Theorem plyaddlem1 15850

Description: Derive the coefficient function for the sum of two polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plyaddlem.1	|- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
plyaddlem.2	|- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )
plyaddlem.m	|- ( ph -> M e. NN0 )
plyaddlem.n	|- ( ph -> N e. NN0 )
plyaddlem.a	|- ( ph -> A : NN0 --> CC )
plyaddlem.b	|- ( ph -> B : NN0 --> CC )
plyaddlem.a2	|- ( ph -> ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = { 0 } )
plyaddlem.b2	|- ( ph -> ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } )
plyaddlem.f	|- ( ph -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
plyaddlem.g	|- ( ph -> G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
plyaddlem1	|- ( ph -> ( F oF + G ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( ( A oF + B ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )

Distinct variable groups:   B, k   k, M   k, N   z, k, ph

Allowed substitution hints:   A( z, k)   B( z)   S( z, k)   F( z, k)   G( z, k)   M( z)   N( z)

Proof of Theorem plyaddlem1

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 8303	. . . 4 |- CC e. _V
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> CC e. _V )
3		0zd 9658	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
4		plyaddlem.m	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. NN0 )
5	4	nn0zd 9768	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
6	3, 5	fzfigd 10870	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 ... M ) e. Fin )
7	6	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... M ) e. Fin )
8		plyaddlem.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A : NN0 --> CC )
9	8	ad2antrr 492	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> A : NN0 --> CC )
10		elfznn0 10523	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 0 ... M ) -> k e. NN0 )
11	10	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> k e. NN0 )
12	9, 11	ffvelcdmd 5844	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( A ` k ) e. CC )
13		simplr 533	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> z e. CC )
14	13, 11	expcld 11113	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( z ^ k ) e. CC )
15	12, 14	mulcld 8346	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
16	7, 15	fsumcl 12169	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
17		plyaddlem.n	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. NN0 )
18	17	nn0zd 9768	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ZZ )
19	3, 18	fzfigd 10870	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 ... N ) e. Fin )
20	19	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... N ) e. Fin )
21		plyaddlem.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> B : NN0 --> CC )
22	21	ad2antrr 492	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> B : NN0 --> CC )
23		elfznn0 10523	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> k e. NN0 )
24	23	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> k e. NN0 )
25	22, 24	ffvelcdmd 5844	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( B ` k ) e. CC )
26		simplr 533	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> z e. CC )
27	26, 24	expcld 11113	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( z ^ k ) e. CC )
28	25, 27	mulcld 8346	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
29	20, 28	fsumcl 12169	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
30		plyaddlem.f	. . 3 |- ( ph -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
31		plyaddlem.g	. . 3 |- ( ph -> G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
32	2, 16, 29, 30, 31	offval2 6318	. 2 |- ( ph -> ( F oF + G ) = ( z e. CC |-> ( sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) + sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
33		0zd 9658	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> 0 e. ZZ )
34		2zsupmax 11994	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> sup ( { M , N } , RR , < ) = if ( M <_ N , N , M ) )
35	5, 18, 34	syl2anc 415	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sup ( { M , N } , RR , < ) = if ( M <_ N , N , M ) )
36		zmaxcl 11992	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> sup ( { M , N } , RR , < ) e. ZZ )
37	5, 18, 36	syl2anc 415	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sup ( { M , N } , RR , < ) e. ZZ )
38	35, 37	eqeltrrd 2316	. . . . . . 7 |- ( ph -> if ( M <_ N , N , M ) e. ZZ )
39	38	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> if ( M <_ N , N , M ) e. ZZ )
40	33, 39	fzfigd 10870	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) e. Fin )
41		elfznn0 10523	. . . . . 6 |- ( k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) -> k e. NN0 )
42	8	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> A : NN0 --> CC )
43	42	ffvelcdmda 5843	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( A ` k ) e. CC )
44		expcl 10996	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( z ^ k ) e. CC )
45	44	adantll 480	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( z ^ k ) e. CC )
46	43, 45	mulcld 8346	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
47	41, 46	sylan2 286	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
48	21	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> B : NN0 --> CC )
49	48	ffvelcdmda 5843	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( B ` k ) e. CC )
50	49, 45	mulcld 8346	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
51	41, 50	sylan2 286	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ) -> ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
52	40, 47, 51	fsumadd 12175	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) + ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) + sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
