Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0hsphoire Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sge0hsphoire 44932
Description: If the generalized sum of dimensional volumes of n-dimensional half-open intervals is finite, then the sum stays finite if every half-open interval is intersected with a half-space. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0hsphoire.l 𝐿 = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))
sge0hsphoire.f (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Fin)
sge0hsphoire.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (π‘Š βˆ– π‘Œ))
sge0hsphoire.w π‘Š = (π‘Œ βˆͺ {𝑍})
sge0hsphoire.c (πœ‘ β†’ 𝐢:β„•βŸΆ(ℝ ↑m π‘Š))
sge0hsphoire.d (πœ‘ β†’ 𝐷:β„•βŸΆ(ℝ ↑m π‘Š))
sge0hsphoire.r (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ)
sge0hsphoire.h 𝐻 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑗 ∈ π‘Š ↦ if(𝑗 ∈ π‘Œ, (π‘β€˜π‘—), if((π‘β€˜π‘—) ≀ π‘₯, (π‘β€˜π‘—), π‘₯)))))
sge0hsphoire.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
sge0hsphoire (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)((π»β€˜π‘†)β€˜(π·β€˜π‘—))))) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝐢,π‘Ž,𝑏,π‘˜   𝐷,π‘Ž,𝑏,π‘˜   𝐷,𝑐,π‘˜   𝐻,π‘Ž,𝑏,π‘˜   𝑆,π‘Ž,𝑏,π‘˜,π‘₯   𝑆,𝑐,π‘₯   π‘Š,π‘Ž,𝑏,𝑗,π‘˜,π‘₯   π‘Š,𝑐,𝑗   π‘Œ,𝑐,𝑗,π‘₯   𝑍,𝑐,π‘˜,π‘₯   πœ‘,π‘Ž,𝑏,𝑗,π‘˜,π‘₯   πœ‘,𝑐
Allowed substitution hints:   𝐢(π‘₯,𝑗,𝑐)   𝐷(π‘₯,𝑗)   𝑆(𝑗)   𝐻(π‘₯,𝑗,𝑐)   𝐿(π‘₯,𝑗,π‘˜,π‘Ž,𝑏,𝑐)   π‘Œ(π‘˜,π‘Ž,𝑏)   𝑍(𝑗,π‘Ž,𝑏)
Proof of Theorem sge0hsphoire
Dummy variable β„Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnex 12169 . . . 4 β„• ∈ V
21a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ β„• ∈ V)
3 sge0hsphoire.l . . . . . 6 𝐿 = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))
4 sge0hsphoire.w . . . . . . . 8 π‘Š = (π‘Œ βˆͺ {𝑍})
5 sge0hsphoire.f . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Fin)
6 snfi 8996 . . . . . . . . . 10 {𝑍} ∈ Fin
76a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ {𝑍} ∈ Fin)
8 unfi 9124 . . . . . . . . 9 ((π‘Œ ∈ Fin ∧ {𝑍} ∈ Fin) β†’ (π‘Œ βˆͺ {𝑍}) ∈ Fin)
95, 7, 8syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆͺ {𝑍}) ∈ Fin)
104, 9eqeltrid 2837 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Fin)
1110adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ π‘Š ∈ Fin)
12 sge0hsphoire.c . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢:β„•βŸΆ(ℝ ↑m π‘Š))
1312ffvelcdmda 7041 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΆβ€˜π‘—) ∈ (ℝ ↑m π‘Š))
14 elmapi 8795 . . . . . . 7 ((πΆβ€˜π‘—) ∈ (ℝ ↑m π‘Š) β†’ (πΆβ€˜π‘—):π‘ŠβŸΆβ„)
1513, 14syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΆβ€˜π‘—):π‘ŠβŸΆβ„)
16 sge0hsphoire.h . . . . . . . 8 𝐻 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑗 ∈ π‘Š ↦ if(𝑗 ∈ π‘Œ, (π‘β€˜π‘—), if((π‘β€˜π‘—) ≀ π‘₯, (π‘β€˜π‘—), π‘₯)))))
17 eleq1w 2816 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = β„Ž β†’ (𝑗 ∈ π‘Œ ↔ β„Ž ∈ π‘Œ))
18 fveq2 6848 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = β„Ž β†’ (π‘β€˜π‘—) = (π‘β€˜β„Ž))
1918breq1d 5121 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = β„Ž β†’ ((π‘β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ↔ (π‘β€˜β„Ž) ≀ π‘₯))
2019, 18ifbieq1d 4516 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = β„Ž β†’ if((π‘β€˜π‘—) ≀ π‘₯, (π‘β€˜π‘—), π‘₯) = if((π‘β€˜β„Ž) ≀ π‘₯, (π‘β€˜β„Ž), π‘₯))
2117, 18, 20ifbieq12d 4520 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = β„Ž β†’ if(𝑗 ∈ π‘Œ, (π‘β€˜π‘—), if((π‘β€˜π‘—) ≀ π‘₯, (π‘β€˜π‘—), π‘₯)) = if(β„Ž ∈ π‘Œ, (π‘β€˜β„Ž), if((π‘β€˜β„Ž) ≀ π‘₯, (π‘β€˜β„Ž), π‘₯)))
