Theorem eupthvdres 16921

Description: The vertex degree remains the same for all vertices if the edges are restricted to the edges of an Eulerian path. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) (Revised by AV, 26-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
eupthvdres.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eupthvdres.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
eupthvdres.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
eupthvdres.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
eupthvdres.p	⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
eupthvdres.h	⊢ 𝐻 = ⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹))))⟩

Assertion

Ref	Expression
eupthvdres	⊢ (𝜑 → (VtxDeg‘𝐻) = (VtxDeg‘𝐺))

Proof of Theorem eupthvdres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eupthvdres.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
2		eupthvdres.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = ⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹))))⟩
3		eupthvdres.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4		vtxex 16464	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (Vtx‘𝐺) ∈ V)
5	1, 4	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) ∈ V)
6	3, 5	eqeltrid 2325	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
7		eupthvdres.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
8		iedgex 16465	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (iEdg‘𝐺) ∈ V)
9	1, 8	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) ∈ V)
10	7, 9	eqeltrid 2325	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
11		resexg 5105	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ V → (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹)))) ∈ V)
12	10, 11	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹)))) ∈ V)
13		opexg 4370	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹)))) ∈ V) → ⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹))))⟩ ∈ V)
14	6, 12, 13	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹))))⟩ ∈ V)
15	2, 14	eqeltrid 2325	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ V)
16	2	fveq2i 5701	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹))))⟩)
17		opvtxfv 16468	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹)))) ∈ V) → (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹))))⟩) = 𝑉)
18	6, 12, 17	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹))))⟩) = 𝑉)
19	16, 18	eqtrid 2283	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
20	19, 3	eqtrdi 2287	. 2 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘𝐺))
21	2	fveq2i 5701	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐻) = (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹))))⟩)
22		opiedgfv 16471	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹)))) ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹))))⟩) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹)))))
23	6, 12, 22	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹))))⟩) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹)))))
24	21, 23	eqtrid 2283	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐻) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹)))))
25		eupthvdres.p	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
26	7	eupthf1o 16896	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼)
27		f1ofo 5649	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–onto→dom 𝐼)
28		foima 5623	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–onto→dom 𝐼 → (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹))) = dom 𝐼)
29	25, 26, 27, 28	4syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹))) = dom 𝐼)
30	29	reseq2d 5065	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹)))) = (𝐼 ↾ dom 𝐼))
31		eupthvdres.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
32	31	funfnd 5411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 Fn dom 𝐼)
33		fnresdm 5495	. . . . 5 ⊢ (𝐼 Fn dom 𝐼 → (𝐼 ↾ dom 𝐼) = 𝐼)
34	32, 33	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾ dom 𝐼) = 𝐼)
35	24, 30, 34	3eqtrd 2275	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐻) = 𝐼)
36	35, 7	eqtrdi 2287	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐻) = (iEdg‘𝐺))
37	1, 15, 20, 36	vtxdeqd 16742	1 ⊢ (𝜑 → (VtxDeg‘𝐻) = (VtxDeg‘𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  ⟨cop 3712   class class class wbr 4131  dom cdm 4776   ↾ cres 4778   “ cima 4779  Fun wfun 5374   Fn wfn 5375  –onto→wfo 5378  –1-1-onto→wf1o 5379  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  0cc0 8185  ..^cfzo 10566  ♯chash 11236  Vtxcvtx 16458  iEdgciedg 16459  VtxDegcvtxdg 16732  EulerPathsceupth 16888

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-ifp 991  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-er 6811  df-map 6928  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9656  df-dec 9789  df-uz 9938  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-ihash 11237  df-word 11327  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-edgf 16451  df-vtx 16460  df-iedg 16461  df-vtxdg 16733  df-wlks 16764  df-trls 16827  df-eupth 16889

This theorem is used by:  eupth2fi  16925