MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  marypha2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem marypha2 9434
Description: Version of marypha1 9429 using a functional family of sets instead of a relation. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
marypha2.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
marypha2.b (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢Fin)
marypha2.c ((πœ‘ ∧ 𝑑 βŠ† 𝐴) β†’ 𝑑 β‰Ό βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑))
Assertion
Ref Expression
marypha2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘”(𝑔:𝐴–1-1β†’V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ (πΉβ€˜π‘₯)))
Distinct variable groups:   πœ‘,𝑑,𝑔,π‘₯   𝐴,𝑑,𝑔,π‘₯   𝐹,𝑑,𝑔,π‘₯
Proof of Theorem marypha2
StepHypRef Expression
1 marypha2.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
2 marypha2.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢Fin)
32, 1unirnffid 9344 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran 𝐹 ∈ Fin)
4 eqid 2733 . . . . 5 βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯)) = βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯))
54marypha2lem1 9430 . . . 4 βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† (𝐴 Γ— βˆͺ ran 𝐹)
65a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† (𝐴 Γ— βˆͺ ran 𝐹))
7 marypha2.c . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 βŠ† 𝐴) β†’ 𝑑 β‰Ό βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑))
82ffnd 6719 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
94marypha2lem4 9433 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑑 βŠ† 𝐴) β†’ (βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯)) β€œ 𝑑) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑))
108, 9sylan 581 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 βŠ† 𝐴) β†’ (βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯)) β€œ 𝑑) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑))
117, 10breqtrrd 5177 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 βŠ† 𝐴) β†’ 𝑑 β‰Ό (βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯)) β€œ 𝑑))
121, 3, 6, 11marypha1 9429 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝒫 βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯))𝑔:𝐴–1-1β†’βˆͺ ran 𝐹)
13 df-rex 3072 . . 3 (βˆƒπ‘” ∈ 𝒫 βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯))𝑔:𝐴–1-1β†’βˆͺ ran 𝐹 ↔ βˆƒπ‘”(𝑔 ∈ 𝒫 βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑔:𝐴–1-1β†’βˆͺ ran 𝐹))
14 ssv 4007 . . . . . . . 8 βˆͺ ran 𝐹 βŠ† V
15 f1ss 6794 . . . . . . . 8 ((𝑔:𝐴–1-1β†’βˆͺ ran 𝐹 ∧ βˆͺ ran 𝐹 βŠ† V) β†’ 𝑔:𝐴–1-1β†’V)
1614, 15mpan2 690 . . . . . . 7 (𝑔:𝐴–1-1β†’βˆͺ ran 𝐹 β†’ 𝑔:𝐴–1-1β†’V)
1716ad2antll 728 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑔:𝐴–1-1β†’βˆͺ ran 𝐹)) β†’ 𝑔:𝐴–1-1β†’V)
18 elpwi 4610 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ 𝒫 βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑔 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯)))
1918ad2antrl 727 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑔:𝐴–1-1β†’βˆͺ ran 𝐹)) β†’ 𝑔 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯)))
20 f1fn 6789 . . . . . . . . 9 (𝑔:𝐴–1-1β†’βˆͺ ran 𝐹 β†’ 𝑔 Fn 𝐴)
2120ad2antll 728 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑔:𝐴–1-1β†’βˆͺ ran 𝐹)) β†’ 𝑔 Fn 𝐴)
224marypha2lem3 9432 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑔 Fn 𝐴) β†’ (𝑔 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ (πΉβ€˜π‘₯)))
238, 21, 22syl2an2r 684 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑔:𝐴–1-1β†’βˆͺ ran 𝐹)) β†’ (𝑔 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ (πΉβ€˜π‘₯)))
2419, 23mpbid 231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑔:𝐴–1-1β†’βˆͺ ran 𝐹)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ (πΉβ€˜π‘₯))
2517, 24jca 513 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑔:𝐴–1-1β†’βˆͺ ran 𝐹)) β†’ (𝑔:𝐴–1-1β†’V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ (πΉβ€˜π‘₯)))
2625ex 414 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑔 ∈ 𝒫 βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑔:𝐴–1-1β†’βˆͺ ran 𝐹) β†’ (𝑔:𝐴–1-1β†’V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ (πΉβ€˜π‘₯))))
2726eximdv 1921 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘”(𝑔 ∈ 𝒫 βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑔:𝐴–1-1β†’βˆͺ ran 𝐹) β†’ βˆƒπ‘”(𝑔:𝐴–1-1β†’V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ (πΉβ€˜π‘₯))))
2813, 27biimtrid 241 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘” ∈ 𝒫 βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯))𝑔:𝐴–1-1β†’βˆͺ ran 𝐹 β†’ βˆƒπ‘”(𝑔:𝐴–1-1β†’V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ (πΉβ€˜π‘₯))))
2912, 28mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘”(𝑔:𝐴–1-1β†’V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ (πΉβ€˜π‘₯)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603  {csn 4629  βˆͺ cuni 4909  βˆͺ ciun 4998   class class class wbr 5149   Γ— cxp 5675  ran crn 5678   β€œ cima 5680   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€“1-1β†’wf1 6541  β€˜cfv 6544   β‰Ό cdom 8937  Fincfn 8939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator