Theorem esumcvgre 34255

Description: All terms of a converging extended sum shall be finite. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumcvgre.0	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
esumcvgre.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
esumcvgre.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumcvgre.3	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
esumcvgre	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem esumcvgre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esumcvgre.0	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		nfre1 3263	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = +∞
3	1, 2	nfan 1901	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = +∞)
4		esumcvgre.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = +∞) → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		esumcvgre.2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
7	6	adantlr 716	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = +∞) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
8		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = +∞) → ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = +∞)
9	3, 5, 7, 8	esumpinfval 34237	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = +∞) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = +∞)
10		esumcvgre.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ℝ)
11		ltpnf 13066	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ℝ → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 < +∞)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 < +∞)
13	10, 12	gtned 11276	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → +∞ ≠ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵)
14	13	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = +∞) → +∞ ≠ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵)
15		necom 2986	. . . . . . . 8 ⊢ (+∞ ≠ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ↔ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ≠ +∞)
16	15	imbi2i 336	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = +∞) → +∞ ≠ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵) ↔ ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = +∞) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ≠ +∞))
17	14, 16	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = +∞) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ≠ +∞)
18	17	neneqd 2938	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = +∞) → ¬ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = +∞)
19	9, 18	pm2.65da 817	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = +∞)
20		ralnex 3064	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 = +∞ ↔ ¬ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = +∞)
21	19, 20	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 = +∞)
22	21	r19.21bi 3230	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵 = +∞)
23		eliccxr 13383	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]+∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
24		xrge0neqmnf 13400	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]+∞) → 𝐵 ≠ -∞)
25		xrnemnf 13063	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞))
26	25	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞))
27	23, 24, 26	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]+∞) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞))
28	6, 27	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞))
29	28	orcomd 872	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 ∈ ℝ))
30	29	orcanai 1005	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ)
31	22, 30	mpdan 688	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   class class class wbr 5086  (class class class)co 7362  ℝcr 11032  0cc0 11033  +∞cpnf 11171  -∞cmnf 11172  ℝ^*cxr 11173   < clt 11174  [,]cicc 13296  Σ^*cesum 34191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-inf2 9557  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111  ax-addf 11112  ax-mulf 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7626  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-supp 8106  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-oadd 8404  df-er 8638  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8841  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-fsupp 9270  df-fi 9319  df-sup 9350  df-inf 9351  df-oi 9420  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-xnn0 12506  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-q 12894  df-rp 12938  df-xneg 13058  df-xadd 13059  df-xmul 13060  df-ioo 13297  df-ioc 13298  df-ico 13299  df-icc 13300  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-fl 13746  df-mod 13824  df-seq 13959  df-exp 14019  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15024  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-limsup 15428  df-clim 15445  df-rlim 15446  df-sum 15644  df-ef 16027  df-sin 16029  df-cos 16030  df-pi 16032  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-hom 17239  df-cco 17240  df-rest 17380  df-topn 17381  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-topgen 17401  df-pt 17402  df-prds 17405  df-ordt 17460  df-xrs 17461  df-qtop 17466  df-imas 17467  df-xps 17469  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-ps 18527  df-tsr 18528  df-plusf 18602  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-submnd 18747  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-mulg 19039  df-subg 19094  df-cntz 19287  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-ring 20211  df-cring 20212  df-subrng 20518  df-subrg 20542  df-abv 20781  df-lmod 20852  df-scaf 20853  df-sra 21164  df-rgmod 21165  df-psmet 21340  df-xmet 21341  df-met 21342  df-bl 21343  df-mopn 21344  df-fbas 21345  df-fg 21346  df-cnfld 21349  df-top 22873  df-topon 22890  df-topsp 22912  df-bases 22925  df-cld 22998  df-ntr 22999  df-cls 23000  df-nei 23077  df-lp 23115  df-perf 23116  df-cn 23206  df-cnp 23207  df-haus 23294  df-tx 23541  df-hmeo 23734  df-fil 23825  df-fm 23917  df-flim 23918  df-flf 23919  df-tmd 24051  df-tgp 24052  df-tsms 24106  df-trg 24139  df-xms 24299  df-ms 24300  df-tms 24301  df-nm 24561  df-ngp 24562  df-nrg 24564  df-nlm 24565  df-ii 24858  df-cncf 24859  df-limc 25847  df-dv 25848  df-log 26537  df-esum 34192

This theorem is referenced by:  omssubadd  34464