Theorem sge0hsphoire 47017

Description: If the generalized sum of dimensional volumes of n-dimensional half-open intervals is finite, then the sum stays finite if every half-open interval is intersected with a half-space. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0hsphoire.l	⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
sge0hsphoire.f	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Fin)
sge0hsphoire.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑊 ∖ 𝑌))
sge0hsphoire.w	⊢ 𝑊 = (𝑌 ∪ {𝑍})
sge0hsphoire.c	⊢ (𝜑 → 𝐶:ℕ⟶(ℝ ↑m 𝑊))
sge0hsphoire.d	⊢ (𝜑 → 𝐷:ℕ⟶(ℝ ↑m 𝑊))
sge0hsphoire.r	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)(𝐷‘𝑗)))) ∈ ℝ)
sge0hsphoire.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑊) ↦ (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ if(𝑗 ∈ 𝑌, (𝑐‘𝑗), if((𝑐‘𝑗) ≤ 𝑥, (𝑐‘𝑗), 𝑥)))))
sge0hsphoire.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
sge0hsphoire	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗))))) ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝐶,𝑎,𝑏,𝑘   𝐷,𝑎,𝑏,𝑘   𝐷,𝑐,𝑘   𝐻,𝑎,𝑏,𝑘   𝑆,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝑆,𝑐,𝑥   𝑊,𝑎,𝑏,𝑗,𝑘,𝑥   𝑊,𝑐,𝑗   𝑌,𝑐,𝑗,𝑥   𝑍,𝑐,𝑘,𝑥   𝜑,𝑎,𝑏,𝑗,𝑘,𝑥   𝜑,𝑐

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑗,𝑐)   𝐷(𝑥,𝑗)   𝑆(𝑗)   𝐻(𝑥,𝑗,𝑐)   𝐿(𝑥,𝑗,𝑘,𝑎,𝑏,𝑐)   𝑌(𝑘,𝑎,𝑏)   𝑍(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem sge0hsphoire

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 12180	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℕ ∈ V)
3		sge0hsphoire.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
4		sge0hsphoire.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = (𝑌 ∪ {𝑍})
5		sge0hsphoire.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Fin)
6		snfi 8990	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑍} ∈ Fin
7	6	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑍} ∈ Fin)
8		unfi 9105	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ Fin ∧ {𝑍} ∈ Fin) → (𝑌 ∪ {𝑍}) ∈ Fin)
9	5, 7, 8	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∪ {𝑍}) ∈ Fin)
10	4, 9	eqeltrid 2840	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Fin)
11	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ Fin)
12		sge0hsphoire.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶:ℕ⟶(ℝ ↑m 𝑊))
13	12	ffvelcdmda 7036	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐶‘𝑗) ∈ (ℝ ↑m 𝑊))
14		elmapi 8796	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶‘𝑗) ∈ (ℝ ↑m 𝑊) → (𝐶‘𝑗):𝑊⟶ℝ)
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐶‘𝑗):𝑊⟶ℝ)
16		sge0hsphoire.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑊) ↦ (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ if(𝑗 ∈ 𝑌, (𝑐‘𝑗), if((𝑐‘𝑗) ≤ 𝑥, (𝑐‘𝑗), 𝑥)))))
17		eleq1w 2819	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = ℎ → (𝑗 ∈ 𝑌 ↔ ℎ ∈ 𝑌))
18		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = ℎ → (𝑐‘𝑗) = (𝑐‘ℎ))
19	18	breq1d 5095	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = ℎ → ((𝑐‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ (𝑐‘ℎ) ≤ 𝑥))
20	19, 18	ifbieq1d 4491	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = ℎ → if((𝑐‘𝑗) ≤ 𝑥, (𝑐‘𝑗), 𝑥) = if((𝑐‘ℎ) ≤ 𝑥, (𝑐‘ℎ), 𝑥))
21	17, 18, 20	ifbieq12d 4495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = ℎ → if(𝑗 ∈ 𝑌, (𝑐‘𝑗), if((𝑐‘𝑗) ≤ 𝑥, (𝑐‘𝑗), 𝑥)) = if(ℎ ∈ 𝑌, (𝑐‘ℎ), if((𝑐‘ℎ) ≤ 𝑥, (𝑐‘ℎ), 𝑥)))
22	21	cbvmptv 5189	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ if(𝑗 ∈ 𝑌, (𝑐‘𝑗), if((𝑐‘𝑗) ≤ 𝑥, (𝑐‘𝑗), 𝑥))) = (ℎ ∈ 𝑊 ↦ if(ℎ ∈ 𝑌, (𝑐‘ℎ), if((𝑐‘ℎ) ≤ 𝑥, (𝑐‘ℎ), 𝑥)))
23	22	mpteq2i 5181	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑊) ↦ (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ if(𝑗 ∈ 𝑌, (𝑐‘𝑗), if((𝑐‘𝑗) ≤ 𝑥, (𝑐‘𝑗), 𝑥)))) = (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑊) ↦ (ℎ ∈ 𝑊 ↦ if(ℎ ∈ 𝑌, (𝑐‘ℎ), if((𝑐‘ℎ) ≤ 𝑥, (𝑐‘ℎ), 𝑥))))
24	23	mpteq2i 5181	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑊) ↦ (𝑗 ∈ 𝑊 ↦ if(𝑗 ∈ 𝑌, (𝑐‘𝑗), if((𝑐‘𝑗) ≤ 𝑥, (𝑐‘𝑗), 𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑊) ↦ (ℎ ∈ 𝑊 ↦ if(ℎ ∈ 𝑌, (𝑐‘ℎ), if((𝑐‘ℎ) ≤ 𝑥, (𝑐‘ℎ), 𝑥)))))
25	16, 24	eqtri 2759	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑊) ↦ (ℎ ∈ 𝑊 ↦ if(ℎ ∈ 𝑌, (𝑐‘ℎ), if((𝑐‘ℎ) ≤ 𝑥, (𝑐‘ℎ), 𝑥)))))
26		sge0hsphoire.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
27	26	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑆 ∈ ℝ)
28		sge0hsphoire.d	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷:ℕ⟶(ℝ ↑m 𝑊))
29	28	ffvelcdmda 7036	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐷‘𝑗) ∈ (ℝ ↑m 𝑊))
30		elmapi 8796	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷‘𝑗) ∈ (ℝ ↑m 𝑊) → (𝐷‘𝑗):𝑊⟶ℝ)
31	29, 30	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐷‘𝑗):𝑊⟶ℝ)
32	25, 27, 11, 31	hsphoif 47004	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗)):𝑊⟶ℝ)
33	3, 11, 15, 32	hoidmvcl 47010	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗))) ∈ (0[,)+∞))
34		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗)))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗))))
35	33, 34	fmptd 7066	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗)))):ℕ⟶(0[,)+∞))
36		icossicc 13389	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
37	36	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞))
38	35, 37	fssd 6685	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗)))):ℕ⟶(0[,]+∞))
39	2, 38	sge0cl 46809	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗))))) ∈ (0[,]+∞))
40	2, 38	sge0xrcl 46813	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗))))) ∈ ℝ*)
41		pnfxr 11199	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
42	41	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
43		sge0hsphoire.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)(𝐷‘𝑗)))) ∈ ℝ)
44	43	rexrd 11195	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)(𝐷‘𝑗)))) ∈ ℝ*)
45		nfv 1916	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
46	36, 33	sselid 3919	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗))) ∈ (0[,]+∞))
47	3, 11, 15, 31	hoidmvcl 47010	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)(𝐷‘𝑗)) ∈ (0[,)+∞))
48	36, 47	sselid 3919	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)(𝐷‘𝑗)) ∈ (0[,]+∞))
49		sge0hsphoire.z	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑊 ∖ 𝑌))
50	49	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑍 ∈ (𝑊 ∖ 𝑌))
51	3, 11, 50, 4, 27, 25, 15, 31	hsphoidmvle 47014	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗))) ≤ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)(𝐷‘𝑗)))
52	45, 2, 46, 48, 51	sge0lempt 46838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗))))) ≤ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)(𝐷‘𝑗)))))
53	43	ltpnfd 13072	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)(𝐷‘𝑗)))) < +∞)
54	40, 44, 42, 52, 53	xrlelttrd 13111	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗))))) < +∞)
55	40, 42, 54	xrltned 45787	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗))))) ≠ +∞)
56		ge0xrre 45961	. 2 ⊢ (((Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗))))) ∈ (0[,]+∞) ∧ (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗))))) ≠ +∞) → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗))))) ∈ ℝ)
57	39, 55, 56	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ((𝐶‘𝑗)(𝐿‘𝑊)((𝐻‘𝑆)‘(𝐷‘𝑗))))) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  Vcvv 3429   ∖ cdif 3886   ∪ cun 3887   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273  ifcif 4466  {csn 4567   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ∈ cmpo 7369   ↑_m cmap 8773  Fincfn 8893  ℝcr 11037  0cc0 11038  +∞cpnf 11176  ℝ^*cxr 11178   ≤ cle 11180  ℕcn 12174  [,)cico 13300  [,]cicc 13301  ∏cprod 15868  volcvol 25430  Σ^{^}csumge0 46790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ioo 13302  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15649  df-prod 15869  df-rest 17385  df-topgen 17406  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-top 22859  df-topon 22876  df-bases 22911  df-cmp 23352  df-ovol 25431  df-vol 25432  df-sumge0 46791

This theorem is referenced by:  hoidmvlelem1  47023  hoidmvlelem2  47024