Theorem egt2lt3 12062

Description: Euler's constant e = 2.71828... is bounded by 2 and 3. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
egt2lt3	⊢ (2 < e ∧ e < 3)

Proof of Theorem egt2lt3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2204	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · ((1 / 2)↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · ((1 / 2)↑𝑛)))
2		eqid 2204	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
3	1, 2	ege2le3 11953	. . . 4 ⊢ (2 ≤ e ∧ e ≤ 3)
4	3	simpli 111	. . 3 ⊢ 2 ≤ e
5		2z 9399	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
6		zq 9746	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℚ)
7		eirrap 12060	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℚ → e # 2)
8	5, 6, 7	mp2b 8	. . . 4 ⊢ e # 2
9		ere 11952	. . . . . 6 ⊢ e ∈ ℝ
10	9	recni 8083	. . . . 5 ⊢ e ∈ ℂ
11		2cn 9106	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		apsym 8678	. . . . 5 ⊢ ((e ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (e # 2 ↔ 2 # e))
13	10, 11, 12	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (e # 2 ↔ 2 # e)
14	8, 13	mpbi 145	. . 3 ⊢ 2 # e
15		2re 9105	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
16		ltleap 8704	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ) → (2 < e ↔ (2 ≤ e ∧ 2 # e)))
17	15, 9, 16	mp2an 426	. . 3 ⊢ (2 < e ↔ (2 ≤ e ∧ 2 # e))
18	4, 14, 17	mpbir2an 944	. 2 ⊢ 2 < e
19	3	simpri 113	. . 3 ⊢ e ≤ 3
20		3z 9400	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℤ
21		zq 9746	. . . 4 ⊢ (3 ∈ ℤ → 3 ∈ ℚ)
22		eirrap 12060	. . . 4 ⊢ (3 ∈ ℚ → e # 3)
23	20, 21, 22	mp2b 8	. . 3 ⊢ e # 3
24		3re 9109	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℝ
25		ltleap 8704	. . . 4 ⊢ ((e ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → (e < 3 ↔ (e ≤ 3 ∧ e # 3)))
26	9, 24, 25	mp2an 426	. . 3 ⊢ (e < 3 ↔ (e ≤ 3 ∧ e # 3))
27	19, 23, 26	mpbir2an 944	. 2 ⊢ e < 3
28	18, 27	pm3.2i 272	1 ⊢ (2 < e ∧ e < 3)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2175   class class class wbr 4043   ↦ cmpt 4104  ‘cfv 5270  (class class class)co 5943  ℂcc 7922  ℝcr 7923  1c1 7925   · cmul 7929   < clt 8106   ≤ cle 8107   # cap 8653   / cdiv 8744  ℕcn 9035  2c2 9086  3c3 9087  ℕ₀cn0 9294  ℤcz 9371  ℚcq 9739  ↑cexp 10681  !cfa 10868  eceu 11925

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041  ax-pre-mulext 8042  ax-arch 8043  ax-caucvg 8044

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-iord 4412  df-on 4414  df-ilim 4415  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-isom 5279  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-irdg 6455  df-frec 6476  df-1o 6501  df-oadd 6505  df-er 6619  df-en 6827  df-dom 6828  df-fin 6829  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654  df-div 8745  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-n0 9295  df-z 9372  df-uz 9648  df-q 9740  df-rp 9775  df-ico 10015  df-fz 10130  df-fzo 10264  df-seqfrec 10591  df-exp 10682  df-fac 10869  df-bc 10891  df-ihash 10919  df-shft 11097  df-cj 11124  df-re 11125  df-im 11126  df-rsqrt 11280  df-abs 11281  df-clim 11561  df-sumdc 11636  df-ef 11930  df-e 11931

This theorem is referenced by:  epos  12063  ene1  12067  eap1  12068  reeff1o  15216