Theorem dvply1 15001

Description: Derivative of a polynomial, explicit sum version. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvply1.f	|- ( ph -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
dvply1.g	|- ( ph -> G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
dvply1.a	|- ( ph -> A : NN0 --> CC )
dvply1.b	|- B = ( k e. NN0 |-> ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) )
dvply1.n	|- ( ph -> N e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
dvply1	|- ( ph -> ( CC _D F ) = G )

Distinct variable groups:   ph, z, k   z, A, k   z, B   k, N, z

Allowed substitution hints:   B( k)   F( z, k)   G( z, k)

Proof of Theorem dvply1

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvply1.f	. . 3 |- ( ph -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
2	1	oveq2d 5938	. 2 |- ( ph -> ( CC _D F ) = ( CC _D ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
3		eqid 2196	. . . . 5 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
4	3	cnfldtopon 14776	. . . 4 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC )
5	4	toponrestid 14257	. . 3 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC )
6		cnelprrecn 8015	. . . 4 |- CC e. { RR , CC }
7	6	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> CC e. { RR , CC } )
8	3	cnfldtop 14777	. . . 4 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top
9		unicntop 14779	. . . . 5 |- CC = U. ( TopOpen ` ℂfld )
10	9	topopn 14244	. . . 4 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top -> CC e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
11	8, 10	mp1i 10	. . 3 |- ( ph -> CC e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
12		0zd 9338	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
13		dvply1.n	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN0 )
14	13	nn0zd 9446	. . . 4 |- ( ph -> N e. ZZ )
15	12, 14	fzfigd 10523	. . 3 |- ( ph -> ( 0 ... N ) e. Fin )
16		dvply1.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A : NN0 --> CC )
17		elfznn0 10189	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> k e. NN0 )
18		ffvelcdm 5695	. . . . . . 7 |- ( ( A : NN0 --> CC /\ k e. NN0 ) -> ( A ` k ) e. CC )
19	16, 17, 18	syl2an 289	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( A ` k ) e. CC )
20	19	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) -> ( A ` k ) e. CC )
21		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) -> z e. CC )
22	17	ad2antlr 489	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) -> k e. NN0 )
23	21, 22	expcld 10765	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) -> ( z ^ k ) e. CC )
24	20, 23	mulcld 8047	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
25	24	3impa 1196	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
26	19	3adant3 1019	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) -> ( A ` k ) e. CC )
27		0cnd 8019	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) /\ k = 0 ) -> 0 e. CC )
28		simpl2 1003	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> k e. ( 0 ... N ) )
29	28, 17	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> k e. NN0 )
30	29	nn0cnd 9304	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> k e. CC )
31		simpl3 1004	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> z e. CC )
32		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> -. k = 0 )
33		elnn0 9251	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN0 <-> ( k e. NN \/ k = 0 ) )
34	29, 33	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> ( k e. NN \/ k = 0 ) )
35	32, 34	ecased 1360	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> k e. NN )
36		nnm1nn0 9290	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( k - 1 ) e. NN0 )
37	35, 36	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> ( k - 1 ) e. NN0 )
38	31, 37	expcld 10765	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> ( z ^ ( k - 1 ) ) e. CC )
39	30, 38	mulcld 8047	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) e. CC )
40	17	3ad2ant2 1021	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) -> k e. NN0 )
41	40	nn0zd 9446	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) -> k e. ZZ )
42		0zd 9338	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) -> 0 e. ZZ )
43		zdceq 9401	. . . . . 6 |- ( ( k e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID k = 0 )
44	41, 42, 43	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) -> DECID k = 0 )
45	27, 39, 44	ifcldadc 3590	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) -> if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) e. CC )
46	26, 45	mulcld 8047	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) -> ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) e. CC )
47		0cnd 8019	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) /\ k = 0 ) -> 0 e. CC )
48	22	nn0cnd 9304	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) -> k e. CC )
49	48	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> k e. CC )
50		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> z e. CC )
51		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> -. k = 0 )
52	22	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> k e. NN0 )
53	52, 33	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> ( k e. NN \/ k = 0 ) )
