Theorem 4sqlem7 13163

Description: Lemma for 4sq 13189. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlem5.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
4sqlem5.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4sqlem5.4	⊢ 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))

Assertion

Ref	Expression
4sqlem7	⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))

Proof of Theorem 4sqlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sqlem5.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		4sqlem5.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
3		4sqlem5.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4	1, 2, 3	4sqlem5 13161	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))
5	4	simpld 112	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
6	5	zred 9768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
7	2	nnrpd 10095	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ+)
8	7	rphalfcld 10110	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℝ+)
9	8	rpred 10097	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℝ)
10	1, 2, 3	4sqlem6 13162	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-(𝑀 / 2) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝑀 / 2)))
11	10	simprd 114	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < (𝑀 / 2))
12	6, 9, 11	ltled 8445	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ (𝑀 / 2))
13	10	simpld 112	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -(𝑀 / 2) ≤ 𝐵)
14	9, 6, 13	lenegcon1d 8855	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝐵 ≤ (𝑀 / 2))
15	8	rpge0d 10101	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑀 / 2))
16		lenegsq 11861	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑀 / 2)) → ((𝐵 ≤ (𝑀 / 2) ∧ -𝐵 ≤ (𝑀 / 2)) ↔ (𝐵↑2) ≤ ((𝑀 / 2)↑2)))
17	6, 9, 15, 16	syl3anc 1278	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ≤ (𝑀 / 2) ∧ -𝐵 ≤ (𝑀 / 2)) ↔ (𝐵↑2) ≤ ((𝑀 / 2)↑2)))
18	12, 14, 17	mpbi2and 956	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ≤ ((𝑀 / 2)↑2))
19		2cnd 9377	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
20	19	sqvald 11108	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2↑2) = (2 · 2))
21	20	oveq2d 6101	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀↑2) / (2↑2)) = ((𝑀↑2) / (2 · 2)))
22	2	nncnd 9318	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
23		2ap0 9397	. . . . 5 ⊢ 2 # 0
24	23	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 # 0)
25	22, 19, 24	sqdivapd 11124	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 2)↑2) = ((𝑀↑2) / (2↑2)))
26	22	sqcld 11109	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℂ)
27	26, 19, 19, 24, 24	divdivap1d 9152	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑2) / 2) / 2) = ((𝑀↑2) / (2 · 2)))
28	21, 25, 27	3eqtr4d 2281	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 2)↑2) = (((𝑀↑2) / 2) / 2))
29	18, 28	breqtrd 4156	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085  ℝcr 8178  0cc0 8179   + caddc 8182   · cmul 8184   < clt 8360   ≤ cle 8361   − cmin 8497  -cneg 8498   # cap 8909   / cdiv 9002  ℕcn 9304  2c2 9355  ℤcz 9644   mod cmo 10759  ↑cexp 10975

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-rp 10055  df-fl 10705  df-mod 10760  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765

This theorem is used by:  4sqlem15  13184  4sqlem16  13185  2sqlem8  16242