Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0hsphoire Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0hsphoire 44950
Description: If the generalized sum of dimensional volumes of n-dimensional half-open intervals is finite, then the sum stays finite if every half-open interval is intersected with a half-space. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0hsphoire.l 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
sge0hsphoire.f (𝜑𝑌 ∈ Fin)
sge0hsphoire.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑊𝑌))
sge0hsphoire.w 𝑊 = (𝑌 ∪ {𝑍})
sge0hsphoire.c (𝜑𝐶:ℕ⟶(ℝ ↑m 𝑊))
sge0hsphoire.d (𝜑𝐷:ℕ⟶(ℝ ↑m 𝑊))
sge0hsphoire.r (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶𝑗)(𝐿𝑊)(𝐷𝑗)))) ∈ ℝ)
sge0hsphoire.h 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑊) ↦ (𝑗𝑊 ↦ if(𝑗𝑌, (𝑐𝑗), if((𝑐𝑗) ≤ 𝑥, (𝑐𝑗), 𝑥)))))
sge0hsphoire.s (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
sge0hsphoire (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶𝑗)(𝐿𝑊)((𝐻𝑆)‘(𝐷𝑗))))) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝐶,𝑎,𝑏,𝑘   𝐷,𝑎,𝑏,𝑘   𝐷,𝑐,𝑘   𝐻,𝑎,𝑏,𝑘   𝑆,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝑆,𝑐,𝑥   𝑊,𝑎,𝑏,𝑗,𝑘,𝑥   𝑊,𝑐,𝑗   𝑌,𝑐,𝑗,𝑥   𝑍,𝑐,𝑘,𝑥   𝜑,𝑎,𝑏,𝑗,𝑘,𝑥   𝜑,𝑐
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑗,𝑐)   𝐷(𝑥,𝑗)   𝑆(𝑗)   𝐻(𝑥,𝑗,𝑐)   𝐿(𝑥,𝑗,𝑘,𝑎,𝑏,𝑐)   𝑌(𝑘,𝑎,𝑏)   𝑍(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem sge0hsphoire
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnex 12168 . . . 4 ℕ ∈ V
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℕ ∈ V)
3 sge0hsphoire.l . . . . . 6 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
4 sge0hsphoire.w . . . . . . . 8 𝑊 = (𝑌 ∪ {𝑍})
5 sge0hsphoire.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ Fin)
6 snfi 8995 . . . . . . . . . 10 {𝑍} ∈ Fin
76a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝑍} ∈ Fin)
8 unfi 9123 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ∈ Fin ∧ {𝑍} ∈ Fin) → (𝑌 ∪ {𝑍}) ∈ Fin)
95, 7, 8syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑌 ∪ {𝑍}) ∈ Fin)
104, 9eqeltrid 2836 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ Fin)
1110adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ Fin)
12 sge0hsphoire.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶:ℕ⟶(ℝ ↑m 𝑊))
1312ffvelcdmda 7040 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐶𝑗) ∈ (ℝ ↑m 𝑊))
14 elmapi 8794 . . . . . . 7 ((𝐶𝑗) ∈ (ℝ ↑m 𝑊) → (𝐶𝑗):𝑊⟶ℝ)
1513, 14syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐶𝑗):𝑊⟶ℝ)
16 sge0hsphoire.h . . . . . . . 8 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑊) ↦ (𝑗𝑊 ↦ if(𝑗𝑌, (𝑐𝑗), if((𝑐𝑗) ≤ 𝑥, (𝑐𝑗), 𝑥)))))
17 eleq1w 2815 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = → (𝑗𝑌𝑌))
18 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = → (𝑐𝑗) = (𝑐))
1918breq1d 5120 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = → ((𝑐𝑗) ≤ 𝑥 ↔ (𝑐) ≤ 𝑥))
