Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  egt2lt3 GIF version

Theorem egt2lt3 11499
 Description: Euler's constant e = 2.71828... is bounded by 2 and 3. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Jan-2023.)
Assertion
Ref Expression
egt2lt3 (2 < e ∧ e < 3)

Proof of Theorem egt2lt3
StepHypRef Expression
1 eqid 2139 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · ((1 / 2)↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · ((1 / 2)↑𝑛)))
2 eqid 2139 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
31, 2ege2le3 11391 . . . 4 (2 ≤ e ∧ e ≤ 3)
43simpli 110 . . 3 2 ≤ e
5 2z 9096 . . . . 5 2 ∈ ℤ
6 zq 9432 . . . . 5 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℚ)
7 eirrap 11497 . . . . 5 (2 ∈ ℚ → e # 2)
85, 6, 7mp2b 8 . . . 4 e # 2
9 ere 11390 . . . . . 6 e ∈ ℝ
109recni 7792 . . . . 5 e ∈ ℂ
11 2cn 8805 . . . . 5 2 ∈ ℂ
12 apsym 8382 . . . . 5 ((e ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (e # 2 ↔ 2 # e))
1310, 11, 12mp2an 422 . . . 4 (e # 2 ↔ 2 # e)
148, 13mpbi 144 . . 3 2 # e
15 2re 8804 . . . 4 2 ∈ ℝ
16 ltleap 8408 . . . 4 ((2 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ) → (2 < e ↔ (2 ≤ e ∧ 2 # e)))
1715, 9, 16mp2an 422 . . 3 (2 < e ↔ (2 ≤ e ∧ 2 # e))
184, 14, 17mpbir2an 926 . 2 2 < e
193simpri 112 . . 3 e ≤ 3
20 3z 9097 . . . 4 3 ∈ ℤ
21 zq 9432 . . . 4 (3 ∈ ℤ → 3 ∈ ℚ)
22 eirrap 11497 . . . 4 (3 ∈ ℚ → e # 3)
2320, 21, 22mp2b 8 . . 3 e # 3
24 3re 8808 . . . 4 3 ∈ ℝ
25 ltleap 8408 . . . 4 ((e ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → (e < 3 ↔ (e ≤ 3 ∧ e # 3)))
269, 24, 25mp2an 422 . . 3 (e < 3 ↔ (e ≤ 3 ∧ e # 3))
2719, 23, 26mpbir2an 926 . 2 e < 3
2818, 27pm3.2i 270 1 (2 < e ∧ e < 3)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929   ↦ cmpt 3989  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℂcc 7632  ℝcr 7633  1c1 7635   · cmul 7639   < clt 7814   ≤ cle 7815   # cap 8357   / cdiv 8446  ℕcn 8734  2c2 8785  3c3 8786  ℕ0cn0 8991  ℤcz 9068  ℚcq 9425  ↑cexp 10306  !cfa 10485  eceu 11363 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7725  ax-resscn 7726  ax-1cn 7727  ax-1re 7728  ax-icn 7729  ax-addcl 7730  ax-addrcl 7731  ax-mulcl 7732  ax-mulrcl 7733  ax-addcom 7734  ax-mulcom 7735  ax-addass 7736  ax-mulass 7737  ax-distr 7738  ax-i2m1 7739  ax-0lt1 7740  ax-1rid 7741  ax-0id 7742  ax-rnegex 7743  ax-precex 7744  ax-cnre 7745  ax-pre-ltirr 7746  ax-pre-ltwlin 7747  ax-pre-lttrn 7748  ax-pre-apti 7749  ax-pre-ltadd 7750  ax-pre-mulgt0 7751  ax-pre-mulext 7752  ax-arch 7753  ax-caucvg 7754 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7816  df-mnf 7817  df-xr 7818  df-ltxr 7819  df-le 7820  df-sub 7949  df-neg 7950  df-reap 8351  df-ap 8358  df-div 8447  df-inn 8735  df-2 8793  df-3 8794  df-4 8795  df-n0 8992  df-z 9069  df-uz 9341  df-q 9426  df-rp 9456  df-ico 9691  df-fz 9805  df-fzo 9934  df-seqfrec 10233  df-exp 10307  df-fac 10486  df-bc 10508  df-ihash 10536  df-shft 10601  df-cj 10628  df-re 10629  df-im 10630  df-rsqrt 10784  df-abs 10785  df-clim 11062  df-sumdc 11137  df-ef 11368  df-e 11369 This theorem is referenced by:  epos  11500  ene1  11504  eap1  11505  reeff1o  12879
 Copyright terms: Public domain W3C validator