Theorem dec2dvds 13220

Description: Divisibility by two is obvious in base 10. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dec2dvds.1	|- A e. NN0
dec2dvds.2	|- B e. NN0
dec2dvds.3	|- ( B x. 2 ) = C
dec2dvds.4	|- D = ( C + 1 )

Assertion

Ref	Expression
dec2dvds	|- -. 2 || ; A D

Proof of Theorem dec2dvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5nn0 9595	. . . . . . . . 9 |- 5 e. NN0
2	1	nn0zi 9678	. . . . . . . 8 |- 5 e. ZZ
3		2z 9684	. . . . . . . 8 |- 2 e. ZZ
4		dvdsmul2 12607	. . . . . . . 8 |- ( ( 5 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> 2 || ( 5 x. 2 ) )
5	2, 3, 4	mp2an 430	. . . . . . 7 |- 2 || ( 5 x. 2 )
6		5t2e10 9893	. . . . . . 7 |- ( 5 x. 2 ) = ; 1 0
7	5, 6	breqtri 4156	. . . . . 6 |- 2 || ; 1 0
8		10nn0 9810	. . . . . . . 8 |- ; 1 0 e. NN0
9	8	nn0zi 9678	. . . . . . 7 |- ; 1 0 e. ZZ
10		dec2dvds.1	. . . . . . . 8 |- A e. NN0
11	10	nn0zi 9678	. . . . . . 7 |- A e. ZZ
12		dvdsmultr1 12624	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. ZZ /\ ; 1 0 e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( 2 || ; 1 0 -> 2 || (; 1 0 x. A ) ) )
13	3, 9, 11, 12	mp3an 1378	. . . . . 6 |- ( 2 || ; 1 0 -> 2 || (; 1 0 x. A ) )
14	7, 13	ax-mp 5	. . . . 5 |- 2 || (; 1 0 x. A )
15		dec2dvds.2	. . . . . . . 8 |- B e. NN0
16	15	nn0zi 9678	. . . . . . 7 |- B e. ZZ
17		dvdsmul2 12607	. . . . . . 7 |- ( ( B e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> 2 || ( B x. 2 ) )
18	16, 3, 17	mp2an 430	. . . . . 6 |- 2 || ( B x. 2 )
19		dec2dvds.3	. . . . . 6 |- ( B x. 2 ) = C
20	18, 19	breqtri 4156	. . . . 5 |- 2 || C
21	8, 10	nn0mulcli 9613	. . . . . . 7 |- (; 1 0 x. A ) e. NN0
22	21	nn0zi 9678	. . . . . 6 |- (; 1 0 x. A ) e. ZZ
23		2nn0 9592	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN0
24	15, 23	nn0mulcli 9613	. . . . . . . 8 |- ( B x. 2 ) e. NN0
25	19, 24	eqeltrri 2312	. . . . . . 7 |- C e. NN0
26	25	nn0zi 9678	. . . . . 6 |- C e. ZZ
27		dvds2add 12618	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. ZZ /\ (; 1 0 x. A ) e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( ( 2 || (; 1 0 x. A ) /\ 2 || C ) -> 2 || ( (; 1 0 x. A ) + C ) ) )
28	3, 22, 26, 27	mp3an 1378	. . . . 5 |- ( ( 2 || (; 1 0 x. A ) /\ 2 || C ) -> 2 || ( (; 1 0 x. A ) + C ) )
29	14, 20, 28	mp2an 430	. . . 4 |- 2 || ( (; 1 0 x. A ) + C )
30		dfdec10 9792	. . . 4 |- ; A C = ( (; 1 0 x. A ) + C )
31	29, 30	breqtrri 4158	. . 3 |- 2 || ; A C
32	10, 25	deccl 9803	. . . . 5 |- ; A C e. NN0
33	32	nn0zi 9678	. . . 4 |- ; A C e. ZZ
34		2nn 9478	. . . 4 |- 2 e. NN
35		1lt2 9486	. . . 4 |- 1 < 2
36		ndvdsp1 12725	. . . 4 |- ( (; A C e. ZZ /\ 2 e. NN /\ 1 < 2 ) -> ( 2 || ; A C -> -. 2 || (; A C + 1 ) ) )
37	33, 34, 35, 36	mp3an 1378	. . 3 |- ( 2 || ; A C -> -. 2 || (; A C + 1 ) )
38	31, 37	ax-mp 5	. 2 |- -. 2 || (; A C + 1 )
39		dec2dvds.4	. . . . 5 |- D = ( C + 1 )
40	39	eqcomi 2242	. . . 4 |- ( C + 1 ) = D
41		eqid 2238	. . . 4 |- ; A C = ; A C
42	10, 25, 40, 41	decsuc 9824	. . 3 |- (; A C + 1 ) = ; A D
43	42	breq2i 4139	. 2 |- ( 2 || (; A C + 1 ) <-> 2 || ; A D )
44	38, 43	mtbi 681	1 |- -. 2 || ; A D

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088   0cc0 8186   1c1 8187   + caddc 8189   x. cmul 8191   < clt 8367   NNcn 9314   2c2 9365   5c5 9368   NN0cn0 9575   ZZcz 9656  ;cdc 9789   || cdvds 12580

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-7 9378  df-8 9379  df-9 9380  df-n0 9576  df-z 9657  df-dec 9790  df-uz 9939  df-q 10037  df-rp 10073  df-fl 10723  df-mod 10782  df-seqfrec 10907  df-exp 10998  df-cj 11630  df-re 11631  df-im 11632  df-rsqrt 11787  df-abs 11788  df-dvds 12581

This theorem is used by:  11prm  13259  13prm  13260  17prm  13261  19prm  13262  23prm  13263  37prm  13265  43prm  13266  83prm  13267  139prm  13268  163prm  13269  317prm  13270  631prm  13271