Theorem dec2nprm 12948

Description: A decimal number greater than 10 and ending with an even digit is not a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dec5nprm.1	|- A e. NN
dec2nprm.2	|- B e. NN0
dec2nprm.3	|- ( B x. 2 ) = C

Assertion

Ref	Expression
dec2nprm	|- -. ; A C e. Prime

Proof of Theorem dec2nprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5nn 9283	. . . 4 |- 5 e. NN
2		dec5nprm.1	. . . 4 |- A e. NN
3	1, 2	nnmulcli 9140	. . 3 |- ( 5 x. A ) e. NN
4		dec2nprm.2	. . 3 |- B e. NN0
5		nnnn0addcl 9407	. . 3 |- ( ( ( 5 x. A ) e. NN /\ B e. NN0 ) -> ( ( 5 x. A ) + B ) e. NN )
6	3, 4, 5	mp2an 426	. 2 |- ( ( 5 x. A ) + B ) e. NN
7		2nn 9280	. 2 |- 2 e. NN
8		1nn0 9393	. . 3 |- 1 e. NN0
9		1lt5 9297	. . 3 |- 1 < 5
10	1, 2, 4, 8, 9	numlti 9622	. 2 |- 1 < ( ( 5 x. A ) + B )
11		1lt2 9288	. 2 |- 1 < 2
12	1	nncni 9128	. . . . . 6 |- 5 e. CC
13	2	nncni 9128	. . . . . 6 |- A e. CC
14		2cn 9189	. . . . . 6 |- 2 e. CC
15	12, 13, 14	mul32i 8301	. . . . 5 |- ( ( 5 x. A ) x. 2 ) = ( ( 5 x. 2 ) x. A )
16		5t2e10 9685	. . . . . 6 |- ( 5 x. 2 ) = ; 1 0
17	16	oveq1i 6017	. . . . 5 |- ( ( 5 x. 2 ) x. A ) = (; 1 0 x. A )
18	15, 17	eqtri 2250	. . . 4 |- ( ( 5 x. A ) x. 2 ) = (; 1 0 x. A )
19		dec2nprm.3	. . . 4 |- ( B x. 2 ) = C
20	18, 19	oveq12i 6019	. . 3 |- ( ( ( 5 x. A ) x. 2 ) + ( B x. 2 ) ) = ( (; 1 0 x. A ) + C )
21	3	nncni 9128	. . . 4 |- ( 5 x. A ) e. CC
22	4	nn0cni 9389	. . . 4 |- B e. CC
23	21, 22, 14	adddiri 8165	. . 3 |- ( ( ( 5 x. A ) + B ) x. 2 ) = ( ( ( 5 x. A ) x. 2 ) + ( B x. 2 ) )
24		dfdec10 9589	. . 3 |- ; A C = ( (; 1 0 x. A ) + C )
25	20, 23, 24	3eqtr4i 2260	. 2 |- ( ( ( 5 x. A ) + B ) x. 2 ) = ; A C
26	6, 7, 10, 11, 25	nprmi 12656	1 |- -. ; A C e. Prime

Syntax hints:   -. wn 3   = wceq 1395   e. wcel 2200  (class class class)co 6007   0cc0 8007   1c1 8008   + caddc 8010   x. cmul 8012   NNcn 9118   2c2 9169   5c5 9172   NN0cn0 9377  ;cdc 9586   Primecprime 12639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-pre-mulext 8125  ax-arch 8126  ax-caucvg 8127

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-1o 6568  df-2o 6569  df-er 6688  df-en 6896  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-ap 8737  df-div 8828  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-5 9180  df-6 9181  df-7 9182  df-8 9183  df-9 9184  df-n0 9378  df-z 9455  df-dec 9587  df-uz 9731  df-q 9823  df-rp 9858  df-seqfrec 10678  df-exp 10769  df-cj 11363  df-re 11364  df-im 11365  df-rsqrt 11519  df-abs 11520  df-dvds 12309  df-prm 12640

This theorem is referenced by: (None)