Theorem egt2lt3 11720

Description: Euler's constant e = 2.71828... is bounded by 2 and 3. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.) (Revised by Jim Kingdon, 7-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
egt2lt3	⊢ (2 < e ∧ e < 3)

Proof of Theorem egt2lt3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2165	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · ((1 / 2)↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · ((1 / 2)↑𝑛)))
2		eqid 2165	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
3	1, 2	ege2le3 11612	. . . 4 ⊢ (2 ≤ e ∧ e ≤ 3)
4	3	simpli 110	. . 3 ⊢ 2 ≤ e
5		2z 9219	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
6		zq 9564	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℚ)
7		eirrap 11718	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℚ → e # 2)
8	5, 6, 7	mp2b 8	. . . 4 ⊢ e # 2
9		ere 11611	. . . . . 6 ⊢ e ∈ ℝ
10	9	recni 7911	. . . . 5 ⊢ e ∈ ℂ
11		2cn 8928	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		apsym 8504	. . . . 5 ⊢ ((e ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (e # 2 ↔ 2 # e))
13	10, 11, 12	mp2an 423	. . . 4 ⊢ (e # 2 ↔ 2 # e)
14	8, 13	mpbi 144	. . 3 ⊢ 2 # e
15		2re 8927	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
16		ltleap 8530	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ) → (2 < e ↔ (2 ≤ e ∧ 2 # e)))
17	15, 9, 16	mp2an 423	. . 3 ⊢ (2 < e ↔ (2 ≤ e ∧ 2 # e))
18	4, 14, 17	mpbir2an 932	. 2 ⊢ 2 < e
19	3	simpri 112	. . 3 ⊢ e ≤ 3
20		3z 9220	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℤ
21		zq 9564	. . . 4 ⊢ (3 ∈ ℤ → 3 ∈ ℚ)
22		eirrap 11718	. . . 4 ⊢ (3 ∈ ℚ → e # 3)
23	20, 21, 22	mp2b 8	. . 3 ⊢ e # 3
24		3re 8931	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℝ
25		ltleap 8530	. . . 4 ⊢ ((e ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → (e < 3 ↔ (e ≤ 3 ∧ e # 3)))
26	9, 24, 25	mp2an 423	. . 3 ⊢ (e < 3 ↔ (e ≤ 3 ∧ e # 3))
27	19, 23, 26	mpbir2an 932	. 2 ⊢ e < 3
28	18, 27	pm3.2i 270	1 ⊢ (2 < e ∧ e < 3)

Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3982   ↦ cmpt 4043  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842  ℂcc 7751  ℝcr 7752  1c1 7754   · cmul 7758   < clt 7933   ≤ cle 7934   # cap 8479   / cdiv 8568  ℕcn 8857  2c2 8908  3c3 8909  ℕ₀cn0 9114  ℤcz 9191  ℚcq 9557  ↑cexp 10454  !cfa 10638  eceu 11584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-frec 6359  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-er 6501  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-ico 9830  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-fac 10639  df-bc 10661  df-ihash 10689  df-shft 10757  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-clim 11220  df-sumdc 11295  df-ef 11589  df-e 11590

This theorem is referenced by:  epos  11721  ene1  11725  eap1  11726  reeff1o  13334