54	51, 53	ecased 1360	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> k e. NN )
55	54, 36	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> ( k - 1 ) e. NN0 )
56	50, 55	expcld 10765	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> ( z ^ ( k - 1 ) ) e. CC )
57	49, 56	mulcld 8047	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) e. CC )
58	44	3expa 1205	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) -> DECID k = 0 )
59	47, 57, 58	ifcldadc 3590	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) -> if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) e. CC )
60	17	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> k e. NN0 )
61		dvexp2 14948	. . . . 5 |- ( k e. NN0 -> ( CC _D ( z e. CC |-> ( z ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) )
62	60, 61	syl 14	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( CC _D ( z e. CC |-> ( z ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) )
63	23, 59, 62, 19	dvmptcmulcn 14957	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( CC _D ( z e. CC |-> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) = ( z e. CC |-> ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) ) )
64	5, 3, 7, 11, 15, 25, 46, 63	dvmptfsum 14961	. 2 |- ( ph -> ( CC _D ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) ) )
65		elfznn 10129	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> k e. NN )
66	65	nnne0d 9035	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> k =/= 0 )
67	66	neneqd 2388	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> -. k = 0 )
68	67	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> -. k = 0 )
69	68	iffalsed 3571	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) = ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) )
70	69	oveq2d 5938	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) = ( ( A ` k ) x. ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) )
71	70	sumeq2dv 11533	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) )
72		1eluzge0 9648	. . . . . . 7 |- 1 e. ( ZZ>= ` 0 )
73		fzss1 10138	. . . . . . 7 |- ( 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( 1 ... N ) C_ ( 0 ... N ) )
74	72, 73	mp1i 10	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 1 ... N ) C_ ( 0 ... N ) )
75	16	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> A : NN0 --> CC )
76	65	nnnn0d 9302	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> k e. NN0 )
77	75, 76, 18	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( A ` k ) e. CC )
78	66	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> k =/= 0 )
79	78	neneqd 2388	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> -. k = 0 )
80	79	iffalsed 3571	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) = ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) )
81	76	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> k e. NN0 )
82	81	nn0cnd 9304	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> k e. CC )
83		simplr 528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> z e. CC )
84	65, 36	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> ( k - 1 ) e. NN0 )
85	84	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( k - 1 ) e. NN0 )
86	83, 85	expcld 10765	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( z ^ ( k - 1 ) ) e. CC )
87	82, 86	mulcld 8047	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) e. CC )
88	80, 87	eqeltrd 2273	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) e. CC )
89	77, 88	mulcld 8047	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) e. CC )
90		eldifn 3286	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) -> -. k e. ( 1 ... N ) )
91		0p1e1 9104	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 + 1 ) = 1
92	91	oveq1i 5932	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 + 1 ) ... N ) = ( 1 ... N )
93	92	eleq2i 2263	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ( 0 + 1 ) ... N ) <-> k e. ( 1 ... N ) )
94	90, 93	sylnibr 678	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) -> -. k e. ( ( 0 + 1 ) ... N ) )
95	94	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) ) -> -. k e. ( ( 0 + 1 ) ... N ) )
96		eldifi 3285	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) -> k e. ( 0 ... N ) )
97	96	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) ) -> k e. ( 0 ... N ) )
98		nn0uz 9636	. . . . . . . . . . . . . 14 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
99	13, 98	eleqtrdi 2289	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
100	99	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) ) -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
101		elfzp12 10174	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( k e. ( 0 ... N ) <-> ( k = 0 \/ k e. ( ( 0 + 1 ) ... N ) ) ) )
102	100, 101	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) ) -> ( k e. ( 0 ... N ) <-> ( k = 0 \/ k e. ( ( 0 + 1 ) ... N ) ) ) )
103	97, 102	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) ) -> ( k = 0 \/ k e. ( ( 0 + 1 ) ... N ) ) )
104	95, 103	ecased 1360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) ) -> k = 0 )
105	104	iftrued 3568	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) ) -> if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) = 0 )
106	105	oveq2d 5938	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) = ( ( A ` k ) x. 0 ) )
