Theorem lcmgcdeq 12278

Description: Two integers' absolute values are equal iff their least common multiple and greatest common divisor are equal. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmgcdeq	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁) ↔ (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)))

Proof of Theorem lcmgcdeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdslcm 12264	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (𝑀 lcm 𝑁) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 lcm 𝑁)))
2	1	simpld 112	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∥ (𝑀 lcm 𝑁))
3	2	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁)) → 𝑀 ∥ (𝑀 lcm 𝑁))
4		gcddvds 12157	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
5	4	simprd 114	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
6		breq1 4037	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁) → ((𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑁 ↔ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
7	5, 6	syl5ibrcom 157	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑁))
8	7	imp 124	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁)) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑁)
9		lcmcl 12267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ0)
10	9	nn0zd 9465	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℤ)
11		dvdstr 12012	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ (𝑀 lcm 𝑁) ∧ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑁) → 𝑀 ∥ 𝑁))
12	10, 11	syl3an2 1283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ (𝑀 lcm 𝑁) ∧ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑁) → 𝑀 ∥ 𝑁))
13	12	3com12 1209	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ (𝑀 lcm 𝑁) ∧ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑁) → 𝑀 ∥ 𝑁))
14	13	3expb 1206	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑀 ∥ (𝑀 lcm 𝑁) ∧ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑁) → 𝑀 ∥ 𝑁))
15	14	anidms 397	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ (𝑀 lcm 𝑁) ∧ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑁) → 𝑀 ∥ 𝑁))
16	15	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁)) → ((𝑀 ∥ (𝑀 lcm 𝑁) ∧ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑁) → 𝑀 ∥ 𝑁))
17	3, 8, 16	mp2and 433	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁)) → 𝑀 ∥ 𝑁)
18		absdvdsb 11993	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (abs‘𝑀) ∥ 𝑁))
19		zabscl 11270	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (abs‘𝑀) ∈ ℤ)
20		dvdsabsb 11994	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ (abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝑁)))
21	19, 20	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ (abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝑁)))
22	18, 21	bitrd 188	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝑁)))
23	22	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁)) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝑁)))
24	17, 23	mpbid 147	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁)) → (abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝑁))
25	1	simprd 114	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑀 lcm 𝑁))
26	25	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁)) → 𝑁 ∥ (𝑀 lcm 𝑁))
27	4	simpld 112	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀)
28		breq1 4037	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁) → ((𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀))
29	27, 28	syl5ibrcom 157	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑀))
30	29	imp 124	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁)) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑀)
31		dvdstr 12012	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∥ (𝑀 lcm 𝑁) ∧ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑀) → 𝑁 ∥ 𝑀))
32	10, 31	syl3an2 1283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∥ (𝑀 lcm 𝑁) ∧ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑀) → 𝑁 ∥ 𝑀))
33	32	3coml 1212	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∥ (𝑀 lcm 𝑁) ∧ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑀) → 𝑁 ∥ 𝑀))
34	33	3expb 1206	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑁 ∥ (𝑀 lcm 𝑁) ∧ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑀) → 𝑁 ∥ 𝑀))
35	34	anidms 397	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∥ (𝑀 lcm 𝑁) ∧ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑀) → 𝑁 ∥ 𝑀))
36	35	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁)) → ((𝑁 ∥ (𝑀 lcm 𝑁) ∧ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑀) → 𝑁 ∥ 𝑀))
37	26, 30, 36	mp2and 433	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁)) → 𝑁 ∥ 𝑀)
38		absdvdsb 11993	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝑀 ↔ (abs‘𝑁) ∥ 𝑀))
39		zabscl 11270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℤ)
40		dvdsabsb 11994	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑁) ∥ 𝑀 ↔ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝑀)))
41	39, 40	sylan 283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑁) ∥ 𝑀 ↔ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝑀)))
42	38, 41	bitrd 188	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝑀 ↔ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝑀)))
43	42	ancoms 268	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝑀 ↔ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝑀)))
44	43	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁)) → (𝑁 ∥ 𝑀 ↔ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝑀)))
45	37, 44	mpbid 147	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁)) → (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝑀))
46		nn0abscl 11269	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (abs‘𝑀) ∈ ℕ0)
47		nn0abscl 11269	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℕ0)
48	46, 47	anim12i 338	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (abs‘𝑁) ∈ ℕ0))
49		dvdseq 12032	. . . . . 6 ⊢ ((((abs‘𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (abs‘𝑁) ∈ ℕ0) ∧ ((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝑁) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝑀))) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁))
50	48, 49	sylan 283	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝑁) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝑀))) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁))
51	50	ex 115	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝑁) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝑀)) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)))
52	51	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁)) → (((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝑁) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝑀)) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)))
53	24, 45, 52	mp2and 433	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁)) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁))
54		lcmid 12275	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘𝑀) ∈ ℤ → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑀)) = (abs‘(abs‘𝑀)))
55	19, 54	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑀)) = (abs‘(abs‘𝑀)))
56		gcdid 12180	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘𝑀) ∈ ℤ → ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑀)) = (abs‘(abs‘𝑀)))
57	19, 56	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑀)) = (abs‘(abs‘𝑀)))
58	55, 57	eqtr4d 2232	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑀)) = ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑀)))
59		oveq2 5933	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘𝑀) = (abs‘𝑁) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑀)) = ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)))
60		oveq2 5933	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘𝑀) = (abs‘𝑁) → ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑀)) = ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁)))
61	59, 60	eqeq12d 2211	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘𝑀) = (abs‘𝑁) → (((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑀)) = ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑀)) ↔ ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁))))
62	58, 61	syl5ibcom 155	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((abs‘𝑀) = (abs‘𝑁) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁))))
63	62	imp 124	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁)))
64	63	adantlr 477	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁)))
65		lcmabs 12271	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = (𝑀 lcm 𝑁))
66		gcdabs 12182	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁)) = (𝑀 gcd 𝑁))
67	65, 66	eqeq12d 2211	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁)) ↔ (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁)))
68	67	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)) → (((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁)) ↔ (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁)))
69	64, 68	mpbid 147	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)) → (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁))
70	53, 69	impbida 596	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 gcd 𝑁) ↔ (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  ℕ₀cn0 9268  ℤcz 9345  abscabs 11181   ∥ cdvds 11971   gcd cgcd 12147   lcm clcm 12255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-mulrcl 7997  ax-addcom 7998  ax-mulcom 7999  ax-addass 8000  ax-mulass 8001  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-1rid 8005  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-precex 8008  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-apti 8013  ax-pre-ltadd 8014  ax-pre-mulgt0 8015  ax-pre-mulext 8016  ax-arch 8017  ax-caucvg 8018

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-sup 7059  df-inf 7060  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-reap 8621  df-ap 8628  df-div 8719  df-inn 9010  df-2 9068  df-3 9069  df-4 9070  df-n0 9269  df-z 9346  df-uz 9621  df-q 9713  df-rp 9748  df-fz 10103  df-fzo 10237  df-fl 10379  df-mod 10434  df-seqfrec 10559  df-exp 10650  df-cj 11026  df-re 11027  df-im 11028  df-rsqrt 11182  df-abs 11183  df-dvds 11972  df-gcd 12148  df-lcm 12256

This theorem is referenced by: (None)