Theorem konigsbergiedgwen 16605

Description: The indexed edges of the Königsberg graph 𝐺 is a word over the pairs of vertices. (Contributed by AV, 28-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
konigsberg.v	⊢ 𝑉 = (0...3)
konigsberg.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩
konigsberg.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
konigsbergiedgwen	⊢ 𝐸 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o}

Distinct variable group:   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem konigsbergiedgwen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 9531	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		0elfz 10474	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...3))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ (0...3)
4		1nn0 9529	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
5		1le3 9466	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≤ 3
6		elfz2nn0 10468	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ (0...3) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 3))
7	4, 1, 5, 6	mpbir3an 1206	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ (0...3)
8		0ne1 9321	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 1
9	3, 7, 8	umgrbien 16231	. . . . 5 ⊢ {0, 1} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ 𝑥 ≈ 2o}
10	9	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → {0, 1} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ 𝑥 ≈ 2o})
11		2nn0 9530	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
12		2re 9324	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
13		3re 9328	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
14		2lt3 9425	. . . . . . . 8 ⊢ 2 < 3
15	12, 13, 14	ltleii 8392	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≤ 3
16		elfz2nn0 10468	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ (0...3) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 3))
17	11, 1, 15, 16	mpbir3an 1206	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ (0...3)
18		0ne2 9460	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 2
19	3, 17, 18	umgrbien 16231	. . . . 5 ⊢ {0, 2} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ 𝑥 ≈ 2o}
20	19	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → {0, 2} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ 𝑥 ≈ 2o})
21		nn0fz0 10475	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 ↔ 3 ∈ (0...3))
22	1, 21	mpbi 145	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ (0...3)
23		3ne0 9349	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 0
24	23	necomi 2499	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 3
25	3, 22, 24	umgrbien 16231	. . . . 5 ⊢ {0, 3} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ 𝑥 ≈ 2o}
26	25	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → {0, 3} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ 𝑥 ≈ 2o})
27		1ne2 9461	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 2
28	7, 17, 27	umgrbien 16231	. . . . 5 ⊢ {1, 2} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ 𝑥 ≈ 2o}
29	28	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → {1, 2} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ 𝑥 ≈ 2o})
30	12, 14	ltneii 8386	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 3
31	17, 22, 30	umgrbien 16231	. . . . 5 ⊢ {2, 3} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ 𝑥 ≈ 2o}
32	31	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → {2, 3} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ 𝑥 ≈ 2o})
33	10, 20, 26, 29, 29, 32, 32	s7cld 11500	. . 3 ⊢ (⊤ → ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩ ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ 𝑥 ≈ 2o})
34	33	mptru 1407	. 2 ⊢ ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩ ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ 𝑥 ≈ 2o}
35		konigsberg.e	. 2 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩
36		konigsberg.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (0...3)
37	36	pweqi 3678	. . . 4 ⊢ 𝒫 𝑉 = 𝒫 (0...3)
38	37	rabeqi 2808	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o} = {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ 𝑥 ≈ 2o}
39	38	wrdeqi 11272	. 2 ⊢ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o} = Word {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ 𝑥 ≈ 2o}
40	34, 35, 39	3eltr4i 2316	1 ⊢ 𝐸 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o}

Syntax hints:   = wceq 1398  ⊤wtru 1399   ∈ wcel 2205  {crab 2526  𝒫 cpw 3674  {cpr 3695  ⟨cop 3697   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058  2_oc2o 6654   ≈ cen 6986  0cc0 8143  1c1 8144   ≤ cle 8325  2c2 9305  3c3 9306  ℕ₀cn0 9513  ...cfz 10361  Word cword 11249  ⟨“cs7 11471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-1o 6660  df-2o 6661  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-ihash 11164  df-word 11250  df-concat 11304  df-s1 11329  df-s2 11473  df-s3 11474  df-s4 11475  df-s5 11476  df-s6 11477  df-s7 11478

This theorem is referenced by:  konigsbergssiedgwpren  16606  konigsbergumgr  16608