𝑑) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑))
117, 10breqtrrd 5175 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 βŠ† 𝐴) β†’ 𝑑 β‰Ό (βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯)) β€œ 𝑑))
121, 3, 6, 11marypha1 9431 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝒫 βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯))𝑔:𝐴–1-1β†’βˆͺ ran 𝐹)
13 df-rex 3069 . . 3 (βˆƒπ‘” ∈ 𝒫 βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯))𝑔:𝐴–1-1β†’βˆͺ ran 𝐹 ↔ βˆƒπ‘”(𝑔 ∈ 𝒫 βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑔:𝐴–1-1β†’βˆͺ ran 𝐹))
14 ssv 4005 . . . . . . . 8 βˆͺ ran 𝐹 βŠ† V
15 f1ss 6792 . . . . . . . 8 ((𝑔:𝐴–1-1β†’βˆͺ ran 𝐹 ∧ βˆͺ ran 𝐹 βŠ† V) β†’ 𝑔:𝐴–1-1β†’V)
1614, 15mpan2 687 . . . . . . 7 (𝑔:𝐴–1-1β†’βˆͺ ran 𝐹 β†’ 𝑔:𝐴–1-1β†’V)
1716ad2antll 725 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑔:𝐴–1-1β†’βˆͺ ran 𝐹)) β†’ 𝑔:𝐴–1-1β†’V)
18 elpwi 4608 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ 𝒫 βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑔 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯)))
1918ad2antrl 724 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑔:𝐴–1-1β†’βˆͺ ran 𝐹)) β†’ 𝑔 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯)))
20 f1fn 6787 . . . . . . . . 9 (𝑔:𝐴–1-1β†’βˆͺ ran 𝐹 β†’ 𝑔 Fn 𝐴)
2120ad2antll 725 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑔:𝐴–1-1β†’βˆͺ ran 𝐹)) β†’ 𝑔 Fn 𝐴)
224marypha2lem3 9434 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑔 Fn 𝐴) β†’ (𝑔 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ (πΉβ€˜π‘₯)))
238, 21, 22syl2an2r 681 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑔:𝐴–1-1β†’βˆͺ ran 𝐹)) β†’ (𝑔 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ (πΉβ€˜π‘₯)))
2419, 23mpbid 231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑔:𝐴–1-1β†’βˆͺ ran 𝐹)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ (πΉβ€˜π‘₯))
2517, 24jca 510 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑔:𝐴–1-1β†’βˆͺ ran 𝐹)) β†’ (𝑔:𝐴–1-1β†’V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ (πΉβ€˜π‘₯)))
2625ex 411 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑔 ∈ 𝒫 βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑔:𝐴–1-1β†’βˆͺ ran 𝐹) β†’ (𝑔:𝐴–1-1β†’V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ (πΉβ€˜π‘₯))))
2726eximdv 1918 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘”(𝑔 ∈ 𝒫 βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑔:𝐴–1-1β†’βˆͺ ran 𝐹) β†’ βˆƒπ‘”(𝑔:𝐴–1-1β†’V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ (πΉβ€˜π‘₯))))
2813, 27biimtrid 241 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘” ∈ 𝒫 βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯))𝑔:𝐴–1-1β†’βˆͺ ran 𝐹 β†’ βˆƒπ‘”(𝑔:𝐴–1-1β†’V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ (πΉβ€˜π‘₯))))
2912, 28mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘”(𝑔:𝐴–1-1β†’V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ (πΉβ€˜π‘₯)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539  βˆƒwex 1779   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  Vcvv 3472   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601  {csn 4627  βˆͺ cuni 4907  βˆͺ ciun 4996   class class class wbr 5147   Γ— cxp 5673  ran crn 5676   β€œ cima 5678   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€“1-1β†’wf1 6539  β€˜cfv 6542   β‰Ό cdom 8939  Fincfn 8941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator