Theorem esumcvgre 34092

Description: All terms of a converging extended sum shall be finite. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumcvgre.0	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
esumcvgre.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
esumcvgre.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumcvgre.3	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
esumcvgre	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem esumcvgre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esumcvgre.0	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		nfre1 3285	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = +∞
3	1, 2	nfan 1899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = +∞)
4		esumcvgre.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = +∞) → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		esumcvgre.2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
7	6	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = +∞) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
8		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = +∞) → ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = +∞)
9	3, 5, 7, 8	esumpinfval 34074	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = +∞) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = +∞)
10		esumcvgre.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ℝ)
11		ltpnf 13162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ ℝ → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 < +∞)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 < +∞)
13	10, 12	gtned 11396	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → +∞ ≠ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵)
14	13	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = +∞) → +∞ ≠ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵)
15		necom 2994	. . . . . . . 8 ⊢ (+∞ ≠ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ↔ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ≠ +∞)
16	15	imbi2i 336	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = +∞) → +∞ ≠ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵) ↔ ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = +∞) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ≠ +∞))
17	14, 16	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = +∞) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ≠ +∞)
18	17	neneqd 2945	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = +∞) → ¬ Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = +∞)
19	9, 18	pm2.65da 817	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = +∞)
20		ralnex 3072	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 = +∞ ↔ ¬ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = +∞)
21	19, 20	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 ¬ 𝐵 = +∞)
22	21	r19.21bi 3251	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵 = +∞)
23		eliccxr 13475	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]+∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
24		xrge0neqmnf 13492	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]+∞) → 𝐵 ≠ -∞)
25		xrnemnf 13159	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞))
26	25	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞))
27	23, 24, 26	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]+∞) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞))
28	6, 27	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞))
29	28	orcomd 872	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 ∈ ℝ))
30	29	orcanai 1005	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ)
31	22, 30	mpdan 687	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155  +∞cpnf 11292  -∞cmnf 11293  ℝ^*cxr 11294   < clt 11295  [,]cicc 13390  Σ^*cesum 34028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-ordt 17546  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-ps 18611  df-tsr 18612  df-plusf 18652  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-abv 20810  df-lmod 20860  df-scaf 20861  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-tmd 24080  df-tgp 24081  df-tsms 24135  df-trg 24168  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-nm 24595  df-ngp 24596  df-nrg 24598  df-nlm 24599  df-ii 24903  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-esum 34029

This theorem is referenced by:  omssubadd  34302