Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0hsphoire Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sge0hsphoire 45390
Description: If the generalized sum of dimensional volumes of n-dimensional half-open intervals is finite, then the sum stays finite if every half-open interval is intersected with a half-space. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0hsphoire.l 𝐿 = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))
sge0hsphoire.f (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Fin)
sge0hsphoire.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (π‘Š βˆ– π‘Œ))
sge0hsphoire.w π‘Š = (π‘Œ βˆͺ {𝑍})
sge0hsphoire.c (πœ‘ β†’ 𝐢:β„•βŸΆ(ℝ ↑m π‘Š))
sge0hsphoire.d (πœ‘ β†’ 𝐷:β„•βŸΆ(ℝ ↑m π‘Š))
sge0hsphoire.r (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ)
sge0hsphoire.h 𝐻 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑗 ∈ π‘Š ↦ if(𝑗 ∈ π‘Œ, (π‘β€˜π‘—), if((π‘β€˜π‘—) ≀ π‘₯, (π‘β€˜π‘—), π‘₯)))))
sge0hsphoire.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
sge0hsphoire (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)((π»β€˜π‘†)β€˜(π·β€˜π‘—))))) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝐢,π‘Ž,𝑏,π‘˜   𝐷,π‘Ž,𝑏,π‘˜   𝐷,𝑐,π‘˜   𝐻,π‘Ž,𝑏,π‘˜   𝑆,π‘Ž,𝑏,π‘˜,π‘₯   𝑆,𝑐,π‘₯   π‘Š,π‘Ž,𝑏,𝑗,π‘˜,π‘₯   π‘Š,𝑐,𝑗   π‘Œ,𝑐,𝑗,π‘₯   𝑍,𝑐,π‘˜,π‘₯   πœ‘,π‘Ž,𝑏,𝑗,π‘˜,π‘₯   πœ‘,𝑐
Allowed substitution hints:   𝐢(π‘₯,𝑗,𝑐)   𝐷(π‘₯,𝑗)   𝑆(𝑗)   𝐻(π‘₯,𝑗,𝑐)   𝐿(π‘₯,𝑗,π‘˜,π‘Ž,𝑏,𝑐)   π‘Œ(π‘˜,π‘Ž,𝑏)   𝑍(𝑗,π‘Ž,𝑏)
Proof of Theorem sge0hsphoire
Dummy variable β„Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnex 12220 . . . 4 β„• ∈ V
21a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ β„• ∈ V)
3 sge0hsphoire.l . . . . . 6 𝐿 = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))
4 sge0hsphoire.w . . . . . . . 8 π‘Š = (π‘Œ βˆͺ {𝑍})
5 sge0hsphoire.f . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Fin)
6 snfi 9046 . . . . . . . . . 10 {𝑍} ∈ Fin
76a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ {𝑍} ∈ Fin)
8 unfi 9174 . . . . . . . . 9 ((π‘Œ ∈ Fin ∧ {𝑍} ∈ Fin) β†’ (π‘Œ βˆͺ {𝑍}) ∈ Fin)
95, 7, 8syl2anc 584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆͺ {𝑍}) ∈ Fin)
104, 9eqeltrid 2837 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Fin)
1110adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ π‘Š ∈ Fin)
12 sge0hsphoire.c . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢:β„•βŸΆ(ℝ ↑m π‘Š))
1312ffvelcdmda 7086 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΆβ€˜π‘—) ∈ (ℝ ↑m π‘Š))
14 elmapi 8845 . . . . . . 7 ((πΆβ€˜π‘—) ∈ (ℝ ↑m π‘Š) β†’ (πΆβ€˜π‘—):π‘ŠβŸΆβ„)
1513, 14syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΆβ€˜π‘—):π‘ŠβŸΆβ„)
16 sge0hsphoire.h . . . . . . . 8 𝐻 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑗 ∈ π‘Š ↦ if(𝑗 ∈ π‘Œ, (π‘β€˜π‘—), if((π‘β€˜π‘—) ≀ π‘₯, (π‘β€˜π‘—), π‘₯)))))
17 eleq1w 2816 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = β„Ž β†’ (𝑗 ∈ π‘Œ ↔ β„Ž ∈ π‘Œ))
18 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = β„Ž β†’ (π‘β€˜π‘—) = (π‘β€˜β„Ž))
1918breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = β„Ž β†’ ((π‘β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ↔ (π‘β€˜β„Ž) ≀ π‘₯))
2019, 18ifbieq1d 4552 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = β„Ž β†’ if((π‘β€˜π‘—) ≀ π‘₯, (π‘β€˜π‘—), π‘₯) = if((π‘β€˜β„Ž) ≀ π‘₯, (π‘β€˜β„Ž), π‘₯))
2117, 18, 20ifbieq12d 4556 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = β„Ž β†’ if(𝑗 ∈ π‘Œ, (π‘β€˜π‘—), if((π‘β€˜π‘—) ≀ π‘₯, (π‘β€˜π‘—), π‘₯)) = if(β„Ž ∈ π‘Œ, (π‘β€˜β„Ž), if((π‘β€˜β„Ž) ≀ π‘₯, (π‘β€˜β„Ž), π‘₯)))
2221cbvmptv 5261 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ π‘Š ↦ if(𝑗 ∈ π‘Œ, (π‘β€˜π‘—), if((π‘β€˜π‘—) ≀ π‘₯, (π‘β€˜π‘—), π‘₯))) = (β„Ž ∈ π‘Š ↦ if(β„Ž ∈ π‘Œ, (π‘β€˜β„Ž), if((π‘β€˜β„Ž) ≀ π‘₯, (π‘β€˜β„Ž), π‘₯)))
2322mpteq2i 5253 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑗 ∈ π‘Š ↦ if(𝑗 ∈ π‘Œ, (π‘β€˜π‘—), if((π‘β€˜π‘—) ≀ π‘₯, (π‘β€˜π‘—), π‘₯)))) = (𝑐 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (β„Ž ∈ π‘Š ↦ if(β„Ž ∈ π‘Œ, (π‘β€˜β„Ž), if((π‘β€˜β„Ž) ≀ π‘₯, (π‘β€˜β„Ž), π‘₯))))
2423mpteq2i 5253 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (𝑗 ∈ π‘Š ↦ if(𝑗 ∈ π‘Œ, (π‘β€˜π‘—), if((π‘β€˜π‘—) ≀ π‘₯, (π‘β€˜π‘—), π‘₯))))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (β„Ž ∈ π‘Š ↦ if(β„Ž ∈ π‘Œ, (π‘β€˜β„Ž), if((π‘β€˜β„Ž) ≀ π‘₯, (π‘β€˜β„Ž), π‘₯)))))
