MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  marypha2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem marypha2 9480
Description: Version of marypha1 9475 using a functional family of sets instead of a relation. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
marypha2.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
marypha2.b (𝜑𝐹:𝐴⟶Fin)
marypha2.c ((𝜑𝑑𝐴) → 𝑑 (𝐹𝑑))
Assertion
Ref Expression
marypha2 (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:𝐴1-1→V ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥)))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑑,𝑔,𝑥   𝐴,𝑑,𝑔,𝑥   𝐹,𝑑,𝑔,𝑥

Proof of Theorem marypha2
StepHypRef Expression
1 marypha2.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 marypha2.b . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴⟶Fin)
32, 1unirnffid 9388 . . 3 (𝜑 ran 𝐹 ∈ Fin)
4 eqid 2736 . . . . 5 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) = 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥))
54marypha2lem1 9476 . . . 4 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) ⊆ (𝐴 × ran 𝐹)
65a1i 11 . . 3 (𝜑 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) ⊆ (𝐴 × ran 𝐹))
7 marypha2.c . . . 4 ((𝜑𝑑𝐴) → 𝑑 (𝐹𝑑))
82ffnd 6736 . . . . 5 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
94marypha2lem4 9479 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝐴𝑑𝐴) → ( 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) “ 𝑑) = (𝐹𝑑))
108, 9sylan 580 . . . 4 ((𝜑𝑑𝐴) → ( 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) “ 𝑑) = (𝐹𝑑))
117, 10breqtrrd 5170 . . 3 ((𝜑𝑑𝐴) → 𝑑 ≼ ( 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) “ 𝑑))
121, 3, 6, 11marypha1 9475 . 2 (𝜑 → ∃𝑔 ∈ 𝒫 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥))𝑔:𝐴1-1 ran 𝐹)
13 df-rex 3070 . . 3 (∃𝑔 ∈ 𝒫 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥))𝑔:𝐴1-1 ran 𝐹 ↔ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝒫 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) ∧ 𝑔:𝐴1-1 ran 𝐹))
14 ssv 4007 . . . . . . . 8 ran 𝐹 ⊆ V
15 f1ss 6808 . . . . . . . 8 ((𝑔:𝐴1-1 ran 𝐹 ran 𝐹 ⊆ V) → 𝑔:𝐴1-1→V)
1614, 15mpan2 691 . . . . . . 7 (𝑔:𝐴1-1 ran 𝐹𝑔:𝐴1-1→V)
1716ad2antll 729 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) ∧ 𝑔:𝐴1-1 ran 𝐹)) → 𝑔:𝐴1-1→V)
18 elpwi 4606 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ 𝒫 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) → 𝑔 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)))
1918ad2antrl 728 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) ∧ 𝑔:𝐴1-1 ran 𝐹)) → 𝑔 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)))
20 f1fn 6804 . . . . . . . . 9 (𝑔:𝐴1-1 ran 𝐹𝑔 Fn 𝐴)
2120ad2antll 729 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) ∧ 𝑔:𝐴1-1 ran 𝐹)) → 𝑔 Fn 𝐴)
224marypha2lem3 9478 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝐴𝑔 Fn 𝐴) → (𝑔 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥)))
238, 21, 22syl2an2r 685 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) ∧ 𝑔:𝐴1-1 ran 𝐹)) → (𝑔 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥)))
2419, 23mpbid 232 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) ∧ 𝑔:𝐴1-1 ran 𝐹)) → ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥))
2517, 24jca 511 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) ∧ 𝑔:𝐴1-1 ran 𝐹)) → (𝑔:𝐴1-1→V ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥)))
2625ex 412 . . . 4 (𝜑 → ((𝑔 ∈ 𝒫 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) ∧ 𝑔:𝐴1-1 ran 𝐹) → (𝑔:𝐴1-1→V ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥))))
2726eximdv 1916 . . 3 (𝜑 → (∃𝑔(𝑔 ∈ 𝒫 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) ∧ 𝑔:𝐴1-1 ran 𝐹) → ∃𝑔(𝑔:𝐴1-1→V ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥))))
2813, 27biimtrid 242 . 2 (𝜑 → (∃𝑔 ∈ 𝒫 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥))𝑔:𝐴1-1 ran 𝐹 → ∃𝑔(𝑔:𝐴1-1→V ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥))))
2912, 28mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:𝐴1-1→V ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wex 1778  wcel 2107  wral 3060  wrex 3069  Vcvv 3479  wss 3950  𝒫 cpw 4599  {csn 4625   cuni 4906   ciun 4990   class class class wbr 5142   × cxp 5682  ran crn 5685  cima 5687   Fn wfn 6555  wf 6556  1-1wf1 6557  cfv 6560  cdom 8984  Fincfn 8986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator