MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vtxdg0v Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vtxdg0v 27840
Description: The degree of a vertex in the null graph is zero (or anything else), because there are no vertices. (Contributed by AV, 11-Dec-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
vtxdgf.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
vtxdg0v ((𝐺 = ∅ ∧ 𝑈𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 0)

Proof of Theorem vtxdg0v
StepHypRef Expression
1 vtxdgf.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21eleq2i 2830 . . . 4 (𝑈𝑉𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺))
3 fveq2 6774 . . . . . 6 (𝐺 = ∅ → (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘∅))
4 vtxval0 27409 . . . . . 6 (Vtx‘∅) = ∅
53, 4eqtrdi 2794 . . . . 5 (𝐺 = ∅ → (Vtx‘𝐺) = ∅)
65eleq2d 2824 . . . 4 (𝐺 = ∅ → (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑈 ∈ ∅))
72, 6bitrid 282 . . 3 (𝐺 = ∅ → (𝑈𝑉𝑈 ∈ ∅))
8 noel 4264 . . . 4 ¬ 𝑈 ∈ ∅
98pm2.21i 119 . . 3 (𝑈 ∈ ∅ → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 0)
107, 9syl6bi 252 . 2 (𝐺 = ∅ → (𝑈𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 0))
1110imp 407 1 ((𝐺 = ∅ ∧ 𝑈𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  c0 4256  cfv 6433  0cc0 10871  Vtxcvtx 27366  VtxDegcvtxdg 27832
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-1cn 10929  ax-addcl 10931
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-nn 11974  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-vtx 27368
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator