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Theorem plyaddlem1 15741
Description: Derive the coefficient function for the sum of two polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyaddlem.1 |- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
plyaddlem.2 |- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )
plyaddlem.m |- ( ph -> M e. NN0 )
plyaddlem.n |- ( ph -> N e. NN0 )
plyaddlem.a |- ( ph -> A : NN0 --> CC )
plyaddlem.b |- ( ph -> B : NN0 --> CC )
plyaddlem.a2 |- ( ph -> ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = { 0 } )
plyaddlem.b2 |- ( ph -> ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } )
plyaddlem.f |- ( ph -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
plyaddlem.g |- ( ph -> G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
plyaddlem1 |- ( ph -> ( F oF + G ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( ( A oF + B ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
Distinct variable groups:   B, k   k, M   k, N   z, k, ph
Allowed substitution hints:   A( z, k)   B( z)   S( z, k)   F( z, k)   G( z, k)   M( z)   N( z)
Proof of Theorem plyaddlem1
Dummy variable j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnex 8267 . . . 4 |- CC e. _V
21a1i 9 . . 3 |- ( ph -> CC e. _V )
3 0zd 9609 . . . . . 6 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
4 plyaddlem.m . . . . . . 7 |- ( ph -> M e. NN0 )
54nn0zd 9719 . . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
63, 5fzfigd 10820 . . . . 5 |- ( ph -> ( 0 ... M ) e. Fin )
76adantr 276 . . . 4 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... M ) e. Fin )
8 plyaddlem.a . . . . . . 7 |- ( ph -> A : NN0 --> CC )
98ad2antrr 488 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> A : NN0 --> CC )
10 elfznn0 10473 . . . . . . 7 |- ( k e. ( 0 ... M ) -> k e. NN0 )
1110adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> k e. NN0 )
129, 11ffvelcdmd 5818 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( A ` k ) e. CC )
13 simplr 529 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> z e. CC )
1413, 11expcld 11063 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( z ^ k ) e. CC )
1512, 14mulcld 8310 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
167, 15fsumcl 12114 . . 3 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
17 plyaddlem.n . . . . . . 7 |- ( ph -> N e. NN0 )
1817nn0zd 9719 . . . . . 6 |- ( ph -> N e. ZZ )
193, 18fzfigd 10820 . . . . 5 |- ( ph -> ( 0 ... N ) e. Fin )
2019adantr 276 . . . 4 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... N ) e. Fin )
21 plyaddlem.b . . . . . . 7 |- ( ph -> B : NN0 --> CC )
2221ad2antrr 488 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> B : NN0 --> CC )
23 elfznn0 10473 . . . . . . 7 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> k e. NN0 )
2423adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> k e. NN0 )
2522, 24ffvelcdmd 5818 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( B ` k ) e. CC )
26 simplr 529 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> z e. CC )
2726, 24expcld 11063 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( z ^ k ) e. CC )
2825, 27mulcld 8310 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
2920, 28fsumcl 12114 . . 3 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
30 plyaddlem.f . . 3 |- ( ph -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
31 plyaddlem.g . . 3 |- ( ph -> G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
322, 16, 29, 30, 31offval2 6291 . 2 |- ( ph -> ( F oF + G ) = ( z e. CC |-> ( sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) + sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
33 0zd 9609 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> 0 e. ZZ )
34 2zsupmax 11939 . . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> sup ( { M , N } , RR , < ) = if ( M <_ N , N , M ) )
355, 18, 34syl2anc 411 . . . . . . . 8 |- ( ph -> sup ( { M , N } , RR , < ) = if ( M <_ N , N , M ) )
36 zmaxcl 11937 . . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> sup ( { M , N } , RR , < ) e. ZZ )
375, 18, 36syl2anc 411 . . . . . . . 8 |- ( ph -> sup ( { M , N } , RR , < ) e. ZZ )
3835, 37eqeltrrd 2312 . . . . . . 7 |- ( ph -> if ( M <_ N , N , M ) e. ZZ )
3938adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> if ( M <_ N , N , M ) e. ZZ )
4033, 39fzfigd 10820 . . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) e. Fin )
41 elfznn0 10473 . . . . . 6 |- ( k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) -> k e. NN0 )
428adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> A : NN0 --> CC )
4342ffvelcdmda 5817 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( A ` k ) e. CC )
44 expcl 10946 . . . . . . . 8 |- ( ( z e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( z ^ k ) e. CC )
4544adantll 476 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( z ^ k ) e. CC )
4643, 45mulcld 8310 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
4741, 46sylan2 286 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
4821adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> B : NN0 --> CC )
4948ffvelcdmda 5817 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( B ` k ) e. CC )
5049, 45mulcld 8310 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
5141, 50sylan2 286 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ) -> ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
5240, 47, 51fsumadd 12120 . . . 4 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) + ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) + sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
538ffnd 5514 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A Fn NN0 )
