Theorem sswfaxreg 44970

Description: A subclass of the class of well-founded sets models the Axiom of Regularity ax-reg 9551. Lemma II.2.4(2) of [Kunen2] p. 111. (Contributed by Eric Schmidt, 19-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sswfaxreg	⊢ (𝑀 ⊆ ∪ (𝑅1 “ On) → ∀𝑥 ∈ 𝑀 (∃𝑦 ∈ 𝑀 𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝑀 (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥))))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑀

Proof of Theorem sswfaxreg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inn0 4337	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∩ 𝑥) ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑀 𝑦 ∈ 𝑥)
2		ssinss1 4211	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ⊆ ∪ (𝑅1 “ On) → (𝑀 ∩ 𝑥) ⊆ ∪ (𝑅1 “ On))
3		vex 3454	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
4	3	inex2 5275	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∩ 𝑥) ∈ V
5		wffr 44944	. . . . . . 7 ⊢ E Fr ∪ (𝑅1 “ On)
6		fri 5598	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∩ 𝑥) ∈ V ∧ E Fr ∪ (𝑅1 “ On)) ∧ ((𝑀 ∩ 𝑥) ⊆ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ (𝑀 ∩ 𝑥) ≠ ∅)) → ∃𝑦 ∈ (𝑀 ∩ 𝑥)∀𝑧 ∈ (𝑀 ∩ 𝑥) ¬ 𝑧 E 𝑦)
7	4, 5, 6	mpanl12 702	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∩ 𝑥) ⊆ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ (𝑀 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ (𝑀 ∩ 𝑥)∀𝑧 ∈ (𝑀 ∩ 𝑥) ¬ 𝑧 E 𝑦)
8	2, 7	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ⊆ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ (𝑀 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ (𝑀 ∩ 𝑥)∀𝑧 ∈ (𝑀 ∩ 𝑥) ¬ 𝑧 E 𝑦)
9		ralin 4214	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑧 ∈ (𝑀 ∩ 𝑥) ¬ 𝑧 E 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑧 E 𝑦))
10		con2b 359	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑧 E 𝑦) ↔ (𝑧 E 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥))
11		epel 5543	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 E 𝑦 ↔ 𝑧 ∈ 𝑦)
12	11	imbi1i 349	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 E 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥))
13	10, 12	bitri 275	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑧 E 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥))
14	13	ralbii 3076	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑧 E 𝑦) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥))
15	9, 14	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧 ∈ (𝑀 ∩ 𝑥) ¬ 𝑧 E 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥))
16	15	rexbii 3077	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ (𝑀 ∩ 𝑥)∀𝑧 ∈ (𝑀 ∩ 𝑥) ¬ 𝑧 E 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ (𝑀 ∩ 𝑥)∀𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥))
17		rexin 4215	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ (𝑀 ∩ 𝑥)∀𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑀 (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥)))
18	16, 17	bitri 275	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ (𝑀 ∩ 𝑥)∀𝑧 ∈ (𝑀 ∩ 𝑥) ¬ 𝑧 E 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑀 (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥)))
19	8, 18	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ⊆ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ (𝑀 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑀 (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥)))
20	1, 19	sylan2br 595	. . 3 ⊢ ((𝑀 ⊆ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑀 𝑦 ∈ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝑀 (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥)))
21	20	ex 412	. 2 ⊢ (𝑀 ⊆ ∪ (𝑅1 “ On) → (∃𝑦 ∈ 𝑀 𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝑀 (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥))))
22	21	ralrimivw 3130	1 ⊢ (𝑀 ⊆ ∪ (𝑅1 “ On) → ∀𝑥 ∈ 𝑀 (∃𝑦 ∈ 𝑀 𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝑀 (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  ∃wrex 3054  Vcvv 3450   ∩ cin 3915   ⊆ wss 3916  ∅c0 4298  ∪ cuni 4873   class class class wbr 5109   E cep 5539   Fr wfr 5590   “ cima 5643  Oncon0 6334  𝑅₁cr1 9721

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-ov 7392  df-om 7845  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-r1 9723  df-rank 9724  df-relp 44926

This theorem is referenced by:  wfaxreg  44983