ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  4sqlem7 GIF version

Theorem 4sqlem7 12352
Description: Lemma for 4sq (not yet proved here) . (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
4sqlem5.2 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
4sqlem5.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
4sqlem5.4 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
Assertion
Ref Expression
4sqlem7 (𝜑 → (𝐵↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))

Proof of Theorem 4sqlem7
StepHypRef Expression
1 4sqlem5.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2 4sqlem5.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3 4sqlem5.4 . . . . . . 7 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
41, 2, 34sqlem5 12350 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))
54simpld 112 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
65zred 9351 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
72nnrpd 9668 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℝ+)
87rphalfcld 9683 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℝ+)
98rpred 9670 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℝ)
101, 2, 34sqlem6 12351 . . . . 5 (𝜑 → (-(𝑀 / 2) ≤ 𝐵𝐵 < (𝑀 / 2)))
1110simprd 114 . . . 4 (𝜑𝐵 < (𝑀 / 2))
126, 9, 11ltled 8053 . . 3 (𝜑𝐵 ≤ (𝑀 / 2))
1310simpld 112 . . . 4 (𝜑 → -(𝑀 / 2) ≤ 𝐵)
149, 6, 13lenegcon1d 8461 . . 3 (𝜑 → -𝐵 ≤ (𝑀 / 2))
158rpge0d 9674 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (𝑀 / 2))
16 lenegsq 11075 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑀 / 2)) → ((𝐵 ≤ (𝑀 / 2) ∧ -𝐵 ≤ (𝑀 / 2)) ↔ (𝐵↑2) ≤ ((𝑀 / 2)↑2)))
176, 9, 15, 16syl3anc 1238 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 ≤ (𝑀 / 2) ∧ -𝐵 ≤ (𝑀 / 2)) ↔ (𝐵↑2) ≤ ((𝑀 / 2)↑2)))
1812, 14, 17mpbi2and 943 . 2 (𝜑 → (𝐵↑2) ≤ ((𝑀 / 2)↑2))
19 2cnd 8968 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
2019sqvald 10623 . . . 4 (𝜑 → (2↑2) = (2 · 2))
2120oveq2d 5884 . . 3 (𝜑 → ((𝑀↑2) / (2↑2)) = ((𝑀↑2) / (2 · 2)))
222nncnd 8909 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
23 2ap0 8988 . . . . 5 2 # 0
2423a1i 9 . . . 4 (𝜑 → 2 # 0)
2522, 19, 24sqdivapd 10639 . . 3 (𝜑 → ((𝑀 / 2)↑2) = ((𝑀↑2) / (2↑2)))
2622sqcld 10624 . . . 4 (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℂ)
2726, 19, 19, 24, 24divdivap1d 8755 . . 3 (𝜑 → (((𝑀↑2) / 2) / 2) = ((𝑀↑2) / (2 · 2)))
2821, 25, 273eqtr4d 2220 . 2 (𝜑 → ((𝑀 / 2)↑2) = (((𝑀↑2) / 2) / 2))
2918, 28breqtrd 4026 1 (𝜑 → (𝐵↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4000  (class class class)co 5868  cr 7788  0cc0 7789   + caddc 7792   · cmul 7794   < clt 7969  cle 7970  cmin 8105  -cneg 8106   # cap 8515   / cdiv 8605  cn 8895  2c2 8946  cz 9229   mod cmo 10295  cexp 10492
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-mulrcl 7888  ax-addcom 7889  ax-mulcom 7890  ax-addass 7891  ax-mulass 7892  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-1rid 7896  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-precex 7899  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-apti 7904  ax-pre-ltadd 7905  ax-pre-mulgt0 7906  ax-pre-mulext 7907  ax-arch 7908  ax-caucvg 7909
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4289  df-po 4292  df-iso 4293  df-iord 4362  df-on 4364  df-ilim 4365  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-recs 6299  df-frec 6385  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-reap 8509  df-ap 8516  df-div 8606  df-inn 8896  df-2 8954  df-3 8955  df-4 8956  df-n0 9153  df-z 9230  df-uz 9505  df-q 9596  df-rp 9628  df-fl 10243  df-mod 10296  df-seqfrec 10419  df-exp 10493  df-cj 10822  df-re 10823  df-im 10824  df-rsqrt 10978  df-abs 10979
This theorem is referenced by:  2sqlem8  14092
  Copyright terms: Public domain W3C validator