Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoidmv1lelem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoidmv1lelem3 46119
Description: The dimensional volume of a 1-dimensional half-open interval is less than or equal the generalized sum of the dimensional volumes of countable half-open intervals that cover it. This is the nonempty, finite generalized sum, sub case in Lemma 114B of [Fremlin1] p. 23. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoidmv1lelem3.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
hoidmv1lelem3.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
hoidmv1lelem3.l (𝜑𝐴 < 𝐵)
hoidmv1lelem3.c (𝜑𝐶:ℕ⟶ℝ)
hoidmv1lelem3.d (𝜑𝐷:ℕ⟶ℝ)
hoidmv1lelem3.x (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗)))
hoidmv1lelem3.r (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))))) ∈ ℝ)
hoidmv1lelem3.u 𝑈 = {𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝑧𝐴) ≤ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐶𝑗)[,)if((𝐷𝑗) ≤ 𝑧, (𝐷𝑗), 𝑧)))))}
hoidmv1lelem3.s 𝑆 = sup(𝑈, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
hoidmv1lelem3 (𝜑 → (𝐵𝐴) ≤ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑧   𝐵,𝑗,𝑧   𝐶,𝑗,𝑧   𝐷,𝑗,𝑧   𝑆,𝑗,𝑧   𝑈,𝑗,𝑧   𝜑,𝑗,𝑧

Proof of Theorem hoidmv1lelem3
Dummy variables 𝑦 𝑖 𝑢 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hoidmv1lelem3.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2 hoidmv1lelem3.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
31, 2resubcld 11674 . 2 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
4 nnex 12251 . . . . . . 7 ℕ ∈ V
54a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℕ ∈ V)
6 icossicc 13448 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
7 0xr 11293 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
87a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ*)
9 pnfxr 11300 . . . . . . . . . 10 +∞ ∈ ℝ*
109a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → +∞ ∈ ℝ*)
11 hoidmv1lelem3.c . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶:ℕ⟶ℝ)
1211ffvelcdmda 7093 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐶𝑗) ∈ ℝ)
13 hoidmv1lelem3.d . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐷:ℕ⟶ℝ)
1413ffvelcdmda 7093 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐷𝑗) ∈ ℝ)
151adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
1614, 15ifcld 4576 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → if((𝐷𝑗) ≤ 𝐵, (𝐷𝑗), 𝐵) ∈ ℝ)
17 volicore 46107 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶𝑗) ∈ ℝ ∧ if((𝐷𝑗) ≤ 𝐵, (𝐷𝑗), 𝐵) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐶𝑗)[,)if((𝐷𝑗) ≤ 𝐵, (𝐷𝑗), 𝐵))) ∈ ℝ)
1812, 16, 17syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (vol‘((𝐶𝑗)[,)if((𝐷𝑗) ≤ 𝐵, (𝐷𝑗), 𝐵))) ∈ ℝ)
1918rexrd 11296 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (vol‘((𝐶𝑗)[,)if((𝐷𝑗) ≤ 𝐵, (𝐷𝑗), 𝐵))) ∈ ℝ*)
2016rexrd 11296 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → if((𝐷𝑗) ≤ 𝐵, (𝐷𝑗), 𝐵) ∈ ℝ*)
21 icombl 25537 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶𝑗) ∈ ℝ ∧ if((𝐷𝑗) ≤ 𝐵, (𝐷𝑗), 𝐵) ∈ ℝ*) → ((𝐶𝑗)[,)if((𝐷𝑗) ≤ 𝐵, (𝐷𝑗), 𝐵)) ∈ dom vol)
2212, 20, 21syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐶𝑗)[,)if((𝐷𝑗) ≤ 𝐵, (𝐷𝑗), 𝐵)) ∈ dom vol)
23 volge0 45487 . . . . . . . . . 10 (((𝐶𝑗)[,)if((𝐷𝑗) ≤ 𝐵, (𝐷𝑗), 𝐵)) ∈ dom vol → 0 ≤ (vol‘((𝐶𝑗)[,)if((𝐷𝑗) ≤ 𝐵, (𝐷𝑗), 𝐵))))
2422, 23syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 0 ≤ (vol‘((𝐶𝑗)[,)if((𝐷𝑗) ≤ 𝐵, (𝐷𝑗), 𝐵))))
2518ltpnfd 13136 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (vol‘((𝐶𝑗)[,)if((𝐷𝑗) ≤ 𝐵, (𝐷𝑗), 𝐵))) < +∞)
268, 10, 19, 24, 25elicod 13409 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (vol‘((𝐶𝑗)[,)if((𝐷𝑗) ≤ 𝐵, (𝐷𝑗), 𝐵))) ∈ (0[,)+∞))
276, 26sselid 3974 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (vol‘((𝐶𝑗)[,)if((𝐷𝑗) ≤ 𝐵, (𝐷𝑗), 𝐵))) ∈ (0[,]+∞))
28 eqid 2725 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐶𝑗)[,)if((𝐷𝑗) ≤ 𝐵, (𝐷𝑗), 𝐵)))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐶𝑗)[,)if((𝐷𝑗) ≤ 𝐵, (𝐷𝑗), 𝐵))))
