Theorem 1sgm2ppw 15855

Description: The sum of the divisors of 2 ^ ( N - 1 ). (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
1sgm2ppw	|- ( N e. NN -> ( 1 sigma ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) = ( ( 2 ^ N ) - 1 ) )

Proof of Theorem 1sgm2ppw

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 8219	. . 3 |- 1 e. CC
2		2prm 12820	. . 3 |- 2 e. Prime
3		nnm1nn0 9536	. . 3 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )
4		sgmppw 15852	. . 3 |- ( ( 1 e. CC /\ 2 e. Prime /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) -> ( 1 sigma ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( 2 ^c 1 ) ^ k ) )
5	1, 2, 3, 4	mp3an12i 1378	. 2 |- ( N e. NN -> ( 1 sigma ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( 2 ^c 1 ) ^ k ) )
6		2rp 9990	. . . . . 6 |- 2 e. RR+
7		rpcxp1 15756	. . . . . 6 |- ( 2 e. RR+ -> ( 2 ^c 1 ) = 2 )
8	6, 7	mp1i 10	. . . . 5 |- ( k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> ( 2 ^c 1 ) = 2 )
9	8	oveq1d 6064	. . . 4 |- ( k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> ( ( 2 ^c 1 ) ^ k ) = ( 2 ^ k ) )
10	9	sumeq2i 12045	. . 3 |- sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( 2 ^c 1 ) ^ k ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( 2 ^ k )
11		2cn 9307	. . . . 5 |- 2 e. CC
12	11	a1i 9	. . . 4 |- ( N e. NN -> 2 e. CC )
13		1ap2 9444	. . . . . 6 |- 1 # 2
14		apsym 8879	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( 1 # 2 <-> 2 # 1 ) )
15	1, 11, 14	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( 1 # 2 <-> 2 # 1 )
16	13, 15	mpbi 145	. . . . 5 |- 2 # 1
17	16	a1i 9	. . . 4 |- ( N e. NN -> 2 # 1 )
18		nnnn0 9502	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
19	12, 17, 18	geoserap 12189	. . 3 |- ( N e. NN -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( 2 ^ k ) = ( ( 1 - ( 2 ^ N ) ) / ( 1 - 2 ) ) )
20	10, 19	eqtrid 2277	. 2 |- ( N e. NN -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( 2 ^c 1 ) ^ k ) = ( ( 1 - ( 2 ^ N ) ) / ( 1 - 2 ) ) )
21		2nn 9398	. . . . . . 7 |- 2 e. NN
22		nnexpcl 10913	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( 2 ^ N ) e. NN )
23	21, 18, 22	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 2 ^ N ) e. NN )
24	23	nncnd 9250	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 2 ^ N ) e. CC )
25		subcl 8471	. . . . 5 |- ( ( ( 2 ^ N ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( 2 ^ N ) - 1 ) e. CC )
26	24, 1, 25	sylancl 413	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( 2 ^ N ) - 1 ) e. CC )
27	1	a1i 9	. . . 4 |- ( N e. NN -> 1 e. CC )
28		1ap0 8863	. . . . 5 |- 1 # 0
29	28	a1i 9	. . . 4 |- ( N e. NN -> 1 # 0 )
30	26, 27, 29	div2negapd 9078	. . 3 |- ( N e. NN -> ( -u ( ( 2 ^ N ) - 1 ) / -u 1 ) = ( ( ( 2 ^ N ) - 1 ) / 1 ) )
31		negsubdi2 8531	. . . . 5 |- ( ( ( 2 ^ N ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> -u ( ( 2 ^ N ) - 1 ) = ( 1 - ( 2 ^ N ) ) )
32	24, 1, 31	sylancl 413	. . . 4 |- ( N e. NN -> -u ( ( 2 ^ N ) - 1 ) = ( 1 - ( 2 ^ N ) ) )
33		df-neg 8446	. . . . . 6 |- -u 1 = ( 0 - 1 )
34		0cn 8265	. . . . . . 7 |- 0 e. CC
35		pnpcan 8511	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. CC /\ 0 e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( 1 + 0 ) - ( 1 + 1 ) ) = ( 0 - 1 ) )
36	1, 34, 1, 35	mp3an 1374	. . . . . 6 |- ( ( 1 + 0 ) - ( 1 + 1 ) ) = ( 0 - 1 )
37		1p0e1 9352	. . . . . . 7 |- ( 1 + 0 ) = 1
38		1p1e2 9353	. . . . . . 7 |- ( 1 + 1 ) = 2
39	37, 38	oveq12i 6061	. . . . . 6 |- ( ( 1 + 0 ) - ( 1 + 1 ) ) = ( 1 - 2 )
40	33, 36, 39	3eqtr2i 2259	. . . . 5 |- -u 1 = ( 1 - 2 )
41	40	a1i 9	. . . 4 |- ( N e. NN -> -u 1 = ( 1 - 2 ) )
42	32, 41	oveq12d 6067	. . 3 |- ( N e. NN -> ( -u ( ( 2 ^ N ) - 1 ) / -u 1 ) = ( ( 1 - ( 2 ^ N ) ) / ( 1 - 2 ) ) )
43	26	div1d 9053	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( ( 2 ^ N ) - 1 ) / 1 ) = ( ( 2 ^ N ) - 1 ) )
44	30, 42, 43	3eqtr3d 2273	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( 1 - ( 2 ^ N ) ) / ( 1 - 2 ) ) = ( ( 2 ^ N ) - 1 ) )
45	5, 20, 44	3eqtrd 2269	1 |- ( N e. NN -> ( 1 sigma ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) = ( ( 2 ^ N ) - 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   class class class wbr 4108  (class class class)co 6049   CCcc 8124   0cc0 8126   1c1 8127   + caddc 8129   - cmin 8443   -ucneg 8444   # cap 8854   / cdiv 8945   NNcn 9236   2c2 9287   NN0cn0 9495   RR+crp 9985   ...cfz 10341   ^cexp 10899   sum_csu 12034   Primecprime 12800   ^c ccxp 15714   sigma csgm 15841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-mulrcl 8225  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-precex 8236  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242  ax-pre-mulgt0 8243  ax-pre-mulext 8244  ax-arch 8245  ax-caucvg 8246  ax-pre-suploc 8247  ax-addf 8248  ax-mulf 8249

