Theorem gausslemma2dlem2 15178

Description: Lemma 2 for gausslemma2d 15185. (Contributed by AV, 4-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
gausslemma2d.h	|- H = ( ( P - 1 ) / 2 )
gausslemma2d.r	|- R = ( x e. ( 1 ... H ) |-> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
gausslemma2d.m	|- M = ( |_ ` ( P / 4 ) )

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem2	|- ( ph -> A. k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) = ( k x. 2 ) )

Distinct variable groups:   x, H   x, P   ph, x   k, H   R, k   ph, k   x, M   x, k

Allowed substitution hints:   P( k)   R( x)   M( k)

Proof of Theorem gausslemma2dlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.r	. . 3 |- R = ( x e. ( 1 ... H ) |-> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
2		oveq1 5925	. . . . . . 7 |- ( x = k -> ( x x. 2 ) = ( k x. 2 ) )
3	2	breq1d 4039	. . . . . 6 |- ( x = k -> ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) <-> ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) ) )
4	2	oveq2d 5934	. . . . . 6 |- ( x = k -> ( P - ( x x. 2 ) ) = ( P - ( k x. 2 ) ) )
5	3, 2, 4	ifbieq12d 3583	. . . . 5 |- ( x = k -> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) = if ( ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( k x. 2 ) , ( P - ( k x. 2 ) ) ) )
6	5	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) /\ x = k ) -> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) = if ( ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( k x. 2 ) , ( P - ( k x. 2 ) ) ) )
7		elfz1b 10156	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 1 ... M ) <-> ( k e. NN /\ M e. NN /\ k <_ M ) )
8		nnre 8989	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> k e. RR )
9	8	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. NN /\ M e. NN ) -> k e. RR )
10		nnre 8989	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. NN -> M e. RR )
11	10	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. NN /\ M e. NN ) -> M e. RR )
12		2re 9052	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR
13		2pos 9073	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < 2
14	12, 13	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
15	14	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. NN /\ M e. NN ) -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
16		lemul1 8612	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. RR /\ M e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( k <_ M <-> ( k x. 2 ) <_ ( M x. 2 ) ) )
17	9, 11, 15, 16	syl3anc 1249	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN /\ M e. NN ) -> ( k <_ M <-> ( k x. 2 ) <_ ( M x. 2 ) ) )
18		gausslemma2d.p	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
19		gausslemma2d.m	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- M = ( |_ ` ( P / 4 ) )
20	18, 19	gausslemma2dlem0e 15169	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( M x. 2 ) < ( P / 2 ) )
21	20	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. NN /\ M e. NN ) /\ ph ) -> ( M x. 2 ) < ( P / 2 ) )
22	12	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN -> 2 e. RR )
23	8, 22	remulcld 8050	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> ( k x. 2 ) e. RR )
24	23	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. NN /\ M e. NN ) -> ( k x. 2 ) e. RR )
25	12	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M e. NN -> 2 e. RR )
26	10, 25	remulcld 8050	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M e. NN -> ( M x. 2 ) e. RR )
27	26	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. NN /\ M e. NN ) -> ( M x. 2 ) e. RR )
28	18	gausslemma2dlem0a 15165	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> P e. NN )
29	28	nnred 8995	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> P e. RR )
30	29	rehalfcld 9229	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( P / 2 ) e. RR )
31		lelttr 8108	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k x. 2 ) e. RR /\ ( M x. 2 ) e. RR /\ ( P / 2 ) e. RR ) -> ( ( ( k x. 2 ) <_ ( M x. 2 ) /\ ( M x. 2 ) < ( P / 2 ) ) -> ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) ) )
32	24, 27, 30, 31	syl2an3an 1309	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. NN /\ M e. NN ) /\ ph ) -> ( ( ( k x. 2 ) <_ ( M x. 2 ) /\ ( M x. 2 ) < ( P / 2 ) ) -> ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) ) )
33	21, 32	mpan2d 428	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k e. NN /\ M e. NN ) /\ ph ) -> ( ( k x. 2 ) <_ ( M x. 2 ) -> ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) ) )
34	33	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. NN /\ M e. NN ) -> ( ph -> ( ( k x. 2 ) <_ ( M x. 2 ) -> ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) ) ) )
35	34	com23 78	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN /\ M e. NN ) -> ( ( k x. 2 ) <_ ( M x. 2 ) -> ( ph -> ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) ) ) )
36	17, 35	sylbid 150	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ M e. NN ) -> ( k <_ M -> ( ph -> ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) ) ) )
37	36	3impia 1202	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN /\ M e. NN /\ k <_ M ) -> ( ph -> ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) ) )
38	7, 37	sylbi 121	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 1 ... M ) -> ( ph -> ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) ) )
39	38	impcom 125	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) )
40	39	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) /\ x = k ) -> ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) )
41	40	iftrued 3564	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) /\ x = k ) -> if ( ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( k x. 2 ) , ( P - ( k x. 2 ) ) ) = ( k x. 2 ) )
42	6, 41	eqtrd 2226	. . 3 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) /\ x = k ) -> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) = ( k x. 2 ) )
43	18, 19	gausslemma2dlem0d 15168	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. NN0 )
44	43	nn0zd 9437	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
45		gausslemma2d.h	. . . . . . . 8 |- H = ( ( P - 1 ) / 2 )
46	18, 45	gausslemma2dlem0b 15166	. . . . . . 7 |- ( ph -> H e. NN )
47	46	nnzd 9438	. . . . . 6 |- ( ph -> H e. ZZ )
48	18, 19, 45	gausslemma2dlem0g 15171	. . . . . 6 |- ( ph -> M <_ H )
49		eluz2 9598	. . . . . 6 |- ( H e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ H e. ZZ /\ M <_ H ) )
50	44, 47, 48, 49	syl3anbrc 1183	. . . . 5 |- ( ph -> H e. ( ZZ>= ` M ) )
51		fzss2 10130	. . . . 5 |- ( H e. ( ZZ>= ` M ) -> ( 1 ... M ) C_ ( 1 ... H ) )
52	50, 51	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 ... M ) C_ ( 1 ... H ) )
53	52	sselda 3179	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> k e. ( 1 ... H ) )
54	53	elfzelzd 10092	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> k e. ZZ )
55		2z 9345	. . . . 5 |- 2 e. ZZ
56	55	a1i 9	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> 2 e. ZZ )
57	54, 56	zmulcld 9445	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( k x. 2 ) e. ZZ )
58	1, 42, 53, 57	fvmptd2 5639	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( R ` k ) = ( k x. 2 ) )
59	58	ralrimiva 2567	1 |- ( ph -> A. k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) = ( k x. 2 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   \ cdif 3150   C_ wss 3153   ifcif 3557   {csn 3618   class class class wbr 4029   |-> cmpt 4090   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   RRcr 7871   0cc0 7872   1c1 7873   x. cmul 7877   < clt 8054   <_ cle 8055   - cmin 8190   / cdiv 8691   NNcn 8982   2c2 9033   4c4 9035   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592   ...cfz 10074   |_cfl 10337   Primecprime 12245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-1o 6469  df-2o 6470  df-er 6587  df-en 6795  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-fz 10075  df-fl 10339  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-dvds 11931  df-prm 12246

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem6  15183