2927, 28fmptd 7123 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑗 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐶𝑗)[,)if((𝐷𝑗) ≤ 𝐵, (𝐷𝑗), 𝐵)))):ℕ⟶(0[,]+∞))
305, 29sge0xrcl 45911 . . . . 5 (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐶𝑗)[,)if((𝐷𝑗) ≤ 𝐵, (𝐷𝑗), 𝐵))))) ∈ ℝ*)
319a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
32 hoidmv1lelem3.r . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))))) ∈ ℝ)
3332rexrd 11296 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))))) ∈ ℝ*)
34 nfv 1909 . . . . . . 7 𝑗𝜑
35 volf 25502 . . . . . . . . 9 vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
3635a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → vol:dom vol⟶(0[,]+∞))
3714rexrd 11296 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐷𝑗) ∈ ℝ*)
38 icombl 25537 . . . . . . . . 9 (((𝐶𝑗) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑗) ∈ ℝ*) → ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗)) ∈ dom vol)
3912, 37, 38syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗)) ∈ dom vol)
4036, 39ffvelcdmd 7094 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (vol‘((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) ∈ (0[,]+∞))
4112rexrd 11296 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐶𝑗) ∈ ℝ*)
4212leidd 11812 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐶𝑗) ≤ (𝐶𝑗))
43 min1 13203 . . . . . . . . . 10 (((𝐷𝑗) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if((𝐷𝑗) ≤ 𝐵, (𝐷𝑗), 𝐵) ≤ (𝐷𝑗))
4414, 15, 43syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → if((𝐷𝑗) ≤ 𝐵, (𝐷𝑗), 𝐵) ≤ (𝐷𝑗))
45 icossico 13429 . . . . . . . . 9 ((((𝐶𝑗) ∈ ℝ* ∧ (𝐷𝑗) ∈ ℝ*) ∧ ((𝐶𝑗) ≤ (𝐶𝑗) ∧ if((𝐷𝑗) ≤ 𝐵, (𝐷𝑗), 𝐵) ≤ (𝐷𝑗))) → ((𝐶𝑗)[,)if((𝐷𝑗) ≤ 𝐵, (𝐷𝑗), 𝐵)) ⊆ ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗)))
4641, 37, 42, 44, 45syl22anc 837 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐶𝑗)[,)if((𝐷𝑗) ≤ 𝐵, (𝐷𝑗), 𝐵)) ⊆ ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗)))
47 volss 25506 . . . . . . . 8 ((((𝐶𝑗)[,)if((𝐷𝑗) ≤ 𝐵, (𝐷𝑗), 𝐵)) ∈ dom vol ∧ ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗)) ∈ dom vol ∧ ((𝐶𝑗)[,)if((𝐷𝑗) ≤ 𝐵, (𝐷𝑗), 𝐵)) ⊆ ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) → (vol‘((𝐶𝑗)[,)if((𝐷𝑗) ≤ 𝐵, (𝐷𝑗), 𝐵))) ≤ (vol‘((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))))
4822, 39, 46, 47syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (vol‘((𝐶𝑗)[,)if((𝐷𝑗) ≤ 𝐵, (𝐷𝑗), 𝐵))) ≤ (vol‘((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))))
4934, 5, 27, 40, 48sge0lempt 45936 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐶𝑗)[,)if((𝐷𝑗) ≤ 𝐵, (𝐷𝑗), 𝐵))))) ≤ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))))))
5032ltpnfd 13136 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))))) < +∞)
5130, 33, 31, 49, 50xrlelttrd 13174 . . . . 5 (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐶𝑗)[,)if((𝐷𝑗) ≤ 𝐵, (𝐷𝑗), 𝐵))))) < +∞)
5230, 31, 51xrltned 44877 . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐶𝑗)[,)if((𝐷𝑗) ≤ 𝐵, (𝐷𝑗), 𝐵))))) ≠ +∞)
5352neneqd 2934 . . 3 (𝜑 → ¬ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐶𝑗)[,)if((𝐷𝑗) ≤ 𝐵, (𝐷𝑗), 𝐵))))) = +∞)
545, 29sge0repnf 45912 . . 3 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐶𝑗)[,)if((𝐷𝑗) ≤ 𝐵, (𝐷𝑗), 𝐵))))) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐶𝑗)[,)if((𝐷𝑗) ≤ 𝐵, (𝐷𝑗), 𝐵))))) = +∞))
5553, 54mpbird 256 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐶𝑗)[,)if((𝐷𝑗) ≤ 𝐵, (𝐷𝑗), 𝐵))))) ∈ ℝ)
561rexrd 11296 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
572, 1iccssred 13446 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
58 hoidmv1lelem3.u . . . . . . . . . . 11 𝑈 = {𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝑧𝐴) ≤ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐶𝑗)[,)if((𝐷𝑗) ≤ 𝑧, (𝐷𝑗), 𝑧)))))}
