Theorem konigsbergiedgwen 16496

Description: The indexed edges of the Königsberg graph 𝐺 is a word over the pairs of vertices. (Contributed by AV, 28-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
konigsberg.v	⊢ 𝑉 = (0...3)
konigsberg.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩
konigsberg.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
konigsbergiedgwen	⊢ 𝐸 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o}

Distinct variable group:   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem konigsbergiedgwen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 9516	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		0elfz 10456	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...3))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ (0...3)
4		1nn0 9514	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
5		1le3 9451	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≤ 3
6		elfz2nn0 10450	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ (0...3) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 3))
7	4, 1, 5, 6	mpbir3an 1206	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ (0...3)
8		0ne1 9306	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 1
9	3, 7, 8	umgrbien 16122	. . . . 5 ⊢ {0, 1} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ 𝑥 ≈ 2o}
10	9	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → {0, 1} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ 𝑥 ≈ 2o})
11		2nn0 9515	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
12		2re 9309	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
13		3re 9313	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
14		2lt3 9410	. . . . . . . 8 ⊢ 2 < 3
15	12, 13, 14	ltleii 8378	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≤ 3
16		elfz2nn0 10450	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ (0...3) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 3))
17	11, 1, 15, 16	mpbir3an 1206	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ (0...3)
18		0ne2 9445	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 2
19	3, 17, 18	umgrbien 16122	. . . . 5 ⊢ {0, 2} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ 𝑥 ≈ 2o}
20	19	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → {0, 2} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ 𝑥 ≈ 2o})
21		nn0fz0 10457	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 ↔ 3 ∈ (0...3))
22	1, 21	mpbi 145	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ (0...3)
23		3ne0 9334	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 0
24	23	necomi 2499	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 3
25	3, 22, 24	umgrbien 16122	. . . . 5 ⊢ {0, 3} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ 𝑥 ≈ 2o}
26	25	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → {0, 3} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ 𝑥 ≈ 2o})
27		1ne2 9446	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 2
28	7, 17, 27	umgrbien 16122	. . . . 5 ⊢ {1, 2} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ 𝑥 ≈ 2o}
29	28	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → {1, 2} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ 𝑥 ≈ 2o})
30	12, 14	ltneii 8372	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 3
31	17, 22, 30	umgrbien 16122	. . . . 5 ⊢ {2, 3} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ 𝑥 ≈ 2o}
32	31	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → {2, 3} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ 𝑥 ≈ 2o})
33	10, 20, 26, 29, 29, 32, 32	s7cld 11479	. . 3 ⊢ (⊤ → ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩ ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ 𝑥 ≈ 2o})
34	33	mptru 1407	. 2 ⊢ ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩ ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ 𝑥 ≈ 2o}
35		konigsberg.e	. 2 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩
36		konigsberg.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (0...3)
37	36	pweqi 3675	. . . 4 ⊢ 𝒫 𝑉 = 𝒫 (0...3)
38	37	rabeqi 2808	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o} = {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ 𝑥 ≈ 2o}
39	38	wrdeqi 11251	. 2 ⊢ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o} = Word {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ 𝑥 ≈ 2o}
40	34, 35, 39	3eltr4i 2316	1 ⊢ 𝐸 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 𝑥 ≈ 2o}

Syntax hints:   = wceq 1398  ⊤wtru 1399   ∈ wcel 2205  {crab 2526  𝒫 cpw 3671  {cpr 3692  ⟨cop 3694   class class class wbr 4111  (class class class)co 6052  2_oc2o 6643   ≈ cen 6975  0cc0 8129  1c1 8130   ≤ cle 8311  2c2 9290  3c3 9291  ℕ₀cn0 9498  ...cfz 10345  Word cword 11228  ⟨“cs7 11450

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-1o 6649  df-2o 6650  df-er 6769  df-en 6978  df-dom 6979  df-fin 6980  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-inn 9240  df-2 9298  df-3 9299  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857  df-fz 10346  df-fzo 10481  df-ihash 11143  df-word 11229  df-concat 11283  df-s1 11308  df-s2 11452  df-s3 11453  df-s4 11454  df-s5 11455  df-s6 11456  df-s7 11457

This theorem is referenced by:  konigsbergssiedgwpren  16497  konigsbergumgr  16499