Theorem nnsplit 46189

Description: Express the set of positive integers as the disjoint (see nnuzdisj 46186) union of the first 𝑁 values and the rest. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnsplit	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ℕ = ((1...𝑁) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))

Proof of Theorem nnsplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12927	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ℕ = (ℤ≥‘1))
3		peano2nn 12270	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
4	3, 1	eleqtrdi 2870	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
5		uzsplit 13652	. . 3 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘1) → (ℤ≥‘1) = ((1...((𝑁 + 1) − 1)) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
6	4, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ℤ≥‘1) = ((1...((𝑁 + 1) − 1)) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
7		nncn 12266	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
8		1cnd 11227	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
9	7, 8	pncand 11595	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
10	9	oveq2d 7430	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1...((𝑁 + 1) − 1)) = (1...𝑁))
11	10	uneq1d 4114	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1...((𝑁 + 1) − 1)) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = ((1...𝑁) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
12	2, 6, 11	3eqtrd 2799	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ℕ = ((1...𝑁) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3897  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  1c1 11126   + caddc 11128   − cmin 11466  ℕcn 12258  ℤ_≥cuz 12888  ...cfz 13562

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-fz 13563

This theorem is used by:  hoidmvlelem2  47425