Theorem wfaxreg 45459

Description: The class of well-founded sets models the Axiom of Regularity ax-reg 9501. Part of Corollary II.2.5 of [Kunen2] p. 112. (Contributed by Eric Schmidt, 19-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
wfax.1	⊢ 𝑊 = ∪ (𝑅1 “ On)

Assertion

Ref	Expression
wfaxreg	⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑊 (∃𝑦 ∈ 𝑊 𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝑊 (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑊 (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑊

Proof of Theorem wfaxreg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wfax.1	. . 3 ⊢ 𝑊 = ∪ (𝑅1 “ On)
2	1	eqimssi 3977	. 2 ⊢ 𝑊 ⊆ ∪ (𝑅1 “ On)
3		sswfaxreg 45446	. 2 ⊢ (𝑊 ⊆ ∪ (𝑅1 “ On) → ∀𝑥 ∈ 𝑊 (∃𝑦 ∈ 𝑊 𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝑊 (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑊 (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥))))
4	2, 3	ax-mp 5	1 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑊 (∃𝑦 ∈ 𝑊 𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝑊 (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑊 (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548  ∀wral 3055  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3885  ∪ cuni 4841   “ cima 5624  Oncon0 6314  𝑅₁cr1 9681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7363  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-r1 9683  df-rank 9684  df-relp 45402

This theorem is referenced by: (None)