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Theorem plyaddlem1 15464
Description: Derive the coefficient function for the sum of two polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyaddlem.1 |- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
plyaddlem.2 |- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )
plyaddlem.m |- ( ph -> M e. NN0 )
plyaddlem.n |- ( ph -> N e. NN0 )
plyaddlem.a |- ( ph -> A : NN0 --> CC )
plyaddlem.b |- ( ph -> B : NN0 --> CC )
plyaddlem.a2 |- ( ph -> ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = { 0 } )
plyaddlem.b2 |- ( ph -> ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } )
plyaddlem.f |- ( ph -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
plyaddlem.g |- ( ph -> G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
plyaddlem1 |- ( ph -> ( F oF + G ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( ( A oF + B ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
Distinct variable groups:   B, k   k, M   k, N   z, k, ph
Allowed substitution hints:   A( z, k)   B( z)   S( z, k)   F( z, k)   G( z, k)   M( z)   N( z)
Proof of Theorem plyaddlem1
Dummy variable j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnex 8149 . . . 4 |- CC e. _V
21a1i 9 . . 3 |- ( ph -> CC e. _V )
3 0zd 9484 . . . . . 6 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
4 plyaddlem.m . . . . . . 7 |- ( ph -> M e. NN0 )
54nn0zd 9593 . . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
63, 5fzfigd 10686 . . . . 5 |- ( ph -> ( 0 ... M ) e. Fin )
76adantr 276 . . . 4 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... M ) e. Fin )
8 plyaddlem.a . . . . . . 7 |- ( ph -> A : NN0 --> CC )
98ad2antrr 488 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> A : NN0 --> CC )
10 elfznn0 10342 . . . . . . 7 |- ( k e. ( 0 ... M ) -> k e. NN0 )
1110adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> k e. NN0 )
129, 11ffvelcdmd 5779 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( A ` k ) e. CC )
13 simplr 528 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> z e. CC )
1413, 11expcld 10928 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( z ^ k ) e. CC )
1512, 14mulcld 8193 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
167, 15fsumcl 11954 . . 3 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
17 plyaddlem.n . . . . . . 7 |- ( ph -> N e. NN0 )
1817nn0zd 9593 . . . . . 6 |- ( ph -> N e. ZZ )
193, 18fzfigd 10686 . . . . 5 |- ( ph -> ( 0 ... N ) e. Fin )
2019adantr 276 . . . 4 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... N ) e. Fin )
21 plyaddlem.b . . . . . . 7 |- ( ph -> B : NN0 --> CC )
2221ad2antrr 488 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> B : NN0 --> CC )
23 elfznn0 10342 . . . . . . 7 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> k e. NN0 )
2423adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> k e. NN0 )
2522, 24ffvelcdmd 5779 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( B ` k ) e. CC )
26 simplr 528 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> z e. CC )
2726, 24expcld 10928 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( z ^ k ) e. CC )
2825, 27mulcld 8193 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
2920, 28fsumcl 11954 . . 3 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
30 plyaddlem.f . . 3 |- ( ph -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
31 plyaddlem.g . . 3 |- ( ph -> G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
322, 16, 29, 30, 31offval2 6246 . 2 |- ( ph -> ( F oF + G ) = ( z e. CC |-> ( sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) + sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
33 0zd 9484 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> 0 e. ZZ )
34 2zsupmax 11780 . . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> sup ( { M , N } , RR , < ) = if ( M <_ N , N , M ) )
355, 18, 34syl2anc 411 . . . . . . . 8 |- ( ph -> sup ( { M , N } , RR , < ) = if ( M <_ N , N , M ) )
36 zmaxcl 11778 . . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> sup ( { M , N } , RR , < ) e. ZZ )
375, 18, 36syl2anc 411 . . . . . . . 8 |- ( ph -> sup ( { M , N } , RR , < ) e. ZZ )
3835, 37eqeltrrd 2307 . . . . . . 7 |- ( ph -> if ( M <_ N , N , M ) e. ZZ )
3938adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> if ( M <_ N , N , M ) e. ZZ )
4033, 39fzfigd 10686 . . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) e. Fin )
41 elfznn0 10342 . . . . . 6 |- ( k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) -> k e. NN0 )
428adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> A : NN0 --> CC )
4342ffvelcdmda 5778 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( A ` k ) e. CC )
44 expcl 10812 . . . . . . . 8 |- ( ( z e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( z ^ k ) e. CC )
4544adantll 476 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( z ^ k ) e. CC )
4643, 45mulcld 8193 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
4741, 46sylan2 286 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
4821adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> B : NN0 --> CC )
4948ffvelcdmda 5778 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( B ` k ) e. CC )
5049, 45mulcld 8193 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
5141, 50sylan2 286 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ) -> ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
5240, 47, 51fsumadd 11960 . . . 4 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) + ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) + sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
538ffnd 5480 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A Fn NN0 )
5421ffnd 5480 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B Fn NN0 )
55 nn0ex 9401 . . . . . . . . . . 11 |- NN0 e. _V
