New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  opelopabsb GIF version

Theorem opelopabsb 4697
 Description: The law of concretion in terms of substitutions. (Contributed by NM, 30-Sep-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Nov-2016.)
Assertion
Ref Expression
opelopabsb (A, B {x, y φ} ↔ [̣A / x]̣[̣B / yφ)
Distinct variable groups:   x,y   x,B
Allowed substitution hints:   φ(x,y)   A(x,y)   B(y)

Proof of Theorem opelopabsb
Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-br 4640 . . 3 (A{x, y φ}BA, B {x, y φ})
2 brex 4689 . . 3 (A{x, y φ}B → (A V B V))
31, 2sylbir 204 . 2 (A, B {x, y φ} → (A V B V))
4 sbcex 3055 . . 3 ([̣A / x]̣[̣B / yφA V)
5 spesbc 3127 . . . 4 ([̣A / x]̣[̣B / yφxB / yφ)
6 sbcex 3055 . . . . 5 ([̣B / yφB V)
76exlimiv 1634 . . . 4 (xB / yφB V)
85, 7syl 15 . . 3 ([̣A / x]̣[̣B / yφB V)
94, 8jca 518 . 2 ([̣A / x]̣[̣B / yφ → (A V B V))
10 opeq1 4578 . . . . 5 (z = Az, w = A, w)
1110eleq1d 2419 . . . 4 (z = A → (z, w {x, y φ} ↔ A, w {x, y φ}))
12 dfsbcq2 3049 . . . 4 (z = A → ([z / x][w / y]φ ↔ [̣A / x]̣[w / y]φ))
1311, 12bibi12d 312 . . 3 (z = A → ((z, w {x, y φ} ↔ [z / x][w / y]φ) ↔ (A, w {x, y φ} ↔ [̣A / x]̣[w / y]φ)))
14 opeq2 4579 . . . . 5 (w = BA, w = A, B)
1514eleq1d 2419 . . . 4 (w = B → (A, w {x, y φ} ↔ A, B {x, y φ}))
16 dfsbcq2 3049 . . . . 5 (w = B → ([w / y]φ ↔ [̣B / yφ))
1716sbcbidv 3100 . . . 4 (w = B → ([̣A / x]̣[w / y]φ ↔ [̣A / x]̣[̣B / yφ))
1815, 17bibi12d 312 . . 3 (w = B → ((A, w {x, y φ} ↔ [̣A / x]̣[w / y]φ) ↔ (A, B {x, y φ} ↔ [̣A / x]̣[̣B / yφ)))
19 nfopab1 4628 . . . . . 6 x{x, y φ}
2019nfel2 2501 . . . . 5 xz, w {x, y φ}
21 nfs1v 2106 . . . . 5 x[z / x][w / y]φ
2220, 21nfbi 1834 . . . 4 x(z, w {x, y φ} ↔ [z / x][w / y]φ)
23 opeq1 4578 . . . . . 6 (x = zx, w = z, w)
2423eleq1d 2419 . . . . 5 (x = z → (x, w {x, y φ} ↔ z, w {x, y φ}))
25 sbequ12 1919 . . . . 5 (x = z → ([w / y]φ ↔ [z / x][w / y]φ))
2624, 25bibi12d 312 . . . 4 (x = z → ((x, w {x, y φ} ↔ [w / y]φ) ↔ (z, w {x, y φ} ↔ [z / x][w / y]φ)))
27 nfopab2 4629 . . . . . . 7 y{x, y φ}
2827nfel2 2501 . . . . . 6 yx, w {x, y φ}
29 nfs1v 2106 . . . . . 6 y[w / y]φ
3028, 29nfbi 1834 . . . . 5 y(x, w {x, y φ} ↔ [w / y]φ)
31 opeq2 4579 . . . . . . 7 (y = wx, y = x, w)
3231eleq1d 2419 . . . . . 6 (y = w → (x, y {x, y φ} ↔ x, w {x, y φ}))
33 sbequ12 1919 . . . . . 6 (y = w → (φ ↔ [w / y]φ))
3432, 33bibi12d 312 . . . . 5 (y = w → ((x, y {x, y φ} ↔ φ) ↔ (x, w {x, y φ} ↔ [w / y]φ)))
35 opabid 4695 . . . . 5 (x, y {x, y φ} ↔ φ)
3630, 34, 35chvar 1986 . . . 4 (x, w {x, y φ} ↔ [w / y]φ)
3722, 26, 36chvar 1986 . . 3 (z, w {x, y φ} ↔ [z / x][w / y]φ)
3813, 18, 37vtocl2g 2918 . 2 ((A V B V) → (A, B {x, y φ} ↔ [̣A / x]̣[̣B / yφ))
393, 9, 38pm5.21nii 342 1 (A, B {x, y φ} ↔ [̣A / x]̣[̣B / yφ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 176   ∧ wa 358  ∃wex 1541   = wceq 1642  [wsb 1648   ∈ wcel 1710  Vcvv 2859  [̣wsbc 3046  ⟨cop 4561  {copab 4622   class class class wbr 4639 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640 This theorem is referenced by:  brabsb  4698  opelopabaf  4710  opelopabf  4711  inopab  4862  cnvopab  5030
 Copyright terms: Public domain W3C validator