Theorem dvply1 15495

Description: Derivative of a polynomial, explicit sum version. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvply1.f	|- ( ph -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
dvply1.g	|- ( ph -> G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
dvply1.a	|- ( ph -> A : NN0 --> CC )
dvply1.b	|- B = ( k e. NN0 |-> ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) )
dvply1.n	|- ( ph -> N e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
dvply1	|- ( ph -> ( CC _D F ) = G )

Distinct variable groups:   ph, z, k   z, A, k   z, B   k, N, z

Allowed substitution hints:   B( k)   F( z, k)   G( z, k)

Proof of Theorem dvply1

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvply1.f	. . 3 |- ( ph -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
2	1	oveq2d 6034	. 2 |- ( ph -> ( CC _D F ) = ( CC _D ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
3		eqid 2231	. . . . 5 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
4	3	cnfldtopon 15270	. . . 4 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC )
5	4	toponrestid 14751	. . 3 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC )
6		cnelprrecn 8168	. . . 4 |- CC e. { RR , CC }
7	6	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> CC e. { RR , CC } )
8	3	cnfldtop 15271	. . . 4 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top
9		unicntop 15273	. . . . 5 |- CC = U. ( TopOpen ` ℂfld )
10	9	topopn 14738	. . . 4 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top -> CC e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
11	8, 10	mp1i 10	. . 3 |- ( ph -> CC e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
12		0zd 9491	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
13		dvply1.n	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN0 )
14	13	nn0zd 9600	. . . 4 |- ( ph -> N e. ZZ )
15	12, 14	fzfigd 10694	. . 3 |- ( ph -> ( 0 ... N ) e. Fin )
16		dvply1.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A : NN0 --> CC )
17		elfznn0 10349	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> k e. NN0 )
18		ffvelcdm 5780	. . . . . . 7 |- ( ( A : NN0 --> CC /\ k e. NN0 ) -> ( A ` k ) e. CC )
19	16, 17, 18	syl2an 289	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( A ` k ) e. CC )
20	19	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) -> ( A ` k ) e. CC )
21		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) -> z e. CC )
22	17	ad2antlr 489	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) -> k e. NN0 )
23	21, 22	expcld 10936	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) -> ( z ^ k ) e. CC )
24	20, 23	mulcld 8200	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
25	24	3impa 1220	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
26	19	3adant3 1043	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) -> ( A ` k ) e. CC )
27		0cnd 8172	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) /\ k = 0 ) -> 0 e. CC )
28		simpl2 1027	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> k e. ( 0 ... N ) )
29	28, 17	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> k e. NN0 )
30	29	nn0cnd 9457	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> k e. CC )
31		simpl3 1028	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> z e. CC )
32		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> -. k = 0 )
33		elnn0 9404	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN0 <-> ( k e. NN \/ k = 0 ) )
34	29, 33	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> ( k e. NN \/ k = 0 ) )
35	32, 34	ecased 1385	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> k e. NN )
36		nnm1nn0 9443	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( k - 1 ) e. NN0 )
37	35, 36	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> ( k - 1 ) e. NN0 )
38	31, 37	expcld 10936	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> ( z ^ ( k - 1 ) ) e. CC )
39	30, 38	mulcld 8200	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) e. CC )
40	17	3ad2ant2 1045	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) -> k e. NN0 )
41	40	nn0zd 9600	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) -> k e. ZZ )
42		0zd 9491	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) -> 0 e. ZZ )
43		zdceq 9555	. . . . . 6 |- ( ( k e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID k = 0 )
44	41, 42, 43	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) -> DECID k = 0 )
45	27, 39, 44	ifcldadc 3635	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) -> if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) e. CC )
46	26, 45	mulcld 8200	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) -> ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) e. CC )
47		0cnd 8172	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) /\ k = 0 ) -> 0 e. CC )
48	22	nn0cnd 9457	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) -> k e. CC )
49	48	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> k e. CC )
50		simplr 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> z e. CC )
51		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> -. k = 0 )
52	22	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> k e. NN0 )
53	52, 33	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> ( k e. NN \/ k = 0 ) )
54	51, 53	ecased 1385	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> k e. NN )
