Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | hoidmv1lelem1.s |
. . . . . 6
β’ π = sup(π, β, < ) |
2 | | hoidmv1lelem1.a |
. . . . . . 7
β’ (π β π΄ β β) |
3 | | hoidmv1lelem1.b |
. . . . . . 7
β’ (π β π΅ β β) |
4 | | hoidmv1lelem1.u |
. . . . . . . . 9
β’ π = {π§ β (π΄[,]π΅) β£ (π§ β π΄) β€
(Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§)))))} |
5 | | ssrab2 4043 |
. . . . . . . . 9
β’ {π§ β (π΄[,]π΅) β£ (π§ β π΄) β€
(Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§)))))} β (π΄[,]π΅) |
6 | 4, 5 | eqsstri 3982 |
. . . . . . . 8
β’ π β (π΄[,]π΅) |
7 | 6 | a1i 11 |
. . . . . . 7
β’ (π β π β (π΄[,]π΅)) |
8 | 2 | rexrd 11215 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β π΄ β
β*) |
9 | 3 | rexrd 11215 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β π΅ β
β*) |
10 | | hoidmv1lelem1.l |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β π΄ < π΅) |
11 | 2, 3, 10 | ltled 11313 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β π΄ β€ π΅) |
12 | | lbicc2 13392 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π΄ β β*
β§ π΅ β
β* β§ π΄
β€ π΅) β π΄ β (π΄[,]π΅)) |
13 | 8, 9, 11, 12 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β π΄ β (π΄[,]π΅)) |
14 | 2 | recnd 11193 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β π΄ β β) |
15 | 14 | subidd 11510 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β (π΄ β π΄) = 0) |
16 | | nfv 1918 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
β²ππ |
17 | | nnex 12169 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ β
β V |
18 | 17 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β β β
V) |
19 | | volf 24931 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ vol:dom
volβΆ(0[,]+β) |
20 | 19 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ π β β) β vol:dom
volβΆ(0[,]+β)) |
21 | | hoidmv1lelem1.c |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β πΆ:ββΆβ) |
22 | 21 | ffvelcdmda 7041 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π β β) β (πΆβπ) β β) |
23 | | hoidmv1lelem1.d |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β π·:ββΆβ) |
24 | 23 | ffvelcdmda 7041 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π β β) β (π·βπ) β β) |
25 | 2 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π β β) β π΄ β β) |
26 | 24, 25 | ifcld 4538 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π β β) β if((π·βπ) β€ π΄, (π·βπ), π΄) β β) |
27 | 26 | rexrd 11215 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π β β) β if((π·βπ) β€ π΄, (π·βπ), π΄) β
β*) |
28 | | icombl 24966 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((πΆβπ) β β β§ if((π·βπ) β€ π΄, (π·βπ), π΄) β β*) β ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π΄, (π·βπ), π΄)) β dom vol) |
29 | 22, 27, 28 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ π β β) β ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π΄, (π·βπ), π΄)) β dom vol) |
30 | 20, 29 | ffvelcdmd 7042 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β β) β (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π΄, (π·βπ), π΄))) β (0[,]+β)) |
31 | 16, 18, 30 | sge0ge0mpt 44781 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β 0 β€
(Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π΄, (π·βπ), π΄)))))) |
32 | 15, 31 | eqbrtrd 5133 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β (π΄ β π΄) β€
(Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π΄, (π·βπ), π΄)))))) |
33 | 13, 32 | jca 513 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β (π΄ β (π΄[,]π΅) β§ (π΄ β π΄) β€
(Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π΄, (π·βπ), π΄))))))) |
34 | | oveq1 7370 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π§ = π΄ β (π§ β π΄) = (π΄ β π΄)) |
35 | | breq2 5115 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π§ = π΄ β ((π·βπ) β€ π§ β (π·βπ) β€ π΄)) |
36 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π§ = π΄ β π§ = π΄) |
37 | 35, 36 | ifbieq2d 4518 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π§ = π΄ β if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§) = if((π·βπ) β€ π΄, (π·βπ), π΄)) |
38 | 37 | oveq2d 7379 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π§ = π΄ β ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§)) = ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π΄, (π·βπ), π΄))) |
39 | 38 | fveq2d 6852 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π§ = π΄ β (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§))) = (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π΄, (π·βπ), π΄)))) |
40 | 39 | mpteq2dv 5213 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π§ = π΄ β (π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§)))) = (π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π΄, (π·βπ), π΄))))) |
41 | 40 | fveq2d 6852 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π§ = π΄ β
(Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§))))) =
(Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π΄, (π·βπ), π΄)))))) |
42 | 34, 41 | breq12d 5124 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π§ = π΄ β ((π§ β π΄) β€
(Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§))))) β (π΄ β π΄) β€
(Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π΄, (π·βπ), π΄))))))) |
43 | 42 | elrab 3649 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π΄ β {π§ β (π΄[,]π΅) β£ (π§ β π΄) β€
(Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§)))))} β (π΄ β (π΄[,]π΅) β§ (π΄ β π΄) β€
(Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π΄, (π·βπ), π΄))))))) |
44 | 33, 43 | sylibr 233 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β π΄ β {π§ β (π΄[,]π΅) β£ (π§ β π΄) β€
(Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§)))))}) |
45 | 44, 4 | eleqtrrdi 2844 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π΄ β π) |
46 | 45 | ne0d 4301 |
. . . . . . 7
β’ (π β π β β
) |
47 | 2, 3, 7, 46 | supicc 13429 |
. . . . . 6
β’ (π β sup(π, β, < ) β (π΄[,]π΅)) |
48 | 1, 47 | eqeltrid 2837 |
. . . . 5
β’ (π β π β (π΄[,]π΅)) |
49 | 1 | a1i 11 |
. . . . . . 7
β’ (π β π = sup(π, β, < )) |
50 | | nfv 1918 |
. . . . . . . . 9
β’
β²π§π |
51 | 2, 3 | iccssred 13362 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β (π΄[,]π΅) β β) |
52 | 7, 51 | sstrd 3958 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β π β β) |
53 | 52 | sselda 3948 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π§ β π) β π§ β β) |
54 | | nfv 1918 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
β²π(π β§ π§ β π) |
55 | 17 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π§ β π) β β β V) |
56 | 19 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π§ β π) β§ π β β) β vol:dom
volβΆ(0[,]+β)) |
57 | 22 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π§ β π) β§ π β β) β (πΆβπ) β β) |
58 | 24 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (((π β§ π§ β π) β§ π β β) β (π·βπ) β β) |
59 | 53 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (((π β§ π§ β π) β§ π β β) β π§ β β) |
60 | 58, 59 | ifcld 4538 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β§ π§ β π) β§ π β β) β if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§) β β) |
61 | 60 | rexrd 11215 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π§ β π) β§ π β β) β if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§) β
β*) |
62 | | icombl 24966 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((πΆβπ) β β β§ if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§) β β*) β ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§)) β dom vol) |
63 | 57, 61, 62 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π§ β π) β§ π β β) β ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§)) β dom vol) |
64 | 56, 63 | ffvelcdmd 7042 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π§ β π) β§ π β β) β (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§))) β (0[,]+β)) |
65 | 54, 55, 64 | sge0xrclmpt 44771 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π§ β π) β
(Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§))))) β
β*) |
66 | | pnfxr 11219 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ +β
β β* |
67 | 66 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π§ β π) β +β β
β*) |
68 | | hoidmv1lelem1.r |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β
(Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)(π·βπ))))) β β) |
69 | 68 | rexrd 11215 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β
(Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)(π·βπ))))) β
β*) |
70 | 69 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π§ β π) β
(Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)(π·βπ))))) β
β*) |
71 | 24 | rexrd 11215 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β§ π β β) β (π·βπ) β
β*) |
72 | | icombl 24966 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (((πΆβπ) β β β§ (π·βπ) β β*) β ((πΆβπ)[,)(π·βπ)) β dom vol) |
73 | 22, 71, 72 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π β β) β ((πΆβπ)[,)(π·βπ)) β dom vol) |
74 | 20, 73 | ffvelcdmd 7042 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β β) β (volβ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) β (0[,]+β)) |
75 | 74 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π§ β π) β§ π β β) β (volβ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) β (0[,]+β)) |
76 | 73 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π§ β π) β§ π β β) β ((πΆβπ)[,)(π·βπ)) β dom vol) |
