Theorem 1sgm2ppw 15789

Description: The sum of the divisors of 2 ^ ( N - 1 ). (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
1sgm2ppw	|- ( N e. NN -> ( 1 sigma ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) = ( ( 2 ^ N ) - 1 ) )

Proof of Theorem 1sgm2ppw

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 8168	. . 3 |- 1 e. CC
2		2prm 12760	. . 3 |- 2 e. Prime
3		nnm1nn0 9486	. . 3 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )
4		sgmppw 15786	. . 3 |- ( ( 1 e. CC /\ 2 e. Prime /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) -> ( 1 sigma ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( 2 ^c 1 ) ^ k ) )
5	1, 2, 3, 4	mp3an12i 1378	. 2 |- ( N e. NN -> ( 1 sigma ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( 2 ^c 1 ) ^ k ) )
6		2rp 9936	. . . . . 6 |- 2 e. RR+
7		rpcxp1 15690	. . . . . 6 |- ( 2 e. RR+ -> ( 2 ^c 1 ) = 2 )
8	6, 7	mp1i 10	. . . . 5 |- ( k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> ( 2 ^c 1 ) = 2 )
9	8	oveq1d 6043	. . . 4 |- ( k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> ( ( 2 ^c 1 ) ^ k ) = ( 2 ^ k ) )
10	9	sumeq2i 11985	. . 3 |- sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( 2 ^c 1 ) ^ k ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( 2 ^ k )
11		2cn 9257	. . . . 5 |- 2 e. CC
12	11	a1i 9	. . . 4 |- ( N e. NN -> 2 e. CC )
13		1ap2 9394	. . . . . 6 |- 1 # 2
14		apsym 8829	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( 1 # 2 <-> 2 # 1 ) )
15	1, 11, 14	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( 1 # 2 <-> 2 # 1 )
16	13, 15	mpbi 145	. . . . 5 |- 2 # 1
17	16	a1i 9	. . . 4 |- ( N e. NN -> 2 # 1 )
18		nnnn0 9452	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
19	12, 17, 18	geoserap 12129	. . 3 |- ( N e. NN -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( 2 ^ k ) = ( ( 1 - ( 2 ^ N ) ) / ( 1 - 2 ) ) )
20	10, 19	eqtrid 2276	. 2 |- ( N e. NN -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( 2 ^c 1 ) ^ k ) = ( ( 1 - ( 2 ^ N ) ) / ( 1 - 2 ) ) )
21		2nn 9348	. . . . . . 7 |- 2 e. NN
22		nnexpcl 10858	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( 2 ^ N ) e. NN )
23	21, 18, 22	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 2 ^ N ) e. NN )
24	23	nncnd 9200	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 2 ^ N ) e. CC )
25		subcl 8421	. . . . 5 |- ( ( ( 2 ^ N ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( 2 ^ N ) - 1 ) e. CC )
26	24, 1, 25	sylancl 413	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( 2 ^ N ) - 1 ) e. CC )
27	1	a1i 9	. . . 4 |- ( N e. NN -> 1 e. CC )
28		1ap0 8813	. . . . 5 |- 1 # 0
29	28	a1i 9	. . . 4 |- ( N e. NN -> 1 # 0 )
30	26, 27, 29	div2negapd 9028	. . 3 |- ( N e. NN -> ( -u ( ( 2 ^ N ) - 1 ) / -u 1 ) = ( ( ( 2 ^ N ) - 1 ) / 1 ) )
31		negsubdi2 8481	. . . . 5 |- ( ( ( 2 ^ N ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> -u ( ( 2 ^ N ) - 1 ) = ( 1 - ( 2 ^ N ) ) )
32	24, 1, 31	sylancl 413	. . . 4 |- ( N e. NN -> -u ( ( 2 ^ N ) - 1 ) = ( 1 - ( 2 ^ N ) ) )
33		df-neg 8396	. . . . . 6 |- -u 1 = ( 0 - 1 )
34		0cn 8214	. . . . . . 7 |- 0 e. CC
35		pnpcan 8461	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. CC /\ 0 e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( 1 + 0 ) - ( 1 + 1 ) ) = ( 0 - 1 ) )
36	1, 34, 1, 35	mp3an 1374	. . . . . 6 |- ( ( 1 + 0 ) - ( 1 + 1 ) ) = ( 0 - 1 )
37		1p0e1 9302	. . . . . . 7 |- ( 1 + 0 ) = 1
38		1p1e2 9303	. . . . . . 7 |- ( 1 + 1 ) = 2
39	37, 38	oveq12i 6040	. . . . . 6 |- ( ( 1 + 0 ) - ( 1 + 1 ) ) = ( 1 - 2 )
40	33, 36, 39	3eqtr2i 2258	. . . . 5 |- -u 1 = ( 1 - 2 )
41	40	a1i 9	. . . 4 |- ( N e. NN -> -u 1 = ( 1 - 2 ) )
42	32, 41	oveq12d 6046	. . 3 |- ( N e. NN -> ( -u ( ( 2 ^ N ) - 1 ) / -u 1 ) = ( ( 1 - ( 2 ^ N ) ) / ( 1 - 2 ) ) )
43	26	div1d 9003	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( ( 2 ^ N ) - 1 ) / 1 ) = ( ( 2 ^ N ) - 1 ) )
44	30, 42, 43	3eqtr3d 2272	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( 1 - ( 2 ^ N ) ) / ( 1 - 2 ) ) = ( ( 2 ^ N ) - 1 ) )
45	5, 20, 44	3eqtrd 2268	1 |- ( N e. NN -> ( 1 sigma ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) = ( ( 2 ^ N ) - 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028   CCcc 8073   0cc0 8075   1c1 8076   + caddc 8078   - cmin 8393   -ucneg 8394   # cap 8804   / cdiv 8895   NNcn 9186   2c2 9237   NN0cn0 9445   RR+crp 9931   ...cfz 10286   ^cexp 10844   sum_csu 11974   Primecprime 12740   ^c ccxp 15648   sigma csgm 15775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195  ax-pre-suploc 8196  ax-addf 8197  ax-mulf 8198

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-disj 4070  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-of 6244  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-2o 6626  df-oadd 6629  df-er 6745  df-map 6862  df-pm 6863  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-sup 7226  df-inf 7227  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-ap 8805  df-div 8896  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-n0 9446  df-xnn0 9509  df-z 9523  df-uz 9799  df-q 9897  df-rp 9932  df-xneg 10050  df-xadd 10051  df-ioo 10170  df-ico 10172  df-icc 10173  df-fz 10287  df-fzo 10421  df-fl 10574  df-mod 10629  df-seqfrec 10754  df-exp 10845  df-fac 11032  df-bc 11054  df-ihash 11082  df-shft 11436  df-cj 11463  df-re 11464  df-im 11465  df-rsqrt 11619  df-abs 11620  df-clim 11900  df-sumdc 11975  df-ef 12270  df-e 12271  df-dvds 12410  df-gcd 12586  df-prm 12741  df-pc 12919  df-rest 13385  df-topgen 13404  df-psmet 14619  df-xmet 14620  df-met 14621  df-bl 14622  df-mopn 14623  df-top 14789  df-topon 14802  df-bases 14834  df-ntr 14887  df-cn 14979  df-cnp 14980  df-tx 15044  df-cncf 15362  df-limced 15447  df-dvap 15448  df-relog 15649  df-rpcxp 15650  df-sgm 15776

This theorem is referenced by:  perfect1  15792  perfectlem1  15793  perfectlem2  15794