5421ffnd 5514 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B Fn NN0 )
55 nn0ex 9522 . . . . . . . . . . 11 |- NN0 e. _V
5655a1i 9 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> NN0 e. _V )
57 inidm 3434 . . . . . . . . . 10 |- ( NN0 i^i NN0 ) = NN0
58 eqidd 2235 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( A ` k ) = ( A ` k ) )
59 eqidd 2235 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( B ` k ) = ( B ` k ) )
608ffvelcdmda 5817 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( A ` k ) e. CC )
6121ffvelcdmda 5817 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( B ` k ) e. CC )
6260, 61addcld 8309 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ` k ) + ( B ` k ) ) e. CC )
6353, 54, 56, 56, 57, 58, 59, 62ofvalg 6285 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( A oF + B ) ` k ) = ( ( A ` k ) + ( B ` k ) ) )
6463adantlr 477 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( A oF + B ) ` k ) = ( ( A ` k ) + ( B ` k ) ) )
6564oveq1d 6073 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( A oF + B ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) = ( ( ( A ` k ) + ( B ` k ) ) x. ( z ^ k ) ) )
6643, 49, 45adddird 8315 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( A ` k ) + ( B ` k ) ) x. ( z ^ k ) ) = ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) + ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
6765, 66eqtrd 2267 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( A oF + B ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) = ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) + ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
6841, 67sylan2 286 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ) -> ( ( ( A oF + B ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) = ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) + ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
6968sumeq2dv 12081 . . . 4 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( ( A oF + B ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) + ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
70 zdcle 9674 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID M <_ N )
715, 18, 70syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> DECID M <_ N )
7218, 5, 71ifcldcd 3664 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> if ( M <_ N , N , M ) e. ZZ )
734nn0red 9574 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. RR )
7417nn0red 9574 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. RR )
75 maxle1 11924 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> M <_ sup ( { M , N } , RR , < ) )
7673, 74, 75syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M <_ sup ( { M , N } , RR , < ) )
7776, 35breqtrd 4140 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> M <_ if ( M <_ N , N , M ) )
78 eluz2 9880 . . . . . . . . 9 |- ( if ( M <_ N , N , M ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ if ( M <_ N , N , M ) e. ZZ /\ M <_ if ( M <_ N , N , M ) ) )
795, 72, 77, 78syl3anbrc 1208 . . . . . . . 8 |- ( ph -> if ( M <_ N , N , M ) e. ( ZZ>= ` M ) )
80 fzss2 10422 . . . . . . . 8 |- ( if ( M <_ N , N , M ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( 0 ... M ) C_ ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) )
8179, 80syl 14 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 ... M ) C_ ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) )
8281adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... M ) C_ ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) )
8310, 46sylan2 286 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
84 eldifn 3346 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) -> -. k e. ( 0 ... M ) )
8584adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> -. k e. ( 0 ... M ) )
86 eldifi 3345 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) -> k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) )
8786, 41syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) -> k e. NN0 )
8887adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> k e. NN0 )
89 nn0uz 9910 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
90 peano2nn0 9556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( M e. NN0 -> ( M + 1 ) e. NN0 )
914, 90syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. NN0 )
9291, 89eleqtrdi 2327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
93 uzsplit 10451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( ZZ>= ` 0 ) = ( ( 0 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
9492, 93syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ZZ>= ` 0 ) = ( ( 0 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
9589, 94eqtrid 2279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> NN0 = ( ( 0 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
964nn0cnd 9575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> M e. CC )
97 ax-1cn 8236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 1 e. CC
98 pncan 8496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( M e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( M + 1 ) - 1 ) = M )
9996, 97, 98sylancl 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) - 1 ) = M )
10099oveq2d 6074 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 0 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... M ) )
101100uneq1d 3376 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( 0 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = ( ( 0 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
10295, 101eqtrd 2267 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> NN0 = ( ( 0 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
103102ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> NN0 = ( ( 0 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