77 | 22 | rexrd 11215 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β§ π β β) β (πΆβπ) β
β*) |
78 | 77 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β§ π§ β π) β§ π β β) β (πΆβπ) β
β*) |
79 | 71 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β§ π§ β π) β§ π β β) β (π·βπ) β
β*) |
80 | 22 | leidd 11731 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β§ π β β) β (πΆβπ) β€ (πΆβπ)) |
81 | 80 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β§ π§ β π) β§ π β β) β (πΆβπ) β€ (πΆβπ)) |
82 | | min1 13119 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (((π·βπ) β β β§ π§ β β) β if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§) β€ (π·βπ)) |
83 | 58, 59, 82 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β§ π§ β π) β§ π β β) β if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§) β€ (π·βπ)) |
84 | | icossico 13345 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((((πΆβπ) β β* β§ (π·βπ) β β*) β§ ((πΆβπ) β€ (πΆβπ) β§ if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§) β€ (π·βπ))) β ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§)) β ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) |
85 | 78, 79, 81, 83, 84 | syl22anc 838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π§ β π) β§ π β β) β ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§)) β ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) |
86 | | volss 24935 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§)) β dom vol β§ ((πΆβπ)[,)(π·βπ)) β dom vol β§ ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§)) β ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) β (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§))) β€ (volβ((πΆβπ)[,)(π·βπ)))) |
87 | 63, 76, 85, 86 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π§ β π) β§ π β β) β (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§))) β€ (volβ((πΆβπ)[,)(π·βπ)))) |
88 | 54, 55, 64, 75, 87 | sge0lempt 44753 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π§ β π) β
(Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§))))) β€
(Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)(π·βπ)))))) |
89 | 68 | ltpnfd 13052 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β
(Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)(π·βπ))))) < +β) |
90 | 89 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π§ β π) β
(Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)(π·βπ))))) < +β) |
91 | 65, 70, 67, 88, 90 | xrlelttrd 13090 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π§ β π) β
(Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§))))) < +β) |
92 | 65, 67, 91 | xrltned 43694 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ π§ β π) β
(Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§))))) β +β) |
93 | 92 | neneqd 2945 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π§ β π) β Β¬
(Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§))))) = +β) |
94 | | eqid 2732 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β β β¦
(volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§)))) = (π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§)))) |
95 | 64, 94 | fmptd 7068 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ π§ β π) β (π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§)))):ββΆ(0[,]+β)) |
96 | 55, 95 | sge0repnf 44729 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π§ β π) β
((Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§))))) β β β Β¬
(Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§))))) = +β)) |
97 | 93, 96 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π§ β π) β
(Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§))))) β β) |
98 | 2 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π§ β π) β π΄ β β) |
99 | 97, 98 | readdcld 11194 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π§ β π) β
((Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§))))) + π΄) β β) |
100 | 51, 48 | sseldd 3949 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π β π β β) |
101 | 100 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β§ π β β) β π β β) |
102 | 24, 101 | ifcld 4538 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β§ π β β) β if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π) β β) |
103 | 102 | rexrd 11215 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π β β) β if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π) β
β*) |
104 | | icombl 24966 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((πΆβπ) β β β§ if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π) β β*) β ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π)) β dom vol) |
