Theorem konigsbergiedgwen 16823

Description: The indexed edges of the Königsberg graph 𝐺 is a word over the pairs of vertices. (Contributed by AV, 28-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
konigsberg.v	⊢ 𝑉 = (0...3)
konigsberg.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩
konigsberg.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
konigsbergiedgwen	⊢ 𝐸 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o}

Distinct variable group:   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem konigsbergiedgwen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 9585	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		0elfz 10535	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...3))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ (0...3)
4		1nn0 9583	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
5		1le3 9520	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≤ 3
6		elfz2nn0 10529	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ (0...3) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 3))
7	4, 1, 5, 6	mpbir3an 1210	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ (0...3)
8		0ne1 9373	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 1
9	3, 7, 8	umgrbien 16449	. . . . 5 ⊢ {0, 1} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ 𝑥 ≈ 2o}
10	9	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → {0, 1} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ 𝑥 ≈ 2o})
11		2nn0 9584	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
12		2re 9376	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
13		3re 9380	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
14		2lt3 9479	. . . . . . . 8 ⊢ 2 < 3
15	12, 13, 14	ltleii 8429	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≤ 3
16		elfz2nn0 10529	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ (0...3) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 3))
17	11, 1, 15, 16	mpbir3an 1210	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ (0...3)
18		0ne2 9514	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 2
19	3, 17, 18	umgrbien 16449	. . . . 5 ⊢ {0, 2} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ 𝑥 ≈ 2o}
20	19	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → {0, 2} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ 𝑥 ≈ 2o})
21		nn0fz0 10536	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 ↔ 3 ∈ (0...3))
22	1, 21	mpbi 145	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ (0...3)
23		3ne0 9401	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 0
24	23	necomi 2505	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 3
25	3, 22, 24	umgrbien 16449	. . . . 5 ⊢ {0, 3} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ 𝑥 ≈ 2o}
26	25	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → {0, 3} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ 𝑥 ≈ 2o})
27		1ne2 9515	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 2
28	7, 17, 27	umgrbien 16449	. . . . 5 ⊢ {1, 2} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ 𝑥 ≈ 2o}
29	28	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → {1, 2} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ 𝑥 ≈ 2o})
30	12, 14	ltneii 8423	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 3
31	17, 22, 30	umgrbien 16449	. . . . 5 ⊢ {2, 3} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ 𝑥 ≈ 2o}
32	31	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → {2, 3} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ 𝑥 ≈ 2o})
33	10, 20, 26, 29, 29, 32, 32	s7cld 11569	. . 3 ⊢ (⊤ → ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩ ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ 𝑥 ≈ 2o})
34	33	mptru 1411	. 2 ⊢ ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩ ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ 𝑥 ≈ 2o}
35		konigsberg.e	. 2 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩
36		konigsberg.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (0...3)
37	36	pweqi 3692	. . . 4 ⊢ 𝒫 𝑉 = 𝒫 (0...3)
38	37	rabeqi 2814	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o} = {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ 𝑥 ≈ 2o}
39	38	wrdeqi 11341	. 2 ⊢ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o} = Word {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ 𝑥 ≈ 2o}
40	34, 35, 39	3eltr4i 2320	1 ⊢ 𝐸 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o}

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402  ⊤wtru 1403   ∈ wcel 2209  {crab 2532  𝒫 cpw 3688  {cpr 3710  ⟨cop 3712   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085  2_oc2o 6681   ≈ cen 7020  0cc0 8179  1c1 8180   ≤ cle 8361  2c2 9357  3c3 9358  ℕ₀cn0 9567  ...cfz 10421  Word cword 11318  ⟨“cs7 11540

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8500  df-neg 8501  df-inn 9307  df-2 9365  df-3 9366  df-n0 9568  df-z 9649  df-uz 9931  df-fz 10422  df-fzo 10560  df-ihash 11229  df-word 11319  df-concat 11373  df-s1 11398  df-s2 11542  df-s3 11543  df-s4 11544  df-s5 11545  df-s6 11546  df-s7 11547

This theorem is used by:  konigsbergssiedgwpren  16824  konigsbergumgr  16826