Theorem dec2dvds 12900

Description: Divisibility by two is obvious in base 10. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dec2dvds.1	|- A e. NN0
dec2dvds.2	|- B e. NN0
dec2dvds.3	|- ( B x. 2 ) = C
dec2dvds.4	|- D = ( C + 1 )

Assertion

Ref	Expression
dec2dvds	|- -. 2 || ; A D

Proof of Theorem dec2dvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5nn0 9357	. . . . . . . . 9 |- 5 e. NN0
2	1	nn0zi 9436	. . . . . . . 8 |- 5 e. ZZ
3		2z 9442	. . . . . . . 8 |- 2 e. ZZ
4		dvdsmul2 12291	. . . . . . . 8 |- ( ( 5 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> 2 || ( 5 x. 2 ) )
5	2, 3, 4	mp2an 426	. . . . . . 7 |- 2 || ( 5 x. 2 )
6		5t2e10 9645	. . . . . . 7 |- ( 5 x. 2 ) = ; 1 0
7	5, 6	breqtri 4087	. . . . . 6 |- 2 || ; 1 0
8		10nn0 9563	. . . . . . . 8 |- ; 1 0 e. NN0
9	8	nn0zi 9436	. . . . . . 7 |- ; 1 0 e. ZZ
10		dec2dvds.1	. . . . . . . 8 |- A e. NN0
11	10	nn0zi 9436	. . . . . . 7 |- A e. ZZ
12		dvdsmultr1 12308	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. ZZ /\ ; 1 0 e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( 2 || ; 1 0 -> 2 || (; 1 0 x. A ) ) )
13	3, 9, 11, 12	mp3an 1352	. . . . . 6 |- ( 2 || ; 1 0 -> 2 || (; 1 0 x. A ) )
14	7, 13	ax-mp 5	. . . . 5 |- 2 || (; 1 0 x. A )
15		dec2dvds.2	. . . . . . . 8 |- B e. NN0
16	15	nn0zi 9436	. . . . . . 7 |- B e. ZZ
17		dvdsmul2 12291	. . . . . . 7 |- ( ( B e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> 2 || ( B x. 2 ) )
18	16, 3, 17	mp2an 426	. . . . . 6 |- 2 || ( B x. 2 )
19		dec2dvds.3	. . . . . 6 |- ( B x. 2 ) = C
20	18, 19	breqtri 4087	. . . . 5 |- 2 || C
21	8, 10	nn0mulcli 9375	. . . . . . 7 |- (; 1 0 x. A ) e. NN0
22	21	nn0zi 9436	. . . . . 6 |- (; 1 0 x. A ) e. ZZ
23		2nn0 9354	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN0
24	15, 23	nn0mulcli 9375	. . . . . . . 8 |- ( B x. 2 ) e. NN0
25	19, 24	eqeltrri 2283	. . . . . . 7 |- C e. NN0
26	25	nn0zi 9436	. . . . . 6 |- C e. ZZ
27		dvds2add 12302	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. ZZ /\ (; 1 0 x. A ) e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( ( 2 || (; 1 0 x. A ) /\ 2 || C ) -> 2 || ( (; 1 0 x. A ) + C ) ) )
28	3, 22, 26, 27	mp3an 1352	. . . . 5 |- ( ( 2 || (; 1 0 x. A ) /\ 2 || C ) -> 2 || ( (; 1 0 x. A ) + C ) )
29	14, 20, 28	mp2an 426	. . . 4 |- 2 || ( (; 1 0 x. A ) + C )
30		dfdec10 9549	. . . 4 |- ; A C = ( (; 1 0 x. A ) + C )
31	29, 30	breqtrri 4089	. . 3 |- 2 || ; A C
32	10, 25	deccl 9560	. . . . 5 |- ; A C e. NN0
33	32	nn0zi 9436	. . . 4 |- ; A C e. ZZ
34		2nn 9240	. . . 4 |- 2 e. NN
35		1lt2 9248	. . . 4 |- 1 < 2
36		ndvdsp1 12409	. . . 4 |- ( (; A C e. ZZ /\ 2 e. NN /\ 1 < 2 ) -> ( 2 || ; A C -> -. 2 || (; A C + 1 ) ) )
37	33, 34, 35, 36	mp3an 1352	. . 3 |- ( 2 || ; A C -> -. 2 || (; A C + 1 ) )
38	31, 37	ax-mp 5	. 2 |- -. 2 || (; A C + 1 )
39		dec2dvds.4	. . . . 5 |- D = ( C + 1 )
40	39	eqcomi 2213	. . . 4 |- ( C + 1 ) = D
41		eqid 2209	. . . 4 |- ; A C = ; A C
42	10, 25, 40, 41	decsuc 9576	. . 3 |- (; A C + 1 ) = ; A D
43	42	breq2i 4070	. 2 |- ( 2 || (; A C + 1 ) <-> 2 || ; A D )
44	38, 43	mtbi 674	1 |- -. 2 || ; A D

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1375   e. wcel 2180   class class class wbr 4062  (class class class)co 5974   0cc0 7967   1c1 7968   + caddc 7970   x. cmul 7972   < clt 8149   NNcn 9078   2c2 9129   5c5 9132   NN0cn0 9337   ZZcz 9414  ;cdc 9546   || cdvds 12264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-iinf 4657  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-mulrcl 8066  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-precex 8077  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083  ax-pre-mulgt0 8084  ax-pre-mulext 8085  ax-arch 8086

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-if 3583  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-id 4361  df-po 4364  df-iso 4365  df-iord 4434  df-on 4436  df-ilim 4437  df-suc 4439  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-recs 6421  df-frec 6507  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-reap 8690  df-ap 8697  df-div 8788  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-5 9140  df-6 9141  df-7 9142  df-8 9143  df-9 9144  df-n0 9338  df-z 9415  df-dec 9547  df-uz 9691  df-q 9783  df-rp 9818  df-fl 10457  df-mod 10512  df-seqfrec 10637  df-exp 10728  df-cj 11319  df-re 11320  df-im 11321  df-rsqrt 11475  df-abs 11476  df-dvds 12265

This theorem is referenced by: (None)