Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumcvgre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumcvgre 31249
Description: All terms of a converging extended sum shall be finite. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
esumcvgre.0 𝑘𝜑
esumcvgre.1 (𝜑𝐴𝑉)
esumcvgre.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumcvgre.3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
esumcvgre ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem esumcvgre
StepHypRef Expression
1 esumcvgre.0 . . . . . . 7 𝑘𝜑
2 nfre1 3303 . . . . . . 7 𝑘𝑘𝐴 𝐵 = +∞
31, 2nfan 1891 . . . . . 6 𝑘(𝜑 ∧ ∃𝑘𝐴 𝐵 = +∞)
4 esumcvgre.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑉)
54adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∃𝑘𝐴 𝐵 = +∞) → 𝐴𝑉)
6 esumcvgre.2 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
76adantlr 711 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∃𝑘𝐴 𝐵 = +∞) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
8 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∃𝑘𝐴 𝐵 = +∞) → ∃𝑘𝐴 𝐵 = +∞)
93, 5, 7, 8esumpinfval 31231 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∃𝑘𝐴 𝐵 = +∞) → Σ*𝑘𝐴𝐵 = +∞)
10 esumcvgre.3 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ ℝ)
11 ltpnf 12503 . . . . . . . . . 10 *𝑘𝐴𝐵 ∈ ℝ → Σ*𝑘𝐴𝐵 < +∞)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 < +∞)
1310, 12gtned 10763 . . . . . . . 8 (𝜑 → +∞ ≠ Σ*𝑘𝐴𝐵)
1413adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∃𝑘𝐴 𝐵 = +∞) → +∞ ≠ Σ*𝑘𝐴𝐵)
15 necom 3066 . . . . . . . 8 (+∞ ≠ Σ*𝑘𝐴𝐵 ↔ Σ*𝑘𝐴𝐵 ≠ +∞)
1615imbi2i 337 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∃𝑘𝐴 𝐵 = +∞) → +∞ ≠ Σ*𝑘𝐴𝐵) ↔ ((𝜑 ∧ ∃𝑘𝐴 𝐵 = +∞) → Σ*𝑘𝐴𝐵 ≠ +∞))
1714, 16mpbi 231 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∃𝑘𝐴 𝐵 = +∞) → Σ*𝑘𝐴𝐵 ≠ +∞)
1817neneqd 3018 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∃𝑘𝐴 𝐵 = +∞) → ¬ Σ*𝑘𝐴𝐵 = +∞)
199, 18pm2.65da 813 . . . 4 (𝜑 → ¬ ∃𝑘𝐴 𝐵 = +∞)
20 ralnex 3233 . . . 4 (∀𝑘𝐴 ¬ 𝐵 = +∞ ↔ ¬ ∃𝑘𝐴 𝐵 = +∞)
2119, 20sylibr 235 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 ¬ 𝐵 = +∞)
2221r19.21bi 3205 . 2 ((𝜑𝑘𝐴) → ¬ 𝐵 = +∞)
23 eliccxr 12811 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (0[,]+∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
24 xrge0neqmnf 12828 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (0[,]+∞) → 𝐵 ≠ -∞)
25 xrnemnf 12500 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞))
2625biimpi 217 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞))
2723, 24, 26syl2anc 584 . . . . 5 (𝐵 ∈ (0[,]+∞) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞))
286, 27syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞))
2928orcomd 865 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 ∈ ℝ))
3029orcanai 996 . 2 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ)
3122, 30mpdan 683 1 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wo 841   = wceq 1528  wnf 1775  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  cr 10524  0cc0 10525  +∞cpnf 10660  -∞cmnf 10661  *cxr 10662   < clt 10663  [,]cicc 12729  Σ*cesum 31185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-fac 13622  df-bc 13651  df-hash 13679  df-shft 14414  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-limsup 14816  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-ef 15409  df-sin 15411  df-cos 15412  df-pi 15414  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-ordt 16762  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-ps 17798  df-tsr 17799  df-plusf 17839  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mhm 17944  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-mulg 18163  df-subg 18214  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-cring 19229  df-subrg 19462  df-abv 19517  df-lmod 19565  df-scaf 19566  df-sra 19873  df-rgmod 19874  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-lp 21672  df-perf 21673  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-haus 21851  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-tmd 22608  df-tgp 22609  df-tsms 22662  df-trg 22695  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-nm 23119  df-ngp 23120  df-nrg 23122  df-nlm 23123  df-ii 23412  df-cncf 23413  df-limc 24391  df-dv 24392  df-log 25067  df-esum 31186
This theorem is referenced by:  omssubadd  31457
  Copyright terms: Public domain W3C validator