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Theorem plyaddlem1 15442
Description: Derive the coefficient function for the sum of two polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyaddlem.1 |- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
plyaddlem.2 |- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )
plyaddlem.m |- ( ph -> M e. NN0 )
plyaddlem.n |- ( ph -> N e. NN0 )
plyaddlem.a |- ( ph -> A : NN0 --> CC )
plyaddlem.b |- ( ph -> B : NN0 --> CC )
plyaddlem.a2 |- ( ph -> ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = { 0 } )
plyaddlem.b2 |- ( ph -> ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } )
plyaddlem.f |- ( ph -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
plyaddlem.g |- ( ph -> G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
plyaddlem1 |- ( ph -> ( F oF + G ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( ( A oF + B ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
Distinct variable groups:   B, k   k, M   k, N   z, k, ph
Allowed substitution hints:   A( z, k)   B( z)   S( z, k)   F( z, k)   G( z, k)   M( z)   N( z)
Proof of Theorem plyaddlem1
Dummy variable j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnex 8139 . . . 4 |- CC e. _V
21a1i 9 . . 3 |- ( ph -> CC e. _V )
3 0zd 9474 . . . . . 6 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
4 plyaddlem.m . . . . . . 7 |- ( ph -> M e. NN0 )
54nn0zd 9583 . . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
63, 5fzfigd 10670 . . . . 5 |- ( ph -> ( 0 ... M ) e. Fin )
76adantr 276 . . . 4 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... M ) e. Fin )
8 plyaddlem.a . . . . . . 7 |- ( ph -> A : NN0 --> CC )
98ad2antrr 488 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> A : NN0 --> CC )
10 elfznn0 10327 . . . . . . 7 |- ( k e. ( 0 ... M ) -> k e. NN0 )
1110adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> k e. NN0 )
129, 11ffvelcdmd 5776 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( A ` k ) e. CC )
13 simplr 528 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> z e. CC )
1413, 11expcld 10912 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( z ^ k ) e. CC )
1512, 14mulcld 8183 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
167, 15fsumcl 11932 . . 3 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
17 plyaddlem.n . . . . . . 7 |- ( ph -> N e. NN0 )
1817nn0zd 9583 . . . . . 6 |- ( ph -> N e. ZZ )
193, 18fzfigd 10670 . . . . 5 |- ( ph -> ( 0 ... N ) e. Fin )
2019adantr 276 . . . 4 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... N ) e. Fin )
21 plyaddlem.b . . . . . . 7 |- ( ph -> B : NN0 --> CC )
2221ad2antrr 488 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> B : NN0 --> CC )
23 elfznn0 10327 . . . . . . 7 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> k e. NN0 )
2423adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> k e. NN0 )
2522, 24ffvelcdmd 5776 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( B ` k ) e. CC )
26 simplr 528 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> z e. CC )
2726, 24expcld 10912 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( z ^ k ) e. CC )
2825, 27mulcld 8183 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
2920, 28fsumcl 11932 . . 3 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
30 plyaddlem.f . . 3 |- ( ph -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
31 plyaddlem.g . . 3 |- ( ph -> G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
322, 16, 29, 30, 31offval2 6243 . 2 |- ( ph -> ( F oF + G ) = ( z e. CC |-> ( sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) + sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
33 0zd 9474 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> 0 e. ZZ )
34 2zsupmax 11758 . . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> sup ( { M , N } , RR , < ) = if ( M <_ N , N , M ) )
355, 18, 34syl2anc 411 . . . . . . . 8 |- ( ph -> sup ( { M , N } , RR , < ) = if ( M <_ N , N , M ) )
36 zmaxcl 11756 . . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> sup ( { M , N } , RR , < ) e. ZZ )
375, 18, 36syl2anc 411 . . . . . . . 8 |- ( ph -> sup ( { M , N } , RR , < ) e. ZZ )
3835, 37eqeltrrd 2307 . . . . . . 7 |- ( ph -> if ( M <_ N , N , M ) e. ZZ )
3938adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> if ( M <_ N , N , M ) e. ZZ )
4033, 39fzfigd 10670 . . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) e. Fin )
41 elfznn0 10327 . . . . . 6 |- ( k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) -> k e. NN0 )
428adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> A : NN0 --> CC )
4342ffvelcdmda 5775 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( A ` k ) e. CC )
44 expcl 10796 . . . . . . . 8 |- ( ( z e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( z ^ k ) e. CC )
4544adantll 476 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( z ^ k ) e. CC )
4643, 45mulcld 8183 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
4741, 46sylan2 286 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
4821adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> B : NN0 --> CC )
4948ffvelcdmda 5775 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( B ` k ) e. CC )
5049, 45mulcld 8183 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
5141, 50sylan2 286 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ) -> ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
5240, 47, 51fsumadd 11938 . . . 4 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) + ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) + sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
538ffnd 5477 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A Fn NN0 )
5421ffnd 5477 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B Fn NN0 )
55 nn0ex 9391 . . . . . . . . . . 11 |- NN0 e. _V
5655a1i 9 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> NN0 e. _V )
57 inidm 3413 . . . . . . . . . 10 |- ( NN0 i^i NN0 ) = NN0
58 eqidd 2230 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( A ` k ) = ( A ` k ) )
59 eqidd 2230 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( B ` k ) = ( B ` k ) )
608ffvelcdmda 5775 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( A ` k ) e. CC )
6121ffvelcdmda 5775 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( B ` k ) e. CC )
6260, 61addcld 8182 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ` k ) + ( B ` k ) ) e. CC )
6353, 54, 56, 56, 57, 58, 59, 62ofvalg 6237 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( A oF + B ) ` k ) = ( ( A ` k ) + ( B ` k ) ) )
6463adantlr 477 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( A oF + B ) ` k ) = ( ( A ` k ) + ( B ` k ) ) )
6564oveq1d 6025 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( A oF + B ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) = ( ( ( A ` k ) + ( B ` k ) ) x. ( z ^ k ) ) )
6643, 49, 45adddird 8188 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( A ` k ) + ( B ` k ) ) x. ( z ^ k ) ) = ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) + ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
6765, 66eqtrd 2262 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( A oF + B ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) = ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) + ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
6841, 67sylan2 286 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ) -> ( ( ( A oF + B ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) = ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) + ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
6968sumeq2dv 11900 . . . 4 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( ( A oF + B ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) + ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
70 zdcle 9539 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID M <_ N )
715, 18, 70syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> DECID M <_ N )
7218, 5, 71ifcldcd 3640 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> if ( M <_ N , N , M ) e. ZZ )
734nn0red 9439 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. RR )
7417nn0red 9439 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. RR )
75 maxle1 11743 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> M <_ sup ( { M , N } , RR , < ) )
7673, 74, 75syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M <_ sup ( { M , N } , RR , < ) )
7776, 35breqtrd 4109 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> M <_ if ( M <_ N , N , M ) )
78 eluz2 9744 . . . . . . . . 9 |- ( if ( M <_ N , N , M ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ if ( M <_ N , N , M ) e. ZZ /\ M <_ if ( M <_ N , N , M ) ) )
795, 72, 77, 78syl3anbrc 1205 . . . . . . . 8 |- ( ph -> if ( M <_ N , N , M ) e. ( ZZ>= ` M ) )
80 fzss2 10277 . . . . . . . 8 |- ( if ( M <_ N , N , M ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( 0 ... M ) C_ ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) )
8179, 80syl 14 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 ... M ) C_ ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) )
8281adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... M ) C_ ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) )
8310, 46sylan2 286 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
84 eldifn 3327 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) -> -. k e. ( 0 ... M ) )
8584adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> -. k e. ( 0 ... M ) )
86 eldifi 3326 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) -> k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) )
8786, 41syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) -> k e. NN0 )
8887adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> k e. NN0 )
89 nn0uz 9774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
90 peano2nn0 9425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( M e. NN0 -> ( M + 1 ) e. NN0 )
914, 90syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. NN0 )
9291, 89eleqtrdi 2322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
93 uzsplit 10305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( ZZ>= ` 0 ) = ( ( 0 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
9492, 93syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ZZ>= ` 0 ) = ( ( 0 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
9589, 94eqtrid 2274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> NN0 = ( ( 0 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
964nn0cnd 9440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> M e. CC )
97 ax-1cn 8108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 1 e. CC
98 pncan 8368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( M e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( M + 1 ) - 1 ) = M )
9996, 97, 98sylancl 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) - 1 ) = M )
10099oveq2d 6026 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 0 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... M ) )
101100uneq1d 3357 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( 0 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = ( ( 0 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
10295, 101eqtrd 2262 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> NN0 = ( ( 0 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
103102ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> NN0 = ( ( 0 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