55	54, 36	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> ( k - 1 ) e. NN0 )
56	50, 55	expcld 10936	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> ( z ^ ( k - 1 ) ) e. CC )
57	49, 56	mulcld 8200	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) e. CC )
58	44	3expa 1229	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) -> DECID k = 0 )
59	47, 57, 58	ifcldadc 3635	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) -> if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) e. CC )
60	17	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> k e. NN0 )
61		dvexp2 15442	. . . . 5 |- ( k e. NN0 -> ( CC _D ( z e. CC |-> ( z ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) )
62	60, 61	syl 14	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( CC _D ( z e. CC |-> ( z ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) )
63	23, 59, 62, 19	dvmptcmulcn 15451	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( CC _D ( z e. CC |-> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) = ( z e. CC |-> ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) ) )
64	5, 3, 7, 11, 15, 25, 46, 63	dvmptfsum 15455	. 2 |- ( ph -> ( CC _D ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) ) )
65		elfznn 10289	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> k e. NN )
66	65	nnne0d 9188	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> k =/= 0 )
67	66	neneqd 2423	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> -. k = 0 )
68	67	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> -. k = 0 )
69	68	iffalsed 3615	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) = ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) )
70	69	oveq2d 6034	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) = ( ( A ` k ) x. ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) )
71	70	sumeq2dv 11933	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) )
72		1eluzge0 9808	. . . . . . 7 |- 1 e. ( ZZ>= ` 0 )
73		fzss1 10298	. . . . . . 7 |- ( 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( 1 ... N ) C_ ( 0 ... N ) )
74	72, 73	mp1i 10	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 1 ... N ) C_ ( 0 ... N ) )
75	16	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> A : NN0 --> CC )
76	65	nnnn0d 9455	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> k e. NN0 )
77	75, 76, 18	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( A ` k ) e. CC )
78	66	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> k =/= 0 )
79	78	neneqd 2423	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> -. k = 0 )
80	79	iffalsed 3615	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) = ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) )
81	76	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> k e. NN0 )
82	81	nn0cnd 9457	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> k e. CC )
83		simplr 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> z e. CC )
84	65, 36	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> ( k - 1 ) e. NN0 )
85	84	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( k - 1 ) e. NN0 )
86	83, 85	expcld 10936	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( z ^ ( k - 1 ) ) e. CC )
87	82, 86	mulcld 8200	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) e. CC )
88	80, 87	eqeltrd 2308	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) e. CC )
89	77, 88	mulcld 8200	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) e. CC )
90		eldifn 3330	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) -> -. k e. ( 1 ... N ) )
91		0p1e1 9257	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 + 1 ) = 1
92	91	oveq1i 6028	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 + 1 ) ... N ) = ( 1 ... N )
93	92	eleq2i 2298	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ( 0 + 1 ) ... N ) <-> k e. ( 1 ... N ) )
94	90, 93	sylnibr 683	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) -> -. k e. ( ( 0 + 1 ) ... N ) )
95	94	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) ) -> -. k e. ( ( 0 + 1 ) ... N ) )
96		eldifi 3329	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) -> k e. ( 0 ... N ) )
97	96	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) ) -> k e. ( 0 ... N ) )
98		nn0uz 9791	. . . . . . . . . . . . . 14 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
99	13, 98	eleqtrdi 2324	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
100	99	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) ) -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
101		elfzp12 10334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( k e. ( 0 ... N ) <-> ( k = 0 \/ k e. ( ( 0 + 1 ) ... N ) ) ) )
102	100, 101	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) ) -> ( k e. ( 0 ... N ) <-> ( k = 0 \/ k e. ( ( 0 + 1 ) ... N ) ) ) )
103	97, 102	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) ) -> ( k = 0 \/ k e. ( ( 0 + 1 ) ... N ) ) )
104	95, 103	ecased 1385	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) ) -> k = 0 )
105	104	iftrued 3612	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) ) -> if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) = 0 )
106	105	oveq2d 6034	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) = ( ( A ` k ) x. 0 ) )
