Theorem sge0hsphoire 46574

Description: If the generalized sum of dimensional volumes of n-dimensional half-open intervals is finite, then the sum stays finite if every half-open interval is intersected with a half-space. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0hsphoire.l	⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
sge0hsphoire.f	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Fin)
sge0hsphoire.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑊 ∖ 𝑌))
sge0hsphoire.w	⊢ 𝑊 = (𝑌 ∪ {𝑍})
sge0hsphoire.c	⊢ (𝜑 → 𝐶:ℕ⟶(ℝ ↑m 𝑊))
sge0hsphoire.d	⊢ (𝜑 → 𝐷:ℕ⟶(ℝ ↑m 𝑊))
sge0hsphoire.r	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)(𝐷‘𝑗)))) ∈ ℝ)
sge0hsphoire.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑊) ↦ (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ if(𝑗 ∈ 𝑌, (𝑐‘𝑗), if((𝑐‘𝑗) ≤ 𝑥, (𝑐‘𝑗), 𝑥)))))
sge0hsphoire.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
sge0hsphoire	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗))))) ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝐶,𝑎,𝑏,𝑘   𝐷,𝑎,𝑏,𝑘   𝐷,𝑐,𝑘   𝐻,𝑎,𝑏,𝑘   𝑆,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝑆,𝑐,𝑥   𝑊,𝑎,𝑏,𝑗,𝑘,𝑥   𝑊,𝑐,𝑗   𝑌,𝑐,𝑗,𝑥   𝑍,𝑐,𝑘,𝑥   𝜑,𝑎,𝑏,𝑗,𝑘,𝑥   𝜑,𝑐

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑗,𝑐)   𝐷(𝑥,𝑗)   𝑆(𝑗)   𝐻(𝑥,𝑗,𝑐)   𝐿(𝑥,𝑗,𝑘,𝑎,𝑏,𝑐)   𝑌(𝑘,𝑎,𝑏)   𝑍(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem sge0hsphoire

