MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  marypha2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem marypha2 9382
Description: Version of marypha1 9377 using a functional family of sets instead of a relation. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
marypha2.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
marypha2.b (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢Fin)
marypha2.c ((πœ‘ ∧ 𝑑 βŠ† 𝐴) β†’ 𝑑 β‰Ό βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑))
Assertion
Ref Expression
marypha2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘”(𝑔:𝐴–1-1β†’V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ (πΉβ€˜π‘₯)))
Distinct variable groups:   πœ‘,𝑑,𝑔,π‘₯   𝐴,𝑑,𝑔,π‘₯   𝐹,𝑑,𝑔,π‘₯

Proof of Theorem marypha2
StepHypRef Expression
1 marypha2.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
2 marypha2.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢Fin)
32, 1unirnffid 9295 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran 𝐹 ∈ Fin)
4 eqid 2737 . . . . 5 βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯)) = βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯))
54marypha2lem1 9378 . . . 4 βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† (𝐴 Γ— βˆͺ ran 𝐹)
65a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† (𝐴 Γ— βˆͺ ran 𝐹))
7 marypha2.c . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 βŠ† 𝐴) β†’ 𝑑 β‰Ό βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑))
82ffnd 6674 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
94marypha2lem4 9381 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑑 βŠ† 𝐴) β†’ (βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯)) β€œ 𝑑) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑))
108, 9sylan 581 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 βŠ† 𝐴) β†’ (βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯)) β€œ 𝑑) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑑))
117, 10breqtrrd 5138 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 βŠ† 𝐴) β†’ 𝑑 β‰Ό (βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯)) β€œ 𝑑))
121, 3, 6, 11marypha1 9377 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝒫 βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯))𝑔:𝐴–1-1β†’βˆͺ ran 𝐹)
13 df-rex 3075 . . 3 (βˆƒπ‘” ∈ 𝒫 βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯))𝑔:𝐴–1-1β†’βˆͺ ran 𝐹 ↔ βˆƒπ‘”(𝑔 ∈ 𝒫 βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑔:𝐴–1-1β†’βˆͺ ran 𝐹))
14 ssv 3973 . . . . . . . 8 βˆͺ ran 𝐹 βŠ† V
15 f1ss 6749 . . . . . . . 8 ((𝑔:𝐴–1-1β†’βˆͺ ran 𝐹 ∧ βˆͺ ran 𝐹 βŠ† V) β†’ 𝑔:𝐴–1-1β†’V)
1614, 15mpan2 690 . . . . . . 7 (𝑔:𝐴–1-1β†’βˆͺ ran 𝐹 β†’ 𝑔:𝐴–1-1β†’V)
1716ad2antll 728 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑔:𝐴–1-1β†’βˆͺ ran 𝐹)) β†’ 𝑔:𝐴–1-1β†’V)
18 elpwi 4572 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ 𝒫 βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑔 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯)))
1918ad2antrl 727 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑔:𝐴–1-1β†’βˆͺ ran 𝐹)) β†’ 𝑔 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯)))
20 f1fn 6744 . . . . . . . . 9 (𝑔:𝐴–1-1β†’βˆͺ ran 𝐹 β†’ 𝑔 Fn 𝐴)
2120ad2antll 728 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑔:𝐴–1-1β†’βˆͺ ran 𝐹)) β†’ 𝑔 Fn 𝐴)
224marypha2lem3 9380 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑔 Fn 𝐴) β†’ (𝑔 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ (πΉβ€˜π‘₯)))
238, 21, 22syl2an2r 684 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑔:𝐴–1-1β†’βˆͺ ran 𝐹)) β†’ (𝑔 βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ (πΉβ€˜π‘₯)))
2419, 23mpbid 231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑔:𝐴–1-1β†’βˆͺ ran 𝐹)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ (πΉβ€˜π‘₯))
2517, 24jca 513 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑔 ∈ 𝒫 βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑔:𝐴–1-1β†’βˆͺ ran 𝐹)) β†’ (𝑔:𝐴–1-1β†’V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ (πΉβ€˜π‘₯)))
2625ex 414 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑔 ∈ 𝒫 βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑔:𝐴–1-1β†’βˆͺ ran 𝐹) β†’ (𝑔:𝐴–1-1β†’V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ (πΉβ€˜π‘₯))))
2726eximdv 1921 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘”(𝑔 ∈ 𝒫 βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑔:𝐴–1-1β†’βˆͺ ran 𝐹) β†’ βˆƒπ‘”(𝑔:𝐴–1-1β†’V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ (πΉβ€˜π‘₯))))
2813, 27biimtrid 241 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘” ∈ 𝒫 βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 ({π‘₯} Γ— (πΉβ€˜π‘₯))𝑔:𝐴–1-1β†’βˆͺ ran 𝐹 β†’ βˆƒπ‘”(𝑔:𝐴–1-1β†’V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ (πΉβ€˜π‘₯))))
2912, 28mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘”(𝑔:𝐴–1-1β†’V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘”β€˜π‘₯) ∈ (πΉβ€˜π‘₯)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3448   βŠ† wss 3915  π’« cpw 4565  {csn 4591  βˆͺ cuni 4870  βˆͺ ciun 4959   class class class wbr 5110   Γ— cxp 5636  ran crn 5639   β€œ cima 5641   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€“1-1β†’wf1 6498  β€˜cfv 6501   β‰Ό cdom 8888  Fincfn 8890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator