Theorem sswfaxreg 45432

Description: A subclass of the class of well-founded sets models the Axiom of Regularity ax-reg 9500. Lemma II.2.4(2) of [Kunen2] p. 111. (Contributed by Eric Schmidt, 19-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sswfaxreg	⊢ (𝑀 ⊆ ∪ (𝑅1 “ On) → ∀𝑥 ∈ 𝑀 (∃𝑦 ∈ 𝑀 𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝑀 (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥))))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑀

Proof of Theorem sswfaxreg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inn0 4313	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∩ 𝑥) ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑀 𝑦 ∈ 𝑥)
2		ssinss1 4187	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ⊆ ∪ (𝑅1 “ On) → (𝑀 ∩ 𝑥) ⊆ ∪ (𝑅1 “ On))
3		vex 3434	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
4	3	inex2 5255	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∩ 𝑥) ∈ V
5		wffr 45406	. . . . . . 7 ⊢ E Fr ∪ (𝑅1 “ On)
6		fri 5582	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∩ 𝑥) ∈ V ∧ E Fr ∪ (𝑅1 “ On)) ∧ ((𝑀 ∩ 𝑥) ⊆ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ (𝑀 ∩ 𝑥) ≠ ∅)) → ∃𝑦 ∈ (𝑀 ∩ 𝑥)∀𝑧 ∈ (𝑀 ∩ 𝑥) ¬ 𝑧 E 𝑦)
7	4, 5, 6	mpanl12 703	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∩ 𝑥) ⊆ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ (𝑀 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ (𝑀 ∩ 𝑥)∀𝑧 ∈ (𝑀 ∩ 𝑥) ¬ 𝑧 E 𝑦)
8	2, 7	sylan 581	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ⊆ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ (𝑀 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ (𝑀 ∩ 𝑥)∀𝑧 ∈ (𝑀 ∩ 𝑥) ¬ 𝑧 E 𝑦)
9		ralin 4190	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑧 ∈ (𝑀 ∩ 𝑥) ¬ 𝑧 E 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑧 E 𝑦))
10		con2b 359	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑧 E 𝑦) ↔ (𝑧 E 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥))
11		epel 5527	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 E 𝑦 ↔ 𝑧 ∈ 𝑦)
12	11	imbi1i 349	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 E 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥))
13	10, 12	bitri 275	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑧 E 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥))
14	13	ralbii 3084	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧 ∈ 𝑥 → ¬ 𝑧 E 𝑦) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥))
15	9, 14	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧 ∈ (𝑀 ∩ 𝑥) ¬ 𝑧 E 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥))
16	15	rexbii 3085	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ (𝑀 ∩ 𝑥)∀𝑧 ∈ (𝑀 ∩ 𝑥) ¬ 𝑧 E 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ (𝑀 ∩ 𝑥)∀𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥))
17		rexin 4191	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ (𝑀 ∩ 𝑥)∀𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑀 (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥)))
18	16, 17	bitri 275	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ (𝑀 ∩ 𝑥)∀𝑧 ∈ (𝑀 ∩ 𝑥) ¬ 𝑧 E 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑀 (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥)))
19	8, 18	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ⊆ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ (𝑀 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑀 (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥)))
20	1, 19	sylan2br 596	. . 3 ⊢ ((𝑀 ⊆ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ ∃𝑦 ∈ 𝑀 𝑦 ∈ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝑀 (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥)))
21	20	ex 412	. 2 ⊢ (𝑀 ⊆ ∪ (𝑅1 “ On) → (∃𝑦 ∈ 𝑀 𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝑀 (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥))))
22	21	ralrimivw 3134	1 ⊢ (𝑀 ⊆ ∪ (𝑅1 “ On) → ∀𝑥 ∈ 𝑀 (∃𝑦 ∈ 𝑀 𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝑀 (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑀 (𝑧 ∈ 𝑦 → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  Vcvv 3430   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  ∪ cuni 4851   class class class wbr 5086   E cep 5523   Fr wfr 5574   “ cima 5627  Oncon0 6317  𝑅₁cr1 9677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-r1 9679  df-rank 9680  df-relp 45388

This theorem is referenced by:  wfaxreg  45445