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Theorem hoidmv1lelem1 45884
Description: The supremum of π‘ˆ belongs to π‘ˆ. This is the last part of step (a) and the whole step (b) in the proof of Lemma 114B of [Fremlin1] p. 23. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoidmv1lelem1.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
hoidmv1lelem1.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
hoidmv1lelem1.l (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
hoidmv1lelem1.c (πœ‘ β†’ 𝐢:β„•βŸΆβ„)
hoidmv1lelem1.d (πœ‘ β†’ 𝐷:β„•βŸΆβ„)
hoidmv1lelem1.r (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)(π·β€˜π‘—))))) ∈ ℝ)
hoidmv1lelem1.u π‘ˆ = {𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∣ (𝑧 βˆ’ 𝐴) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧)))))}
hoidmv1lelem1.s 𝑆 = sup(π‘ˆ, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
hoidmv1lelem1 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ 𝑦 ≀ π‘₯))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑧   𝑦,𝐴   π‘₯,𝐡,𝑦   𝑧,𝐡   𝑧,𝐢   𝑧,𝐷   𝑆,𝑗,𝑧   π‘ˆ,𝑗,𝑧   π‘₯,π‘ˆ,𝑦   πœ‘,𝑗,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦)   𝐴(π‘₯)   𝐡(𝑗)   𝐢(π‘₯,𝑦,𝑗)   𝐷(π‘₯,𝑦,𝑗)   𝑆(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem hoidmv1lelem1
StepHypRef Expression
1 hoidmv1lelem1.s . . . . . 6 𝑆 = sup(π‘ˆ, ℝ, < )
2 hoidmv1lelem1.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
3 hoidmv1lelem1.b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
4 hoidmv1lelem1.u . . . . . . . . 9 π‘ˆ = {𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∣ (𝑧 βˆ’ 𝐴) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧)))))}
5 ssrab2 4072 . . . . . . . . 9 {𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∣ (𝑧 βˆ’ 𝐴) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧)))))} βŠ† (𝐴[,]𝐡)
64, 5eqsstri 4011 . . . . . . . 8 π‘ˆ βŠ† (𝐴[,]𝐡)
76a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† (𝐴[,]𝐡))
82rexrd 11268 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
93rexrd 11268 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
10 hoidmv1lelem1.l . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
112, 3, 10ltled 11366 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
12 lbicc2 13447 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
138, 9, 11, 12syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
142recnd 11246 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
1514subidd 11563 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐴) = 0)
16 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘—πœ‘
17 nnex 12222 . . . . . . . . . . . . . 14 β„• ∈ V
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ β„• ∈ V)
19 volf 25413 . . . . . . . . . . . . . . 15 vol:dom vol⟢(0[,]+∞)
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ vol:dom vol⟢(0[,]+∞))
21 hoidmv1lelem1.c . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐢:β„•βŸΆβ„)
2221ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΆβ€˜π‘—) ∈ ℝ)
23 hoidmv1lelem1.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐷:β„•βŸΆβ„)
2423ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜π‘—) ∈ ℝ)
252adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2624, 25ifcld 4569 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝐴, (π·β€˜π‘—), 𝐴) ∈ ℝ)
2726rexrd 11268 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝐴, (π·β€˜π‘—), 𝐴) ∈ ℝ*)
28 icombl 25448 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πΆβ€˜π‘—) ∈ ℝ ∧ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝐴, (π·β€˜π‘—), 𝐴) ∈ ℝ*) β†’ ((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝐴, (π·β€˜π‘—), 𝐴)) ∈ dom vol)
2922, 27, 28syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝐴, (π·β€˜π‘—), 𝐴)) ∈ dom vol)
3020, 29ffvelcdmd 7081 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝐴, (π·β€˜π‘—), 𝐴))) ∈ (0[,]+∞))
3116, 18, 30sge0ge0mpt 45731 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝐴, (π·β€˜π‘—), 𝐴))))))
3215, 31eqbrtrd 5163 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐴) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝐴, (π·β€˜π‘—), 𝐴))))))
3313, 32jca 511 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐴) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝐴, (π·β€˜π‘—), 𝐴)))))))
34 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝐴 β†’ (𝑧 βˆ’ 𝐴) = (𝐴 βˆ’ 𝐴))
35 breq2 5145 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = 𝐴 β†’ ((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧 ↔ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝐴))
36 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = 𝐴 β†’ 𝑧 = 𝐴)
3735, 36ifbieq2d 4549 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 𝐴 β†’ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧) = if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝐴, (π·β€˜π‘—), 𝐴))
3837oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝐴 β†’ ((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧)) = ((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝐴, (π·β€˜π‘—), 𝐴)))
3938fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝐴 β†’ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧))) = (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝐴, (π·β€˜π‘—), 𝐴))))
4039mpteq2dv 5243 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝐴 β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧)))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝐴, (π·β€˜π‘—), 𝐴)))))
4140fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝐴 β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧))))) = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝐴, (π·β€˜π‘—), 𝐴))))))
4234, 41breq12d 5154 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝐴 β†’ ((𝑧 βˆ’ 𝐴) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧))))) ↔ (𝐴 βˆ’ 𝐴) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝐴, (π·β€˜π‘—), 𝐴)))))))
