Theorem dvply1 15424

Description: Derivative of a polynomial, explicit sum version. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvply1.f	|- ( ph -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
dvply1.g	|- ( ph -> G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
dvply1.a	|- ( ph -> A : NN0 --> CC )
dvply1.b	|- B = ( k e. NN0 |-> ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) )
dvply1.n	|- ( ph -> N e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
dvply1	|- ( ph -> ( CC _D F ) = G )

Distinct variable groups:   ph, z, k   z, A, k   z, B   k, N, z

Allowed substitution hints:   B( k)   F( z, k)   G( z, k)

Proof of Theorem dvply1

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvply1.f	. . 3 |- ( ph -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
2	1	oveq2d 6010	. 2 |- ( ph -> ( CC _D F ) = ( CC _D ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
3		eqid 2229	. . . . 5 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
4	3	cnfldtopon 15199	. . . 4 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC )
5	4	toponrestid 14680	. . 3 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC )
6		cnelprrecn 8123	. . . 4 |- CC e. { RR , CC }
7	6	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> CC e. { RR , CC } )
8	3	cnfldtop 15200	. . . 4 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top
9		unicntop 15202	. . . . 5 |- CC = U. ( TopOpen ` ℂfld )
10	9	topopn 14667	. . . 4 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top -> CC e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
11	8, 10	mp1i 10	. . 3 |- ( ph -> CC e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
12		0zd 9446	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
13		dvply1.n	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN0 )
14	13	nn0zd 9555	. . . 4 |- ( ph -> N e. ZZ )
15	12, 14	fzfigd 10640	. . 3 |- ( ph -> ( 0 ... N ) e. Fin )
16		dvply1.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A : NN0 --> CC )
17		elfznn0 10298	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> k e. NN0 )
18		ffvelcdm 5761	. . . . . . 7 |- ( ( A : NN0 --> CC /\ k e. NN0 ) -> ( A ` k ) e. CC )
19	16, 17, 18	syl2an 289	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( A ` k ) e. CC )
20	19	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) -> ( A ` k ) e. CC )
21		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) -> z e. CC )
22	17	ad2antlr 489	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) -> k e. NN0 )
23	21, 22	expcld 10882	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) -> ( z ^ k ) e. CC )
24	20, 23	mulcld 8155	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
25	24	3impa 1218	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
26	19	3adant3 1041	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) -> ( A ` k ) e. CC )
27		0cnd 8127	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) /\ k = 0 ) -> 0 e. CC )
28		simpl2 1025	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> k e. ( 0 ... N ) )
29	28, 17	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> k e. NN0 )
30	29	nn0cnd 9412	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> k e. CC )
31		simpl3 1026	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> z e. CC )
32		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> -. k = 0 )
33		elnn0 9359	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN0 <-> ( k e. NN \/ k = 0 ) )
34	29, 33	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> ( k e. NN \/ k = 0 ) )
35	32, 34	ecased 1383	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> k e. NN )
36		nnm1nn0 9398	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( k - 1 ) e. NN0 )
37	35, 36	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> ( k - 1 ) e. NN0 )
38	31, 37	expcld 10882	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> ( z ^ ( k - 1 ) ) e. CC )
39	30, 38	mulcld 8155	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) e. CC )
40	17	3ad2ant2 1043	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) -> k e. NN0 )
41	40	nn0zd 9555	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) -> k e. ZZ )
42		0zd 9446	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) -> 0 e. ZZ )
43		zdceq 9510	. . . . . 6 |- ( ( k e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID k = 0 )
44	41, 42, 43	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) -> DECID k = 0 )
45	27, 39, 44	ifcldadc 3632	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) -> if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) e. CC )
46	26, 45	mulcld 8155	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) -> ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) e. CC )
47		0cnd 8127	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) /\ k = 0 ) -> 0 e. CC )
48	22	nn0cnd 9412	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) -> k e. CC )
49	48	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> k e. CC )
50		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> z e. CC )
51		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> -. k = 0 )
52	22	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> k e. NN0 )
53	52, 33	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> ( k e. NN \/ k = 0 ) )
54	51, 53	ecased 1383	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> k e. NN )
55	54, 36	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> ( k - 1 ) e. NN0 )
56	50, 55	expcld 10882	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> ( z ^ ( k - 1 ) ) e. CC )
57	49, 56	mulcld 8155	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) e. CC )
58	44	3expa 1227	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) -> DECID k = 0 )
59	47, 57, 58	ifcldadc 3632	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) -> if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) e. CC )
60	17	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> k e. NN0 )
61		dvexp2 15371	. . . . 5 |- ( k e. NN0 -> ( CC _D ( z e. CC |-> ( z ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) )
62	60, 61	syl 14	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( CC _D ( z e. CC |-> ( z ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) )
63	23, 59, 62, 19	dvmptcmulcn 15380	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( CC _D ( z e. CC |-> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) = ( z e. CC |-> ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) ) )
64	5, 3, 7, 11, 15, 25, 46, 63	dvmptfsum 15384	. 2 |- ( ph -> ( CC _D ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) ) )
65		elfznn 10238	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> k e. NN )
