ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  1sgm2ppw Unicode version

Theorem 1sgm2ppw 15203
Description: The sum of the divisors of  2 ^
( N  -  1 ). (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
1sgm2ppw  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  sigma  ( 2 ^ ( N  -  1 ) ) )  =  ( ( 2 ^ N )  -  1 ) )

Proof of Theorem 1sgm2ppw
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 7970 . . 3  |-  1  e.  CC
2 2prm 12271 . . 3  |-  2  e.  Prime
3 nnm1nn0 9287 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
4 sgmppw 15200 . . 3  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  2  e.  Prime  /\  ( N  -  1 )  e.  NN0 )  -> 
( 1  sigma  ( 2 ^ ( N  - 
1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 2  ^c  1 ) ^
k ) )
51, 2, 3, 4mp3an12i 1352 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  sigma  ( 2 ^ ( N  -  1 ) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 2  ^c  1 ) ^
k ) )
6 2rp 9730 . . . . . 6  |-  2  e.  RR+
7 rpcxp1 15108 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( 2  ^c  1 )  =  2 )
86, 7mp1i 10 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
2  ^c  1 )  =  2 )
98oveq1d 5937 . . . 4  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
( 2  ^c 
1 ) ^ k
)  =  ( 2 ^ k ) )
109sumeq2i 11513 . . 3  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 2  ^c  1 ) ^ k )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( 2 ^ k
)
11 2cn 9058 . . . . 5  |-  2  e.  CC
1211a1i 9 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  CC )
13 1ap2 9195 . . . . . 6  |-  1 #  2
14 apsym 8630 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( 1 #  2  <->  2 #  1 ) )
151, 11, 14mp2an 426 . . . . . 6  |-  ( 1 #  2  <->  2 #  1 )
1613, 15mpbi 145 . . . . 5  |-  2 #  1
1716a1i 9 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  2 #  1 )
18 nnnn0 9253 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
1912, 17, 18geoserap 11656 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( 2 ^ k )  =  ( ( 1  -  (
2 ^ N ) )  /  ( 1  -  2 ) ) )
2010, 19eqtrid 2241 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( 2  ^c  1 ) ^ k )  =  ( ( 1  -  ( 2 ^ N
) )  /  (
1  -  2 ) ) )
21 2nn 9149 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN
22 nnexpcl 10629 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ N
)  e.  NN )
2321, 18, 22sylancr 414 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2 ^ N )  e.  NN )
2423nncnd 9001 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2 ^ N )  e.  CC )
25 subcl 8223 . . . . 5  |-  ( ( ( 2 ^ N
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( 2 ^ N )  -  1 )  e.  CC )
2624, 1, 25sylancl 413 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2 ^ N
)  -  1 )  e.  CC )
271a1i 9 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  CC )
28 1ap0 8614 . . . . 5  |-  1 #  0
2928a1i 9 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  1 #  0 )
3026, 27, 29div2negapd 8829 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( -u ( ( 2 ^ N )  -  1 )  /  -u 1
)  =  ( ( ( 2 ^ N
)  -  1 )  /  1 ) )
31 negsubdi2 8283 . . . . 5  |-  ( ( ( 2 ^ N
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
-u ( ( 2 ^ N )  - 
1 )  =  ( 1  -  ( 2 ^ N ) ) )
3224, 1, 31sylancl 413 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  -u (
( 2 ^ N
)  -  1 )  =  ( 1  -  ( 2 ^ N
) ) )
33 df-neg 8198 . . . . . 6  |-  -u 1  =  ( 0  -  1 )
34 0cn 8016 . . . . . . 7  |-  0  e.  CC
