Theorem dec2dvds 13007

Description: Divisibility by two is obvious in base 10. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dec2dvds.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dec2dvds.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
dec2dvds.3	⊢ (𝐵 · 2) = 𝐶
dec2dvds.4	⊢ 𝐷 = (𝐶 + 1)

Assertion

Ref	Expression
dec2dvds	⊢ ¬ 2 ∥ ;𝐴𝐷

Proof of Theorem dec2dvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5nn0 9427	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℕ0
2	1	nn0zi 9506	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℤ
3		2z 9512	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
4		dvdsmul2 12398	. . . . . . . 8 ⊢ ((5 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → 2 ∥ (5 · 2))
5	2, 3, 4	mp2an 426	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∥ (5 · 2)
6		5t2e10 9715	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 2) = ;10
7	5, 6	breqtri 4114	. . . . . 6 ⊢ 2 ∥ ;10
8		10nn0 9633	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
9	8	nn0zi 9506	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℤ
10		dec2dvds.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
11	10	nn0zi 9506	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℤ
12		dvdsmultr1 12415	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ ;10 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (2 ∥ ;10 → 2 ∥ (;10 · 𝐴)))
13	3, 9, 11, 12	mp3an 1373	. . . . . 6 ⊢ (2 ∥ ;10 → 2 ∥ (;10 · 𝐴))
14	7, 13	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 2 ∥ (;10 · 𝐴)
15		dec2dvds.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
16	15	nn0zi 9506	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℤ
17		dvdsmul2 12398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → 2 ∥ (𝐵 · 2))
18	16, 3, 17	mp2an 426	. . . . . 6 ⊢ 2 ∥ (𝐵 · 2)
19		dec2dvds.3	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 · 2) = 𝐶
20	18, 19	breqtri 4114	. . . . 5 ⊢ 2 ∥ 𝐶
21	8, 10	nn0mulcli 9445	. . . . . . 7 ⊢ (;10 · 𝐴) ∈ ℕ0
22	21	nn0zi 9506	. . . . . 6 ⊢ (;10 · 𝐴) ∈ ℤ
23		2nn0 9424	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
24	15, 23	nn0mulcli 9445	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 · 2) ∈ ℕ0
25	19, 24	eqeltrri 2304	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
26	25	nn0zi 9506	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℤ
27		dvds2add 12409	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (;10 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((2 ∥ (;10 · 𝐴) ∧ 2 ∥ 𝐶) → 2 ∥ ((;10 · 𝐴) + 𝐶)))
28	3, 22, 26, 27	mp3an 1373	. . . . 5 ⊢ ((2 ∥ (;10 · 𝐴) ∧ 2 ∥ 𝐶) → 2 ∥ ((;10 · 𝐴) + 𝐶))
29	14, 20, 28	mp2an 426	. . . 4 ⊢ 2 ∥ ((;10 · 𝐴) + 𝐶)
30		dfdec10 9619	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐶 = ((;10 · 𝐴) + 𝐶)
31	29, 30	breqtrri 4116	. . 3 ⊢ 2 ∥ ;𝐴𝐶
32	10, 25	deccl 9630	. . . . 5 ⊢ ;𝐴𝐶 ∈ ℕ0
33	32	nn0zi 9506	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐶 ∈ ℤ
34		2nn 9310	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
35		1lt2 9318	. . . 4 ⊢ 1 < 2
36		ndvdsp1 12516	. . . 4 ⊢ ((;𝐴𝐶 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2) → (2 ∥ ;𝐴𝐶 → ¬ 2 ∥ (;𝐴𝐶 + 1)))
37	33, 34, 35, 36	mp3an 1373	. . 3 ⊢ (2 ∥ ;𝐴𝐶 → ¬ 2 ∥ (;𝐴𝐶 + 1))
38	31, 37	ax-mp 5	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ (;𝐴𝐶 + 1)
39		dec2dvds.4	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝐶 + 1)
40	39	eqcomi 2234	. . . 4 ⊢ (𝐶 + 1) = 𝐷
41		eqid 2230	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐶 = ;𝐴𝐶
42	10, 25, 40, 41	decsuc 9646	. . 3 ⊢ (;𝐴𝐶 + 1) = ;𝐴𝐷
43	42	breq2i 4097	. 2 ⊢ (2 ∥ (;𝐴𝐶 + 1) ↔ 2 ∥ ;𝐴𝐷)
44	38, 43	mtbi 676	1 ⊢ ¬ 2 ∥ ;𝐴𝐷

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2201   class class class wbr 4089  (class class class)co 6023  0cc0 8037  1c1 8038   + caddc 8040   · cmul 8042   < clt 8219  ℕcn 9148  2c2 9199  5c5 9202  ℕ₀cn0 9407  ℤcz 9484  ;cdc 9616   ∥ cdvds 12371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulrcl 8136  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-precex 8147  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153  ax-pre-mulgt0 8154  ax-pre-mulext 8155  ax-arch 8156

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-id 4392  df-po 4395  df-iso 4396  df-iord 4465  df-on 4467  df-ilim 4468  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6476  df-frec 6562  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-reap 8760  df-ap 8767  df-div 8858  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-5 9210  df-6 9211  df-7 9212  df-8 9213  df-9 9214  df-n0 9408  df-z 9485  df-dec 9617  df-uz 9761  df-q 9859  df-rp 9894  df-fl 10536  df-mod 10591  df-seqfrec 10716  df-exp 10807  df-cj 11425  df-re 11426  df-im 11427  df-rsqrt 11581  df-abs 11582  df-dvds 12372

This theorem is referenced by: (None)