66	65	nnne0d 9143	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> k =/= 0 )
67	66	neneqd 2421	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> -. k = 0 )
68	67	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> -. k = 0 )
69	68	iffalsed 3612	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) = ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) )
70	69	oveq2d 6010	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) = ( ( A ` k ) x. ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) )
71	70	sumeq2dv 11865	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) )
72		1eluzge0 9757	. . . . . . 7 |- 1 e. ( ZZ>= ` 0 )
73		fzss1 10247	. . . . . . 7 |- ( 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( 1 ... N ) C_ ( 0 ... N ) )
74	72, 73	mp1i 10	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 1 ... N ) C_ ( 0 ... N ) )
75	16	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> A : NN0 --> CC )
76	65	nnnn0d 9410	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> k e. NN0 )
77	75, 76, 18	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( A ` k ) e. CC )
78	66	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> k =/= 0 )
79	78	neneqd 2421	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> -. k = 0 )
80	79	iffalsed 3612	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) = ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) )
81	76	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> k e. NN0 )
82	81	nn0cnd 9412	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> k e. CC )
83		simplr 528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> z e. CC )
84	65, 36	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> ( k - 1 ) e. NN0 )
85	84	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( k - 1 ) e. NN0 )
86	83, 85	expcld 10882	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( z ^ ( k - 1 ) ) e. CC )
87	82, 86	mulcld 8155	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) e. CC )
88	80, 87	eqeltrd 2306	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) e. CC )
89	77, 88	mulcld 8155	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) e. CC )
90		eldifn 3327	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) -> -. k e. ( 1 ... N ) )
91		0p1e1 9212	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 + 1 ) = 1
92	91	oveq1i 6004	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 + 1 ) ... N ) = ( 1 ... N )
93	92	eleq2i 2296	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ( 0 + 1 ) ... N ) <-> k e. ( 1 ... N ) )
94	90, 93	sylnibr 681	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) -> -. k e. ( ( 0 + 1 ) ... N ) )
95	94	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) ) -> -. k e. ( ( 0 + 1 ) ... N ) )
96		eldifi 3326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) -> k e. ( 0 ... N ) )
97	96	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) ) -> k e. ( 0 ... N ) )
98		nn0uz 9745	. . . . . . . . . . . . . 14 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
99	13, 98	eleqtrdi 2322	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
100	99	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) ) -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
101		elfzp12 10283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( k e. ( 0 ... N ) <-> ( k = 0 \/ k e. ( ( 0 + 1 ) ... N ) ) ) )
102	100, 101	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) ) -> ( k e. ( 0 ... N ) <-> ( k = 0 \/ k e. ( ( 0 + 1 ) ... N ) ) ) )
103	97, 102	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) ) -> ( k = 0 \/ k e. ( ( 0 + 1 ) ... N ) ) )
104	95, 103	ecased 1383	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) ) -> k = 0 )
105	104	iftrued 3609	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) ) -> if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) = 0 )
106	105	oveq2d 6010	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) = ( ( A ` k ) x. 0 ) )
107	75, 17, 18	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( A ` k ) e. CC )
108	107	mul01d 8527	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( A ` k ) x. 0 ) = 0 )
109	96, 108	sylan2 286	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. 0 ) = 0 )
110	106, 109	eqtrd 2262	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) = 0 )
111		elfzelz 10209	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 0 ... N ) -> j e. ZZ )
112	111	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> j e. ZZ )
113		1zzd 9461	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> 1 e. ZZ )
114	14	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> N e. ZZ )
115		fzdcel 10224	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID j e. ( 1 ... N ) )
116	112, 113, 114, 115	syl3anc 1271	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> DECID j e. ( 1 ... N ) )
117	116	ralrimiva 2603	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> A. j e. ( 0 ... N )DECID j e. ( 1 ... N ) )
118		0zd 9446	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> 0 e. ZZ )
119	14	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> N e. ZZ )
120	118, 119	fzfigd 10640	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... N ) e. Fin )
121	74, 89, 110, 117, 120	fisumss 11889	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) )
122		elfznn0 10298	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> j e. NN0 )
123	122	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> j e. NN0 )
124	123	nn0cnd 9412	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> j e. CC )
125		ax-1cn 8080	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. CC
126		pncan 8340	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( j + 1 ) - 1 ) = j )
127	124, 125, 126	sylancl 413	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( j + 1 ) - 1 ) = j )
128	127	oveq2d 6010	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( z ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) = ( z ^ j ) )
129	128	oveq2d 6010	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( j + 1 ) x. ( z ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( j + 1 ) x. ( z ^ j ) ) )
130	129	oveq2d 6010	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( ( j + 1 ) x. ( z ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) ) = ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( ( j + 1 ) x. ( z ^ j ) ) ) )
131	16	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> A : NN0 --> CC )
132		peano2nn0 9397	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN0 -> ( j + 1 ) e. NN0 )
133	122, 132	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> ( j + 1 ) e. NN0 )
