Theorem dec2nprm 13109

Description: A decimal number greater than 10 and ending with an even digit is not a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dec5nprm.1	|- A e. NN
dec2nprm.2	|- B e. NN0
dec2nprm.3	|- ( B x. 2 ) = C

Assertion

Ref	Expression
dec2nprm	|- -. ; A C e. Prime

Proof of Theorem dec2nprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5nn 9401	. . . 4 |- 5 e. NN
2		dec5nprm.1	. . . 4 |- A e. NN
3	1, 2	nnmulcli 9258	. . 3 |- ( 5 x. A ) e. NN
4		dec2nprm.2	. . 3 |- B e. NN0
5		nnnn0addcl 9525	. . 3 |- ( ( ( 5 x. A ) e. NN /\ B e. NN0 ) -> ( ( 5 x. A ) + B ) e. NN )
6	3, 4, 5	mp2an 426	. 2 |- ( ( 5 x. A ) + B ) e. NN
7		2nn 9398	. 2 |- 2 e. NN
8		1nn0 9511	. . 3 |- 1 e. NN0
9		1lt5 9415	. . 3 |- 1 < 5
10	1, 2, 4, 8, 9	numlti 9744	. 2 |- 1 < ( ( 5 x. A ) + B )
11		1lt2 9406	. 2 |- 1 < 2
12	1	nncni 9246	. . . . . 6 |- 5 e. CC
13	2	nncni 9246	. . . . . 6 |- A e. CC
14		2cn 9307	. . . . . 6 |- 2 e. CC
15	12, 13, 14	mul32i 8419	. . . . 5 |- ( ( 5 x. A ) x. 2 ) = ( ( 5 x. 2 ) x. A )
16		5t2e10 9807	. . . . . 6 |- ( 5 x. 2 ) = ; 1 0
17	16	oveq1i 6059	. . . . 5 |- ( ( 5 x. 2 ) x. A ) = (; 1 0 x. A )
18	15, 17	eqtri 2253	. . . 4 |- ( ( 5 x. A ) x. 2 ) = (; 1 0 x. A )
19		dec2nprm.3	. . . 4 |- ( B x. 2 ) = C
20	18, 19	oveq12i 6061	. . 3 |- ( ( ( 5 x. A ) x. 2 ) + ( B x. 2 ) ) = ( (; 1 0 x. A ) + C )
21	3	nncni 9246	. . . 4 |- ( 5 x. A ) e. CC
22	4	nn0cni 9507	. . . 4 |- B e. CC
23	21, 22, 14	adddiri 8284	. . 3 |- ( ( ( 5 x. A ) + B ) x. 2 ) = ( ( ( 5 x. A ) x. 2 ) + ( B x. 2 ) )
24		dfdec10 9711	. . 3 |- ; A C = ( (; 1 0 x. A ) + C )
25	20, 23, 24	3eqtr4i 2263	. 2 |- ( ( ( 5 x. A ) + B ) x. 2 ) = ; A C
26	6, 7, 10, 11, 25	nprmi 12817	1 |- -. ; A C e. Prime

Syntax hints:   -. wn 3   = wceq 1398   e. wcel 2203  (class class class)co 6049   0cc0 8126   1c1 8127   + caddc 8129   x. cmul 8131   NNcn 9236   2c2 9287   5c5 9290   NN0cn0 9495  ;cdc 9708   Primecprime 12800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-mulrcl 8225  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-precex 8236  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242  ax-pre-mulgt0 8243  ax-pre-mulext 8244  ax-arch 8245  ax-caucvg 8246

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-1o 6646  df-2o 6647  df-er 6766  df-en 6975  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-reap 8848  df-ap 8855  df-div 8946  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-5 9298  df-6 9299  df-7 9300  df-8 9301  df-9 9302  df-n0 9496  df-z 9577  df-dec 9709  df-uz 9853  df-q 9951  df-rp 9986  df-seqfrec 10809  df-exp 10900  df-cj 11523  df-re 11524  df-im 11525  df-rsqrt 11679  df-abs 11680  df-dvds 12470  df-prm 12801

This theorem is referenced by: (None)