5655a1i 9 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> NN0 e. _V )
57 inidm 3414 . . . . . . . . . 10 |- ( NN0 i^i NN0 ) = NN0
58 eqidd 2230 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( A ` k ) = ( A ` k ) )
59 eqidd 2230 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( B ` k ) = ( B ` k ) )
608ffvelcdmda 5778 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( A ` k ) e. CC )
6121ffvelcdmda 5778 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( B ` k ) e. CC )
6260, 61addcld 8192 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ` k ) + ( B ` k ) ) e. CC )
6353, 54, 56, 56, 57, 58, 59, 62ofvalg 6240 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( A oF + B ) ` k ) = ( ( A ` k ) + ( B ` k ) ) )
6463adantlr 477 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( A oF + B ) ` k ) = ( ( A ` k ) + ( B ` k ) ) )
6564oveq1d 6028 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( A oF + B ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) = ( ( ( A ` k ) + ( B ` k ) ) x. ( z ^ k ) ) )
6643, 49, 45adddird 8198 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( A ` k ) + ( B ` k ) ) x. ( z ^ k ) ) = ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) + ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
6765, 66eqtrd 2262 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( A oF + B ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) = ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) + ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
6841, 67sylan2 286 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ) -> ( ( ( A oF + B ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) = ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) + ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
6968sumeq2dv 11922 . . . 4 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( ( A oF + B ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) + ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
70 zdcle 9549 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID M <_ N )
715, 18, 70syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> DECID M <_ N )
7218, 5, 71ifcldcd 3641 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> if ( M <_ N , N , M ) e. ZZ )
734nn0red 9449 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. RR )
7417nn0red 9449 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. RR )
75 maxle1 11765 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> M <_ sup ( { M , N } , RR , < ) )
7673, 74, 75syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M <_ sup ( { M , N } , RR , < ) )
7776, 35breqtrd 4112 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> M <_ if ( M <_ N , N , M ) )
78 eluz2 9754 . . . . . . . . 9 |- ( if ( M <_ N , N , M ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ if ( M <_ N , N , M ) e. ZZ /\ M <_ if ( M <_ N , N , M ) ) )
795, 72, 77, 78syl3anbrc 1205 . . . . . . . 8 |- ( ph -> if ( M <_ N , N , M ) e. ( ZZ>= ` M ) )
80 fzss2 10292 . . . . . . . 8 |- ( if ( M <_ N , N , M ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( 0 ... M ) C_ ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) )
8179, 80syl 14 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 ... M ) C_ ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) )
8281adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... M ) C_ ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) )
8310, 46sylan2 286 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
84 eldifn 3328 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) -> -. k e. ( 0 ... M ) )
8584adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> -. k e. ( 0 ... M ) )
86 eldifi 3327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) -> k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) )
8786, 41syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) -> k e. NN0 )
8887adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> k e. NN0 )
89 nn0uz 9784 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
90 peano2nn0 9435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( M e. NN0 -> ( M + 1 ) e. NN0 )
914, 90syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. NN0 )
9291, 89eleqtrdi 2322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
93 uzsplit 10320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( ZZ>= ` 0 ) = ( ( 0 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
9492, 93syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ZZ>= ` 0 ) = ( ( 0 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
9589, 94eqtrid 2274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> NN0 = ( ( 0 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
964nn0cnd 9450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> M e. CC )
97 ax-1cn 8118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 1 e. CC
98 pncan 8378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( M e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( M + 1 ) - 1 ) = M )
9996, 97, 98sylancl 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) - 1 ) = M )
10099oveq2d 6029 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 0 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... M ) )
101100uneq1d 3358 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( 0 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = ( ( 0 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
10295, 101eqtrd 2262 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> NN0 = ( ( 0 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
103102ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> NN0 = ( ( 0 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
10488, 103eleqtrd 2308 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> k e. ( ( 0 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