59 ssrab2 4073 . . . . . . . . . . 11 {𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝑧𝐴) ≤ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐶𝑗)[,)if((𝐷𝑗) ≤ 𝑧, (𝐷𝑗), 𝑧)))))} ⊆ (𝐴[,]𝐵)
6058, 59eqsstri 4011 . . . . . . . . . 10 𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵)
61 hoidmv1lelem3.l . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 < 𝐵)
62 hoidmv1lelem3.s . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = sup(𝑈, ℝ, < )
632, 1, 61, 11, 13, 32, 58, 62hoidmv1lelem1 46117 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆𝑈𝐴𝑈 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑈 𝑦𝑥))
6463simp1d 1139 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆𝑈)
6560, 64sselid 3974 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ (𝐴[,]𝐵))
6657, 65sseldd 3977 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
6766rexrd 11296 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ ℝ*)
68 simpl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵𝑆) → 𝜑)
69 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵𝑆) → ¬ 𝐵𝑆)
7068, 66syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵𝑆) → 𝑆 ∈ ℝ)
7168, 1syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ)
7270, 71ltnled 11393 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵𝑆) → (𝑆 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝑆))
7369, 72mpbird 256 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵𝑆) → 𝑆 < 𝐵)
74 hoidmv1lelem3.x . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗)))
7574adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑆 < 𝐵) → (𝐴[,)𝐵) ⊆ 𝑗 ∈ ℕ ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗)))
762rexrd 11296 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
7776adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑆 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
7856adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑆 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
7967adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑆 < 𝐵) → 𝑆 ∈ ℝ*)
8060, 57sstrid 3988 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑈 ⊆ ℝ)
8164ne0d 4335 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑈 ≠ ∅)
8263simp3d 1141 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑈 𝑦𝑥)
8363simp2d 1140 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴𝑈)
84 suprub 12208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑈 ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑈 𝑦𝑥) ∧ 𝐴𝑈) → 𝐴 ≤ sup(𝑈, ℝ, < ))
8580, 81, 82, 83, 84syl31anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ≤ sup(𝑈, ℝ, < ))
8685, 62breqtrrdi 5191 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴𝑆)
8786adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑆 < 𝐵) → 𝐴𝑆)
88 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑆 < 𝐵) → 𝑆 < 𝐵)
8977, 78, 79, 87, 88elicod 13409 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑆 < 𝐵) → 𝑆 ∈ (𝐴[,)𝐵))
9075, 89sseldd 3977 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑆 < 𝐵) → 𝑆 𝑗 ∈ ℕ ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗)))
91 eliun 5001 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 𝑗 ∈ ℕ ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ 𝑆 ∈ ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗)))
9290, 91sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑆 < 𝐵) → ∃𝑗 ∈ ℕ 𝑆 ∈ ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗)))
932adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑆 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
94933ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑆 < 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) → 𝐴 ∈ ℝ)
951adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑆 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
96953ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑆 < 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) → 𝐵 ∈ ℝ)