134	133	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( j + 1 ) e. NN0 )
135	131, 134	ffvelcdmd 5764	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( A ` ( j + 1 ) ) e. CC )
136	134	nn0cnd 9412	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( j + 1 ) e. CC )
137		simplr 528	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> z e. CC )
138	137, 123	expcld 10882	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( z ^ j ) e. CC )
139	135, 136, 138	mulassd 8158	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( j + 1 ) ) x. ( z ^ j ) ) = ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( ( j + 1 ) x. ( z ^ j ) ) ) )
140	135, 136	mulcomd 8156	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( j + 1 ) ) = ( ( j + 1 ) x. ( A ` ( j + 1 ) ) ) )
141	140	oveq1d 6009	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( j + 1 ) ) x. ( z ^ j ) ) = ( ( ( j + 1 ) x. ( A ` ( j + 1 ) ) ) x. ( z ^ j ) ) )
142	130, 139, 141	3eqtr2d 2268	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( ( j + 1 ) x. ( z ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) ) = ( ( ( j + 1 ) x. ( A ` ( j + 1 ) ) ) x. ( z ^ j ) ) )
143	142	sumeq2dv 11865	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( ( j + 1 ) x. ( z ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( ( j + 1 ) x. ( A ` ( j + 1 ) ) ) x. ( z ^ j ) ) )
144		1m1e0 9167	. . . . . . . . 9 |- ( 1 - 1 ) = 0
145	144	oveq1i 6004	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) = ( 0 ... ( N - 1 ) )
146	145	sumeq1i 11860	. . . . . . 7 |- sum_ j e. ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( ( j + 1 ) x. ( z ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( ( j + 1 ) x. ( z ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) )
147		oveq1 6001	. . . . . . . . . 10 |- ( k = j -> ( k + 1 ) = ( j + 1 ) )
148		fvoveq1 6017	. . . . . . . . . 10 |- ( k = j -> ( A ` ( k + 1 ) ) = ( A ` ( j + 1 ) ) )
149	147, 148	oveq12d 6012	. . . . . . . . 9 |- ( k = j -> ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( j + 1 ) x. ( A ` ( j + 1 ) ) ) )
150		oveq2 6002	. . . . . . . . 9 |- ( k = j -> ( z ^ k ) = ( z ^ j ) )
151	149, 150	oveq12d 6012	. . . . . . . 8 |- ( k = j -> ( ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) x. ( z ^ k ) ) = ( ( ( j + 1 ) x. ( A ` ( j + 1 ) ) ) x. ( z ^ j ) ) )
152	151	cbvsumv 11858	. . . . . . 7 |- sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) x. ( z ^ k ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( ( j + 1 ) x. ( A ` ( j + 1 ) ) ) x. ( z ^ j ) )
153	143, 146, 152	3eqtr4g 2287	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ j e. ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( ( j + 1 ) x. ( z ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) x. ( z ^ k ) ) )
154		1zzd 9461	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> 1 e. ZZ )
155	13	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> N e. NN0 )
156	155	nn0zd 9555	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> N e. ZZ )
157	77, 87	mulcld 8155	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) e. CC )
158		fveq2 5623	. . . . . . . 8 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( A ` k ) = ( A ` ( j + 1 ) ) )
159		id 19	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( j + 1 ) -> k = ( j + 1 ) )
160		oveq1 6001	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( k - 1 ) = ( ( j + 1 ) - 1 ) )
161	160	oveq2d 6010	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( z ^ ( k - 1 ) ) = ( z ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) )
162	159, 161	oveq12d 6012	. . . . . . . 8 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) = ( ( j + 1 ) x. ( z ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) )
163	158, 162	oveq12d 6012	. . . . . . 7 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( ( A ` k ) x. ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) = ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( ( j + 1 ) x. ( z ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
164	154, 154, 156, 157, 163	fsumshftm 11942	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) = sum_ j e. ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( ( j + 1 ) x. ( z ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
165		elfznn0 10298	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> k e. NN0 )
166	165	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
167		peano2nn0 9397	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN0 )
168	166, 167	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. NN0 )
169	168	nn0cnd 9412	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. CC )
170	16	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> A : NN0 --> CC )
171	170, 168	ffvelcdmd 5764	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( A ` ( k + 1 ) ) e. CC )
172	169, 171	mulcld 8155	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) e. CC )
173		dvply1.b	. . . . . . . . . 10 |- B = ( k e. NN0 |-> ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) )
174	173	fvmpt2 5711	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN0 /\ ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) e. CC ) -> ( B ` k ) = ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) )
175	166, 172, 174	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( B ` k ) = ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) )
176	175	oveq1d 6009	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) = ( ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) x. ( z ^ k ) ) )
177	176	sumeq2dv 11865	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) x. ( z ^ k ) ) )
178	153, 164, 177	3eqtr4d 2272	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
179	71, 121, 178	3eqtr3d 2270	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
180	179	mpteq2dva 4173	. . 3 |- ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
181		dvply1.g	. . 3 |- ( ph -> G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
182	180, 181	eqtr4d 2265	. 2 |- ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) ) = G )
183	2, 64, 182	3eqtrd 2266	1 |- ( ph -> ( CC _D F ) = G )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713  DECID wdc 839   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   \ cdif 3194   C_ wss 3197   ifcif 3602   {cpr 3667   |-> cmpt 4144   -->wf 5310   ` cfv 5314  (class class class)co 5994   CCcc 7985   RRcr 7986   0cc0 7987   1c1 7988   + caddc 7990   x. cmul 7992   - cmin 8305   NNcn 9098   NN0cn0 9357   ZZcz 9434   ZZ>=cuz 9710   ...cfz 10192   ^cexp 10747   sum_csu 11850   TopOpenctopn 13259  ℂ_fldccnfld 14505   Topctop 14656   _D cdv 15314

