ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divdenle GIF version
Theorem divdenle 12200
Description: Reducing a quotient never increases the denominator. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
divdenle ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (denomβ€˜(𝐴 / 𝐡)) ≀ 𝐡)
Proof of Theorem divdenle
StepHypRef Expression
1 divnumden 12199 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ ((numerβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐡)) ∧ (denomβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡))))
21simprd 114 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (denomβ€˜(𝐴 / 𝐡)) = (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)))
3 simpl 109 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
4 nnz 9275 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 ∈ β„€)
54adantl 277 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ β„€)
6 nnne0 8950 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 β‰  0)
76neneqd 2368 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ β„• β†’ Β¬ 𝐡 = 0)
87adantl 277 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ Β¬ 𝐡 = 0)
98intnand 931 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ Β¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐡 = 0))
10 gcdn0cl 11966 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„€) ∧ Β¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐡 = 0)) β†’ (𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„•)
113, 5, 9, 10syl21anc 1237 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 gcd 𝐡) ∈ β„•)
1211nnge1d 8965 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 1 ≀ (𝐴 gcd 𝐡))
13 1red 7975 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 1 ∈ ℝ)
14 0lt1 8087 . . . . . 6 0 < 1
1514a1i 9 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 0 < 1)
1611nnred 8935 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 gcd 𝐡) ∈ ℝ)
1711nngt0d 8966 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 0 < (𝐴 gcd 𝐡))
18 nnre 8929 . . . . . 6 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
1918adantl 277 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
20 nngt0 8947 . . . . . 6 (𝐡 ∈ β„• β†’ 0 < 𝐡)
2120adantl 277 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 0 < 𝐡)
22 lediv2 8851 . . . . 5 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ ((𝐴 gcd 𝐡) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 gcd 𝐡)) ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐡)) β†’ (1 ≀ (𝐴 gcd 𝐡) ↔ (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)) ≀ (𝐡 / 1)))
2313, 15, 16, 17, 19, 21, 22syl222anc 1254 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (1 ≀ (𝐴 gcd 𝐡) ↔ (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)) ≀ (𝐡 / 1)))
2412, 23mpbid 147 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)) ≀ (𝐡 / 1))
25 nncn 8930 . . . . 5 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
2625adantl 277 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
2726div1d 8740 . . 3 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐡 / 1) = 𝐡)
2824, 27breqtrd 4031 . 2 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐡 / (𝐴 gcd 𝐡)) ≀ 𝐡)
292, 28eqbrtrd 4027 1 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (denomβ€˜(𝐴 / 𝐡)) ≀ 𝐡)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4005  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5878  β„‚cc 7812  β„cr 7813  0cc0 7814  1c1 7815   < clt 7995   ≀ cle 7996   / cdiv 8632  β„•cn 8922  β„€cz 9256   gcd cgcd 11946  numercnumer 12184  denomcdenom 12185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932  ax-arch 7933  ax-caucvg 7934
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-frec 6395  df-sup 6986  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-q 9623  df-rp 9657  df-fz 10012  df-fzo 10146  df-fl 10273  df-mod 10326  df-seqfrec 10449  df-exp 10523  df-cj 10854  df-re 10855  df-im 10856  df-rsqrt 11010  df-abs 11011  df-dvds 11798  df-gcd 11947  df-numer 12186  df-denom 12187
This theorem is referenced by:  qden1elz  12208
  Copyright terms: Public domain W3C validator