9711adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑆 < 𝐵) → 𝐶:ℕ⟶ℝ)
98973ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑆 < 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) → 𝐶:ℕ⟶ℝ)
9913adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑆 < 𝐵) → 𝐷:ℕ⟶ℝ)
100993ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑆 < 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) → 𝐷:ℕ⟶ℝ)
101 fveq2 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 = 𝑗 → (𝐶𝑖) = (𝐶𝑗))
102 fveq2 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 = 𝑗 → (𝐷𝑖) = (𝐷𝑗))
103101, 102oveq12d 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = 𝑗 → ((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)) = ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗)))
104103fveq2d 6900 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = 𝑗 → (vol‘((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))) = (vol‘((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))))
105104cbvmptv 5262 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖)))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))))
106105fveq2i 6899 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ^‘(𝑖 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))))) = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗)))))
107106, 32eqeltrid 2829 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (Σ^‘(𝑖 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))))) ∈ ℝ)
108107adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑆 < 𝐵) → (Σ^‘(𝑖 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))))) ∈ ℝ)
1091083ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑆 < 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) → (Σ^‘(𝑖 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐶𝑖)[,)(𝐷𝑖))))) ∈ ℝ)
110102breq1d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = 𝑗 → ((𝐷𝑖) ≤ 𝑧 ↔ (𝐷𝑗) ≤ 𝑧))
111110, 102ifbieq1d 4554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = 𝑗 → if((𝐷𝑖) ≤ 𝑧, (𝐷𝑖), 𝑧) = if((𝐷𝑗) ≤ 𝑧, (𝐷𝑗), 𝑧))
112101, 111oveq12d 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 = 𝑗 → ((𝐶𝑖)[,)if((𝐷𝑖) ≤ 𝑧, (𝐷𝑖), 𝑧)) = ((𝐶𝑗)[,)if((𝐷𝑗) ≤ 𝑧, (𝐷𝑗), 𝑧)))
113112fveq2d 6900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = 𝑗 → (vol‘((𝐶𝑖)[,)if((𝐷𝑖) ≤ 𝑧, (𝐷𝑖), 𝑧))) = (vol‘((𝐶𝑗)[,)if((𝐷𝑗) ≤ 𝑧, (𝐷𝑗), 𝑧))))
114113cbvmptv 5262 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐶𝑖)[,)if((𝐷𝑖) ≤ 𝑧, (𝐷𝑖), 𝑧)))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐶𝑗)[,)if((𝐷𝑗) ≤ 𝑧, (𝐷𝑗), 𝑧))))
115114eqcomi 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐶𝑗)[,)if((𝐷𝑗) ≤ 𝑧, (𝐷𝑗), 𝑧)))) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐶𝑖)[,)if((𝐷𝑖) ≤ 𝑧, (𝐷𝑖), 𝑧))))
116115fveq2i 6899 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐶𝑗)[,)if((𝐷𝑗) ≤ 𝑧, (𝐷𝑗), 𝑧))))) = (Σ^‘(𝑖 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐶𝑖)[,)if((𝐷𝑖) ≤ 𝑧, (𝐷𝑖), 𝑧)))))
117116breq2i 5157 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧𝐴) ≤ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐶𝑗)[,)if((𝐷𝑗) ≤ 𝑧, (𝐷𝑗), 𝑧))))) ↔ (𝑧𝐴) ≤ (Σ^‘(𝑖 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐶𝑖)[,)if((𝐷𝑖) ≤ 𝑧, (𝐷𝑖), 𝑧))))))
118117rabbii 3424 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝑧𝐴) ≤ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐶𝑗)[,)if((𝐷𝑗) ≤ 𝑧, (𝐷𝑗), 𝑧)))))} = {𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝑧𝐴) ≤ (Σ^‘(𝑖 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐶𝑖)[,)if((𝐷𝑖) ≤ 𝑧, (𝐷𝑖), 𝑧)))))}
11958, 118eqtri 2753 . . . . . . . . . . . . 13 𝑈 = {𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝑧𝐴) ≤ (Σ^‘(𝑖 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐶𝑖)[,)if((𝐷𝑖) ≤ 𝑧, (𝐷𝑖), 𝑧)))))}
12064adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑆 < 𝐵) → 𝑆𝑈)
1211203ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑆 < 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) → 𝑆𝑈)
