Theorem dvply1 14943

Description: Derivative of a polynomial, explicit sum version. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvply1.f	|- ( ph -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
dvply1.g	|- ( ph -> G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
dvply1.a	|- ( ph -> A : NN0 --> CC )
dvply1.b	|- B = ( k e. NN0 |-> ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) )
dvply1.n	|- ( ph -> N e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
dvply1	|- ( ph -> ( CC _D F ) = G )

Distinct variable groups:   ph, z, k   z, A, k   z, B   k, N, z

Allowed substitution hints:   B( k)   F( z, k)   G( z, k)

Proof of Theorem dvply1

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvply1.f	. . 3 |- ( ph -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
2	1	oveq2d 5935	. 2 |- ( ph -> ( CC _D F ) = ( CC _D ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
3		eqid 2193	. . . . 5 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
4	3	cnfldtopon 14719	. . . 4 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC )
5	4	toponrestid 14200	. . 3 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC )
6		cnelprrecn 8010	. . . 4 |- CC e. { RR , CC }
7	6	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> CC e. { RR , CC } )
8	3	cnfldtop 14720	. . . 4 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top
9		unicntop 14722	. . . . 5 |- CC = U. ( TopOpen ` ℂfld )
10	9	topopn 14187	. . . 4 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top -> CC e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
11	8, 10	mp1i 10	. . 3 |- ( ph -> CC e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
12		0zd 9332	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
13		dvply1.n	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN0 )
14	13	nn0zd 9440	. . . 4 |- ( ph -> N e. ZZ )
15	12, 14	fzfigd 10505	. . 3 |- ( ph -> ( 0 ... N ) e. Fin )
16		dvply1.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A : NN0 --> CC )
17		elfznn0 10183	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> k e. NN0 )
18		ffvelcdm 5692	. . . . . . 7 |- ( ( A : NN0 --> CC /\ k e. NN0 ) -> ( A ` k ) e. CC )
19	16, 17, 18	syl2an 289	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( A ` k ) e. CC )
20	19	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) -> ( A ` k ) e. CC )
21		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) -> z e. CC )
22	17	ad2antlr 489	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) -> k e. NN0 )
23	21, 22	expcld 10747	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) -> ( z ^ k ) e. CC )
24	20, 23	mulcld 8042	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
25	24	3impa 1196	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
26	19	3adant3 1019	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) -> ( A ` k ) e. CC )
27		0cnd 8014	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) /\ k = 0 ) -> 0 e. CC )
28		simpl2 1003	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> k e. ( 0 ... N ) )
29	28, 17	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> k e. NN0 )
30	29	nn0cnd 9298	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> k e. CC )
31		simpl3 1004	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> z e. CC )
32		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> -. k = 0 )
33		elnn0 9245	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN0 <-> ( k e. NN \/ k = 0 ) )
34	29, 33	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> ( k e. NN \/ k = 0 ) )
35	32, 34	ecased 1360	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> k e. NN )
36		nnm1nn0 9284	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( k - 1 ) e. NN0 )
37	35, 36	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> ( k - 1 ) e. NN0 )
38	31, 37	expcld 10747	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> ( z ^ ( k - 1 ) ) e. CC )
39	30, 38	mulcld 8042	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) e. CC )
40	17	3ad2ant2 1021	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) -> k e. NN0 )
41	40	nn0zd 9440	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) -> k e. ZZ )
42		0zd 9332	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) -> 0 e. ZZ )
43		zdceq 9395	. . . . . 6 |- ( ( k e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID k = 0 )
44	41, 42, 43	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) -> DECID k = 0 )
45	27, 39, 44	ifcldadc 3587	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) -> if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) e. CC )
46	26, 45	mulcld 8042	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) -> ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) e. CC )
47		0cnd 8014	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) /\ k = 0 ) -> 0 e. CC )
48	22	nn0cnd 9298	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) -> k e. CC )
49	48	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> k e. CC )
50		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> z e. CC )
51		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> -. k = 0 )
52	22	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> k e. NN0 )
53	52, 33	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> ( k e. NN \/ k = 0 ) )
54	51, 53	ecased 1360	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> k e. NN )