53	8	ffnd 5534	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A Fn NN0 )
54	21	ffnd 5534	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B Fn NN0 )
55		nn0ex 9571	. . . . . . . . . . 11 |- NN0 e. _V
56	55	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> NN0 e. _V )
57		inidm 3440	. . . . . . . . . 10 |- ( NN0 i^i NN0 ) = NN0
58		eqidd 2239	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( A ` k ) = ( A ` k ) )
59		eqidd 2239	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( B ` k ) = ( B ` k ) )
60	8	ffvelcdmda 5843	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( A ` k ) e. CC )
61	21	ffvelcdmda 5843	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( B ` k ) e. CC )
62	60, 61	addcld 8345	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ` k ) + ( B ` k ) ) e. CC )
63	53, 54, 56, 56, 57, 58, 59, 62	ofvalg 6312	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( A oF + B ) ` k ) = ( ( A ` k ) + ( B ` k ) ) )
64	63	adantlr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( A oF + B ) ` k ) = ( ( A ` k ) + ( B ` k ) ) )
65	64	oveq1d 6100	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( A oF + B ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) = ( ( ( A ` k ) + ( B ` k ) ) x. ( z ^ k ) ) )
66	43, 49, 45	adddird 8351	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( A ` k ) + ( B ` k ) ) x. ( z ^ k ) ) = ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) + ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
67	65, 66	eqtrd 2271	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( A oF + B ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) = ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) + ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
68	41, 67	sylan2 286	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ) -> ( ( ( A oF + B ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) = ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) + ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
69	68	sumeq2dv 12136	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( ( A oF + B ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) + ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
70		zdcle 9723	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID M <_ N )
71	5, 18, 70	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> DECID M <_ N )
72	18, 5, 71	ifcldcd 3678	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> if ( M <_ N , N , M ) e. ZZ )
73	4	nn0red 9623	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. RR )
74	17	nn0red 9623	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. RR )
75		maxle1 11979	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> M <_ sup ( { M , N } , RR , < ) )
76	73, 74, 75	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M <_ sup ( { M , N } , RR , < ) )
77	76, 35	breqtrd 4156	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M <_ if ( M <_ N , N , M ) )
78		eluz2 9929	. . . . . . . . 9 |- ( if ( M <_ N , N , M ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ if ( M <_ N , N , M ) e. ZZ /\ M <_ if ( M <_ N , N , M ) ) )
79	5, 72, 77, 78	syl3anbrc 1212	. . . . . . . 8 |- ( ph -> if ( M <_ N , N , M ) e. ( ZZ>= ` M ) )
80		fzss2 10472	. . . . . . . 8 |- ( if ( M <_ N , N , M ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( 0 ... M ) C_ ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) )
81	79, 80	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 ... M ) C_ ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) )
82	81	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... M ) C_ ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) )
83	10, 46	sylan2 286	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
84		eldifn 3352	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) -> -. k e. ( 0 ... M ) )
85	84	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> -. k e. ( 0 ... M ) )
86		eldifi 3351	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) -> k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) )
87	86, 41	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) -> k e. NN0 )
88	87	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> k e. NN0 )
89		nn0uz 9959	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
90		peano2nn0 9605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( M e. NN0 -> ( M + 1 ) e. NN0 )
91	4, 90	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. NN0 )
92	91, 89	eleqtrdi 2331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
93		uzsplit 10501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( ZZ>= ` 0 ) = ( ( 0 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
94	92, 93	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ZZ>= ` 0 ) = ( ( 0 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
95	89, 94	eqtrid 2283	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> NN0 = ( ( 0 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
96	4	nn0cnd 9624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> M e. CC )
97		ax-1cn 8272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 1 e. CC
98		pncan 8532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( M e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( M + 1 ) - 1 ) = M )
99	96, 97, 98	sylancl 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) - 1 ) = M )
100	99	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 0 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... M ) )
101	100	uneq1d 3382	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( 0 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = ( ( 0 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
102	95, 101	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> NN0 = ( ( 0 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
