Theorem bcn1 11196

Description: Binomial coefficient: 𝑁 choose 1. (Contributed by NM, 21-Jun-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
bcn1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C1) = 𝑁)

Proof of Theorem bcn1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9565	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		1eluzge0 9974	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ (ℤ≥‘0)
3	2	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ (ℤ≥‘0))
4		elnnuz 9959	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
5	4	biimpi 120	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
6		elfzuzb 10422	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (0...𝑁) ↔ (1 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1)))
7	3, 5, 6	sylanbrc 421	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ (0...𝑁))
8		bcval2 11188	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C1) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘1))))
9	7, 8	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁C1) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘1))))
10		facnn2 11172	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁))
11		fac1 11167	. . . . . . 7 ⊢ (!‘1) = 1
12	11	oveq2i 6096	. . . . . 6 ⊢ ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘1)) = ((!‘(𝑁 − 1)) · 1)
13		nnm1nn0 9604	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
14	13	faccld 11174	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ)
15	14	nncnd 9318	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
16	15	mulridd 8343	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 − 1)) · 1) = (!‘(𝑁 − 1)))
17	12, 16	eqtrid 2283	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘1)) = (!‘(𝑁 − 1)))
18	10, 17	oveq12d 6103	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘1))) = (((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁) / (!‘(𝑁 − 1))))
19		nncn 9312	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
20	14	nnap0d 9350	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 − 1)) # 0)
21	19, 15, 20	divcanap3d 9125	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁) / (!‘(𝑁 − 1))) = 𝑁)
22	9, 18, 21	3eqtrd 2275	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁C1) = 𝑁)
23		0nn0 9578	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
24		1z 9670	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
25		0lt1 8453	. . . . . 6 ⊢ 0 < 1
26	25	olci 744	. . . . 5 ⊢ (1 < 0 ∨ 0 < 1)
27		bcval4 11190	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℤ ∧ (1 < 0 ∨ 0 < 1)) → (0C1) = 0)
28	23, 24, 26, 27	mp3an 1378	. . . 4 ⊢ (0C1) = 0
29		oveq1 6092	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁C1) = (0C1))
30		eqeq12 2251	. . . . 5 ⊢ (((𝑁C1) = (0C1) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑁C1) = 𝑁 ↔ (0C1) = 0))
31	29, 30	mpancom 426	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑁C1) = 𝑁 ↔ (0C1) = 0))
32	28, 31	mpbiri 168	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁C1) = 𝑁)
33	22, 32	jaoi 728	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (𝑁C1) = 𝑁)
34	1, 33	sylbi 121	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C1) = 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  0cc0 8179  1c1 8180   · cmul 8184   < clt 8360   − cmin 8497   / cdiv 9002  ℕcn 9304  ℕ₀cn0 9563  ℤcz 9644  ℤ_≥cuz 9921  ...cfz 10411  !cfa 11163  Ccbc 11185

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-fz 10412  df-seqfrec 10885  df-fac 11164  df-bc 11186

This theorem is used by:  bcnp1n  11197  bcn2m1  11208  bcn2p1  11209  bcnm1  11211