105 | 22, 103, 104 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β β) β ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π)) β dom vol) |
106 | 20, 105 | ffvelcdmd 7042 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π β β) β (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π))) β (0[,]+β)) |
107 | 16, 18, 106 | sge0xrclmpt 44771 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β
(Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π))))) β
β*) |
108 | 66 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β +β β
β*) |
109 | | min1 13119 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (((π·βπ) β β β§ π β β) β if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π) β€ (π·βπ)) |
110 | 24, 101, 109 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β§ π β β) β if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π) β€ (π·βπ)) |
111 | | icossico 13345 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((((πΆβπ) β β* β§ (π·βπ) β β*) β§ ((πΆβπ) β€ (πΆβπ) β§ if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π) β€ (π·βπ))) β ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π)) β ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) |
112 | 77, 71, 80, 110, 111 | syl22anc 838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π β β) β ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π)) β ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) |
113 | | volss 24935 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π)) β dom vol β§ ((πΆβπ)[,)(π·βπ)) β dom vol β§ ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π)) β ((πΆβπ)[,)(π·βπ))) β (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π))) β€ (volβ((πΆβπ)[,)(π·βπ)))) |
114 | 105, 73, 112, 113 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β β) β (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π))) β€ (volβ((πΆβπ)[,)(π·βπ)))) |
115 | 16, 18, 106, 74, 114 | sge0lempt 44753 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β
(Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π))))) β€
(Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)(π·βπ)))))) |
116 | 107, 69, 108, 115, 89 | xrlelttrd 13090 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β
(Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π))))) < +β) |
117 | 107, 108,
116 | xrltned 43694 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β
(Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π))))) β +β) |
118 | 117 | neneqd 2945 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β Β¬
(Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π))))) = +β) |
119 | | eqid 2732 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β β β¦
(volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π)))) = (π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π)))) |
120 | 106, 119 | fmptd 7068 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β (π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π)))):ββΆ(0[,]+β)) |
121 | 18, 120 | sge0repnf 44729 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β
((Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π))))) β β β Β¬
(Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π))))) = +β)) |
122 | 118, 121 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β
(Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π))))) β β) |
123 | 122, 2 | readdcld 11194 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β
((Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π))))) + π΄) β β) |
124 | 123 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π§ β π) β
((Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π))))) + π΄) β β) |
125 | 4 | eleq2i 2825 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π§ β π β π§ β {π§ β (π΄[,]π΅) β£ (π§ β π΄) β€
(Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§)))))}) |
126 | 125 | biimpi 215 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π§ β π β π§ β {π§ β (π΄[,]π΅) β£ (π§ β π΄) β€
(Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§)))))}) |
127 | 126 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ π§ β π) β π§ β {π§ β (π΄[,]π΅) β£ (π§ β π΄) β€
(Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§)))))}) |
128 | | rabid 3426 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π§ β {π§ β (π΄[,]π΅) β£ (π§ β π΄) β€
(Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§)))))} β (π§ β (π΄[,]π΅) β§ (π§ β π΄) β€
(Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§))))))) |
129 | 127, 128 | sylib 217 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π§ β π) β (π§ β (π΄[,]π΅) β§ (π§ β π΄) β€
(Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§))))))) |
130 | 129 | simprd 497 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π§ β π) β (π§ β π΄) β€
(Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§)))))) |
131 | 53, 98, 97 | lesubaddd 11762 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π§ β π) β ((π§ β π΄) β€
(Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§))))) β π§ β€
((Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§))))) + π΄))) |
132 | 130, 131 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π§ β π) β π§ β€
((Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§))))) + π΄)) |
133 | 122 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π§ β π) β
(Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π))))) β β) |
134 | 106 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π§ β π) β§ π β β) β (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π))) β (0[,]+β)) |
135 | 105 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ π§ β π) β§ π β β) β ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π)) β dom vol) |
136 | 103 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π§ β π) β§ π β β) β if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π) β
β*) |
137 | 60 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((((π β§ π§ β π) β§ π β β) β§ (π·βπ) β€ π§) β if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§) β β) |
138 | | eqidd 2733 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((((π β§ π§ β π) β§ π β β) β§ (π·βπ) β€ π§) β (π·βπ) = (π·βπ)) |
139 | | iftrue 4498 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π·βπ) β€ π§ β if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§) = (π·βπ)) |
140 | 139 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((((π β§ π§ β π) β§ π β β) β§ (π·βπ) β€ π§) β if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§) = (π·βπ)) |
141 | 58 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((((π β§ π§ β π) β§ π β β) β§ (π·βπ) β€ π§) β (π·βπ) β β) |
142 | 59 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((((π β§ π§ β π) β§ π β β) β§ (π·βπ) β€ π§) β π§ β β) |
143 | 100 | ad3antrrr 729 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((((π β§ π§ β π) β§ π β β) β§ (π·βπ) β€ π§) β π β β) |
144 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((((π β§ π§ β π) β§ π β β) β§ (π·βπ) β€ π§) β (π·βπ) β€ π§) |
145 | 52 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π β§ π§ β π) β π β β) |
146 | 46 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π β§ π§ β π) β π β β
) |
147 | 2, 3 | jca 513 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (π β (π΄ β β β§ π΅ β β)) |
148 | | iccsupr 13370 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (((π΄ β β β§ π΅ β β) β§ π β (π΄[,]π΅) β§ π΄ β π) β (π β β β§ π β β
β§ βπ₯ β β βπ¦ β π π¦ β€ π₯)) |
149 | 147, 7, 45, 148 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (π β (π β β β§ π β β
β§ βπ₯ β β βπ¦ β π π¦ β€ π₯)) |
150 | 149 | simp3d 1145 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π β βπ₯ β β βπ¦ β π π¦ β€ π₯) |
151 | 150 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π β§ π§ β π) β βπ₯ β β βπ¦ β π π¦ β€ π₯) |
152 | 127, 125 | sylibr 233 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π β§ π§ β π) β π§ β π) |
153 | | suprub 12126 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (((π β β β§ π β β
β§ βπ₯ β β βπ¦ β π π¦ β€ π₯) β§ π§ β π) β π§ β€ sup(π, β, < )) |
154 | 145, 146,
151, 152, 153 | syl31anc 1374 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π β§ π§ β π) β π§ β€ sup(π, β, < )) |
155 | 154, 1 | breqtrrdi 5153 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β§ π§ β π) β π§ β€ π) |
156 | 155 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((((π β§ π§ β π) β§ π β β) β§ (π·βπ) β€ π§) β π§ β€ π) |
157 | 141, 142,
143, 144, 156 | letrd 11322 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((((π β§ π§ β π) β§ π β β) β§ (π·βπ) β€ π§) β (π·βπ) β€ π) |
158 | 157 | iftrued 4500 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((((π β§ π§ β π) β§ π β β) β§ (π·βπ) β€ π§) β if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π) = (π·βπ)) |
159 | 138, 140,
158 | 3eqtr4d 2782 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((((π β§ π§ β π) β§ π β β) β§ (π·βπ) β€ π§) β if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§) = if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π)) |
160 | 137, 159 | eqled 11268 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((((π β§ π§ β π) β§ π β β) β§ (π·βπ) β€ π§) β if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§) β€ if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π)) |
161 | 59 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((((π β§ π§ β π) β§ π β β) β§ Β¬ (π·βπ) β€ π§) β π§ β β) |
