MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vtxval0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vtxval0 27409
Description: Degenerated case 1 for vertices: The set of vertices of the empty set is the empty set. (Contributed by AV, 24-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
vtxval0 (Vtx‘∅) = ∅

Proof of Theorem vtxval0
StepHypRef Expression
1 0nelxp 5623 . . 3 ¬ ∅ ∈ (V × V)
21iffalsei 4469 . 2 if(∅ ∈ (V × V), (1st ‘∅), (Base‘∅)) = (Base‘∅)
3 vtxval 27370 . 2 (Vtx‘∅) = if(∅ ∈ (V × V), (1st ‘∅), (Base‘∅))
4 base0 16917 . 2 ∅ = (Base‘∅)
52, 3, 43eqtr4i 2776 1 (Vtx‘∅) = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1539  wcel 2106  Vcvv 3432  c0 4256  ifcif 4459   × cxp 5587  cfv 6433  1st c1st 7829  Basecbs 16912  Vtxcvtx 27366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-1cn 10929  ax-addcl 10931
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-nn 11974  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-vtx 27368
This theorem is referenced by:  uhgr0  27443  usgr0  27610  0grsubgr  27645  cplgr0  27792  vtxdg0v  27840  0grrusgr  27946  0wlk0  28020  0conngr  28556  frgr0  28629
  Copyright terms: Public domain W3C validator