Theorem dec2dvds 13105

Description: Divisibility by two is obvious in base 10. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dec2dvds.1	|- A e. NN0
dec2dvds.2	|- B e. NN0
dec2dvds.3	|- ( B x. 2 ) = C
dec2dvds.4	|- D = ( C + 1 )

Assertion

Ref	Expression
dec2dvds	|- -. 2 || ; A D

Proof of Theorem dec2dvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5nn0 9515	. . . . . . . . 9 |- 5 e. NN0
2	1	nn0zi 9598	. . . . . . . 8 |- 5 e. ZZ
3		2z 9604	. . . . . . . 8 |- 2 e. ZZ
4		dvdsmul2 12496	. . . . . . . 8 |- ( ( 5 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> 2 || ( 5 x. 2 ) )
5	2, 3, 4	mp2an 426	. . . . . . 7 |- 2 || ( 5 x. 2 )
6		5t2e10 9807	. . . . . . 7 |- ( 5 x. 2 ) = ; 1 0
7	5, 6	breqtri 4133	. . . . . 6 |- 2 || ; 1 0
8		10nn0 9725	. . . . . . . 8 |- ; 1 0 e. NN0
9	8	nn0zi 9598	. . . . . . 7 |- ; 1 0 e. ZZ
10		dec2dvds.1	. . . . . . . 8 |- A e. NN0
11	10	nn0zi 9598	. . . . . . 7 |- A e. ZZ
12		dvdsmultr1 12513	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. ZZ /\ ; 1 0 e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( 2 || ; 1 0 -> 2 || (; 1 0 x. A ) ) )
13	3, 9, 11, 12	mp3an 1374	. . . . . 6 |- ( 2 || ; 1 0 -> 2 || (; 1 0 x. A ) )
14	7, 13	ax-mp 5	. . . . 5 |- 2 || (; 1 0 x. A )
15		dec2dvds.2	. . . . . . . 8 |- B e. NN0
16	15	nn0zi 9598	. . . . . . 7 |- B e. ZZ
17		dvdsmul2 12496	. . . . . . 7 |- ( ( B e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> 2 || ( B x. 2 ) )
18	16, 3, 17	mp2an 426	. . . . . 6 |- 2 || ( B x. 2 )
19		dec2dvds.3	. . . . . 6 |- ( B x. 2 ) = C
20	18, 19	breqtri 4133	. . . . 5 |- 2 || C
21	8, 10	nn0mulcli 9533	. . . . . . 7 |- (; 1 0 x. A ) e. NN0
22	21	nn0zi 9598	. . . . . 6 |- (; 1 0 x. A ) e. ZZ
23		2nn0 9512	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN0
24	15, 23	nn0mulcli 9533	. . . . . . . 8 |- ( B x. 2 ) e. NN0
25	19, 24	eqeltrri 2306	. . . . . . 7 |- C e. NN0
26	25	nn0zi 9598	. . . . . 6 |- C e. ZZ
27		dvds2add 12507	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. ZZ /\ (; 1 0 x. A ) e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( ( 2 || (; 1 0 x. A ) /\ 2 || C ) -> 2 || ( (; 1 0 x. A ) + C ) ) )
28	3, 22, 26, 27	mp3an 1374	. . . . 5 |- ( ( 2 || (; 1 0 x. A ) /\ 2 || C ) -> 2 || ( (; 1 0 x. A ) + C ) )
29	14, 20, 28	mp2an 426	. . . 4 |- 2 || ( (; 1 0 x. A ) + C )
30		dfdec10 9711	. . . 4 |- ; A C = ( (; 1 0 x. A ) + C )
31	29, 30	breqtrri 4135	. . 3 |- 2 || ; A C
32	10, 25	deccl 9722	. . . . 5 |- ; A C e. NN0
33	32	nn0zi 9598	. . . 4 |- ; A C e. ZZ
34		2nn 9398	. . . 4 |- 2 e. NN
35		1lt2 9406	. . . 4 |- 1 < 2
36		ndvdsp1 12614	. . . 4 |- ( (; A C e. ZZ /\ 2 e. NN /\ 1 < 2 ) -> ( 2 || ; A C -> -. 2 || (; A C + 1 ) ) )
37	33, 34, 35, 36	mp3an 1374	. . 3 |- ( 2 || ; A C -> -. 2 || (; A C + 1 ) )
38	31, 37	ax-mp 5	. 2 |- -. 2 || (; A C + 1 )
39		dec2dvds.4	. . . . 5 |- D = ( C + 1 )
40	39	eqcomi 2236	. . . 4 |- ( C + 1 ) = D
41		eqid 2232	. . . 4 |- ; A C = ; A C
42	10, 25, 40, 41	decsuc 9738	. . 3 |- (; A C + 1 ) = ; A D
43	42	breq2i 4116	. 2 |- ( 2 || (; A C + 1 ) <-> 2 || ; A D )
44	38, 43	mtbi 677	1 |- -. 2 || ; A D

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   class class class wbr 4108  (class class class)co 6049   0cc0 8126   1c1 8127   + caddc 8129   x. cmul 8131   < clt 8307   NNcn 9236   2c2 9287   5c5 9290   NN0cn0 9495   ZZcz 9576  ;cdc 9708   || cdvds 12469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-mulrcl 8225  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-precex 8236  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242  ax-pre-mulgt0 8243  ax-pre-mulext 8244  ax-arch 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-reap 8848  df-ap 8855  df-div 8946  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-5 9298  df-6 9299  df-7 9300  df-8 9301  df-9 9302  df-n0 9496  df-z 9577  df-dec 9709  df-uz 9853  df-q 9951  df-rp 9986  df-fl 10629  df-mod 10684  df-seqfrec 10809  df-exp 10900  df-cj 11523  df-re 11524  df-im 11525  df-rsqrt 11679  df-abs 11680  df-dvds 12470

This theorem is referenced by: (None)