Theorem sge0hsphoire 46594

Description: If the generalized sum of dimensional volumes of n-dimensional half-open intervals is finite, then the sum stays finite if every half-open interval is intersected with a half-space. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0hsphoire.l	⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
sge0hsphoire.f	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Fin)
sge0hsphoire.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑊 ∖ 𝑌))
sge0hsphoire.w	⊢ 𝑊 = (𝑌 ∪ {𝑍})
sge0hsphoire.c	⊢ (𝜑 → 𝐶:ℕ⟶(ℝ ↑m 𝑊))
sge0hsphoire.d	⊢ (𝜑 → 𝐷:ℕ⟶(ℝ ↑m 𝑊))
sge0hsphoire.r	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)(𝐷‘𝑗)))) ∈ ℝ)
sge0hsphoire.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑊) ↦ (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ if(𝑗 ∈ 𝑌, (𝑐‘𝑗), if((𝑐‘𝑗) ≤ 𝑥, (𝑐‘𝑗), 𝑥)))))
sge0hsphoire.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
sge0hsphoire	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗))))) ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝐶,𝑎,𝑏,𝑘   𝐷,𝑎,𝑏,𝑘   𝐷,𝑐,𝑘   𝐻,𝑎,𝑏,𝑘   𝑆,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝑆,𝑐,𝑥   𝑊,𝑎,𝑏,𝑗,𝑘,𝑥   𝑊,𝑐,𝑗   𝑌,𝑐,𝑗,𝑥   𝑍,𝑐,𝑘,𝑥   𝜑,𝑎,𝑏,𝑗,𝑘,𝑥   𝜑,𝑐

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑗,𝑐)   𝐷(𝑥,𝑗)   𝑆(𝑗)   𝐻(𝑥,𝑗,𝑐)   𝐿(𝑥,𝑗,𝑘,𝑎,𝑏,𝑐)   𝑌(𝑘,𝑎,𝑏)   𝑍(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem sge0hsphoire