105 elun 3346 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( ( 0 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) <-> ( k e. ( 0 ... M ) \/ k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
106104, 105sylib 122 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( k e. ( 0 ... M ) \/ k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
107106ord 729 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( -. k e. ( 0 ... M ) -> k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
10885, 107mpd 13 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
1098ffund 5483 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Fun A )
110 ssun2 3369 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) C_ ( ( 0 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
111110, 95sseqtrrid 3276 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) C_ NN0 )
1128fdmd 5486 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> dom A = NN0 )
113111, 112sseqtrrd 3264 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) C_ dom A )
114 funfvima2 5882 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun A /\ ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) C_ dom A ) -> ( k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( A ` k ) e. ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) )
115109, 113, 114syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( A ` k ) e. ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) )
116115ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( A ` k ) e. ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) )
117108, 116mpd 13 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( A ` k ) e. ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
118 plyaddlem.a2 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = { 0 } )
119118ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = { 0 } )
120117, 119eleqtrd 2308 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( A ` k ) e. { 0 } )
121 elsni 3685 . . . . . . . . 9 |- ( ( A ` k ) e. { 0 } -> ( A ` k ) = 0 )
122120, 121syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( A ` k ) = 0 )
123122oveq1d 6028 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) = ( 0 x. ( z ^ k ) ) )
12487, 45sylan2 286 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( z ^ k ) e. CC )
125124mul02d 8564 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( 0 x. ( z ^ k ) ) = 0 )
126123, 125eqtrd 2262 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) = 0 )
127 elfzelz 10253 . . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) -> j e. ZZ )
128127adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ) -> j e. ZZ )
129 0zd 9484 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ) -> 0 e. ZZ )
1305ad2antrr 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ) -> M e. ZZ )
131 fzdcel 10268 . . . . . . . 8 |- ( ( j e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> DECID j e. ( 0 ... M ) )
132128, 129, 130, 131syl3anc 1271 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ) -> DECID j e. ( 0 ... M ) )
133132ralrimiva 2603 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> A. j e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) )DECID j e. ( 0 ... M ) )
13482, 83, 126, 133, 40fisumss 11946 . . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
135 maxle2 11766 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> N <_ sup ( { M , N } , RR , < ) )
13673, 74, 135syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N <_ sup ( { M , N } , RR , < ) )
137136, 35breqtrd 4112 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> N <_ if ( M <_ N , N , M ) )
138 eluz2 9754 . . . . . . . . 9 |- ( if ( M <_ N , N , M ) e. ( ZZ>= ` N ) <-> ( N e. ZZ /\ if ( M <_ N , N , M ) e. ZZ /\ N <_ if ( M <_ N , N , M ) ) )
13918, 72, 137, 138syl3anbrc 1205 . . . . . . . 8 |- ( ph -> if ( M <_ N , N , M ) e. ( ZZ>= ` N ) )
140 fzss2 10292 . . . . . . . 8 |- ( if ( M <_ N , N , M ) e. ( ZZ>= ` N ) -> ( 0 ... N ) C_ ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) )
141139, 140syl 14 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 ... N ) C_ ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) )
142141adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... N ) C_ ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) )
14323, 50sylan2 286 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
144 eldifn 3328 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) -> -. k e. ( 0 ... N ) )
145144adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> -. k e. ( 0 ... N ) )
146 eldifi 3327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) -> k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) )
147146, 41syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) -> k e. NN0 )
148147adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> k e. NN0 )
149 peano2nn0 9435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
15017, 149syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. NN0 )
151150, 89eleqtrdi 2322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
152 uzsplit 10320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( ZZ>= ` 0 ) = ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
153151, 152syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ZZ>= ` 0 ) = ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
15489, 153eqtrid 2274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> NN0 = ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
15517nn0cnd 9450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> N e. CC )
156 pncan 8378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
157155, 97, 156sylancl 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
158157oveq2d 6029 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... N ) )
