Theorem 4sqlem7 12707

Description: Lemma for 4sq 12733. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlem5.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
4sqlem5.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4sqlem5.4	⊢ 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))

Assertion

Ref	Expression
4sqlem7	⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))

Proof of Theorem 4sqlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sqlem5.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		4sqlem5.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
3		4sqlem5.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4	1, 2, 3	4sqlem5 12705	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))
5	4	simpld 112	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
6	5	zred 9495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
7	2	nnrpd 9816	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ+)
8	7	rphalfcld 9831	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℝ+)
9	8	rpred 9818	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℝ)
10	1, 2, 3	4sqlem6 12706	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-(𝑀 / 2) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝑀 / 2)))
11	10	simprd 114	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < (𝑀 / 2))
12	6, 9, 11	ltled 8191	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ (𝑀 / 2))
13	10	simpld 112	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -(𝑀 / 2) ≤ 𝐵)
14	9, 6, 13	lenegcon1d 8600	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝐵 ≤ (𝑀 / 2))
15	8	rpge0d 9822	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑀 / 2))
16		lenegsq 11406	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑀 / 2)) → ((𝐵 ≤ (𝑀 / 2) ∧ -𝐵 ≤ (𝑀 / 2)) ↔ (𝐵↑2) ≤ ((𝑀 / 2)↑2)))
17	6, 9, 15, 16	syl3anc 1250	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ≤ (𝑀 / 2) ∧ -𝐵 ≤ (𝑀 / 2)) ↔ (𝐵↑2) ≤ ((𝑀 / 2)↑2)))
18	12, 14, 17	mpbi2and 946	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ≤ ((𝑀 / 2)↑2))
19		2cnd 9109	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
20	19	sqvald 10815	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2↑2) = (2 · 2))
21	20	oveq2d 5960	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀↑2) / (2↑2)) = ((𝑀↑2) / (2 · 2)))
22	2	nncnd 9050	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
23		2ap0 9129	. . . . 5 ⊢ 2 # 0
24	23	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 # 0)
25	22, 19, 24	sqdivapd 10831	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 2)↑2) = ((𝑀↑2) / (2↑2)))
26	22	sqcld 10816	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℂ)
27	26, 19, 19, 24, 24	divdivap1d 8895	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑2) / 2) / 2) = ((𝑀↑2) / (2 · 2)))
28	21, 25, 27	3eqtr4d 2248	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 2)↑2) = (((𝑀↑2) / 2) / 2))
29	18, 28	breqtrd 4070	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2176   class class class wbr 4044  (class class class)co 5944  ℝcr 7924  0cc0 7925   + caddc 7928   · cmul 7930   < clt 8107   ≤ cle 8108   − cmin 8243  -cneg 8244   # cap 8654   / cdiv 8745  ℕcn 9036  2c2 9087  ℤcz 9372   mod cmo 10467  ↑cexp 10683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043  ax-arch 8044  ax-caucvg 8045

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-frec 6477  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-q 9741  df-rp 9776  df-fl 10413  df-mod 10468  df-seqfrec 10593  df-exp 10684  df-cj 11153  df-re 11154  df-im 11155  df-rsqrt 11309  df-abs 11310

This theorem is referenced by:  4sqlem15  12728  4sqlem16  12729  2sqlem8  15600