Theorem vtxdg0v 29492

Description: The degree of a vertex in the null graph is zero (or anything else), because there are no vertices. (Contributed by AV, 11-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
vtxdgf.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vtxdg0v	⊢ ((𝐺 = ∅ ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 0)

Proof of Theorem vtxdg0v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdgf.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	eleq2i 2832	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 ↔ 𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺))
3		fveq2 6905	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 = ∅ → (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘∅))
4		vtxval0 29057	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘∅) = ∅
5	3, 4	eqtrdi 2792	. . . . 5 ⊢ (𝐺 = ∅ → (Vtx‘𝐺) = ∅)
6	5	eleq2d 2826	. . . 4 ⊢ (𝐺 = ∅ → (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑈 ∈ ∅))
7	2, 6	bitrid 283	. . 3 ⊢ (𝐺 = ∅ → (𝑈 ∈ 𝑉 ↔ 𝑈 ∈ ∅))
8		noel 4337	. . . 4 ⊢ ¬ 𝑈 ∈ ∅
9	8	pm2.21i 119	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ ∅ → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 0)
10	7, 9	biimtrdi 253	. 2 ⊢ (𝐺 = ∅ → (𝑈 ∈ 𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 0))
11	10	imp 406	1 ⊢ ((𝐺 = ∅ ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∅c0 4332  ‘cfv 6560  0cc0 11156  Vtxcvtx 29014  VtxDegcvtxdg 29484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-1cn 11214  ax-addcl 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-nn 12268  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-vtx 29016

This theorem is referenced by: (None)