Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumcvgre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumcvgre 33619
Description: All terms of a converging extended sum shall be finite. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
esumcvgre.0 𝑘𝜑
esumcvgre.1 (𝜑𝐴𝑉)
esumcvgre.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumcvgre.3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
esumcvgre ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem esumcvgre
StepHypRef Expression
1 esumcvgre.0 . . . . . . 7 𝑘𝜑
2 nfre1 3276 . . . . . . 7 𝑘𝑘𝐴 𝐵 = +∞
31, 2nfan 1894 . . . . . 6 𝑘(𝜑 ∧ ∃𝑘𝐴 𝐵 = +∞)
4 esumcvgre.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑉)
54adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∃𝑘𝐴 𝐵 = +∞) → 𝐴𝑉)
6 esumcvgre.2 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
76adantlr 712 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∃𝑘𝐴 𝐵 = +∞) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
8 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∃𝑘𝐴 𝐵 = +∞) → ∃𝑘𝐴 𝐵 = +∞)
93, 5, 7, 8esumpinfval 33601 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∃𝑘𝐴 𝐵 = +∞) → Σ*𝑘𝐴𝐵 = +∞)
10 esumcvgre.3 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ ℝ)
11 ltpnf 13106 . . . . . . . . . 10 *𝑘𝐴𝐵 ∈ ℝ → Σ*𝑘𝐴𝐵 < +∞)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 < +∞)
1310, 12gtned 11353 . . . . . . . 8 (𝜑 → +∞ ≠ Σ*𝑘𝐴𝐵)
1413adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∃𝑘𝐴 𝐵 = +∞) → +∞ ≠ Σ*𝑘𝐴𝐵)
15 necom 2988 . . . . . . . 8 (+∞ ≠ Σ*𝑘𝐴𝐵 ↔ Σ*𝑘𝐴𝐵 ≠ +∞)
1615imbi2i 336 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∃𝑘𝐴 𝐵 = +∞) → +∞ ≠ Σ*𝑘𝐴𝐵) ↔ ((𝜑 ∧ ∃𝑘𝐴 𝐵 = +∞) → Σ*𝑘𝐴𝐵 ≠ +∞))
1714, 16mpbi 229 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∃𝑘𝐴 𝐵 = +∞) → Σ*𝑘𝐴𝐵 ≠ +∞)
1817neneqd 2939 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∃𝑘𝐴 𝐵 = +∞) → ¬ Σ*𝑘𝐴𝐵 = +∞)
199, 18pm2.65da 814 . . . 4 (𝜑 → ¬ ∃𝑘𝐴 𝐵 = +∞)
20 ralnex 3066 . . . 4 (∀𝑘𝐴 ¬ 𝐵 = +∞ ↔ ¬ ∃𝑘𝐴 𝐵 = +∞)
2119, 20sylibr 233 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 ¬ 𝐵 = +∞)
2221r19.21bi 3242 . 2 ((𝜑𝑘𝐴) → ¬ 𝐵 = +∞)
23 eliccxr 13418 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (0[,]+∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
24 xrge0neqmnf 13435 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (0[,]+∞) → 𝐵 ≠ -∞)
25 xrnemnf 13103 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞))
2625biimpi 215 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞))
2723, 24, 26syl2anc 583 . . . . 5 (𝐵 ∈ (0[,]+∞) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞))
286, 27syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞))
2928orcomd 868 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 ∈ ℝ))
3029orcanai 999 . 2 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ)
3122, 30mpdan 684 1 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 844   = wceq 1533  wnf 1777  wcel 2098  wne 2934  wral 3055  wrex 3064   class class class wbr 5141  (class class class)co 7405  cr 11111  0cc0 11112  +∞cpnf 11249  -∞cmnf 11250  *cxr 11251   < clt 11252  [,]cicc 13333  Σ*cesum 33555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020  df-pi 16022  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-ordt 17456  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-ps 18531  df-tsr 18532  df-plusf 18572  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-abv 20660  df-lmod 20708  df-scaf 20709  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-tmd 23931  df-tgp 23932  df-tsms 23986  df-trg 24019  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-nm 24446  df-ngp 24447  df-nrg 24449  df-nlm 24450  df-ii 24752  df-cncf 24753  df-limc 25750  df-dv 25751  df-log 26445  df-esum 33556
This theorem is referenced by:  omssubadd  33829
  Copyright terms: Public domain W3C validator