Theorem vtxdg0v 27850

Description: The degree of a vertex in the null graph is zero (or anything else), because there are no vertices. (Contributed by AV, 11-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
vtxdgf.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vtxdg0v	⊢ ((𝐺 = ∅ ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 0)

Proof of Theorem vtxdg0v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdgf.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	eleq2i 2830	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 ↔ 𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺))
3		fveq2 6766	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 = ∅ → (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘∅))
4		vtxval0 27419	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘∅) = ∅
5	3, 4	eqtrdi 2794	. . . . 5 ⊢ (𝐺 = ∅ → (Vtx‘𝐺) = ∅)
6	5	eleq2d 2824	. . . 4 ⊢ (𝐺 = ∅ → (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑈 ∈ ∅))
7	2, 6	syl5bb 283	. . 3 ⊢ (𝐺 = ∅ → (𝑈 ∈ 𝑉 ↔ 𝑈 ∈ ∅))
8		noel 4264	. . . 4 ⊢ ¬ 𝑈 ∈ ∅
9	8	pm2.21i 119	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ ∅ → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 0)
10	7, 9	syl6bi 252	. 2 ⊢ (𝐺 = ∅ → (𝑈 ∈ 𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 0))
11	10	imp 407	1 ⊢ ((𝐺 = ∅ ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∅c0 4256  ‘cfv 6426  0cc0 10881  Vtxcvtx 27376  VtxDegcvtxdg 27842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-1cn 10939  ax-addcl 10941

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-ov 7270  df-om 7703  df-2nd 7821  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-nn 11984  df-slot 16893  df-ndx 16905  df-base 16923  df-vtx 27378

This theorem is referenced by: (None)