103	102	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> NN0 = ( ( 0 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
104	88, 103	eleqtrd 2317	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> k e. ( ( 0 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
105		elun 3370	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( ( 0 ... M ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) <-> ( k e. ( 0 ... M ) \/ k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
106	104, 105	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( k e. ( 0 ... M ) \/ k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
107	106	ord 736	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( -. k e. ( 0 ... M ) -> k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
108	85, 107	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
109	8	ffund 5537	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Fun A )
110		ssun2 3393	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) C_ ( ( 0 ... ( ( M + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
111	110, 95	sseqtrrid 3299	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) C_ NN0 )
112	8	fdmd 5540	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> dom A = NN0 )
113	111, 112	sseqtrrd 3287	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) C_ dom A )
114		funfvima2 5951	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun A /\ ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) C_ dom A ) -> ( k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( A ` k ) e. ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) )
115	109, 113, 114	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( A ` k ) e. ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) )
116	115	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( k e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( A ` k ) e. ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) ) )
117	108, 116	mpd 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( A ` k ) e. ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) )
118		plyaddlem.a2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = { 0 } )
119	118	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = { 0 } )
120	117, 119	eleqtrd 2317	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( A ` k ) e. { 0 } )
121		elsni 3727	. . . . . . . . 9 |- ( ( A ` k ) e. { 0 } -> ( A ` k ) = 0 )
122	120, 121	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( A ` k ) = 0 )
123	122	oveq1d 6100	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) = ( 0 x. ( z ^ k ) ) )
124	87, 45	sylan2 286	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( z ^ k ) e. CC )
125	124	mul02d 8719	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( 0 x. ( z ^ k ) ) = 0 )
126	123, 125	eqtrd 2271	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) = 0 )
127		elfzelz 10430	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) -> j e. ZZ )
128	127	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ) -> j e. ZZ )
129		0zd 9658	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ) -> 0 e. ZZ )
130	5	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ) -> M e. ZZ )
131		fzdcel 10446	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> DECID j e. ( 0 ... M ) )
132	128, 129, 130, 131	syl3anc 1278	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ) -> DECID j e. ( 0 ... M ) )
133	132	ralrimiva 2623	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> A. j e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) )DECID j e. ( 0 ... M ) )
134	82, 83, 126, 133, 40	fisumss 12161	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
135		maxle2 11980	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> N <_ sup ( { M , N } , RR , < ) )
136	73, 74, 135	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N <_ sup ( { M , N } , RR , < ) )
137	136, 35	breqtrd 4156	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N <_ if ( M <_ N , N , M ) )
138		eluz2 9929	. . . . . . . . 9 |- ( if ( M <_ N , N , M ) e. ( ZZ>= ` N ) <-> ( N e. ZZ /\ if ( M <_ N , N , M ) e. ZZ /\ N <_ if ( M <_ N , N , M ) ) )
139	18, 72, 137, 138	syl3anbrc 1212	. . . . . . . 8 |- ( ph -> if ( M <_ N , N , M ) e. ( ZZ>= ` N ) )
140		fzss2 10472	. . . . . . . 8 |- ( if ( M <_ N , N , M ) e. ( ZZ>= ` N ) -> ( 0 ... N ) C_ ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) )
141	139, 140	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 ... N ) C_ ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) )
142	141	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... N ) C_ ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) )
143	23, 50	sylan2 286	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
144		eldifn 3352	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) -> -. k e. ( 0 ... N ) )
145	144	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> -. k e. ( 0 ... N ) )
146		eldifi 3351	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) -> k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) )
147	146, 41	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) -> k e. NN0 )
148	147	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> k e. NN0 )
149		peano2nn0 9605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
150	17, 149	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. NN0 )
151	150, 89	eleqtrdi 2331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
152		uzsplit 10501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( ZZ>= ` 0 ) = ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
153	151, 152	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ZZ>= ` 0 ) = ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
