Theorem divdenle 12759

Description: Reducing a quotient never increases the denominator. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
divdenle	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (denom‘(𝐴 / 𝐵)) ≤ 𝐵)

Proof of Theorem divdenle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divnumden 12758	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((numer‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ∧ (denom‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))
2	1	simprd 114	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (denom‘(𝐴 / 𝐵)) = (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)))
3		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
4		nnz 9488	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
5	4	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
6		nnne0 9161	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
7	6	neneqd 2421	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → ¬ 𝐵 = 0)
8	7	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ¬ 𝐵 = 0)
9	8	intnand 936	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
10		gcdn0cl 12523	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
11	3, 5, 9, 10	syl21anc 1270	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
12	11	nnge1d 9176	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 1 ≤ (𝐴 gcd 𝐵))
13		1red 8184	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
14		0lt1 8296	. . . . . 6 ⊢ 0 < 1
15	14	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 1)
16	11	nnred 9146	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℝ)
17	11	nngt0d 9177	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < (𝐴 gcd 𝐵))
18		nnre 9140	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
19	18	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
20		nngt0 9158	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 0 < 𝐵)
21	20	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 𝐵)
22		lediv2 9061	. . . . 5 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 gcd 𝐵)) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (1 ≤ (𝐴 gcd 𝐵) ↔ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ≤ (𝐵 / 1)))
23	13, 15, 16, 17, 19, 21, 22	syl222anc 1287	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 ≤ (𝐴 gcd 𝐵) ↔ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ≤ (𝐵 / 1)))
24	12, 23	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ≤ (𝐵 / 1))
25		nncn 9141	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
26	25	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
27	26	div1d 8950	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 / 1) = 𝐵)
28	24, 27	breqtrd 4112	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ≤ 𝐵)
29	2, 28	eqbrtrd 4108	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (denom‘(𝐴 / 𝐵)) ≤ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4086  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  ℂcc 8020  ℝcr 8021  0cc0 8022  1c1 8023   < clt 8204   ≤ cle 8205   / cdiv 8842  ℕcn 9133  ℤcz 9469   gcd cgcd 12514  numercnumer 12743  denomcdenom 12744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141  ax-caucvg 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-sup 7174  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-q 9844  df-rp 9879  df-fz 10234  df-fzo 10368  df-fl 10520  df-mod 10575  df-seqfrec 10700  df-exp 10791  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395  df-rsqrt 11549  df-abs 11550  df-dvds 12339  df-gcd 12515  df-numer 12745  df-denom 12746

This theorem is referenced by:  qden1elz  12767