Theorem 1hevtxdg0fi 16157

Description: The vertex degree of vertex 𝐷 in a finite pseudograph 𝐺 with only one edge 𝐸 is 0 if 𝐷 is not incident with the edge 𝐸. (Contributed by AV, 2-Mar-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 13-Mar-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
1hevtxdg0.i	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
1hevtxdg0.v	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1hevtxdg0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
1hevtxdg0.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
1hextxdg0fi.fi	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
1hextxdg0fi.p	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)
1hevtxdg0.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑌)
1hevtxdg0.n	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∉ 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
1hevtxdg0fi	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = 0)

Proof of Theorem 1hevtxdg0fi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1hevtxdg0.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∉ 𝐸)
2		df-nel 2498	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∉ 𝐸 ↔ ¬ 𝐷 ∈ 𝐸)
3	1, 2	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐷 ∈ 𝐸)
4		1hevtxdg0.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
5	4	fveq1d 5641	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴))
6		1hevtxdg0.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
7		1hevtxdg0.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑌)
8		fvsng 5849	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴) = 𝐸)
9	6, 7, 8	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴) = 𝐸)
10	5, 9	eqtrd 2264	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝐴) = 𝐸)
11	3, 10	neleqtrrd 2330	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴))
12		fveq2 5639	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = ((iEdg‘𝐺)‘𝐴))
13	12	eleq2d 2301	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴)))
14	13	notbid 673	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴)))
15	14	ralsng 3709	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (∀𝑥 ∈ {𝐴} ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴)))
16	6, 15	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ {𝐴} ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴)))
17	11, 16	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {𝐴} ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
18	4	dmeqd 4933	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨𝐴, 𝐸⟩})
19		dmsnopg 5208	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑌 → dom {⟨𝐴, 𝐸⟩} = {𝐴})
20	7, 19	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom {⟨𝐴, 𝐸⟩} = {𝐴})
21	18, 20	eqtrd 2264	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴})
22	17, 21	raleqtrrdv 2740	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
23		ralnex 2520	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
24	22, 23	sylib 122	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
25		eqid 2231	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
26		eqid 2231	. . 3 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
27		eqid 2231	. . 3 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
28		snfig 6988	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → {𝐴} ∈ Fin)
29	6, 28	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ∈ Fin)
30	21, 29	eqeltrd 2308	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) ∈ Fin)
31		1hevtxdg0.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
32		1hextxdg0fi.fi	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
33	31, 32	eqeltrd 2308	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
34		1hevtxdg0.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
35	34, 31	eleqtrrd 2311	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺))
36		1hextxdg0fi.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)
37	25, 26, 27, 30, 33, 35, 36	vtxd0nedgbfi 16149	. 2 ⊢ (𝜑 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = 0 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)))
38	24, 37	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ∉ wnel 2497  ∀wral 2510  ∃wrex 2511  {csn 3669  ⟨cop 3672  dom cdm 4725  ‘cfv 5326  Fincfn 6908  0cc0 8031  Vtxcvtx 15862  iEdgciedg 15863  UPGraphcupgr 15941  VtxDegcvtxdg 16136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-1o 6581  df-2o 6582  df-er 6701  df-en 6909  df-dom 6910  df-fin 6911  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-7 9206  df-8 9207  df-9 9208  df-n0 9402  df-z 9479  df-dec 9611  df-uz 9755  df-xadd 10007  df-fz 10243  df-ihash 11037  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-edgf 15855  df-vtx 15864  df-iedg 15865  df-upgren 15943  df-vtxdg 16137

This theorem is referenced by:  p1evtxdeqfi  16162