122873ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑆 < 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) → 𝐴𝑆)
123883ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑆 < 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) → 𝑆 < 𝐵)
124 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑆 < 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) → 𝑗 ∈ ℕ)
125 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑆 < 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) → 𝑆 ∈ ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗)))
126 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . 13 if((𝐷𝑗) ≤ 𝐵, (𝐷𝑗), 𝐵) = if((𝐷𝑗) ≤ 𝐵, (𝐷𝑗), 𝐵)
12794, 96, 98, 100, 109, 119, 121, 122, 123, 124, 125, 126hoidmv1lelem2 46118 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑆 < 𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))) → ∃𝑢𝑈 𝑆 < 𝑢)
1281273exp 1116 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑆 < 𝐵) → (𝑗 ∈ ℕ → (𝑆 ∈ ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗)) → ∃𝑢𝑈 𝑆 < 𝑢)))
129128rexlimdv 3142 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑆 < 𝐵) → (∃𝑗 ∈ ℕ 𝑆 ∈ ((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗)) → ∃𝑢𝑈 𝑆 < 𝑢))
13092, 129mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑆 < 𝐵) → ∃𝑢𝑈 𝑆 < 𝑢)
13168, 73, 130syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵𝑆) → ∃𝑢𝑈 𝑆 < 𝑢)
13257adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢𝑈) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
13360, 132sstrid 3988 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢𝑈) → 𝑈 ⊆ ℝ)
13481adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢𝑈) → 𝑈 ≠ ∅)
1352, 1jca 510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
136135adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢𝑈) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
13760a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢𝑈) → 𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
13864adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢𝑈) → 𝑆𝑈)
139 iccsupr 13454 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑈 ⊆ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑆𝑈) → (𝑈 ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑈 𝑦𝑥))
140136, 137, 138, 139syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢𝑈) → (𝑈 ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑈 𝑦𝑥))
141140simp3d 1141 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢𝑈) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑈 𝑦𝑥)
142 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢𝑈) → 𝑢𝑈)
143 suprub 12208 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑈 ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑈 𝑦𝑥) ∧ 𝑢𝑈) → 𝑢 ≤ sup(𝑈, ℝ, < ))
144133, 134, 141, 142, 143syl31anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢𝑈) → 𝑢 ≤ sup(𝑈, ℝ, < ))
145144, 62breqtrrdi 5191 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢𝑈) → 𝑢𝑆)
146145ralrimiva 3135 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑢𝑈 𝑢𝑆)
14760sseli 3972 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢𝑈𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵))
148147adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢𝑈) → 𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵))
149132, 148sseldd 3977 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢𝑈) → 𝑢 ∈ ℝ)
15066adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢𝑈) → 𝑆 ∈ ℝ)
151149, 150lenltd 11392 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢𝑈) → (𝑢𝑆 ↔ ¬ 𝑆 < 𝑢))
152151ralbidva 3165 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (∀𝑢𝑈 𝑢𝑆 ↔ ∀𝑢𝑈 ¬ 𝑆 < 𝑢))
153146, 152mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑢𝑈 ¬ 𝑆 < 𝑢)
154 ralnex 3061 . . . . . . . . . 10 (∀𝑢𝑈 ¬ 𝑆 < 𝑢 ↔ ¬ ∃𝑢𝑈 𝑆 < 𝑢)
155153, 154sylib 217 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ ∃𝑢𝑈 𝑆 < 𝑢)
156155adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵𝑆) → ¬ ∃𝑢𝑈 𝑆 < 𝑢)
