Theorem egt2lt3 12525

Description: Euler's constant e = 2.71828... is bounded by 2 and 3. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
egt2lt3	⊢ (2 < e ∧ e < 3)

Proof of Theorem egt2lt3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · ((1 / 2)↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · ((1 / 2)↑𝑛)))
2		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
3	1, 2	ege2le3 12416	. . . 4 ⊢ (2 ≤ e ∧ e ≤ 3)
4	3	simpli 111	. . 3 ⊢ 2 ≤ e
5		2z 9651	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
6		zq 10005	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℚ)
7		eirrap 12523	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℚ → e # 2)
8	5, 6, 7	mp2b 8	. . . 4 ⊢ e # 2
9		ere 12415	. . . . . 6 ⊢ e ∈ ℝ
10	9	recni 8328	. . . . 5 ⊢ e ∈ ℂ
11		2cn 9354	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		apsym 8924	. . . . 5 ⊢ ((e ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (e # 2 ↔ 2 # e))
13	10, 11, 12	mp2an 430	. . . 4 ⊢ (e # 2 ↔ 2 # e)
14	8, 13	mpbi 145	. . 3 ⊢ 2 # e
15		2re 9353	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
16		ltleap 8950	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ) → (2 < e ↔ (2 ≤ e ∧ 2 # e)))
17	15, 9, 16	mp2an 430	. . 3 ⊢ (2 < e ↔ (2 ≤ e ∧ 2 # e))
18	4, 14, 17	mpbir2an 955	. 2 ⊢ 2 < e
19	3	simpri 113	. . 3 ⊢ e ≤ 3
20		3z 9652	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℤ
21		zq 10005	. . . 4 ⊢ (3 ∈ ℤ → 3 ∈ ℚ)
22		eirrap 12523	. . . 4 ⊢ (3 ∈ ℚ → e # 3)
23	20, 21, 22	mp2b 8	. . 3 ⊢ e # 3
24		3re 9357	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℝ
25		ltleap 8950	. . . 4 ⊢ ((e ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → (e < 3 ↔ (e ≤ 3 ∧ e # 3)))
26	9, 24, 25	mp2an 430	. . 3 ⊢ (e < 3 ↔ (e ≤ 3 ∧ e # 3))
27	19, 23, 26	mpbir2an 955	. 2 ⊢ e < 3
28	18, 27	pm3.2i 272	1 ⊢ (2 < e ∧ e < 3)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4125   ↦ cmpt 4187  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  ℂcc 8167  ℝcr 8168  1c1 8170   · cmul 8174   < clt 8350   ≤ cle 8351   # cap 8899   / cdiv 8992  ℕcn 9283  2c2 9334  3c3 9335  ℕ₀cn0 9542  ℤcz 9623  ℚcq 9998  ↑cexp 10953  !cfa 11141  eceu 12388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-oadd 6681  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-ico 10275  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-fac 11142  df-bc 11164  df-ihash 11193  df-shft 11558  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-clim 12023  df-sumdc 12098  df-ef 12393  df-e 12394

This theorem is referenced by:  epos  12526  ene1  12530  eap1  12531  reeff1o  15797