Theorem wfaxinf2 44991

Description: The class of well-founded sets models the Axiom of Infinity ax-inf2 9677. Part of Corollary II.2.12 of [Kunen2] p. 114. (Contributed by Eric Schmidt, 19-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
wfax.1	⊢ 𝑊 = ∪ (𝑅1 “ On)

Assertion

Ref	Expression
wfaxinf2	⊢ ∃𝑥 ∈ 𝑊 (∃𝑦 ∈ 𝑊 (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑊 ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑊 (𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝑊 (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑊 (𝑤 ∈ 𝑧 ↔ (𝑤 ∈ 𝑦 ∨ 𝑤 = 𝑦)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝑊,𝑦,𝑧

Allowed substitution hint:   𝑊(𝑤)

Proof of Theorem wfaxinf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trwf 44951	. . 3 ⊢ Tr ∪ (𝑅1 “ On)
2		wfax.1	. . . 4 ⊢ 𝑊 = ∪ (𝑅1 “ On)
3		treq 5265	. . . 4 ⊢ (𝑊 = ∪ (𝑅1 “ On) → (Tr 𝑊 ↔ Tr ∪ (𝑅1 “ On)))
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (Tr 𝑊 ↔ Tr ∪ (𝑅1 “ On))
5	1, 4	mpbir 231	. 2 ⊢ Tr 𝑊
6		onwf 9866	. . . 4 ⊢ On ⊆ ∪ (𝑅1 “ On)
7		omelon 9682	. . . 4 ⊢ ω ∈ On
8	6, 7	sselii 3979	. . 3 ⊢ ω ∈ ∪ (𝑅1 “ On)
9	8, 2	eleqtrri 2839	. 2 ⊢ ω ∈ 𝑊
10		omelaxinf2 44979	. 2 ⊢ ((Tr 𝑊 ∧ ω ∈ 𝑊) → ∃𝑥 ∈ 𝑊 (∃𝑦 ∈ 𝑊 (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑊 ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑊 (𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝑊 (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑊 (𝑤 ∈ 𝑧 ↔ (𝑤 ∈ 𝑦 ∨ 𝑤 = 𝑦))))))
11	5, 9, 10	mp2an 692	1 ⊢ ∃𝑥 ∈ 𝑊 (∃𝑦 ∈ 𝑊 (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑊 ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑊 (𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝑊 (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑊 (𝑤 ∈ 𝑧 ↔ (𝑤 ∈ 𝑦 ∨ 𝑤 = 𝑦)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3060  ∃wrex 3069  ∪ cuni 4905  Tr wtr 5257   “ cima 5686  Oncon0 6382  ωcom 7883  𝑅₁cr1 9798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5277  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-inf2 9677

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4906  df-int 4945  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-ov 7432  df-om 7884  df-2nd 8011  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-r1 9800  df-rank 9801

This theorem is referenced by: (None)