157131, 156condan 816 . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝑆)
158 iccleub 13414 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑆 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑆𝐵)
15976, 56, 65, 158syl3anc 1368 . . . . . . 7 (𝜑𝑆𝐵)
16056, 67, 157, 159xrletrid 13169 . . . . . 6 (𝜑𝐵 = 𝑆)
161160, 64eqeltrd 2825 . . . . 5 (𝜑𝐵𝑈)
162161, 58eleqtrdi 2835 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ {𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝑧𝐴) ≤ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐶𝑗)[,)if((𝐷𝑗) ≤ 𝑧, (𝐷𝑗), 𝑧)))))})
163 oveq1 7426 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐵 → (𝑧𝐴) = (𝐵𝐴))
164 breq2 5153 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝐵 → ((𝐷𝑗) ≤ 𝑧 ↔ (𝐷𝑗) ≤ 𝐵))
165 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝐵𝑧 = 𝐵)
166164, 165ifbieq2d 4556 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝐵 → if((𝐷𝑗) ≤ 𝑧, (𝐷𝑗), 𝑧) = if((𝐷𝑗) ≤ 𝐵, (𝐷𝑗), 𝐵))
167166oveq2d 7435 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝐵 → ((𝐶𝑗)[,)if((𝐷𝑗) ≤ 𝑧, (𝐷𝑗), 𝑧)) = ((𝐶𝑗)[,)if((𝐷𝑗) ≤ 𝐵, (𝐷𝑗), 𝐵)))
168167fveq2d 6900 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝐵 → (vol‘((𝐶𝑗)[,)if((𝐷𝑗) ≤ 𝑧, (𝐷𝑗), 𝑧))) = (vol‘((𝐶𝑗)[,)if((𝐷𝑗) ≤ 𝐵, (𝐷𝑗), 𝐵))))
169168mpteq2dv 5251 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐵 → (𝑗 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐶𝑗)[,)if((𝐷𝑗) ≤ 𝑧, (𝐷𝑗), 𝑧)))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐶𝑗)[,)if((𝐷𝑗) ≤ 𝐵, (𝐷𝑗), 𝐵)))))
170169fveq2d 6900 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐵 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐶𝑗)[,)if((𝐷𝑗) ≤ 𝑧, (𝐷𝑗), 𝑧))))) = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐶𝑗)[,)if((𝐷𝑗) ≤ 𝐵, (𝐷𝑗), 𝐵))))))
171163, 170breq12d 5162 . . . . 5 (𝑧 = 𝐵 → ((𝑧𝐴) ≤ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐶𝑗)[,)if((𝐷𝑗) ≤ 𝑧, (𝐷𝑗), 𝑧))))) ↔ (𝐵𝐴) ≤ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐶𝑗)[,)if((𝐷𝑗) ≤ 𝐵, (𝐷𝑗), 𝐵)))))))
172171elrab 3679 . . . 4 (𝐵 ∈ {𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝑧𝐴) ≤ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐶𝑗)[,)if((𝐷𝑗) ≤ 𝑧, (𝐷𝑗), 𝑧)))))} ↔ (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐵𝐴) ≤ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐶𝑗)[,)if((𝐷𝑗) ≤ 𝐵, (𝐷𝑗), 𝐵)))))))
173162, 172sylib 217 . . 3 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐵𝐴) ≤ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐶𝑗)[,)if((𝐷𝑗) ≤ 𝐵, (𝐷𝑗), 𝐵)))))))
174173simprd 494 . 2 (𝜑 → (𝐵𝐴) ≤ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐶𝑗)[,)if((𝐷𝑗) ≤ 𝐵, (𝐷𝑗), 𝐵))))))
1753, 55, 32, 174, 49letrd 11403 1 (𝜑 → (𝐵𝐴) ≤ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐶𝑗)[,)(𝐷𝑗))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  wral 3050  wrex 3059  {crab 3418  Vcvv 3461  wss 3944  c0 4322  ifcif 4530   ciun 4997   class class class wbr 5149  cmpt 5232  dom cdm 5678  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  supcsup 9465  cr 11139  0cc0 11140  +∞cpnf 11277  *cxr 11279   < clt 11280  cle 11281  cmin 11476  cn 12245  [,)cico 13361  [,]cicc 13362  volcvol 25436  Σ^csumge0 45888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fi 9436  df-sup 9467  df-inf 9468  df-oi 9535  df-dju 9926  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-xneg 13127  df-xadd 13128  df-xmul 13129  df-ioo 13363  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-fl 13793  df-seq 14003  df-exp 14063  df-hash 14326  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-clim 15468  df-rlim 15469  df-sum 15669  df-rest 17407  df-topgen 17428  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-top 22840  df-topon 22857  df-bases 22893  df-cmp 23335  df-ovol 25437  df-vol 25438  df-sumge0 45889
This theorem is referenced by:  hoidmv1le  46120
  Copyright terms: Public domain W3C validator