Theorem dvply1 15761

Description: Derivative of a polynomial, explicit sum version. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvply1.f	|- ( ph -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
dvply1.g	|- ( ph -> G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
dvply1.a	|- ( ph -> A : NN0 --> CC )
dvply1.b	|- B = ( k e. NN0 |-> ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) )
dvply1.n	|- ( ph -> N e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
dvply1	|- ( ph -> ( CC _D F ) = G )

Distinct variable groups:   ph, z, k   z, A, k   z, B   k, N, z

Allowed substitution hints:   B( k)   F( z, k)   G( z, k)

Proof of Theorem dvply1

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvply1.f	. . 3 |- ( ph -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
2	1	oveq2d 6075	. 2 |- ( ph -> ( CC _D F ) = ( CC _D ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
3		eqid 2234	. . . . 5 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
4	3	cnfldtopon 15536	. . . 4 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC )
5	4	toponrestid 15017	. . 3 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC )
6		cnelprrecn 8280	. . . 4 |- CC e. { RR , CC }
7	6	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> CC e. { RR , CC } )
8	3	cnfldtop 15537	. . . 4 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top
9		unicntop 15539	. . . . 5 |- CC = U. ( TopOpen ` ℂfld )
10	9	topopn 15004	. . . 4 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top -> CC e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
11	8, 10	mp1i 10	. . 3 |- ( ph -> CC e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
12		0zd 9610	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
13		dvply1.n	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN0 )
14	13	nn0zd 9720	. . . 4 |- ( ph -> N e. ZZ )
15	12, 14	fzfigd 10821	. . 3 |- ( ph -> ( 0 ... N ) e. Fin )
16		dvply1.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A : NN0 --> CC )
17		elfznn0 10474	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> k e. NN0 )
18		ffvelcdm 5816	. . . . . . 7 |- ( ( A : NN0 --> CC /\ k e. NN0 ) -> ( A ` k ) e. CC )
19	16, 17, 18	syl2an 289	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( A ` k ) e. CC )
20	19	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) -> ( A ` k ) e. CC )
21		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) -> z e. CC )
22	17	ad2antlr 489	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) -> k e. NN0 )
23	21, 22	expcld 11064	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) -> ( z ^ k ) e. CC )
24	20, 23	mulcld 8311	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
25	24	3impa 1221	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
26	19	3adant3 1044	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) -> ( A ` k ) e. CC )
27		0cnd 8284	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) /\ k = 0 ) -> 0 e. CC )
28		simpl2 1028	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> k e. ( 0 ... N ) )
29	28, 17	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> k e. NN0 )
30	29	nn0cnd 9576	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> k e. CC )
31		simpl3 1029	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> z e. CC )
32		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> -. k = 0 )
33		elnn0 9519	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN0 <-> ( k e. NN \/ k = 0 ) )
34	29, 33	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> ( k e. NN \/ k = 0 ) )
35	32, 34	ecased 1386	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> k e. NN )
36		nnm1nn0 9558	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( k - 1 ) e. NN0 )
37	35, 36	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> ( k - 1 ) e. NN0 )
38	31, 37	expcld 11064	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> ( z ^ ( k - 1 ) ) e. CC )
39	30, 38	mulcld 8311	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) e. CC )
40	17	3ad2ant2 1046	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) -> k e. NN0 )
41	40	nn0zd 9720	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) -> k e. ZZ )
42		0zd 9610	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) -> 0 e. ZZ )
43		zdceq 9674	. . . . . 6 |- ( ( k e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID k = 0 )
44	41, 42, 43	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) -> DECID k = 0 )
45	27, 39, 44	ifcldadc 3657	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) -> if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) e. CC )
46	26, 45	mulcld 8311	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) /\ z e. CC ) -> ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) e. CC )
47		0cnd 8284	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) /\ k = 0 ) -> 0 e. CC )
48	22	nn0cnd 9576	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) -> k e. CC )
49	48	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> k e. CC )
50		simplr 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> z e. CC )
51		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> -. k = 0 )
52	22	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> k e. NN0 )
53	52, 33	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> ( k e. NN \/ k = 0 ) )
54	51, 53	ecased 1386	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> k e. NN )
55	54, 36	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> ( k - 1 ) e. NN0 )
56	50, 55	expcld 11064	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> ( z ^ ( k - 1 ) ) e. CC )
57	49, 56	mulcld 8311	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) e. CC )
58	44	3expa 1230	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) -> DECID k = 0 )
59	47, 57, 58	ifcldadc 3657	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) /\ z e. CC ) -> if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) e. CC )
60	17	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> k e. NN0 )
61		dvexp2 15708	. . . . 5 |- ( k e. NN0 -> ( CC _D ( z e. CC |-> ( z ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) )
62	60, 61	syl 14	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( CC _D ( z e. CC |-> ( z ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) )
63	23, 59, 62, 19	dvmptcmulcn 15717	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( CC _D ( z e. CC |-> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) = ( z e. CC |-> ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) ) )
64	5, 3, 7, 11, 15, 25, 46, 63	dvmptfsum 15721	. 2 |- ( ph -> ( CC _D ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) ) )
65		elfznn 10413	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> k e. NN )
66	65	nnne0d 9303	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> k =/= 0 )
67	66	neneqd 2435	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> -. k = 0 )
68	67	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> -. k = 0 )