159158uneq1d 3358 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
160154, 159eqtrd 2262 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> NN0 = ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
161160ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> NN0 = ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
162148, 161eleqtrd 2308 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> k e. ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
163 elun 3346 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) <-> ( k e. ( 0 ... N ) \/ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
164162, 163sylib 122 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( k e. ( 0 ... N ) \/ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
165164ord 729 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( -. k e. ( 0 ... N ) -> k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
166145, 165mpd 13 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) )
16721ffund 5483 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Fun B )
168 ssun2 3369 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) C_ ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) )
169168, 154sseqtrrid 3276 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) C_ NN0 )
17021fdmd 5486 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> dom B = NN0 )
171169, 170sseqtrrd 3264 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) C_ dom B )
172 funfvima2 5882 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun B /\ ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) C_ dom B ) -> ( k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> ( B ` k ) e. ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) ) )
173167, 171, 172syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> ( B ` k ) e. ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) ) )
174173ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> ( B ` k ) e. ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) ) )
175166, 174mpd 13 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( B ` k ) e. ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
176 plyaddlem.b2 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } )
177176ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } )
178175, 177eleqtrd 2308 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( B ` k ) e. { 0 } )
179 elsni 3685 . . . . . . . . 9 |- ( ( B ` k ) e. { 0 } -> ( B ` k ) = 0 )
180178, 179syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( B ` k ) = 0 )
181180oveq1d 6028 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) = ( 0 x. ( z ^ k ) ) )
182147, 45sylan2 286 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( z ^ k ) e. CC )
183182mul02d 8564 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( 0 x. ( z ^ k ) ) = 0 )
184181, 183eqtrd 2262 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) = 0 )
18518ad2antrr 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ) -> N e. ZZ )
186 fzdcel 10268 . . . . . . . 8 |- ( ( j e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID j e. ( 0 ... N ) )
187128, 129, 185, 186syl3anc 1271 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ) -> DECID j e. ( 0 ... N ) )
188187ralrimiva 2603 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> A. j e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) )DECID j e. ( 0 ... N ) )
189142, 143, 184, 188, 40fisumss 11946 . . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
190134, 189oveq12d 6031 . . . 4 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) + sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) + sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
19152, 69, 1903eqtr4d 2272 . . 3 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( ( A oF + B ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) + sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
192191mpteq2dva 4177 . 2 |- ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( ( A oF + B ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> ( sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) + sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
19332, 192eqtr4d 2265 1 |- ( ph -> ( F oF + G ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( ( A oF + B ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 713  DECID wdc 839   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2800   \ cdif 3195   u. cun 3196   C_ wss 3198   ifcif 3603   {csn 3667   {cpr 3668   class class class wbr 4086   |-> cmpt 4148   dom cdm 4723   "cima 4726   Fun wfun 5318   -->wf 5320   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   oFcof 6228   Fincfn 6904   supcsup 7175   CCcc 8023   RRcr 8024   0cc0 8025   1c1 8026   + caddc 8028   x. cmul 8030   < clt 8207   <_ cle 8208   - cmin 8343   NN0cn0 9395   ZZcz 9472   ZZ>=cuz 9748   ...cfz 10236   ^cexp 10793   sum_csu 11907  Polycply 15445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-mulrcl 8124  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-precex 8135  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141  ax-pre-mulgt0 8142  ax-pre-mulext 8143  ax-arch 8144  ax-caucvg 8145
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-of 6230  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-frec 6552  df-1o 6577  df-oadd 6581  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-sup 7177  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-reap 8748  df-ap 8755  df-div 8846  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-n0 9396  df-z 9473  df-uz 9749  df-q 9847  df-rp 9882  df-fz 10237  df-fzo 10371  df-seqfrec 10703  df-exp 10794  df-ihash 11031  df-cj 11396  df-re 11397  df-im 11398  df-rsqrt 11552  df-abs 11553  df-clim 11833  df-sumdc 11908
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