Theorem dec2nprm 13196

Description: A decimal number greater than 10 and ending with an even digit is not a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dec5nprm.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ
dec2nprm.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
dec2nprm.3	⊢ (𝐵 · 2) = 𝐶

Assertion

Ref	Expression
dec2nprm	⊢ ¬ ;𝐴𝐶 ∈ ℙ

Proof of Theorem dec2nprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5nn 9471	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ
2		dec5nprm.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
3	1, 2	nnmulcli 9327	. . 3 ⊢ (5 · 𝐴) ∈ ℕ
4		dec2nprm.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
5		nnnn0addcl 9595	. . 3 ⊢ (((5 · 𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((5 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ)
6	3, 4, 5	mp2an 430	. 2 ⊢ ((5 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ
7		2nn 9468	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ
8		1nn0 9581	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		1lt5 9485	. . 3 ⊢ 1 < 5
10	1, 2, 4, 8, 9	numlti 9815	. 2 ⊢ 1 < ((5 · 𝐴) + 𝐵)
11		1lt2 9476	. 2 ⊢ 1 < 2
12	1	nncni 9315	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
13	2	nncni 9315	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
14		2cn 9376	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
15	12, 13, 14	mul32i 8473	. . . . 5 ⊢ ((5 · 𝐴) · 2) = ((5 · 2) · 𝐴)
16		5t2e10 9878	. . . . . 6 ⊢ (5 · 2) = ;10
17	16	oveq1i 6095	. . . . 5 ⊢ ((5 · 2) · 𝐴) = (;10 · 𝐴)
18	15, 17	eqtri 2259	. . . 4 ⊢ ((5 · 𝐴) · 2) = (;10 · 𝐴)
19		dec2nprm.3	. . . 4 ⊢ (𝐵 · 2) = 𝐶
20	18, 19	oveq12i 6097	. . 3 ⊢ (((5 · 𝐴) · 2) + (𝐵 · 2)) = ((;10 · 𝐴) + 𝐶)
21	3	nncni 9315	. . . 4 ⊢ (5 · 𝐴) ∈ ℂ
22	4	nn0cni 9577	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
23	21, 22, 14	adddiri 8337	. . 3 ⊢ (((5 · 𝐴) + 𝐵) · 2) = (((5 · 𝐴) · 2) + (𝐵 · 2))
24		dfdec10 9782	. . 3 ⊢ ;𝐴𝐶 = ((;10 · 𝐴) + 𝐶)
25	20, 23, 24	3eqtr4i 2269	. 2 ⊢ (((5 · 𝐴) + 𝐵) · 2) = ;𝐴𝐶
26	6, 7, 10, 11, 25	nprmi 12904	1 ⊢ ¬ ;𝐴𝐶 ∈ ℙ

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6085  0cc0 8179  1c1 8180   + caddc 8182   · cmul 8184  ℕcn 9305  2c2 9356  5c5 9359  ℕ₀cn0 9565  ;cdc 9779  ℙcprime 12887

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-er 6807  df-en 7023  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8904  df-ap 8911  df-div 9004  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-5 9367  df-6 9368  df-7 9369  df-8 9370  df-9 9371  df-n0 9566  df-z 9647  df-dec 9780  df-uz 9924  df-q 10022  df-rp 10057  df-seqfrec 10887  df-exp 10978  df-cj 11609  df-re 11610  df-im 11611  df-rsqrt 11766  df-abs 11767  df-dvds 12557  df-prm 12888

This theorem is used by: (None)