69	68	iffalsed 3637	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) = ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) )
70	69	oveq2d 6075	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) = ( ( A ` k ) x. ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) )
71	70	sumeq2dv 12083	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) )
72		1eluzge0 9928	. . . . . . 7 |- 1 e. ( ZZ>= ` 0 )
73		fzss1 10422	. . . . . . 7 |- ( 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( 1 ... N ) C_ ( 0 ... N ) )
74	72, 73	mp1i 10	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 1 ... N ) C_ ( 0 ... N ) )
75	16	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> A : NN0 --> CC )
76	65	nnnn0d 9574	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> k e. NN0 )
77	75, 76, 18	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( A ` k ) e. CC )
78	66	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> k =/= 0 )
79	78	neneqd 2435	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> -. k = 0 )
80	79	iffalsed 3637	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) = ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) )
81	76	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> k e. NN0 )
82	81	nn0cnd 9576	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> k e. CC )
83		simplr 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> z e. CC )
84	65, 36	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> ( k - 1 ) e. NN0 )
85	84	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( k - 1 ) e. NN0 )
86	83, 85	expcld 11064	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( z ^ ( k - 1 ) ) e. CC )
87	82, 86	mulcld 8311	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) e. CC )
88	80, 87	eqeltrd 2311	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) e. CC )
89	77, 88	mulcld 8311	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) e. CC )
90		eldifn 3346	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) -> -. k e. ( 1 ... N ) )
91		0p1e1 9372	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 + 1 ) = 1
92	91	oveq1i 6069	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 + 1 ) ... N ) = ( 1 ... N )
93	92	eleq2i 2301	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ( 0 + 1 ) ... N ) <-> k e. ( 1 ... N ) )
94	90, 93	sylnibr 684	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) -> -. k e. ( ( 0 + 1 ) ... N ) )
95	94	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) ) -> -. k e. ( ( 0 + 1 ) ... N ) )
96		eldifi 3345	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) -> k e. ( 0 ... N ) )
97	96	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) ) -> k e. ( 0 ... N ) )
98		nn0uz 9911	. . . . . . . . . . . . . 14 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
99	13, 98	eleqtrdi 2327	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
100	99	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) ) -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
101		elfzp12 10459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( k e. ( 0 ... N ) <-> ( k = 0 \/ k e. ( ( 0 + 1 ) ... N ) ) ) )
102	100, 101	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) ) -> ( k e. ( 0 ... N ) <-> ( k = 0 \/ k e. ( ( 0 + 1 ) ... N ) ) ) )
103	97, 102	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) ) -> ( k = 0 \/ k e. ( ( 0 + 1 ) ... N ) ) )
104	95, 103	ecased 1386	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) ) -> k = 0 )
105	104	iftrued 3634	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) ) -> if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) = 0 )
106	105	oveq2d 6075	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) = ( ( A ` k ) x. 0 ) )
107	75, 17, 18	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( A ` k ) e. CC )
108	107	mul01d 8685	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( A ` k ) x. 0 ) = 0 )
109	96, 108	sylan2 286	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. 0 ) = 0 )
110	106, 109	eqtrd 2267	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... N ) \ ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) = 0 )
111		elfzelz 10382	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 0 ... N ) -> j e. ZZ )
112	111	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> j e. ZZ )
113		1zzd 9625	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> 1 e. ZZ )
114	14	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> N e. ZZ )
115		fzdcel 10398	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID j e. ( 1 ... N ) )
116	112, 113, 114, 115	syl3anc 1274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> DECID j e. ( 1 ... N ) )
117	116	ralrimiva 2617	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> A. j e. ( 0 ... N )DECID j e. ( 1 ... N ) )
118		0zd 9610	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> 0 e. ZZ )
119	14	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> N e. ZZ )
120	118, 119	fzfigd 10821	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... N ) e. Fin )
121	74, 89, 110, 117, 120	fisumss 12108	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) )
122		elfznn0 10474	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> j e. NN0 )
123	122	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> j e. NN0 )
124	123	nn0cnd 9576	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> j e. CC )
125		ax-1cn 8237	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. CC
126		pncan 8497	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( j + 1 ) - 1 ) = j )
127	124, 125, 126	sylancl 413	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( j + 1 ) - 1 ) = j )
128	127	oveq2d 6075	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( z ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) = ( z ^ j ) )
129	128	oveq2d 6075	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( j + 1 ) x. ( z ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( j + 1 ) x. ( z ^ j ) ) )
130	129	oveq2d 6075	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( ( j + 1 ) x. ( z ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) ) = ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( ( j + 1 ) x. ( z ^ j ) ) ) )
131	16	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> A : NN0 --> CC )
132		peano2nn0 9557	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN0 -> ( j + 1 ) e. NN0 )
133	122, 132	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> ( j + 1 ) e. NN0 )
134	133	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( j + 1 ) e. NN0 )
135	131, 134	ffvelcdmd 5819	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( A ` ( j + 1 ) ) e. CC )
136	134	nn0cnd 9576	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( j + 1 ) e. CC )
137		simplr 529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> z e. CC )
138	137, 123	expcld 11064	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( z ^ j ) e. CC )
