MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  marypha2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem marypha2 9421
Description: Version of marypha1 9416 using a functional family of sets instead of a relation. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
marypha2.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
marypha2.b (𝜑𝐹:𝐴⟶Fin)
marypha2.c ((𝜑𝑑𝐴) → 𝑑 (𝐹𝑑))
Assertion
Ref Expression
marypha2 (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:𝐴1-1→V ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥)))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑑,𝑔,𝑥   𝐴,𝑑,𝑔,𝑥   𝐹,𝑑,𝑔,𝑥

Proof of Theorem marypha2
StepHypRef Expression
1 marypha2.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 marypha2.b . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴⟶Fin)
32, 1unirnffid 9332 . . 3 (𝜑 ran 𝐹 ∈ Fin)
4 eqid 2733 . . . . 5 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) = 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥))
54marypha2lem1 9417 . . . 4 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) ⊆ (𝐴 × ran 𝐹)
65a1i 11 . . 3 (𝜑 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) ⊆ (𝐴 × ran 𝐹))
7 marypha2.c . . . 4 ((𝜑𝑑𝐴) → 𝑑 (𝐹𝑑))
82ffnd 6708 . . . . 5 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
94marypha2lem4 9420 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝐴𝑑𝐴) → ( 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) “ 𝑑) = (𝐹𝑑))
108, 9sylan 581 . . . 4 ((𝜑𝑑𝐴) → ( 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) “ 𝑑) = (𝐹𝑑))
117, 10breqtrrd 5172 . . 3 ((𝜑𝑑𝐴) → 𝑑 ≼ ( 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) “ 𝑑))
121, 3, 6, 11marypha1 9416 . 2 (𝜑 → ∃𝑔 ∈ 𝒫 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥))𝑔:𝐴1-1 ran 𝐹)
13 df-rex 3072 . . 3 (∃𝑔 ∈ 𝒫 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥))𝑔:𝐴1-1 ran 𝐹 ↔ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝒫 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) ∧ 𝑔:𝐴1-1 ran 𝐹))
14 ssv 4004 . . . . . . . 8 ran 𝐹 ⊆ V
15 f1ss 6783 . . . . . . . 8 ((𝑔:𝐴1-1 ran 𝐹 ran 𝐹 ⊆ V) → 𝑔:𝐴1-1→V)
1614, 15mpan2 690 . . . . . . 7 (𝑔:𝐴1-1 ran 𝐹𝑔:𝐴1-1→V)
1716ad2antll 728 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) ∧ 𝑔:𝐴1-1 ran 𝐹)) → 𝑔:𝐴1-1→V)
18 elpwi 4605 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ 𝒫 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) → 𝑔 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)))
1918ad2antrl 727 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) ∧ 𝑔:𝐴1-1 ran 𝐹)) → 𝑔 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)))
20 f1fn 6778 . . . . . . . . 9 (𝑔:𝐴1-1 ran 𝐹𝑔 Fn 𝐴)
2120ad2antll 728 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) ∧ 𝑔:𝐴1-1 ran 𝐹)) → 𝑔 Fn 𝐴)
224marypha2lem3 9419 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝐴𝑔 Fn 𝐴) → (𝑔 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥)))
238, 21, 22syl2an2r 684 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) ∧ 𝑔:𝐴1-1 ran 𝐹)) → (𝑔 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥)))
2419, 23mpbid 231 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) ∧ 𝑔:𝐴1-1 ran 𝐹)) → ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥))
2517, 24jca 513 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) ∧ 𝑔:𝐴1-1 ran 𝐹)) → (𝑔:𝐴1-1→V ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥)))
2625ex 414 . . . 4 (𝜑 → ((𝑔 ∈ 𝒫 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) ∧ 𝑔:𝐴1-1 ran 𝐹) → (𝑔:𝐴1-1→V ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥))))
2726eximdv 1921 . . 3 (𝜑 → (∃𝑔(𝑔 ∈ 𝒫 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) ∧ 𝑔:𝐴1-1 ran 𝐹) → ∃𝑔(𝑔:𝐴1-1→V ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥))))
2813, 27biimtrid 241 . 2 (𝜑 → (∃𝑔 ∈ 𝒫 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥))𝑔:𝐴1-1 ran 𝐹 → ∃𝑔(𝑔:𝐴1-1→V ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥))))
2912, 28mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:𝐴1-1→V ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  wral 3062  wrex 3071  Vcvv 3475  wss 3946  𝒫 cpw 4598  {csn 4624   cuni 4904   ciun 4993   class class class wbr 5144   × cxp 5670  ran crn 5673  cima 5675   Fn wfn 6530  wf 6531  1-1wf1 6532  cfv 6535  cdom 8925  Fincfn 8927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-1o 8453  df-er 8691  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator