Theorem egt2lt3 11923

Description: Euler's constant e = 2.71828... is bounded by 2 and 3. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
egt2lt3	⊢ (2 < e ∧ e < 3)

Proof of Theorem egt2lt3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2193	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · ((1 / 2)↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · ((1 / 2)↑𝑛)))
2		eqid 2193	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
3	1, 2	ege2le3 11814	. . . 4 ⊢ (2 ≤ e ∧ e ≤ 3)
4	3	simpli 111	. . 3 ⊢ 2 ≤ e
5		2z 9345	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
6		zq 9691	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℚ)
7		eirrap 11921	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℚ → e # 2)
8	5, 6, 7	mp2b 8	. . . 4 ⊢ e # 2
9		ere 11813	. . . . . 6 ⊢ e ∈ ℝ
10	9	recni 8031	. . . . 5 ⊢ e ∈ ℂ
11		2cn 9053	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		apsym 8625	. . . . 5 ⊢ ((e ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (e # 2 ↔ 2 # e))
13	10, 11, 12	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (e # 2 ↔ 2 # e)
14	8, 13	mpbi 145	. . 3 ⊢ 2 # e
15		2re 9052	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
16		ltleap 8651	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ) → (2 < e ↔ (2 ≤ e ∧ 2 # e)))
17	15, 9, 16	mp2an 426	. . 3 ⊢ (2 < e ↔ (2 ≤ e ∧ 2 # e))
18	4, 14, 17	mpbir2an 944	. 2 ⊢ 2 < e
19	3	simpri 113	. . 3 ⊢ e ≤ 3
20		3z 9346	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℤ
21		zq 9691	. . . 4 ⊢ (3 ∈ ℤ → 3 ∈ ℚ)
22		eirrap 11921	. . . 4 ⊢ (3 ∈ ℚ → e # 3)
23	20, 21, 22	mp2b 8	. . 3 ⊢ e # 3
24		3re 9056	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℝ
25		ltleap 8651	. . . 4 ⊢ ((e ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → (e < 3 ↔ (e ≤ 3 ∧ e # 3)))
26	9, 24, 25	mp2an 426	. . 3 ⊢ (e < 3 ↔ (e ≤ 3 ∧ e # 3))
27	19, 23, 26	mpbir2an 944	. 2 ⊢ e < 3
28	18, 27	pm3.2i 272	1 ⊢ (2 < e ∧ e < 3)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4029   ↦ cmpt 4090  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  ℂcc 7870  ℝcr 7871  1c1 7873   · cmul 7877   < clt 8054   ≤ cle 8055   # cap 8600   / cdiv 8691  ℕcn 8982  2c2 9033  3c3 9034  ℕ₀cn0 9240  ℤcz 9317  ℚcq 9684  ↑cexp 10609  !cfa 10796  eceu 11786

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-frec 6444  df-1o 6469  df-oadd 6473  df-er 6587  df-en 6795  df-dom 6796  df-fin 6797  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-ico 9960  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-fac 10797  df-bc 10819  df-ihash 10847  df-shft 10959  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-clim 11422  df-sumdc 11497  df-ef 11791  df-e 11792

This theorem is referenced by:  epos  11924  ene1  11928  eap1  11929  reeff1o  14908