2019, 18ifbieq1d 4515 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = → if((𝑐𝑗) ≤ 𝑥, (𝑐𝑗), 𝑥) = if((𝑐) ≤ 𝑥, (𝑐), 𝑥))
2117, 18, 20ifbieq12d 4519 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = → if(𝑗𝑌, (𝑐𝑗), if((𝑐𝑗) ≤ 𝑥, (𝑐𝑗), 𝑥)) = if(𝑌, (𝑐), if((𝑐) ≤ 𝑥, (𝑐), 𝑥)))
2221cbvmptv 5223 . . . . . . . . . 10 (𝑗𝑊 ↦ if(𝑗𝑌, (𝑐𝑗), if((𝑐𝑗) ≤ 𝑥, (𝑐𝑗), 𝑥))) = (𝑊 ↦ if(𝑌, (𝑐), if((𝑐) ≤ 𝑥, (𝑐), 𝑥)))
2322mpteq2i 5215 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑊) ↦ (𝑗𝑊 ↦ if(𝑗𝑌, (𝑐𝑗), if((𝑐𝑗) ≤ 𝑥, (𝑐𝑗), 𝑥)))) = (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑊) ↦ (𝑊 ↦ if(𝑌, (𝑐), if((𝑐) ≤ 𝑥, (𝑐), 𝑥))))
2423mpteq2i 5215 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑊) ↦ (𝑗𝑊 ↦ if(𝑗𝑌, (𝑐𝑗), if((𝑐𝑗) ≤ 𝑥, (𝑐𝑗), 𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑊) ↦ (𝑊 ↦ if(𝑌, (𝑐), if((𝑐) ≤ 𝑥, (𝑐), 𝑥)))))
2516, 24eqtri 2759 . . . . . . 7 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑊) ↦ (𝑊 ↦ if(𝑌, (𝑐), if((𝑐) ≤ 𝑥, (𝑐), 𝑥)))))
26 sge0hsphoire.s . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
2726adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝑆 ∈ ℝ)
28 sge0hsphoire.d . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷:ℕ⟶(ℝ ↑m 𝑊))
2928ffvelcdmda 7040 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐷𝑗) ∈ (ℝ ↑m 𝑊))
30 elmapi 8794 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑗) ∈ (ℝ ↑m 𝑊) → (𝐷𝑗):𝑊⟶ℝ)
3129, 30syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐷𝑗):𝑊⟶ℝ)
3225, 27, 11, 31hsphoif 44937 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐻𝑆)‘(𝐷𝑗)):𝑊⟶ℝ)
333, 11, 15, 32hoidmvcl 44943 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐶𝑗)(𝐿𝑊)((𝐻𝑆)‘(𝐷𝑗))) ∈ (0[,)+∞))
34 eqid 2731 . . . . 5 (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶𝑗)(𝐿𝑊)((𝐻𝑆)‘(𝐷𝑗)))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶𝑗)(𝐿𝑊)((𝐻𝑆)‘(𝐷𝑗))))
3533, 34fmptd 7067 . . . 4 (𝜑 → (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶𝑗)(𝐿𝑊)((𝐻𝑆)‘(𝐷𝑗)))):ℕ⟶(0[,)+∞))
36 icossicc 13363 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
3736a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞))
3835, 37fssd 6691 . . 3 (𝜑 → (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶𝑗)(𝐿𝑊)((𝐻𝑆)‘(𝐷𝑗)))):ℕ⟶(0[,]+∞))
392, 38sge0cl 44742 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶𝑗)(𝐿𝑊)((𝐻𝑆)‘(𝐷𝑗))))) ∈ (0[,]+∞))
402, 38sge0xrcl 44746 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶𝑗)(𝐿𝑊)((𝐻𝑆)‘(𝐷𝑗))))) ∈ ℝ*)
41 pnfxr 11218 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
4241a1i 11 . . 3 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
43 sge0hsphoire.r . . . . 5 (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶𝑗)(𝐿𝑊)(𝐷𝑗)))) ∈ ℝ)
4443rexrd 11214 . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶𝑗)(𝐿𝑊)(𝐷𝑗)))) ∈ ℝ*)
45 nfv 1917 . . . . 5 𝑗𝜑
