Theorem 1hevtxdg0fi 16319

Description: The vertex degree of vertex 𝐷 in a finite pseudograph 𝐺 with only one edge 𝐸 is 0 if 𝐷 is not incident with the edge 𝐸. (Contributed by AV, 2-Mar-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 13-Mar-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
1hevtxdg0.i	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
1hevtxdg0.v	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1hevtxdg0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
1hevtxdg0.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
1hextxdg0fi.fi	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
1hextxdg0fi.p	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)
1hevtxdg0.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑌)
1hevtxdg0.n	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∉ 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
1hevtxdg0fi	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = 0)

Proof of Theorem 1hevtxdg0fi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1hevtxdg0.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∉ 𝐸)
2		df-nel 2510	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∉ 𝐸 ↔ ¬ 𝐷 ∈ 𝐸)
3	1, 2	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐷 ∈ 𝐸)
4		1hevtxdg0.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
5	4	fveq1d 5674	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴))
6		1hevtxdg0.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
7		1hevtxdg0.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑌)
8		fvsng 5882	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴) = 𝐸)
9	6, 7, 8	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴) = 𝐸)
10	5, 9	eqtrd 2267	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝐴) = 𝐸)
11	3, 10	neleqtrrd 2333	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴))
12		fveq2 5672	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = ((iEdg‘𝐺)‘𝐴))
13	12	eleq2d 2304	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴)))
14	13	notbid 673	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴)))
15	14	ralsng 3731	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (∀𝑥 ∈ {𝐴} ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴)))
16	6, 15	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ {𝐴} ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴)))
17	11, 16	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {𝐴} ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
18	4	dmeqd 4960	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨𝐴, 𝐸⟩})
19		dmsnopg 5236	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑌 → dom {⟨𝐴, 𝐸⟩} = {𝐴})
20	7, 19	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom {⟨𝐴, 𝐸⟩} = {𝐴})
21	18, 20	eqtrd 2267	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴})
22	17, 21	raleqtrrdv 2753	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
23		ralnex 2532	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
24	22, 23	sylib 122	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
25		eqid 2234	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
26		eqid 2234	. . 3 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
27		eqid 2234	. . 3 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
28		snfig 7058	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → {𝐴} ∈ Fin)
29	6, 28	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ∈ Fin)
30	21, 29	eqeltrd 2311	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) ∈ Fin)
31		1hevtxdg0.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
32		1hextxdg0fi.fi	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
33	31, 32	eqeltrd 2311	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
34		1hevtxdg0.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
35	34, 31	eleqtrrd 2314	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺))
36		1hextxdg0fi.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)
37	25, 26, 27, 30, 33, 35, 36	vtxd0nedgbfi 16311	. 2 ⊢ (𝜑 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = 0 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)))
38	24, 37	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ∉ wnel 2509  ∀wral 2522  ∃wrex 2523  {csn 3691  ⟨cop 3694  dom cdm 4751  ‘cfv 5354  Fincfn 6977  0cc0 8129  Vtxcvtx 16024  iEdgciedg 16025  UPGraphcupgr 16103  VtxDegcvtxdg 16298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-1o 6649  df-2o 6650  df-er 6769  df-en 6978  df-dom 6979  df-fin 6980  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-inn 9240  df-2 9298  df-3 9299  df-4 9300  df-5 9301  df-6 9302  df-7 9303  df-8 9304  df-9 9305  df-n0 9499  df-z 9580  df-dec 9713  df-uz 9857  df-xadd 10109  df-fz 10346  df-ihash 11143  df-ndx 13232  df-slot 13233  df-base 13235  df-edgf 16017  df-vtx 16026  df-iedg 16027  df-upgren 16105  df-vtxdg 16299

This theorem is referenced by:  p1evtxdeqfi  16324  eupth2lem3lem6fi  16483