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-disj 4085  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-isom 5360  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-of 6265  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-irdg 6600  df-frec 6621  df-1o 6646  df-2o 6647  df-oadd 6650  df-er 6766  df-map 6883  df-pm 6884  df-en 6975  df-dom 6976  df-fin 6977  df-sup 7274  df-inf 7275  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-reap 8848  df-ap 8855  df-div 8946  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-n0 9496  df-xnn0 9563  df-z 9577  df-uz 9853  df-q 9951  df-rp 9986  df-xneg 10104  df-xadd 10105  df-ioo 10224  df-ico 10226  df-icc 10227  df-fz 10342  df-fzo 10476  df-fl 10629  df-mod 10684  df-seqfrec 10809  df-exp 10900  df-fac 11087  df-bc 11109  df-ihash 11137  df-shft 11496  df-cj 11523  df-re 11524  df-im 11525  df-rsqrt 11679  df-abs 11680  df-clim 11960  df-sumdc 12035  df-ef 12330  df-e 12331  df-dvds 12470  df-gcd 12646  df-prm 12801  df-pc 12979  df-rest 13446  df-topgen 13465  df-psmet 14683  df-xmet 14684  df-met 14685  df-bl 14686  df-mopn 14687  df-top 14855  df-topon 14868  df-bases 14900  df-ntr 14953  df-cn 15045  df-cnp 15046  df-tx 15110  df-cncf 15428  df-limced 15513  df-dvap 15514  df-relog 15715  df-rpcxp 15716  df-sgm 15842

This theorem is referenced by:  perfect1  15858  perfectlem1  15859  perfectlem2  15860