4342elrab 3678 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ {𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∣ (𝑧 βˆ’ 𝐴) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧)))))} ↔ (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐴) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝐴, (π·β€˜π‘—), 𝐴)))))))
4433, 43sylibr 233 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ {𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∣ (𝑧 βˆ’ 𝐴) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧)))))})
4544, 4eleqtrrdi 2838 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
4645ne0d 4330 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  βˆ…)
472, 3, 7, 46supicc 13484 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ sup(π‘ˆ, ℝ, < ) ∈ (𝐴[,]𝐡))
481, 47eqeltrid 2831 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (𝐴[,]𝐡))
491a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 = sup(π‘ˆ, ℝ, < ))
50 nfv 1909 . . . . . . . . 9 β„²π‘§πœ‘
512, 3iccssred 13417 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
527, 51sstrd 3987 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† ℝ)
5352sselda 3977 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
54 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ⅎ𝑗(πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ)
5517a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ β„• ∈ V)
5619a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ vol:dom vol⟢(0[,]+∞))
5722adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΆβ€˜π‘—) ∈ ℝ)
5824adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜π‘—) ∈ ℝ)
5953adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
6058, 59ifcld 4569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧) ∈ ℝ)
6160rexrd 11268 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧) ∈ ℝ*)
62 icombl 25448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πΆβ€˜π‘—) ∈ ℝ ∧ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧) ∈ ℝ*) β†’ ((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧)) ∈ dom vol)
6357, 61, 62syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧)) ∈ dom vol)
6456, 63ffvelcdmd 7081 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧))) ∈ (0[,]+∞))
6554, 55, 64sge0xrclmpt 45721 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧))))) ∈ ℝ*)
66 pnfxr 11272 . . . . . . . . . . . . . . . 16 +∞ ∈ ℝ*
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
68 hoidmv1lelem1.r . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)(π·β€˜π‘—))))) ∈ ℝ)
6968rexrd 11268 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)(π·β€˜π‘—))))) ∈ ℝ*)
7069adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)(π·β€˜π‘—))))) ∈ ℝ*)
7124rexrd 11268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜π‘—) ∈ ℝ*)
72 icombl 25448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πΆβ€˜π‘—) ∈ ℝ ∧ (π·β€˜π‘—) ∈ ℝ*) β†’ ((πΆβ€˜π‘—)[,)(π·β€˜π‘—)) ∈ dom vol)
7322, 71, 72syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((πΆβ€˜π‘—)[,)(π·β€˜π‘—)) ∈ dom vol)
7420, 73ffvelcdmd 7081 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)(π·β€˜π‘—))) ∈ (0[,]+∞))
7574adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)(π·β€˜π‘—))) ∈ (0[,]+∞))
7673adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((πΆβ€˜π‘—)[,)(π·β€˜π‘—)) ∈ dom vol)
7722rexrd 11268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΆβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
7877adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΆβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
7971adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜π‘—) ∈ ℝ*)
8022leidd 11784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΆβ€˜π‘—) ≀ (πΆβ€˜π‘—))
8180adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΆβ€˜π‘—) ≀ (πΆβ€˜π‘—))
82 min1 13174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((π·β€˜π‘—) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧) ≀ (π·β€˜π‘—))
8358, 59, 82syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧) ≀ (π·β€˜π‘—))
84 icossico 13400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πΆβ€˜π‘—) ∈ ℝ* ∧ (π·β€˜π‘—) ∈ ℝ*) ∧ ((πΆβ€˜π‘—) ≀ (πΆβ€˜π‘—) ∧ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧) ≀ (π·β€˜π‘—))) β†’ ((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧)) βŠ† ((πΆβ€˜π‘—)[,)(π·β€˜π‘—)))
8578, 79, 81, 83, 84syl22anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧)) βŠ† ((πΆβ€˜π‘—)[,)(π·β€˜π‘—)))
86 volss 25417 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧)) ∈ dom vol ∧ ((πΆβ€˜π‘—)[,)(π·β€˜π‘—)) ∈ dom vol ∧ ((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧)) βŠ† ((πΆβ€˜π‘—)[,)(π·β€˜π‘—))) β†’ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧))) ≀ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)(π·β€˜π‘—))))
8763, 76, 85, 86syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧))) ≀ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)(π·β€˜π‘—))))
8854, 55, 64, 75, 87sge0lempt 45703 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧))))) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)(π·β€˜π‘—))))))
8968ltpnfd 13107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)(π·β€˜π‘—))))) < +∞)
9089adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)(π·β€˜π‘—))))) < +∞)
9165, 70, 67, 88, 90xrlelttrd 13145 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧))))) < +∞)
9265, 67, 91xrltned 44644 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧))))) β‰  +∞)
9392neneqd 2939 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ Β¬ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧))))) = +∞)
94 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧)))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧))))
9564, 94fmptd 7109 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧)))):β„•βŸΆ(0[,]+∞))
9655, 95sge0repnf 45679 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧))))) ∈ ℝ ↔ Β¬ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧))))) = +∞))
9793, 96mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧))))) ∈ ℝ)
982adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
9997, 98readdcld 11247 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧))))) + 𝐴) ∈ ℝ)
