Theorem eupthvdres 16329

Description: The vertex degree remains the same for all vertices if the edges are restricted to the edges of an Eulerian path. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) (Revised by AV, 26-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
eupthvdres.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eupthvdres.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
eupthvdres.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
eupthvdres.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
eupthvdres.p	⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
eupthvdres.h	⊢ 𝐻 = ⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹))))⟩

Assertion

Ref	Expression
eupthvdres	⊢ (𝜑 → (VtxDeg‘𝐻) = (VtxDeg‘𝐺))

Proof of Theorem eupthvdres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eupthvdres.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
2		eupthvdres.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = ⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹))))⟩
3		eupthvdres.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4		vtxex 15872	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (Vtx‘𝐺) ∈ V)
5	1, 4	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) ∈ V)
6	3, 5	eqeltrid 2318	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
7		eupthvdres.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
8		iedgex 15873	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (iEdg‘𝐺) ∈ V)
9	1, 8	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) ∈ V)
10	7, 9	eqeltrid 2318	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
11		resexg 5053	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ V → (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹)))) ∈ V)
12	10, 11	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹)))) ∈ V)
13		opexg 4320	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹)))) ∈ V) → ⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹))))⟩ ∈ V)
14	6, 12, 13	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹))))⟩ ∈ V)
15	2, 14	eqeltrid 2318	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ V)
16	2	fveq2i 5642	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹))))⟩)
17		opvtxfv 15876	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹)))) ∈ V) → (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹))))⟩) = 𝑉)
18	6, 12, 17	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹))))⟩) = 𝑉)
19	16, 18	eqtrid 2276	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
20	19, 3	eqtrdi 2280	. 2 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘𝐺))
21	2	fveq2i 5642	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐻) = (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹))))⟩)
22		opiedgfv 15879	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹)))) ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹))))⟩) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹)))))
23	6, 12, 22	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹))))⟩) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹)))))
24	21, 23	eqtrid 2276	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐻) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹)))))
25		eupthvdres.p	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
26	7	eupthf1o 16304	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼)
27		f1ofo 5590	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–onto→dom 𝐼)
28		foima 5564	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–onto→dom 𝐼 → (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹))) = dom 𝐼)
29	25, 26, 27, 28	4syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹))) = dom 𝐼)
30	29	reseq2d 5013	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹)))) = (𝐼 ↾ dom 𝐼))
31		eupthvdres.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
32	31	funfnd 5357	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 Fn dom 𝐼)
33		fnresdm 5441	. . . . 5 ⊢ (𝐼 Fn dom 𝐼 → (𝐼 ↾ dom 𝐼) = 𝐼)
34	32, 33	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾ dom 𝐼) = 𝐼)
35	24, 30, 34	3eqtrd 2268	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐻) = 𝐼)
36	35, 7	eqtrdi 2280	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐻) = (iEdg‘𝐺))
37	1, 15, 20, 36	vtxdeqd 16150	1 ⊢ (𝜑 → (VtxDeg‘𝐻) = (VtxDeg‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802  ⟨cop 3672   class class class wbr 4088  dom cdm 4725   ↾ cres 4727   “ cima 4728  Fun wfun 5320   Fn wfn 5321  –onto→wfo 5324  –1-1-onto→wf1o 5325  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  0cc0 8032  ..^cfzo 10377  ♯chash 11038  Vtxcvtx 15866  iEdgciedg 15867  VtxDegcvtxdg 16140  EulerPathsceupth 16296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-ifp 986  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-1o 6582  df-er 6702  df-map 6819  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-z 9480  df-dec 9612  df-uz 9756  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-ihash 11039  df-word 11115  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-edgf 15859  df-vtx 15868  df-iedg 15869  df-vtxdg 16141  df-wlks 16172  df-trls 16235  df-eupth 16297

This theorem is referenced by:  eupth2fi  16333