162 | 58 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((((π β§ π§ β π) β§ π β β) β§ Β¬ (π·βπ) β€ π§) β (π·βπ) β β) |
163 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((((π β§ π§ β π) β§ π β β) β§ Β¬ (π·βπ) β€ π§) β Β¬ (π·βπ) β€ π§) |
164 | 161, 162 | ltnled 11312 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((((π β§ π§ β π) β§ π β β) β§ Β¬ (π·βπ) β€ π§) β (π§ < (π·βπ) β Β¬ (π·βπ) β€ π§)) |
165 | 163, 164 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((((π β§ π§ β π) β§ π β β) β§ Β¬ (π·βπ) β€ π§) β π§ < (π·βπ)) |
166 | 161, 162,
165 | ltled 11313 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((((π β§ π§ β π) β§ π β β) β§ Β¬ (π·βπ) β€ π§) β π§ β€ (π·βπ)) |
167 | 166 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’
(((((π β§ π§ β π) β§ π β β) β§ Β¬ (π·βπ) β€ π§) β§ (π·βπ) β€ π) β π§ β€ (π·βπ)) |
168 | | iffalse 4501 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (Β¬
(π·βπ) β€ π§ β if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§) = π§) |
169 | 168 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’
(((((π β§ π§ β π) β§ π β β) β§ Β¬ (π·βπ) β€ π§) β§ (π·βπ) β€ π) β if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§) = π§) |
170 | | iftrue 4498 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π·βπ) β€ π β if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π) = (π·βπ)) |
171 | 170 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’
(((((π β§ π§ β π) β§ π β β) β§ Β¬ (π·βπ) β€ π§) β§ (π·βπ) β€ π) β if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π) = (π·βπ)) |
172 | 169, 171 | breq12d 5124 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’
(((((π β§ π§ β π) β§ π β β) β§ Β¬ (π·βπ) β€ π§) β§ (π·βπ) β€ π) β (if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§) β€ if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π) β π§ β€ (π·βπ))) |
173 | 167, 172 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’
(((((π β§ π§ β π) β§ π β β) β§ Β¬ (π·βπ) β€ π§) β§ (π·βπ) β€ π) β if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§) β€ if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π)) |
174 | 155 | ad3antrrr 729 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’
(((((π β§ π§ β π) β§ π β β) β§ Β¬ (π·βπ) β€ π§) β§ Β¬ (π·βπ) β€ π) β π§ β€ π) |
175 | 168 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’
(((((π β§ π§ β π) β§ π β β) β§ Β¬ (π·βπ) β€ π§) β§ Β¬ (π·βπ) β€ π) β if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§) = π§) |
176 | | iffalse 4501 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (Β¬
(π·βπ) β€ π β if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π) = π) |
177 | 176 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’
(((((π β§ π§ β π) β§ π β β) β§ Β¬ (π·βπ) β€ π§) β§ Β¬ (π·βπ) β€ π) β if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π) = π) |
178 | 175, 177 | breq12d 5124 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’
(((((π β§ π§ β π) β§ π β β) β§ Β¬ (π·βπ) β€ π§) β§ Β¬ (π·βπ) β€ π) β (if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§) β€ if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π) β π§ β€ π)) |
179 | 174, 178 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’
(((((π β§ π§ β π) β§ π β β) β§ Β¬ (π·βπ) β€ π§) β§ Β¬ (π·βπ) β€ π) β if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§) β€ if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π)) |
180 | 173, 179 | pm2.61dan 812 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((((π β§ π§ β π) β§ π β β) β§ Β¬ (π·βπ) β€ π§) β if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§) β€ if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π)) |
181 | 160, 180 | pm2.61dan 812 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π§ β π) β§ π β β) β if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§) β€ if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π)) |
182 | | icossico 13345 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((((πΆβπ) β β* β§ if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π) β β*) β§ ((πΆβπ) β€ (πΆβπ) β§ if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§) β€ if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π))) β ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§)) β ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π))) |
183 | 78, 136, 81, 181, 182 | syl22anc 838 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ π§ β π) β§ π β β) β ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§)) β ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π))) |
184 | | volss 24935 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§)) β dom vol β§ ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π)) β dom vol β§ ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§)) β ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π))) β (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§))) β€ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π)))) |
