ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bcn1 GIF version

Theorem bcn1 10709
Description: Binomial coefficient: 𝑁 choose 1. (Contributed by NM, 21-Jun-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
bcn1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C1) = 𝑁)

Proof of Theorem bcn1
StepHypRef Expression
1 elnn0 9154 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 1eluzge0 9550 . . . . . . 7 1 ∈ (ℤ‘0)
32a1i 9 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ (ℤ‘0))
4 elnnuz 9540 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
54biimpi 120 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
6 elfzuzb 9992 . . . . . 6 (1 ∈ (0...𝑁) ↔ (1 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘1)))
73, 5, 6sylanbrc 417 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ (0...𝑁))
8 bcval2 10701 . . . . 5 (1 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C1) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘1))))
97, 8syl 14 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁C1) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘1))))
10 facnn2 10685 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁))
11 fac1 10680 . . . . . . 7 (!‘1) = 1
1211oveq2i 5879 . . . . . 6 ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘1)) = ((!‘(𝑁 − 1)) · 1)
13 nnm1nn0 9193 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
1413faccld 10687 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℕ)
1514nncnd 8909 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
1615mulid1d 7952 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 − 1)) · 1) = (!‘(𝑁 − 1)))
1712, 16eqtrid 2222 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘1)) = (!‘(𝑁 − 1)))
1810, 17oveq12d 5886 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 1)) · (!‘1))) = (((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁) / (!‘(𝑁 − 1))))
19 nncn 8903 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
2014nnap0d 8941 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 − 1)) # 0)
2119, 15, 20divcanap3d 8728 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁) / (!‘(𝑁 − 1))) = 𝑁)
229, 18, 213eqtrd 2214 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁C1) = 𝑁)
23 0nn0 9167 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
24 1z 9255 . . . . 5 1 ∈ ℤ
25 0lt1 8061 . . . . . 6 0 < 1
2625olci 732 . . . . 5 (1 < 0 ∨ 0 < 1)
27 bcval4 10703 . . . . 5 ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℤ ∧ (1 < 0 ∨ 0 < 1)) → (0C1) = 0)
2823, 24, 26, 27mp3an 1337 . . . 4 (0C1) = 0
29 oveq1 5875 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (𝑁C1) = (0C1))
30 eqeq12 2190 . . . . 5 (((𝑁C1) = (0C1) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑁C1) = 𝑁 ↔ (0C1) = 0))
3129, 30mpancom 422 . . . 4 (𝑁 = 0 → ((𝑁C1) = 𝑁 ↔ (0C1) = 0))
3228, 31mpbiri 168 . . 3 (𝑁 = 0 → (𝑁C1) = 𝑁)
3322, 32jaoi 716 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (𝑁C1) = 𝑁)
341, 33sylbi 121 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C1) = 𝑁)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 105  wo 708   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4000  cfv 5211  (class class class)co 5868  0cc0 7789  1c1 7790   · cmul 7794   < clt 7969  cmin 8105   / cdiv 8605  cn 8895  0cn0 9152  cz 9229  cuz 9504  ...cfz 9982  !cfa 10676  Ccbc 10698
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-mulrcl 7888  ax-addcom 7889  ax-mulcom 7890  ax-addass 7891  ax-mulass 7892  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-1rid 7896  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-precex 7899  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-apti 7904  ax-pre-ltadd 7905  ax-pre-mulgt0 7906  ax-pre-mulext 7907
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4289  df-po 4292  df-iso 4293  df-iord 4362  df-on 4364  df-ilim 4365  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-recs 6299  df-frec 6385  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-reap 8509  df-ap 8516  df-div 8606  df-inn 8896  df-n0 9153  df-z 9230  df-uz 9505  df-q 9596  df-fz 9983  df-seqfrec 10419  df-fac 10677  df-bc 10699
This theorem is referenced by:  bcnp1n  10710  bcn2m1  10720  bcn2p1  10721  bcnm1  10723
  Copyright terms: Public domain W3C validator