Theorem 1sgm2ppw 15654

Description: The sum of the divisors of 2 ^ ( N - 1 ). (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
1sgm2ppw	|- ( N e. NN -> ( 1 sigma ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) = ( ( 2 ^ N ) - 1 ) )

Proof of Theorem 1sgm2ppw

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 8080	. . 3 |- 1 e. CC
2		2prm 12635	. . 3 |- 2 e. Prime
3		nnm1nn0 9398	. . 3 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )
4		sgmppw 15651	. . 3 |- ( ( 1 e. CC /\ 2 e. Prime /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) -> ( 1 sigma ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( 2 ^c 1 ) ^ k ) )
5	1, 2, 3, 4	mp3an12i 1375	. 2 |- ( N e. NN -> ( 1 sigma ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( 2 ^c 1 ) ^ k ) )
6		2rp 9842	. . . . . 6 |- 2 e. RR+
7		rpcxp1 15558	. . . . . 6 |- ( 2 e. RR+ -> ( 2 ^c 1 ) = 2 )
8	6, 7	mp1i 10	. . . . 5 |- ( k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> ( 2 ^c 1 ) = 2 )
9	8	oveq1d 6009	. . . 4 |- ( k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> ( ( 2 ^c 1 ) ^ k ) = ( 2 ^ k ) )
10	9	sumeq2i 11861	. . 3 |- sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( 2 ^c 1 ) ^ k ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( 2 ^ k )
11		2cn 9169	. . . . 5 |- 2 e. CC
12	11	a1i 9	. . . 4 |- ( N e. NN -> 2 e. CC )
13		1ap2 9306	. . . . . 6 |- 1 # 2
14		apsym 8741	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( 1 # 2 <-> 2 # 1 ) )
15	1, 11, 14	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( 1 # 2 <-> 2 # 1 )
16	13, 15	mpbi 145	. . . . 5 |- 2 # 1
17	16	a1i 9	. . . 4 |- ( N e. NN -> 2 # 1 )
18		nnnn0 9364	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
19	12, 17, 18	geoserap 12004	. . 3 |- ( N e. NN -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( 2 ^ k ) = ( ( 1 - ( 2 ^ N ) ) / ( 1 - 2 ) ) )
20	10, 19	eqtrid 2274	. 2 |- ( N e. NN -> sum_ k e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) ( ( 2 ^c 1 ) ^ k ) = ( ( 1 - ( 2 ^ N ) ) / ( 1 - 2 ) ) )
21		2nn 9260	. . . . . . 7 |- 2 e. NN
22		nnexpcl 10761	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( 2 ^ N ) e. NN )
23	21, 18, 22	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 2 ^ N ) e. NN )
24	23	nncnd 9112	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 2 ^ N ) e. CC )
25		subcl 8333	. . . . 5 |- ( ( ( 2 ^ N ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( 2 ^ N ) - 1 ) e. CC )
26	24, 1, 25	sylancl 413	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( 2 ^ N ) - 1 ) e. CC )
27	1	a1i 9	. . . 4 |- ( N e. NN -> 1 e. CC )
28		1ap0 8725	. . . . 5 |- 1 # 0
29	28	a1i 9	. . . 4 |- ( N e. NN -> 1 # 0 )
30	26, 27, 29	div2negapd 8940	. . 3 |- ( N e. NN -> ( -u ( ( 2 ^ N ) - 1 ) / -u 1 ) = ( ( ( 2 ^ N ) - 1 ) / 1 ) )
31		negsubdi2 8393	. . . . 5 |- ( ( ( 2 ^ N ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> -u ( ( 2 ^ N ) - 1 ) = ( 1 - ( 2 ^ N ) ) )
32	24, 1, 31	sylancl 413	. . . 4 |- ( N e. NN -> -u ( ( 2 ^ N ) - 1 ) = ( 1 - ( 2 ^ N ) ) )
33		df-neg 8308	. . . . . 6 |- -u 1 = ( 0 - 1 )
34		0cn 8126	. . . . . . 7 |- 0 e. CC
35		pnpcan 8373	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. CC /\ 0 e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( 1 + 0 ) - ( 1 + 1 ) ) = ( 0 - 1 ) )
36	1, 34, 1, 35	mp3an 1371	. . . . . 6 |- ( ( 1 + 0 ) - ( 1 + 1 ) ) = ( 0 - 1 )
37		1p0e1 9214	. . . . . . 7 |- ( 1 + 0 ) = 1
38		1p1e2 9215	. . . . . . 7 |- ( 1 + 1 ) = 2
39	37, 38	oveq12i 6006	. . . . . 6 |- ( ( 1 + 0 ) - ( 1 + 1 ) ) = ( 1 - 2 )
40	33, 36, 39	3eqtr2i 2256	. . . . 5 |- -u 1 = ( 1 - 2 )
41	40	a1i 9	. . . 4 |- ( N e. NN -> -u 1 = ( 1 - 2 ) )
42	32, 41	oveq12d 6012	. . 3 |- ( N e. NN -> ( -u ( ( 2 ^ N ) - 1 ) / -u 1 ) = ( ( 1 - ( 2 ^ N ) ) / ( 1 - 2 ) ) )
43	26	div1d 8915	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( ( 2 ^ N ) - 1 ) / 1 ) = ( ( 2 ^ N ) - 1 ) )
44	30, 42, 43	3eqtr3d 2270	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( 1 - ( 2 ^ N ) ) / ( 1 - 2 ) ) = ( ( 2 ^ N ) - 1 ) )
45	5, 20, 44	3eqtrd 2266	1 |- ( N e. NN -> ( 1 sigma ( 2 ^ ( N - 1 ) ) ) = ( ( 2 ^ N ) - 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4082  (class class class)co 5994   CCcc 7985   0cc0 7987   1c1 7988   + caddc 7990   - cmin 8305   -ucneg 8306   # cap 8716   / cdiv 8807   NNcn 9098   2c2 9149   NN0cn0 9357   RR+crp 9837   ...cfz 10192   ^cexp 10747   sum_csu 11850   Primecprime 12615   ^c ccxp 15516   sigma csgm 15640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-mulrcl 8086  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-1rid 8094  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-precex 8097  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103  ax-pre-mulgt0 8104  ax-pre-mulext 8105  ax-arch 8106  ax-caucvg 8107  ax-pre-suploc 8108  ax-addf 8109  ax-mulf 8110

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-disj 4059  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-po 4384  df-iso 4385  df-iord 4454  df-on 4456  df-ilim 4457  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-isom 5323  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-of 6208  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-recs 6441  df-irdg 6506  df-frec 6527  df-1o 6552  df-2o 6553  df-oadd 6556  df-er 6670  df-map 6787  df-pm 6788  df-en 6878  df-dom 6879  df-fin 6880  df-sup 7139  df-inf 7140  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-reap 8710  df-ap 8717  df-div 8808  df-inn 9099  df-2 9157  df-3 9158  df-4 9159  df-n0 9358  df-xnn0 9421  df-z 9435  df-uz 9711  df-q 9803  df-rp 9838  df-xneg 9956  df-xadd 9957  df-ioo 10076  df-ico 10078  df-icc 10079  df-fz 10193  df-fzo 10327  df-fl 10477  df-mod 10532  df-seqfrec 10657  df-exp 10748  df-fac 10935  df-bc 10957  df-ihash 10985  df-shft 11312  df-cj 11339  df-re 11340  df-im 11341  df-rsqrt 11495  df-abs 11496  df-clim 11776  df-sumdc 11851  df-ef 12145  df-e 12146  df-dvds 12285  df-gcd 12461  df-prm 12616  df-pc 12794  df-rest 13260  df-topgen 13279  df-psmet 14492  df-xmet 14493  df-met 14494  df-bl 14495  df-mopn 14496  df-top 14657  df-topon 14670  df-bases 14702  df-ntr 14755  df-cn 14847  df-cnp 14848  df-tx 14912  df-cncf 15230  df-limced 15315  df-dvap 15316  df-relog 15517  df-rpcxp 15518  df-sgm 15641

This theorem is referenced by:  perfect1  15657  perfectlem1  15658  perfectlem2  15659