Theorem 1sgm2ppw 15975

Description: The sum of the divisors of 2 ^ ( N - 1 ). (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
1sgm2ppw	|- ( N e. NN -> ( 1 sigma ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) = ( ( 2 ^ N ) - 1 ) )

Proof of Theorem 1sgm2ppw

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 8236	. . 3 |- 1 e. CC
2		2prm 12849	. . 3 |- 2 e. Prime
3		nnm1nn0 9554	. . 3 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )
4		sgmppw 15972	. . 3 |- ( ( 1 e. CC /\ 2 e. Prime /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) -> ( 1 sigma ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( 2 ^c 1 ) ^ k ) )
5	1, 2, 3, 4	mp3an12i 1378	. 2 |- ( N e. NN -> ( 1 sigma ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( 2 ^c 1 ) ^ k ) )
6		2rp 10009	. . . . . 6 |- 2 e. RR+
7		rpcxp1 15876	. . . . . 6 |- ( 2 e. RR+ -> ( 2 ^c 1 ) = 2 )
8	6, 7	mp1i 10	. . . . 5 |- ( k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> ( 2 ^c 1 ) = 2 )
9	8	oveq1d 6073	. . . 4 |- ( k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> ( ( 2 ^c 1 ) ^ k ) = ( 2 ^ k ) )
10	9	sumeq2i 12074	. . 3 |- sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( 2 ^c 1 ) ^ k ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( 2 ^ k )
11		2cn 9325	. . . . 5 |- 2 e. CC
12	11	a1i 9	. . . 4 |- ( N e. NN -> 2 e. CC )
13		1ap2 9462	. . . . . 6 |- 1 # 2
14		apsym 8897	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( 1 # 2 <-> 2 # 1 ) )
15	1, 11, 14	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( 1 # 2 <-> 2 # 1 )
16	13, 15	mpbi 145	. . . . 5 |- 2 # 1
17	16	a1i 9	. . . 4 |- ( N e. NN -> 2 # 1 )
18		nnnn0 9520	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
19	12, 17, 18	geoserap 12218	. . 3 |- ( N e. NN -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( 2 ^ k ) = ( ( 1 - ( 2 ^ N ) ) / ( 1 - 2 ) ) )
20	10, 19	eqtrid 2279	. 2 |- ( N e. NN -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( 2 ^c 1 ) ^ k ) = ( ( 1 - ( 2 ^ N ) ) / ( 1 - 2 ) ) )
21		2nn 9416	. . . . . . 7 |- 2 e. NN
22		nnexpcl 10938	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( 2 ^ N ) e. NN )
23	21, 18, 22	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 2 ^ N ) e. NN )
24	23	nncnd 9268	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 2 ^ N ) e. CC )
25		subcl 8488	. . . . 5 |- ( ( ( 2 ^ N ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( 2 ^ N ) - 1 ) e. CC )
26	24, 1, 25	sylancl 413	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( 2 ^ N ) - 1 ) e. CC )
27	1	a1i 9	. . . 4 |- ( N e. NN -> 1 e. CC )
28		1ap0 8881	. . . . 5 |- 1 # 0
29	28	a1i 9	. . . 4 |- ( N e. NN -> 1 # 0 )
30	26, 27, 29	div2negapd 9096	. . 3 |- ( N e. NN -> ( -u ( ( 2 ^ N ) - 1 ) / -u 1 ) = ( ( ( 2 ^ N ) - 1 ) / 1 ) )
31		negsubdi2 8548	. . . . 5 |- ( ( ( 2 ^ N ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> -u ( ( 2 ^ N ) - 1 ) = ( 1 - ( 2 ^ N ) ) )
32	24, 1, 31	sylancl 413	. . . 4 |- ( N e. NN -> -u ( ( 2 ^ N ) - 1 ) = ( 1 - ( 2 ^ N ) ) )
33		df-neg 8463	. . . . . 6 |- -u 1 = ( 0 - 1 )
34		0cn 8282	. . . . . . 7 |- 0 e. CC
35		pnpcan 8528	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. CC /\ 0 e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( 1 + 0 ) - ( 1 + 1 ) ) = ( 0 - 1 ) )
36	1, 34, 1, 35	mp3an 1374	. . . . . 6 |- ( ( 1 + 0 ) - ( 1 + 1 ) ) = ( 0 - 1 )
37		1p0e1 9370	. . . . . . 7 |- ( 1 + 0 ) = 1
38		1p1e2 9371	. . . . . . 7 |- ( 1 + 1 ) = 2
39	37, 38	oveq12i 6070	. . . . . 6 |- ( ( 1 + 0 ) - ( 1 + 1 ) ) = ( 1 - 2 )
40	33, 36, 39	3eqtr2i 2261	. . . . 5 |- -u 1 = ( 1 - 2 )
41	40	a1i 9	. . . 4 |- ( N e. NN -> -u 1 = ( 1 - 2 ) )
42	32, 41	oveq12d 6076	. . 3 |- ( N e. NN -> ( -u ( ( 2 ^ N ) - 1 ) / -u 1 ) = ( ( 1 - ( 2 ^ N ) ) / ( 1 - 2 ) ) )
43	26	div1d 9071	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( ( 2 ^ N ) - 1 ) / 1 ) = ( ( 2 ^ N ) - 1 ) )
44	30, 42, 43	3eqtr3d 2275	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( 1 - ( 2 ^ N ) ) / ( 1 - 2 ) ) = ( ( 2 ^ N ) - 1 ) )
45	5, 20, 44	3eqtrd 2271	1 |- ( N e. NN -> ( 1 sigma ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) = ( ( 2 ^ N ) - 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058   CCcc 8141   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   - cmin 8460   -ucneg 8461   # cap 8872   / cdiv 8963   NNcn 9254   2c2 9305   NN0cn0 9513   RR+crp 10004   ...cfz 10361   ^cexp 10924   sum_csu 12063   Primecprime 12829   ^c ccxp 15834   sigma csgm 15961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263  ax-pre-suploc 8264  ax-addf 8265  ax-mulf 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-disj 4091  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-of 6275  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-frec 6635  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-er 6780  df-map 6897  df-pm 6898  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-sup 7288  df-inf 7289  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-xnn0 9581  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-xneg 10124  df-xadd 10125  df-ioo 10244  df-ico 10246  df-icc 10247  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-fl 10654  df-mod 10709  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-fac 11113  df-bc 11135  df-ihash 11164  df-shft 11525  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-clim 11989  df-sumdc 12064  df-ef 12359  df-e 12360  df-dvds 12499  df-gcd 12675  df-prm 12830  df-pc 13008  df-rest 13538  df-topgen 13557  df-psmet 14803  df-xmet 14804  df-met 14805  df-bl 14806  df-mopn 14807  df-top 14975  df-topon 14988  df-bases 15020  df-ntr 15073  df-cn 15165  df-cnp 15166  df-tx 15230  df-cncf 15548  df-limced 15633  df-dvap 15634  df-relog 15835  df-rpcxp 15836  df-sgm 15962

This theorem is referenced by:  perfect1  15978  perfectlem1  15979  perfectlem2  15980