Theorem lcmgcdeq 12086

Description: Two integers' absolute values are equal iff their least common multiple and greatest common divisor are equal. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmgcdeq	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁) ↔ (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)))

Proof of Theorem lcmgcdeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdslcm 12072	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (𝑀 lcm 𝑁) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 lcm 𝑁)))
2	1	simpld 112	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∥ (𝑀 lcm 𝑁))
3	2	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁)) → 𝑀 ∥ (𝑀 lcm 𝑁))
4		gcddvds 11967	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
5	4	simprd 114	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
6		breq1 4008	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁) → ((𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑁 ↔ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
7	5, 6	syl5ibrcom 157	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑁))
8	7	imp 124	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁)) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑁)
9		lcmcl 12075	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ0)
10	9	nn0zd 9376	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℤ)
11		dvdstr 11838	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ (𝑀 lcm 𝑁) ∧ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑁) → 𝑀 ∥ 𝑁))
12	10, 11	syl3an2 1272	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ (𝑀 lcm 𝑁) ∧ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑁) → 𝑀 ∥ 𝑁))
13	12	3com12 1207	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ (𝑀 lcm 𝑁) ∧ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑁) → 𝑀 ∥ 𝑁))
14	13	3expb 1204	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑀 ∥ (𝑀 lcm 𝑁) ∧ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑁) → 𝑀 ∥ 𝑁))
15	14	anidms 397	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ (𝑀 lcm 𝑁) ∧ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑁) → 𝑀 ∥ 𝑁))
16	15	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁)) → ((𝑀 ∥ (𝑀 lcm 𝑁) ∧ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑁) → 𝑀 ∥ 𝑁))
17	3, 8, 16	mp2and 433	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁)) → 𝑀 ∥ 𝑁)
18		absdvdsb 11819	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (abs‘𝑀) ∥ 𝑁))
19		zabscl 11098	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (abs‘𝑀) ∈ ℤ)
20		dvdsabsb 11820	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ (abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝑁)))
21	19, 20	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ (abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝑁)))
22	18, 21	bitrd 188	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝑁)))
23	22	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁)) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝑁)))
24	17, 23	mpbid 147	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁)) → (abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝑁))
25	1	simprd 114	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑀 lcm 𝑁))
26	25	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁)) → 𝑁 ∥ (𝑀 lcm 𝑁))
27	4	simpld 112	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀)
28		breq1 4008	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁) → ((𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀))
29	27, 28	syl5ibrcom 157	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑀))
30	29	imp 124	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁)) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑀)
31		dvdstr 11838	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∥ (𝑀 lcm 𝑁) ∧ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑀) → 𝑁 ∥ 𝑀))
32	10, 31	syl3an2 1272	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∥ (𝑀 lcm 𝑁) ∧ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑀) → 𝑁 ∥ 𝑀))
33	32	3coml 1210	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∥ (𝑀 lcm 𝑁) ∧ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑀) → 𝑁 ∥ 𝑀))
34	33	3expb 1204	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑁 ∥ (𝑀 lcm 𝑁) ∧ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑀) → 𝑁 ∥ 𝑀))
35	34	anidms 397	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∥ (𝑀 lcm 𝑁) ∧ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑀) → 𝑁 ∥ 𝑀))
36	35	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁)) → ((𝑁 ∥ (𝑀 lcm 𝑁) ∧ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑀) → 𝑁 ∥ 𝑀))
37	26, 30, 36	mp2and 433	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁)) → 𝑁 ∥ 𝑀)
38		absdvdsb 11819	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝑀 ↔ (abs‘𝑁) ∥ 𝑀))
39		zabscl 11098	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℤ)
40		dvdsabsb 11820	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑁) ∥ 𝑀 ↔ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝑀)))
41	39, 40	sylan 283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑁) ∥ 𝑀 ↔ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝑀)))
42	38, 41	bitrd 188	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝑀 ↔ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝑀)))
43	42	ancoms 268	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝑀 ↔ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝑀)))
44	43	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁)) → (𝑁 ∥ 𝑀 ↔ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝑀)))
45	37, 44	mpbid 147	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁)) → (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝑀))
46		nn0abscl 11097	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (abs‘𝑀) ∈ ℕ0)
47		nn0abscl 11097	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℕ0)
48	46, 47	anim12i 338	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (abs‘𝑁) ∈ ℕ0))
49		dvdseq 11857	. . . . . 6 ⊢ ((((abs‘𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (abs‘𝑁) ∈ ℕ0) ∧ ((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝑁) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝑀))) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁))
50	48, 49	sylan 283	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝑁) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝑀))) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁))
51	50	ex 115	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝑁) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝑀)) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)))
52	51	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁)) → (((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝑁) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝑀)) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)))
53	24, 45, 52	mp2and 433	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁)) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁))
54		lcmid 12083	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘𝑀) ∈ ℤ → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑀)) = (abs‘(abs‘𝑀)))
55	19, 54	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑀)) = (abs‘(abs‘𝑀)))
56		gcdid 11990	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘𝑀) ∈ ℤ → ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑀)) = (abs‘(abs‘𝑀)))
57	19, 56	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑀)) = (abs‘(abs‘𝑀)))
58	55, 57	eqtr4d 2213	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑀)) = ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑀)))
59		oveq2 5886	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘𝑀) = (abs‘𝑁) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑀)) = ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)))
60		oveq2 5886	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘𝑀) = (abs‘𝑁) → ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑀)) = ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁)))
61	59, 60	eqeq12d 2192	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘𝑀) = (abs‘𝑁) → (((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑀)) = ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑀)) ↔ ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁))))
62	58, 61	syl5ibcom 155	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((abs‘𝑀) = (abs‘𝑁) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁))))
63	62	imp 124	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁)))
64	63	adantlr 477	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁)))
65		lcmabs 12079	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = (𝑀 lcm 𝑁))
66		gcdabs 11992	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁)) = (𝑀 gcd 𝑁))
67	65, 66	eqeq12d 2192	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁)) ↔ (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁)))
68	67	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)) → (((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁)) ↔ (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁)))
69	64, 68	mpbid 147	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)) → (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁))
70	53, 69	impbida 596	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁) ↔ (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4005  ‘cfv 5218  (class class class)co 5878  ℕ₀cn0 9179  ℤcz 9256  abscabs 11009   ∥ cdvds 11797   gcd cgcd 11946   lcm clcm 12063

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932  ax-arch 7933  ax-caucvg 7934

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-frec 6395  df-sup 6986  df-inf 6987  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-q 9623  df-rp 9657  df-fz 10012  df-fzo 10146  df-fl 10273  df-mod 10326  df-seqfrec 10449  df-exp 10523  df-cj 10854  df-re 10855  df-im 10856  df-rsqrt 11010  df-abs 11011  df-dvds 11798  df-gcd 11947  df-lcm 12064

This theorem is referenced by: (None)