35 pnpcan 8263 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  0  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( 1  +  0 )  -  ( 1  +  1 ) )  =  ( 0  -  1 ) )
361, 34, 1, 35mp3an 1348 . . . . . 6  |-  ( ( 1  +  0 )  -  ( 1  +  1 ) )  =  ( 0  -  1 )
37 1p0e1 9103 . . . . . . 7  |-  ( 1  +  0 )  =  1
38 1p1e2 9104 . . . . . . 7  |-  ( 1  +  1 )  =  2
3937, 38oveq12i 5934 . . . . . 6  |-  ( ( 1  +  0 )  -  ( 1  +  1 ) )  =  ( 1  -  2 )
4033, 36, 393eqtr2i 2223 . . . . 5  |-  -u 1  =  ( 1  -  2 )
4140a1i 9 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  -u 1  =  ( 1  -  2 ) )
4232, 41oveq12d 5940 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( -u ( ( 2 ^ N )  -  1 )  /  -u 1
)  =  ( ( 1  -  ( 2 ^ N ) )  /  ( 1  -  2 ) ) )
4326div1d 8804 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2 ^ N )  -  1 )  /  1 )  =  ( ( 2 ^ N )  - 
1 ) )
4430, 42, 433eqtr3d 2237 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  -  (
2 ^ N ) )  /  ( 1  -  2 ) )  =  ( ( 2 ^ N )  - 
1 ) )
455, 20, 443eqtrd 2233 1  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  sigma  ( 2 ^ ( N  -  1 ) ) )  =  ( ( 2 ^ N )  -  1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 105    = wceq 1364    e. wcel 2167   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922   CCcc 7875   0cc0 7877   1c1 7878    + caddc 7880    - cmin 8195   -ucneg 8196   # cap 8605    / cdiv 8696   NNcn 8987   2c2 9038   NN0cn0 9246   RR+crp 9725   ...cfz 10080   ^cexp 10615   sum_csu 11502   Primecprime 12251    ^c ccxp 15066    sigma csgm 15189
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7968  ax-resscn 7969  ax-1cn 7970  ax-1re 7971  ax-icn 7972  ax-addcl 7973  ax-addrcl 7974  ax-mulcl 7975  ax-mulrcl 7976  ax-addcom 7977  ax-mulcom 7978  ax-addass 7979  ax-mulass 7980  ax-distr 7981  ax-i2m1 7982  ax-0lt1 7983  ax-1rid 7984  ax-0id 7985  ax-rnegex 7986  ax-precex 7987  ax-cnre 7988  ax-pre-ltirr 7989  ax-pre-ltwlin 7990  ax-pre-lttrn 7991  ax-pre-apti 7992  ax-pre-ltadd 7993  ax-pre-mulgt0 7994  ax-pre-mulext 7995  ax-arch 7996  ax-caucvg 7997  ax-pre-suploc 7998  ax-addf 7999  ax-mulf 8000
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-disj 4011  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-of 6135  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-er 6592  df-map 6709  df-pm 6710  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-sup 7048  df-inf 7049  df-pnf 8061  df-mnf 8062  df-xr 8063  df-ltxr 8064  df-le 8065  df-sub 8197  df-neg 8198  df-reap 8599  df-ap 8606  df-div 8697  df-inn 8988  df-2 9046  df-3 9047  df-4 9048  df-n0 9247  df-xnn0 9310  df-z 9324  df-uz 9599  df-q 9691  df-rp 9726  df-xneg 9844  df-xadd 9845  df-ioo 9964  df-ico 9966  df-icc 9967  df-fz 10081  df-fzo 10215  df-fl 10345  df-mod 10400  df-seqfrec 10525  df-exp 10616  df-fac 10803  df-bc 10825  df-ihash 10853  df-shft 10965  df-cj 10992  df-re 10993  df-im 10994  df-rsqrt 11148  df-abs 11149  df-clim 11428  df-sumdc 11503  df-ef 11797  df-e 11798  df-dvds 11937  df-gcd 12086  df-prm 12252  df-pc 12430  df-rest 12888  df-topgen 12907  df-psmet 14075  df-xmet 14076  df-met 14077  df-bl 14078  df-mopn 14079  df-top 14210  df-topon 14223  df-bases 14255  df-ntr 14308  df-cn 14400  df-cnp 14401  df-tx 14465  df-cncf 14783  df-limced 14868  df-dvap 14869  df-relog 15067  df-rpcxp 15068  df-sgm 15190
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator