Theorem vtxdg0v 30059

Description: The degree of a vertex in the null graph is zero (or anything else), because there are no vertices. (Contributed by AV, 11-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
vtxdgf.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vtxdg0v	⊢ ((𝐺 = ∅ ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 0)

Proof of Theorem vtxdg0v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdgf.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	eleq2i 2852	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 ↔ 𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺))
3		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 = ∅ → (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘∅))
4		vtxval0 29622	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘∅) = ∅
5	3, 4	eqtrdi 2811	. . . . 5 ⊢ (𝐺 = ∅ → (Vtx‘𝐺) = ∅)
6	5	eleq2d 2846	. . . 4 ⊢ (𝐺 = ∅ → (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑈 ∈ ∅))
7	2, 6	bitrid 286	. . 3 ⊢ (𝐺 = ∅ → (𝑈 ∈ 𝑉 ↔ 𝑈 ∈ ∅))
8		noel 4283	. . . 4 ⊢ ¬ 𝑈 ∈ ∅
9	8	pm2.21i 120	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ ∅ → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 0)
10	7, 9	biimtrdi 256	. 2 ⊢ (𝐺 = ∅ → (𝑈 ∈ 𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 0))
11	10	imp 412	1 ⊢ ((𝐺 = ∅ ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∅c0 4278  ‘cfv 6538  0cc0 11203  Vtxcvtx 29579  VtxDegcvtxdg 30051

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-1cn 11261  ax-addcl 11263

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-nn 12339  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-vtx 29581

This theorem is used by: (None)