MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  marypha2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem marypha2 9055
Description: Version of marypha1 9050 using a functional family of sets instead of a relation. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
marypha2.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
marypha2.b (𝜑𝐹:𝐴⟶Fin)
marypha2.c ((𝜑𝑑𝐴) → 𝑑 (𝐹𝑑))
Assertion
Ref Expression
marypha2 (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:𝐴1-1→V ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥)))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑑,𝑔,𝑥   𝐴,𝑑,𝑔,𝑥   𝐹,𝑑,𝑔,𝑥

Proof of Theorem marypha2
StepHypRef Expression
1 marypha2.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 marypha2.b . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴⟶Fin)
32, 1unirnffid 8968 . . 3 (𝜑 ran 𝐹 ∈ Fin)
4 eqid 2737 . . . . 5 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) = 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥))
54marypha2lem1 9051 . . . 4 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) ⊆ (𝐴 × ran 𝐹)
65a1i 11 . . 3 (𝜑 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) ⊆ (𝐴 × ran 𝐹))
7 marypha2.c . . . 4 ((𝜑𝑑𝐴) → 𝑑 (𝐹𝑑))
82ffnd 6546 . . . . 5 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
94marypha2lem4 9054 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝐴𝑑𝐴) → ( 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) “ 𝑑) = (𝐹𝑑))
108, 9sylan 583 . . . 4 ((𝜑𝑑𝐴) → ( 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) “ 𝑑) = (𝐹𝑑))
117, 10breqtrrd 5081 . . 3 ((𝜑𝑑𝐴) → 𝑑 ≼ ( 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) “ 𝑑))
121, 3, 6, 11marypha1 9050 . 2 (𝜑 → ∃𝑔 ∈ 𝒫 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥))𝑔:𝐴1-1 ran 𝐹)
13 df-rex 3067 . . 3 (∃𝑔 ∈ 𝒫 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥))𝑔:𝐴1-1 ran 𝐹 ↔ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝒫 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) ∧ 𝑔:𝐴1-1 ran 𝐹))
14 ssv 3925 . . . . . . . 8 ran 𝐹 ⊆ V
15 f1ss 6621 . . . . . . . 8 ((𝑔:𝐴1-1 ran 𝐹 ran 𝐹 ⊆ V) → 𝑔:𝐴1-1→V)
1614, 15mpan2 691 . . . . . . 7 (𝑔:𝐴1-1 ran 𝐹𝑔:𝐴1-1→V)
1716ad2antll 729 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) ∧ 𝑔:𝐴1-1 ran 𝐹)) → 𝑔:𝐴1-1→V)
18 elpwi 4522 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ 𝒫 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) → 𝑔 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)))
1918ad2antrl 728 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) ∧ 𝑔:𝐴1-1 ran 𝐹)) → 𝑔 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)))
20 f1fn 6616 . . . . . . . . 9 (𝑔:𝐴1-1 ran 𝐹𝑔 Fn 𝐴)
2120ad2antll 729 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) ∧ 𝑔:𝐴1-1 ran 𝐹)) → 𝑔 Fn 𝐴)
224marypha2lem3 9053 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝐴𝑔 Fn 𝐴) → (𝑔 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥)))
238, 21, 22syl2an2r 685 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) ∧ 𝑔:𝐴1-1 ran 𝐹)) → (𝑔 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥)))
2419, 23mpbid 235 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) ∧ 𝑔:𝐴1-1 ran 𝐹)) → ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥))
2517, 24jca 515 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) ∧ 𝑔:𝐴1-1 ran 𝐹)) → (𝑔:𝐴1-1→V ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥)))
2625ex 416 . . . 4 (𝜑 → ((𝑔 ∈ 𝒫 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) ∧ 𝑔:𝐴1-1 ran 𝐹) → (𝑔:𝐴1-1→V ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥))))
2726eximdv 1925 . . 3 (𝜑 → (∃𝑔(𝑔 ∈ 𝒫 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) ∧ 𝑔:𝐴1-1 ran 𝐹) → ∃𝑔(𝑔:𝐴1-1→V ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥))))
2813, 27syl5bi 245 . 2 (𝜑 → (∃𝑔 ∈ 𝒫 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥))𝑔:𝐴1-1 ran 𝐹 → ∃𝑔(𝑔:𝐴1-1→V ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥))))
2912, 28mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:𝐴1-1→V ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wex 1787  wcel 2110  wral 3061  wrex 3062  Vcvv 3408  wss 3866  𝒫 cpw 4513  {csn 4541   cuni 4819   ciun 4904   class class class wbr 5053   × cxp 5549  ran crn 5552  cima 5554   Fn wfn 6375  wf 6376  1-1wf1 6377  cfv 6380  cdom 8624  Fincfn 8626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-1o 8202  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator