Theorem sswfaxreg 44950

Description: A subclass of the class of well-founded sets models the Axiom of Regularity ax-reg 9521. Lemma II.2.4(2) of [Kunen2] p. 111. (Contributed by Eric Schmidt, 19-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sswfaxreg	⊢ (𝑀 ⊆ ∪ (𝑅1 “ On) → ∀𝑥 ∈ 𝑀 (∃𝑦 ∈ 𝑀 𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝑀 (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥))))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑀

Proof of Theorem sswfaxreg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inn0 4331	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∩ 𝑥) ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑀 𝑦 ∈ 𝑥)
2		ssinss1 4205	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ⊆ ∪ (𝑅1 “ On) → (𝑀 ∩ 𝑥) ⊆ ∪ (𝑅1 “ On))
3		vex 3448	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
4	3	inex2 5268	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∩ 𝑥) ∈ V
5		wffr 44924	. . . . . . 7 ⊢ E Fr ∪ (𝑅1 “ On)
6		fri 5589	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∩ 𝑥) ∈ V ∧ E Fr ∪ (𝑅1 “ On)) ∧ ((𝑀 ∩ 𝑥) ⊆ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ (𝑀 ∩ 𝑥) ≠ ∅)) → ∃𝑦 ∈ (𝑀 ∩ 𝑥)∀𝑧 ∈ (𝑀 ∩ 𝑥) ¬ 𝑧 E 𝑦)
7	4, 5, 6	mpanl12 702	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∩ 𝑥) ⊆ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ (𝑀 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ (𝑀 ∩ 𝑥)∀𝑧 ∈ (𝑀 ∩ 𝑥) ¬ 𝑧 E 𝑦)
8	2, 7	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ⊆ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ (𝑀 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ (𝑀 ∩ 𝑥)∀𝑧 ∈ (𝑀 ∩ 𝑥) ¬ 𝑧 E 𝑦)
9		ralin 4208	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑧 ∈ (𝑀 ∩ 𝑥) ¬ 𝑧 E 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑧 E 𝑦))
10		con2b 359	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑧 E 𝑦) ↔ (𝑧 E 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥))
11		epel 5534	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 E 𝑦 ↔ 𝑧 ∈ 𝑦)
12	11	imbi1i 349	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 E 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥))
13	10, 12	bitri 275	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑧 E 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥))
14	13	ralbii 3075	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑧 E 𝑦) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥))
15	9, 14	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧 ∈ (𝑀 ∩ 𝑥) ¬ 𝑧 E 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥))
16	15	rexbii 3076	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ (𝑀 ∩ 𝑥)∀𝑧 ∈ (𝑀 ∩ 𝑥) ¬ 𝑧 E 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ (𝑀 ∩ 𝑥)∀𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥))
17		rexin 4209	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ (𝑀 ∩ 𝑥)∀𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑀 (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥)))
18	16, 17	bitri 275	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ (𝑀 ∩ 𝑥)∀𝑧 ∈ (𝑀 ∩ 𝑥) ¬ 𝑧 E 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑀 (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥)))
19	8, 18	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ⊆ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ (𝑀 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑀 (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥)))
20	1, 19	sylan2br 595	. . 3 ⊢ ((𝑀 ⊆ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑀 𝑦 ∈ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝑀 (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥)))
21	20	ex 412	. 2 ⊢ (𝑀 ⊆ ∪ (𝑅1 “ On) → (∃𝑦 ∈ 𝑀 𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝑀 (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥))))
22	21	ralrimivw 3129	1 ⊢ (𝑀 ⊆ ∪ (𝑅1 “ On) → ∀𝑥 ∈ 𝑀 (∃𝑦 ∈ 𝑀 𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝑀 (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3444   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5102   E cep 5530   Fr wfr 5581   “ cima 5634  Oncon0 6320  𝑅₁cr1 9691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-r1 9693  df-rank 9694  df-relp 44906

This theorem is referenced by:  wfaxreg  44963