10051, 48sseldd 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
101100adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
10224, 101ifcld 4569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆) ∈ ℝ)
103102rexrd 11268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆) ∈ ℝ*)
104 icombl 25448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πΆβ€˜π‘—) ∈ ℝ ∧ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆) ∈ ℝ*) β†’ ((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆)) ∈ dom vol)
10522, 103, 104syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆)) ∈ dom vol)
10620, 105ffvelcdmd 7081 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))) ∈ (0[,]+∞))
10716, 18, 106sge0xrclmpt 45721 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))) ∈ ℝ*)
10866a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ +∞ ∈ ℝ*)
109 min1 13174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((π·β€˜π‘—) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆) ≀ (π·β€˜π‘—))
11024, 101, 109syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆) ≀ (π·β€˜π‘—))
111 icossico 13400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πΆβ€˜π‘—) ∈ ℝ* ∧ (π·β€˜π‘—) ∈ ℝ*) ∧ ((πΆβ€˜π‘—) ≀ (πΆβ€˜π‘—) ∧ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆) ≀ (π·β€˜π‘—))) β†’ ((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆)) βŠ† ((πΆβ€˜π‘—)[,)(π·β€˜π‘—)))
11277, 71, 80, 110, 111syl22anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆)) βŠ† ((πΆβ€˜π‘—)[,)(π·β€˜π‘—)))
113 volss 25417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆)) ∈ dom vol ∧ ((πΆβ€˜π‘—)[,)(π·β€˜π‘—)) ∈ dom vol ∧ ((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆)) βŠ† ((πΆβ€˜π‘—)[,)(π·β€˜π‘—))) β†’ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))) ≀ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)(π·β€˜π‘—))))
114105, 73, 112, 113syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))) ≀ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)(π·β€˜π‘—))))
11516, 18, 106, 74, 114sge0lempt 45703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)(π·β€˜π‘—))))))
116107, 69, 108, 115, 89xrlelttrd 13145 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))) < +∞)
117107, 108, 116xrltned 44644 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))) β‰  +∞)
118117neneqd 2939 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ Β¬ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))) = +∞)
119 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆)))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))
120106, 119fmptd 7109 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆)))):β„•βŸΆ(0[,]+∞))
12118, 120sge0repnf 45679 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))) ∈ ℝ ↔ Β¬ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))) = +∞))
122118, 121mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))) ∈ ℝ)
123122, 2readdcld 11247 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))) + 𝐴) ∈ ℝ)
124123adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))) + 𝐴) ∈ ℝ)
1254eleq2i 2819 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ π‘ˆ ↔ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∣ (𝑧 βˆ’ 𝐴) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧)))))})
126125biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ π‘ˆ β†’ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∣ (𝑧 βˆ’ 𝐴) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧)))))})
127126adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∣ (𝑧 βˆ’ 𝐴) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧)))))})
128 rabid 3446 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∣ (𝑧 βˆ’ 𝐴) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧)))))} ↔ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ (𝑧 βˆ’ 𝐴) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧)))))))
129127, 128sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ (𝑧 βˆ’ 𝐴) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧)))))))
130129simprd 495 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑧 βˆ’ 𝐴) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧))))))
13153, 98, 97lesubaddd 11815 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑧 βˆ’ 𝐴) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧))))) ↔ 𝑧 ≀ ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧))))) + 𝐴)))
132130, 131mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑧 ≀ ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧))))) + 𝐴))
133122adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))) ∈ ℝ)
134106adantlr 712 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))) ∈ (0[,]+∞))
135105adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆)) ∈ dom vol)
136103adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆) ∈ ℝ*)
13760adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧) β†’ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧) ∈ ℝ)
138 eqidd 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧) β†’ (π·β€˜π‘—) = (π·β€˜π‘—))
139 iftrue 4529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧 β†’ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧) = (π·β€˜π‘—))
140139adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧) β†’ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧) = (π·β€˜π‘—))
14158adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧) β†’ (π·β€˜π‘—) ∈ ℝ)
14259adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
143100ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧) β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
144 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧) β†’ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧)
14552adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ βŠ† ℝ)
14646adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ β‰  βˆ…)
1472, 3jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ))
148 iccsupr 13425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ π‘ˆ βŠ† (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘ˆ βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ 𝑦 ≀ π‘₯))