55	54, 36	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> ( k - 1 ) e. NN0 )
56	50, 55	expcld 10747	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> ( z ^ ( k - 1 ) ) e. CC )
57	49, 56	mulcld 8042	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) e. CC )
58	44	3expa 1205	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) -> DECID k = 0 )
59	47, 57, 58	ifcldadc 3587	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) -> if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) e. CC )
60	17	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> k e. NN0 )
61		dvexp2 14891	. . . . 5 |- ( k e. NN0 -> ( CC _D ( z e. CC |-> ( z ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) )
62	60, 61	syl 14	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( CC _D ( z e. CC |-> ( z ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) )
63	23, 59, 62, 19	dvmptcmulcn 14900	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( CC _D ( z e. CC |-> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) = ( z e. CC |-> ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) ) )
64	5, 3, 7, 11, 15, 25, 46, 63	dvmptfsum 14904	. 2 |- ( ph -> ( CC _D ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) ) )
65		elfznn 10123	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> k e. NN )
66	65	nnne0d 9029	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> k =/= 0 )
67	66	neneqd 2385	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> -. k = 0 )
68	67	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> -. k = 0 )
69	68	iffalsed 3568	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) = ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) )
70	69	oveq2d 5935	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) = ( ( A ` k ) x. ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) )
71	70	sumeq2dv 11514	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) )
72		1eluzge0 9642	. . . . . . 7 |- 1 e. ( ZZ>= ` 0 )
73		fzss1 10132	. . . . . . 7 |- ( 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( 1 ... N ) C_ ( 0 ... N ) )
74	72, 73	mp1i 10	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 1 ... N ) C_ ( 0 ... N ) )
75	16	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> A : NN0 --> CC )
76	65	nnnn0d 9296	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> k e. NN0 )
77	75, 76, 18	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( A ` k ) e. CC )
78	66	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> k =/= 0 )
79	78	neneqd 2385	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> -. k = 0 )
80	79	iffalsed 3568	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) = ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) )
81	76	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> k e. NN0 )
82	81	nn0cnd 9298	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> k e. CC )
83		simplr 528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> z e. CC )
84	65, 36	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> ( k - 1 ) e. NN0 )
85	84	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( k - 1 ) e. NN0 )
86	83, 85	expcld 10747	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( z ^ ( k - 1 ) ) e. CC )
87	82, 86	mulcld 8042	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) e. CC )
88	80, 87	eqeltrd 2270	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) e. CC )
89	77, 88	mulcld 8042	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) e. CC )
90		eldifn 3283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) -> -. k e. ( 1 ... N ) )
91		0p1e1 9098	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 + 1 ) = 1
92	91	oveq1i 5929	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 + 1 ) ... N ) = ( 1 ... N )
93	92	eleq2i 2260	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ( 0 + 1 ) ... N ) <-> k e. ( 1 ... N ) )
94	90, 93	sylnibr 678	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) -> -. k e. ( ( 0 + 1 ) ... N ) )
95	94	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) ) -> -. k e. ( ( 0 + 1 ) ... N ) )
96		eldifi 3282	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) -> k e. ( 0 ... N ) )
97	96	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) ) -> k e. ( 0 ... N ) )
98		nn0uz 9630	. . . . . . . . . . . . . 14 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
99	13, 98	eleqtrdi 2286	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
100	99	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) ) -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
101		elfzp12 10168	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( k e. ( 0 ... N ) <-> ( k = 0 \/ k e. ( ( 0 + 1 ) ... N ) ) ) )
102	100, 101	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) ) -> ( k e. ( 0 ... N ) <-> ( k = 0 \/ k e. ( ( 0 + 1 ) ... N ) ) ) )
103	97, 102	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) ) -> ( k = 0 \/ k e. ( ( 0 + 1 ) ... N ) ) )
104	95, 103	ecased 1360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) ) -> k = 0 )
105	104	iftrued 3565	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) ) -> if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) = 0 )
106	105	oveq2d 5935	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) = ( ( A ` k ) x. 0 ) )
