Theorem dec2nprm 13222

Description: A decimal number greater than 10 and ending with an even digit is not a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dec5nprm.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ
dec2nprm.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
dec2nprm.3	⊢ (𝐵 · 2) = 𝐶

Assertion

Ref	Expression
dec2nprm	⊢ ¬ ;𝐴𝐶 ∈ ℙ

Proof of Theorem dec2nprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5nn 9480	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ
2		dec5nprm.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
3	1, 2	nnmulcli 9335	. . 3 ⊢ (5 · 𝐴) ∈ ℕ
4		dec2nprm.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
5		nnnn0addcl 9604	. . 3 ⊢ (((5 · 𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((5 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ)
6	3, 4, 5	mp2an 430	. 2 ⊢ ((5 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ
7		2nn 9477	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ
8		1nn0 9590	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		1lt5 9494	. . 3 ⊢ 1 < 5
10	1, 2, 4, 8, 9	numlti 9828	. 2 ⊢ 1 < ((5 · 𝐴) + 𝐵)
11		1lt2 9485	. 2 ⊢ 1 < 2
12	1	nncni 9323	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
13	2	nncni 9323	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
14		2cn 9384	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
15	12, 13, 14	mul32i 8480	. . . . 5 ⊢ ((5 · 𝐴) · 2) = ((5 · 2) · 𝐴)
16		5t2e10 9891	. . . . . 6 ⊢ (5 · 2) = ;10
17	16	oveq1i 6098	. . . . 5 ⊢ ((5 · 2) · 𝐴) = (;10 · 𝐴)
18	15, 17	eqtri 2259	. . . 4 ⊢ ((5 · 𝐴) · 2) = (;10 · 𝐴)
19		dec2nprm.3	. . . 4 ⊢ (𝐵 · 2) = 𝐶
20	18, 19	oveq12i 6100	. . 3 ⊢ (((5 · 𝐴) · 2) + (𝐵 · 2)) = ((;10 · 𝐴) + 𝐶)
21	3	nncni 9323	. . . 4 ⊢ (5 · 𝐴) ∈ ℂ
22	4	nn0cni 9586	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
23	21, 22, 14	adddiri 8343	. . 3 ⊢ (((5 · 𝐴) + 𝐵) · 2) = (((5 · 𝐴) · 2) + (𝐵 · 2))
24		dfdec10 9790	. . 3 ⊢ ;𝐴𝐶 = ((;10 · 𝐴) + 𝐶)
25	20, 23, 24	3eqtr4i 2269	. 2 ⊢ (((5 · 𝐴) + 𝐵) · 2) = ;𝐴𝐶
26	6, 7, 10, 11, 25	nprmi 12926	1 ⊢ ¬ ;𝐴𝐶 ∈ ℙ

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6088  0cc0 8185  1c1 8186   + caddc 8188   · cmul 8190  ℕcn 9313  2c2 9364  5c5 9367  ℕ₀cn0 9574  ;cdc 9787  ℙcprime 12909

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6581  df-frec 6667  df-1o 6692  df-2o 6693  df-er 6812  df-en 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9654  df-dec 9788  df-uz 9937  df-q 10035  df-rp 10071  df-seqfrec 10905  df-exp 10996  df-cj 11628  df-re 11629  df-im 11630  df-rsqrt 11785  df-abs 11786  df-dvds 12579  df-prm 12910

This theorem is used by:  10nprm  13256