4636, 33sselid 3945 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐶𝑗)(𝐿𝑊)((𝐻𝑆)‘(𝐷𝑗))) ∈ (0[,]+∞))
473, 11, 15, 31hoidmvcl 44943 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐶𝑗)(𝐿𝑊)(𝐷𝑗)) ∈ (0[,)+∞))
4836, 47sselid 3945 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐶𝑗)(𝐿𝑊)(𝐷𝑗)) ∈ (0[,]+∞))
49 sge0hsphoire.z . . . . . . 7 (𝜑𝑍 ∈ (𝑊𝑌))
5049adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝑍 ∈ (𝑊𝑌))
513, 11, 50, 4, 27, 25, 15, 31hsphoidmvle 44947 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐶𝑗)(𝐿𝑊)((𝐻𝑆)‘(𝐷𝑗))) ≤ ((𝐶𝑗)(𝐿𝑊)(𝐷𝑗)))
5245, 2, 46, 48, 51sge0lempt 44771 . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶𝑗)(𝐿𝑊)((𝐻𝑆)‘(𝐷𝑗))))) ≤ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶𝑗)(𝐿𝑊)(𝐷𝑗)))))
5343ltpnfd 13051 . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶𝑗)(𝐿𝑊)(𝐷𝑗)))) < +∞)
5440, 44, 42, 52, 53xrlelttrd 13089 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶𝑗)(𝐿𝑊)((𝐻𝑆)‘(𝐷𝑗))))) < +∞)
5540, 42, 54xrltned 43712 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶𝑗)(𝐿𝑊)((𝐻𝑆)‘(𝐷𝑗))))) ≠ +∞)
56 ge0xrre 43889 . 2 (((Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶𝑗)(𝐿𝑊)((𝐻𝑆)‘(𝐷𝑗))))) ∈ (0[,]+∞) ∧ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶𝑗)(𝐿𝑊)((𝐻𝑆)‘(𝐷𝑗))))) ≠ +∞) → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶𝑗)(𝐿𝑊)((𝐻𝑆)‘(𝐷𝑗))))) ∈ ℝ)
5739, 55, 56syl2anc 584 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶𝑗)(𝐿𝑊)((𝐻𝑆)‘(𝐷𝑗))))) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2939  Vcvv 3446  cdif 3910  cun 3911  wss 3913  c0 4287  ifcif 4491  {csn 4591   class class class wbr 5110  cmpt 5193  wf 6497  cfv 6501  (class class class)co 7362  cmpo 7364  m cmap 8772  Fincfn 8890  cr 11059  0cc0 11060  +∞cpnf 11195  *cxr 11197  cle 11199  cn 12162  [,)cico 13276  [,]cicc 13277  cprod 15799  volcvol 24864  Σ^csumge0 44723
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9586  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137  ax-pre-sup 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fi 9356  df-sup 9387  df-inf 9388  df-oi 9455  df-dju 9846  df-card 9884  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-div 11822  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12423  df-z 12509  df-uz 12773  df-q 12883  df-rp 12925  df-xneg 13042  df-xadd 13043  df-xmul 13044  df-ioo 13278  df-ico 13280  df-icc 13281  df-fz 13435  df-fzo 13578  df-fl 13707  df-seq 13917  df-exp 13978  df-hash 14241  df-cj 14996  df-re 14997  df-im 14998  df-sqrt 15132  df-abs 15133  df-clim 15382  df-rlim 15383  df-sum 15583  df-prod 15800  df-rest 17318  df-topgen 17339  df-psmet 20825  df-xmet 20826  df-met 20827  df-bl 20828  df-mopn 20829  df-top 22280  df-topon 22297  df-bases 22333  df-cmp 22775  df-ovol 24865  df-vol 24866  df-sumge0 44724
This theorem is referenced by:  hoidmvlelem1  44956  hoidmvlelem2  44957
  Copyright terms: Public domain W3C validator