Theorem gausslemma2dlem2 15270

Description: Lemma 2 for gausslemma2d 15277. (Contributed by AV, 4-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
gausslemma2d.h	|- H = ( ( P - 1 ) / 2 )
gausslemma2d.r	|- R = ( x e. ( 1 ... H ) |-> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
gausslemma2d.m	|- M = ( |_ ` ( P / 4 ) )

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem2	|- ( ph -> A. k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) = ( k x. 2 ) )

Distinct variable groups:   x, H   x, P   ph, x   k, H   R, k   ph, k   x, M   x, k

Allowed substitution hints:   P( k)   R( x)   M( k)

Proof of Theorem gausslemma2dlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.r	. . 3 |- R = ( x e. ( 1 ... H ) |-> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
2		oveq1 5929	. . . . . . 7 |- ( x = k -> ( x x. 2 ) = ( k x. 2 ) )
3	2	breq1d 4043	. . . . . 6 |- ( x = k -> ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) <-> ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) ) )
4	2	oveq2d 5938	. . . . . 6 |- ( x = k -> ( P - ( x x. 2 ) ) = ( P - ( k x. 2 ) ) )
5	3, 2, 4	ifbieq12d 3587	. . . . 5 |- ( x = k -> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) = if ( ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( k x. 2 ) , ( P - ( k x. 2 ) ) ) )
6	5	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) /\ x = k ) -> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) = if ( ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( k x. 2 ) , ( P - ( k x. 2 ) ) ) )
7		elfz1b 10162	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 1 ... M ) <-> ( k e. NN /\ M e. NN /\ k <_ M ) )
8		nnre 8994	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> k e. RR )
9	8	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. NN /\ M e. NN ) -> k e. RR )
10		nnre 8994	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. NN -> M e. RR )
11	10	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. NN /\ M e. NN ) -> M e. RR )
12		2re 9057	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR
13		2pos 9078	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < 2
14	12, 13	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
15	14	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. NN /\ M e. NN ) -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
16		lemul1 8617	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. RR /\ M e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( k <_ M <-> ( k x. 2 ) <_ ( M x. 2 ) ) )
17	9, 11, 15, 16	syl3anc 1249	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN /\ M e. NN ) -> ( k <_ M <-> ( k x. 2 ) <_ ( M x. 2 ) ) )
18		gausslemma2d.p	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
19		gausslemma2d.m	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- M = ( |_ ` ( P / 4 ) )
20	18, 19	gausslemma2dlem0e 15261	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( M x. 2 ) < ( P / 2 ) )
21	20	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. NN /\ M e. NN ) /\ ph ) -> ( M x. 2 ) < ( P / 2 ) )
22	12	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN -> 2 e. RR )
23	8, 22	remulcld 8055	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> ( k x. 2 ) e. RR )
24	23	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. NN /\ M e. NN ) -> ( k x. 2 ) e. RR )
25	12	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M e. NN -> 2 e. RR )
26	10, 25	remulcld 8055	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M e. NN -> ( M x. 2 ) e. RR )
27	26	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. NN /\ M e. NN ) -> ( M x. 2 ) e. RR )
28	18	gausslemma2dlem0a 15257	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> P e. NN )
29	28	nnred 9000	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> P e. RR )
30	29	rehalfcld 9235	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( P / 2 ) e. RR )
31		lelttr 8113	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k x. 2 ) e. RR /\ ( M x. 2 ) e. RR /\ ( P / 2 ) e. RR ) -> ( ( ( k x. 2 ) <_ ( M x. 2 ) /\ ( M x. 2 ) < ( P / 2 ) ) -> ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) ) )
32	24, 27, 30, 31	syl2an3an 1309	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. NN /\ M e. NN ) /\ ph ) -> ( ( ( k x. 2 ) <_ ( M x. 2 ) /\ ( M x. 2 ) < ( P / 2 ) ) -> ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) ) )
