Theorem dec2dvds 12986

Description: Divisibility by two is obvious in base 10. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dec2dvds.1	|- A e. NN0
dec2dvds.2	|- B e. NN0
dec2dvds.3	|- ( B x. 2 ) = C
dec2dvds.4	|- D = ( C + 1 )

Assertion

Ref	Expression
dec2dvds	|- -. 2 || ; A D

Proof of Theorem dec2dvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5nn0 9422	. . . . . . . . 9 |- 5 e. NN0
2	1	nn0zi 9501	. . . . . . . 8 |- 5 e. ZZ
3		2z 9507	. . . . . . . 8 |- 2 e. ZZ
4		dvdsmul2 12377	. . . . . . . 8 |- ( ( 5 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> 2 || ( 5 x. 2 ) )
5	2, 3, 4	mp2an 426	. . . . . . 7 |- 2 || ( 5 x. 2 )
6		5t2e10 9710	. . . . . . 7 |- ( 5 x. 2 ) = ; 1 0
7	5, 6	breqtri 4113	. . . . . 6 |- 2 || ; 1 0
8		10nn0 9628	. . . . . . . 8 |- ; 1 0 e. NN0
9	8	nn0zi 9501	. . . . . . 7 |- ; 1 0 e. ZZ
10		dec2dvds.1	. . . . . . . 8 |- A e. NN0
11	10	nn0zi 9501	. . . . . . 7 |- A e. ZZ
12		dvdsmultr1 12394	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. ZZ /\ ; 1 0 e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( 2 || ; 1 0 -> 2 || (; 1 0 x. A ) ) )
13	3, 9, 11, 12	mp3an 1373	. . . . . 6 |- ( 2 || ; 1 0 -> 2 || (; 1 0 x. A ) )
14	7, 13	ax-mp 5	. . . . 5 |- 2 || (; 1 0 x. A )
15		dec2dvds.2	. . . . . . . 8 |- B e. NN0
16	15	nn0zi 9501	. . . . . . 7 |- B e. ZZ
17		dvdsmul2 12377	. . . . . . 7 |- ( ( B e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> 2 || ( B x. 2 ) )
18	16, 3, 17	mp2an 426	. . . . . 6 |- 2 || ( B x. 2 )
19		dec2dvds.3	. . . . . 6 |- ( B x. 2 ) = C
20	18, 19	breqtri 4113	. . . . 5 |- 2 || C
21	8, 10	nn0mulcli 9440	. . . . . . 7 |- (; 1 0 x. A ) e. NN0
22	21	nn0zi 9501	. . . . . 6 |- (; 1 0 x. A ) e. ZZ
23		2nn0 9419	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN0
24	15, 23	nn0mulcli 9440	. . . . . . . 8 |- ( B x. 2 ) e. NN0
25	19, 24	eqeltrri 2305	. . . . . . 7 |- C e. NN0
26	25	nn0zi 9501	. . . . . 6 |- C e. ZZ
27		dvds2add 12388	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. ZZ /\ (; 1 0 x. A ) e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( ( 2 || (; 1 0 x. A ) /\ 2 || C ) -> 2 || ( (; 1 0 x. A ) + C ) ) )
28	3, 22, 26, 27	mp3an 1373	. . . . 5 |- ( ( 2 || (; 1 0 x. A ) /\ 2 || C ) -> 2 || ( (; 1 0 x. A ) + C ) )
29	14, 20, 28	mp2an 426	. . . 4 |- 2 || ( (; 1 0 x. A ) + C )
30		dfdec10 9614	. . . 4 |- ; A C = ( (; 1 0 x. A ) + C )
31	29, 30	breqtrri 4115	. . 3 |- 2 || ; A C
32	10, 25	deccl 9625	. . . . 5 |- ; A C e. NN0
33	32	nn0zi 9501	. . . 4 |- ; A C e. ZZ
34		2nn 9305	. . . 4 |- 2 e. NN
35		1lt2 9313	. . . 4 |- 1 < 2
36		ndvdsp1 12495	. . . 4 |- ( (; A C e. ZZ /\ 2 e. NN /\ 1 < 2 ) -> ( 2 || ; A C -> -. 2 || (; A C + 1 ) ) )
37	33, 34, 35, 36	mp3an 1373	. . 3 |- ( 2 || ; A C -> -. 2 || (; A C + 1 ) )
38	31, 37	ax-mp 5	. 2 |- -. 2 || (; A C + 1 )
39		dec2dvds.4	. . . . 5 |- D = ( C + 1 )
40	39	eqcomi 2235	. . . 4 |- ( C + 1 ) = D
41		eqid 2231	. . . 4 |- ; A C = ; A C
42	10, 25, 40, 41	decsuc 9641	. . 3 |- (; A C + 1 ) = ; A D
43	42	breq2i 4096	. 2 |- ( 2 || (; A C + 1 ) <-> 2 || ; A D )
44	38, 43	mtbi 676	1 |- -. 2 || ; A D

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   class class class wbr 4088  (class class class)co 6018   0cc0 8032   1c1 8033   + caddc 8035   x. cmul 8037   < clt 8214   NNcn 9143   2c2 9194   5c5 9197   NN0cn0 9402   ZZcz 9479  ;cdc 9611   || cdvds 12350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-z 9480  df-dec 9612  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-fl 10531  df-mod 10586  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-cj 11404  df-re 11405  df-im 11406  df-rsqrt 11560  df-abs 11561  df-dvds 12351

This theorem is referenced by: (None)