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-mulrcl 8086  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-1rid 8094  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-precex 8097  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103  ax-pre-mulgt0 8104  ax-pre-mulext 8105  ax-arch 8106  ax-caucvg 8107  ax-addf 8109  ax-mulf 8110

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-po 4384  df-iso 4385  df-iord 4454  df-on 4456  df-ilim 4457  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-isom 5323  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-of 6208  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-recs 6441  df-irdg 6506  df-frec 6527  df-1o 6552  df-oadd 6556  df-er 6670  df-map 6787  df-pm 6788  df-en 6878  df-dom 6879  df-fin 6880  df-sup 7139  df-inf 7140  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-reap 8710  df-ap 8717  df-div 8808  df-inn 9099  df-2 9157  df-3 9158  df-4 9159  df-5 9160  df-6 9161  df-7 9162  df-8 9163  df-9 9164  df-n0 9358  df-z 9435  df-dec 9567  df-uz 9711  df-q 9803  df-rp 9838  df-xneg 9956  df-xadd 9957  df-fz 10193  df-fzo 10327  df-seqfrec 10657  df-exp 10748  df-ihash 10985  df-cj 11339  df-re 11340  df-im 11341  df-rsqrt 11495  df-abs 11496  df-clim 11776  df-sumdc 11851  df-struct 13020  df-ndx 13021  df-slot 13022  df-base 13024  df-plusg 13109  df-mulr 13110  df-starv 13111  df-tset 13115  df-ple 13116  df-ds 13118  df-unif 13119  df-rest 13260  df-topn 13261  df-topgen 13279  df-psmet 14492  df-xmet 14493  df-met 14494  df-bl 14495  df-mopn 14496  df-fg 14498  df-metu 14499  df-cnfld 14506  df-top 14657  df-topon 14670  df-topsp 14690  df-bases 14702  df-ntr 14755  df-cn 14847  df-cnp 14848  df-tx 14912  df-xms 14998  df-ms 14999  df-cncf 15230  df-limced 15315  df-dvap 15316

This theorem is referenced by:  dvply2g  15425