139	135, 136, 138	mulassd 8314	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( j + 1 ) ) x. ( z ^ j ) ) = ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( ( j + 1 ) x. ( z ^ j ) ) ) )
140	135, 136	mulcomd 8312	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( j + 1 ) ) = ( ( j + 1 ) x. ( A ` ( j + 1 ) ) ) )
141	140	oveq1d 6074	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( j + 1 ) ) x. ( z ^ j ) ) = ( ( ( j + 1 ) x. ( A ` ( j + 1 ) ) ) x. ( z ^ j ) ) )
142	130, 139, 141	3eqtr2d 2273	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( ( j + 1 ) x. ( z ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) ) = ( ( ( j + 1 ) x. ( A ` ( j + 1 ) ) ) x. ( z ^ j ) ) )
143	142	sumeq2dv 12083	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( ( j + 1 ) x. ( z ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( ( j + 1 ) x. ( A ` ( j + 1 ) ) ) x. ( z ^ j ) ) )
144		1m1e0 9327	. . . . . . . . 9 |- ( 1 - 1 ) = 0
145	144	oveq1i 6069	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) = ( 0 ... ( N - 1 ) )
146	145	sumeq1i 12078	. . . . . . 7 |- sum_ j e. ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( ( j + 1 ) x. ( z ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( ( j + 1 ) x. ( z ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) )
147		oveq1 6066	. . . . . . . . . 10 |- ( k = j -> ( k + 1 ) = ( j + 1 ) )
148		fvoveq1 6082	. . . . . . . . . 10 |- ( k = j -> ( A ` ( k + 1 ) ) = ( A ` ( j + 1 ) ) )
149	147, 148	oveq12d 6077	. . . . . . . . 9 |- ( k = j -> ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( j + 1 ) x. ( A ` ( j + 1 ) ) ) )
150		oveq2 6067	. . . . . . . . 9 |- ( k = j -> ( z ^ k ) = ( z ^ j ) )
151	149, 150	oveq12d 6077	. . . . . . . 8 |- ( k = j -> ( ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) x. ( z ^ k ) ) = ( ( ( j + 1 ) x. ( A ` ( j + 1 ) ) ) x. ( z ^ j ) ) )
152	151	cbvsumv 12076	. . . . . . 7 |- sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) x. ( z ^ k ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( ( j + 1 ) x. ( A ` ( j + 1 ) ) ) x. ( z ^ j ) )
153	143, 146, 152	3eqtr4g 2292	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ j e. ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( ( j + 1 ) x. ( z ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) x. ( z ^ k ) ) )
154		1zzd 9625	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> 1 e. ZZ )
155	13	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> N e. NN0 )
156	155	nn0zd 9720	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> N e. ZZ )
157	77, 87	mulcld 8311	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) e. CC )
158		fveq2 5676	. . . . . . . 8 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( A ` k ) = ( A ` ( j + 1 ) ) )
159		id 19	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( j + 1 ) -> k = ( j + 1 ) )
160		oveq1 6066	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( k - 1 ) = ( ( j + 1 ) - 1 ) )
161	160	oveq2d 6075	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( z ^ ( k - 1 ) ) = ( z ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) )
162	159, 161	oveq12d 6077	. . . . . . . 8 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) = ( ( j + 1 ) x. ( z ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) )
163	158, 162	oveq12d 6077	. . . . . . 7 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( ( A ` k ) x. ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) = ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( ( j + 1 ) x. ( z ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
164	154, 154, 156, 157, 163	fsumshftm 12161	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) = sum_ j e. ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( ( A ` ( j + 1 ) ) x. ( ( j + 1 ) x. ( z ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
165		elfznn0 10474	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> k e. NN0 )
166	165	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
167		peano2nn0 9557	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN0 )
168	166, 167	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. NN0 )
169	168	nn0cnd 9576	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. CC )
170	16	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> A : NN0 --> CC )
171	170, 168	ffvelcdmd 5819	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( A ` ( k + 1 ) ) e. CC )
172	169, 171	mulcld 8311	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) e. CC )
173		dvply1.b	. . . . . . . . . 10 |- B = ( k e. NN0 |-> ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) )
174	173	fvmpt2 5767	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN0 /\ ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) e. CC ) -> ( B ` k ) = ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) )
175	166, 172, 174	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( B ` k ) = ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) )
176	175	oveq1d 6074	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) = ( ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) x. ( z ^ k ) ) )
177	176	sumeq2dv 12083	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) x. ( z ^ k ) ) )
178	153, 164, 177	3eqtr4d 2277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
179	71, 121, 178	3eqtr3d 2275	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
180	179	mpteq2dva 4206	. . 3 |- ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
181		dvply1.g	. . 3 |- ( ph -> G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
182	180, 181	eqtr4d 2270	. 2 |- ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( z ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) ) = G )
183	2, 64, 182	3eqtrd 2271	1 |- ( ph -> ( CC _D F ) = G )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716  DECID wdc 842   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   =/= wne 2414   \ cdif 3211   C_ wss 3214   ifcif 3625   {cpr 3696   |-> cmpt 4177   -->wf 5354   ` cfv 5358  (class class class)co 6059   CCcc 8142   RRcr 8143   0cc0 8144   1c1 8145   + caddc 8147   x. cmul 8149   - cmin 8462   NNcn 9258   NN0cn0 9517   ZZcz 9598   ZZ>=cuz 9875   ...cfz 10365   ^cexp 10928   sum_csu 12068   TopOpenctopn 13542  ℂ_fldccnfld 14835   Topctop 14993   _D cdv 15651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-nul 4242  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4665  ax-iinf 4716  ax-cnex 8235  ax-resscn 8236  ax-1cn 8237  ax-1re 8238  ax-icn 8239  ax-addcl 8240  ax-addrcl 8241  ax-mulcl 8242  ax-mulrcl 8243  ax-addcom 8244  ax-mulcom 8245  ax-addass 8246  ax-mulass 8247  ax-distr 8248  ax-i2m1 8249  ax-0lt1 8250  ax-1rid 8251  ax-0id 8252  ax-rnegex 8253  ax-precex 8254  ax-cnre 8255  ax-pre-ltirr 8256  ax-pre-ltwlin 8257  ax-pre-lttrn 8258  ax-pre-apti 8259  ax-pre-ltadd 8260  ax-pre-mulgt0 8261  ax-pre-mulext 8262  ax-arch 8263  ax-caucvg 8264  ax-addf 8266  ax-mulf 8267

