Theorem dec2dvds 12605

Description: Divisibility by two is obvious in base 10. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dec2dvds.1	|- A e. NN0
dec2dvds.2	|- B e. NN0
dec2dvds.3	|- ( B x. 2 ) = C
dec2dvds.4	|- D = ( C + 1 )

Assertion

Ref	Expression
dec2dvds	|- -. 2 || ; A D

Proof of Theorem dec2dvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5nn0 9286	. . . . . . . . 9 |- 5 e. NN0
2	1	nn0zi 9365	. . . . . . . 8 |- 5 e. ZZ
3		2z 9371	. . . . . . . 8 |- 2 e. ZZ
4		dvdsmul2 11996	. . . . . . . 8 |- ( ( 5 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> 2 || ( 5 x. 2 ) )
5	2, 3, 4	mp2an 426	. . . . . . 7 |- 2 || ( 5 x. 2 )
6		5t2e10 9573	. . . . . . 7 |- ( 5 x. 2 ) = ; 1 0
7	5, 6	breqtri 4059	. . . . . 6 |- 2 || ; 1 0
8		10nn0 9491	. . . . . . . 8 |- ; 1 0 e. NN0
9	8	nn0zi 9365	. . . . . . 7 |- ; 1 0 e. ZZ
10		dec2dvds.1	. . . . . . . 8 |- A e. NN0
11	10	nn0zi 9365	. . . . . . 7 |- A e. ZZ
12		dvdsmultr1 12013	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. ZZ /\ ; 1 0 e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( 2 || ; 1 0 -> 2 || (; 1 0 x. A ) ) )
13	3, 9, 11, 12	mp3an 1348	. . . . . 6 |- ( 2 || ; 1 0 -> 2 || (; 1 0 x. A ) )
14	7, 13	ax-mp 5	. . . . 5 |- 2 || (; 1 0 x. A )
15		dec2dvds.2	. . . . . . . 8 |- B e. NN0
16	15	nn0zi 9365	. . . . . . 7 |- B e. ZZ
17		dvdsmul2 11996	. . . . . . 7 |- ( ( B e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> 2 || ( B x. 2 ) )
18	16, 3, 17	mp2an 426	. . . . . 6 |- 2 || ( B x. 2 )
19		dec2dvds.3	. . . . . 6 |- ( B x. 2 ) = C
20	18, 19	breqtri 4059	. . . . 5 |- 2 || C
21	8, 10	nn0mulcli 9304	. . . . . . 7 |- (; 1 0 x. A ) e. NN0
22	21	nn0zi 9365	. . . . . 6 |- (; 1 0 x. A ) e. ZZ
23		2nn0 9283	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN0
24	15, 23	nn0mulcli 9304	. . . . . . . 8 |- ( B x. 2 ) e. NN0
25	19, 24	eqeltrri 2270	. . . . . . 7 |- C e. NN0
26	25	nn0zi 9365	. . . . . 6 |- C e. ZZ
27		dvds2add 12007	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. ZZ /\ (; 1 0 x. A ) e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( ( 2 || (; 1 0 x. A ) /\ 2 || C ) -> 2 || ( (; 1 0 x. A ) + C ) ) )
28	3, 22, 26, 27	mp3an 1348	. . . . 5 |- ( ( 2 || (; 1 0 x. A ) /\ 2 || C ) -> 2 || ( (; 1 0 x. A ) + C ) )
29	14, 20, 28	mp2an 426	. . . 4 |- 2 || ( (; 1 0 x. A ) + C )
30		dfdec10 9477	. . . 4 |- ; A C = ( (; 1 0 x. A ) + C )
31	29, 30	breqtrri 4061	. . 3 |- 2 || ; A C
32	10, 25	deccl 9488	. . . . 5 |- ; A C e. NN0
33	32	nn0zi 9365	. . . 4 |- ; A C e. ZZ
34		2nn 9169	. . . 4 |- 2 e. NN
35		1lt2 9177	. . . 4 |- 1 < 2
36		ndvdsp1 12114	. . . 4 |- ( (; A C e. ZZ /\ 2 e. NN /\ 1 < 2 ) -> ( 2 || ; A C -> -. 2 || (; A C + 1 ) ) )
37	33, 34, 35, 36	mp3an 1348	. . 3 |- ( 2 || ; A C -> -. 2 || (; A C + 1 ) )
38	31, 37	ax-mp 5	. 2 |- -. 2 || (; A C + 1 )
39		dec2dvds.4	. . . . 5 |- D = ( C + 1 )
40	39	eqcomi 2200	. . . 4 |- ( C + 1 ) = D
41		eqid 2196	. . . 4 |- ; A C = ; A C
42	10, 25, 40, 41	decsuc 9504	. . 3 |- (; A C + 1 ) = ; A D
43	42	breq2i 4042	. 2 |- ( 2 || (; A C + 1 ) <-> 2 || ; A D )
44	38, 43	mtbi 671	1 |- -. 2 || ; A D

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925   0cc0 7896   1c1 7897   + caddc 7899   x. cmul 7901   < clt 8078   NNcn 9007   2c2 9058   5c5 9061   NN0cn0 9266   ZZcz 9343  ;cdc 9474   || cdvds 11969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-5 9069  df-6 9070  df-7 9071  df-8 9072  df-9 9073  df-n0 9267  df-z 9344  df-dec 9475  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-fl 10377  df-mod 10432  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-dvds 11970

This theorem is referenced by: (None)