107	75, 17, 18	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( A ` k ) e. CC )
108	107	mul01d 8414	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( A ` k ) x. 0 ) = 0 )
109	96, 108	sylan2 286	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. 0 ) = 0 )
110	106, 109	eqtrd 2226	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) = 0 )
111		elfzelz 10094	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 0 ... N ) -> j e. ZZ )
112	111	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> j e. ZZ )
113		1zzd 9347	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> 1 e. ZZ )
114	14	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> N e. ZZ )
115		fzdcel 10109	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID j e. ( 1 ... N ) )
116	112, 113, 114, 115	syl3anc 1249	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> DECID j e. ( 1 ... N ) )
117	116	ralrimiva 2567	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> A. j e. ( 0 ... N )DECID j e. ( 1 ... N ) )
118		0zd 9332	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> 0 e. ZZ )
119	14	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> N e. ZZ )
120	118, 119	fzfigd 10505	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... N ) e. Fin )
121	74, 89, 110, 117, 120	fisumss 11538	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) )
122		elfznn0 10183	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> j e. NN0 )
123	122	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> j e. NN0 )
124	123	nn0cnd 9298	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> j e. CC )
125		ax-1cn 7967	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. CC
126		pncan 8227	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( j + 1 ) - 1 ) = j )
127	124, 125, 126	sylancl 413	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( j + 1 ) - 1 ) = j )
128	127	oveq2d 5935	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( z ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) = ( z ^ j ) )
129	128	oveq2d 5935	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( j + 1 ) x. ( z ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( j + 1 ) x. ( z ^ j ) ) )
130	129	oveq2d 5935	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( ( j + 1 ) x. ( z ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) ) = ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( ( j + 1 ) x. ( z ^ j ) ) ) )
131	16	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> A : NN0 --> CC )
132		peano2nn0 9283	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN0 -> ( j + 1 ) e. NN0 )
133	122, 132	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> ( j + 1 ) e. NN0 )
134	133	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( j + 1 ) e. NN0 )
135	131, 134	ffvelcdmd 5695	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( A ` ( j + 1 ) ) e. CC )
136	134	nn0cnd 9298	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( j + 1 ) e. CC )
137		simplr 528	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> z e. CC )
138	137, 123	expcld 10747	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( z ^ j ) e. CC )
139	135, 136, 138	mulassd 8045	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( j + 1 ) ) x. ( z ^ j ) ) = ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( ( j + 1 ) x. ( z ^ j ) ) ) )
140	135, 136	mulcomd 8043	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( j + 1 ) ) = ( ( j + 1 ) x. ( A ` ( j + 1 ) ) ) )
141	140	oveq1d 5934	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( j + 1 ) ) x. ( z ^ j ) ) = ( ( ( j + 1 ) x. ( A ` ( j + 1 ) ) ) x. ( z ^ j ) ) )
142	130, 139, 141	3eqtr2d 2232	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( ( j + 1 ) x. ( z ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) ) = ( ( ( j + 1 ) x. ( A ` ( j + 1 ) ) ) x. ( z ^ j ) ) )
143	142	sumeq2dv 11514	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( ( j + 1 ) x. ( z ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( ( j + 1 ) x. ( A ` ( j + 1 ) ) ) x. ( z ^ j ) ) )
144		1m1e0 9053	. . . . . . . . 9 |- ( 1 - 1 ) = 0
145	144	oveq1i 5929	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) = ( 0 ... ( N - 1 ) )
146	145	sumeq1i 11509	. . . . . . 7 |- sum_ j e. ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( ( j + 1 ) x. ( z ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( ( j + 1 ) x. ( z ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) )
147		oveq1 5926	. . . . . . . . . 10 |- ( k = j -> ( k + 1 ) = ( j + 1 ) )
148		fvoveq1 5942	. . . . . . . . . 10 |- ( k = j -> ( A ` ( k + 1 ) ) = ( A ` ( j + 1 ) ) )
149	147, 148	oveq12d 5937	. . . . . . . . 9 |- ( k = j -> ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( j + 1 ) x. ( A ` ( j + 1 ) ) ) )
150		oveq2 5927	. . . . . . . . 9 |- ( k = j -> ( z ^ k ) = ( z ^ j ) )
151	149, 150	oveq12d 5937	. . . . . . . 8 |- ( k = j -> ( ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) x. ( z ^ k ) ) = ( ( ( j + 1 ) x. ( A ` ( j + 1 ) ) ) x. ( z ^ j ) ) )
152	151	cbvsumv 11507	. . . . . . 7 |- sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) x. ( z ^ k ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( ( j + 1 ) x. ( A ` ( j + 1 ) ) ) x. ( z ^ j ) )