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 12134	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℕ ∈ V)
3		sge0hsphoire.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
4		sge0hsphoire.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = (𝑌 ∪ {𝑍})
5		sge0hsphoire.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Fin)
6		snfi 8968	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑍} ∈ Fin
7	6	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑍} ∈ Fin)
8		unfi 9085	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ Fin ∧ {𝑍} ∈ Fin) → (𝑌 ∪ {𝑍}) ∈ Fin)
9	5, 7, 8	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∪ {𝑍}) ∈ Fin)
10	4, 9	eqeltrid 2832	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Fin)
11	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ Fin)
12		sge0hsphoire.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶:ℕ⟶(ℝ ↑m 𝑊))
13	12	ffvelcdmda 7018	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐶‘𝑗) ∈ (ℝ ↑m 𝑊))
14		elmapi 8776	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶‘𝑗) ∈ (ℝ ↑m 𝑊) → (𝐶‘𝑗):𝑊⟶ℝ)
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐶‘𝑗):𝑊⟶ℝ)
16		sge0hsphoire.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑊) ↦ (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ if(𝑗 ∈ 𝑌, (𝑐‘𝑗), if((𝑐‘𝑗) ≤ 𝑥, (𝑐‘𝑗), 𝑥)))))
17		eleq1w 2811	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = ℎ → (𝑗 ∈ 𝑌 ↔ ℎ ∈ 𝑌))
18		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = ℎ → (𝑐‘𝑗) = (𝑐‘ℎ))
19	18	breq1d 5102	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = ℎ → ((𝑐‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ (𝑐‘ℎ) ≤ 𝑥))
20	19, 18	ifbieq1d 4501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = ℎ → if((𝑐‘𝑗) ≤ 𝑥, (𝑐‘𝑗), 𝑥) = if((𝑐‘ℎ) ≤ 𝑥, (𝑐‘ℎ), 𝑥))
21	17, 18, 20	ifbieq12d 4505	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = ℎ → if(𝑗 ∈ 𝑌, (𝑐‘𝑗), if((𝑐‘𝑗) ≤ 𝑥, (𝑐‘𝑗), 𝑥)) = if(ℎ ∈ 𝑌, (𝑐‘ℎ), if((𝑐‘ℎ) ≤ 𝑥, (𝑐‘ℎ), 𝑥)))
22	21	cbvmptv 5196	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ if(𝑗 ∈ 𝑌, (𝑐‘𝑗), if((𝑐‘𝑗) ≤ 𝑥, (𝑐‘𝑗), 𝑥))) = (ℎ ∈ 𝑊 ↦ if(ℎ ∈ 𝑌, (𝑐‘ℎ), if((𝑐‘ℎ) ≤ 𝑥, (𝑐‘ℎ), 𝑥)))
23	22	mpteq2i 5188	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑊) ↦ (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ if(𝑗 ∈ 𝑌, (𝑐‘𝑗), if((𝑐‘𝑗) ≤ 𝑥, (𝑐‘𝑗), 𝑥)))) = (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑊) ↦ (ℎ ∈ 𝑊 ↦ if(ℎ ∈ 𝑌, (𝑐‘ℎ), if((𝑐‘ℎ) ≤ 𝑥, (𝑐‘ℎ), 𝑥))))
24	23	mpteq2i 5188	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑊) ↦ (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ if(𝑗 ∈ 𝑌, (𝑐‘𝑗), if((𝑐‘𝑗) ≤ 𝑥, (𝑐‘𝑗), 𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑊) ↦ (ℎ ∈ 𝑊 ↦ if(ℎ ∈ 𝑌, (𝑐‘ℎ), if((𝑐‘ℎ) ≤ 𝑥, (𝑐‘ℎ), 𝑥)))))
25	16, 24	eqtri 2752	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑊) ↦ (ℎ ∈ 𝑊 ↦ if(ℎ ∈ 𝑌, (𝑐‘ℎ), if((𝑐‘ℎ) ≤ 𝑥, (𝑐‘ℎ), 𝑥)))))
26		sge0hsphoire.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
27	26	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑆 ∈ ℝ)
28		sge0hsphoire.d	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷:ℕ⟶(ℝ ↑m 𝑊))
29	28	ffvelcdmda 7018	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐷‘𝑗) ∈ (ℝ ↑m 𝑊))
30		elmapi 8776	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷‘𝑗) ∈ (ℝ ↑m 𝑊) → (𝐷‘𝑗):𝑊⟶ℝ)
31	29, 30	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐷‘𝑗):𝑊⟶ℝ)
32	25, 27, 11, 31	hsphoif 46561	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗)):𝑊⟶ℝ)
33	3, 11, 15, 32	hoidmvcl 46567	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗))) ∈ (0[,)+∞))
34		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗)))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗))))
35	33, 34	fmptd 7048	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗)))):ℕ⟶(0[,)+∞))
36		icossicc 13339	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
37	36	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞))
38	35, 37	fssd 6669	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗)))):ℕ⟶(0[,]+∞))
39	2, 38	sge0cl 46366	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗))))) ∈ (0[,]+∞))
40	2, 38	sge0xrcl 46370	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗))))) ∈ ℝ*)
41		pnfxr 11169	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
42	41	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
43		sge0hsphoire.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)(𝐷‘𝑗)))) ∈ ℝ)
44	43	rexrd 11165	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)(𝐷‘𝑗)))) ∈ ℝ*)
45		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
46	36, 33	sselid 3933	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗))) ∈ (0[,]+∞))
47	3, 11, 15, 31	hoidmvcl 46567	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)(𝐷‘𝑗)) ∈ (0[,)+∞))
48	36, 47	sselid 3933	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)(𝐷‘𝑗)) ∈ (0[,]+∞))
49		sge0hsphoire.z	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑊 ∖ 𝑌))
50	49	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑍 ∈ (𝑊 ∖ 𝑌))
51	3, 11, 50, 4, 27, 25, 15, 31	hsphoidmvle 46571	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗))) ≤ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)(𝐷‘𝑗)))
52	45, 2, 46, 48, 51	sge0lempt 46395	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗))))) ≤ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)(𝐷‘𝑗)))))
53	43	ltpnfd 13023	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)(𝐷‘𝑗)))) < +∞)
54	40, 44, 42, 52, 53	xrlelttrd 13062	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗))))) < +∞)
55	40, 42, 54	xrltned 45341	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗))))) ≠ +∞)
56		ge0xrre 45516	. 2 ⊢ (((Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗))))) ∈ (0[,]+∞) ∧ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗))))) ≠ +∞) → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗))))) ∈ ℝ)
57	39, 55, 56	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗))))) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  Vcvv 3436   ∖ cdif 3900   ∪ cun 3901   ⊆ wss 3903  ∅c0 4284  ifcif 4476  {csn 4577   class class class wbr 5092   ↦ cmpt 5173  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ∈ cmpo 7351   ↑_m cmap 8753  Fincfn 8872  ℝcr 11008  0cc0 11009  +∞cpnf 11146  ℝ^*cxr 11148   ≤ cle 11150  ℕcn 12128  [,)cico 13250  [,]cicc 13251  ∏cprod 15810  volcvol 25362  Σ^{^}csumge0 46347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fi 9301  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-dju 9797  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-xneg 13014  df-xadd 13015  df-xmul 13016  df-ioo 13252  df-ico 13254  df-icc 13255  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-prod 15811  df-rest 17326  df-topgen 17347  df-psmet 21253  df-xmet 21254  df-met 21255  df-bl 21256  df-mopn 21257  df-top 22779  df-topon 22796  df-bases 22831  df-cmp 23272  df-ovol 25363  df-vol 25364  df-sumge0 46348

This theorem is referenced by:  hoidmvlelem1  46580  hoidmvlelem2  46581