2221cbvmptv 5224 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ π‘Š ↦ if(𝑗 ∈ π‘Œ, (π‘β€˜π‘—), if((π‘β€˜π‘—) ≀ π‘₯, (π‘β€˜π‘—), π‘₯))) = (β„Ž ∈ π‘Š ↦ if(β„Ž ∈ π‘Œ, (π‘β€˜β„Ž), if((π‘β€˜β„Ž) ≀ π‘₯, (π‘β€˜β„Ž), π‘₯)))
2322mpteq2i 5216 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑗 ∈ π‘Š ↦ if(𝑗 ∈ π‘Œ, (π‘β€˜π‘—), if((π‘β€˜π‘—) ≀ π‘₯, (π‘β€˜π‘—), π‘₯)))) = (𝑐 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (β„Ž ∈ π‘Š ↦ if(β„Ž ∈ π‘Œ, (π‘β€˜β„Ž), if((π‘β€˜β„Ž) ≀ π‘₯, (π‘β€˜β„Ž), π‘₯))))
2423mpteq2i 5216 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑗 ∈ π‘Š ↦ if(𝑗 ∈ π‘Œ, (π‘β€˜π‘—), if((π‘β€˜π‘—) ≀ π‘₯, (π‘β€˜π‘—), π‘₯))))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (β„Ž ∈ π‘Š ↦ if(β„Ž ∈ π‘Œ, (π‘β€˜β„Ž), if((π‘β€˜β„Ž) ≀ π‘₯, (π‘β€˜β„Ž), π‘₯)))))
2516, 24eqtri 2760 . . . . . . 7 𝐻 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (β„Ž ∈ π‘Š ↦ if(β„Ž ∈ π‘Œ, (π‘β€˜β„Ž), if((π‘β€˜β„Ž) ≀ π‘₯, (π‘β€˜β„Ž), π‘₯)))))
26 sge0hsphoire.s . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
2726adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
28 sge0hsphoire.d . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐷:β„•βŸΆ(ℝ ↑m π‘Š))
2928ffvelcdmda 7041 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜π‘—) ∈ (ℝ ↑m π‘Š))
30 elmapi 8795 . . . . . . . 8 ((π·β€˜π‘—) ∈ (ℝ ↑m π‘Š) β†’ (π·β€˜π‘—):π‘ŠβŸΆβ„)
3129, 30syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜π‘—):π‘ŠβŸΆβ„)
3225, 27, 11, 31hsphoif 44919 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((π»β€˜π‘†)β€˜(π·β€˜π‘—)):π‘ŠβŸΆβ„)
333, 11, 15, 32hoidmvcl 44925 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)((π»β€˜π‘†)β€˜(π·β€˜π‘—))) ∈ (0[,)+∞))
34 eqid 2732 . . . . 5 (𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)((π»β€˜π‘†)β€˜(π·β€˜π‘—)))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)((π»β€˜π‘†)β€˜(π·β€˜π‘—))))
3533, 34fmptd 7068 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)((π»β€˜π‘†)β€˜(π·β€˜π‘—)))):β„•βŸΆ(0[,)+∞))
36 icossicc 13364 . . . . 5 (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)
3736a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞))
3835, 37fssd 6692 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)((π»β€˜π‘†)β€˜(π·β€˜π‘—)))):β„•βŸΆ(0[,]+∞))
392, 38sge0cl 44724 . 2 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)((π»β€˜π‘†)β€˜(π·β€˜π‘—))))) ∈ (0[,]+∞))
402, 38sge0xrcl 44728 . . 3 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)((π»β€˜π‘†)β€˜(π·β€˜π‘—))))) ∈ ℝ*)
41 pnfxr 11219 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
4241a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ +∞ ∈ ℝ*)
43 sge0hsphoire.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ)
4443rexrd 11215 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ*)
45 nfv 1918 . . . . 5 β„²π‘—πœ‘
4636, 33sselid 3946 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)((π»β€˜π‘†)β€˜(π·β€˜π‘—))) ∈ (0[,]+∞))
473, 11, 15, 31hoidmvcl 44925 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)) ∈ (0[,)+∞))
4836, 47sselid 3946 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)) ∈ (0[,]+∞))
49 sge0hsphoire.z . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (π‘Š βˆ– π‘Œ))
5049adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝑍 ∈ (π‘Š βˆ– π‘Œ))
513, 11, 50, 4, 27, 25, 15, 31hsphoidmvle 44929 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)((π»β€˜π‘†)β€˜(π·β€˜π‘—))) ≀ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))