33	21, 32	mpan2d 428	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k e. NN /\ M e. NN ) /\ ph ) -> ( ( k x. 2 ) <_ ( M x. 2 ) -> ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) ) )
34	33	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. NN /\ M e. NN ) -> ( ph -> ( ( k x. 2 ) <_ ( M x. 2 ) -> ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) ) ) )
35	34	com23 78	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN /\ M e. NN ) -> ( ( k x. 2 ) <_ ( M x. 2 ) -> ( ph -> ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) ) ) )
36	17, 35	sylbid 150	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ M e. NN ) -> ( k <_ M -> ( ph -> ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) ) ) )
37	36	3impia 1202	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN /\ M e. NN /\ k <_ M ) -> ( ph -> ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) ) )
38	7, 37	sylbi 121	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 1 ... M ) -> ( ph -> ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) ) )
39	38	impcom 125	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) )
40	39	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) /\ x = k ) -> ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) )
41	40	iftrued 3568	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) /\ x = k ) -> if ( ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( k x. 2 ) , ( P - ( k x. 2 ) ) ) = ( k x. 2 ) )
42	6, 41	eqtrd 2229	. . 3 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) /\ x = k ) -> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) = ( k x. 2 ) )
43	18, 19	gausslemma2dlem0d 15260	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. NN0 )
44	43	nn0zd 9443	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
45		gausslemma2d.h	. . . . . . . 8 |- H = ( ( P - 1 ) / 2 )
46	18, 45	gausslemma2dlem0b 15258	. . . . . . 7 |- ( ph -> H e. NN )
47	46	nnzd 9444	. . . . . 6 |- ( ph -> H e. ZZ )
48	18, 19, 45	gausslemma2dlem0g 15263	. . . . . 6 |- ( ph -> M <_ H )
49		eluz2 9604	. . . . . 6 |- ( H e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ H e. ZZ /\ M <_ H ) )
50	44, 47, 48, 49	syl3anbrc 1183	. . . . 5 |- ( ph -> H e. ( ZZ>= ` M ) )
51		fzss2 10136	. . . . 5 |- ( H e. ( ZZ>= ` M ) -> ( 1 ... M ) C_ ( 1 ... H ) )
52	50, 51	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 ... M ) C_ ( 1 ... H ) )
53	52	sselda 3183	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> k e. ( 1 ... H ) )
54	53	elfzelzd 10098	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> k e. ZZ )
55		2z 9351	. . . . 5 |- 2 e. ZZ
56	55	a1i 9	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> 2 e. ZZ )
57	54, 56	zmulcld 9451	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( k x. 2 ) e. ZZ )
58	1, 42, 53, 57	fvmptd2 5643	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( R ` k ) = ( k x. 2 ) )
59	58	ralrimiva 2570	1 |- ( ph -> A. k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) = ( k x. 2 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   \ cdif 3154   C_ wss 3157   ifcif 3561   {csn 3622   class class class wbr 4033   |-> cmpt 4094   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   RRcr 7876   0cc0 7877   1c1 7878   x. cmul 7882   < clt 8059   <_ cle 8060   - cmin 8195   / cdiv 8696   NNcn 8987   2c2 9038   4c4 9040   ZZcz 9323   ZZ>=cuz 9598   ...cfz 10080   |_cfl 10343   Primecprime 12251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7968  ax-resscn 7969  ax-1cn 7970  ax-1re 7971  ax-icn 7972  ax-addcl 7973  ax-addrcl 7974  ax-mulcl 7975  ax-mulrcl 7976  ax-addcom 7977  ax-mulcom 7978  ax-addass 7979  ax-mulass 7980  ax-distr 7981  ax-i2m1 7982  ax-0lt1 7983  ax-1rid 7984  ax-0id 7985  ax-rnegex 7986  ax-precex 7987  ax-cnre 7988  ax-pre-ltirr 7989  ax-pre-ltwlin 7990  ax-pre-lttrn 7991  ax-pre-apti 7992  ax-pre-ltadd 7993  ax-pre-mulgt0 7994  ax-pre-mulext 7995  ax-arch 7996  ax-caucvg 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-1o 6474  df-2o 6475  df-er 6592  df-en 6800  df-pnf 8061  df-mnf 8062  df-xr 8063  df-ltxr 8064  df-le 8065  df-sub 8197  df-neg 8198  df-reap 8599  df-ap 8606  df-div 8697  df-inn 8988  df-2 9046  df-3 9047  df-4 9048  df-n0 9247  df-z 9324  df-uz 9599  df-q 9691  df-rp 9726  df-fz 10081  df-fl 10345  df-seqfrec 10525  df-exp 10616  df-cj 10992  df-re 10993  df-im 10994  df-rsqrt 11148  df-abs 11149  df-dvds 11937  df-prm 12252

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem6  15275