Theorem egt2lt3 11486

Description: Euler's constant e = 2.71828... is bounded by 2 and 3. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
egt2lt3	⊢ (2 < e ∧ e < 3)

Proof of Theorem egt2lt3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2139	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · ((1 / 2)↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · ((1 / 2)↑𝑛)))
2		eqid 2139	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
3	1, 2	ege2le3 11377	. . . 4 ⊢ (2 ≤ e ∧ e ≤ 3)
4	3	simpli 110	. . 3 ⊢ 2 ≤ e
5		2z 9082	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
6		zq 9418	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℚ)
7		eirrap 11484	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℚ → e # 2)
8	5, 6, 7	mp2b 8	. . . 4 ⊢ e # 2
9		ere 11376	. . . . . 6 ⊢ e ∈ ℝ
10	9	recni 7778	. . . . 5 ⊢ e ∈ ℂ
11		2cn 8791	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		apsym 8368	. . . . 5 ⊢ ((e ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (e # 2 ↔ 2 # e))
13	10, 11, 12	mp2an 422	. . . 4 ⊢ (e # 2 ↔ 2 # e)
14	8, 13	mpbi 144	. . 3 ⊢ 2 # e
15		2re 8790	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
16		ltleap 8394	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ) → (2 < e ↔ (2 ≤ e ∧ 2 # e)))
17	15, 9, 16	mp2an 422	. . 3 ⊢ (2 < e ↔ (2 ≤ e ∧ 2 # e))
18	4, 14, 17	mpbir2an 926	. 2 ⊢ 2 < e
19	3	simpri 112	. . 3 ⊢ e ≤ 3
20		3z 9083	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℤ
21		zq 9418	. . . 4 ⊢ (3 ∈ ℤ → 3 ∈ ℚ)
22		eirrap 11484	. . . 4 ⊢ (3 ∈ ℚ → e # 3)
23	20, 21, 22	mp2b 8	. . 3 ⊢ e # 3
24		3re 8794	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℝ
25		ltleap 8394	. . . 4 ⊢ ((e ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → (e < 3 ↔ (e ≤ 3 ∧ e # 3)))
26	9, 24, 25	mp2an 422	. . 3 ⊢ (e < 3 ↔ (e ≤ 3 ∧ e # 3))
27	19, 23, 26	mpbir2an 926	. 2 ⊢ e < 3
28	18, 27	pm3.2i 270	1 ⊢ (2 < e ∧ e < 3)

Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929   ↦ cmpt 3989  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℂcc 7618  ℝcr 7619  1c1 7621   · cmul 7625   < clt 7800   ≤ cle 7801   # cap 8343   / cdiv 8432  ℕcn 8720  2c2 8771  3c3 8772  ℕ₀cn0 8977  ℤcz 9054  ℚcq 9411  ↑cexp 10292  !cfa 10471  eceu 11349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-ico 9677  df-fz 9791  df-fzo 9920  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-fac 10472  df-bc 10494  df-ihash 10522  df-shft 10587  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-clim 11048  df-sumdc 11123  df-ef 11354  df-e 11355

This theorem is referenced by:  epos  11487  ene1  11491  eap1  11492