149147, 7, 45, 148syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ 𝑦 ≀ π‘₯))
150149simp3d 1141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ 𝑦 ≀ π‘₯)
151150adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ 𝑦 ≀ π‘₯)
152127, 125sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ)
153 suprub 12179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((π‘ˆ βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑧 ≀ sup(π‘ˆ, ℝ, < ))
154145, 146, 151, 152, 153syl31anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑧 ≀ sup(π‘ˆ, ℝ, < ))
155154, 1breqtrrdi 5183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑧 ≀ 𝑆)
156155ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧) β†’ 𝑧 ≀ 𝑆)
157141, 142, 143, 144, 156letrd 11375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧) β†’ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆)
158157iftrued 4531 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧) β†’ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆) = (π·β€˜π‘—))
159138, 140, 1583eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧) β†’ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧) = if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))
160137, 159eqled 11321 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧) β†’ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧) ≀ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))
16159adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ Β¬ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
16258adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ Β¬ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧) β†’ (π·β€˜π‘—) ∈ ℝ)
163 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ Β¬ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧) β†’ Β¬ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧)
164161, 162ltnled 11365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ Β¬ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧) β†’ (𝑧 < (π·β€˜π‘—) ↔ Β¬ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧))
165163, 164mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ Β¬ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧) β†’ 𝑧 < (π·β€˜π‘—))
166161, 162, 165ltled 11366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ Β¬ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧) β†’ 𝑧 ≀ (π·β€˜π‘—))
167166adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ Β¬ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧) ∧ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆) β†’ 𝑧 ≀ (π·β€˜π‘—))
168 iffalse 4532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Β¬ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧 β†’ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧) = 𝑧)
169168ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ Β¬ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧) ∧ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆) β†’ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧) = 𝑧)
170 iftrue 4529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆 β†’ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆) = (π·β€˜π‘—))
171170adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ Β¬ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧) ∧ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆) β†’ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆) = (π·β€˜π‘—))
172169, 171breq12d 5154 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ Β¬ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧) ∧ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆) β†’ (if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧) ≀ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆) ↔ 𝑧 ≀ (π·β€˜π‘—)))
173167, 172mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ Β¬ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧) ∧ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆) β†’ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧) ≀ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))
174155ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ Β¬ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧) ∧ Β¬ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆) β†’ 𝑧 ≀ 𝑆)
175168ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ Β¬ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧) ∧ Β¬ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆) β†’ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧) = 𝑧)
176 iffalse 4532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Β¬ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆 β†’ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆) = 𝑆)
177176adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ Β¬ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧) ∧ Β¬ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆) β†’ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆) = 𝑆)
178175, 177breq12d 5154 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ Β¬ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧) ∧ Β¬ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆) β†’ (if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧) ≀ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆) ↔ 𝑧 ≀ 𝑆))
179174, 178mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ Β¬ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧) ∧ Β¬ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆) β†’ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧) ≀ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))
180173, 179pm2.61dan 810 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ Β¬ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧) β†’ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧) ≀ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))
181160, 180pm2.61dan 810 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧) ≀ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))