107	75, 17, 18	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( A ` k ) e. CC )
108	107	mul01d 8572	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( A ` k ) x. 0 ) = 0 )
109	96, 108	sylan2 286	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. 0 ) = 0 )
110	106, 109	eqtrd 2264	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) = 0 )
111		elfzelz 10260	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 0 ... N ) -> j e. ZZ )
112	111	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> j e. ZZ )
113		1zzd 9506	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> 1 e. ZZ )
114	14	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> N e. ZZ )
115		fzdcel 10275	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID j e. ( 1 ... N ) )
116	112, 113, 114, 115	syl3anc 1273	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> DECID j e. ( 1 ... N ) )
117	116	ralrimiva 2605	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> A. j e. ( 0 ... N )DECID j e. ( 1 ... N ) )
118		0zd 9491	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> 0 e. ZZ )
119	14	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> N e. ZZ )
120	118, 119	fzfigd 10694	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... N ) e. Fin )
121	74, 89, 110, 117, 120	fisumss 11958	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) )
122		elfznn0 10349	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> j e. NN0 )
123	122	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> j e. NN0 )
124	123	nn0cnd 9457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> j e. CC )
125		ax-1cn 8125	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. CC
126		pncan 8385	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( j + 1 ) - 1 ) = j )
127	124, 125, 126	sylancl 413	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( j + 1 ) - 1 ) = j )
128	127	oveq2d 6034	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( z ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) = ( z ^ j ) )
129	128	oveq2d 6034	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( j + 1 ) x. ( z ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( j + 1 ) x. ( z ^ j ) ) )
130	129	oveq2d 6034	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( ( j + 1 ) x. ( z ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) ) = ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( ( j + 1 ) x. ( z ^ j ) ) ) )
131	16	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> A : NN0 --> CC )
132		peano2nn0 9442	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN0 -> ( j + 1 ) e. NN0 )
133	122, 132	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> ( j + 1 ) e. NN0 )
134	133	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( j + 1 ) e. NN0 )
135	131, 134	ffvelcdmd 5783	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( A ` ( j + 1 ) ) e. CC )
136	134	nn0cnd 9457	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( j + 1 ) e. CC )
137		simplr 529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> z e. CC )
138	137, 123	expcld 10936	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( z ^ j ) e. CC )
139	135, 136, 138	mulassd 8203	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( j + 1 ) ) x. ( z ^ j ) ) = ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( ( j + 1 ) x. ( z ^ j ) ) ) )
140	135, 136	mulcomd 8201	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( j + 1 ) ) = ( ( j + 1 ) x. ( A ` ( j + 1 ) ) ) )
141	140	oveq1d 6033	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( j + 1 ) ) x. ( z ^ j ) ) = ( ( ( j + 1 ) x. ( A ` ( j + 1 ) ) ) x. ( z ^ j ) ) )
142	130, 139, 141	3eqtr2d 2270	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( ( j + 1 ) x. ( z ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) ) = ( ( ( j + 1 ) x. ( A ` ( j + 1 ) ) ) x. ( z ^ j ) ) )
143	142	sumeq2dv 11933	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( ( j + 1 ) x. ( z ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( ( j + 1 ) x. ( A ` ( j + 1 ) ) ) x. ( z ^ j ) ) )
144		1m1e0 9212	. . . . . . . . 9 |- ( 1 - 1 ) = 0
145	144	oveq1i 6028	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) = ( 0 ... ( N - 1 ) )
146	145	sumeq1i 11928	. . . . . . 7 |- sum_ j e. ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( ( j + 1 ) x. ( z ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( ( j + 1 ) x. ( z ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) )
147		oveq1 6025	. . . . . . . . . 10 |- ( k = j -> ( k + 1 ) = ( j + 1 ) )
148		fvoveq1 6041	. . . . . . . . . 10 |- ( k = j -> ( A ` ( k + 1 ) ) = ( A ` ( j + 1 ) ) )
149	147, 148	oveq12d 6036	. . . . . . . . 9 |- ( k = j -> ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( j + 1 ) x. ( A ` ( j + 1 ) ) ) )
150		oveq2 6026	. . . . . . . . 9 |- ( k = j -> ( z ^ k ) = ( z ^ j ) )
151	149, 150	oveq12d 6036	. . . . . . . 8 |- ( k = j -> ( ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) x. ( z ^ k ) ) = ( ( ( j + 1 ) x. ( A ` ( j + 1 ) ) ) x. ( z ^ j ) ) )
152	151	cbvsumv 11926	. . . . . . 7 |- sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) x. ( z ^ k ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( ( j + 1 ) x. ( A ` ( j + 1 ) ) ) x. ( z ^ j ) )
153	143, 146, 152	3eqtr4g 2289	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ j e. ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( ( j + 1 ) x. ( z ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) x. ( z ^ k ) ) )
