Theorem konigsbergiedgwen 16479

Description: The indexed edges of the Königsberg graph 𝐺 is a word over the pairs of vertices. (Contributed by AV, 28-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
konigsberg.v	⊢ 𝑉 = (0...3)
konigsberg.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩
konigsberg.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
konigsbergiedgwen	⊢ 𝐸 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o}

Distinct variable group:   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem konigsbergiedgwen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 9514	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		0elfz 10452	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...3))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ (0...3)
4		1nn0 9512	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
5		1le3 9449	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≤ 3
6		elfz2nn0 10446	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ (0...3) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 3))
7	4, 1, 5, 6	mpbir3an 1206	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ (0...3)
8		0ne1 9304	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 1
9	3, 7, 8	umgrbien 16105	. . . . 5 ⊢ {0, 1} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ 𝑥 ≈ 2o}
10	9	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → {0, 1} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ 𝑥 ≈ 2o})
11		2nn0 9513	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
12		2re 9307	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
13		3re 9311	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
14		2lt3 9408	. . . . . . . 8 ⊢ 2 < 3
15	12, 13, 14	ltleii 8376	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≤ 3
16		elfz2nn0 10446	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ (0...3) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 3))
17	11, 1, 15, 16	mpbir3an 1206	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ (0...3)
18		0ne2 9443	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 2
19	3, 17, 18	umgrbien 16105	. . . . 5 ⊢ {0, 2} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ 𝑥 ≈ 2o}
20	19	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → {0, 2} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ 𝑥 ≈ 2o})
21		nn0fz0 10453	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 ↔ 3 ∈ (0...3))
22	1, 21	mpbi 145	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ (0...3)
23		3ne0 9332	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 0
24	23	necomi 2497	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 3
25	3, 22, 24	umgrbien 16105	. . . . 5 ⊢ {0, 3} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ 𝑥 ≈ 2o}
26	25	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → {0, 3} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ 𝑥 ≈ 2o})
27		1ne2 9444	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 2
28	7, 17, 27	umgrbien 16105	. . . . 5 ⊢ {1, 2} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ 𝑥 ≈ 2o}
29	28	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → {1, 2} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ 𝑥 ≈ 2o})
30	12, 14	ltneii 8370	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 3
31	17, 22, 30	umgrbien 16105	. . . . 5 ⊢ {2, 3} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ 𝑥 ≈ 2o}
32	31	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → {2, 3} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ 𝑥 ≈ 2o})
33	10, 20, 26, 29, 29, 32, 32	s7cld 11475	. . 3 ⊢ (⊤ → ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩ ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ 𝑥 ≈ 2o})
34	33	mptru 1407	. 2 ⊢ ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩ ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ 𝑥 ≈ 2o}
35		konigsberg.e	. 2 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩
36		konigsberg.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (0...3)
37	36	pweqi 3673	. . . 4 ⊢ 𝒫 𝑉 = 𝒫 (0...3)
38	37	rabeqi 2806	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o} = {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ 𝑥 ≈ 2o}
39	38	wrdeqi 11247	. 2 ⊢ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o} = Word {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ 𝑥 ≈ 2o}
40	34, 35, 39	3eltr4i 2314	1 ⊢ 𝐸 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o}

Syntax hints:   = wceq 1398  ⊤wtru 1399   ∈ wcel 2203  {crab 2524  𝒫 cpw 3669  {cpr 3690  ⟨cop 3692   class class class wbr 4109  (class class class)co 6050  2_oc2o 6641   ≈ cen 6973  0cc0 8127  1c1 8128   ≤ cle 8309  2c2 9288  3c3 9289  ℕ₀cn0 9496  ...cfz 10342  Word cword 11224  ⟨“cs7 11446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-1o 6647  df-2o 6648  df-er 6767  df-en 6976  df-dom 6977  df-fin 6978  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-fz 10343  df-fzo 10477  df-ihash 11139  df-word 11225  df-concat 11279  df-s1 11304  df-s2 11448  df-s3 11449  df-s4 11450  df-s5 11451  df-s6 11452  df-s7 11453

This theorem is referenced by:  konigsbergssiedgwpren  16480  konigsbergumgr  16482