182 icossico 13400 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πΆβ€˜π‘—) ∈ ℝ* ∧ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆) ∈ ℝ*) ∧ ((πΆβ€˜π‘—) ≀ (πΆβ€˜π‘—) ∧ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧) ≀ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))) β†’ ((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧)) βŠ† ((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆)))
18378, 136, 81, 181, 182syl22anc 836 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧)) βŠ† ((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆)))
184 volss 25417 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧)) ∈ dom vol ∧ ((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆)) ∈ dom vol ∧ ((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧)) βŠ† ((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))) β†’ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧))) ≀ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))
18563, 135, 183, 184syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧))) ≀ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))
18654, 55, 64, 134, 185sge0lempt 45703 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧))))) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))))
18797, 133, 98, 186leadd1dd 11832 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧))))) + 𝐴) ≀ ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))) + 𝐴))
18853, 99, 124, 132, 187letrd 11375 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑧 ≀ ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))) + 𝐴))
189188ex 412 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ π‘ˆ β†’ 𝑧 ≀ ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))) + 𝐴)))
19050, 189ralrimi 3248 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ π‘ˆ 𝑧 ≀ ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))) + 𝐴))
191 suprleub 12184 . . . . . . . . 9 (((π‘ˆ βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))) + 𝐴) ∈ ℝ) β†’ (sup(π‘ˆ, ℝ, < ) ≀ ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))) + 𝐴) ↔ βˆ€π‘§ ∈ π‘ˆ 𝑧 ≀ ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))) + 𝐴)))
19252, 46, 150, 123, 191syl31anc 1370 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (sup(π‘ˆ, ℝ, < ) ≀ ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))) + 𝐴) ↔ βˆ€π‘§ ∈ π‘ˆ 𝑧 ≀ ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))) + 𝐴)))
193190, 192mpbird 257 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ sup(π‘ˆ, ℝ, < ) ≀ ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))) + 𝐴))
19449, 193eqbrtrd 5163 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ≀ ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))) + 𝐴))
195100, 2, 122lesubaddd 11815 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑆 βˆ’ 𝐴) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))) ↔ 𝑆 ≀ ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))) + 𝐴)))
196194, 195mpbird 257 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑆 βˆ’ 𝐴) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))))
19748, 196jca 511 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ (𝑆 βˆ’ 𝐴) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆)))))))
198 oveq1 7412 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑆 β†’ (𝑧 βˆ’ 𝐴) = (𝑆 βˆ’ 𝐴))
199 breq2 5145 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑆 β†’ ((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧 ↔ (π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆))
200 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑆 β†’ 𝑧 = 𝑆)
201199, 200ifbieq2d 4549 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑆 β†’ if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧) = if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))
202201oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑆 β†’ ((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧)) = ((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆)))
203202fveq2d 6889 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑆 β†’ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧))) = (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))
204203mpteq2dv 5243 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑆 β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧)))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆)))))
205204fveq2d 6889 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑆 β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧))))) = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆))))))
206198, 205breq12d 5154 . . . . 5 (𝑧 = 𝑆 β†’ ((𝑧 βˆ’ 𝐴) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧))))) ↔ (𝑆 βˆ’ 𝐴) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆)))))))
207206elrab 3678 . . . 4 (𝑆 ∈ {𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∣ (𝑧 βˆ’ 𝐴) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧)))))} ↔ (𝑆 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ (𝑆 βˆ’ 𝐴) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑆, (π·β€˜π‘—), 𝑆)))))))
208197, 207sylibr 233 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∣ (𝑧 βˆ’ 𝐴) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((πΆβ€˜π‘—)[,)if((π·β€˜π‘—) ≀ 𝑧, (π·β€˜π‘—), 𝑧)))))})
209208, 4eleqtrrdi 2838 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘ˆ)
210209, 45, 1503jca 1125 1 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ 𝑦 ≀ π‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  {crab 3426  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  ifcif 4523   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5669  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  supcsup 9437  β„cr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115  +∞cpnf 11249  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  β„•cn 12216  [,)cico 13332  [,]cicc 13333  volcvol 25347  Ξ£^csumge0 45655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xadd 13099  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-xmet 21233  df-met 21234  df-ovol 25348  df-vol 25349  df-sumge0 45656
This theorem is referenced by:  hoidmv1lelem3  45886
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