10488, 103eleqtrd 2313 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> k e. ( ( 0 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
105 elun 3364 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( ( 0 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) <-> ( k e. ( 0 ... M ) \/ k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
106104, 105sylib 122 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( k e. ( 0 ... M ) \/ k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
107106ord 732 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( -. k e. ( 0 ... M ) -> k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
10885, 107mpd 13 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
1098ffund 5517 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Fun A )
110 ssun2 3387 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) C_ ( ( 0 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
111110, 95sseqtrrid 3293 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) C_ NN0 )
1128fdmd 5520 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> dom A = NN0 )
113111, 112sseqtrrd 3281 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) C_ dom A )
114 funfvima2 5924 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun A /\ ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) C_ dom A ) -> ( k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( A ` k ) e. ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) )
115109, 113, 114syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( A ` k ) e. ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) )
116115ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( A ` k ) e. ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) )
117108, 116mpd 13 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( A ` k ) e. ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
118 plyaddlem.a2 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = { 0 } )
119118ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = { 0 } )
120117, 119eleqtrd 2313 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( A ` k ) e. { 0 } )
121 elsni 3712 . . . . . . . . 9 |- ( ( A ` k ) e. { 0 } -> ( A ` k ) = 0 )
122120, 121syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( A ` k ) = 0 )
123122oveq1d 6073 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) = ( 0 x. ( z ^ k ) ) )
12487, 45sylan2 286 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( z ^ k ) e. CC )
125124mul02d 8683 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( 0 x. ( z ^ k ) ) = 0 )
126123, 125eqtrd 2267 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) = 0 )
127 elfzelz 10381 . . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) -> j e. ZZ )
128127adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ) -> j e. ZZ )
129 0zd 9609 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ) -> 0 e. ZZ )
1305ad2antrr 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ) -> M e. ZZ )
131 fzdcel 10397 . . . . . . . 8 |- ( ( j e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> DECID j e. ( 0 ... M ) )
132128, 129, 130, 131syl3anc 1274 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ) -> DECID j e. ( 0 ... M ) )
133132ralrimiva 2617 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> A. j e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) )DECID j e. ( 0 ... M ) )
13482, 83, 126, 133, 40fisumss 12106 . . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
135 maxle2 11925 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> N <_ sup ( { M , N } , RR , < ) )
13673, 74, 135syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N <_ sup ( { M , N } , RR , < ) )
137136, 35breqtrd 4140 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> N <_ if ( M <_ N , N , M ) )
138 eluz2 9880 . . . . . . . . 9 |- ( if ( M <_ N , N , M ) e. ( ZZ>= ` N ) <-> ( N e. ZZ /\ if ( M <_ N , N , M ) e. ZZ /\ N <_ if ( M <_ N , N , M ) ) )
13918, 72, 137, 138syl3anbrc 1208 . . . . . . . 8 |- ( ph -> if ( M <_ N , N , M ) e. ( ZZ>= ` N ) )
140 fzss2 10422 . . . . . . . 8 |- ( if ( M <_ N , N , M ) e. ( ZZ>= ` N ) -> ( 0 ... N ) C_ ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) )
141139, 140syl 14 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 ... N ) C_ ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) )
142141adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... N ) C_ ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) )
14323, 50sylan2 286 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
144 eldifn 3346 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) -> -. k e. ( 0 ... N ) )
145144adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> -. k e. ( 0 ... N ) )
146 eldifi 3345 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) -> k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) )
147146, 41syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) -> k e. NN0 )
148147adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> k e. NN0 )
149 peano2nn0 9556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
15017, 149syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. NN0 )
151150, 89eleqtrdi 2327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
152 uzsplit 10451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( ZZ>= ` 0 ) = ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
153151, 152syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ZZ>= ` 0 ) = ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
15489, 153eqtrid 2279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> NN0 = ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
15517nn0cnd 9575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> N e. CC )
