Theorem esumcvgre 34055

Description: All terms of a converging extended sum shall be finite. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumcvgre.0	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
esumcvgre.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
esumcvgre.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumcvgre.3	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
esumcvgre	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem esumcvgre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esumcvgre.0	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		nfre1 3291	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = +∞
3	1, 2	nfan 1898	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = +∞)
4		esumcvgre.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = +∞) → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		esumcvgre.2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
7	6	adantlr 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = +∞) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
8		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = +∞) → ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = +∞)
9	3, 5, 7, 8	esumpinfval 34037	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = +∞) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = +∞)
10		esumcvgre.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ℝ)
11		ltpnf 13183	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ℝ → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 < +∞)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 < +∞)
13	10, 12	gtned 11425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → +∞ ≠ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵)
14	13	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = +∞) → +∞ ≠ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵)
15		necom 3000	. . . . . . . 8 ⊢ (+∞ ≠ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ↔ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ≠ +∞)
16	15	imbi2i 336	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = +∞) → +∞ ≠ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵) ↔ ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = +∞) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ≠ +∞))
17	14, 16	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = +∞) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ≠ +∞)
18	17	neneqd 2951	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = +∞) → ¬ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = +∞)
19	9, 18	pm2.65da 816	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = +∞)
20		ralnex 3078	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 = +∞ ↔ ¬ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = +∞)
21	19, 20	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 = +∞)
22	21	r19.21bi 3257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵 = +∞)
23		eliccxr 13495	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]+∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
24		xrge0neqmnf 13512	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]+∞) → 𝐵 ≠ -∞)
25		xrnemnf 13180	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞))
26	25	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞))
27	23, 24, 26	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]+∞) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞))
28	6, 27	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞))
29	28	orcomd 870	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 ∈ ℝ))
30	29	orcanai 1003	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ)
31	22, 30	mpdan 686	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1537  Ⅎwnf 1781   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  0cc0 11184  +∞cpnf 11321  -∞cmnf 11322  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324  [,]cicc 13410  Σ^*cesum 33991

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263  ax-mulf 11264

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ioc 13412  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-shft 15116  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-limsup 15517  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-ef 16115  df-sin 16117  df-cos 16118  df-pi 16120  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-ordt 17561  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-ps 18636  df-tsr 18637  df-plusf 18677  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-cring 20263  df-subrng 20572  df-subrg 20597  df-abv 20832  df-lmod 20882  df-scaf 20883  df-sra 21195  df-rgmod 21196  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-nei 23127  df-lp 23165  df-perf 23166  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-haus 23344  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-tmd 24101  df-tgp 24102  df-tsms 24156  df-trg 24189  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353  df-nm 24616  df-ngp 24617  df-nrg 24619  df-nlm 24620  df-ii 24922  df-cncf 24923  df-limc 25921  df-dv 25922  df-log 26616  df-esum 33992

This theorem is referenced by:  omssubadd  34265