Theorem sswfaxreg 44977

Description: A subclass of the class of well-founded sets models the Axiom of Regularity ax-reg 9628. Lemma II.2.4(2) of [Kunen2] p. 111. (Contributed by Eric Schmidt, 19-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sswfaxreg	⊢ (𝑀 ⊆ ∪ (𝑅1 “ On) → ∀𝑥 ∈ 𝑀 (∃𝑦 ∈ 𝑀 𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝑀 (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥))))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑀

Proof of Theorem sswfaxreg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inn0 4371	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∩ 𝑥) ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑀 𝑦 ∈ 𝑥)
2		ssinss1 4245	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ⊆ ∪ (𝑅1 “ On) → (𝑀 ∩ 𝑥) ⊆ ∪ (𝑅1 “ On))
3		vex 3483	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
4	3	inex2 5316	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∩ 𝑥) ∈ V
5		wffr 44953	. . . . . . 7 ⊢ E Fr ∪ (𝑅1 “ On)
6		fri 5640	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∩ 𝑥) ∈ V ∧ E Fr ∪ (𝑅1 “ On)) ∧ ((𝑀 ∩ 𝑥) ⊆ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ (𝑀 ∩ 𝑥) ≠ ∅)) → ∃𝑦 ∈ (𝑀 ∩ 𝑥)∀𝑧 ∈ (𝑀 ∩ 𝑥) ¬ 𝑧 E 𝑦)
7	4, 5, 6	mpanl12 702	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∩ 𝑥) ⊆ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ (𝑀 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ (𝑀 ∩ 𝑥)∀𝑧 ∈ (𝑀 ∩ 𝑥) ¬ 𝑧 E 𝑦)
8	2, 7	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ⊆ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ (𝑀 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ (𝑀 ∩ 𝑥)∀𝑧 ∈ (𝑀 ∩ 𝑥) ¬ 𝑧 E 𝑦)
9		ralin 4248	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑧 ∈ (𝑀 ∩ 𝑥) ¬ 𝑧 E 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑧 E 𝑦))
10		con2b 359	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑧 E 𝑦) ↔ (𝑧 E 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥))
11		epel 5585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 E 𝑦 ↔ 𝑧 ∈ 𝑦)
12	11	imbi1i 349	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 E 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥))
13	10, 12	bitri 275	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑧 E 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥))
14	13	ralbii 3092	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑧 E 𝑦) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥))
15	9, 14	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧 ∈ (𝑀 ∩ 𝑥) ¬ 𝑧 E 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥))
16	15	rexbii 3093	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ (𝑀 ∩ 𝑥)∀𝑧 ∈ (𝑀 ∩ 𝑥) ¬ 𝑧 E 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ (𝑀 ∩ 𝑥)∀𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥))
17		rexin 4249	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ (𝑀 ∩ 𝑥)∀𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑀 (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥)))
18	16, 17	bitri 275	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ (𝑀 ∩ 𝑥)∀𝑧 ∈ (𝑀 ∩ 𝑥) ¬ 𝑧 E 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑀 (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥)))
19	8, 18	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ⊆ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ (𝑀 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑀 (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥)))
20	1, 19	sylan2br 595	. . 3 ⊢ ((𝑀 ⊆ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑀 𝑦 ∈ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝑀 (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥)))
21	20	ex 412	. 2 ⊢ (𝑀 ⊆ ∪ (𝑅1 “ On) → (∃𝑦 ∈ 𝑀 𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝑀 (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥))))
22	21	ralrimivw 3149	1 ⊢ (𝑀 ⊆ ∪ (𝑅1 “ On) → ∀𝑥 ∈ 𝑀 (∃𝑦 ∈ 𝑀 𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝑀 (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  ∃wrex 3069  Vcvv 3479   ∩ cin 3949   ⊆ wss 3950  ∅c0 4332  ∪ cuni 4905   class class class wbr 5141   E cep 5581   Fr wfr 5632   “ cima 5686  Oncon0 6382  𝑅₁cr1 9798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5277  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4906  df-int 4945  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-ov 7432  df-om 7884  df-2nd 8011  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-r1 9800  df-rank 9801  df-relp 44939

This theorem is referenced by:  wfaxreg  44990