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 12199	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℕ ∈ V)
3		sge0hsphoire.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
4		sge0hsphoire.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = (𝑌 ∪ {𝑍})
5		sge0hsphoire.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Fin)
6		snfi 9017	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑍} ∈ Fin
7	6	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑍} ∈ Fin)
8		unfi 9141	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ Fin ∧ {𝑍} ∈ Fin) → (𝑌 ∪ {𝑍}) ∈ Fin)
9	5, 7, 8	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∪ {𝑍}) ∈ Fin)
10	4, 9	eqeltrid 2833	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Fin)
11	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ Fin)
12		sge0hsphoire.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶:ℕ⟶(ℝ ↑m 𝑊))
13	12	ffvelcdmda 7059	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐶‘𝑗) ∈ (ℝ ↑m 𝑊))
14		elmapi 8825	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶‘𝑗) ∈ (ℝ ↑m 𝑊) → (𝐶‘𝑗):𝑊⟶ℝ)
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐶‘𝑗):𝑊⟶ℝ)
16		sge0hsphoire.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑊) ↦ (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ if(𝑗 ∈ 𝑌, (𝑐‘𝑗), if((𝑐‘𝑗) ≤ 𝑥, (𝑐‘𝑗), 𝑥)))))
17		eleq1w 2812	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = ℎ → (𝑗 ∈ 𝑌 ↔ ℎ ∈ 𝑌))
18		fveq2 6861	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = ℎ → (𝑐‘𝑗) = (𝑐‘ℎ))
19	18	breq1d 5120	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = ℎ → ((𝑐‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ (𝑐‘ℎ) ≤ 𝑥))
20	19, 18	ifbieq1d 4516	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = ℎ → if((𝑐‘𝑗) ≤ 𝑥, (𝑐‘𝑗), 𝑥) = if((𝑐‘ℎ) ≤ 𝑥, (𝑐‘ℎ), 𝑥))
21	17, 18, 20	ifbieq12d 4520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = ℎ → if(𝑗 ∈ 𝑌, (𝑐‘𝑗), if((𝑐‘𝑗) ≤ 𝑥, (𝑐‘𝑗), 𝑥)) = if(ℎ ∈ 𝑌, (𝑐‘ℎ), if((𝑐‘ℎ) ≤ 𝑥, (𝑐‘ℎ), 𝑥)))
22	21	cbvmptv 5214	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ if(𝑗 ∈ 𝑌, (𝑐‘𝑗), if((𝑐‘𝑗) ≤ 𝑥, (𝑐‘𝑗), 𝑥))) = (ℎ ∈ 𝑊 ↦ if(ℎ ∈ 𝑌, (𝑐‘ℎ), if((𝑐‘ℎ) ≤ 𝑥, (𝑐‘ℎ), 𝑥)))
23	22	mpteq2i 5206	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑊) ↦ (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ if(𝑗 ∈ 𝑌, (𝑐‘𝑗), if((𝑐‘𝑗) ≤ 𝑥, (𝑐‘𝑗), 𝑥)))) = (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑊) ↦ (ℎ ∈ 𝑊 ↦ if(ℎ ∈ 𝑌, (𝑐‘ℎ), if((𝑐‘ℎ) ≤ 𝑥, (𝑐‘ℎ), 𝑥))))
24	23	mpteq2i 5206	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑊) ↦ (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ if(𝑗 ∈ 𝑌, (𝑐‘𝑗), if((𝑐‘𝑗) ≤ 𝑥, (𝑐‘𝑗), 𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑊) ↦ (ℎ ∈ 𝑊 ↦ if(ℎ ∈ 𝑌, (𝑐‘ℎ), if((𝑐‘ℎ) ≤ 𝑥, (𝑐‘ℎ), 𝑥)))))
25	16, 24	eqtri 2753	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑊) ↦ (ℎ ∈ 𝑊 ↦ if(ℎ ∈ 𝑌, (𝑐‘ℎ), if((𝑐‘ℎ) ≤ 𝑥, (𝑐‘ℎ), 𝑥)))))
26		sge0hsphoire.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
27	26	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑆 ∈ ℝ)
28		sge0hsphoire.d	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷:ℕ⟶(ℝ ↑m 𝑊))
29	28	ffvelcdmda 7059	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐷‘𝑗) ∈ (ℝ ↑m 𝑊))
30		elmapi 8825	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷‘𝑗) ∈ (ℝ ↑m 𝑊) → (𝐷‘𝑗):𝑊⟶ℝ)
31	29, 30	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐷‘𝑗):𝑊⟶ℝ)
32	25, 27, 11, 31	hsphoif 46581	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗)):𝑊⟶ℝ)
33	3, 11, 15, 32	hoidmvcl 46587	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗))) ∈ (0[,)+∞))
34		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗)))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗))))
35	33, 34	fmptd 7089	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗)))):ℕ⟶(0[,)+∞))
36		icossicc 13404	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
37	36	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞))
38	35, 37	fssd 6708	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗)))):ℕ⟶(0[,]+∞))
39	2, 38	sge0cl 46386	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗))))) ∈ (0[,]+∞))
40	2, 38	sge0xrcl 46390	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗))))) ∈ ℝ*)
41		pnfxr 11235	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
42	41	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
43		sge0hsphoire.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)(𝐷‘𝑗)))) ∈ ℝ)
44	43	rexrd 11231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)(𝐷‘𝑗)))) ∈ ℝ*)
45		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
46	36, 33	sselid 3947	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗))) ∈ (0[,]+∞))
47	3, 11, 15, 31	hoidmvcl 46587	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)(𝐷‘𝑗)) ∈ (0[,)+∞))
48	36, 47	sselid 3947	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)(𝐷‘𝑗)) ∈ (0[,]+∞))
49		sge0hsphoire.z	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑊 ∖ 𝑌))
50	49	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑍 ∈ (𝑊 ∖ 𝑌))
51	3, 11, 50, 4, 27, 25, 15, 31	hsphoidmvle 46591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗))) ≤ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)(𝐷‘𝑗)))
52	45, 2, 46, 48, 51	sge0lempt 46415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗))))) ≤ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)(𝐷‘𝑗)))))
53	43	ltpnfd 13088	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)(𝐷‘𝑗)))) < +∞)
54	40, 44, 42, 52, 53	xrlelttrd 13127	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗))))) < +∞)
55	40, 42, 54	xrltned 45360	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗))))) ≠ +∞)
56		ge0xrre 45536	. 2 ⊢ (((Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗))))) ∈ (0[,]+∞) ∧ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗))))) ≠ +∞) → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗))))) ∈ ℝ)
57	39, 55, 56	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗))))) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  Vcvv 3450   ∖ cdif 3914   ∪ cun 3915   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299  ifcif 4491  {csn 4592   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ∈ cmpo 7392   ↑_m cmap 8802  Fincfn 8921  ℝcr 11074  0cc0 11075  +∞cpnf 11212  ℝ^*cxr 11214   ≤ cle 11216  ℕcn 12193  [,)cico 13315  [,]cicc 13316  ∏cprod 15876  volcvol 25371  Σ^{^}csumge0 46367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13317  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-sum 15660  df-prod 15877  df-rest 17392  df-topgen 17413  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-top 22788  df-topon 22805  df-bases 22840  df-cmp 23281  df-ovol 25372  df-vol 25373  df-sumge0 46368

This theorem is referenced by:  hoidmvlelem1  46600  hoidmvlelem2  46601