107	75, 17, 18	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( A ` k ) e. CC )
108	107	mul01d 8419	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( A ` k ) x. 0 ) = 0 )
109	96, 108	sylan2 286	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. 0 ) = 0 )
110	106, 109	eqtrd 2229	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) = 0 )
111		elfzelz 10100	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 0 ... N ) -> j e. ZZ )
112	111	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> j e. ZZ )
113		1zzd 9353	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> 1 e. ZZ )
114	14	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> N e. ZZ )
115		fzdcel 10115	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID j e. ( 1 ... N ) )
116	112, 113, 114, 115	syl3anc 1249	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> DECID j e. ( 1 ... N ) )
117	116	ralrimiva 2570	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> A. j e. ( 0 ... N )DECID j e. ( 1 ... N ) )
118		0zd 9338	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> 0 e. ZZ )
119	14	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> N e. ZZ )
120	118, 119	fzfigd 10523	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... N ) e. Fin )
121	74, 89, 110, 117, 120	fisumss 11557	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) )
122		elfznn0 10189	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> j e. NN0 )
123	122	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> j e. NN0 )
124	123	nn0cnd 9304	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> j e. CC )
125		ax-1cn 7972	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. CC
126		pncan 8232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( j + 1 ) - 1 ) = j )
127	124, 125, 126	sylancl 413	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( j + 1 ) - 1 ) = j )
128	127	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( z ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) = ( z ^ j ) )
129	128	oveq2d 5938	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( j + 1 ) x. ( z ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( j + 1 ) x. ( z ^ j ) ) )
130	129	oveq2d 5938	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( ( j + 1 ) x. ( z ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) ) = ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( ( j + 1 ) x. ( z ^ j ) ) ) )
131	16	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> A : NN0 --> CC )
132		peano2nn0 9289	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN0 -> ( j + 1 ) e. NN0 )
133	122, 132	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> ( j + 1 ) e. NN0 )
134	133	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( j + 1 ) e. NN0 )
135	131, 134	ffvelcdmd 5698	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( A ` ( j + 1 ) ) e. CC )
136	134	nn0cnd 9304	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( j + 1 ) e. CC )
137		simplr 528	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> z e. CC )
138	137, 123	expcld 10765	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( z ^ j ) e. CC )
139	135, 136, 138	mulassd 8050	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( j + 1 ) ) x. ( z ^ j ) ) = ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( ( j + 1 ) x. ( z ^ j ) ) ) )
140	135, 136	mulcomd 8048	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( j + 1 ) ) = ( ( j + 1 ) x. ( A ` ( j + 1 ) ) ) )
141	140	oveq1d 5937	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( j + 1 ) ) x. ( z ^ j ) ) = ( ( ( j + 1 ) x. ( A ` ( j + 1 ) ) ) x. ( z ^ j ) ) )
142	130, 139, 141	3eqtr2d 2235	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( ( j + 1 ) x. ( z ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) ) = ( ( ( j + 1 ) x. ( A ` ( j + 1 ) ) ) x. ( z ^ j ) ) )
143	142	sumeq2dv 11533	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( ( j + 1 ) x. ( z ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( ( j + 1 ) x. ( A ` ( j + 1 ) ) ) x. ( z ^ j ) ) )
144		1m1e0 9059	. . . . . . . . 9 |- ( 1 - 1 ) = 0
145	144	oveq1i 5932	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) = ( 0 ... ( N - 1 ) )
146	145	sumeq1i 11528	. . . . . . 7 |- sum_ j e. ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( ( j + 1 ) x. ( z ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( ( j + 1 ) x. ( z ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) )
147		oveq1 5929	. . . . . . . . . 10 |- ( k = j -> ( k + 1 ) = ( j + 1 ) )
148		fvoveq1 5945	. . . . . . . . . 10 |- ( k = j -> ( A ` ( k + 1 ) ) = ( A ` ( j + 1 ) ) )
149	147, 148	oveq12d 5940	. . . . . . . . 9 |- ( k = j -> ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( j + 1 ) x. ( A ` ( j + 1 ) ) ) )
150		oveq2 5930	. . . . . . . . 9 |- ( k = j -> ( z ^ k ) = ( z ^ j ) )
151	149, 150	oveq12d 5940	. . . . . . . 8 |- ( k = j -> ( ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) x. ( z ^ k ) ) = ( ( ( j + 1 ) x. ( A ` ( j + 1 ) ) ) x. ( z ^ j ) ) )
152	151	cbvsumv 11526	. . . . . . 7 |- sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) x. ( z ^ k ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( ( j + 1 ) x. ( A ` ( j + 1 ) ) ) x. ( z ^ j ) )