153	143, 146, 152	3eqtr4g 2251	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ j e. ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( ( j + 1 ) x. ( z ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) x. ( z ^ k ) ) )
154		1zzd 9347	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> 1 e. ZZ )
155	13	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> N e. NN0 )
156	155	nn0zd 9440	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> N e. ZZ )
157	77, 87	mulcld 8042	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) e. CC )
158		fveq2 5555	. . . . . . . 8 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( A ` k ) = ( A ` ( j + 1 ) ) )
159		id 19	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( j + 1 ) -> k = ( j + 1 ) )
160		oveq1 5926	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( k - 1 ) = ( ( j + 1 ) - 1 ) )
161	160	oveq2d 5935	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( z ^ ( k - 1 ) ) = ( z ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) )
162	159, 161	oveq12d 5937	. . . . . . . 8 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) = ( ( j + 1 ) x. ( z ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) )
163	158, 162	oveq12d 5937	. . . . . . 7 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( ( A ` k ) x. ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) = ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( ( j + 1 ) x. ( z ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
164	154, 154, 156, 157, 163	fsumshftm 11591	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) = sum_ j e. ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( ( j + 1 ) x. ( z ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
165		elfznn0 10183	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> k e. NN0 )
166	165	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
167		peano2nn0 9283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN0 )
168	166, 167	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. NN0 )
169	168	nn0cnd 9298	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. CC )
170	16	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> A : NN0 --> CC )
171	170, 168	ffvelcdmd 5695	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( A ` ( k + 1 ) ) e. CC )
172	169, 171	mulcld 8042	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) e. CC )
173		dvply1.b	. . . . . . . . . 10 |- B = ( k e. NN0 |-> ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) )
174	173	fvmpt2 5642	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN0 /\ ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) e. CC ) -> ( B ` k ) = ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) )
175	166, 172, 174	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( B ` k ) = ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) )
176	175	oveq1d 5934	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) = ( ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) x. ( z ^ k ) ) )
177	176	sumeq2dv 11514	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) x. ( z ^ k ) ) )
178	153, 164, 177	3eqtr4d 2236	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
179	71, 121, 178	3eqtr3d 2234	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
180	179	mpteq2dva 4120	. . 3 |- ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
181		dvply1.g	. . 3 |- ( ph -> G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
182	180, 181	eqtr4d 2229	. 2 |- ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) ) = G )
183	2, 64, 182	3eqtrd 2230	1 |- ( ph -> ( CC _D F ) = G )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   =/= wne 2364   \ cdif 3151   C_ wss 3154   ifcif 3558   {cpr 3620   |-> cmpt 4091   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   CCcc 7872   RRcr 7873   0cc0 7874   1c1 7875   + caddc 7877   x. cmul 7879   - cmin 8192   NNcn 8984   NN0cn0 9243   ZZcz 9320   ZZ>=cuz 9595   ...cfz 10077   ^cexp 10612   sum_csu 11499   TopOpenctopn 12854  ℂ_fldccnfld 14055   Topctop 14176   _D cdv 14834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994  ax-addf 7996  ax-mulf 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-tp 3627  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-of 6132  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-irdg 6425  df-frec 6446  df-1o 6471  df-oadd 6475  df-er 6589  df-map 6706  df-pm 6707  df-en 6797  df-dom 6798  df-fin 6799  df-sup 7045  df-inf 7046  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-5 9046  df-6 9047  df-7 9048  df-8 9049  df-9 9050  df-n0 9244  df-z 9321  df-dec 9452  df-uz 9596  df-q 9688  df-rp 9723  df-xneg 9841  df-xadd 9842  df-fz 10078  df-fzo 10212  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-ihash 10850  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146  df-clim 11425  df-sumdc 11500  df-struct 12623  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-plusg 12711  df-mulr 12712  df-starv 12713  df-tset 12717  df-ple 12718  df-ds 12720  df-unif 12721  df-rest 12855  df-topn 12856  df-topgen 12874  df-psmet 14042  df-xmet 14043  df-met 14044  df-bl 14045  df-mopn 14046  df-fg 14048  df-metu 14049  df-cnfld 14056  df-top 14177  df-topon 14190  df-topsp 14210  df-bases 14222  df-ntr 14275  df-cn 14367  df-cnp 14368  df-tx 14432  df-xms 14518  df-ms 14519  df-cncf 14750  df-limced 14835  df-dvap 14836

This theorem is referenced by: (None)