185 | 63, 135, 183, 184 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π§ β π) β§ π β β) β (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§))) β€ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π)))) |
186 | 54, 55, 64, 134, 185 | sge0lempt 44753 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π§ β π) β
(Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§))))) β€
(Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π)))))) |
187 | 97, 133, 98, 186 | leadd1dd 11779 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β§ π§ β π) β
((Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§))))) + π΄) β€
((Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π))))) + π΄)) |
188 | 53, 99, 124, 132, 187 | letrd 11322 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β§ π§ β π) β π§ β€
((Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π))))) + π΄)) |
189 | 188 | ex 414 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (π§ β π β π§ β€
((Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π))))) + π΄))) |
190 | 50, 189 | ralrimi 3239 |
. . . . . . . 8
β’ (π β βπ§ β π π§ β€
((Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π))))) + π΄)) |
191 | | suprleub 12131 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β β β§ π β β
β§ βπ₯ β β βπ¦ β π π¦ β€ π₯) β§
((Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π))))) + π΄) β β) β (sup(π, β, < ) β€
((Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π))))) + π΄) β βπ§ β π π§ β€
((Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π))))) + π΄))) |
192 | 52, 46, 150, 123, 191 | syl31anc 1374 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (sup(π, β, < ) β€
((Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π))))) + π΄) β βπ§ β π π§ β€
((Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π))))) + π΄))) |
193 | 190, 192 | mpbird 257 |
. . . . . . 7
β’ (π β sup(π, β, < ) β€
((Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π))))) + π΄)) |
194 | 49, 193 | eqbrtrd 5133 |
. . . . . 6
β’ (π β π β€
((Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π))))) + π΄)) |
195 | 100, 2, 122 | lesubaddd 11762 |
. . . . . 6
β’ (π β ((π β π΄) β€
(Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π))))) β π β€
((Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π))))) + π΄))) |
196 | 194, 195 | mpbird 257 |
. . . . 5
β’ (π β (π β π΄) β€
(Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π)))))) |
197 | 48, 196 | jca 513 |
. . . 4
β’ (π β (π β (π΄[,]π΅) β§ (π β π΄) β€
(Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π))))))) |
198 | | oveq1 7370 |
. . . . . 6
β’ (π§ = π β (π§ β π΄) = (π β π΄)) |
199 | | breq2 5115 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π§ = π β ((π·βπ) β€ π§ β (π·βπ) β€ π)) |
200 | | id 22 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π§ = π β π§ = π) |
201 | 199, 200 | ifbieq2d 4518 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π§ = π β if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§) = if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π)) |
202 | 201 | oveq2d 7379 |
. . . . . . . . 9
β’ (π§ = π β ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§)) = ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π))) |
203 | 202 | fveq2d 6852 |
. . . . . . . 8
β’ (π§ = π β (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§))) = (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π)))) |
204 | 203 | mpteq2dv 5213 |
. . . . . . 7
β’ (π§ = π β (π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§)))) = (π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π))))) |
205 | 204 | fveq2d 6852 |
. . . . . 6
β’ (π§ = π β
(Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§))))) =
(Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π)))))) |
206 | 198, 205 | breq12d 5124 |
. . . . 5
β’ (π§ = π β ((π§ β π΄) β€
(Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§))))) β (π β π΄) β€
(Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π))))))) |
207 | 206 | elrab 3649 |
. . . 4
β’ (π β {π§ β (π΄[,]π΅) β£ (π§ β π΄) β€
(Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§)))))} β (π β (π΄[,]π΅) β§ (π β π΄) β€
(Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π, (π·βπ), π))))))) |
208 | 197, 207 | sylibr 233 |
. . 3
β’ (π β π β {π§ β (π΄[,]π΅) β£ (π§ β π΄) β€
(Ξ£^β(π β β β¦ (volβ((πΆβπ)[,)if((π·βπ) β€ π§, (π·βπ), π§)))))}) |
209 | 208, 4 | eleqtrrdi 2844 |
. 2
β’ (π β π β π) |
210 | 209, 45, 150 | 3jca 1129 |
1
β’ (π β (π β π β§ π΄ β π β§ βπ₯ β β βπ¦ β π π¦ β€ π₯)) |