Theorem 4sqlem7 13037

Description: Lemma for 4sq 13063. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlem5.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
4sqlem5.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4sqlem5.4	⊢ 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))

Assertion

Ref	Expression
4sqlem7	⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))

Proof of Theorem 4sqlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sqlem5.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		4sqlem5.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
3		4sqlem5.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4	1, 2, 3	4sqlem5 13035	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))
5	4	simpld 112	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
6	5	zred 9663	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
7	2	nnrpd 9990	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ+)
8	7	rphalfcld 10005	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℝ+)
9	8	rpred 9992	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℝ)
10	1, 2, 3	4sqlem6 13036	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-(𝑀 / 2) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝑀 / 2)))
11	10	simprd 114	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < (𝑀 / 2))
12	6, 9, 11	ltled 8357	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ (𝑀 / 2))
13	10	simpld 112	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -(𝑀 / 2) ≤ 𝐵)
14	9, 6, 13	lenegcon1d 8766	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝐵 ≤ (𝑀 / 2))
15	8	rpge0d 9996	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑀 / 2))
16		lenegsq 11735	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑀 / 2)) → ((𝐵 ≤ (𝑀 / 2) ∧ -𝐵 ≤ (𝑀 / 2)) ↔ (𝐵↑2) ≤ ((𝑀 / 2)↑2)))
17	6, 9, 15, 16	syl3anc 1274	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ≤ (𝑀 / 2) ∧ -𝐵 ≤ (𝑀 / 2)) ↔ (𝐵↑2) ≤ ((𝑀 / 2)↑2)))
18	12, 14, 17	mpbi2and 952	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ≤ ((𝑀 / 2)↑2))
19		2cnd 9275	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
20	19	sqvald 10995	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2↑2) = (2 · 2))
21	20	oveq2d 6044	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀↑2) / (2↑2)) = ((𝑀↑2) / (2 · 2)))
22	2	nncnd 9216	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
23		2ap0 9295	. . . . 5 ⊢ 2 # 0
24	23	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 # 0)
25	22, 19, 24	sqdivapd 11011	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 2)↑2) = ((𝑀↑2) / (2↑2)))
26	22	sqcld 10996	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℂ)
27	26, 19, 19, 24, 24	divdivap1d 9061	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑2) / 2) / 2) = ((𝑀↑2) / (2 · 2)))
28	21, 25, 27	3eqtr4d 2274	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 2)↑2) = (((𝑀↑2) / 2) / 2))
29	18, 28	breqtrd 4119	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028  ℝcr 8091  0cc0 8092   + caddc 8095   · cmul 8097   < clt 8273   ≤ cle 8274   − cmin 8409  -cneg 8410   # cap 8820   / cdiv 8911  ℕcn 9202  2c2 9253  ℤcz 9540   mod cmo 10647  ↑cexp 10863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210  ax-arch 8211  ax-caucvg 8212

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-q 9915  df-rp 9950  df-fl 10593  df-mod 10648  df-seqfrec 10773  df-exp 10864  df-cj 11482  df-re 11483  df-im 11484  df-rsqrt 11638  df-abs 11639

This theorem is referenced by:  4sqlem15  13058  4sqlem16  13059  2sqlem8  15942