Theorem wfaxun 44982

Description: The class of well-founded sets models the Axiom of Union ax-un 7691. Part of Corollary II.2.5 of [Kunen2] p. 112. (Contributed by Eric Schmidt, 19-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
wfax.1	⊢ 𝑊 = ∪ (𝑅1 “ On)

Assertion

Ref	Expression
wfaxun	⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑊 ∃𝑦 ∈ 𝑊 ∀𝑧 ∈ 𝑊 (∃𝑤 ∈ 𝑊 (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑦)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧   𝑦,𝑊

Allowed substitution hints:   𝑊(𝑥,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem wfaxun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniclaxun 44969	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑊 ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 → ∀𝑥 ∈ 𝑊 ∃𝑦 ∈ 𝑊 ∀𝑧 ∈ 𝑊 (∃𝑤 ∈ 𝑊 (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑦))
2		uniwf 9748	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ↔ ∪ 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
3		wfax.1	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = ∪ (𝑅1 “ On)
4	3	eleq2i 2820	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑊 ↔ 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
5	3	eleq2i 2820	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ↔ ∪ 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
6	2, 4, 5	3bitr4i 303	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑊 ↔ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊)
7	6	biimpi 216	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑊 → ∪ 𝑥 ∈ 𝑊)
8	1, 7	mprg 3050	1 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑊 ∃𝑦 ∈ 𝑊 ∀𝑧 ∈ 𝑊 (∃𝑤 ∈ 𝑊 (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  ∪ cuni 4867   “ cima 5634  Oncon0 6320  𝑅₁cr1 9691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-r1 9693  df-rank 9694

This theorem is referenced by: (None)