10488, 103eleqtrd 2308 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> k e. ( ( 0 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
105 elun 3345 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( ( 0 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) <-> ( k e. ( 0 ... M ) \/ k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
106104, 105sylib 122 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( k e. ( 0 ... M ) \/ k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
107106ord 729 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( -. k e. ( 0 ... M ) -> k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
10885, 107mpd 13 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
1098ffund 5480 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Fun A )
110 ssun2 3368 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) C_ ( ( 0 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
111110, 95sseqtrrid 3275 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) C_ NN0 )
1128fdmd 5483 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> dom A = NN0 )
113111, 112sseqtrrd 3263 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) C_ dom A )
114 funfvima2 5879 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun A /\ ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) C_ dom A ) -> ( k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( A ` k ) e. ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) )
115109, 113, 114syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( A ` k ) e. ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) )
116115ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( A ` k ) e. ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) )
117108, 116mpd 13 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( A ` k ) e. ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
118 plyaddlem.a2 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = { 0 } )
119118ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = { 0 } )
120117, 119eleqtrd 2308 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( A ` k ) e. { 0 } )
121 elsni 3684 . . . . . . . . 9 |- ( ( A ` k ) e. { 0 } -> ( A ` k ) = 0 )
122120, 121syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( A ` k ) = 0 )
123122oveq1d 6025 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) = ( 0 x. ( z ^ k ) ) )
12487, 45sylan2 286 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( z ^ k ) e. CC )
125124mul02d 8554 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( 0 x. ( z ^ k ) ) = 0 )
126123, 125eqtrd 2262 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) = 0 )
127 elfzelz 10238 . . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) -> j e. ZZ )
128127adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ) -> j e. ZZ )
129 0zd 9474 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ) -> 0 e. ZZ )
1305ad2antrr 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ) -> M e. ZZ )
131 fzdcel 10253 . . . . . . . 8 |- ( ( j e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> DECID j e. ( 0 ... M ) )
132128, 129, 130, 131syl3anc 1271 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ) -> DECID j e. ( 0 ... M ) )
133132ralrimiva 2603 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> A. j e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) )DECID j e. ( 0 ... M ) )
13482, 83, 126, 133, 40fisumss 11924 . . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
135 maxle2 11744 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> N <_ sup ( { M , N } , RR , < ) )
13673, 74, 135syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N <_ sup ( { M , N } , RR , < ) )
137136, 35breqtrd 4109 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> N <_ if ( M <_ N , N , M ) )
138 eluz2 9744 . . . . . . . . 9 |- ( if ( M <_ N , N , M ) e. ( ZZ>= ` N ) <-> ( N e. ZZ /\ if ( M <_ N , N , M ) e. ZZ /\ N <_ if ( M <_ N , N , M ) ) )
13918, 72, 137, 138syl3anbrc 1205 . . . . . . . 8 |- ( ph -> if ( M <_ N , N , M ) e. ( ZZ>= ` N ) )
140 fzss2 10277 . . . . . . . 8 |- ( if ( M <_ N , N , M ) e. ( ZZ>= ` N ) -> ( 0 ... N ) C_ ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) )
141139, 140syl 14 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 ... N ) C_ ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) )
142141adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... N ) C_ ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) )
14323, 50sylan2 286 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
144 eldifn 3327 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) -> -. k e. ( 0 ... N ) )
145144adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> -. k e. ( 0 ... N ) )
146 eldifi 3326 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) -> k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) )
147146, 41syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) -> k e. NN0 )
148147adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> k e. NN0 )
149 peano2nn0 9425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
15017, 149syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. NN0 )
151150, 89eleqtrdi 2322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
152 uzsplit 10305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( ZZ>= ` 0 ) = ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
153151, 152syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ZZ>= ` 0 ) = ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
15489, 153eqtrid 2274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> NN0 = ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
15517nn0cnd 9440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> N e. CC )
156 pncan 8368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