5245, 2, 46, 48, 51sge0lempt 44753 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)((π»β€˜π‘†)β€˜(π·β€˜π‘—))))) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))))
5343ltpnfd 13052 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) < +∞)
5440, 44, 42, 52, 53xrlelttrd 13090 . . 3 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)((π»β€˜π‘†)β€˜(π·β€˜π‘—))))) < +∞)
5540, 42, 54xrltned 43694 . 2 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)((π»β€˜π‘†)β€˜(π·β€˜π‘—))))) β‰  +∞)
56 ge0xrre 43871 . 2 (((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)((π»β€˜π‘†)β€˜(π·β€˜π‘—))))) ∈ (0[,]+∞) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)((π»β€˜π‘†)β€˜(π·β€˜π‘—))))) β‰  +∞) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)((π»β€˜π‘†)β€˜(π·β€˜π‘—))))) ∈ ℝ)
5739, 55, 56syl2anc 585 1 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)((π»β€˜π‘†)β€˜(π·β€˜π‘—))))) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  Vcvv 3447   βˆ– cdif 3911   βˆͺ cun 3912   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4288  ifcif 4492  {csn 4592   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  βŸΆwf 6498  β€˜cfv 6502  (class class class)co 7363   ∈ cmpo 7365   ↑m cmap 8773  Fincfn 8891  β„cr 11060  0cc0 11061  +∞cpnf 11196  β„*cxr 11198   ≀ cle 11200  β„•cn 12163  [,)cico 13277  [,]cicc 13278  βˆcprod 15800  volcvol 24865  Ξ£^csumge0 44705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2703  ax-rep 5248  ax-sep 5262  ax-nul 5269  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7678  ax-inf2 9587  ax-cnex 11117  ax-resscn 11118  ax-1cn 11119  ax-icn 11120  ax-addcl 11121  ax-addrcl 11122  ax-mulcl 11123  ax-mulrcl 11124  ax-mulcom 11125  ax-addass 11126  ax-mulass 11127  ax-distr 11128  ax-i2m1 11129  ax-1ne0 11130  ax-1rid 11131  ax-rnegex 11132  ax-rrecex 11133  ax-cnre 11134  ax-pre-lttri 11135  ax-pre-lttrn 11136  ax-pre-ltadd 11137  ax-pre-mulgt0 11138  ax-pre-sup 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4289  df-if 4493  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4872  df-int 4914  df-iun 4962  df-br 5112  df-opab 5174  df-mpt 5195  df-tr 5229  df-id 5537  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5645  df-rel 5646  df-cnv 5647  df-co 5648  df-dm 5649  df-rn 5650  df-res 5651  df-ima 5652  df-pred 6259  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-isom 6511  df-riota 7319  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7623  df-om 7809  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8218  df-wrecs 8249  df-recs 8323  df-rdg 8362  df-1o 8418  df-2o 8419  df-er 8656  df-map 8775  df-pm 8776  df-en 8892  df-dom 8893  df-sdom 8894  df-fin 8895  df-fi 9357  df-sup 9388  df-inf 9389  df-oi 9456  df-dju 9847  df-card 9885  df-pnf 11201  df-mnf 11202  df-xr 11203  df-ltxr 11204  df-le 11205  df-sub 11397  df-neg 11398  df-div 11823  df-nn 12164  df-2 12226  df-3 12227  df-n0 12424  df-z 12510  df-uz 12774  df-q 12884  df-rp 12926  df-xneg 13043  df-xadd 13044  df-xmul 13045  df-ioo 13279  df-ico 13281  df-icc 13282  df-fz 13436  df-fzo 13579  df-fl 13708  df-seq 13918  df-exp 13979  df-hash 14242  df-cj 14997  df-re 14998  df-im 14999  df-sqrt 15133  df-abs 15134  df-clim 15383  df-rlim 15384  df-sum 15584  df-prod 15801  df-rest 17319  df-topgen 17340  df-psmet 20826  df-xmet 20827  df-met 20828  df-bl 20829  df-mopn 20830  df-top 22281  df-topon 22298  df-bases 22334  df-cmp 22776  df-ovol 24866  df-vol 24867  df-sumge0 44706
This theorem is referenced by:  hoidmvlelem1  44938  hoidmvlelem2  44939
  Copyright terms: Public domain W3C validator