Theorem 4sqlem7 12382

Description: Lemma for 4sq (not yet proved here) . (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlem5.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
4sqlem5.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4sqlem5.4	⊢ 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))

Assertion

Ref	Expression
4sqlem7	⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))

Proof of Theorem 4sqlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sqlem5.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		4sqlem5.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
3		4sqlem5.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4	1, 2, 3	4sqlem5 12380	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))
5	4	simpld 112	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
6	5	zred 9375	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
7	2	nnrpd 9694	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ+)
8	7	rphalfcld 9709	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℝ+)
9	8	rpred 9696	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℝ)
10	1, 2, 3	4sqlem6 12381	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-(𝑀 / 2) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝑀 / 2)))
11	10	simprd 114	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < (𝑀 / 2))
12	6, 9, 11	ltled 8076	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ (𝑀 / 2))
13	10	simpld 112	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -(𝑀 / 2) ≤ 𝐵)
14	9, 6, 13	lenegcon1d 8484	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝐵 ≤ (𝑀 / 2))
15	8	rpge0d 9700	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑀 / 2))
16		lenegsq 11104	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑀 / 2)) → ((𝐵 ≤ (𝑀 / 2) ∧ -𝐵 ≤ (𝑀 / 2)) ↔ (𝐵↑2) ≤ ((𝑀 / 2)↑2)))
17	6, 9, 15, 16	syl3anc 1238	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ≤ (𝑀 / 2) ∧ -𝐵 ≤ (𝑀 / 2)) ↔ (𝐵↑2) ≤ ((𝑀 / 2)↑2)))
18	12, 14, 17	mpbi2and 943	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ≤ ((𝑀 / 2)↑2))
19		2cnd 8992	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
20	19	sqvald 10651	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2↑2) = (2 · 2))
21	20	oveq2d 5891	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀↑2) / (2↑2)) = ((𝑀↑2) / (2 · 2)))
22	2	nncnd 8933	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
23		2ap0 9012	. . . . 5 ⊢ 2 # 0
24	23	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 # 0)
25	22, 19, 24	sqdivapd 10667	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 2)↑2) = ((𝑀↑2) / (2↑2)))
26	22	sqcld 10652	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℂ)
27	26, 19, 19, 24, 24	divdivap1d 8779	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑2) / 2) / 2) = ((𝑀↑2) / (2 · 2)))
28	21, 25, 27	3eqtr4d 2220	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 2)↑2) = (((𝑀↑2) / 2) / 2))
29	18, 28	breqtrd 4030	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4004  (class class class)co 5875  ℝcr 7810  0cc0 7811   + caddc 7814   · cmul 7816   < clt 7992   ≤ cle 7993   − cmin 8128  -cneg 8129   # cap 8538   / cdiv 8629  ℕcn 8919  2c2 8970  ℤcz 9253   mod cmo 10322  ↑cexp 10519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-fl 10270  df-mod 10323  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008

This theorem is referenced by:  2sqlem8  14473