Theorem ltdivgt1 45933

Description: Divsion by a number greater than 1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltdivgt1.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
ltdivgt1.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
ltdivgt1	⊢ (𝜑 → (1 < 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐵) < 𝐴))

Proof of Theorem ltdivgt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1rp 12998	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ+
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
3		ltdivgt1.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
4		ltdivgt1.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
5	2, 3, 4	ltdiv2d 13061	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 < 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐵) < (𝐴 / 1)))
6	4	rpcnd 13040	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
7	6	div1d 11960	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 1) = 𝐴)
8	7	breq2d 5113	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) < (𝐴 / 1) ↔ (𝐴 / 𝐵) < 𝐴))
9	5, 8	bitrd 281	1 ⊢ (𝜑 → (1 < 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐵) < 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5101  (class class class)co 7397  1c1 11075   < clt 11217   / cdiv 11845  ℝ⁺crp 12994

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-id 5543  df-po 5556  df-so 5557  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-er 8679  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-div 11846  df-rp 12995

This theorem is referenced by:  hoidmvlelem3  47172