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3626  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-tp 3703  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-tr 4215  df-id 4420  df-po 4423  df-iso 4424  df-iord 4493  df-on 4495  df-ilim 4496  df-suc 4498  df-iom 4719  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-rn 4766  df-res 4767  df-ima 4768  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-isom 5367  df-riota 6012  df-ov 6062  df-oprab 6063  df-mpo 6064  df-of 6276  df-1st 6348  df-2nd 6349  df-recs 6550  df-irdg 6615  df-frec 6636  df-1o 6661  df-oadd 6665  df-er 6781  df-map 6898  df-pm 6899  df-en 6990  df-dom 6991  df-fin 6992  df-sup 7289  df-inf 7290  df-pnf 8327  df-mnf 8328  df-xr 8329  df-ltxr 8330  df-le 8331  df-sub 8464  df-neg 8465  df-reap 8868  df-ap 8875  df-div 8968  df-inn 9259  df-2 9317  df-3 9318  df-4 9319  df-5 9320  df-6 9321  df-7 9322  df-8 9323  df-9 9324  df-n0 9518  df-z 9599  df-dec 9732  df-uz 9876  df-q 9974  df-rp 10009  df-xneg 10128  df-xadd 10129  df-fz 10366  df-fzo 10503  df-seqfrec 10838  df-exp 10929  df-ihash 11168  df-cj 11556  df-re 11557  df-im 11558  df-rsqrt 11713  df-abs 11714  df-clim 11994  df-sumdc 12069  df-struct 13303  df-ndx 13304  df-slot 13305  df-base 13307  df-plusg 13392  df-mulr 13393  df-starv 13394  df-tset 13398  df-ple 13399  df-ds 13401  df-unif 13402  df-rest 13543  df-topn 13544  df-topgen 13562  df-psmet 14822  df-xmet 14823  df-met 14824  df-bl 14825  df-mopn 14826  df-fg 14828  df-metu 14829  df-cnfld 14836  df-top 14994  df-topon 15007  df-topsp 15027  df-bases 15039  df-ntr 15092  df-cn 15184  df-cnp 15185  df-tx 15249  df-xms 15335  df-ms 15336  df-cncf 15567  df-limced 15652  df-dvap 15653

This theorem is referenced by:  dvply2g  15762