153	143, 146, 152	3eqtr4g 2254	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ j e. ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( ( j + 1 ) x. ( z ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) x. ( z ^ k ) ) )
154		1zzd 9353	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> 1 e. ZZ )
155	13	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> N e. NN0 )
156	155	nn0zd 9446	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> N e. ZZ )
157	77, 87	mulcld 8047	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) e. CC )
158		fveq2 5558	. . . . . . . 8 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( A ` k ) = ( A ` ( j + 1 ) ) )
159		id 19	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( j + 1 ) -> k = ( j + 1 ) )
160		oveq1 5929	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( k - 1 ) = ( ( j + 1 ) - 1 ) )
161	160	oveq2d 5938	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( z ^ ( k - 1 ) ) = ( z ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) )
162	159, 161	oveq12d 5940	. . . . . . . 8 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) = ( ( j + 1 ) x. ( z ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) )
163	158, 162	oveq12d 5940	. . . . . . 7 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( ( A ` k ) x. ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) = ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( ( j + 1 ) x. ( z ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
164	154, 154, 156, 157, 163	fsumshftm 11610	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) = sum_ j e. ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( ( j + 1 ) x. ( z ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
165		elfznn0 10189	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> k e. NN0 )
166	165	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
167		peano2nn0 9289	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN0 )
168	166, 167	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. NN0 )
169	168	nn0cnd 9304	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. CC )
170	16	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> A : NN0 --> CC )
171	170, 168	ffvelcdmd 5698	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( A ` ( k + 1 ) ) e. CC )
172	169, 171	mulcld 8047	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) e. CC )
173		dvply1.b	. . . . . . . . . 10 |- B = ( k e. NN0 |-> ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) )
174	173	fvmpt2 5645	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN0 /\ ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) e. CC ) -> ( B ` k ) = ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) )
175	166, 172, 174	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( B ` k ) = ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) )
176	175	oveq1d 5937	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) = ( ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) x. ( z ^ k ) ) )
177	176	sumeq2dv 11533	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) x. ( z ^ k ) ) )
178	153, 164, 177	3eqtr4d 2239	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
179	71, 121, 178	3eqtr3d 2237	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
180	179	mpteq2dva 4123	. . 3 |- ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
181		dvply1.g	. . 3 |- ( ph -> G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
182	180, 181	eqtr4d 2232	. 2 |- ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) ) = G )
183	2, 64, 182	3eqtrd 2233	1 |- ( ph -> ( CC _D F ) = G )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   =/= wne 2367   \ cdif 3154   C_ wss 3157   ifcif 3561   {cpr 3623   |-> cmpt 4094   -->wf 5254   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   CCcc 7877   RRcr 7878   0cc0 7879   1c1 7880   + caddc 7882   x. cmul 7884   - cmin 8197   NNcn 8990   NN0cn0 9249   ZZcz 9326   ZZ>=cuz 9601   ...cfz 10083   ^cexp 10630   sum_csu 11518   TopOpenctopn 12911  ℂ_fldccnfld 14112   Topctop 14233   _D cdv 14891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999  ax-addf 8001  ax-mulf 8002

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-tp 3630  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-of 6135  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6592  df-map 6709  df-pm 6710  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-sup 7050  df-inf 7051  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-7 9054  df-8 9055  df-9 9056  df-n0 9250  df-z 9327  df-dec 9458  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-xneg 9847  df-xadd 9848  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-ihash 10868  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-clim 11444  df-sumdc 11519  df-struct 12680  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-starv 12770  df-tset 12774  df-ple 12775  df-ds 12777  df-unif 12778  df-rest 12912  df-topn 12913  df-topgen 12931  df-psmet 14099  df-xmet 14100  df-met 14101  df-bl 14102  df-mopn 14103  df-fg 14105  df-metu 14106  df-cnfld 14113  df-top 14234  df-topon 14247  df-topsp 14267  df-bases 14279  df-ntr 14332  df-cn 14424  df-cnp 14425  df-tx 14489  df-xms 14575  df-ms 14576  df-cncf 14807  df-limced 14892  df-dvap 14893

This theorem is referenced by:  dvply2g  15002