154	89, 153	eqtrid 2283	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> NN0 = ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
155	17	nn0cnd 9624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> N e. CC )
156		pncan 8532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
157	155, 97, 156	sylancl 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
158	157	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... N ) )
159	158	uneq1d 3382	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
160	154, 159	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> NN0 = ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
161	160	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> NN0 = ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
162	148, 161	eleqtrd 2317	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> k e. ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
163		elun 3370	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) <-> ( k e. ( 0 ... N ) \/ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
164	162, 163	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( k e. ( 0 ... N ) \/ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
165	164	ord 736	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( -. k e. ( 0 ... N ) -> k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
166	145, 165	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) )
167	21	ffund 5537	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Fun B )
168		ssun2 3393	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) C_ ( ( 0 ... ( ( N + 1 ) - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) )
169	168, 154	sseqtrrid 3299	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) C_ NN0 )
170	21	fdmd 5540	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> dom B = NN0 )
171	169, 170	sseqtrrd 3287	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) C_ dom B )
172		funfvima2 5951	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun B /\ ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) C_ dom B ) -> ( k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> ( B ` k ) e. ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) ) )
173	167, 171, 172	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> ( B ` k ) e. ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) ) )
174	173	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> ( B ` k ) e. ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) ) )
175	166, 174	mpd 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( B ` k ) e. ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
176		plyaddlem.b2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } )
177	176	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } )
178	175, 177	eleqtrd 2317	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( B ` k ) e. { 0 } )
179		elsni 3727	. . . . . . . . 9 |- ( ( B ` k ) e. { 0 } -> ( B ` k ) = 0 )
180	178, 179	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( B ` k ) = 0 )
181	180	oveq1d 6100	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) = ( 0 x. ( z ^ k ) ) )
182	147, 45	sylan2 286	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( z ^ k ) e. CC )
183	182	mul02d 8719	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( 0 x. ( z ^ k ) ) = 0 )
184	181, 183	eqtrd 2271	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) = 0 )
185	18	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ) -> N e. ZZ )
186		fzdcel 10446	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID j e. ( 0 ... N ) )
187	128, 129, 185, 186	syl3anc 1278	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ) -> DECID j e. ( 0 ... N ) )
188	187	ralrimiva 2623	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> A. j e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) )DECID j e. ( 0 ... N ) )
189	142, 143, 184, 188, 40	fisumss 12161	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
190	134, 189	oveq12d 6103	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) + sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) + sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
191	52, 69, 190	3eqtr4d 2281	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( ( A oF + B ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) + sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
192	191	mpteq2dva 4221	. 2 |- ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( ( A oF + B ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> ( sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) + sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
193	32, 192	eqtr4d 2274	1 |- ( ph -> ( F oF + G ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... if ( M <_ N , N , M ) ) ( ( ( A oF + B ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   \ cdif 3217   u. cun 3218   C_ wss 3220   ifcif 3638   {csn 3709   {cpr 3710   class class class wbr 4130   |-> cmpt 4192   dom cdm 4774   "cima 4777   Fun wfun 5371   -->wf 5373   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   oFcof 6300   Fincfn 7022   supcsup 7322   CCcc 8177   RRcr 8178   0cc0 8179   1c1 8180   + caddc 8182   x. cmul 8184   < clt 8360   <_ cle 8361   - cmin 8497   NN0cn0 9565   ZZcz 9646   ZZ>=cuz 9923   ...cfz 10413   ^cexp 10977   sum_csu 12121  Polycply 15831

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-of 6302  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-sup 7324  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8904  df-ap 8911  df-div 9004  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-n0 9566  df-z 9647  df-uz 9924  df-q 10022  df-rp 10057  df-fz 10414  df-fzo 10552  df-seqfrec 10887  df-exp 10978  df-ihash 11217  df-cj 11609  df-re 11610  df-im 11611  df-rsqrt 11766  df-abs 11767  df-clim 12047  df-sumdc 12122

This theorem is used by:  plyaddlem  15852