MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  marypha2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem marypha2 8897
Description: Version of marypha1 8892 using a functional family of sets instead of a relation. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
marypha2.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
marypha2.b (𝜑𝐹:𝐴⟶Fin)
marypha2.c ((𝜑𝑑𝐴) → 𝑑 (𝐹𝑑))
Assertion
Ref Expression
marypha2 (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:𝐴1-1→V ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥)))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑑,𝑔,𝑥   𝐴,𝑑,𝑔,𝑥   𝐹,𝑑,𝑔,𝑥

Proof of Theorem marypha2
StepHypRef Expression
1 marypha2.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 marypha2.b . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴⟶Fin)
32, 1unirnffid 8810 . . 3 (𝜑 ran 𝐹 ∈ Fin)
4 eqid 2826 . . . . 5 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) = 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥))
54marypha2lem1 8893 . . . 4 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) ⊆ (𝐴 × ran 𝐹)
65a1i 11 . . 3 (𝜑 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) ⊆ (𝐴 × ran 𝐹))
7 marypha2.c . . . 4 ((𝜑𝑑𝐴) → 𝑑 (𝐹𝑑))
82ffnd 6514 . . . . 5 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
94marypha2lem4 8896 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝐴𝑑𝐴) → ( 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) “ 𝑑) = (𝐹𝑑))
108, 9sylan 580 . . . 4 ((𝜑𝑑𝐴) → ( 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) “ 𝑑) = (𝐹𝑑))
117, 10breqtrrd 5091 . . 3 ((𝜑𝑑𝐴) → 𝑑 ≼ ( 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) “ 𝑑))
121, 3, 6, 11marypha1 8892 . 2 (𝜑 → ∃𝑔 ∈ 𝒫 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥))𝑔:𝐴1-1 ran 𝐹)
13 df-rex 3149 . . 3 (∃𝑔 ∈ 𝒫 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥))𝑔:𝐴1-1 ran 𝐹 ↔ ∃𝑔(𝑔 ∈ 𝒫 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) ∧ 𝑔:𝐴1-1 ran 𝐹))
14 ssv 3995 . . . . . . . 8 ran 𝐹 ⊆ V
15 f1ss 6579 . . . . . . . 8 ((𝑔:𝐴1-1 ran 𝐹 ran 𝐹 ⊆ V) → 𝑔:𝐴1-1→V)
1614, 15mpan2 687 . . . . . . 7 (𝑔:𝐴1-1 ran 𝐹𝑔:𝐴1-1→V)
1716ad2antll 725 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) ∧ 𝑔:𝐴1-1 ran 𝐹)) → 𝑔:𝐴1-1→V)
18 elpwi 4554 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ 𝒫 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) → 𝑔 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)))
1918ad2antrl 724 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) ∧ 𝑔:𝐴1-1 ran 𝐹)) → 𝑔 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)))
20 f1fn 6575 . . . . . . . . 9 (𝑔:𝐴1-1 ran 𝐹𝑔 Fn 𝐴)
2120ad2antll 725 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) ∧ 𝑔:𝐴1-1 ran 𝐹)) → 𝑔 Fn 𝐴)
224marypha2lem3 8895 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝐴𝑔 Fn 𝐴) → (𝑔 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥)))
238, 21, 22syl2an2r 681 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) ∧ 𝑔:𝐴1-1 ran 𝐹)) → (𝑔 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥)))
2419, 23mpbid 233 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) ∧ 𝑔:𝐴1-1 ran 𝐹)) → ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥))
2517, 24jca 512 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) ∧ 𝑔:𝐴1-1 ran 𝐹)) → (𝑔:𝐴1-1→V ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥)))
2625ex 413 . . . 4 (𝜑 → ((𝑔 ∈ 𝒫 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) ∧ 𝑔:𝐴1-1 ran 𝐹) → (𝑔:𝐴1-1→V ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥))))
2726eximdv 1911 . . 3 (𝜑 → (∃𝑔(𝑔 ∈ 𝒫 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥)) ∧ 𝑔:𝐴1-1 ran 𝐹) → ∃𝑔(𝑔:𝐴1-1→V ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥))))
2813, 27syl5bi 243 . 2 (𝜑 → (∃𝑔 ∈ 𝒫 𝑥𝐴 ({𝑥} × (𝐹𝑥))𝑔:𝐴1-1 ran 𝐹 → ∃𝑔(𝑔:𝐴1-1→V ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥))))
2912, 28mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑔(𝑔:𝐴1-1→V ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wex 1773  wcel 2107  wral 3143  wrex 3144  Vcvv 3500  wss 3940  𝒫 cpw 4542  {csn 4564   cuni 4837   ciun 4917   class class class wbr 5063   × cxp 5552  ran crn 5555  cima 5557   Fn wfn 6349  wf 6350  1-1wf1 6351  cfv 6354  cdom 8501  Fincfn 8503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8284  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator