Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  egt2lt3 GIF version

Theorem egt2lt3 11231
 Description: Euler's constant e = 2.71828... is bounded by 2 and 3. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Jan-2023.)
Assertion
Ref Expression
egt2lt3 (2 < e ∧ e < 3)

Proof of Theorem egt2lt3
StepHypRef Expression
1 eqid 2095 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · ((1 / 2)↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · ((1 / 2)↑𝑛)))
2 eqid 2095 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
31, 2ege2le3 11125 . . . 4 (2 ≤ e ∧ e ≤ 3)
43simpli 110 . . 3 2 ≤ e
5 2z 8876 . . . . 5 2 ∈ ℤ
6 zq 9210 . . . . 5 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℚ)
7 eirrap 11229 . . . . 5 (2 ∈ ℚ → e # 2)
85, 6, 7mp2b 8 . . . 4 e # 2
9 ere 11124 . . . . . 6 e ∈ ℝ
109recni 7597 . . . . 5 e ∈ ℂ
11 2cn 8591 . . . . 5 2 ∈ ℂ
12 apsym 8180 . . . . 5 ((e ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (e # 2 ↔ 2 # e))
1310, 11, 12mp2an 418 . . . 4 (e # 2 ↔ 2 # e)
148, 13mpbi 144 . . 3 2 # e
15 2re 8590 . . . 4 2 ∈ ℝ
16 ltleap 8204 . . . 4 ((2 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ) → (2 < e ↔ (2 ≤ e ∧ 2 # e)))
1715, 9, 16mp2an 418 . . 3 (2 < e ↔ (2 ≤ e ∧ 2 # e))
184, 14, 17mpbir2an 891 . 2 2 < e
193simpri 112 . . 3 e ≤ 3
20 3z 8877 . . . 4 3 ∈ ℤ
21 zq 9210 . . . 4 (3 ∈ ℤ → 3 ∈ ℚ)
22 eirrap 11229 . . . 4 (3 ∈ ℚ → e # 3)
2320, 21, 22mp2b 8 . . 3 e # 3
24 3re 8594 . . . 4 3 ∈ ℝ
25 ltleap 8204 . . . 4 ((e ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → (e < 3 ↔ (e ≤ 3 ∧ e # 3)))
269, 24, 25mp2an 418 . . 3 (e < 3 ↔ (e ≤ 3 ∧ e # 3))
2719, 23, 26mpbir2an 891 . 2 e < 3
2818, 27pm3.2i 267 1 (2 < e ∧ e < 3)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 1445   class class class wbr 3867   ↦ cmpt 3921  ‘cfv 5049  (class class class)co 5690  ℂcc 7445  ℝcr 7446  1c1 7448   · cmul 7452   < clt 7619   ≤ cle 7620   # cap 8155   / cdiv 8236  ℕcn 8520  2c2 8571  3c3 8572  ℕ0cn0 8771  ℤcz 8848  ℚcq 9203  ↑cexp 10085  !cfa 10264  eceu 11097 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559  ax-pre-mulext 7560  ax-arch 7561  ax-caucvg 7562 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-if 3414  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-iord 4217  df-on 4219  df-ilim 4220  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-isom 5058  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-recs 6108  df-irdg 6173  df-frec 6194  df-1o 6219  df-oadd 6223  df-er 6332  df-en 6538  df-dom 6539  df-fin 6540  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156  df-div 8237  df-inn 8521  df-2 8579  df-3 8580  df-4 8581  df-n0 8772  df-z 8849  df-uz 9119  df-q 9204  df-rp 9234  df-ico 9460  df-fz 9574  df-fzo 9703  df-iseq 10002  df-seq3 10003  df-exp 10086  df-fac 10265  df-bc 10287  df-ihash 10315  df-shft 10380  df-cj 10407  df-re 10408  df-im 10409  df-rsqrt 10562  df-abs 10563  df-clim 10838  df-sumdc 10912  df-ef 11102  df-e 11103 This theorem is referenced by:  epos  11232  ene1  11236  eap1  11237
 Copyright terms: Public domain W3C validator