156 pncan 8496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
157155, 97, 156sylancl 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
158157oveq2d 6074 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... N ) )
159158uneq1d 3376 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
160154, 159eqtrd 2267 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> NN0 = ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
161160ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> NN0 = ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
162148, 161eleqtrd 2313 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> k e. ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
163 elun 3364 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) <-> ( k e. ( 0 ... N ) \/ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
164162, 163sylib 122 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( k e. ( 0 ... N ) \/ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
165164ord 732 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( -. k e. ( 0 ... N ) -> k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
166145, 165mpd 13 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) )
16721ffund 5517 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Fun B )
168 ssun2 3387 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) C_ ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) )
169168, 154sseqtrrid 3293 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) C_ NN0 )
17021fdmd 5520 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> dom B = NN0 )
171169, 170sseqtrrd 3281 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) C_ dom B )
172 funfvima2 5924 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun B /\ ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) C_ dom B ) -> ( k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> ( B ` k ) e. ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) ) )
173167, 171, 172syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> ( B ` k ) e. ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) ) )
174173ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> ( B ` k ) e. ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) ) )
175166, 174mpd 13 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( B ` k ) e. ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
176 plyaddlem.b2 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } )
177176ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } )
178175, 177eleqtrd 2313 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( B ` k ) e. { 0 } )
179 elsni 3712 . . . . . . . . 9 |- ( ( B ` k ) e. { 0 } -> ( B ` k ) = 0 )
180178, 179syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( B ` k ) = 0 )
181180oveq1d 6073 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) = ( 0 x. ( z ^ k ) ) )
182147, 45sylan2 286 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( z ^ k ) e. CC )
183182mul02d 8683 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( 0 x. ( z ^ k ) ) = 0 )
184181, 183eqtrd 2267 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) = 0 )
18518ad2antrr 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ) -> N e. ZZ )
186 fzdcel 10397 . . . . . . . 8 |- ( ( j e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID j e. ( 0 ... N ) )
187128, 129, 185, 186syl3anc 1274 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ) -> DECID j e. ( 0 ... N ) )
188187ralrimiva 2617 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> A. j e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) )DECID j e. ( 0 ... N ) )
189142, 143, 184, 188, 40fisumss 12106 . . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
190134, 189oveq12d 6076 . . . 4 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) + sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) + sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
19152, 69, 1903eqtr4d 2277 . . 3 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( ( A oF + B ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) + sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
192191mpteq2dva 4205 . 2 |- ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( ( A oF + B ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> ( sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) + sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
19332, 192eqtr4d 2270 1 |- ( ph -> ( F oF + G ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( ( A oF + B ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   \ cdif 3211   u. cun 3212   C_ wss 3214   ifcif 3624   {csn 3694   {cpr 3695   class class class wbr 4114   |-> cmpt 4176   dom cdm 4754   "cima 4757   Fun wfun 5351   -->wf 5353   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   oFcof 6273   Fincfn 6988   supcsup 7286   CCcc 8141   RRcr 8142   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   x. cmul 8148   < clt 8324   <_ cle 8325   - cmin 8461   NN0cn0 9516   ZZcz 9597   ZZ>=cuz 9874   ...cfz 10364   ^cexp 10927   sum_csu 12066  Polycply 15722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-of 6275  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-frec 6635  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-sup 7288  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8463  df-neg 8464  df-reap 8867  df-ap 8874  df-div 8967  df-inn 9258  df-2 9316  df-3 9317  df-4 9318  df-n0 9517  df-z 9598  df-uz 9875  df-q 9973  df-rp 10008  df-fz 10365  df-fzo 10502  df-seqfrec 10837  df-exp 10928  df-ihash 11167  df-cj 11555  df-re 11556  df-im 11557  df-rsqrt 11711  df-abs 11712  df-clim 11992  df-sumdc 12067
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