2516, 24eqtri 2760 . . . . . . 7 𝐻 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m π‘Š) ↦ (β„Ž ∈ π‘Š ↦ if(β„Ž ∈ π‘Œ, (π‘β€˜β„Ž), if((π‘β€˜β„Ž) ≀ π‘₯, (π‘β€˜β„Ž), π‘₯)))))
26 sge0hsphoire.s . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
2726adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
28 sge0hsphoire.d . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐷:β„•βŸΆ(ℝ ↑m π‘Š))
2928ffvelcdmda 7086 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜π‘—) ∈ (ℝ ↑m π‘Š))
30 elmapi 8845 . . . . . . . 8 ((π·β€˜π‘—) ∈ (ℝ ↑m π‘Š) β†’ (π·β€˜π‘—):π‘ŠβŸΆβ„)
3129, 30syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜π‘—):π‘ŠβŸΆβ„)
3225, 27, 11, 31hsphoif 45377 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((π»β€˜π‘†)β€˜(π·β€˜π‘—)):π‘ŠβŸΆβ„)
333, 11, 15, 32hoidmvcl 45383 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)((π»β€˜π‘†)β€˜(π·β€˜π‘—))) ∈ (0[,)+∞))
34 eqid 2732 . . . . 5 (𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)((π»β€˜π‘†)β€˜(π·β€˜π‘—)))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)((π»β€˜π‘†)β€˜(π·β€˜π‘—))))
3533, 34fmptd 7115 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)((π»β€˜π‘†)β€˜(π·β€˜π‘—)))):β„•βŸΆ(0[,)+∞))
36 icossicc 13415 . . . . 5 (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)
3736a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞))
3835, 37fssd 6735 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)((π»β€˜π‘†)β€˜(π·β€˜π‘—)))):β„•βŸΆ(0[,]+∞))
392, 38sge0cl 45182 . 2 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)((π»β€˜π‘†)β€˜(π·β€˜π‘—))))) ∈ (0[,]+∞))
402, 38sge0xrcl 45186 . . 3 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)((π»β€˜π‘†)β€˜(π·β€˜π‘—))))) ∈ ℝ*)
41 pnfxr 11270 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
4241a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ +∞ ∈ ℝ*)
43 sge0hsphoire.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ)
4443rexrd 11266 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ*)
45 nfv 1917 . . . . 5 β„²π‘—πœ‘
4636, 33sselid 3980 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)((π»β€˜π‘†)β€˜(π·β€˜π‘—))) ∈ (0[,]+∞))
473, 11, 15, 31hoidmvcl 45383 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)) ∈ (0[,)+∞))
4836, 47sselid 3980 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)) ∈ (0[,]+∞))
49 sge0hsphoire.z . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (π‘Š βˆ– π‘Œ))
5049adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝑍 ∈ (π‘Š βˆ– π‘Œ))
513, 11, 50, 4, 27, 25, 15, 31hsphoidmvle 45387 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)((π»β€˜π‘†)β€˜(π·β€˜π‘—))) ≀ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))
5245, 2, 46, 48, 51sge0lempt 45211 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)((π»β€˜π‘†)β€˜(π·β€˜π‘—))))) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))))
5343ltpnfd 13103 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)(π·β€˜π‘—)))) < +∞)
5440, 44, 42, 52, 53xrlelttrd 13141 . . 3 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)((π»β€˜π‘†)β€˜(π·β€˜π‘—))))) < +∞)
5540, 42, 54xrltned 44152 . 2 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)((π»β€˜π‘†)β€˜(π·β€˜π‘—))))) β‰  +∞)
56 ge0xrre 44329 . 2 (((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)((π»β€˜π‘†)β€˜(π·β€˜π‘—))))) ∈ (0[,]+∞) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)((π»β€˜π‘†)β€˜(π·β€˜π‘—))))) β‰  +∞) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)((π»β€˜π‘†)β€˜(π·β€˜π‘—))))) ∈ ℝ)
5739, 55, 56syl2anc 584 1 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘Š)((π»β€˜π‘†)β€˜(π·β€˜π‘—))))) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  ifcif 4528  {csn 4628   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413   ↑m cmap 8822  Fincfn 8941  β„cr 11111  0cc0 11112  +∞cpnf 11247  β„*cxr 11249   ≀ cle 11251  β„•cn 12214  [,)cico 13328  [,]cicc 13329  βˆcprod 15851  volcvol 24987  Ξ£^csumge0 45163
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-prod 15852  df-rest 17370  df-topgen 17391  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-top 22403  df-topon 22420  df-bases 22456  df-cmp 22898  df-ovol 24988  df-vol 24989  df-sumge0 45164
This theorem is referenced by:  hoidmvlelem1  45396  hoidmvlelem2  45397
  Copyright terms: Public domain W3C validator