Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumcvgre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumcvgre 32038
Description: All terms of a converging extended sum shall be finite. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
esumcvgre.0 𝑘𝜑
esumcvgre.1 (𝜑𝐴𝑉)
esumcvgre.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumcvgre.3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
esumcvgre ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem esumcvgre
StepHypRef Expression
1 esumcvgre.0 . . . . . . 7 𝑘𝜑
2 nfre1 3236 . . . . . . 7 𝑘𝑘𝐴 𝐵 = +∞
31, 2nfan 1905 . . . . . 6 𝑘(𝜑 ∧ ∃𝑘𝐴 𝐵 = +∞)
4 esumcvgre.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑉)
54adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∃𝑘𝐴 𝐵 = +∞) → 𝐴𝑉)
6 esumcvgre.2 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
76adantlr 711 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∃𝑘𝐴 𝐵 = +∞) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
8 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∃𝑘𝐴 𝐵 = +∞) → ∃𝑘𝐴 𝐵 = +∞)
93, 5, 7, 8esumpinfval 32020 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∃𝑘𝐴 𝐵 = +∞) → Σ*𝑘𝐴𝐵 = +∞)
10 esumcvgre.3 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ ℝ)
11 ltpnf 12838 . . . . . . . . . 10 *𝑘𝐴𝐵 ∈ ℝ → Σ*𝑘𝐴𝐵 < +∞)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 < +∞)
1310, 12gtned 11093 . . . . . . . 8 (𝜑 → +∞ ≠ Σ*𝑘𝐴𝐵)
1413adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∃𝑘𝐴 𝐵 = +∞) → +∞ ≠ Σ*𝑘𝐴𝐵)
15 necom 2998 . . . . . . . 8 (+∞ ≠ Σ*𝑘𝐴𝐵 ↔ Σ*𝑘𝐴𝐵 ≠ +∞)
1615imbi2i 335 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∃𝑘𝐴 𝐵 = +∞) → +∞ ≠ Σ*𝑘𝐴𝐵) ↔ ((𝜑 ∧ ∃𝑘𝐴 𝐵 = +∞) → Σ*𝑘𝐴𝐵 ≠ +∞))
1714, 16mpbi 229 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∃𝑘𝐴 𝐵 = +∞) → Σ*𝑘𝐴𝐵 ≠ +∞)
1817neneqd 2949 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∃𝑘𝐴 𝐵 = +∞) → ¬ Σ*𝑘𝐴𝐵 = +∞)
199, 18pm2.65da 813 . . . 4 (𝜑 → ¬ ∃𝑘𝐴 𝐵 = +∞)
20 ralnex 3165 . . . 4 (∀𝑘𝐴 ¬ 𝐵 = +∞ ↔ ¬ ∃𝑘𝐴 𝐵 = +∞)
2119, 20sylibr 233 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 ¬ 𝐵 = +∞)
2221r19.21bi 3134 . 2 ((𝜑𝑘𝐴) → ¬ 𝐵 = +∞)
23 eliccxr 13149 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (0[,]+∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
24 xrge0neqmnf 13166 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (0[,]+∞) → 𝐵 ≠ -∞)
25 xrnemnf 12835 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞))
2625biimpi 215 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞))
2723, 24, 26syl2anc 583 . . . . 5 (𝐵 ∈ (0[,]+∞) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞))
286, 27syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞))
2928orcomd 867 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 ∈ ℝ))
3029orcanai 999 . 2 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ)
3122, 30mpdan 683 1 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 843   = wceq 1541  wnf 1789  wcel 2109  wne 2944  wral 3065  wrex 3066   class class class wbr 5078  (class class class)co 7268  cr 10854  0cc0 10855  +∞cpnf 10990  -∞cmnf 10991  *cxr 10992   < clt 10993  [,]cicc 13064  Σ*cesum 31974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-inf2 9360  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-pre-sup 10933  ax-addf 10934  ax-mulf 10935
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-iin 4932  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-se 5544  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-isom 6439  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-of 7524  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-supp 7962  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-2o 8282  df-oadd 8285  df-er 8472  df-map 8591  df-pm 8592  df-ixp 8660  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-fsupp 9090  df-fi 9131  df-sup 9162  df-inf 9163  df-oi 9230  df-card 9681  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-7 12024  df-8 12025  df-9 12026  df-n0 12217  df-xnn0 12289  df-z 12303  df-dec 12420  df-uz 12565  df-q 12671  df-rp 12713  df-xneg 12830  df-xadd 12831  df-xmul 12832  df-ioo 13065  df-ioc 13066  df-ico 13067  df-icc 13068  df-fz 13222  df-fzo 13365  df-fl 13493  df-mod 13571  df-seq 13703  df-exp 13764  df-fac 13969  df-bc 13998  df-hash 14026  df-shft 14759  df-cj 14791  df-re 14792  df-im 14793  df-sqrt 14927  df-abs 14928  df-limsup 15161  df-clim 15178  df-rlim 15179  df-sum 15379  df-ef 15758  df-sin 15760  df-cos 15761  df-pi 15763  df-struct 16829  df-sets 16846  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-base 16894  df-ress 16923  df-plusg 16956  df-mulr 16957  df-starv 16958  df-sca 16959  df-vsca 16960  df-ip 16961  df-tset 16962  df-ple 16963  df-ds 16965  df-unif 16966  df-hom 16967  df-cco 16968  df-rest 17114  df-topn 17115  df-0g 17133  df-gsum 17134  df-topgen 17135  df-pt 17136  df-prds 17139  df-ordt 17193  df-xrs 17194  df-qtop 17199  df-imas 17200  df-xps 17202  df-mre 17276  df-mrc 17277  df-acs 17279  df-ps 18265  df-tsr 18266  df-plusf 18306  df-mgm 18307  df-sgrp 18356  df-mnd 18367  df-mhm 18411  df-submnd 18412  df-grp 18561  df-minusg 18562  df-sbg 18563  df-mulg 18682  df-subg 18733  df-cntz 18904  df-cmn 19369  df-abl 19370  df-mgp 19702  df-ur 19719  df-ring 19766  df-cring 19767  df-subrg 20003  df-abv 20058  df-lmod 20106  df-scaf 20107  df-sra 20415  df-rgmod 20416  df-psmet 20570  df-xmet 20571  df-met 20572  df-bl 20573  df-mopn 20574  df-fbas 20575  df-fg 20576  df-cnfld 20579  df-top 22024  df-topon 22041  df-topsp 22063  df-bases 22077  df-cld 22151  df-ntr 22152  df-cls 22153  df-nei 22230  df-lp 22268  df-perf 22269  df-cn 22359  df-cnp 22360  df-haus 22447  df-tx 22694  df-hmeo 22887  df-fil 22978  df-fm 23070  df-flim 23071  df-flf 23072  df-tmd 23204  df-tgp 23205  df-tsms 23259  df-trg 23292  df-xms 23454  df-ms 23455  df-tms 23456  df-nm 23719  df-ngp 23720  df-nrg 23722  df-nlm 23723  df-ii 24021  df-cncf 24022  df-limc 25011  df-dv 25012  df-log 25693  df-esum 31975
This theorem is referenced by:  omssubadd  32246
  Copyright terms: Public domain W3C validator