157155, 97, 156sylancl 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
158157oveq2d 6026 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... N ) )
159158uneq1d 3357 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
160154, 159eqtrd 2262 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> NN0 = ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
161160ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> NN0 = ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
162148, 161eleqtrd 2308 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> k e. ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
163 elun 3345 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) <-> ( k e. ( 0 ... N ) \/ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
164162, 163sylib 122 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( k e. ( 0 ... N ) \/ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
165164ord 729 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( -. k e. ( 0 ... N ) -> k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
166145, 165mpd 13 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) )
16721ffund 5480 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Fun B )
168 ssun2 3368 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) C_ ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) )
169168, 154sseqtrrid 3275 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) C_ NN0 )
17021fdmd 5483 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> dom B = NN0 )
171169, 170sseqtrrd 3263 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) C_ dom B )
172 funfvima2 5879 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun B /\ ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) C_ dom B ) -> ( k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> ( B ` k ) e. ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) ) )
173167, 171, 172syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> ( B ` k ) e. ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) ) )
174173ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> ( B ` k ) e. ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) ) )
175166, 174mpd 13 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( B ` k ) e. ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
176 plyaddlem.b2 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } )
177176ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } )
178175, 177eleqtrd 2308 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( B ` k ) e. { 0 } )
179 elsni 3684 . . . . . . . . 9 |- ( ( B ` k ) e. { 0 } -> ( B ` k ) = 0 )
180178, 179syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( B ` k ) = 0 )
181180oveq1d 6025 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) = ( 0 x. ( z ^ k ) ) )
182147, 45sylan2 286 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( z ^ k ) e. CC )
183182mul02d 8554 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( 0 x. ( z ^ k ) ) = 0 )
184181, 183eqtrd 2262 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) = 0 )
18518ad2antrr 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ) -> N e. ZZ )
186 fzdcel 10253 . . . . . . . 8 |- ( ( j e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID j e. ( 0 ... N ) )
187128, 129, 185, 186syl3anc 1271 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ) -> DECID j e. ( 0 ... N ) )
188187ralrimiva 2603 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> A. j e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) )DECID j e. ( 0 ... N ) )
189142, 143, 184, 188, 40fisumss 11924 . . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
190134, 189oveq12d 6028 . . . 4 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) + sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) + sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
19152, 69, 1903eqtr4d 2272 . . 3 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( ( A oF + B ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) + sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
192191mpteq2dva 4174 . 2 |- ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( ( A oF + B ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> ( sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) + sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
19332, 192eqtr4d 2265 1 |- ( ph -> ( F oF + G ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( ( A oF + B ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 713  DECID wdc 839   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   \ cdif 3194   u. cun 3195   C_ wss 3197   ifcif 3602   {csn 3666   {cpr 3667   class class class wbr 4083   |-> cmpt 4145   dom cdm 4720   "cima 4723   Fun wfun 5315   -->wf 5317   ` cfv 5321  (class class class)co 6010   oFcof 6225   Fincfn 6900   supcsup 7165   CCcc 8013   RRcr 8014   0cc0 8015   1c1 8016   + caddc 8018   x. cmul 8020   < clt 8197   <_ cle 8198   - cmin 8333   NN0cn0 9385   ZZcz 9462   ZZ>=cuz 9738   ...cfz 10221   ^cexp 10777   sum_csu 11885  Polycply 15423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133  ax-arch 8134  ax-caucvg 8135
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-isom 5330  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-of 6227  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-irdg 6527  df-frec 6548  df-1o 6573  df-oadd 6577  df-er 6693  df-en 6901  df-dom 6902  df-fin 6903  df-sup 7167  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-q 9832  df-rp 9867  df-fz 10222  df-fzo 10356  df-seqfrec 10687  df-exp 10778  df-ihash 11015  df-cj 11374  df-re 11375  df-im 11376  df-rsqrt 11530  df-abs 11531  df-clim 11811  df-sumdc 11886
This theorem is referenced by:  plyaddlem  15444
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