154		1zzd 9506	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> 1 e. ZZ )
155	13	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> N e. NN0 )
156	155	nn0zd 9600	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> N e. ZZ )
157	77, 87	mulcld 8200	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) e. CC )
158		fveq2 5639	. . . . . . . 8 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( A ` k ) = ( A ` ( j + 1 ) ) )
159		id 19	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( j + 1 ) -> k = ( j + 1 ) )
160		oveq1 6025	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( k - 1 ) = ( ( j + 1 ) - 1 ) )
161	160	oveq2d 6034	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( z ^ ( k - 1 ) ) = ( z ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) )
162	159, 161	oveq12d 6036	. . . . . . . 8 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) = ( ( j + 1 ) x. ( z ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) )
163	158, 162	oveq12d 6036	. . . . . . 7 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( ( A ` k ) x. ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) = ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( ( j + 1 ) x. ( z ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
164	154, 154, 156, 157, 163	fsumshftm 12011	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) = sum_ j e. ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( ( j + 1 ) x. ( z ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
165		elfznn0 10349	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> k e. NN0 )
166	165	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
167		peano2nn0 9442	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN0 )
168	166, 167	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. NN0 )
169	168	nn0cnd 9457	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. CC )
170	16	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> A : NN0 --> CC )
171	170, 168	ffvelcdmd 5783	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( A ` ( k + 1 ) ) e. CC )
172	169, 171	mulcld 8200	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) e. CC )
173		dvply1.b	. . . . . . . . . 10 |- B = ( k e. NN0 |-> ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) )
174	173	fvmpt2 5730	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN0 /\ ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) e. CC ) -> ( B ` k ) = ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) )
175	166, 172, 174	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( B ` k ) = ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) )
176	175	oveq1d 6033	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) = ( ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) x. ( z ^ k ) ) )
177	176	sumeq2dv 11933	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) x. ( z ^ k ) ) )
178	153, 164, 177	3eqtr4d 2274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
179	71, 121, 178	3eqtr3d 2272	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
180	179	mpteq2dva 4179	. . 3 |- ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
181		dvply1.g	. . 3 |- ( ph -> G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
182	180, 181	eqtr4d 2267	. 2 |- ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) ) = G )
183	2, 64, 182	3eqtrd 2268	1 |- ( ph -> ( CC _D F ) = G )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 715  DECID wdc 841   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   =/= wne 2402   \ cdif 3197   C_ wss 3200   ifcif 3605   {cpr 3670   |-> cmpt 4150   -->wf 5322   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   CCcc 8030   RRcr 8031   0cc0 8032   1c1 8033   + caddc 8035   x. cmul 8037   - cmin 8350   NNcn 9143   NN0cn0 9402   ZZcz 9479   ZZ>=cuz 9755   ...cfz 10243   ^cexp 10801   sum_csu 11918   TopOpenctopn 13328  ℂ_fldccnfld 14576   Topctop 14727   _D cdv 15385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152  ax-addf 8154  ax-mulf 8155

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-tp 3677  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-of 6235  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-irdg 6536  df-frec 6557  df-1o 6582  df-oadd 6586  df-er 6702  df-map 6819  df-pm 6820  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-sup 7183  df-inf 7184  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-z 9480  df-dec 9612  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-xneg 10007  df-xadd 10008  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-ihash 11039  df-cj 11407  df-re 11408  df-im 11409  df-rsqrt 11563  df-abs 11564  df-clim 11844  df-sumdc 11919  df-struct 13089  df-ndx 13090  df-slot 13091  df-base 13093  df-plusg 13178  df-mulr 13179  df-starv 13180  df-tset 13184  df-ple 13185  df-ds 13187  df-unif 13188  df-rest 13329  df-topn 13330  df-topgen 13348  df-psmet 14563  df-xmet 14564  df-met 14565  df-bl 14566  df-mopn 14567  df-fg 14569  df-metu 14570  df-cnfld 14577  df-top 14728  df-topon 14741  df-topsp 14761  df-bases 14773  df-ntr 14826  df-cn 14918  df-cnp 14919  df-tx 14983  df-xms 15069  df-ms 15070  df-cncf 15301  df-limced 15386  df-dvap 15387

This theorem is referenced by:  dvply2g  15496